UPPSALA UNIVERSITET Institutionen för informationsteknologi NUMERISK TALTEORI. Eva-Lotta Högberg Daniel Norin Linn Stengård Joakim Widén
|
|
- Per-Erik Lund
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 UPPSALA UNIVERSITET Institutionen för informationsteknologi NUMERISK TALTEORI Eva-Lotta Högberg Daniel Norin Linn Stengård Joakim Widén
2 INLEDNING Vi skall i detta arbete belysa den numeriska talteorins utveckling under de senaste århundradena samt datorernas och beräkningsalgoritmernas förfining. Detta åstadkoms genom att redogöra för och analysera försöken till bevis till och lösning av fyra talteoretiska problem som alla bygger på primtalsbegreppet; Mersennes tal, Fermats tal, Goldbachs förmodan samt problemet med primtalstvillingar. Ett primtal är som bekant ett tal som endast är jämnt delbart med sig självt och ett. De utgör alla heltals byggstenar på så sätt att man genom multiplikation av entydigt valda primtal kan uttrycka alla heltal. Alla primtal är udda utom talet 2 som också är det minsta primtalet. Fastän man redan på de gamla grekernas dagar bevisade att antalet primtal är oändligt så har man än idag inte funnit något sätt att representera ett godtyckligt stort primtal. Det vill säga man har inte funnit någon praktiskt användbar formel för vilken man kan sätta in ett godtyckligt tal och få ut ett primtal. För att lära sig mer om primtalens natur och kanske någon gång hitta en allmän formel med vilken man kan uttrycka primtal är det viktigt att finna nya primtal samt studera deras fördelning över tallinjen. MERSENNES TAL I försöken att hitta en formel på vilken man kan representera alla primtal ställde munken Marin Mersenne ( ) upp följande formel: M n = 2 n 1 Det skulle dock visa sig att detta inte var någon allmängiltig formel för primtal. Trots att det är bevisat att om 2 n 1 är ett primtal så är också n ett primtal så gäller dock inte det omvända. Det behöver alltså inte vara så att 2 n 1 är ett primtal även om n är det. Men fastän Mersenne misslyckades i sin egentliga föresats så lever formeln kvar. Detta då det visade sig att av de kända formerna för primtal är denna den på vilken man lättast kan bevisa att ett, mycket stort, tal 2
3 är ett primtal. 1 Följaktligen är det också tal av denna typ som ligger högst på listorna över de största kända primtalen. Detta trots att det egentligen rör sig om ganska liten andel av de tal som man kan representera på formeln 2 n 1 som verkligen är primtal. Man känner idag endast 39 stycken tal på formen som är primtal! Letandet efter Mersennetal är också kopplat till en annan del av talteorin, sökandet efter så kallade perfekta tal. Ett perfekt tal är det som är lika med summan av sina delare, det vill säga de tal som delar talet utan rest. Exempelvis så är 6 det första perfekta numret då dess delare 1, 2 och 3 blir talet 6 vid addition. Nästa är 28 = Sedan blir steget längre, de två efterföljande är 496 och I partiellt faktoriserad form blir dessa 2 3, 4 7, och Om man tittar lite närmare på de perfekta talen inser man att alla kan skrivas på formen 2 n 1 (2 n 1). I vart och ett av dessa fall är också 2 n 1 ett Mersenneprimtal. Det går att bevisa att ett jämnt tal är ett perfekt tal om och endast om det kan skrivas på formen 2 n 1 (2 n 1) och 2 n 1 är ett primtal. FERMATS TAL Pierre de Fermat levde under 1600-talet i Paris där han livnärde sig som juridisk ämbetsman. Hans stora intresse var matematik och han korresponderade med flera av dåtidens stora matematiker som Carcavi, Huygens och Mersenne. Här ska vi titta närmare på ett av de problem som även Fermat funderade över; 1 Beviset går ut på att man gör det s.k. Lucas-Lehmertestet där man kan sluta sig till att M n är ett primtal om och endast om det delar u n 2 jämnt, där u 0 = 4 och u i = u 2 i
