Luftmotstånd (F luft ). Denna kraft ökar med stigande hastighet och vi kan som en relativt god approximation anta att den är direkt proportionell mot

Kapitel 2 Grundbegrepp 2.1 Introducerande exempel För att introducera den problematik och de frågeställningar som är aktuella inom reglertekniken skall vi i det följande betrakta ett par enkla exempel på reglerproblem. Exempel 2.1 - Farthållare. Betrakta automatisk farthållning i en bil, vars avsikt är att hålla konstant hastighet. På grund av ständigt varierande förhållanden, såsom upp- och nerförsbackar, varierande vindstyrka, vägunderlag m.m. bör gaspedalens läge kontinuerligt justeras för att en konstant hastighet skall kunna upprätthållas. För att undersöka hur detta kan åstadkommas bör vi undersöka hur bilens hastighet y beror av de olika ovan beskrivna faktorerna samt hur vi med hjälp av gaspedalens läge kan påverka hastigheten. För detta behöver vi en matematisk modell som beskriver sambandet mellan de ingående storheterna. En sådan modell kan, åtminstone approximativt, bestämmas med hjälp av enkel mekanik. Situationen kan illustreras enligt gur 2.1. Enligt Newtons tröghetslag gäller am = F (2.1) där a = dy= är accelerationen, m är bilens massa och F är den totala kraften som påverkar bilen i färdriktningen. Bilen påverkas av följande krafter: Motorns framdrivande kraft F d. Vi antar för enkelhets skull att denna kraft är direkt proportionell mot gaspedalens lägesvinkel u, F d (t) =ku(t) (2.2) Vi antar således att motorn reagerar ögonblickligen på gaspedalens läge (vilket givetvis är en approximation). Gravitationskraftens komponent F g ivägen plan (jfr gur 2.1), där '(t) är vägens lutning (' =0motsvarar plan väg). F g (t) =,mg sin('(t)) (2.3) 3

Luftmotstånd (F luft ). Denna kraft ökar med stigande hastighet och vi kan som en relativt god approximation anta att den är direkt proportionell mot skillnaden mellan hastigheten y och vindhastigheten v vind i bilens färdriktning, där b är en luftmotståndskoecient. F luft (t) =,b[y(t),v vind (t)] (2.4) Friktionsmotstånd från däck, F f (t). Vi antar att denna kraft, som är riktad mot bilens färdrikting och därför negativ, beror endast av vägunderlaget. Eftersom a = dy= ger ekvation (2.1) med F = F luft + F d + F g + F f, eller m dy(t) =,b[y(t), v vind (t)] + ku(t) +F g (t)+f f (t) (2.5) m dy(t) + by(t) =ku(t) +d(t) (2.6) där d(t) =bv vind (t) +F g (t)+f f (t). I modellen (2.6) anger y den variabel som skall regleras (hastigheten, som skall hållas konstant), u anger den variabel som manipuleras för att påverka systemets beteende (gaspedalens läge), och d(t) anger en yttre störning som påverkar den reglerade variabeln, och som i detta exempel består av vindens inverkan, gravitationskraften och friktionsmotståndet. Vi skall återkomma till problemet hur automatisk farthållning kan åstadkommas, men före det skall vi betrakta ytterligare ett exempel. Figur 2.1: Schematisk illustration av farthållningsproblemet. Modellen (2.6) känns igen som en dierentialekvation, närmare bestämt en linjär dierentialekvation av första ordningen. De system som är aktuella inom reglertekniken beskrivs vanligen just av dierentialekvationer. För att illustrera saken betraktar vi följande exempel. 4

