Konsten att prata matematik En studie om kommunikativ förmåga i matematik i årskurs 4-6

Självständigt arbete II, 15 hp Konsten att prata matematik En studie om kommunikativ förmåga i matematik i årskurs 4-6 Författare: Despina Patli Handledare: Peter Markkanen Examinator: Jeppe Skott Termin: VT 2015 Ämne: Matematikdidkatik Nivå: Avancerad nivå Kurskod: 4GN04E

Konsten att prata matematik En studie om kommunikativ förmåga i matematik i årskurs 4-6. The art of talking mathematics A study of communicative ability in mathematics in grades 4-6. Abstrakt Syftet med den här studien är att undersöka hur verksamma lärare i årskurs 4-6 beskriver hur de tolkar kommunikativ förmåga i matematik, hur lärare kan arbeta med området samt vilka möjligheter och svårigheter som kan förekomma vid undervisning i matematisk kommunikation. Studien har genomförts med hjälp av kvalitativa intervjuer med sex lärare. Resultatet visar att lärare beskriver matematisk kommunikation som ett sätt för elever att tillsammans prata matematik och bli medvetna om sitt eget lärande. De anser att elever ska få arbeta tillsammans och att problemlösning kan vara ett sätt att arbeta med området. Lärarna menar att den största möjligheten är att elevers förståelse för matematik ökar men att det kan vara svårt att individanpassa undervisningen. Nyckelord Matematik, kommunikation, lärare, undervisning Despina Patli Antal sidor 27 i

Innehåll 1 Inledning 1 2 Syfte och frågeställningar 2 3 Teoribakgrund 3 3.1 Sociokulturellt perspektiv på lärande 3 3.2 Kommunikativ förmåga i matematik 3 3.3 Lärarens roll 5 3.4 Teoretiskt exempel på kommunikativt arbetssätt i matematik 7 3.5 Möjligheter och svårigheter 8 4 Metod 10 4.1 Val av metod 10 4.2 Datainsamlingsmetod 10 4.3 Urval 11 4.4 Genomförande 11 4.5 Analys 11 4.6 Överförbarhet, pålitlighet, trovärdighet och objektivitet 12 4.7 Etiska överväganden 13 5 Resultat 14 5.1 Hur beskriver lärare vad matematisk kommunikation innebär för dem? 14 5.1.1 Att prata matematik 14 5.1.2 Medvetenhet om det egna lärandet 14 5.1.3 Övergång till muntlig förklaring 15 5.2 Hur arbetar verksamma lärare för att utveckla elevers kommunikativa förmåga?15 5.2.1 Arbeta tillsammans 15 5.2.2 Problemlösning 16 5.2.3 Fokus på uträkningar 17 5.2.4 Planering 18 5.2.5 Observationer 18 5.3 Hur beskriver lärare de möjligheter respektive svårigheter som kan uppstå genom matematisk kommunikation? 18 5.3.1 Ökad förståelse, trygghet och motivation 19 5.3.2 Passivitet, rätt nivå och barns olikheter 19 5.4 Resultatsammanfattning 20 6 Diskussion 22 6.1 Metoddiskussion 22 6.2 Resultatdiskussion 23 6.2.1 Hur beskriver verksamma lärare på mellanstadiet vad matematisk kommunikation innebär för dem? 23 6.2.2 Hur arbetar verksamma lärare för att utveckla elevers kommunikativa förmåga? 24 ii

6.2.3 Hur beskriver lärare de möjligheter respektive svårigheter som kan uppstå genom matematisk kommunikation? 26 6.3 Förslag på vidare forskning 27 Referenser I Bilagor III Bilaga A III Bilaga B IV iii

1 Inledning Matematiker har ett eget språk. Fantasifulla ord som kvadrat, topologi, oktaeder och primtal har de hittat på för att kunna beskriva sitt arbete och sina arbetsredskap. Det är ett mycket exakt språk, som man inte får slarva med. Matematikernas språk är obegripligt för den som inte har lärt sig det. Men så är det ju med alla språk (Dahl & Nordqvist, 1994:7). På liknande sätt lyfter Ahlberg (2000) fram att matematiken kan vara svår att uppfatta som givande och lustfylld om elever endast får lära sig att matematik handlar om att ställa upp siffror och säga rätt svar. Det kan hämma deras förmåga att våga hitta nya vägar, strategier och sätt att uttrycka sig på inom matematiken. Konsten att kunna uttrycka sig, kommunikation, är en av förmågorna i matematikämnet i dagens skola. I Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011 (Skolverket, 2011) framgår det att matematikundervisningen ska erbjuda alla elever kan utveckla sin förmåga att använda matematiska uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser (Skolverket, 2011:63). Eleverna behöver i och med detta kunna prata matematik. De måste till exempel muntligt kunna förklara hur de tänker, det vill säga vilken strategi de använder, när de försöker lösa matematiska uppgifter. Hagland, Hedrén och Taflin (2005) menar att elever fördjupar sin kunskap när de får förklara sina tankar högt för någon annan. Det menar att även när elever får diskutera matematik tillsammans får de nya insikter och idéer som gynnar det egna lärandet. Stein, Engle, Smith och Hughes (2008) argumenterar för att matematikdiskussioner är nödvändiga för att få en effektiv och givande matematikundervisning. De menar även att vi har lämnat tiden då endast läraren var i fokus. Eleverna ska inte vara passiva och endast ta emot kunskaper från läraren utan de ska själva vara aktiva i sitt lärande. Dock finns det enligt Stein et al. (2008) vissa svårigheter att ha i beaktning när en lärare planerar matematiska diskussioner. Det får till exempel inte bli så att eleverna på ett negativt sätt tar över undervisningen och kanske diskuterar sådant som inte har med ämnet matematik att göra. Med erfarenhet av verksamhetsförlagd utbildning (VFU) på olika skolor i årskurs 4-6 har jag märkt att det kan skilja mellan olika klasser, beträffande deras förmåga att kunna förklara och diskutera matematik. Alla lärare måste förhålla sig till läroplanen, men den beskriver vad eleverna ska lära sig, inte hur. Lärares personliga syn på matematisk kommunikation kan således påverka på vilket sätt de arbetar med området i sin undervisning. Som blivande lärare ser jag det därför som intressant att få ta del av verksamma lärares tankar om vad de anser matematisk kommunikation är för något och hur de arbetar med det i matematikundervisningen. Fokus kommer att ligga på deras åsikter och det de beskriver om sina olika sätt att arbeta. Genom att ta del av det de anser kan vara möjligheter och svårigheter inom området kan det även ge en bild av vilka förutsättningar som krävs för att undervisa i matematisk kommunikation. 1

