Kapitel 3. Elektroner i det fasta tillståndet

Kapitel 3. Elektroner i det fasta tillståndet [Understanding Physics: 20.1-20.3] I detta kapitel skall vi studera bindningsmekanismerna och de fysikaliska egenskaperna hos fasta kroppar, utgående från kvantmekaniska principer. Vi skall också beskriva ledare, isolatorer och halvledare på det molekylära planet, samt närmare undersöka skillnaden mellan bosoner och fermioner och vad det innebär i det fasta tillståndet. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 1

3.1. Bindningen i molekyler och fasta kroppar Då temperaturen för ett system av atomer eller molekyler sjunker, så kommer atomerna att ordna sig så, att systemets totala energi minimeras. Då två partiklar, som är bundna till varandra av en attraktiv kraft, närmar sig varandra, så kommer systemets potentiella energi att avta (bli mera negativ). För att minimera energin ordnar sig atomerna eller molekylerna därför så, att antalet bindningar blir så stort som möjligt. Den slutliga strukturen, där varje atom är förenad med de närmaste grannatomerna, kallas en fast kropp. Om systemet hastigt kyls ner, blir molekylerna ordnade endast inom ett litet område. Därvid uppstår ett amorft fast ämne, såsom glas. Om avkylningen sker långsamt, ordnar sig molekylerna över ett större område, och en kristall uppstår. Vi skall härnäst beskriva fem allmänna former av bindning mellan atomer och molekyler, som uppstår på grund av Coulombväxelverkan mellan elektriska laddningar i atomer och molekyler. I verkliga system är bindningen vanligen en blandning av dessa olika mekanismer. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 2

Som vi tidigare sett, är den yttersta elektronen i en alkaliatom endast svagt bunden till atomen. En energi av storleken 5.1 ev är sålunda tillräcklig för att frigöra 3s elektronen från en natriumatom. Å andra sidan är halogenatomer mycket stabilare då de mottar en extra elektron, som fyller upp deras yttersta subskal. Sålunda har klor konfigurationen 3p 5 i sitt yttersta subskal, och blir därför stabilare då den har fångat in en sjätte elektron i detta subskal. Därvid frigörs energin 3.6 ev. Det behövs därför en nettoenergi 5.1 3.6 = 1.5 ev för att överföra en elektron från en natriumatom till en kloratom, varvid en Na + -jon och en Cl -jon bildas. Låt oss upprita den potentiella energin för ett bundet system som bildas av dessa joner, som funktion av deras inbördes avstånd r. Vi får då en kurva, som har ett minimum vid r = 0.25 nm. Detta är systemets jämviktsläge, där den potentiella energin är 4.9 ev lägre än energin i det fall att jonerna är helt åtskilda (dissocierade). Denna energi kan också lätt beräknas utgående från Coulombenergin för de två jonerna. Energin är betydligt större än nettoenergin (1.5 ev) som behövs för att överföra en elektron från natrium till klor. Om avståndet mellan jonerna är 0.25 nm, så är det därför betydligt fördelaktigare att överföra en elektron från natriumatomen till kloratomen. I detta fall är atomerna bundna till varandra, det uppstår en jonbindning. Den totala energi som frigörs, då natrium och klor utbyter en elektron, och en jonisk Na + Cl molekyl uppstår, är 4.9 1.5 = 3.4 ev. Denna energi kallas för dissociationsenergin för NaCl, eftersom det är den energi som behövs för att Na + Cl skall förvandlas till två fria neutrala Na och Cl atomer. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 3

