Räkning med decimaltal

Gard Brekke Räkning med decimaltal I denna artikel beskrivs och diskuteras sådana uppfattningar som kommit fram när man studerat hur elever räknar med tal i decimalform. De uppfattar ibland talen som par av hela tal. De har svårt att förstå att man kan dividera ett mindre tal med ett större. Även det omvända upplevs som svårt när nämnaren är mindre än ett. I denna artikel tänker jag diskutera centrala missuppfattningar som visar sig när elever skall använda räkneoperationer med decimaltal. Som det påpekades i artikeln Uppfattningar om decimaltal (Brekke, 1995), är decimaltal inte bara nya tal som ska få en mening, utan tankemodellerna för räkneoperationerna förändras också när decimaltal och bråk införs i skolmatematiken. Således grundas vissa av de svårigheter som vi ser i detta avsnitt i de ovan nämnda problemen, medan andra har sin grund i missuppfattningar relaterade till räkneoperationerna. Jag pekade flera gånger på missuppfattningen, att ett decimaltal är ett par hela tal, som förmodligen ligger bakom många av de svårigheter som elever får i sitt arbete med decimaltal. Svaren på uppgiften 4009 är ett exempel på detta (Uppslaget, 1995). 4009 Addera 0,1 och skriv svaret. a. 4,256 b. 3,9 c. 6,98 d. 5,4 e. 7,03 Tabellen visar frekvenserna av korrekta svar tillsammans med frekvenserna av de fel som uppkommer genom att tillsätta 1 till det eleverna uppfattar som ett heltal till höger om kommatecknet. De uppfattar decimaltal som ett par av hela tal. 4009 åk 4 åk 6 åk 8 a 4,356 29 65 84 4,257 41 20 5 b 4 eller 4,0 50 77 91 3,10 24 12 3 c 7,08 19 55 73 6,99 47 27 12 d 5,5 eller 5,50 71 88 93 e 7,13 29 64 84 7,04 40 24 9 Vi ser att i sådana uppgifter, där många elever använder den vanliga algoritmen för addition av decimaltal, är denna missuppfattning mest utbredd i uppgift c där heltalsdelen förändras, och e där nollan är en platshållare. I ett antal 1

uppgifter ombeds eleverna skriva svar på uppställda räkneuttryck. I det följande kommer vi att diskutera några av dessa. 4001 Skriv svaret a. 4 2,4 = b. 0,12 : 2 = Frekvenserna för korrekta svar och de vanligaste felsvaren på dessa uppgifter: 4001 a åk 4 åk 6 åk 8 9,6 20 66 78 8,16 13 7 5 8,4 17 3 2 4001 b 0,06 8 46 51 0,6 35 27 30 6 16 4 2 Svaret 8,16 fås genom att multiplicera både 2 och 4 med 4. Man infogar så ett komma igen (som ett skiljetecken) mellan de två svaren. Det är rimligt att tro att många av de elever som gör detta, uppfattar decimalatal som par av hela tal på samma sätt som i additionsexemplen på föregående sida. Svaret 8,4 fås när man endast multiplicerar heltalsdelen av talet. Missuppfattningen att decimaltal är ett par av hela tal spelar en viktig roll för svaret 0,6. Jag skulle också vilja kommentera följande delfrågor från en uppgift i Problemavdelningen (Rosén, 1995). 2219 Skriv svaren som ett helt tal eller ett decimaltal. Skriv NEJ om du tror det inte finns något svar. c. 3 : 6 = d. 3 : 0,5 = 2219 c åk 4 åk 6 åk 8 0,5 eller likn 11 42 68 2 22 20 6 NEJ 44 26 12 De två felaktiga svaren som visas i tabellen visar på två vanliga missuppfattningar. De som svarade 2, har förmodligen dividerat 6 med 3. Det är en vanlig missuppfattning att man inte kan dividera ett litet tal med ett stort. Därför vänder några elever på divisionen. Vi säger att de reverserar. På ett sätt tror de att ordningen på talen i divisionen inte spelar någon roll. Andra elever svarar NEJ med grund i samma tänkande. Bakom svaret 0,6 i uppgift d kan en missuppfattning vara att division gör svaret mindre. Man dividerar (eller multiplicerar med 2) och väljer 0,6 i stället för 6 eftersom 6 ser för stort ut. 2219 d åk 6 åk 8 6 21 51 0,6 6 5 NEJ 34 15 1,5 (multiplikation) 7 10 2