2 Syfte och frågeställningar Syftet med denna studie är att undersöka vilka tankar och åsikter verksamma lärare i årskurs 4-6 har vad gäller muntlig kommunikativ förmåga i matematik. Utifrån detta syfte har följande frågeställningar skapats: Hur beskriver lärare vad muntlig kommunikativ förmåga i matematik innebär för dem? Hur beskriver lärare att de arbetar för att elever ska kunna utveckla den muntliga kommunikativa förmågan i matematik? Hur beskriver lärare de möjligheter respektive svårigheter som kan uppstå när de tillsammans med sina elever arbetar med matematisk muntlig kommunikation i undervisningen? 2

3 Teoribakgrund Nedan presenteras sociokulturell syn på lärande, hur matematisk kommunikation kan förstås, vilken roll lärare har för att utveckla elevers matematiska förmågor samt vilka möjligheter och svårigheter som kan förekomma vid undervisning i matematisk kommunikation. Avsnittet tar även upp ett teoretiskt exempel på hur lärare konkret kan arbeta med det valda matematiska området. 3.1 Sociokulturellt perspektiv på lärande Säljö (2010) har gjort en beskrivning av sin tolkning av pedagogen och psykologen Vygotskij (1896-1934) och det sociokulturella perspektivet. Beroende på vilken kultur vi tillhör och lever i uppfattar vi saker på olika sätt. Enligt Säljös tolkning menade Vygotskij att människor väljer olika vägar när de tänker beroende på deras erfarenheter (Säljö, 2010). Sättet som vi uppfattar exempelvis geometriska figurer på är beroende av vad vi har lärt oss om dem: Begreppet triangel är ett medierande redskap som uppfunnits inom ramen för en viss kulturell gemenskap och som människor som vuxit upp inom ramen för denna finner naturlig att använda. Vi ser trianglar och andra tecken helt enkelt för att vi socialiserats in i en värld av medierande redskap där sådana resurser ingår. Vi ser och förstår på de sätt våra kulturella erfarenheter inbjuder oss att se. Om någon skulle påstå att figuren är en kvadrat, skulle vi ha protesterat. (Säljö, 2010:186) Vidare lyfter Säljö (2010) fram att enligt det sociokulturella perspektivet är människor tänkande varelser som får sina tankar genom att kommunicera och interagera med andra människor. Vi använder språket för att reda ut våra tankar. Vid lärande kan människor också behöva en vägledare som besitter mer kunskap som kan hjälpa till vid förståelsen av nya begrepp. En vägledare kan vara en lärare eller en klasskamrat. I skolans värld är det sociokulturella perspektivet, enligt Säljö, tydligt och många gånger nödvändigt för att det ska kunna ske ett lärande i det mångkulturella samhälle vi idag lever i. På skolor idag samlas barn och ungdomar från olika kulturer som måste kunna samspela och lära av varandra. En fördel med detta perspektiv är också att det inte är beroende av en särskild pedagogik utan kan tillämpas på alla skolor. Dock är det viktigt att poängtera att även andra synsätt på lärande går att applicera i skola och undervisning och att inte endast det sociokulturella perspektivet fokuserar på samspel mellan elever. 3.2 Kommunikativ förmåga i matematik Kommunikativ förmåga i matematik kan uppfattas på olika vis. Sfard, Nesher, Streefland, Cobb och Mason (1998) skiljer mellan att prata matematik och att prata om matematik. Att prata matematik kan bland annat innebära att elever kan använda sig av matematiska begrepp medan att prata om matematik tillhör det språket vi använder i vår vardag. Det först nämnda kan också ses som mer formellt medan det andra kan ses som informellt språk. Skolverket (2011) har gett ut en publikation med kommentarer till skolans kursplaner som ett förslag på förtydligande av innehållet i de olika undervisningsämnena. Följande text är hämtad ur de kommentarer som rör matematikundervisning: Att kommunicera matematik innebär i sammanhanget att utbyta information med andra om matematiska idéer och tankegångar, muntligt, skriftligt och med hjälp 3

av olika uttrycksformer. I undervisningen får eleverna möjlighet att utveckla ett alltmer precist matematiskt språk, för att därigenom kunna anpassa sina samtal och redogörelser till olika mottagare och ändamål. Först när eleverna har utvecklat förmågan att kommunicera matematik kan matematiken utvecklas till ett funktionellt verktyg i olika sammanhang. (Skolverket, 2011:11) Ovanstående text förmedlar att elever måste ges möjlighet att arbeta tillsammans med andra samt att de ska kunna använda sig av olika uttrycksformer. Uttrycksformer i matematik kan även kallas för representationsformer och syftar till att öka elevers förståelse för matematik. Det kan hjälpa elever att se matematiken på både ett abstrakt och ett konkret sätt, samt hur dessa sätt hänger samman (Skolverket, 2011). Det kan till exempel innebära att utveckla förståelse för att en fotbollsplan kan uttryckas som en rektangel eller att fem klossar kan representeras av talet 5. Det kan också innebära att med hjälp av konkret material, bilder, symboler, grafer eller formler kunna beskriva begrepp som cirkel eller exponentiell tillväxt (Skolverket, 2011:9). Förutom ovanstående aspekter, som elever ska lära sig, innebär kommunikation, enligt Skolverket (2011), att elever ska kunna föra egna och lyssna på andras matematiska resonemang. Det innebär bland annat att eleverna måste få träna på att resonera, argumentera och förklara för varandra. För att kunna ta till sig det andra elever säger krävs även en förståelse av matematiska begrepp. När eleverna får diskutera med varandra och jämföra sina egna beräkningar och sätt att tänka ges de även möjlighet att se samband och att motivera olika lösningar. Skolverket (2011) menar även att det är acceptabelt för elever att både använda informella och formella argument när eleverna diskuterar med varandra. Vad som menas med informella och formella argument framgår ej av Skolverkets text. Det går dock att tänka sig att gissningar skulle kunna vara ett exempel på ett informellt argument. Vidare ska undervisningen i matematik, enligt Skolverket (2011) ge eleverna möjlighet att utveckla en medvetenhet om att det ofta finns många olika sätt att komma fram till ett resultat på (Skolverket, 2011:7). Att eleverna får kommunicera matematik kan vara ett sätt för eleverna att inse det. Lampert (1990) ger ytterligare ett förslag på hur matematisk kommunikation som begrepp kan förstås. Hon anser att det inte innebär att elever kan förklara vilken regel eller metod de har använt, utan varför de har använt den och varför den fungerar. Hon menar på så vis att kommunikationen ska ske på ett djupare plan och att det kan medföra en fördjupad förståelse och nya insikter. Vidare förklarar Lampert, Rittenhouse och Crumbaugh (1996) att kommunikation i matematik inte endast rör det matematiska området utan även det sociala samspelet mellan elever och mellan lärare- elev. Det pågår hela tiden olika roller och grupperingar i klasser som kan påverka på vilket sätt och i vilken grad elever känner sig fria att uttrycka sig. För elever handlar det inte enbart om att resonera om exempelvis matematik, utan att även uttala sig inför klasskamrater, kompisar de umgås med på fritiden, äter lunch med eller är kära i. Det medför att klassammansättning och klimatet i klassen i hög grad kan påverka elevers möjlighet att utveckla sin kommunikativa förmåga. Matematisk kommunikation kan därför inte ses som en aktivitet som är separerad från övriga undervisningsaktiviteter, eller elevers vardag. I enlighet med det ovan nämnda förmedlar Kilpatrick, Martin och Schifter (2003) att det är viktigt att det finns goda relationer i grupperna som eleverna ska prata i för annars kanske de inte vågar göra fel. Kilpatrick et al. (2003) menar också att det finns en 4