4 nämligen om och i så fall hur man ska kunna finna en allmängiltig formel för primtal. Fermats förslag på lösning av problemet formulerade han så här: F n = 2 2 n +1 Enligt Fermat skulle alla lösningar till formeln vara primtal. För n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 är Fermattalen 3, 5, 17, 257, och Som synes blir Fermattalen stora redan vid små värden på n. Därför har man inte kunnat bevisa särskilt många Fermattal. Den schweiziske matematikern Leonhard Euler var 1732 den förste att motbevisa Fermats anmodan då han fann faktorn 641 = i F 5. F 5 var alltså ej något primtal. Sedan Eulers tid har man med olika metoder försökt att finna ytterligare F n, något som visat sig vara en tuff utmaning fick Landry fram F 6 = p (p = primtal med 14 decimalsiffror) men för ytterligare framgångar krävdes datorer och effektivare algoritmer. Fördelen vid datorexperimenterande är att Fermattal representeras som enkla binära tal. De börjar alltid med en etta som följs av nollor för att sedan återigen avslutas med en etta. Med hjälp av datorer är det enkelt att empiriskt undersöka förekomsten av primtal skrivna på binär form tog Morrison och Brillhart fram faktorerna i F 7 Sedan följde (med olika metoder) F , F , F , F F 12 till F 22 har man också försökt lösa. Fram till 1999 kände man dock fortfarande inte till något primtal större än F 4 vilket ger grund för en argumentation för att det enbart finns ett begränsat antal F n som är primtal. Det minsta Fermattal som man fortfarande inte lyckats faktorisera fullständigt är F 12 som man vet består av minst sju primtal. GOLDBACHS FÖRMODAN Vi har redan berört att primtalen är de hela talens byggstenar i meningen att alla heltal kan uttryckas som produkter av ett antal primtal. För varje heltal går det alltså att hitta ett entydigt antal primtalsfaktorer som via multiplikation bygger 4
5 upp talet. Kan vi på liknande vis göra en uppdelning med avseende på addition, eller med andra ord: är det möjligt att uttrycka alla heltal som en addition av ett antal primtal? Det är lätt att inse att det för ett godtyckligt tal alltid går att hitta sådana primtal om vi får välja hur många som helst. Den relevanta frågan är snarare hur många primtal som behövs. Svaret på detta problem anses sammanfattas i Goldbachs förmodan, som egentligen består av två hittills obevisade påståenden. Goldbachs förmodan i dess ursprungliga form uttrycks i ett brev från Christian Goldbach till Leonhard Euler Goldbach skriver där att varje heltal kan skrivas som summan av tre primtal. Man kan då göra påståendet att varje jämnt heltal är summan av två primtal, och det är det påståendet, vanligen benämnt the Binary Goldbach Conjecture, som oftast avses då man talar om Goldbachs förmodan. När vi i fortsättningen talar om Goldbachs förmodan är det detta vi hänvisar till. Det andra, svagare påståendet säger att varje udda heltal är summan av tre primtal, vilket allmänt kallas för the Ternary Goldbach Conjecture. Bilaga 1 visar de största och minsta primtal som behövs för att additivt bygga upp de första 24 heltalen. Det visar sig att för allt större heltal blir möjligheterna att kombinera ihop två primtal i summan större. Exempelvis kan talet 100 byggas upp av 6 olika par av primtal. Alltså bör det för större heltal bli mer sannolikt att Goldbachs förmodan är riktig. Arbetet med att bekräfta riktigheten i Goldbachs förmodan har länge utförts utifrån två angreppssätt. Dels görs försök att utarbeta ett strikt matematiskt bevis för påståendet, vilket visat sig vara mycket svårt. Dels görs försök att verifiera det för allt större tal, något som underlättats i hög grad av de ökade möjligheterna att utföra avancerade datorberäkningar. När det gäller bevisen har inget fullständigt sådant framkommit, men man har kommit en bit på väg. Under förutsättning att den så kallade Riemannhypotesen (en annan talteoretisk förmodan som anses vara riktig) är sann så är the Ternary Goldbach Conjecture bevisad. Ett steg mot ett bevis för den starkare förmodan togs 1973 då det bevisades att varje tillräckligt stort jämnt heltal kan skrivas som en summa av ett primtal och ett annat tal som antingen är ett primtal eller en 5
