De naturliga talen. Vi skall till att börja med stanna kvar i världen av naturliga tal, N 3. Vi har redan använt (i beviset av Euklides primtalssats) att de naturliga talen är uppbyggda (genom multiplikation) av primtal. Detta påstående måste dock givetvis underbyggas. För att bevisa det använder vi induktion. Sats. Varje naturligt tal, större än eller lika med två, kan skrivas som en produkt av primtal. Bevis. Låt P vara påståendet att om talet är större än eller lika med två kan det skrivas som en produkt av primtal. Vi skall visa att P är sant för alla naturliga tal med hjälp av induktion. Betrakta mängden M m N ; P är sant för alla naturliga tal m. Vi måste visa att M N. Påståendet är (tomt) uppfyllt för m. Vi noterar också att vi genom vår konstruktion av M har att om p M och q p så gäller att q M. Antag nu att n M. Vi måste då visa att n M. Om n är ett primtal, så är vi klara. I annat fall gäller att n ab, där a b N och a b n. Följdaktligen gäller att a b M. Eftersom n är en produkt av a och b, vilka i sin tur alltså är produkter av primtal, följer att n M. Av induktionsaxiomet följer att M N. Primtalen är alltså de naturliga talens byggstenar, då vi bygger med multiplikation. Många av de svåraste öppna problemen kring primtal handlar om frågeställningar som dyker upp då vi betraktar primtal och addition. Exempelvis är det öppet om varje jämnt tal större än två kan skrivas som en summa av två primtal. Detta är den s.k. Goldbachs förmodan. Det är också öppet huruvida det finns oändligt många primtalstvillingar. Vi har redan sett Euklides bevis av hans primtalssats. Då man har lyckats bevisa ett påstående är det mycket värdefullt att gå tillbaka och fråga sig om man kan se sanningen på något annat sätt. Detta kan leda till helt nya insikter om den matematiska struktur man studerar. Finns det fler sätt att bevisa exempelvis Euklides primtalssats? Låt oss göra en liten historisk tillbakablick. Den december 79 skriver den 39-årige Christian Goldbach ifrån sin dåvarande position i Moskva till den då -årige Leonhard Euler: Känner du till Fermats observation, att alla tal av formen k är primtal? Fermat skrev att han inte lyckats bevisa detta, och så vitt jag vet har ingen annan lyckats göra det heller. Fermat hade då varit död i drygt sextio år. Hade Fermats förmodan varit sann, hade detta givetvis gett ett nytt bevis för Euklides primtalssats, men den hade också givit ett enkelt sätt att konstruera godtyckligt stora primtal.
Det var känt att de fem första Fermat talen är primtal. Låt F k k. Då gäller att F 0 3 P () F 5 P () F 7 P (3) F 3 57 P (4) F 4 65537 P (5) Euler svarade inte till att börja med, men efter nya brev med frågor ifrån Goldbach i ärendet svarade han slutligen följande: 5 49496797 64 670047. Fermats förmodan var alltså falsk. Vi skall dock se att Fermattal trots detta kan användas för att bevisa Euklides primtalssats. Två tal sägs vara relativt prima om de endast har som gemensam delare. De har alltså då inga gemensamma primtalsfaktorer. Eftersom antalet Fermattal är oändligt, så följer Euklides primtalssats omedelbart av följande resultat. Sats. Två skilda Fermattal är relativt prima. Innan vi ger beviset för denna sats, behöver vi en liten hjälpsats, ett lemma (från grekiskans lemma, tanke ). Lemma. För Fermattalen gäller att n F k F n (6) k 0 Bevis. Vi skall bevisa påståendet med induktion. Låt M beteckna mängden av n N sådana att (6) är sann. Det är klart att M, eftersom F 0 3, F 5 och 3 5. Antag nu att n M. Då gäller att n n k F k F n F k F n F n (7) 0 k 0 n n n F n (8) Detta betyder att n M och sålunda enligt induktionsaxiomet att M N. Det är nu en enkel sak att ge beviset av Sats. Bevis. Antag att ett tal m delar F k och F n, med k n säg. Då följer av (6) att m också delar. Eftersom alla Fermattal är udda är detta orimligt. Vi skall nu ge ytterligare ett bevis av Euklides primtalssats. I själva verket innehåller följande resultat av Euler betydligt mer information än så.