Svaret NEJ kan komma sig av att eleverna har liten praktisk erfarenhet av att dela med ett tal mindre än 1. Se mer om detta här nedan. Räkneuttryck som passar I testmaterialet finns det två typer av uppgifter där en textuppgift ges. Till dessa textuppgifter ska man i den ena typen välja ett räkneuttryck bland ett antal givna uttryck. I den andra ska man skriva ett räkneuttryck som man kan använda för att finna ett godtagbart svar på den givna textuppgiften. Uppgifter av denna typ ger bra information om förståelsen av aritmetiska operationer. Den första typen kan hittas i: 6004 Ringa in alla räkneuttryck som passar till uppgiften a. För 7 kort måste du betala 35 kronor. Hur mycket kostar ett kort? 35 7 35 : 7 7 : 35 7 35 35 7 7 + 35 b. 25 halsband packas i en ask. Om 25 halsband väger 3 kg, hur mycket väger då 1 halsband? 25 3 25 : 3 3 : 25 3 25 25 3 3 + 25 c. 1 kg korv kostar 49,50 kr. Per köper 1,7 kg. Hur mycket kostar det? 49,50 7 49,50 : 1,7 1,7 : 49,50 1,7 49,50 49,50 1,7 d. 1 kg köttfärs kostar 69 kr. Kari köper 0,6 kg. Hvor mye koster det? 69 0,6 69 : 0,6 0,6 : 69 0,6 69 69 0,6 e. Kakor ska läggas i lådor med 0,75 kg i var. Hur många lådor behövs för 6 kg kakor? 6 0,75 6 : 0,75 0,75 : 6 0,75 6 6 0,75 6 + 0,75 Uppgift a är en divisionsuppgift där man kan använda både delningsdivision och innehållsdivision som tankemodell. De vanligaste svaren ges i tabellen nedan. 6004 a åk 4 åk 6 åk 8 35 : 7 27 59 75 7 : 35 15 4 2 Både 35 : 7 och 7 : 35 25 24 10 35 7 9 2 0 Både 35 7 och 7 35 7 6 9 Vi märker att de flesta elever i alla årskurser inser att här måste de använda division för att få rätt svar. Det är något förvånande att så många tror att de kommer att få korrekt svar på uppgiften med både 35 : 7 och 7 : 35. De tror alltså att division är kommutativ på samma sätt som addition och multiplikation. Vi lägger också märke till att det finns ungefär lika många elever i alla årskurser som tror att man ska multiplicera talen. Det finns ett fåtal som vänder på räkneoperationen i denna uppgift i motsats till vad vi finner i uppgiften nedan. I uppgift b är det mest naturligt att man använder delningsdivision som tankemodell. I denna uppgift kommer det för korrekt svar att krävas att man dividerar ett litet tal med ett stort. De vanligaste svaren på denna uppgift visas i tabellen nedan. 3

6004 b åk 4 åk 6 åk 8 3 : 25 10 13 28 25 : 3 (reverserar) 22 46 53 Både 25 : 3 och 3 : 25 23 23 11 En av 3 25 och 25 3 4 4 2 Både 25 3 och 3 25 6 6 4 Jämfört med den föregående tabellen ser vi en dramatisk minskning av korrekta svar. När man som i denna uppgift får litet tal delat med stort tal är det uppenbart att långt fler reverserar än i uppgift a. Vi lägger märke till att detta är mycket vanligt i åk 8. Av de elever som vänder (reverserar) på denna uppgift, har de flesta givit rätt svar på uppgift a 78%, 94% och 86% för respektive årskurs. Detta visar alltså att uppfattningen, att man inte kan dela ett litet tal med ett stort, är en missuppfattning som skulle kunna hindra dessa elever att få rätt svar med hjälp av miniräknare i liknande situationer. Jag skulle hävda att de inte har tillräckliga erfarenheter för att ha utvecklat en fullständig tankemodell för division. Ska det ske, måste det bli en uppgörelse med denna uppfattning. På samma sätt som i uppgift a är det många studenter som tror att division är kommutativ. Det visar sig att de flesta av dessa gjorde på samma vis i båda uppgifterna. Multiplikationseleverna är också stabila i dessa två uppgifter. Det är naturligt att diskutera uppgifterna 6004 c och 6004 d i sitt sammanhang. Båda uppgifterna behandlar priser. I den första är multiplikatorn ett tal större än ett, den andra mindre än ett. Den finns flera svar på dessa uppgifter som kan klassificeras som korrekta. De rätta svaren tillsammans med de vanligaste misstagen finner man i tabellerna till uppgift 6004 c och 6004 d. 6004 c åk 6 åk 8 Både 49,50 1,7 och 1,7 49,50 44 61 49,50 1,7 17 18 1,7 49,50 3 4 49 : 1,7 15 10 1,7 : 49 3 3 49,50 1,7 3 1 Både 49,50 : 1,7 och 1,7 : 49,50 8 2 Majoriteten av eleverna väljer multiplikation som svar på uppgift c men det är fortfarande en fjärdedel av sjätteklassarna och en sjättedel av åttondeklassarna som tror att de behöver använda division. 85% av de sjätteklassare och 83% av åttondeklassarna som väljer division i uppgift c, gör det också i uppgift d. Alltså påvisar svaren dessa elevers höga stabilitet när det gäller denna feltyp. 6004 d åk 6 åk 8 Både 69 0,6 och 0,6 69 28 46 69 0,6 7 11 0,6 69 3 4 69 : 0,6 30 25 0,6 : 69 4 2 69 0,6 6 1 Både 69 : 0,6 och 0,6 : 69 15 5 4

