Kapitel 27: Magnetfält och magnetiska krafter Beskriva permanentmagneters beteende Samband magnetism-laddning i rörelse Ta fram uttryck för magnetisk kraft på laddning Magnetiskt flöde, Gauss sats för magnetfältet Ta fram uttryck för magnetisk kraft på ledare Beskriva magnetisk dipol Förklara en permanentmagnets beteende
Magnetism Vissa material uppvisar spontant magnetism, och beter sig då som pemanentmagneterna här. Vi kallar ändarna för Nordpol respektive Sydpol Observera att både en sydpol och en nordpol attraherar vissa föremål som ej är permanentmagneter om föremålen är s.k. ferromagneter (t.ex. Fe, Co, Ni)
Jorden som magnet Eftersom jorden har ett magnetfält orienteras en fritt rörlig pemanentmagnet med ena änden mot norr, vi kallar denna ände Nordpol. (Observera att jordens nordpol alltså är en magnetisk sydpol!)
Vi definierar ett magnetfält som i varje punkt visar åt vilket håll nordpilen på en kompassnål pekar. (Vi återkommer till hur det alstras.)
Oersteds experiment 1820 visade att en elektrisk ström alstrade ett magnetiskt fält! Två till synes helt separata fenomen: magnetism och elektricitet visade sig alltså höra samman. En av seklets viktigaste upptäckter! Laddningar i rörelse alstrar ett magnetfält Laddningar i rörelse påverkas av ett magnetfält I kap. 27 koncentrerar vi oss på den senare effekten.
Vid första anblicken kan det verka som om magnets poler liknar + och laddning. Har vi kanske samma enkla samband för kraften mellan två magneter som för två laddningar? F Electric F Magnetic q1q r =??? 2 2 NEJ! Magnetisk kraftverkan är annorlunda och mer komplicerad! Den magnetiska kraften är en konsekvens av laddningar i rörelse.
En viktig principiell skillnad: Nordpol och sydpol finns alltid tillsammans. Det finns inga magnetiska Monopoler! Vi skall återkomma till varför permanentmagneter beter sig som de gör. Först skall vi dock undersöka hur elektricitet och magnetism är kopplade till varandra
Ex. på magnetfält från olika källor (Mer i kap. 28!) Observera att de magnetiska fältlinjerna alltid bildar slutna kretsar. (en konsekvens av att det ej finns magnetiska monopoler)
Jämförelse mellan elektriskt och magnetiskt fält Det elektriska E-fältet verkar på alla laddningar, och kraften är alltid med eller motriktad (beroende på laddningens tecken). Det magnetiska B-fältet verkar på laddningar i rörelse, och kraften är vinkelrät mot både B-fältet och hastighetsvektorn. Riktningen beror på laddningens tecken. -
Den magnetiska kraften B och v parallella : F = 0 B och v godtyckligt riktade : F = qvbsinφ, F = qv B B och v vinkrelräta : F = qvb och vinkelrät mot både B och v OBS! Kraften ej i fältlinjernas riktning!
Högerregel nummer 1: Vrid vektorn v med högerhanden den kortaste vägen från ursprungsläget mot vektorn Tummen pekar då i riktningen v B B. Högerhandsregeln gäller + laddning! Om q är negativ, så får kraften motsatt riktning!
Om man kombinerar den elektriska kraften och den magnetiska kraften på en laddning erhålls den s.k. Lorentz-kraften ( ) = q E + v B F Kraftens riktning beror både på vektorernas riktningar och laddningens tecken.
Begreppet Flöde stötte vi på i kap. 22, Gauss sats På samma sätt som för det elektriska fältet kan vi definiera ett Magnetiskt flöde Φ B.
Hur ser Gauss sats för det magnetiska fältet ut? Gäller alltid! Detta är en konsekvens av att det magnetiska fältlinjerna alltid är slutna, dvs alltid lika stort flöde in som ut ur en godtycklig volym. Jämför med E-fältet! Bara pilar utåt, dvs E fältet flödar ut ur den slutna ytan när laddningen är innesluten. Lika många pilar in som ut. B fältets flöde ut ur slutna ytan är noll även när magneten är innesluten!
SI - enheten för magnetiskt B F = qv, Magnetismens enheter Ns Cm Magnetiskt flöde = N Am (Observera att elektriskt flödeφ fält ges från vilket fått namnet Tesla [ T] = [ ] 2 Φ BA har sorten Tm som kallas Weber [ Wb ] B = E ejfått eget namn) Med beteckningarna ovan kallas magnetfältet flödestäthet. B ibland magnetisk
Laddade partiklars rörelse i ett magnetfält F = qv B ger alltid en kraft som är vinkelrät mot v. Från mekaniken vet vi att en sådan kraft ej gör något arbete på partikeln, men ändrar dess riktning. Om hastigheten ligger i tavlans plan i figuren ger mekaniken att partikeln kommer att röra sig i en cirkel med centripetalacceleration v 2 /R vilket ger: 2 v F = q vb = m R mv R = radie hos partikel i cirkulär bana q B v v q B q B ω = = =, f = R mv m ω kallas Cyclotronfrekvens 2π
Kommer laddningen in parallellt med B-fältet: Ingen kraft, dvs går rakt Kommer laddningen in vinkelrätt: Cirkelrörelse Kommer laddningen in snett mot fältet: Vinkelräta komponenten ger cirklar, paralella komponenten ger opåverkad rörelse dvs. laddningen rör sig i en spiral.
