Tentamen 2017-08-18 kl 14-19 FAFF25/FAFA60 Fotonik 2017 Läs noga igenom dessa instruktioner innan du påbörjar arbetet! Lösningarna ska vara renskrivna och väl motiverade. Beskriv i text hur du löser uppgiften, och förklara de beteckningar du använder i formler och uttryck. Uppgifter utan tydligt markerat svar ger inte full poäng och glöm inte enheter! Tillåtna hjälpmedel är miniräknare, godkänd formelsamling (t.ex. TeFyMa) samt formelblad. Mobiltelefon får ej finnas i fickan eller framme på bordet. Börja ny uppgift på ett nytt blad och skriv bara på en sida av pappret. Skriv anonymkod (alternativt namn om du inte fått anonymkod) på varje blad och numrera sidorna. Uppgifterna är inte sorterade efter svårighetsgrad. Varje korrekt löst uppgift ger 3 poäng efter en helhetsbedömning. - För betyg 3 krävs minst 12 poäng. - För betyg 4 krävs minst 16 poäng. - För betyg 5 krävs minst 20 poäng. Formelbladet hittar du sist i detta häfte. Lycka till // Martin Hansson 1. Inledande frågor a) Opolariserat ljus med intensiteten 1 W/cm 2 infaller mot ett system av tre polarisatorer enligt figuren nedan. Hur stor är intensiteten efter den sista polarisatorn i systemet? b) En dörrkikare är inget annat än en omvänd Galileikikare. Beräkna vinkelförstoringen för en dörrkikare som konstrueras av två linser med brännvidderna 6 mm och 25 mm. c) En sommarkväll infaller solljus, med en intensitet av 1 kw/m 2 och infallsvinkel på 30, mot ett treglasfönster på ett hus. Trots att reflektansen i varje skikt bara är ca 4%, så blir den totala reflektansen så hög som 22%. Vad är amplituden på den elektriska fältstyrkan för det reflekterade ljuset? 2. Diskussionsuppgift En flygplansmekaniker lägger märke till att ljudet från ett tvåmotorigt propellerflygplan varierar när båda motorerna körs. Dessutom låter variationen likadant oberoende av var mekanikern står i förhållande till planet. Förklara vad fenomenet beror på. 1
Tentamen 2017-08-18 kl 14-19 FAFF25/FAFA60 Fotonik 2017 3. Ögat och glasögon En närsynt person går till sin optiker som uppmäter att personen endast ser skarpt på avstånd mellan 10 cm och 50 cm från ögats främre yta. Optikern låter tillverka glasögon med tunna linser som placeras 2 cm från ögats främre yta som nu gör att personen kan se skarpt på mycket stora avstånd (oändligt). a) Vilken brännvidd har glasögonen? b) Vid användning av glasögonen upptäckes att närgränsen flyttats. Var ligger personens närgräns nu? c) Glasögon tillverkas alltid så att ytan närmst ögat är kraftigt konkav. I detta fall tillverkades linserna av ett högbrytande material med brytningsindex 1,7 och så att ytan närmst ögat har en krökningsradie på 5 cm. Bestäm den andra ytans krökningsradie. 4. Antireflexbehandling Vid användning av glasögon i miljöer med stark konstrast, t.ex. vid bilkörning i mörker, uppstår ofta problem på grund av reflektioner i glaset. Ljuset från en mötande bils strålkastare sprids ut över ett större område och försämrar sikten runt om. Ett annat problem är att, med solen i ryggen, uppstår ibland reflexer i linsernas ytor som kan vara mycket störande för bäraren. För att minska dessa reflexer antireflexbehandlas därför ofta linserna efter att de tillverkats. a) Antireflexbehandling kan göras genom att medelst förångning applicera ett tunt lager av ett material med ett annat brytningsindex än linsens. Rita en figur