Sats 3. Det gäller att p P p (9) Eulers primtalssats säger alltså att då vi summerar de reciproka värdena av alla primtal ( 3 5 ), så blir denna summa oändlig. Detta ger omedelbart slutsatsen att antalet primtal är oändligt, men det säger ju också något om hur spridda primtalen är bland de naturliga talen. Innan vi ger beviset av Eulers primtalssats, skall vi kort motivera varför resultatet kan tolkas som att primtalen i själva verket ligger ganska tätt i mängden av naturliga tal. Låt oss dock börja med lite historik kring den harmoniska serien, d.v.s. summan av de reciproka värdena av alla naturliga tal. I slutet av 600-talet bodde i Basel två bröder, Jakob och Johan Bernoulli. Jakob studerade teologi och Johan studerade medicin, men då Leibniz första artikel om differentialkalkyl publicerades 684 i Acta eruditorum, en tidskrift Leibniz själv varit med och grundat två år tidigare, övergav bröderna sina tidigare studier och bestämde sig för att viga sina liv åt matematik. Johan bevisade och Jakob publicerade följande resultat 689: Sats 4. Det gäller att k N k (0) Anmärkning. Notera att man måste vara ytterst försiktig vid den typ av beteckningssätt vi använder ovan. Vad betyder egentligen k N k? Här måste det finnas något gränsvärde inblandat. I själva verket gäller det för positiva serier att de är oberoende av summationsordning. Vi får alltså samma gränsvärde (i detta fall ) oberoende av över vilka ändliga delindexmängder vi låter summationen svälla mot hela indexmängden. Detta är också fallet för absolutkonvergenta serier, men inte i fallet av betingat konvergenta serier. Vi ger inte Johans bevis av satsen utan följande enklare bevis. Bevis Sätt Då gäller att s n n k s 4 4 s 8 4 4 8 k () s 3 3
och i allmänhet s k 4 4 8 k k k () Eftersom N n s n Q är växande, visar detta att s n då n. Detta medför att den harmoniska serien är divergent. Vi vet alltså nu att den harmoniska serien är divergent. Eulers primtalssats säger att om vi inskränker oss till att endast summera över mängden av primtal, så divergerar serien ändå. Vi vet å andra sidan exempelvis att k N k (3) så primtalen förekommer mycket oftare än potenser av två bland de naturliga talen. Det finns relativt enkla bevis av Eulers primtalssats som använder t.ex. Taylorutvecklingar för logaritmer, men följande bevis av Paul Erdös är både enkelt och elementärt. kon- Bevis Låt p p p 3 vara primtalen i växande ordning. Antag nu att k p k vergerar. Då måste det finnas ett naturligt tal n så att k n p k. Kalla primtalen p p p n för små primtal och p n p n för stora primtal. För ett godtyckligt naturligt tal N gäller då att N N k n p k (4) Låt nu N st vara antalet naturliga tal N vilka är delbara med minst ett stort primtal, och låt N sm vara antalet naturliga tal N vilka endast innehåller små primtals faktorer. Genom att i slutänden välja N lämpligt skall vi visa att N sm N st N (5) vilket är en motsägelse eftersom vi i själva verket måste ha likhet ovan. a Låt b beteckna heltalsdelen av a b avrundad nedåt. Då gäller att N st k n N p k N (6) Låt oss nu betrakta mängden av naturliga k N vilka endast har små primtals faktorer. Varje sådant tal kan skrivas på formen k a k b k, där a k inte innehåller några kvadrater. Varje a k måste sålunda vara en produkt av skilda små primtal, och sådana produkter finns det precis n stycken. Dessutom gäller det att b k k N och sålunda N sm n N (7) 4
Eftersom (6) gäller för varje N ser vi att det räcker att finna ett N sådant att Detta går. Avslutningsvis kan vi här tillägga att det är känt att där T står för mängden av primtalstvillingar. n N N (8) (9) p T p Utvidgningar av talsystem Om vi endast har naturliga tal att räkna med kan vi inte alltid lösa följande problem. Problem. Givet a b N, finn x N så att a x b (0) Om b a saknar ekvation (0) lösning (bland de naturliga talen). Detta avhjälper vi genom att införa nollan och de negativa heltalen. Räknar vi med de hela talen Z : 0 kan vi alltid lösa Problem med N utbytt mot Z. Däremot dyker det upp svårigheter i följande fall. Problem. Givet a b Z, finn x Z så att ax b () Om inte b innehåller a som en faktor är detta problem olösligt i Z. Detta avhjälper vi genom att införa de rationella talen p Q : ; p Z q Z q 0 () q Räknar vi nu med de rationella talen kan vi alltid lösa Problem om bara a 0. Genom att använda enkla räkneoperationer i Q kan vi dock fortfarande råka i svårigheter. Problem 3. Lös ekvationen x 0 (3) 5
Redan pythagoreerna kände till att denna ekvation är olöslig i Q. Vi inför då de reella talen, R, (och detta är det i särklass svåraste steget hittills), vilket löser vårt problem ovan. Vi är fortfarande dock inte fria att räkna naturligt. Vi kan med enkla räkneoperationer bilda ekvationer där vi inte kan finna någon lösning. Exempelvis finns det inget reellt tal, x, som löser x 0 (4) Vi inför då slutligen de komplexa talen, C, talpar av reella tal. Vi kan här (och i alla utvidgningar ovan) identifiera de gamla talen med en delmängd av de nya. Det mirakulösa är att vi dessutom för de nya talen kan definiera multiplikation och addition så att alla de vanliga räknereglerna fortsätter att gälla och så att om det råkar vara gamla tal vi räknar med (under identifikationen nämnd ovan), så överensstämmer då de nya definitionerna av multiplikation och addition med de gamla. Allt detta behandlas utförligt i kursen Matematiska strukturer. Låt oss bara här nämna att införandet av de komplexa talen i någon mening är vägs ände. Algebrans fundamentalsats säger att vi genom att använda de grundläggande räkneoperationerna aldrig kan råka i svårigheter. Trots att satsen är av algebraisk natur kan man inte ge ett algebraiskt bevis. Alla bevis som finns bygger på topologiska metoder. Sats 5. Låt p vara ett komplext polynom, p z z n a n z n a z a 0, där alltså a 0 a a n C. Då finns det ett komplext tal α så att p α 0. Satsen bevisades av Gauss i hans doktorsavhandling 799. Han gav i själva verket där två olika bevis och sedan under sitt liv ytterligare tre. 6