> < Relativitetsteorins grunder, våren 2016 Räkneövning 1 Lösningar 1. En myon (en elementarpartikel som liknar elektronen, men är 200 ggr tyngre) bildas i atmosfären på L 0 = 2230 m:s höjd ovanför jordytan. Myonen har en medellivslängd på 2, 2 10 6 sekunder oh myonen i vårt fall rör sig med hastigheten 0.98 neråt mot jorden. Uppgiften är att förklara (i ord oh genom en uträkning) varför vi observerar myonen på jordytan trots att den måste ta tiden L 0 0,98 = 7, 6 10 6 s på sig att nå ytan? Den borde ju sönderfalla inom tiden det tar att nå jordytan. Hur ser myonen själv på sina möjligheter att nå jordytan? v = 0,98 < } } L jo > v = 0,98 L m a.) b.) Figur 1: Vi ser i figur a.) hur observatören uppmäter sträkan L jo då myonen ser ut att närma sig. I figur b.) ser vi den motsatta situationen där myonen ser observatören närma sig oh uppmäter sträkan till L m. Konstanterna: = 29979248 m/s v = 0, 98 L jo = L 0 = 2230 m t m = 2, 2 10 6. Lösning: Den jordliga observatören ser situation a.) i figur 1, medan myonen ser
situation b.). För att kunna svara på uppgiften måste vi beräkna γ-faktorn. Den blir γ = 1 1 = 1 v2 1 0, 98 2 2, (1) i båda situationerna. Myonen lever t m i sitt koordinatsystem. Detta motsvarar den tidsdilaterade tiden t jo = γt m 1, 1 10 s som den jordliga observatören observerar myonen leva. Då t jo 1, 1 10 s > 7, 6 10 6 s L jo v = L jo 0, 98, (2) kommer den jordliga observatören högst antagligen att observera myonen. Allternativt, observerar myonen sträkan L jo längdkontraherad p.g.a. att jorden rör sig mot den. Denna sträka ges av L jo = γl m L m = L jo γ 446 m, (3) vilket vi kan räkna om till tid som L m v = 446 m 0, 98 1, 10 6 s. (4) Eftersom 1, 10 6 s < 2, 2 10 6 s, anser sig myonen okså hinna till jorden så att vi kan observera den före den dör. 2. Förenta Stjärnornas rymdskepp har en irkel som symbol på vingarna. Den Ike Republikanska AtomkorruptionsNationens (IRAN) rymdskepp har en ellips på sina. IRANs ellipser är 1, ggr längre än de är breda. Hur fort måste IRANs rymdskepp köra för att man skall få problem som stationär observatör (i detta fall räknar vi med att den stationära observatören inte ser med sina ögon på skeppen utan använder någon sorts sensorer på rymdskeppen för att räkna ut deras längd. Detta är lite konstruerat, jag vet.) att skilja på de båda makternas rymdskepp? Vi antar att IRANs rymdskepp kör parallellt med observatören. Kan Förenta Stjärnornas skepp åka så snabbt att det alltid går att skilja på dem från IRANs skepp? Om ja, hur snabbt måste de då åka? Om nej, varför inte? Lösning: Eftersom vi måste räkna med att Förenta Stjärnornas rymdskepp okså kan köra fort, blir svaret på uppgiften ett uttryk för skillnaden i hastighet som de båda rymdskeppens hastigheter måste satisfiera för att observatören på jorden inte skall kunna skilja på skeppen. Då längdkontraktionen ges av uttryket L = 1 γ L ()