som visar hur infallande ljus reflekteras i linsen med antireflexbehandling och förklara hur reflexen kan släckas ut. Du behöver bara ta hänsyn till en reflex i varje gränsskikt och du kan här betrakta linsen som en plan glasplatta. Glöm inte markera eventuella fasskiften vid reflektion. b) Bäst antireflexbehandling fås då ytskiktets brytningsindex är nn aaaa nn llllllll och man väljer en beläggning av MgF 2 som har ett brytningsindex på 1,35. Vad är minsta tjockleken på skiktet för att optimalt reducera reflektioner av normalt infallande ljus med en våglängd av 550 nm? 2
Tentamen 2017-08-18 kl 14-19 FAFF25/FAFA60 Fotonik 2017 5. Upplösning hos en digital systemkamera (DSLR) En Canon EOS 80D har en rektangulär bildsensor, med måtten 22,5 mm 15,0 mm, innehållande 25,8 miljoner kvadratiska bildelement (25,8 megapixel). Den utrustas med ett 50-mm-objektiv med bländartal 1,4. a) Kameran är inställd för att fokusera på objekt 10 meter bort. Vad är det minsta (transversella) avståndet mellan två punkter i objektplanet som kan upplösas? Räkna på en våglängd mitt i det synliga området. b) För att öka skärpedjupet i bilden bländas objektivet ned maximalt till ett bländartal av 22. Vad är nu det minsta avstånd som kan upplösas på samma avstånd? c) Vad är skärpedjupet i de två fallen? 6. Helium-neon-lasern Helium-neon-lasern är en gaslaser med stort användningsområde. Till exempel användes olika sådana i laborationen i ljusets böjning i denna kurs. Förstärkningen sker i en gasblandning av helium och neon som pumpas genom elektrisk urladdning. Förstärkningsmediumet har ett brytningindex på 1. Laserljuset kopplas ut ur lasern genom en av ändspeglarna och typiskt används mycket hög återkoppling för att få laserverkan. I denna uppgift betraktas en helium-neon-laser som levererar en kontinuerlig laserstråle med en våglängd av 632 nm, diameter av 2 mm och har en uppmätt effekt av 2,2 mw. a) Beräkna det utgående flödet av fotoner, d.v.s. antalet fotoner per sekund som lämnar lasern. b) Utkopplingsspegeln har en reflektans på 99,5%. Hur många fotoner träffar ändspegeln varje sekund? c) Laserkavitetens längd är 30 cm. Beräkna det totala antalet laserfotoner i kaviteten. d) Vid kontinuerlig drift av en helium-neon-laser uppnås ett steady-state, där förstärkningen i lasermediet är lika stor som förlusterna i hela lasern. Beräkna laserns förstärkningskoefficient. Du kan anta att den andra ändspegelns reflektans är 1 och det inte finns några andra förluster i lasern. 3
Tentamen 2017-08-18 kl 14-19 FAFF25/FAFA60 Fotonik 2017 7. Fiberoptik En 4 m lång optisk fiber av märket Ericsson kopplas ihop med en 8 m lång optisk fiber av märket Quartz & Slice. Man provar därefter att koppla in en fiberoptisk sändare i vardera ände och upptäcker då att den transmitterade effekten är betydligt större i ena riktningen jämfört med den andra. a) Beräkna kopplingsförlusterna i skarven mellan de två optiska fibrerna i båda riktningarna. Du får försumma förluster på grund av reflektion i gränsskikten. b) En sändare som levererar en effekt på 10 dbm vid 850 nm kopplas in i den lösa änden av Quartz-&-Slice-fibern. Inkopplings- och utkopplingsförlusterna är vardera 0,4 db. Hur stor effekt transmitteras genom hela det fiberoptiska systemet? Ange svaret i linjär skala, d.v.s. i Watt. Tillverkare Ericsson Quartz & Slice Typ Stegindex Stegindex