Att potentialenergin har ett minimum vid r = 0.25 nm kan förklaras på följande sätt. På långa avstånd täcker inte jonernas elektronfördelningar varandra. De kan då uppfattas som två punktladdningar +e och e, och systemets potentialenergi kan (enligt ekv. (15.16), s. 452) uttryckas U(r) = Q V (r) = Q Q 4πɛ 0 r, där Q = +e och Q = e. Således är U(r) = e2 4πɛ 0 r. Då r minskar, börjar laddningsfördelningarna att täcka varandra, och två effekter samverkar till att öka systemets energi. Till först minskar de omgivande elektronfördelningarnas avskärmning av kärnladdningarna, vilket leder till att repulsionen mellan kärnorna växer. Sedan börjar elektronerna kring de båda jonerna att bilda ett system, som är underkastat Pauliprincipen. Om inte Pauliprincipen skulle gälla, så skulle vi få ett system med två uppsättningar av fyllda 1s, 2s och 2p subskal i det extrema fallet att kärnorna skulle sammanfalla (r = 0). För att Pauliprincipen skall gälla, så måste hälften av elektronerna excitera till högre energitillstånd, vilket ökar systemets energi. I en jonmolekyl, såsom NaCl, befinner sig alla elektronerna i slutna subskal, och de har därför sfäriskt symmetriska fördelningar. Jonbindningen fungerar därför oberoende av jonernas inbördes orientering. Jonbindningen som uppstår mellan ett par Na + och Cl joner, kan utvidgas till ett stort antal joner. Därvid uppstår en kubisk jonkristall (se fig. 20.3, eller bilden nedan). I en sådan kristall är avståndet mellan närliggande natrium och klorjoner R = 0.28 nm, något större än avståndet mellan jonerna i en enkel molekyl. I jonkristallen utsätts varje Na + jon för Coulombattraktion från de sex närmaste Cl jonerna, som befinner sig på avståndet R. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 4

Den påverkas också av Coulombrepulsion från de tolv närmaste Na + jonerna, som är på avståndet R2 + R 2 = 2R, samt av Coulombattraktion från åtta Cl joner på avståndet R2 + R 2 + R 2 = 3R, osv. Slutresultatet är att summan av alla dessa kontributioner till natriumjonens bindningsenergi blir E total = 1 e 2 12 ( 6 + 8 +...) 1.7476 e 2 4πɛ 0 R 2 3 4πɛ 0 R Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 5

Konstanten + ( 1) k+l+m 1.7476 kallas Madelungs konstant för NaCl (tyvärr konvergerar k2 + l 2 + m2 inte den ursprungliga serien). Om vi substituerar R = 0.28 nm får vi E total 9 ev. Observera här, att vi har inkluderat växelverkan mellan en natriumjon och alla de andra jonerna i denna beräkning, och tillordnat växelverkningsenergin till natriumjonen. Då vi beräknar den elektrostatiska energin för två laddningar e och +e med hjälp av uttrycket för Coulombenergin, så beräknar vi i själva verket den totala energin för laddningarna. Den elektrostatiska energin för en laddning är hälften av detta belopp, varför bindningsenergin för natriumjonen i en NaCl kristall är 1 2 E total 4.5 ev. Den potentiella energin för en jonisk kristall får man genom att till bindningsenergin addera en repulsiv term som är omvänt proportionell mot en potens av R, eller en term som avtar exponentiellt med R. Denna term har betydelse endast på korta avstånd. Bindningsenergin i en NaCl kristall är alltså betydligt större än jonernas termiska energi i rumstemperatur (kt 0.025 ev, T = 293 K). Värmevibrationer i rumstemperatur kommer därför inte nämnvärt att störa bindningarna i en sådan kristall. Bindningarna är starka, och jonkristallerna är därför mycket hårda, och har hög smältpunkt (1074 K för NaCl). Emedan alla valenselektroner är bundna till bestämda atomer med jonbindningar, så finns det inga rörliga laddningsbärare som kan alstra en ström genom kristallen. Jonkristaller är därför goda isolatorer. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 6

Kovalent bindning (eller atombindning) uppstår, då elektroner delas mellan atomer så att slutna subskal uppstår. Ett exempel är vätemolekylen H 2, där väteatomernas 1s elektroner binds till kärnorna så att ett slutet 1s 2 subskal uppstår. Låt oss beteckna de båda vätekärnorna A och B samt elektronerna 1 och 2. Systemets potentiella energi blir därvid U = e2 4πɛ (r 1 0 AB + r 1 12 r 1 A1 r 1 A2 r 1 B1 r 1 B2 ) och dess Schrödinger-ekvation antar formen 2 2m ( 2 1 + 2 2 )ψ + Uψ = Eψ. Om r AB är mycket stort, består systemet av två normala väteatomer. Låt oss beteckna vågfunktionen för elektron 1 i ett väteliknande 1s tillstånd, som rör sig kring kärnan A med 1s A (1) etc. En möjlig vågfunktion för båda elektronerna blir då ψ 1 = 1s A (1)1s B (2) eller ψ 2 = 1s A (2)1s B (1). Dessa vågfunktioner fungerar dock inte bra, eftersom elektronerna är identiska partiklar. Detta insågs av Heitler och London på följande sätt. De utgick istället från de symmetriska och antisymmetriska kombinationerna ψ S = ψ 1 + ψ 2 och ψ A = ψ 1 ψ 2, som också är lösningar till Schrödingerekvationen. Mot ψ S och ψ A svarar två energikurvor E S och E A som kan ritas som funktion av avståndet mellan kärnorna r AB. Vi ser då att E A svarar mot repulsion på alla avstånd, medan E S ger upphov till en stabil molekyl (det beräknade jämviktsläget r AB 0.087 nm). Z. Physik 44(1927)455 Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 7