svårighet i att veta hur elever ska kunna uttrycka att de inte håller med om en klasskamrats resonemang utan att låta nedlåtande. Även om en elev vill kritisera ett annat förslag ska läraren se till att det leder till ett lärande genom att veta och förklara varför ett svar eller en metod är fel. De lyfter även fram att ett matematiskt vokabulär inte ska ses som något som är separerat från vårt övriga talade språk. Det påståendet kan tala emot hur Dahl och Nordqvist (1994) beskriver matematiken och dess språk, vilket presenterades tidigare i den här studien. 3.3 Lärarens roll Vilken roll lärare har i matematikundervisning är också något som det kan råda skilda uppfattningar om. Enligt Ahlberg och Wallby (2000) har lärare en avgörande och betydande roll gentemot elevers uppfattning om matematik. Deras egna förhållningssätt till ämnet och till sig själva i sin yrkesroll är också avgörande. Lärare bör av den anledningen själva reflektera över vad de tycker om ämnet och hur det påverkar undervisningen. Författarna menar även att elever behöver känna att undervisningen är meningsfull och att den varken är för lätt eller för svår. Det är även lärarens ansvar att se till att matematikundervisningen gör elever nyfikna och motiverade. För att kunna göra det krävs det att läraren har goda relationer till sina elever. För att elever ska kunna argumentera eller visa olika strategier inom matematiken krävs det även att de har kännedom om olika matematiska begrepp. Ahlberg och Wallby (2000) menar att det är viktigt att föra in vardagen i matematiken så att matematiken inte ses som något som är avskilt från deras verklighet. I detta sammanhang kan det innebära att lärare själva behöver använda korrekt matematiskt språk även i andra ämnen än endast matematik. Att till exempel säga addera istället för plussa kan vara ett sådant exempel. Redan i låg ålder bör matematiken kopplas till barnens vardag: För att de matematiska symbolerna ska få en innebörd för barnen måste dessa kopplas till deras eget språk. De matematiska symbolerna måste därför föras in med varsamhet. Utgångspunkten för arbetet bör tas i barns erfarenhetsvärld, vilket innebär att barnens egna upplevelser och erfarenheter bildar innehållet i undervisningen. Då barn kan koppla matematiken till sitt eget sätt att tänka ökar deras möjligheter att skapa innebörd i matematikens begrepp och symboler. (Ahlberg & Wallby, 2000:61) Ahlberg och Wallby (2000) menar att matematiken och dess språk måste gå från det abstrakta till det konkreta för att barnen ska kunna ta till sig matematiken på ett fördjupat sätt. Ahlberg och Wallby (2000) menar även att en av de viktigaste grundstenarna är att lärare har god kännedom om elevernas tidigare erfarenheter och kunskaper om ämnet. För att få det ger de förslag på att ha samtal med eleverna. Detta kan ske både enskilt och i grupp. Samtalen kan även kompletteras med observationer. Genom samtalen får läraren förhoppningsvis mer kunskap om elevernas uppfattning och förståelse som kan leda till en form av kartläggning av deras tidigare erfarenheter. Det gör det enklare att planera matematikundervisningen. Hagland et al. (2005) menar att elever lär sig genom att få arbeta tillsammans med andra. Fördelen med att eleverna får diskutera med varandra istället för endast med läraren är att de kommer närmare sitt eget lärande. Studiekamrater är heller inga auktoriteter på samma sätt som lärare är. Det kan medföra att elever känner sig mer fria att diskutera varandras lösningar och matematiska begrepp. Dock menar författarna att även om det ska vara eleverna som är i fokus vid lärandet så har läraren en viktig roll. De menar exempelvis att det är lärarens uppgift att se till att lärandemiljön är trygg och 5