Exempel 2.2 - Temperaturreglering. Betrakta ett temperaturregleringsproblem enligt gur 2.2. Temperaturen T i ett rum skall hållas konstant trots variationer i yttertemperaturen T y. Värmeförlusterna genom väggarna är direkt proportionella mot temperaturskillnaden T, T y, dvs eektförlusterna ges av Eekt ut = k(t, T y ) (2.7) Temperaturen kan regleras med hjälp av eekten P i ett värmeelement. Vi antar för enkelhets skull att luftens omblandning är god, så att temperaturen kan anses densamma i hela rummet. Om P är mindre än värmeförlusten genom väggarna kommer T att minska, och om P är större än värmeförlusten genom väggarna kommer T att öka. Enligt en enkel energibalans för rummet är 2 3 Ändring av 4 upplagrad energi5 =[Eekt in], [Eekt ut] (2.8) per tidsenhet Den totala mängden luft i rummet är V, där är luftens densitet och V är rummets volym. Ändringen av upplagrad energi per tidsenhet är således cv dt, där c är luftens specika värmekapacitet. Vi får alltså cv dt = P, k(t, T y) (2.9) eller cv dt + kt = P + kt y (2.10) Modellen (2.10) kan jämföras med modellen (2.6) i farthållningsproblemet. I modellen (2.10) anger T den variabel som skall regleras (temperaturen), P anger den variabel som manipuleras för att påverka systemets beteende (eekten till värmeelementet), och T y är en yttre störning som påverkar den reglerade variabeln. Vi har sett att såväl bilen i exempel 2.1 som temperaturen i exempel 2.2 kan beskrivas med hjälp av en dierentialekvation. Detta är typiskt för s.k. dynamiska system. I de enkla exemplen ovan ck vi dierentialekvationer av första ordningen. I allmänhet brukar systemen emellertid vara mera komplicerade, och man får dierentialekvationer av högre ordning. Eftersom systemen i exemplen ovan kan beskrivas av samma typer av ekvationer, så kan reglerproblemen i de båda fallen lösas genom att studera det generella problemet att reglera system som beskrivs av dierentialekvationer. Vi behöver alltså inte studera farthållningsreglering, temperaturreglering, osv separat, utan det räcker med att helt generellt studera regleringen av system som beskrivs av en viss typs dierentialekvationer. Däremot är givetvis den praktiska implementeringen (såsom mätapparatur m.m.) problemspecik. Ur det ovan sagda följer att reglerteknik är en generisk metodvetenskap som inte är bunden till någon speciell del av tekniken. På engelska talar man om 'enabling technology', för att betona att det är frågan om en metodik som gör det möjligt att realisera önskade beteenden och funktioner hos tekniska system. I detta avseende har reglertekniken likheter med ingenjörsmatematiken och datatekniken. Reglertekniska problem är viktiga inom alla delar av tekniken och reglerteknik är därför ett ämne som studeras inom era ingenjörsområden, såsom: 5

Figur 2.2: Schematisk illustration av temperaturregleringsproblemet. Elektroteknik. Reglering av elmotorer, reglering av spänningsaggregat, UPS m.m. Robotik. Reglering av robotar rörelse, automatisk navigation m.m. Mekanik. Varvtalsreglering av motorer, aktivfjädring, ABS bromsar m.m. Processteknik Höga kvalitetskrav på framställda produkter, begränsningen av t.ex. råmaterialanvändning, energiförbrukning och utsläpp till ett minimum skulle inte kunna uppnås utan långt gående reglering och automation av processerna. Reglertekniken utgör ett av de viktigaste verktygen för att uppnå kvalitets- och produktivitetkraven inom processindustrin. Datateknik. Reglering förverkligas i praktiken med hjälp av datorer. Regler- och styrprogrammen är realtidssystem och dessutom ofta inbyggda system. Reglering och automation hör till de viktigaste tillämpningsområdena av datateknik. Reglerproblem är, såsom vi skall se, också av intresse utanför tekniken, t.ex. inom ekonomin eller medicinen. Mera teoretiska aspekter av reglerproblem studeras dessutom i tillämpad matematik. 6