Här har inte elektronernas spinn beaktats. Om man gör det, så måste vågfunktionerna multipliceras med lämpligt valda spinnfunktioner, så att den totala vågfunktionen blir antisymmetrisk och således uppfyller Pauliprincipen. Enligt Pauliprincipen kan båda elektronerna vara i samma tillstånd endast om de har motsatta spinn. I det bundna tillståndet är spinnen därför motsatta, och ett energiminimum uppstår vid ca 0.074 nm, som är kärnornas jämviktsavstånd, den kovalenta bindningslängden. Om elektronerna har samma spinnriktning, kommer sannolikheten att finna en elektron mellan kärnorna att vara mindre, än om elektronerna har motsatta spinn. Den motsvarande potentialkurvan saknar då minimum, och inget bundet tillstånd kan uppstå. Figuren nedan visar vätemolekylens energikurvor. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 8

Kovalent bindning innebär alltså, att elektroner med motsatta spinn från olika atomer med delvis fyllda subskal paras ihop. Den kovalenta bindningen förutsätter alltså, att laddningsfördelningarna delvis täcker varandra. I sektion 19.7 har vi observerat, att sannolikhetsdistributionerna för p elektronerna har ett markant vinkelberoende. Den kovalenta bindningen kommer därför att uppvisa ett starkt riktningsberoende. Atomerna har en bestämd orientering i en kovalent bindning som inkluderar p elektroner, i motsats till jonbindningarna, som inte har en bestämd orientering. Elementen i grupp IV (kol, kisel och germanium) har fyra hål i de yttre p skalen. Som vi minns ifrån diagrammet som visar den ordning, i vilken subskalen fylls, så är bindningsenergierna för de yttre s och p skalen ganska lika, så att alla de fyra elektronerna i s och p subskalen kan delta i den kovalenta bindningen. Kolatomen, som har konfigurationen 1s 2 2s 2 2p 2 i grundtillståndet, bildar fyra kovalenta bindningar, som är riktade mot hörnen av en tetraeder. Detta tillgår så, att en av elektronerna i 2s skalet exciteras till 2p skalet, varpå orienterade vågfunktioner bildas genom sp 3 hybridisering av vågfunktionerna (fyra linjärkombinationer av en s orbital och tre p orbitaler uppkommer). Figuren visar en metanmolekyl, som uppstår på detta sätt. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 9

Då kolatomer binds samman med många andra kolatomer i en tetraedrisk struktur uppstår en diamantkristall, som har en mycket hög bindningsenergi (7.4 ev). Också elementen i grupp IV är goda isolatorer, eftersom det inte finns rörliga laddningsbärare. Kolatomernas vågfunktioner kan också hybridiseras på andra sätt, t.ex. trigonal (eller sp 2 ) hybridisering, som bildas av tre orbitaler i ett plan, och en fjärde vinkelrätt däremot. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 10