I problem d det är ändå en hel del av dem som valt multiplikation i uppgift c, som nu tror att räkneoperationen i denna uppgift måste vara division. 55% av de sjätteklassare som svarar rätt på uppgift c, dividerar i d. Motsvarande siffra för åttondeklassarna är 24 %. Det är därför rimligt att hävda att många studenter påverkas av missuppfattningen att multiplikation gör svaret större och division gör svaret mindre i lösningen på uppgift 6004 d. I dessa två uppgifter är det några färre som markerar bägge divisionsuttrycken än i de föregående två. Den sista av dessa uppgifter är en divisionsuppgift där divisorn mindre än ett. Detta kräver att man har ett tankemodell för innehållsdivision. I realiteten är detta en upprepad subtraktion. Man har 6 kg och tar sedan bort 0,75 kg som man lägger i en ask, så ytterligare 0,75 kg i nästa ask och så vidare tills man inte har några fler kakor. Studier av unga elever som lär sig multiplikation, har visat att denna tankemodell är lika lätt att få tag i som modellen för delningsdivision, där man angett antalet delar. Svårigheten med denna uppgift är att delaren är ett decimaltal. Uppgift e finns bara i 8:e klass. Tabellen nedan visar fördelningen av korrekt svar och de vanligaste felsvaren. 6004 e åk 8 6 : 0,75 41 6 0,75 10 0,75 : 6 (Reverserar) 6 0,75 6 7 Både 6 : 0,75 och 0,75 : 6 3 Både 6 0,75 och 0,75 6 26 Observera att den procentuella andelen korrekta svar är låg, och att mer än 40% av eleverna anser att de måste använda multiplikation i denna uppgift. Anledningen till detta kan vara att man har uppfattat grupperingen av 0,75 kg och tolkar detta som en sex gånger upprepad addition. Uppgiften visar att man bör arbeta mer allvarligt med att bygga konceptuella modeller som lämpar sig för situationer där behov finns av innehållsdivision. I uppgift 2223 i problemavdelningen ska eleverna själva skriva räkneuttrycket. 2223 Skriv ett lämpligt räkneuttryck att lösa varje uppgift nedan. Du ska inte räkna ut svaren. a. Priset för 1 kg potatis är 12 kr. Vad kostar 2,6 kg? b. Rektor köper nya linjaler. Varje linjal kostar 12 kr. Hur många får hon för 84 kr? c. 1 kg fläskkotletter kostar 69,50 kr. Vad kostar 0.76 kg? d. Fem flaskor svartvinbärssaft innehåller sammanlagt 6,25 liter. Hur mycket saft innehåller varje flaska? e. Anne köper bananer i en livsmedelsbutik. 1 kg bananer kostar 13,50 kr. Hur mycket kan Anne köpa för 10,50 kr? Uppgifterna a och b i ovanstående exemplen diskuteras tillsammans, baserat på resultaten som presenteras i tabellerna nedan. I viss utsträckning kan uppgift 2223 a jämföras med uppgift 6004 c, eftersom båda rör multiplikation och kontexten är priser. En viktig skillnad är att multiplikatorn i uppgift 2223 a är ett helt tal, medan det i 6004 c är 1,7. Färre elever väljer andra räkneoperationer än multiplikation i denna uppgift jämfört med uppgift 6004 c. Anledningen 5