2.2 Signaler och system Vi har i samband med exemplen ovan talat om variabler, såsom y(t), u(t) osv, som är funktioner av tiden. Sådana variabler kallas signaler, och de kan karakteriseras genom att de innehåller information av olika slag. Signalen y(t) i exempel 2.1 ger t.ex. information om bilens hastighet som funktion av tiden. Förutom signaler har vi system, som kännetecknas av den verkan de har på signaler. Bilen i exempel 2.1 är ett system som beskriver hur signalen y(t) beror av signalerna u(t) och d(t). 2.2.1 Blockschema Man brukar ange sambanden mellan olika signaler och system i form av blockscheman. Figur 2.3 visar ett system S med två insignaler, u(t) och d(t), samt enutsignal y(t). Här är u(t) en styrsignal, som vi kan manipulera för att påverka systemet, medan d(t) är en störning, som vi ej kan manipulera men som påverkar systemet. Signalen y(t) är en utsignal från systemet, som vi kan mäta. u - S d? - y Figur 2.3: Ett system S med styrsignalen u, störningen d och utsignalen y. Exempel 2.3 Bilen i exempel 2.1 är ett system med styrsignalen u(t) (gaspedalens läge) och störningen F g (gravitationskraften), samt utsignalen v(t) (hastigheten). Själva systemet beskrivs av sambandet mellan insignalerna och utsignalerna, dvs dierentialekvationen (2.6). Blockschema är bekväma för att åskådliggöra strukturen hos sammansatta system. Konstruktionen av blockschema kan göras med hjälp av elementen i gurerna 2.42.6. Figur 2.4 visar två seriekopplade system, där utsignalen y1 från systemet S1 är insignal till systemet S2. Figur 2.5 visar förgrening av en signal. Observera att signalerna här uppfattas som funktioner eller informationsöden, och förgreningen skapar således två identiska kopior av signalen u. Kombination av två signaler genom addition eller subtraktion symboliseras med en cirkel enligt gur 2.6. Mera komplexa systemkopplingar kommer att behandlas längre fram. 2.2.2 Statiska och dynamiska system Det är viktigt att skilja mellan statiska och dynamiska system. Ett statiskt system kännetecknas av att utsignalen y(t) är beroende av endast insignalens värde u(t) vid samma tidpunkt, dvs y(t) =f(u(t)) (2.11) 7

y1 u - S1 - S2 - y Figur 2.4: Seriekopplade system. u - u u - Figur 2.5: Förgrening av signal. där f (u) är funktion. Figur 2.7 visar insignalen och utsignalen hos ett statiskt system, då det sker stegvisa förändring i insignalen. Utsignalen följer insignalen ögonblickligen, utan någon tröghet. I motsats till statiska system har dynamiska system en tröghet som gör att utsignalen y(t) är beroende av tidigare värden på insignalen u, dvs y(t) =F(u(); t) (2.12) Dynamiska system system kan vanligen modelleras med hjälp av dierentialekvationer, av vilka vi sett exempel på i exempel 2.1 och 2.2. Problem 2.1 Beskriv en elektrisk krets bestående av ett motstånd med resistansen R som ett system, där spänningen u(t) över motståndet är insignal och strömmen i(t) är utsignal. Är systemet statiskt eller dynamiskt? Problem 2.2 Beskriv en elektrisk krets bestående av en spole med induktansen L i serie med ett motstånd med resistansen R som ett system, där spänningen u(t) över kretsen är insignal och strömmen i(t) är utsignal. Är systemet statiskt eller dynamiskt? Exempel 2.4 Enkelt dynamiskt system. Betrakta ett dynamiskt system y = Su (2.13) 8