Då en kristall bildas av atomer, som innehåller svagt bundna valenselektroner såsom natriumatomer, kommer valenselektronerna att delas mellan dem, liksom i kovalent bindning, men elektronerna delas inte bara mellan de närmaste grannatomerna, utan mellan alla positiva joner i kristallen. Metallbindningen uppstår alltså mellan ett hav av fria elektroner och fasta, positiva joner. Liksom jonbindningen, har metallbindningen inget riktningsberoende, och binder inte heller ihop bestämda grannatomer. Den attraktiva Coulombkraften verkar i godtyckliga riktningar. Då en metall deformeras, spricker den inte eftersom metallbindningarna (de kohesiva krafterna) verkar i alla riktningar. Rena metaller är därför formbara och smidbara. Elektronerna i en metall är inte bundna till speciella atomer, och kan därför röra sig fritt inom materialets gränser. Metallerna innehåller ett mycket stort antal rörliga laddningar, och leder därför utmärkt både värme och elektricitet. I endel molekyler, som kallas polära molekyler, kommer laddningen att dela på sig på grund av att elektronerna delas mellan atomerna. På grund härav uppstår ett permanent elektriskt dipolmoment i molekylen. Vattenmolekylen är ett exempel på en sådan molekyl. I fasta kroppar ställer sig polära molekyler så, att dipolernas positiva komponenter befinner sig nära de negativa komponenterna av andra dipoler (se fig. 20.7). Som framgick av diskussionen om ädelgasmolekyler, så har atomer med slutna subskal inga elektriska eller magnetiska dipolmoment. Likväl kan det elektriska fältet som alstras av en polär molekyl ge upphov till separation av laddningarna, och sålunda ett elektriskt dipolmoment i en ädelgasmolekyl. En polär molekyl kan därför binda en ädelgasatom (polär bindning). Detta motsvarar en stavmagnets attraktion av ett stycke järn. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 11

Ädelgaser kan också bilda föreningar med varandra. Även om elektronfördelningen i en ädelgas i medeltal är sfäriskt symmetrisk, så kan elektronfördelningarna mellan närliggande atomer vara korrelerade. Detta kan grovt beskrivas med Bohrs modell. Vi betraktar två heliumatomer, som vardera har två elektroner i cirkulära banor (fig. 20.8 i boken). I medeltal är det elektriska dipolmomentet noll, emedan elektronen lika gärna kan befinna sig på den ena sidan om atomen som på den andra. I ett visst ögonblick är dipolmomentet dock olika noll. Detta fluktuerande dipolmoment alstrar ett elektriskt fält, som polariserar laddningsfördelningen i närliggande atomer. Det kommer därför att ge upphov till korrelerade, ordnade dipolmoment. Kraften som verkar mellan dipolmomenten är attraktiv och binder atomerna. Denna mekanism kallas för van der Waals bindning, som i allmänhet är mycket svag, och därför endast kan observeras i atomer där inga jonbindningar eller kovalenta bindningar uppträder. Ädelgaserna kristalliseras endast vid mycket låga temperaturer, där de termiska energierna är alltför små för att bryta sönder de svaga van der Waals bindningarna. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 12

3.2. Den klassiska fria elektronmodellen Vi skall nu använda en enkel elektronmodell för att förklara den elektriska ledningsförmågan σ, som definieras genom Ohms lag: J = σe (ekvation 15.19). I den fria elektronmodellen, som introducerades av Paul Drude i slutet av 1800 talet, görs två antaganden på basen av metallbindningsmekanismen: 1. De svagt bundna elektronerna kan fritt röra sig inom metallen. Dessa kallas fria elektroner, eller ledningselektroner. 2. Potentialen som beror på jonattraktionen i kroppen är konstant inom kroppen. Ledningselektronerna antas kunna röra sig fritt inom en region med en konstant attraktiv potential i den fasta kroppen. Vid kroppens gränsytor upphör den attraktiva potentialen, och elektronerna stöter på en hög potentialbarriär, som håller dem kvar i kroppen. Man förväntar sig därför att de beter sig som en klassisk gas i enlighet med den kinetiska teorin, och att de följer Maxwell Boltzmanns statistik. Medelhastigheten för en elektron är då v rms = 3kT/m (där m är elektronens massa), som ger värdet v rms = 1.2 10 5 m/s i rumstemperatur (T = 300K). Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 13