6 produkt av två primtal. Det har även bevisats att varje jämnt tal är summan av högst 18 primtal. Den verifierande sidan av verksamheten har rönt större framgångar på senare år. Bilaga 2 visar tillsammans med tidsangivelser de största tal k sådana att Goldbachs förmodan visat sig stämma för tal mindre än k. De höga siffrorna för senare år är en produkt av den accelererande datorkapaciteten. Det senaste stordådet utfördes av Jörg Richstein, vars verifiering vi skall undersöka lite närmare. Att verifiera Goldbachs förmodan för stora tal innebär vissa praktiska problem. Ett stort intervall kräver på grund av minneshanteringen uppdelning i mindre delar på vilka de möjliga primtalskombinationerna sedan testas. Richsteins program höll för varje heltal också reda på det minsta primtalet i summan. Arbetet delades upp på femton olika datorer: sju Sun Ultra1- och sex Sun4-workstations tillsammans med två Linuxbaserade PC-datorer. Ändå tog beräkningarna lång tid: hela 130 dagar med processerna lågprioriterade i bakgrunden krävdes för att slutföra verifieringen. PRIMTALSTVILLINGAR De primtal som dyker upp som par av på varandra följande udda heltal, exempelvis 3 och 5, 5 och 7, 11 och 13, 17 och 19, kallas primtalstvillingar. Alla dessa kan skrivas på formen 6 k +/ 1. Liksom alla andra mönster som kan skönjas bland primtalen så har dessa tvillingar länge rönt stort intresse bland matematiker och anses idag vara ett av de mest betydelsefulla olösta problemen inom talteorin. Trots att många har ägnat mycket tid åt att studera detta fenomen har ingen ännu kunnat bevisa det som är den stora frågan angående primtalstvillingarna nämligen om det finns oändligt många eller inte. Euklides fastslog som tidigare nämnts med ett enkelt bevis att det finns oändligt många primtal. Att sedan bevisa att det även finns oändligt många primtalstvillingar verkar inte vara mycket svårare, men ändå har ingen lyckats! Författarna av två artiklar från respektive uttrycker samma sak; det tycks ju så lätt och ändå har 2 Stanislaw Ulam Computers Scientific American
7 ingen lyckats! Matematikerna verkar dock överens om att det faktiskt finns oändligt många, för ingen har ju heller lyckats bevisa det motsatta. Då man inte har lyckats formulera något matematiskt bevis för att det finns oändligt många primtalstvillingar arbetar man liksom när det gäller andra former av primtal med att verifiera teorin för allt större tal. Som hjälp i jakten på allt större primtal och primtalstvillingar har man idag datorer och man slår ständigt nya rekord. På 80-talet påbörjades en lista över titanic primes med 1000 eller fler siffror och de som bevisade att dessa existerade fick titulera sig titans. Listan var från början inte lång, men idag känner man till tiotusentals titaniska primtal och man talar även om gigantiska och megastora primtal. Det största kända tvillingparet idag (eller i alla fall i somras) är / 1. Dessa tal har siffror och hittades i år av ett team lett av Jörg Richstein. Rekordet på antalet funna par av ett och samma team låg i juni på stycken och de största var då i storleksordningen och att finna alla dessa tog bara två år, något som ansågs vara en relativt kort tid i sammanhanget. Något som skiljer primtalstvillingarna från de andra primtalen är det faktum att summan av deras inverser ((1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + (1/11 + 1/13)) konvergerar till ett känt tal som kallas Bruns konstant. Den är idag fastställd till / Om denna summa hade divergerat liksom summan av alla primtals inverser gör, så hade det varit ett bevis för primtalstvillingarna är oändligt många, men nu är inte så fallet. Arbetet med att finna allt större tvillingar och att slå allt fler rekord fortsätter dock. Twin primes continue to fascinate. 4 AVSLUTNING Trots problemens skenbara trivialitet och trots beräkningsalgoritmernas utveckling och datorernas exponentiellt ökande kapacitet så har man ännu inte lyckats fullständigt bevisa de olika problemens förmodade lösningar. Men ju 3 Ivars Peterson Prime twins Science News Online 4 Peterson 7