u1 + + - h 6 u1 + u2 - u1 +, 6 u1, u2 - h - u2 u2 (a) (b) Figur 2.6: Summering (a) och subtraktion (b) av signaler. som beskrivs dierentialekvationen dy(t) + ay(t) = bu(t) (2.14) Figur 2.8 visar insignalen u(t) och utsignalen y(t) hos systemet för stegvisa förändringar i insignalen. Parametervärdena a =1,b =1har använts i guren. Vi kan i detta skede göra några kvalitativa observationer av systemets beteende. Observera att på grund av systemets tröghet dröjer det en stund innan utsignalen fått sitt nya värde efter insignalens förändring. Om insignalen u är konstant, dvs u(t) = u0 = konstant, kommer utsignalen y att asymptotiskt närma sig värdet y = b a u 0 (ty för detta värde är dy= = 0 och ingen ytterligare förändring hos y fås). Storheten b kallas systemets statiska förstärkning. Systemets dynamiska, eller transienta, beteende bestäms å sin sida av parametern a: ju större positivt värde a a har, desto snabbare varierar y(t). Detta kan ses om man denierar avvikelsen (dierensen) y diff (t) från det nya stationärvärdet efter stegförändringen u0, dvs y diff (t) = y(t), b a u 0. Eftersom dy diff (t)= = dy(t)= och ay diff (t) =ay(t), bu0 ger insättning i (2.14) följande dierentialekvation för y diff (t): dy diff (t) + ay diff (t) =0 (2.15) Vi ser att för en given avvikelse y diff (t) gäller att derivatan dy diff (t)= = dy(t)= är desto större ju större värde parametern a har. Detta innebär att systemet reagerar desto snabbare ju större värde parametern har. Systemets transienta och statiska responser kan anges mera explicit i systemekvationen genom att skriva denna i formen T dy(t) + y(t) =Ku(t) (2.16) 9

1.2 1 0.8 0.6 u 0.4 0.2 0 0.2 0.6 0.5 0.4 0.3 y 0.2 0.1 0 0.1 2 0 2 4 6 8 10 tid Figur 2.7: Responsen hos ett statiskt system. där K = b=a är den statiska förstärkningen och T = 1=a kallas systemets tidkonstant, och är direkt proportionell mot den tid som det tar för systemet att reagera för en förändring i insignalen. Trögheten hos dynamiska system beror vanligen på olika typers energiupplagring eller på transportfördröjningar. I farthållningsexemplet är det bilens upplagrade rörelseenergi som ger upphov till trögheten, och i temperaturregleringexemplet är det den i luften lagrade värmeenergin. I Problem 2.2 lagras energi i spolens elektromagnetiska fält. Trögheten gör att insignalen u(t) till ett dynamiskt system påverkar det framtida förloppet hos systemets utsignal y(t). För att kunna reglera och styra dynamiska system är det därför viktigt att ha en modell som beskriver det framtida beteendet hos systemet. 2.3 Systemtekniska ämnen Signaler och system är viktiga inte endast inom reglertekniken, utan mera allmänt inom s.k. systemvetenskaper. Speciellt viktiga är dessa begrepp inom signalbehandling. Medan man inom reglertekniken använder information i uppmätta signaler för att kunna påverka ett system så att det beter sig på önskat sätt, är man inom signalbehandlingen intresserad av att manipulera själva signalerna, t.ex. för att ltrera bort brus eller komprimering av data som en signal innehåller. Exempel 2.5 - Eektreglering i mobiltelefoni. Den mottagna signalstyrkorna från de olika mobiltelefonerna till basstationen hålls konstanta oavsett avståndet till basstationen, jfr gur 2.9. Detta sker genom att basstationen sänder information om den mottagna signalstyrkan till mobiltelefonen, som ändrar eekten på den utsända signalen enligt behov. Detta är ett reglerproblem: mätningar från systemet (styrkan hos mottagen signal) används för att manipulera systemet (den utsända signalens eekt). 10