I ett konstant likformigt elfält E utsätts en elektron för kraften F = qe och kommer därför att accelerera. Vi vet emellertid, att elektriska strömmar, och därför också elektronernas hastigheter är konstanta, då en elektrisk ledare utsätts för ett konstant likformigt elfält. Härav följer, att elektronerna i ledaren utsätts för en motståndskraft, motsvarande det viskösa motståndet, som försöker att bromsa upp elektronerna så att deras hastighet begränsas till en drifthastighet v d. I den klassiska modellen antas orsaken till denna motståndskraft vara växelverkningar med positiva joner i kristallgittret. Som vi senare skall se, stöds inte detta antagande av detaljerade räkningar. Vi skall nu tillämpa modellen på den elektriska ledningsförmågan. Då ett elektriskt fält påläggs de fria elektronerna i en ledare får de en drifthastighet, som adderas till deras normala slumpmässiga rörelser. Ett analogt exempel är t.ex. ett fortunaspel, där ett antal kulor sätts i rörelse på ett bräde, där de kolliderar med vertikala pinnar. I allmänhet rör de sig ganska slumpmässigt, men om brädet lutas, kommer den slumpmässiga rörelsen att överlagras med en rörelse ned längs brädet. I avsnitt 15.2 (s. 436) beräknades drifthastigheten v d vara omkring 10 4 m/s för en 1 A ström i en kopparledning med 1 mm diameter. Observera, att denna hastighet är omkring nio dekader mindre än elektronernas medelhastighet (se ovan). Eftersom v d v rms, så har drifthastigheten mycket liten inverkan på elektronernas kollisionshastighet. Vid rumstemperatur bestäms denna nästan enbart av v rms. Elektronernas driftrörelse bestämmer den makroskopiska strömmen genom ledningen. Enligt ekvation (15.3) (s. 435) kan strömtätheten uttryckas som J = ρv, där ρ är laddningstätheten (laddningen per enhetsvolym) och v är drifthastigheten. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 14

Då laddningsbärarna är elektroner med laddningen e, som rör sig med hastigheten v d, så får vi J = n e ev d där n e är elektrontätheten (antalet elektroner per enhetsvolym). Eftersom kraften på en elektron är F = ee = ma, så är accelerationen a = ee/m. Om E är konstant, så är således också a en konstant. För enkelhetens skull skall vi anta att elektronerna bringas till vila vid varje kollision med en jon i gittret. Om τ är medeltiden mellan kollisionerna ( spridningstiden ), så är den hastighet, som elektronen får (dvs drifthastigheten) v d = v 0 + at = eeτ/m. Om detta värde substitueras i utrycket för strömtätheten, fås J = n ee 2 τ m E. Denna ekvation överensstämmer med Ohms lag, om vi väljer σ = n ee 2 τ m. Detta teoretiska värde för ledningsförmågan stämmer dock inte bra med det experimentella värdet, som vi strax skall se. Eftersom kollisionshastigheten bestäms av medelhastigheten, så kan vi uppskatta spridningstiden ur ekvationen τ = l/v rms, där l är den fria medelväglängden mellan kollisionerna. Den uppmätta ledningsförmågan för koppar är 6 10 7 Ω 1 m 1. I exempel 20.2 beräknas elektrontätheten i koppar n e vara 8.4 10 28 m 3. Om vi substituerar detta värde i det teoretiska uttrycket för σ, fås τ = 2.5 10 14 s. Med hjälp av vårt tidigare värde för medelhastigheten i rumstemperatur, 1.2 10 5 m/s, fås värdet l = 3 nm för den fria medelväglängden för koppar. Då detta värde är mer än tio gånger större än avståndet mellan kopparatomerna i metallen (0.209 nm), så stämmer alltså den klassiska modellen för ledningsförmågan inte överens med observationerna. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 15