8 större beräkningar man klarar av att göra desto större tal kan man verifiera att teorierna stämmer för. Då blir också sannolikheten hos teorierna allt större, medan även lösningar som falsifierar felaktiga teorier lättare kan finnas. EXTRA! EXTRA! Efter detta arbetes slutförande har stora händelser skett i primtalsvärlden. Mersennetal nummer 39, , upptäcktes alldeles nyligen av organisationen GIMPS, Great Internet Mersenne Prime Search. Organisationen är uppbyggd av medlemmar som via Internet kopplat ihop sina datorer till ett distribuerat nätverk. Detta skapar en datorkraft som är mycket stor och följaktligen så står organisationen registrerad för de hittills fem största kända primtalen. 8
9 REFERENSER Brent, Richard P, Factorization of the tenth fermat number, Mathematics of computation, volume 68, number American Mathematical Society. Colqiutt, W.N. och Welsh, L Jr., A new Mersenne prime, Mathematics of computation, volume 56, number American Mathematical Society. Peterson Ivars, Prime Twins Science News Online Richstein, Jörg, Verifying the Goldbach Conjecture up to 4*10 14, Mathematics of Computation, volume 70, number American Mathematical Society. Ulam, Stanislaw M, Computers, Scientific American, nr Singh, Simon, Fermats gåta, pan Aalborg Katedralskoles websida, december www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/mathematicians/fermat.html, School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland, december Science news websida, december Prime pages websida december
10 BILAGA 1 De tal k sådana att Goldbachs förmodan verifierats för alla heltal < k. k År 1 x x x x x x x BILAGA 2 De jämna heltalen mellan 4 och 50 uttryckta som summan av två primtal. De största respektive minsta möjliga primtalen har använts i varje summa = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 50 10
2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8)
De naturliga talen. Vi skall till att börja med stanna kvar i världen av naturliga tal, N 3. Vi har redan använt (i beviset av Euklides primtalssats) att de naturliga talen är uppbyggda (genom multiplikation)
Några satser ur talteorin
Några satser ur talteorin LCB 997/2000 Fermats, Eulers och Wilsons satser Vi skall studera några klassiska satser i talteori, vilka är av betydelse bland annat i kodningsteknik och kryptoteknik. De kan
PRIMTALEN, MULTIPLIKATION OCH DIOFANTISKA EKVATIONER
Explorativ övning 4 PRIMTALEN, MULTIPLIKATION OCH DIOFANTISKA EKVATIONER Syftet med detta avsnitt är att bekanta sig med delbarhetsegenskaper hos heltalen. De viktigaste begreppen är Aritmetikens fundamentalsats
TALTEORI FÖR ALLA 1 Juliusz Brzezinski
TALTEORI FÖR ALLA 1 Juliusz Brzezinski För exakt 10 år sedan publicerade Andrew Wiles sitt bevis av Fermats Stora Sats. Nyheten om hans resultat väckte enorm uppmärksamhet i hela världen. Vägen till lösningen
Problemdemonstration 1
Problemdemonstration 1 Divisorsummor och perfekta tal Låt oss för ett givet positivt naturligt tal x, summera alla naturliga tal d som x är delbar med, och som är mindre än x. Talen d kallas divisorer
Matematisk kommunikation för Π Problemsamling
Problemsamling Charlotte Soneson & Niels Chr. Overgaard september 200 Problem. Betrakta formeln n k = k= n(n + ). 2 Troliggör den först genom att exempelvis i summan +2+3+4+5+6 para ihop termer två och
Matematisk kommunikation för Π Problemsamling
Problemsamling Niels Chr. Overgaard & Johan Fredriksson 3 september 205 Problem 0. Skriv följande summor mha summationstecken. ( Dvs på formen q k=p a k där k är en räknare som löper med heltalssteg mellan
LABBA MED PRIMTAL OCH DELBARHET. Andreas Wannebo
LABBA MED PRIMTAL OCH DELBARHET Andreas Wannebo Vi ska studera egenskaper för heltalen. Det finns heltal såsom 1,2,3,4,... De är de positiva heltalen och det är dem vi vill studera. Först kan man ställa
, S(6, 2). = = = =
1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D2 och F, SF161 och SF160, den 17 april 2010 kl 09.00-14.00. Examinator: Olof Heden. DEL I 1.