möjliggör att alla elever vågar uttrycka sig. Eleverna bör veta vikten av att respektera sig själva och varandra och att ingen riskerar att bli utskrattad även om de inte kan eller har löst uppgifter på ett felaktigt sätt. Lampert (1990) ger ett exempel på hur lärarens roll vid matematisk kommunikation kan se ut. Läraren börjar med att välja ett matematiskt problem som ska diskuteras. Problemet bör vara på en nivå, och ha en utformning, som gör det möjligt för alla elever att delta. Eleverna får sedan veta att de förväntas förmedla deras åsikter, frågor och förståelse av problemet. Diskussionerna lyfts så att hela klassen får ta del av dem. Tanken är att de ska få förklara sina strategier och se hur de liknar eller skiljer sig från de andra klasskamraternas strategier. När dessa lyfts är det bra om läraren kan utveckla elevernas matematiska förmågor genom att fråga om dessa strategier är hållbara eller om de endast fungerade i detta typiska fall. Vidare lyfter Lampert (1990) fram ett konkret exempel på hur diskriminering kan undvikas när elever ifrågasätter varandras strategier och svar. Hon menar att det måste finnas tydliga ramar för hur de matematiska diskussionerna ska gå till. Eleverna kan få skriva sina uträkningar till ett visst problem på tavlan. Därefter får klassen titta på dem och reflektera över vad de anser om dem. Jag vill ställa en fråga om X uträkning är ett exempel på ett uttryck som eleverna kan använda sig av när de vill ifrågasätta något. Lampert menar att det kan vara ett bättre sätt än eleverna exempelvis skulle säga rakt ut att X uträkning är fel och ska tas bort. Om en elev vill ifrågasätta någons strategi måste hen också ge anledningar till detta. Fokus hamnar då på ett logiskt resonemang istället för ett dömande. Vidare menar Lampert att även de strategier som elever anser är fel kan bidra till lärande. Hon anser att det är bra att fråga klassen om de kan förstå hur och varför en viss elev har tänkt. Personen som har skrivit resonemanget får även chans att försvara och förklara sitt tänkande. Viktigt att poängtera är även att elever ska lära sig att ett rätt svar inte innebär att de ska sluta tänka. Det är nu lärarens uppgift att bygga vidare på elevernas förståelse och ge dem nya utmaningar som bygger på deras tidigare erfarenheter. Det är även lärarens uppgift att se till att alla elever har de förkunskaper som krävs för att till exempel kunna lösa och resonera kring ett problem. Hagland et al. (2005) menar också att läraren måste vara medveten om de resonemang som förs mellan elever i klassrummet för att kunna lyfta upp givande resonemang i helklass. Vidare är det lärarens uppgift att veta vilka elever som arbetar bra tillsammans och vilka som inte gör det. Som tidigare nämnts är det viktigt att lärare har en god relation till sina elever. Oavsett hur läraren väljer att grupperna ska se ut, om eleverna får välja själva eller om läraren gör det åt dem, måste läraren se till så att samarbetet fungerar i grupperna. Dessutom måste läraren visa sig engagerad för att öka elevernas nyfikenhet och motivation till att diskutera matematiska uppgifter tillsammans. Hagland et al. (2005) förklarar att lärarens egna intresse för den undervisning hen arbetar med fångas upp av eleverna. Det är lärarens uppgift att se till att när elever talar matematik så ska det vara om relevanta matematiska områden och samtidigt bidra till matematisk förståelse. Det är inte själva kommunikationen i sig som är viktig utan vad den kan leda till för matematisk förståelse. Exempel är att elever som deltar i kommunikation i ämnet kan lära sig att uttrycka sig matematiskt eller kommunicera för att lära sig matematik. Ett sätt att få elever att utveckla sin kommunikativa förmåga i matematik är att läraren kan omformulera elevers påståenden om det behövs. Det kan till exempel handla om att 6

flika in ett korrekt begrepp eller förklara det så att resten av klassen förstår, om det behövs ett förtydligande (Kilpatrick et al., 2003). 3.4 Teoretiskt exempel på kommunikativt arbetssätt i matematik Det finns olika sätt för lärare att arbeta för att få elever som utvecklar förmågan att kommunicera inom matematikämnet. Stein et al. (2008) har gjort en modell som utgår från fem olika aspekter och som kan underlätta för lärare att få elever mer muntligt aktiva på matematiklektioner. På engelska kallas dessa aspekter anticipating, monitoring, selecting, sequencing och connecting. I denna studie har dessa begrepp fått översättningen att förutspå, att observera, att välja, att välja tur och ordning och att se samband. Genom att använda dessa kan lärare hitta arbetssätt som kan komma till användning när de arbetar med matematisk kommunikation i sin undervisning. Den första aspekten som Stein et al. (2008) beskriver syftar till att försöka förutspå elevers matematiska svar. Vid planeringen av en lektion ska lärare försöka förutspå hur elever kommer ta sig an uppgifter som läraren ger dem. Det handlar bland annat om att försöka lista ut hur de kommer att tolka uppgiften, vilka strategier de kommer att använda, hur strategierna förhåller sig till det läraren vill att eleverna ska lära sig och de representationsformer läraren vill ge dem möjlighet att använda. Det går alltså djupare än att endast ta hänsyn till om uppgifterna kommer vara för svåra eller lätta för eleverna. Genom att vara väl förberedd kan läraren till exempel ställa frågor som kan få eleverna på rätt väg utan att avslöja för mycket. Om läraren även kan förutspå eventuella feltolkningar kan det även bli lättare att förklara varför vissa metoder eller svar är fel. På så vis kan matematikundervisningen även bli mer effektiv. För att kunna förutspå detta krävs det att läraren själv löser de uppgifter som eleverna kommer att få göra. Det är även bra att försöka lösa dem med så många olika strategier som möjligt för att kunna hjälpa och förstå eleverna. Genom att försöka tänka som eleverna ger det även en möjlighet att förutspå vilka misstag som eventuellt kan göras och hur läraren då ska agera för att dessa ska undvikas eller redas ut. Den andra aspekten handlar om observation. Stein et al. (2008) menar att det vanligaste sättet som lärare observerar på är att de går runt i klassrummet och både tittar och lyssnar på hur eleverna arbetar. Det är även vanligt att läraren gör anteckningar för att exempelvis använda för omdömen och betygssättning. Dock poängterar författarna att det är viktigt att uppmärksamma och ta till vara på det eleverna säger. Om de till exempel använder en strategi kan det vara bra att tala om den i helklass även om den inte har lett till rätt svar på en uppgift. Det gäller på så vis att kunna se sin matematikundervisning i ett större perspektiv och ta till vara på den kunskap som eleverna besitter. Målet med den här typen av observation är att se hur lärande skapas och sker samt att värdesätta elevernas matematiska tänkande. Observationer kan även visa hur väl elever kan använda sig av matematiska uttryck och begrepp. Det kan också visa vilka representationsformer de använder sig av när de ska lösa uppgifter. Dessa olika former kan exempelvis vara tabeller och bilder. Observationerna kan även ge ledtrådar om hur läraren bör ge instruktioner till eleverna. Den tredje aspekten handlar om förmågan att kunna välja vilka av elevernas svar, resonemang och strategier som kan vara värdefulla att lyfta i helklass (Stein et al., 2008). Ett sätt att göra det på är att be elever tala om och visa för resten av klassen hur de har tänkt när de löste sina uppgifter. Om läraren vet vilka elever som vid ett visst tillfälle har använt en strategi som kan vara bra för de andra att känna till, så kan läraren 7