Den klassiska teorin misslyckas också med att förklara ledningsförmågans observerade temperaturberoende. Av ekvationen v rms = 3kT/m väntar vi oss, att v rms T. Därav följer att τ, och således också σ, borde vara proportionella mot 1/ T. Experimentellt har man dock funnit, att σ 1/T. En ännu större diskrepans finner vi mellan den experimentella och teoretiska värmekapaciteten. På s. 289 konstaterades, att den molära värmekapaciteten vid konstant volym för en ideal gas är c V m = 3 2R, där R är den molära gaskonstanten. Enligt den klassiska fria elektronmodellen, borde denna ekvation också gälla för ledningselektronerna i en fast kropp. Värmekapaciteten för ledningselektronerna borde adderas till värmekapaciteten för kristallgittret. Experimenten visar emellertid, att värmekapaciteten för metallerna inte skiljer sig anmärkningsvärt från värmekapaciteten för andra kristallina material. Bidraget från ledningselektronerna är därför betydligt mindre än vad den klassiska teorin förutsäger. I själva verket visar experimenten att detta bidrag är omkring 10 4 RT vid temperaturen T. Det låga experimentella värdet för värmekapaciteten visar att någon mekanism, som inte tagits i beaktande, förhindrar ledningselektronerna från att absorbera energi. I analogi med den fotoelektriska effekten kan vi gissa, att denna mekanism är kvantmekanisk till sin natur. I nästa avsnitt skall vi tillämpa kvantmekanik på ledningselektronerna, och skall därav finna att vi kan förklara avvikelserna mellan teori och experiment. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 16

3.3. Den kvantmekaniska fria elektronmodellen I kvantmekaniken behandlas ledningselektronerna som ett enda fermionsystem, på ett liknande sätt som elektronerna i flerelektronatomer. Systemet begränsas endast av den fasta kroppens yttre dimensioner, och kommer därför att innehålla ett oerhört antal fermioner (ca 10 28 m 3 ). Systemet kan alltså behandlas som atomer med flere elektroner, om vi gör följande antaganden: 1. Elektronernas energinivåer är kvantiserade, eftersom de befinner sig i ett bundet system. 2. Dessutom måste de uppfylla Pauliprincipen, dvs två elektroner kan inte ha samma uppsättning kvanttal, och energinivåerna fylls i den ordning, som energin växer. Dessa nya principer kommer att förändra den statistiska fördelningen av elektronenergierna i en ledare. En klassisk elektrongas följer Maxwell Boltzmanns statistik, enligt vilken alla elektroner kan ha samma energi vid 0 K, i strid med Pauliprincipen. Därför behöver vi en ny statistik, som stämmer överens med de kvantmekaniska lagar, som bestämmer hur ett system av identiska fermioner beter sig. Detta kommer att påverka det sätt, på vilket en fermiongas upptar energi, och således också deras värmekapacitet. Eftersom elektronerna kan uppfattas som vågor, kommer också detta att inverka på deras rörelse genom kristallgittret, och därmed deras elektriska ledningsförmåga. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 17

I övrigt görs samma antaganden som i den klassiska modellen. Vid kroppens ytterkanter kommer elektronerna att stöta på en stor potentialbarriär, som approximativt kan beskrivas med en tredimensionell oändlig potentialbrunn, en tredimensionell låda. Vi skall nu studera detta problem kvantmekaniskt. På s. 386 visade vi, att lösningen till Schrödingerekvationen för en endimensionell potentialbrunn kan skrivas ψ(x) = B sin kx, där k = 2mE/. Gränsvillkoren leder till kvantisering (stående vågor), så att vågtalet k endast kan anta värdena k n = nπ, n = 1, 2, 3,.... Energierna är därför kvantiserade enligt ekvation (13.42): E n = n 2 E 0 ; E 0 = 2 π 2 2ma 2. Detta resultat kan lätt generaliseras till tre dimensioner (x, y, z). Den tredimensionella Schrödingerekvationen för en partikel som rör sig i en potential V = 0 (fri partikel) är 2 2m ( ) 2 ψ x + 2 ψ 2 y + 2 ψ 2 z 2 = Eψ För att lösa denna ekvation separeras variablerna på ett liknande sätt som tidigare. Vi utgår alltså från ansatsen ψ(x, y, z) = ψ 1 (x)ψ 2 (y)ψ 3 (z), Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 18

som substitueras i Schrödingerekvationen. Vi får då 2 2m [ d 2 ψ 1 ψ 2 ψ 3 dx + ψ d 2 ψ 2 1ψ 2 3 dy + ψ d 2 ψ 3 1ψ 2 2 dz 2 ] = Eψ 1 ψ 2 ψ 3 Genom division med ψ 1 ψ 2 ψ 3 får vi då som kan skrivas 2 2m 1 d 2 ψ 1 2m ψ 1 dx 2 2 [ 1 d 2 ψ 1 ψ 1 dx + 1 d 2 ψ 2 2 ψ 2 dy + 1 ] d 2 ψ 3 2 ψ 3 dz 2 = E + 2 2m = E [ 1 d 2 ψ 2 ψ 2 dy + 1 ] d 2 ψ 3 2 ψ 3 dz 2 Vänstra membrum beror alltså enbart av x, och högra membrum inte alls av x. Alltså är vartdera membrum en konstant (C), och vi kan uttrycka den x beroende ekvationen i formen 2 d 2 ψ 1 2m dx = Cψ 1, 2 som är Schrödingerekvationen för en endimensionell oändlig potentialbrunn. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 19