1.2 1 0.8 0.6 u 0.4 0.2 0 0.2 1.2 1 0.8 0.6 y 0.4 0.2 0 0.2 2 0 2 4 6 8 10 tid Figur 2.8: Respons hos systemet som beskrivs av ekvation (2.14) för stegformiga förändringar i insignalen. Exempel 2.6 - Signalltrering i mobiltelefoni. Signalen mellan basstation och mobiltelefon påverkas på grund av ervägsutbredning, jfr gur 2.10. Detta kan beskrivas med hjälp av ett system S som påverkar den utsända signalen s: y = Ss (2.17) där y är den vid telefonen mottagna signalen. Den ursprungliga signalen s kan rekonstrueras från den mottagna signalen y genom att bestämma ett lter F, så att ^s = Fy s (2.18) För att kunna bestämma ltret F bör systemet S vara känt. Detta är ett signalbehandlingsproblem: signalen från systemet ltreras för att ta fram den ursprungliga signalen, men själva systemet manipuleras inte. 2.4 Begreppet återkoppling Vi skall nu titta något närmare på de principer som används för att lösa reglerproblem av den typ som diskuterats ovan. Vi betraktar farthållningsproblemet i exempel 2.1. Bilens hastighet kunde (åtminstone approximativt) beskrivas med dierentialekvatioen (2.6), som vi här återger i något modierad form: dy(t) + a1y(t) = b1u(t)+c1d(t) (2.19) där a1 = b=m, b1 = k=m och c1 =1=m. Anta nu att den önskade hastigheten, eller hastighetens börvärde, är y(t) =r(t.ex. r =80km/h). Enligt modellen (2.19) är y(t) =r om vi väljer insignalen u(t) = 1 b1 [a 1r,c1d(t)] (2.20) 11

Figur 2.9: Mobiltelefonerna justerar den utsända eekten på basen av den mottagna signalstyrkan vid basstationen. Figur 2.10: Den mottagna signalen y vid mobiltelefonen är förvrängd på grund av ervägsutbredning. Den ursprungliga signalen s kan rekonstrueras genom ltering av y. ty då är dy= = 0 för det önskade värdet y(t) = r. Insignalvalet (2.20) ger således det önskade stationära värdet hos y. Enligt (2.20) och (2.19) ges den transienta responsen, då hastigheten y(t) är olikt r, av dy(t) + a1y(t) = a1r (2.21) Detta är ett system av första ordningen, med en dynamik av den typ som vi hade i exempel 2.4. Om y(t) är olikt r i början, tar det därför en tid innan hastigheten närmat sig r. Trots att ovan beskrivna förfarande verkar att fungera i teorin har den emellertid några uppenbara nackdelar: Metoden kräver att störningen d(t) är exakt känd. M.a.o. skall gravitationskraften F g (t), luftmotståndet bv vind (t) samt friktionsmotståndet F f vara exakt kända för att proceduren skall kunna tillämpas. Vi kunde förstås i princip mäta vägplanets lutning ' och bilens massa m, och därmed bestämma F g (t) = mg sin('(t)). Även luftmotståndet kan uppskattas genom att noggrant bestämma luftmotståndskoecienten b och vindstyrkan v vind (t). Detta förfarande har den uppenbara nackdelen att den fordrar 12