se till att de eleverna berättar även om andra också får tala om hur de har tänkt. På samma sätt kan det vara bra att lyfta de tankegångar som har lett till att en uppgift inte har blivit löst på ett korrekt sätt. Som Ahlberg (2000) lyfte handlar matematiken inte enbart om rätt eller fel svar. De felaktiga svaren kan vara minst lika intressanta och bidra med lärdom precis som de korrekta svaren. Vidare menar Stein et al. (2008) att läraren även kan visa strategier som hen märker att ingen av eleverna har använt sig av eftersom de kan ha nytta av att kunna den vid andra tillfällen i matematiken. Den fjärde aspekten rör i vilken ordning eleverna ska få berätta om sina lösningar och de metoder som har lett fram till dem. Den berör även hur läraren ska välja ut de lösningar som är relevanta och som bidrar med olika aspekter. Stein et al. (2008) förklarar att det kan vara bra att låta elever som har använt metoder som de flesta andra har gjort börja. Det kan bidra till att få så många av eleverna som möjligt att lyssna aktivt när genomgången börjar. Därefter kan läraren be elever som har använt sig av andra strategier att presentera hur de har löst uppgiften. Ett annat sätt att välja i vilken ordning eleverna ska få diskutera om hur de har tänkt, är att börja med en vanlig missuppfattning som eleverna har haft. Det kan leda till att dessa missförstånd reds ut och att elever förstår varför det blev fel. När de väl har insett det kan det vara tid att förklara det eller de rätta metoderna. När eleverna får chans att tillsammans diskutera deras strategier kan det leda till en djupare förståelse. Den femte och sista aspekten handlar om samband. För att få nytta av alla strategier som eleverna kan lära sig av varandra kan det vara bra att som lärare visa hur strategier och matematiska idéer hör ihop med olika representationsformer. Det kan till exempel handla om att de kan lära sig att en viss typ av matematiska problem enklast och snabbast kan lösas med hjälp av tabeller. Läraren kan även föreslå att eleverna ska jämföra deras olika strategier med varandra för att se vilka samband som finns mellan dem (Stein et al., 2008). Sammanfattningsvis vill Stein et al. (2008) förmedla att eleverna själva ska ha stort inflytande i och över sin matematiska undervisning. De ska vara aktiva i sitt lärande och det ska vara de som ges mest utrymme under lektionerna, inte läraren. Dock är det lärarens ansvar att vara väl förberedd och att kunna se lärande i alla matematiska situationer. 3.5 Möjligheter och svårigheter Sfard et al. (1998) menar att matematiska konversationer kan anses vara bra för elevers matematiska tänkande. När elever får prata matematik kan de lära sig att reda ut och förstärka sina tankar. Detta stämmer även överens med Säljös (2011) tolkning av Vygotskijs syn på hur tanke och språk samspelar med varandra. Det går därför att säga att matematisk kommunikation i sig inte behöver vara den viktigaste aspekten utan vad den kan bidra med och göra för lärandet. Att prata matematik skapar också möjligheter för elever att jämföra, resonera och argumentera om exempelvis olika matematiska lösningar och strategier. Det kan också bidra till att förbättra elevers metakognitiva förmåga. Metakognition betyder enligt Lundberg (2007) att reflektera över sina egna tankar och sitt eget lärande. Det kan exempelvis innebära att elever förstår hur de lär sig bäst. Sfard et al. (1998) lyfter dock fram att det även kan finnas svårigheter med att arbeta med matematisk kommunikation. När elever arbetar tillsammans och ska diskutera med varandra kan det störa den enskilda individens lärande. Det kan till exempel vara så att 8

en elev tvingas anpassa sitt eget tänkande för att hamna på en nivå som passar övriga elever. Detta kan medföra att eleven inte använder sina matematiska förmågor effektivt och till fullo. En annan svårighet kan vara att koppla nytt lärande till elevers tidigare kunskaper inom området kommunikation i matematik. Sfard et al. (1998) menar till exempel att det näst intill är omöjligt att lära ett barn roten ur 16 genom att använda ett vardagligt språk som ligger nära barnet och som bygger på deras tidigare erfarenheter. Roten i det här sammanhanget har inget att göra med samma ord som de mött i deras vardagliga språk. De menar att elever behöver använda sig av vårt vardagliga språk för att göra det matematiska språket begripligt. Ytterligare en svårighet som Sfard et al. (1998) nämner är att alla elever har skillda personligheter som lärare inte kan göra något åt. Alla är till exempel inte utåtriktade och bekväma med att uttrycka sina åsikter och tankar för andra människor. Även om de tränar på det kanske de aldrig blir bekväma med det, vilket påverkar hur väl de kan kommunicera matematik. 9

4 Metod I det här avsnittet presenteras den metod som har använts, en presentation av de medverkande lärarna i studien samt hur genomförandet av studien har gått till. Avsnittet behandlar även hur resultatet har analyserats samt de etiska överväganden som studien tagit hänsyn till. 4.1 Val av metod Björkdahl Ordell (2007) menar att svaret till vilken metod som ska användas i en studie ofta går att finna i forskningsfrågan till studien. Eftersom fokus i den här studien ligger på lärares erfarenheter av kommunikativ förmåga i matematik, har en kvalitativ metod använts. Björkdahl Ordell menar att en kvalitativ metod är djupgående och fokuserar på exempelvis personliga upplevelser medan en kvantitativ metod tenderar att vara mer ytlig och exempelvis behandlar siffror. Denscombe (2009) förklarar att en kvalitativ metod kan användas vid småskaliga studier med få människor. Det passar bra eftersom den här studien endast berör sex lärares erfarenheter. Denscombe (2009) menar även att intervjuer och observation är två exempel på metoder som kan användas vid kvalitativa studier. Intervjuer kan vara lämpliga när forskaren vill få kunskap och information om människors tankar och åsikter. Vid en observation studerar forskaren en situation med egna ögon och gör därefter en bedömning av det hen sett och hört. Intervjuer kan vara bra att att använda när det är önskvärt att få djupgående information om olika ämnen. Det är dock tidskrävande, inte minst efter intervjun då allt material ska sammanställas och formuleras om till en skriftlig text så att andra kan ta del av resultatet. Observationer kan användas när forskaren vill se det som faktiskt sker, inte bara det som påstås ske. 4.2 Datainsamlingsmetod För att få tillgång till verksamma lärares åsikter och tankar om elevers kommunikativa förmåga i matematik har intervjuer använts som redskap. Kihlström (2007) menar att en kvalitativ intervju påminner om ett vanligt samtal. Dock har den en förutbestämd riktning som intervjuaren har ansvar för. Däremot är det viktigt att inte ställa ledande frågor. Ett sätt att undvika det är att arbeta med öppna frågor som ger respondenten möjlighet att uttrycka sina tankar utan att bli för styrd av den som intervjuar. Det kan vara bra att själv fundera över ämnet och de frågor som ska ställas så att intervjuaren kan ha ett mer öppet sinne och inte tolkar in sina egna erfarenheter när intervjun genomförs och svaren ska analyseras. I den här studien används en semistrukturerad intervju. Vid en semistrukturerad intervju görs i förväg en intervjuguide. Det kan enligt Bryman (2011) liknas vid en mall där forskaren samlar frågorna som ska ställas till informanten. Denscombe (2009) menar att intervjuaren använder sig av öppna frågor och låter informanten tala fritt. Dock finns det ett fokus i intervjun som måste behandlas. Det finns hela tiden en röd tråd, men informanten kan själv avgöra hur pass djupgående varje fråga blir. Ordningen på hur frågorna ställs spelar mindre roll och det viktiga är att informanternas synpunkter kan utvecklas och redas ut. I den här studiens intervjuguide (Bilaga A) finns de frågor som utgör grunden för de samtal som fördes med de utvalda lärarna. Bryman (2011) menar att det är bra att starta en intervju med frågor som är relativt enkla för informanten att svara på. Detta för att de ska känna sig bekväma och avslappnade. 10