Kärndiameter 100 µm 600 µm Manteldiameter 140 µm 780 µm Material Glas/glas Kvarts/plast Utvändig diameter 0,3 mm 1,1 mm αα vid 850 nm 15 db/km 12 db/km Bandbredd 15 MHz km 9 MHz km Numerisk apertur 0,31 0,40 8. Interferens från CD-skiva Då en CD-skiva belyses med ljus från en argonjonlaser kommer spåren på skivan att fungera som ritsarna på ett reflektionsgitter. Figuren visar uppställningen ovanifrån. Laserljuset innehåller 6 synliga våglängder varav de två starkaste är 488,0 nm och 514,5 nm. På en skärm som är parallell med den infallande laserstrålen observeras en intensiv ljusfläck och man uppmäter vinkelavståndet till denna fläck från CD-skivans normal till 60,0. Ett stycke därifrån ser man 6 fläckar av aningen olika färg, varav de två starkaste är på vinkelavstånden 34,2 respektive 33,0 från skivans normal normalen. Samtliga fläckar är på samma höjd över bordet. Beräkna avståndet mellan spåren på skivan. 4
Lösningsförslag Tentamen i fotonik FAFA60/FAFF25 30 augusti 2017 1 Inledande frågor a) Det opolariserade ljuset med intensitet I 0 = 1 W/cm 2 blir efter A polariserat i vinkel 0 med intensitet I A = I 0 /2. Efter B blir polarisationsvinkeln 45 och intensiteten I B = I A cos 2 (45 ). Efter C blir polarisationsvinkeln 90 och intensiteten I C = I B cos 2 (45 ) = I B /2 = I A /4 = I 0 /8 = 1/8 W/cm 2. b) Galileikikarens vinkelförstoring är G = fob f ok. Den omvända Galeileikikarens objektiv har brännvidd f ob = 6 mm och okularet har brännvidd f ok = 25 mm. G = 6 mm 25 mm = 0,24 c) Den reflekterade intensiteten är I r = I 0 0,22 = 220 W/m 2. Elektriska fältets amplitud är: E 0 = 2I µ0 ɛ 0 = 407 V/m 1
2 Diskussionsuppgift Fenomenet kallas svävning. De två motorerna skapar varsin ton med aningen olika frekvens f 1 f 2. Interferensen mellan de två tonerna medför att amplituden på den totala ljudvågen varierar med en frekvens av f = f 2 f 1. Svävningen är oberoende av var man står. 2
3 Ögat och glasögon a) Glasögonen används för att skapa en bild av objekt i oändligheten (a = ), i ett bildplan som sammanfaller med ögats fjärrgräns, d.v.s. b = 48 cm. Gauss formel ger då f = b = 48 cm. b) Den nya närgränsen bestäms genom att beräkna avståndet till ett bildplan som avbildas på ögats ursprungliga närgräns, d.v.s. b = 10 cm+2 cm = 8 cm. Gauss formel ger ( 1 a = f 1 ) 1 = 9,6 cm. b Den nya närgränsen ligger därför på ett avstånd av 9,6 cm+2 cm = 11,6 cm från ögat. c) Ytan närmst ögat har krökningsradien (med tecken) R 2 = 5 cm. Den andra ytans krökningsradie beräknas från linstillverkarformeln ( 1 1 = (n 1) 1 ) f R 1 R 2 ( 1 R 1 = f (n 1) + 1 ) 1 = 5,87 cm R 2 3
4 Antireflexbehandling a) 1 2 n l = 1 π n ar = 1,35 π n lins = 1,7 Den inkommande vågen reflekteras först i gränsskiktet mellan luft och antireflexskiktet. Den reflekterade vågen 1 får ett fasskift på π. Den resterande delen av vågen fortsätter genom antireflexskiktet och reflekteras sedan i ytskiktet mot linsen. Den reflekterade vågen får ett fasskift på π och fortsätter sedan ut genom gränsskiktet mellan antireflexskiktet och luft 2. Jämfört med våg 1 har våg 2 gått en extra optisk sträcka på 2n ar d, där d är antireflexskiktets tjocklek. Om man väljer tjockleken d så att fasskillnaden mellan de två vågorna blir π + 2πm, där m är ett heltal, så kommer dessa två vågor interferera destruktivt. Om dessutom de två vågornas amplitud är precis lika stor, så blir inteferensen total och de två vågorna släcker ut varandra helt. b) Som figuren visar är fasskillnaden mellan de två reflekterade vågorna φ = φ 2 φ 1 = 2n ar d 2π λ +π π. För destruktiv interferens gäller att φ = π +2πm, där m är ett heltal. Tunnast skikt beräknas genom att välja m = 0 och vi får 4n ard λ 2n ar d 2π λ + π π = π = 1 d = λ 4n ar = 101,9 nm 4