r d? -+ e e - u y G c - G p -, 6 Figur 2.11: Ett återkopplat system. noggrann kännedom om alla störningar (F g (t);v vind (t);f f osv) och andra faktorer (såsom b) som påverkar den reglerade utsignalen. I praktiken är det emellertid i allmänhet helt orealistiskt att ha fullständig kunskap om alla störningar som påverkar ett system. Även om kännedom om alla faktorer som påverkar y(t) funnes, har vi inte påverkat snabbheten hos dynamiken i ekvation (2.21). Svarets snabbhet bestäms av a1 = b=m. Om m är stort kan förändringen i hastigheten ske mycket långsamt! Begränsningen med det ovan beskrivna förfarandet är att man försöker bestämma styrsignalen u(t) som en funktion av endast sådana variabler som påverkar den reglerade signalen y(t), men utnyttjar ej mätningar av själva y! Genom att också utnyttja mätning av y(t) får vi information om avvikelsen från det önskade värdet, r, y(t). Genom att utnyttja denna mätning kan otillräcklig kunskap om störningarna och systemet kompenseras. Dessutom är det möjligt att göra systemets respons snabbare. Principen att bestämma styrsignalen u(t) som funktion av den reglerade utsignalen kallas återkoppling (eng. feedback;. takaisinkytkentä). Situationen illustreras i gur 2.11, som visar hur utsignalen y(t) från systemet G p återkopplas för att bestämma styrsignalen. Kretsen i gur 2.11 kallas återkopplad krets eller sluten krets. Blocket G c kallas regulator. Signalen r är börvärdet eller ledvärdet för utsignalen y, och signalen e(t) =r,y(t) (2.22) är regleravvikelsen eller reglerfelet. Det visar sig att återkopplingsprincipen i all sin enkelhet är en mycket kraftfull metod för att påverka dynamiska systems beteende. Vi skall illustrera eekten av återkoppling genom att undersöka vad som händer om vi använder den enkla reglerlagen u(t) =u r +K p [r,y(t)] = u r + K p e(t) (2.23) dvs regulatorn är en konstant, G c = K p. Här är u r en lämpligt vald referensnivå, som väljs för att undivika negativa värden u(t) då y(t) > r. Reglerlagen (2.23) kallas proportionell regulator eller helt enkelt P-regulator, eftersom styrsignalen u(t) är direkt proportionell mot regleravvikelsen r, y(t). Substitution av (2.23) i systemekvationen (2.19) ger för den slutna kretsen dierentialekvationen dy(t) +(a1+b1k p )y(t)=b1k p r+b1u r +c1d(t) (2.24) 13

Vi ser att för en konstant stegstörning d(t) = d, konvergerar utsignalen mot det statiska svaret (jfr exempel 2.4) y(t)! b 1K p 1 r + (c1d + b1u r ) då t!1 (2.25) a1 + b1k p a1 + b1k p För stora värdet på regulatorparametern K p gäller enligt (2.25) y(t) r då t!1. Förutom det statiska svaret har även den transienta responsen påverkats. Eftersom systemets transienta respons beror av värdet hos storheten a1 + b1k p, kan den i princip göras goyckligt snabb genom att göra K p stor. Vi har således med den enkla proportionella reglerlagen (2.23) kunnat minska störningarnas inverkan samt gjort systemets transienta respons snabbare utan att mäta störningarna d(t). Resultatet beror inte heller av någon kunskap om systemparametern a1. Fullständig eliminering av en stegstörnings inverkan kräver emellertid ett oändligt stort värde på K p. Det visar sig att K p i praktiken inte kan göras hur stort som helst, eftersom t.ex. små tidsfördröjningar, som alltid nns i verkliga system, då gör att den slutna kretsen blir instabil. (I farthållningsexemplet har vi t.ex. försummat motorns dynamik.) De begränsningar som stabilitetskravet innebär kommer att diskuteras senare. För att undvika statiska regleravvikelser efter en stegstörning behöver vi i stället för P- regulatorn en reglerlag som kontinuerligt justerar u(t) så länge y(t) är olikt referensvärdet r. M.a.o. skall u(t) ökas så länge y(t) <roch minskas så länge y(t) >r, tills ett sådant värde för u(t) uppnåtts för vilket y(t) = r. Detta är precis vad en människa skulle göra för att reglera y(t) till börvärdet. Matematiskt kan en sådan reglerlag beskrivas med hjälp av en integrator i formen Z t Z t u(t) =K i =0 [r, y( )] d = K i e( )d (2.26) =0 Reglerlagen (2.26) kallas integrerande regulator eller helt enkelt I-regulator. Principen hos en I-regulator är den, att så länge r, y(t) > 0 ökar integralens värde, varvid u(t) blir större och får värdet hos y(t) att växa. Detta håller på tills y(t) =r, dvs regleravvikelsen har körts till noll, varefter u(t) har ett konstant värde. En liknande funktion gäller om r, y(t) < 0. På detta sätt elimineras inverkan av stegstörningar så att ingen statisk avvikelse fås. Observera att detta har uppnåtts utan att känna till stegstörningens storlek! En svaghet hos I-regulatorn är att eftersom regleravvikelsen r, y(t) integreras blir I- regulatorns respons mot reglerfel långsam. I-regulatorns förmåga att eliminera statiska regleravvikelser och P-regulatorns snabba respons kan kombineras i PI-regulatorn Z t u(t) =K p e(t)+k i e( )d (2.27) =0 Observera att PI-regulatorn reagerar först då ett reglerfel orsakad av en störning redan förekommer, dvs e(t) =r,y(t)6=0. För att förekomma en regleravvikelse redan innan den hunnit uppstå inför man därför vanligen ytterligare en deriverande term i regulatorn. På detta sätt fås en PID-regulator, som ges av Z t u(t) =K p e(t)+k i =0 e( )d + K de(t) d (2.28) 14