Övningshäfte 2: Induktion och rekursion
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2017 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 2: Induktion och rekursion Övning D Syftet är att öva förmågan att utgående från enkla samband, aritmetiska och geometriska,
Sats 2.1 (Kinesiska restsatsen) Låt n och m vara relativt prima heltal samt a och b två godtyckliga heltal. Då har ekvationssystemet
Avsnitt 2 Tillägg om kongruensräkning Detta avsnitt handlar om två klassiska satser som används för att förenkla kongruensräkning: Kinesiska restsatsen och Fermats lilla sats. Den första satsen används
Primtalen och aritmetikens fundamentalsats
Primtalen och aritmetikens fundamentalsats Tomas Malm Bokförlaget Bärarna c 2015 Tomas Malm & Bokförlaget Bärarna Version av texten: 15 november 2016 Redigering/bearbetning av text & bild: Tomas Malm Detta
Gaussiska heltal. Maja Wallén. U.U.D.M. Project Report 2014:38. Department of Mathematics Uppsala University
U.U.D.M. Project Report 014:38 Gaussiska heltal Maja Wallén Examensarbete i matematik, 15 hp Handledare och examinator: Gunnar Berg Juni 014 Department of Mathematics Uppsala University Innehållsförteckning
INDUKTION OCH DEDUKTION
AVSNITT 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Med induktion menar man vanligen en mycket vanlig resonemangsmetod: man gör flera observationer, upptäcker ett mönster (eller något som man tror är ett mönster) och därefter
Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I
Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden
inte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 2. Explicita formler och rekursionsformler. Dag mötte vi flera talföljder,
4. Bestäm alla trippler n 2, n, n + 2 av heltal som samtliga är primtal. 5. Skriv upp additions- och multiplikationstabellen för räkning modulo 4.
Uppvärmningsproblem. Hur kan man se på ett heltal om det är delbart med, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 respektive? Varför? 2. (a) Tänk på ett tresiffrigt tal abc, a 0. Bilda abcabc genom att skriva talet två
Resträkning och ekvationer
64 Resträkning och ekvationer Torsten Ekedahl Stockholms Universitet Beskrivning av uppgiften. Specialarbetet består i att sätta sig in i hur man räknar med rester vid division med primtal, hur man löser
Geometri, talteori och kombinatorik
Geometri, talteori och kombinatorik Föreläsning 2: Primtal Eric Järpe C 2015 Eric Järpe MPE-lab ITE-akademin Högskolan i Halmstad January 14, 2015 Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och
NÅGOT OM KRYPTERING. Kapitel 1
Kapitel 1 NÅGOT OM KRYPTERING Behovet av att skydda information har funnits mycket länge, men först i samband med utvecklingen av datatekniken har det blivit ett allmänt problem för alla moderna samhällen.
Låt n vara ett heltal som är 2 eller större. Om a och b är två heltal så säger vi att. a b (mod n)
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén Algebra I, 5 hp Sammanfattning av föreläsning 9. Kongruenser Låt n vara ett heltal som är 2 eller större. Om a och b är två heltal så säger vi att
Kapitel 2: De hela talen
Kapitel 2: De hela talen Divisionsalgoritmen ( a a Z, d Z\{0} q, r Z : d = q + r ) d, 0 r d c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad där q kallas kvoten och r kallas principala resten vid heltalsdivision.
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 5.3. Vi använder Euklides algoritm och får 4485 = 1 3042 + 1443 3042 = 2 1443 + 156 1443 = 9 156 + 39 156 = 4 39. Alltså är sgd(3042, 4485) = 39. Om vi startar
Kryptering och primtalsfaktorisering
Institutionen för Numerisk analys och datalogi Kryptering och primtalsfaktorisering Johan Håstad Nada, KTH johanh@nada.kth.se Ett Exempel N = 9324894190123791048152332319394135 4114125392348254384792348320134094
Övningshäfte 1: Induktion, rekursion och summor
LMA100 VT2006 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 1: Induktion, rekursion och summor Övning A 1. Kan ni fortsätta följden 1,3,5,7,9,11,...? 2. Vilket är det 7:e talet i följden? Vilket är det 184:e?