Dess lösning är, som redan vet, ψ 1 (x) = A sin k 1 x. Ekvationerna i avseende på y och z kan sedan konstrueras genom att upprepa separationen, och vi finner alltså att ψ 2 (y) = B sin k 2 y, och ψ 3 (z) = D sin k 3 z. Vi kan alltså slutligen skriva den fullständiga lösningen till den tredimensionella Schrödingerekvationen i formen (med beteckningen A = ABD) ψ(x, y, z) = A sin k 1 x sin k 2 y sin k 3 z. Om lådan är en kub med kantlängden a, så följer av gränsvillkoren k 1 = n 1 π/a, (n 1 = 1, 2, 3...), k 2 = n 2 π/a, (n 2 = 1, 2, 3...), och k 3 = n 3 π/a, (n 3 = 1, 2, 3...). Egenvärdena, dvs de kvantiserade energierna, är E n1 n 2 n 3 = E 0 (n 2 1 + n2 2 + n2 3 ). Observera, att vi som förr har ett kvanttal för varje frihetsgrad. Vi skall studera energinivåernas besättning vid absoluta nollpunkten. Av uttrycket för energin följer omedelbart, att grundtillståndet nås då n 1 = n 2 = n 3 = 1. Vi skall beteckna energitillstånden med (n 1, n 2, n 3 ), så att det lägsta tillståndet alltså är (111). Dess energi är 3E 0. Om vi beaktar, att varje elektron har två spinnriktningar, så kan vi alltså ha två elektroner i detta tillstånd. Det följande tillståndet (211) har energin 6E 0. Det är tredubbelt degenererat, eftersom tillstånden (121) och (112) också har samma energi. Genom att beakta elektronspinnet finner vi, att besättningstalet är 6 (sexfaldig degeneration). Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 20

Det följande energitillståndet är (221) med energin 9E 0. Det har samma energi som (122) och (212), varför degenerationen också här är sexfaldig, då spinnet beaktas. På detta sätt kan vi fortsätta att fylla upp energitillstånden. Om vi t.ex. antar, att vi har en elektrongas med 40 elektroner, så kan vi fylla alla energinivåer mellan 3E 0 och 17E 0 enligt tabellen nedan: Tillstånd Energi Besättning Återstod (1 1 1) 3E 0 2 38 (2 1 1) 6E 0 6 32 (2 2 1) 9E 0 6 26 (3 1 1) 11E 0 6 20 (2 2 2) 12E 0 2 18 (3 2 1) 14E 0 12 6 (3 2 2) 17E 0 6 0 Detta resultat är mycket olika det klassiska resultatet för T = 0. I detta fall är medelenergin för en elektron 3 2kT = 0, så att alla 40 elektroner har energin 0. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 21

Energin för det högsta besatta tillståndet (17E 0 ) för en gas med 40 elektroner kallas Fermienergin E F för gasen vid 0 K. Energifördelningsfunktionen F (E) anger sannolikheten för att en energinivå är fylld, som funktion av energin. Om E < E F, så är F (E) = 1, och då E > E F, så är F (E) = 0 (se fig. 20.10, se nedan). Denna funktion, som kallas för Fermi Diracs fördelningsfunktion vid 0 K, kan tillämpas på alla fermionsystem och skiljer sig betydligt från Maxwell Boltzmanns fördelningsfunktion. En elektrongas med 40 elektroner visar hur Pauliprincipen bestämmer energifördelningen för ett system av elektroner i en tredimensionell låda (en Fermigas). Denna metod är givetvis inte särskilt användbar för en verklig ledare som innehåller omkring 10 28 elektroner per m 3. I nästa avsnitt skall vi se, hur Fermienergin beräknas i detta fall. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 22