Avsikten med den deriverande termen är att få styrsignalen u(t) att reagera på förändringsriktningen hos y(t), för att på detta sätt kunna motverka en regleravvikelse redan innan den hunnit uppstå. På detta sätt kan regulatorns respons göras snabbare. I praktiken kan den deriverande verkan K d emellertid inte göras hur stor som helst, eftersom regulatorn då blir alltför känslig mot det brus som man alltid har i praktiken. PID-regulatorn är den överlägset vanligaste standardregulatorn för enkla reglerproblem i industrin och andra tekniska system, och den nns implementerad i alla processdatorsystem. För mera komplicerade reglerproblem, där systemet som skall regleras har ett mera komplicerat dynamiskt beteende, behövs dock mera invecklade reglerstrategier. En ännu enklare regulatorn är på-av-regulatorn eller ON-OFF-regulatorn. I en på-avregulator har styrsignalen u endast två värden: u max och u min,ochvärdet bestäms beroende på om systemets utsignal är större eller mindre än ledvärdet, t.ex. u(t) = umax om y(t) <r u min om y(t) >r (2.29) På-av-regulatorer används i enkla system som ofta har en långsam dynamisk respons, och för vilka det räcker med att y(t) är i närheten av ledvärdet r. Typiska tillämpningar av på-av reglering är olika typer av temperaturregleringsproblem (jfr exempel 2.2), såsom reglering av temperaturen i hus eller bilar, kylskåp, strykjärn, osv. Här slås uppvärmningen på eller av beroende på temperaturen. Det diskontinuerliga funktionssättet hos regulatorn får utsignalen (temperaturen) att svänga kring ledvärdet, men detta kan mycket väl accepteras i de esta temperaturregleringsproblem. 2.5 Digital reglering Regulatorer implementeras idag nästan uteslutande digitalt med hjälp av datorer. Detta innebär att den ovan beskrivna PID-regulatorn kan förverkligas endast approximativt. Figur 2.12 visar ett typiskt digitalt reglersystem. Den kontinuerliga utsignalen y(t) diskretiseras med hjälp av en A/D-omvandlare, som genererar en diskret sekvens, y k = y(kh); k =0;1;2;::: (2.30) Här är h samplingstiden (eng. sampling time;. näytteenottoväli). Sekvensen y k ;k =0;1;2;::: processeras sedan digitalt för att generera en diskret styrsignalsekvens u k ;k =0;1;2;::: till systemet. För system med en kontinuerlig dynamik bör den diskreta styrsignalen omvandlas till en kontinuerlig styrsignal u(t) till systemet. Detta utförs med en D/A-omvandlare, som genererar en styckevis konstant styrsignal enligt uh(t) =u k ; kh t<kh+h (2.31) Efter D/A-omvandlaren brukar man ännu ha ett lter H för att utjämna diskontinuiteterna hos u H (t). Den digitala regulatorn G d som beräknar styrsignalen u k ur mätsignalen y k kan bestämmas på olika sätt. Om samplingstiden är kort är en vanlig metod att helt enkelt diskretisera 15