4.3 Urval Informanterna i studien arbetar alla i södra Sverige och har varit aktiva lärare mellan fyra och trettio år. De är alla behöriga att undervisa i matematik i årskurs 4-6, vilket var ett krav för att de skulle få delta i studien. Tre kvinnliga och tre manliga lärare har intervjuats. Två av de medverkande arbetar på samma skola och dessa kände jag sedan tidigare. De valdes därför av ett bekvämlighetsskäl. Övriga lärare kontaktades via ett mail (Bilaga B) där jag beskrev vem jag var och vad syftet med min undersökning var. Mailet skickades till cirka 15 lärare vars adresser jag hittade via skolors hemsidor. Fyra lärare svarade att de ville medverka i min studie och det är dessa, samt de jag kände sedan tidigare, som också deltagit i mina intervjuer. Att det är just tre kvinnliga och tre manliga informanter är en slump. Samtliga lärare har fiktiva namn och i tabellen nedan, tabell 1, finns en presentation av de lärare som kommer att finnas med i den här studien. Tabell 1. Lärare Antal verksamma år Sophie 13 Hanna 4 Johan 7 Pelle 5 Erik 30 Susanna 12 4.4 Genomförande När intervjuerna genomfördes träffade jag de verksamma lärarna på deras respektive skola. De visade sina klassrum och det var även där vi genomförde intervjuerna. I enlighet med vad Denscombe (2009) förmedlar om hur en intervju ska inledas, upprepades den information de medverkande hade fått tidigare innan vi startade intervjuerna. Detta för att försäkra att lärarna var väl införstådda med upplägget. Syftet med intervjun förklarades samt på vilket sätt de lämnade uppgifterna skulle komma att användas. Som introduktion till våra samtal fick de först tala om hur länge de arbetat som lärare, beskriva deras nuvarande klass och deras övergripliga tankar om att arbeta som lärare. Detta gjordes för att Denscombe (2009) menar att det är bra att inleda en intervju med ett översiktligt ämne som ska kännas relativt enkelt att svara på. Det kan leda till att informanten känner sig avslappnad och kan ge mer utförligare svar på de senare huvudfrågorna. Därefter gick vi igenom frågorna som förberetts i intervjuguiden och som berörda matematisk kommunikation. Alla frågor besvarades av alla lärare även om ordningen inte alltid blev densamma. Det förekom till exempel att lärare svarade på en fråga utan att den behövdes ställas och ibland berörde de teman om studiens frågor i början av intervjun även om det var tänkt att de skulle diskuteras i slutet. 4.5 Analys Denscombe menar att oavsett formen måste kvalitativa data förberedas och organiseras innan de låter sig analyseras (2009:370). För att underlätta analysen av intervjuerna spelades de in. Därefter transkriberades intervjuerna för att det skulle bli lättare att strukturera och förstå lärarnas svar. Kvale och Brinkman (2009) förklarar att transkribering innebär att intervjuer skrivs ner i ett dokument för att det ska bli lättare för forskaren att ta sig an materialet. Intervjuerna skrevs ut och lästes flera gånger för att 11

få en ökad förståelse för lärarnas svar. Genom att läsa igenom intervjuer flera gånger menar Denscombe (2009) även att det underlättar arbetet med att hitta detaljer och specifika betydelser. Intervjuerna i studien har sammanställts och jämförts med varandra för att kunna skapa teman som rör samma sak. Enligt Denscombe är det forskarens ansvar att se till att hitta dessa teman. Flera av lärarna i studien nämnde till exempel problemlösning som ett sätt att arbeta med matematisk kommunikation. Därav har alla lärarnas kommentarer om det området samlats under ett och samma tema. Dessa teman är tänkta att fungera som svar på studiens frågeställningar. För att komma fram till ett resultat i studien föreslår Denscombe (2009) att forskaren måste prioritera vissa områden och kanske lägga mindre vikt vid andra områden när intervjuerna ska omformuleras till ett resultat. Det förekom att lärarna som medverkade under studiens intervjuer även talade om sådant som inte var relevant för studiens syfte. Sådan information har inte tagits med i resultatet. Denna studie ledde till att tre teman framträdde till första forskningsfrågan, fem teman till den andra forskningsfrågan och slutligen två teman till den sista forskningsfrågan. Dessa utgör grunden när resultatet presenteras. Denscombe (2009) menar också att resultatet ska jämföras med teorier. Resultatet i den här studien jämförs med ett urval av forskning som berör matematisk kommunikation samt den sociokulturella synen på lärande. Anledningen till att resultatet jämförs med just det sociokulturella perspektivet är att Skolverket (2011) poängterar att undervisning ska bygga på elevers tidigare erfarenheter och att elever ska få möjlighet att samspela med varandra. Det sociokulturella perspektivet beskriver möjliga sätt att se på hur tanke och språk påverkar varandra. Perspektivet förespråkar även att elever behöver lära sig med stöd av någon som har mer kunskap, till exempel en lärare. Dessa tre aspekter är viktiga inom det sociokulturella perspektivet (Säljö, 2011). Det är relevant eftersom studiens syfte handlar om matematisk kommunikation och hur lärare låter sina elever arbeta med området. Vidare menar Säljö (2011) att denna syn på lärande framhäver att en elev kan behöva vägledning av någon som besitter mer kunskap. Detta kan också bidra med liknelser till att elever ska kommunicera matematik med varandra eftersom det då sker ett samspel mellan elever där får möjlighet att utbyta sin kunskap. Eftersom den här studien rör skola och undervisning jämförs även resultatet med läroplaner och Skolverkets (2011) kommentarer till läroplanen i matematik. 4.6 Överförbarhet, pålitlighet, trovärdighet och objektivitet Denscombe (2009) menar att det är viktigt att försäkra sig om att resultat som lyfts fram i en studie är korrekta. Ett sätt att göra det är att ta hänsyn till överförbarhet, pålitlighet, trovärdighet och objektivitet. Med överförbarhet menas huruvida studiens resultat kan generaliseras. Kvalitativa studier går på djupet men har ofta inte så många informanter eller fall som studeras. Därför kan det vara svårt att säga vilken relevans sådana studier har i större sammanhang (Denscombe, 2009). I den här studien har sex lärare intervjuats. Eftersom de endast utgör sex lärare av alla som arbetar som lärare i Sverige kan det vara svårt att säga om dessa lärares åsikter går att applicera i ett större sammanhang och om fler lärare skulle komma fram till ungefär samma resultat. Dock syftar inte kvalitativa studier till att ge bred information utan djup (Bryman, 2011). Samtliga lärare arbetar i södra Sverige vilket medför att den geografiska spridningen inte är så stor. Det som går att säga vad gäller överförbarhet i den här studien är att alla lärare ska arbeta med matematisk kommunikation, men eftersom lärare tolkar begreppet utifrån deras egna erfarenheter kan det dock skilja mellan hur lärare uppfattar ämnet. 12