måste rymdskeppenas hastigheter satisfiera uttryket L IRAN L F S = 1 3L γ IRAN 2 1 L = 1 v2 IRAN γ F S 2 3L 2 1 v2 F S L = 0, (6) 2 då vi antar att rymdskeppena åker parallellt med observatören oh inte svänger oh har sig. Om vi hyfsar på föregående ekvation får vi 1 v2 IRAN 2 (3v IRAN 3L 2 1 v2 F S 2 L = 0 ( 1 v 2 IRAN 2 )9 4 = ( 1 v2 F S 2 ) 9 ( 1 v2 ) ( IRAN v 2 ) = 4 1 F S 2 2 ) 2 (2v F S ) 2 = ( viran ) 2 ( vf ) S 2 3 2 = 1, vilket vi känner igen som ekvationen för en hyperbel med assypmtoterna v F S = 2 ± v IRAN = ± 3 2 v IRAN. Detta är utritat i följande figur 2. 3 Vi kan okså räkna ut ett uttryk för v IRAN från hyperbel-uttryket. Detta blir v IRAN = = 1 3 ( 3 )2[ 1 + ( v F S 2 2 + 4v 2 F S, ) 2 ] = 9 2( 1 + 4v2 F S 2 ) vilket alltså ger hastigheten v IRAN, som funktion av hastigheten v F S. Det är m.a.o. inte enkelt för piloten i IRANs rymdskepp att blanda in sig bland rymdskeppena för Förenta Stjärnorna. Det skulle bli ännu svårare om FS-rymdskeppet höll på oh svängde fram oh tillbaka, men vi negligerar den möjligheten i denna uppgift. Däremot kanske piloten i FS-rymdskeppet klarar av att flyga så fort att piloten i IRANs skepp inte hänger med oh man kan urskilja rymdskeppena från varandra. Detta kan vi kolla genom att se om det finns någon hastighet piloten i FS rymdskepp kan flyga med så, att trots att piloten i IRANs rymdskepp skulle flyga med ljusets hastighet så kunde man helatiden urskilja rymdskeppena. Vi kräver alltså till att börja med att v IRAN 1 3 2 + 4vF 2 S, (7) varifrån vi löser ut v F S som v F S. (8)
v FS > v FS = - 3_ v 2 IRAN v IRAN v FS = 3_ 2 - _ 2 - _ 3 _ 3 > v IRAN - - - _ 2 - Figur 2: Vi ser hyperblarna utritade. De möjliga hastigheterna finns utritade på hyperblarna inom lådan med ljushastigheten som kant. Vi ser direkt att IRANs pilot minst måste flyga med :s hastighet för att inte bli upptäkt genom ellipsen på vingen. 3 M.a.o. eftersom de enda möjliga hastigheterna för IRANs pilot är, men detta krav resulterar i kravet v F S oh inte i ett krav v F S v <, kan piloten i Förenta stjärnornas skepp inte flyga så fort att skeppena kan skiljas åt. Det går lätt att förklara genom att komma ihåg att längdkontraktionen blir oändlig då vi kommer upp i ljushastighet oh därför kan man endast observera två sträk (ellipsen oh irkeln) som rör sig. 3. Hur snabbt måste man gå mot rött ljus för att få det att verka grönt? Det röda ljuset har våglängden λ r = 69nm oh det gröna λ g = 2nm.
Konstanterna: λ r = 69 nm λ g = 2 nm = 29979248 m/s. Lösning: Enligt Dopplereffekten ser vi ett Dopplerskifte i frekvenssen av storleken + v f o = v f k, (9) där f o är frekvenssen vi observerar oh f k är frekvenssen som källan skikar iväg, då en ljuskälla närmar sig oss. Eftersom sambandet mellan frekvenss oh våglängd är fλ =, har vi f = λ oh kan räkna ut att = + v v (λ k ) 2 = + v v (λ k ) 2( v) = ( + v) λ k ( ( λ k ) 2 1) = v(1 + (λ k ) 2) där λ k = λ r oh = λ g. [ ( λ k ) 2 λ v = o 1 ] 1 + ( λ k ) 2 0, 27, 4. a.) Vi betraktar ett binärt stjärnsystem (två stjärnor som roterar runt deras massentrum) oh frågar oss om detta stjärnsystem som helhet står stilla eller rör på sig relativt oss. Vi vet att ljuset från vätgas i ett laboratorium på jorden produeras med frekvensen f = 4, 679 10 14 Hz oh vi observerar med ett jordligt teleskop att ljuset från det binära stjärnsystemet varierar mellan frekvenserna 4, 61 10 14 Hz oh 4, 68 10 14 Hz. Bestäm om detta binära stjärnsystem rör sig mot oss eller ifrån oss som en helhet då vi antar att det roterar i samma plan som jorden. Gör denna uppgift genom att approximera f = +v v f 0, genom att först visa att föregående uttryk går att skriva som f = (1 + v )1/2 (1 v ) 1/2 f 0 Oh gör sedan en approximation m.h.a. binominalteoremet dň v << för att få