till det kan vara att de inte frestas av andra förslag som i exempelvis 6004 c, eller att multiplikatorn, som är ett heltal, har hjälpt dem i valet. Vi märker att de flesta av dem som gett korrekt svar, börjar med multiplikatorn. Denna var omvänd i uppgift 6004 c hos de elever som bara angav ett av multiplikationsalternativen. 2223 a åk 4 åk 6 åk 8 2,6 12 eventuellt upprepad addition 8 22 19 12 2,6 eventuellt upprepad addition 16 40 62 Svar i form av ett tal t ex 31,2 1 3 3 Addition 7 3 1 Division 2,6 : 12 eller 12 : 2,6 3 8 4 2223 b åk 4 åk 6 åk 8 84 : 12 20 52 76 Korrekt svar i form av ett tal: 7 5 6 3 12 84 eller 84 12 13 14 8 12 : 84 6 6 3 För att lösa uppgiften i 2223 b) måste man hänvisa till en tankemodell för innehållsdivision där divisorn vid detta tillfälle är ett heltal. I denna situation är det relativt lätt att översätta denna modell till delningsdivision, man fördelar kostnaden på varje linjal. På så vis liknar den något uppgift 6004 a. Den procentuella andelen korrekta svar är ungefär samma för båda uppgifterna, och det är några flera som väljer multiplikation i denna uppgift än i uppgift 6004 a. Å andra sidan får man inga svar som indikerar att eleverna uppfattar att divisionen är kommutativ som i uppgift 6004. Detta är naturligt, eftersom de nu uppmanas att ange ett räkneuttryck. 2223 c åk 6 åk 8 Både 69,50 0,76 och 0,76 69,50 27 47 Svar i form av ett tal mellan 50 og 56 (överslag) 1 2 69,50 : 0,76 3 1 34 2223 d åk 6 åk 8 6,25 : 5 56 76 5 6,25 eller 6,25 5 7 3 5 : 6,25 7 6 Problem 2223 c liknar i strukturen uppgift 6004 d. Den enda skillnaden är antalet decimaler, vilket kan göra 2223 c något mer komplicerad. Fördelningen av svaren i tabellen visar att missuppfattningen att division gör svaret mindre, är minst lika akuell i denna uppgift som i uppgift 6004 d. På samma sätt som för andra uppgifter där eleverna tror att de måste dividera, är det inte aktuellt att ge svar som indikerar att de tror att divisionen är kommutativ när de själva ska teckna uttrycket. Uppgift 2223 d handlar om delningsdivision med ett stort tal delat med ett mindre. Uppgiften visar sig vara lätt att lösa på samma vis som uppgifterna med innehållsdivision och de uppgifter där man måste dela ett litet tal med ett stort. Detta stärker vårt påstående att dessa missuppfattningar har stor påverkan på valet av räkneoperation. 6

2223 e åk 6 åk 8 10,50 : 13,50 7 20 13,50 10,50 eller 10,50 13,50 8 7 13,50 : 10,50 3 4 42 Uppgift 2223 e bör vara i en välkänd kontext för de flesta elever. Likväl har den en förvånansvärt låg lösningsfrekvens. De allra flesta som svarade på denna uppgift väljer division. Detta kan förklaras av att de vet att svaret måste vara mindre än 1 kg. Återigen är det missuppfattningen att du måste dela det största talet med det minsta som verkar störande. En annan orsak till den höga svarsprocenten för 13,50 : 10,50 kan vara att eleverna tror att eftersom 13,50 kommer först i texten, så är det den man ska börja med i divisionen. Sådana erfarenheter har man med sig från införandet av division i skolan, där man länge haft denna form på de flesta textuppgifter i division. Vi lägger märke till att det är fler som väljer subtraktion än multiplikation i denna uppgift. Den analys som presenteras i dessa två artiklar i Nämnaren är på intet sätt uttömmande. Det insamlade materialet ger underlag för fler och djupare studier av frågeställningar som rör begreppsbildning inom tal och räkning med tal. KIM-projektet planerar att publicera rapporter med bakgrund i sådana studier av det tillgängliga materialet. I nästa nummer kommer vi att diskutera hur vi kan förbättra undervisningen med bakgrund i den information vi har om felaktiga svar från eleverna. Referenser Brekke, G. (1996a). Introduksjon til diagnostisk undervisning i matematikk. Oslo: Nasjonalt lærermiddelsenter. Brekke, G. (1996b). Veiledning til diagnostiske Prøver. Tall og tallregning. Oslo: Nasjonalt lærer-middelsenter. Brekke, G. (1995). Oppfatninger av desimaltall. Nämnaren 22(4), 27-34. Brekke, G. & Støren, H. (1995). Kvalitet i matematikundervisningen. Nämnaren 22(3), 10-14. Department of Education and Science. (1982). Mathematical Development. London: HMSO. Diagnostiske prøver 4. klasse, 6. klasse og 8. klasse. (1996). Oslo: Nasjonalt lærermiddelsenter. Uppslaget: Test på tal i decimalform. (1995). Nämnaren 22(3), 26-27. Rosén, B. (1995). Problemavdelningen. Nämnaren 22(3), 49. 7