Att en kvalitativ studie ska vara pålitlig innebär kortfattat att en annan forskare ska kunna genomföra samma undersökning med samma grupp informanter och få samma resultat (Bryman, 2011). Även om det praktiskt skulle vara svårt för en annan forskare att genomföra exakt samma undersökning har denna aspekt tagits i beaktning när studien genomförts. Metoden som har lett fram till studiens resultat är exempelvis dokumenterad för att andra ska kunna ta del av hur processen har gått till. Trovärdighet i kvalitativa resultat kan även kallas för validitet och innebär huruvida en forskares data kan anses vara korrekta eller ej. För att ge en så rättvis bild som möjligt av lärarnas svar vid intervjuerna i denna studie spelades de in och intervjuerna, har som tidigare nämnts, transkriberats. Detta är ett sätt att öka studiens trovärdighet. Objektivitet rör hur resultatet har påverkats av den som genomfört studien. Denscombe (2009) menar att det är omöjligt att inte påverka sin studie i någon riktning när det handlar om att tolka någon annans svar, vilket det gör när intervjuer genomförs och analyseras. Forskarens identitet och egna åsikter och värderingar spelar automatiskt in när kvalitativa data ska tolkas. Ett sätt att försöka minska att forskarens egna värderingar leder till missförstånd i tolkningarna av respondenternas svar är att ha ett öppet sinne och försöka skala bort sig själv. I den här studien spelades intervjuerna in och har blivit lyssnade på flera gånger för att förstärka att det är just informanternas svar som framkommer i resultatet och inte forskarens personliga åsikter. 4.7 Etiska överväganden Denscombe (2009) poängterar vikten av forskningsetik när en intervju genomförs. Det är till exempel viktigt att respektera integritet, värdighet och rättighet hos de personer som medverkar. Att vara informant ska således inte medföra någon risk. Vetenskapsrådet (2002) har formulerat fyra huvudkrav som vid undersökningar ska skydda individer som deltar. Det första huvudkravet är Informationskravet, vilket innebär att de som deltar i undersökningen måste känna till syftet med den. De verksamma lärarna som medverkar i den här studien fick veta syftet med intervjun i det mail som skickades ut till dem. Syftet upprepades sedan innan intervjun startades. Det andra huvudkravet från Vetenskapsrådet (2002) är Samtyckeskravet som betyder att det är frivilligt att medverka i undersökningen. Även den informationen framgick i det mail lärarna fick skickat till sig. Det tredje huvudkravet är Konfidentialitetskravet och innebär att personuppgifter inte ska vara tillgängliga för obehöriga. Detta krav informerades lärarna om både i mailet, där det stod att de skulle förbli anonyma, samt vid intervjutillfället. I studien har lärarna fiktiva namn och går inte att identifiera. Det fjärde huvudkravet är Nyttjandekravet. Det betyder att de uppgifter som samlas in om de medverkande endast får användas i forskningssyfte. Detta blev lärarna också informerade om innan intervjun startades. De inspelade intervjuerna raderades när studien var klar. 13

5 Resultat I följande avsnitt presenteras en sammanställning av lärarnas svar på studiens forskningsfrågor som rör hur lärare i årskurs 4-6 beskriver vad matematisk kommunikation innebär för dem, hur de arbetar med området samt vilka möjligheter och svårigheter som kan uppstå vid undervisningen. Varje fråga har fått ett eget avsnitt som ett sätt att förtydliga resultatet. Avsnittet avslutas med en resultatsammanfattning. 5.1 Hur beskriver lärare vad matematisk kommunikation innebär för dem? 5.1.1 Att prata matematik Lärarna är även överens om att kommunikation i matematik innebär att elever kan lära av varandra. De anser att det är bra att elever ofta får arbeta tillsammans och att de får hjälpa varandra. Erik menar att matematisk kommunikation för honom innebär att elever får prata matematik med varandra. Han menar att han hellre ser att elever frågar varandra innan de frågar en lärare. Det beror på att han anser att det skapas ett lärande när elever får förklara för varandra och att det på så sätt annars kan gå lärande till spillo om läraren förklarar istället för en annan elev. Vidare menar Erik att det är bra när hela klassen får ta del av varandras resonemang och strategier. Han menar även att kommunikation mellan elever är viktig för den matematiska processen. När elever framför vad de tillsammans har pratat om i helklass hjälper det dem att få en förståelse för matematiken. Även Sophie anser att hon upplever matematisk kommunikation handlar om att elever muntligt ska få samspela med varandra: För mig innebär det att eleverna får prata matematik. Till exempel att de får förklara hur de tänker, diskutera tillsammans och också att de kan använda olika begrepp i rätt sammanhang. Det är också något som sker tillsammans med andra och att få ta del av andras kunskap. (Sophie) 5.1.2 Medvetenhet om det egna lärandet Enligt Hanna innebär kommunikativ förmåga i matematik bland annat att eleverna kan resonera och förstå hur de lär sig. Hon anser att läroplanen är tydlig med att eleverna ska få resonera och förklara hur de tänker. Hanna menar att resonemang kan innebära att elever jämför sina strategier med varandra. När de resonerar får de också chans att tänka på sitt eget lärande och hur de själva lär sig bäst. Det är något som Hanna fokuserar mycket på, hon vill att eleverna ska bli självmedvetna om sitt lärande. Hon menar att det kan vara svårt för eleverna och att det därför är viktigt att de får mäjlighet till att träna på det. Hanna kopplar resonemang och kommunikativ förmåga i matematik till att elever ska kunna förstå hur de lär sig bäst. Hon menar att det är viktigt att de förstår vilka metoder och strategier de kan använda sig av och som passar dem. Även Susanna nämner att innebörden av matematisk kommunikation är att elever blir medvetna om sitt eget lärande. 14