Magnetfält kan användas för att innesluta het gas vid fusionsexperiment.
Jordmagnetiska fältet skyddar oss från kosmisk strålning. När laddade partiklar rör sig i spiralbanor och kolliderar med atomer i översta atmosfären alstras ljus, Norrsken.
När partikelkollisioner vid acceleratorlaboratorier skall utvärderas, studerar man hur spår av partiklar som rör sig i ett magnetfält ser ut.
Magnetisk kraft på strömledare (rät vinkel) Om ledare ligger vinkelrätt mot magnetfältet är medelkraften på varje laddningsbärare: F e = qv d B Fig. 27.25 Betrakta en rak ledare av länden l och tvärsnittsarea A enligt figur och beräkna summan av kraften på alla laddningar. Vi har n laddningsbärare/m 3. F = (nal)(qv d B) = (nqv d A)(lB) Men J = nqv d, och I=JA F = BIl
Magnetisk kraft på strömledare (godtycklig vinkel) F = BIl sinφ F = Il B d F = Idl B Kraften på en krokig ledare erhålls alltså genom att integrera ekvationen ovan. Fig. 27.26
Hur kraften på en rak ledare ändras när fältriktning och strömriktning ändras. Fig. 27.27 En högtalare är ett bra exempel på magnetisk kraftverka på en ledare. Fig. 27.28
En current loop är viktig eftersom den beskriver en magnetisk dipol med dipolmoment µ = IA där A är loopens yta. Observera att nettokraften på loopen är noll, men krafterna längs x-axeln ger ett vridmoment τ. τ = 2F(b/2) sin φ =(IBa)(b sin φ) Med ba = A och µ =IA τ= (IA)Bsinφ τ = µb sin φ Om vi låter µ får riktning enligt högerhandsregel 2: τ = µ B Fig. 27.31
Högerhandsregel 2 Riktningen hos de magnetiska dipolmomentet är i tummens riktning om högerhandens fingrar går i strömmens ritning. Fig. 27.32
Energi och vridmoment hos magnetisk dipol τ = µ B Vridmoment på magnetisk dipol U = µ B cosφ = µ B Potentiell energi hos magnetisk dipol Fältet vill vrida dipolen så att µ står parallellt med fältet, dvs till φ =0. Då är U = -µb, dvs minimerad. Tvingar man den till läget φ = π radianer blir U = +µb, dvs. maximerad. Stämmer! (Jämför med samband för elektrisk dipol) τ = U p E = p E
För en spole (solenoid på engelska) blir τ = µb sin φ för varje varv. µ=ια Om vi har N varv: τ = ΝΙΑΒ sin φ Fig. 27.34
Magnetisk kraft på magnetisk dipol (Fig. 27.36 är svårtolkad, se sidovy nedan) B d F = dl B. d F = dl B Observera att vi får en kraft åt höger eftersom fältlinjerna går isär, dvs för att fältet är inhomogent! B
Nu kan vi börja förklara en permanentmagnet. Dess atomer har elektroner som bildar strömmar som cirkulerar runt kärnan, och bildar magnetiska dipoler. Detta innebär två saker: Dessa dipoler alstrar magnetfältet (kap. 28) Dessa dipoler förklarar hur en permanentmagnet beter sig i ett yttre magnetfält.
Permanentmagnet Varje atom i ett ferromagnetiskt ämne utgör en magnetiska dipol. Om man kan få dessa att spontant linjera upp sig har man en permanentmagnet. Utsätts permanentmagneten för ett homogent magnetfält vill den vrida in sig i fältets riktning, men nettokraften = noll. Utsätts permanentmagneten för ett inhomogent magnetfält får man också en nettokraft Fig. 27.37 F
Attraktionen mellan en permanentmagnet och ett omagnetisk föremål av t.ex. järn kan beskrivas som en tvåstegsprocess: 1: Fältet från magneten orienterar dipolerna i föremålet. 2: Det inhomogena fältet attraherar de bildade dipolerna. Fig. 27.38
Likströmsmotor τ = µ B Fig. 27.39
Tillämpning: Hastighetsfilter (27.5)
Tillämpning: Mass-spektrometer Kombinera hastighetsfiltret med magnetisk avböjning. 1. Jonisera atomer. De flesta förlorar en elektron och får laddning +e. 2. Hastighetsfiltrera jonerna. 3. Låt jonerna gå vinkelrätt mot B-fält. R=(mv)/(eB). Mät R. 4. Jonernas massa ges av m=(ebr)/v
Tillämpning 4: Bestämning e/m, kvoten mellan elektronens laddning och massa.
Ex. 27.8 Magnetisk kraft på böjd ledare