5 Upplösning Förstoringen i avbildningen beräknas först. Gauss lag ger för a = 10 m och f = 50 mm bildavståndet b = 50,3 mm. Detta ger M = b/a = 0,00503. a) Vi måste först utreda om upplösningen begränsas av pixelstorleken eller av böjning. Pixelstorleken är l p = 22,5 mm 15,0 mm 25,8 10 = 3,6 µm. 6 ( ( )) Böjning ger en upplösning i bildplanet på l b = tan arcsin 1,22λ f/b t b = 0,94 µm. Upplösningen begränsas alltså av pixelstorleken och motsvarande avstånd i objektplanet, d, beräknas. d = l p /M = 0,7 mm. b) Upplösningen på grund av böjning beräknas för detta bländartal och ger l b = 14,8 µm. Detta är större än pixelstorleken och böjning är därför begränsande. Motsvarande avstånd i objektplanet, d, beräknas. d = l b /M = 2,9 mm. c) Skärpedjupet i avbildningen ges av formel s a2 1000f b t. Detta ger skärpedjupen 2,8 m respektive 44 m. 5
6 Helium-neon-lasern a) En fotons energi vid en våglängd av 632,8 nm ges av E ph = hc λ = 3,139 10 19 J. Fotonutflödet n u beräknas från effekten P och fotoenergin genom n u = P 2,2 mj/s = E ph 3,139 10 19 J = 7 1015 s 1. b) Fotonutflödet ges av n u = n i (1 R), där n i är flödet av fotoner mot utkopplingsspegeln och R är dess reflektans. n i = n u /(1 R) = 1,4 10 18 s 1. c) Om en foton reflekteras av utkopplingsspegeln så måste den färdas en sträcka av 2L, där L är kavitetslängden, innan den återkommer till utkopplingsspegeln. Detta motsvarar en tid av t = 2d/c = 2 ns. Denna tid tillsammans med fotonflödet från b) ger totala antalet fotoner i kaviteten N = n i t = 2,8 10 9 fotoner. d) Från formelbladet har vi att nettoförstärkningen i kaviteten är G = R 1 R 2 e 2γL. För steady-state gäller att G = 1 och leder till att förstärkningskoefficient kan lösas ut. γ = ln (R 1 R 2 ) 1 2L = 8,4 10 3 m 1 6
7 Fiberoptik a) Vi ser att både kärndiameter och numerisk apertur är strörre för Q&S-fibern. När ljus skickas från Ericsson-fiber till Q & S-fibern är övergången förlustfri (då reflektioner försummas). I andra riktningen beräknas förlusterna genom L d = 10 log 10 ( dk,2 d k,1 ) 2 = 15,6 db L NA = 10 log 10 ( NAk,2 NA k,1 ) 2 = 2,2 db b) Effekten (i dbm) som kommer genom systemet beräknas genom P dbm = 10 dbm L d L NA 15 db/km 4 m 12 db/km 8 m = 27,9 dbm P = 1,6 µw 7
8 Interferens från CD-skiva Den starkaste fläcken som syns på skärmen är den spekulära reflexen, även kallad den nollte ordningens diffraktion. Vi får därför att infallsvinkeln är lika stor, d.v.s. α 1 = 30. Ritsorna sprider våglängderna likt ett gitter och avlänkningen för kortare våglängder blir mindre än för längre våglängder. Vi kan därför konstatera att i första (negativa) ordningen syns ljus av våglängden λ 1 = 488 nm, vid vinkeln α 2 = 33,0 från normalen. På motsvarande sätt konstateras att ljus av våglängden λ 2 = 514,5 nm syns vid vinkeln α 3 = 34,2 från normalen. Gitterekvationen ger nu d 1 = d 2 = 1λ 1 sin α 2 sin α 1 = 1,52 µm 1λ 2 sin α 3 sin α 1 = 1,69 µm Medelvärdet av de två ger ett avstånd på 1,6 µm mellan ritsarna. 8