5.1.3 Övergång till muntlig förklaring Johan menar att kommunikation i matematik innebär att elever kan förklara hur de tänker och att det är viktigt att de förstår varför de måste kunna göra det: Det är viktigt att de förstår vad det är som är viktigt när de räknar matte. Jag bryr mig egentligen inte om svaret som står i deras böcker eller som de kommer fram till utan hur de har gjort för att komma dit. På nationella prov får de inga poäng om de bara skriver rätt svar och de måste förstå varför. Det är så lätt att bara skriva av en kompis eller råka höra rätt svar någonstans. Jag vill veta hur just de har gjort för att komma fram till rätt svar. (Johan) Johan menar också att kommunikationen sker i olika led. Han vill inte vara den enda som är intresserad av att veta hur eleverna tänker och resonerar matematiskt. Han vill att de själva ska upptäcka hur spännande det är att få ta del av andras matematiska kunskaper. Enligt Johan ska kommunikationen ske både mellan eleverna och mellan honom och eleverna. Pelle menar att matematisk kommunikation kan upplevas som ett sätt att gå från den skriftliga matematiken, som de flesta barn är vana vid, till den muntliga. Han anser att det är ett samtalsämne och att kommunikationen ska hjälpa elever att förstå innebörden av matematik. Han menar att många elever är vana vid att att använda skrift i matematik men inte ord. När eleverna pratar matematik anser Johan att förståelsen för matematik ökar. Susanna menar också att eleverna måste få möjlighet att arbeta med matematik på andra sätt än att bara arbeta själva i sin matematikbok. Hon beskriver matematisk kommunikation som ett sätt att förstå vad som sker i matematiken. Hon menar att vissa elever är vana vid att tyst och stilla vid sin plats räkna i sin matematikbok. Hon liknar det vid att eleverna är robotar som mekaniskt är inställda på att ge läraren det rätta svaret utan att reflektera över det de faktiskt har räknat: Varför använder vi vissa metoder? När kan det vara bra att använda dem och när kan det vara bra att inte använda dem? Varför passar de inte just i den här uträkningen? När eleverna får prata om det här så kan de förstärka och utveckla det som de har i sina tankar. (Susanna) 5.2 Hur arbetar verksamma lärare för att utveckla elevers kommunikativa förmåga? 5.2.1 Arbeta tillsammans För att kunna få goda elevresultat krävs det en bra grund att stå på, det menar Johan. Han säger att det först och främst måste finnas en god stämning och trygghet bland eleverna för att de ska kunna arbeta tillsammans. Det första han gör när han träffar en klass är att försöka skapa ett tryggt klassrumsklimat. Han beskriver även att han är tydlig med vad han förväntar sig av eleverna. Förväntningarna ska vara höga men rimliga. Eleverna måste känna att lärare tror på dem. Johan anser även att det är viktigt med elevinflytande och att detta är viktigt även i andra sammanhang utöver den matematiska kommunikationen. Johan menar att dessa aspekter är viktiga för att elever ska kunna arbeta tillsammans och att han kan se vilka som arbetar bra tillsamamns och vilka som inte klarar av att arbeta ihop. 15

Hanna berättar att hon låter eleverna arbeta tillsammans som ett sätt att låta dem utveckla sin kommunikativa förmåga i matematik. Hon låter dem ofta arbeta i grupper, även i andra ämnen än matematik. Hon tror att eleverna utvecklar sitt eget lärande genom att diskutera och förklara sina tankar för andra. Hanna poängterar att vissa elever är mer pratsamma än andra men att hon generellt märker att eleverna uppskattar att få arbeta tillsammans. Tre av lärarna nämner metoden EPA som ett sätt att arbeta med kommunikativ matematik. De förklarar att EPA står för ensam, par, alla. Johan säger att det är en metod som han använder i fler ämnen än matematik. Han nämner även att det är en metod som han tror att de flesta lärare använder sig av även om de inte kallar den för just EPA. Metoden går ut på att elever först ska få chansen att lösa en uppgift själva. Johan menar att eleverna då ska läsa igenom uppgiften och försöka lista ut vilken strategi som kan vara möjlig att använda. därefter får de diskutera uppgiften med en kompis och slutligen går klassen igenom de rätta svaren och uträkningarna tillsammans i helklass. Även Sophie berättar att EPA kan vara ett av många sätt att arbeta med den kommunikativa förmågan i matematik. Hon menar att metoden fungerar för all typ av kommunikation eftersom syftet är att eleverna ska få tid att själva tänka och sedan jämföra sina strategier med varandra. Om en elev inte kan lösa en uppgift kan det bli bra träning för den elev som får öva på att förklara för någon annan hur hen har tänkt. Pelle menar att han använder gemensamma genomgångar som ett tillfälle för eleverna att lära både av läraren och varandra. Han försöker undvika matematikboken så mycket som möjligt även om han ser den som ett bra stöd. Om det sedan tidigare är bestämt att hans elever ska arbeta med ett särskilt kapitel eller några uppgifter ur matematikboken så brukar klassen ha genomgångar tillsammans där de samtalar om det som står i boken. Susanna beskriver att hon lägger stor vikt vid att vänja sina elever vid hur de arbetar med den kommunikativa förmågan i matematik. Hon anser att lärare måste vara tydliga med att förklara vilket syfte olika arbetsmoment eller uppgifter har: När vi ska prata matematik, som barnen och jag kallar det, så vet de innan hur det ska gå till. Vi arbetar alltid i grupper då och vi har ett bestämt upplägg för att göra dem medvetna om vad det är de ska fokusera på och lära sig. Ett stående moment är att de ska använda sig av korrekt matematiskt språk och att de kan använda sig av de olika begreppen i matten. De vet också om att vi respekterar varandra och att vi lyssnar till de förslag som de kanske vet med sig inte är rätt. Det är en sådan sak som de har fått lära sig att jaha, bara för att den där uträkningen var fel så betydde inte det att vi inte lärde oss något av att studera den. (Susanna) 5.2.2 Problemlösning Sophie menar att även problemlösning är ett sätt som låter elever utveckla sin kommunikativa förmåga i matematik. Hon berättar att hennes skola har medverkat i matematiklyftet som har handlat om problemlösning: Vi har medverkat i mattelyftet som har handlat om problemlösning. Inom det området är det ju nästan omöjligt att inte tangera kommunikationen. Där kan de få chansen att både resonera om vad själva problemet är och sen givetvis också 16