f = f 0 (1 + v ) (10) Härled alltså ekvation 10 oh använd den sedan för uppgiften. b.) Ljuset från detta binära stjärnsystem varierar med frekvensen i en period av 90 dagar. Detta betyder att man observerar en maximal skillnad i frekvensser från de båda stjärnorna med en period på 90 dagar. D.v.s. det tar 90 dagar att ta sig från ett frekvensskillnadsmaximum till ett frekvenskillnadssminmum oh slutligen tillbaka till ett frekvensskillnadsmaximum. Vad är radien på banan för de två stjärnorna då vi antar att de rör sig i en irkelbana? Bestäm okså deras massor om vi antar att båda har en lika stor massa. Ge ditt svar i solarmassor. Konstanterna: f max = 4, 68 10 14 Hz f min = 4, 61 10 14 Hz f labb = 4, 679 10 14 Hz T = 90 dagar M = 1, 989 10 30 kg G = 6, 6729 10 11 Nm 2 /kg 2. Lösning: a.) Vi börjar med att räkna f = ( + v ) 1/2fo = ( 1 + v/) 1/2fo = (1 + v v 1 v/ )1/2 (1 v ) 1/2 f o. (11) Sedan kan vi fortsätta genom att komma ihåg binominalserien som (1 + x) n/m = 1 + n m x +..., (12) där vi gjort approximationen x < 1. Detta ger oss oh så, att (1 + v )1/2 1 + v 2 (1 v ) 1/2 1 1 2 v = 1 + v 2 f = f o (1 + v )1/2 (1 v ) 1/2 f o (1 + v 2 )(1 + v 2 ) = f o (1 + v 2 + v 2 + v2 4 2 ) f o(1 + v ) + f oo ( ( v )2),
där vi alltså skippar termer av andra ordningen i v. Vi kan nu insätta frekvensser i formeln för att få ut en hastighet. Vi får v = ( f f o 1), (13) vilket ger oss v fmax = ( f max f labb 1) 1.3 10 4 v fmin = ( f min f labb 1) 6, 1 10 4. Eftersom vi har situationen i figuren 3, v m f min > < v f max m jorden Figur 3: Vi ser ett binärt stjärnsystem som snurrar runt sitt massentrum. Man bör komma ihåg att ställena för de högsta oh minsta hastigheterna ligger i prinip mittemot varandra på riktigt, p.g.a. att avståndet från jorden till detta stjärnsystem är enormt jämfört med systemets diameter, något som inte kan klargöras i figuren utan att göra den opraktiskt stor. vet vi att p.g.a. att stjärnorna har samma massa, åker de runt med samma banhastighet oh därför vet vi att systemet närmar sig oss med hastigheten v bs = v f max + v fmin 2 2, 4 10 4. Eftersom ett system som närmar sig oss med en negativ hastighet, är på väg bort, vet vi nu att stjärnsystemet är på väg bort från oss. b.) Stjärnornas banhastighet är v ban = v fmax v bs 3, 7 10 4, (14) emedan perioden för rörelsen är i sekunder T = 90 2 24 60 60 s 1, 6 10 6 s. (1)
Eftersom rörelsen är irkulär, har vi v ban = 2πr T r = v bant 2π 2, 8 1011 m. (16) Då vi ytterligare vet att entripetalkraften måste balansera gravitations attraktionen för att systemet inte skall kollapsa, får vi F ent = F grav m v2 ban r = G mm (2r) 2 ( 2πr T )2 = G m 4r m = 42 π 2 r 3 GT 2 2, 1 10 32 kg 107, 4M.