INDUKTION OCH DEDUKTION
Explorativ övning 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Syftet med övningen är att öka Din problemlösningsförmåga och bekanta Dig med olika bevismetoder. Vårt syfte är också att öva skriftlig framställning av matematisk
1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 1 1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta
Föreläsning 9: Talteori
DD2458, Problemlösning och programmering under press Föreläsning 9: Talteori Datum: 2009-11-11 Skribent(er): Ting-Hey Chau, Gustav Larsson, Åke Rosén Föreläsare: Fredrik Niemelä Den här föreläsningen handlar
Udda Perfekta Tal. Kajsa Matti. Examensarbete för kandidatexamen 2014
Udda Perfekta Tal Kajsa Matti Examensarbete för kandidatexamen 204 Abstract This bachelor's thesis is about odd perfect numbers and some of the conditions and characteristics they have if they exist.
DD1350 Logik för dataloger. Fö 7 Predikatlogikens semantik
DD1350 Logik för dataloger Fö 7 Predikatlogikens semantik 1 Kryssprodukt av mängder Om A och B är två mängder så är deras kryssprodukt A B mängden av alla par (a,b), där a A och b B. Ex: A={1,2}, B={3,4},
Hela tal LCB 1999/2000
Hela tal LCB 1999/2000 Ersätter Grimaldi 4.3 4.5 1 Delbarhet Alla förekommande tal i fortsättningen är heltal. DEFINITION 1. Man säger att b delar a om det finns ett heltal n så att a Man skriver b a när
Hur man skriver matematik
Hur man skriver matematik Niels Chr. Overgaard 2018-10-01 N. Chr. Overgaard Skriva matematik 2018-10-01 1 / 12 Information: Opposition och kompisgranskning En del av inlämningsuppgift går ut på att man
Tal och polynom. Johan Wild
Tal och polynom Johan Wild 14 augusti 2008 Innehåll 1 Inledning 3 2 Att gå mellan olika typer av tal 3 3 De hela talen och polynom 4 3.1 Polynom........................... 4 3.2 Räkning med polynom...................
Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik
Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Mats Boij 28 oktober 2001 1 Heltalen Det första kapitlet handlar om heltalen och deras aritmetik, dvs deras egenskaper som
18 juni 2007, 240 minuter Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 24p. för Väl Godkänd (av maximalt 36p.
HH / Georgi Tchilikov DISKRET MATEMATIK,5p. 8 juni 007, 40 minuter Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 5p. för Godkänd, 4p. för Väl Godkänd (av maximalt 36p.). Förenkla (så mycket som
DELBARHET OCH PRIMTAL. Syftet med detta avsnitt är att bekanta sig med delbarhetsegenskaper hos heltalen.
Explorativ övning 3 DELBARHET OCH PRIMTAL Syftet med detta avsnitt är att bekanta sig med delbarhetsegenskaper hos heltalen. De viktigaste begreppen är delbarhet och divisionsalgoritmen största gemensamma
LMA033/LMA515. Fredrik Lindgren. 4 september 2013
LMA033/LMA515 Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 4 september 2013 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 1 / 25 Outline 1 Föreläsning
Delbarhet och primtal
Talet 35 är delbart med 7 eftersom 35 = 5 7 Delbarhet och primtal 7 är en faktor i 35 kan skrivas 7 35 7 är en delare (divisor) till 35 35 är en multipel av 7 De hela talen kan delas in i jämna och udda
Kontinuitet och gränsvärden
Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika
Ansats till att bevisa Fermats stora sats,
Ansats till att bevisa Fermats stora sats, x n + y n = z n Sina Mozayyan Esfahani N3D, Kungsholmens Gymnasium Gymnasiearbete 100 poäng Naturvetenskapligt program Läsåret: 2013-2014 Handledare: Helena Danielsson
Primtal, faktorisering och RSA
17 november, 2007 Ett Exempel N = 93248941901237910481523319394135 4114125392348254384792348320134094 3019134151166139518510341256153023 2324525239230624210960123234120156 809104109501303498614012865123
RSA-kryptering och primalitetstest
Matematik, KTH Bengt Ek augusti 2016 Material till kurserna SF1630 och SF1679, Diskret matematik: RSA-kryptering och primalitetstest Hemliga koder (dvs koder som används för att göra meddelanden oläsbara
Relationer. 1. Relationer. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin. Specialkursen HT07 23 oktober 2007
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 23 oktober 2007 Relationer Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen är
Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl
1 Matematiska Institutionen KTH Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna
Inlämningsuppgift, LMN100
Inlämningsuppgift, LMN100 Delkurs 3 Matematik Lösningar och kommentarer 1 Delbarhetsegenskaper (a) Påstående: Ett heltal är delbart med fyra om talet som bildas av de två sista siffrorna är delbart med
Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION
Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför att matematisk
Att dela en hemlighet
Att dela en hemlighet Olle Alvin, NA3d 19 maj 014 Gymnasiearbete Spyken Handledare: Roger Bengtsson Abstract This report will investigate different methods for sharing secret information, for example bank
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför
Matematikens Element. Vad är matematik. Är detta matematik? Anders Fällström Institutionen för matematik och matematisk statistik Umeå universitet
Matematikens Element Höstterminen 2006 Anders Fällström Institutionen för matematik och matematisk statistik Umeå universitet Vad är matematik Är detta matematik? 3 1 Eller kanske detta? 4 Men det här
Lennart Rolandsson, Uppsala universitet, Ulrica Dahlberg och Ola Helenius, NCM
Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg II Del 1: Om programmering Aktiviteter Del 1 Lennart Rolandsson, Uppsala universitet, Ulrica Dahlberg och Ola Helenius, NCM Ni
Block 2 Algebra och Diskret Matematik A. Följder, strängar och tal. Referenser. Inledning. 1. Följder
Block 2 Algebra och Diskret Matematik A BLOCK INNEHÅLL Referenser Inledning 1. Följder 2. Rekursiva definitioner 3. Sigmanotation för summor 4. Strängar 5. Tal 6. Övningsuppgifter Referenser Följder, strängar
Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION
Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför att matematisk
Algebra I, 1MA004. Lektionsplanering
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska Institutionen Dan Strängberg HT2016 Fristående, IT, KandDv, KandMa, Lärare 2016-11-02 Algebra I, 1MA004 Lektionsplanering Här anges rekommenderade uppgifter ur boken till
Euler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom
46 Euler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom Lars Hörmander Lunds Universitet Datorer gör det möjligt att genomföra räkningar som tidigare varit otänkbara, exempelvis att beräkna summan
Grupper och RSA-kryptering
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 26 oktober 2007 Grupper och RSA-kryptering Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen
Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning
Matematik, KTH Bengt Ek november 207 Material till kursen SF679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk 0 Inledning Talet π (kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter) är inte ett rationellt tal
KTHs Matematiska Cirkel. Talteori. Andreas Enblom Alan Sola
KTHs Matematiska Cirkel Talteori Andreas Enblom Alan Sola Institutionen för matematik, 2008 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Innehåll 0 Mängdlära 1 0.1 Mängder...............................
A B A B A B S S S S S F F S F S F S F F F F
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 17. Logik När man utför matematiska resonemang så har man alltid vissa logiska spelregler att förhålla
Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL2 och Media 1, SF1610 och 5B1118, onsdagen den 17 augusti 2011, kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL och Media, SF60 och 5B8, onsdagen den 7 augusti 0, kl 4.00-9.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga
2-2: Talförståelse, faktoruppdelning Namn:
2-2: Talförståelse, faktoruppdelning Namn: Inledning I det här delmomentet skall du öva upp din talförståelse, dvs hur tal är uppbyggda. Hur då uppbyggda? frågar du säkert. Man startar väl med talet ett
Offentlig kryptering
127 Offentlig kryptering Johan Håstad KTH 1. Inledning. Denna uppgift går ut på att studera ett offentligt kryptosystem. Med detta menas ett kryptosystem där det är offentligt hur man krypterar, men trots
gränsvärde existerar, vilket förefaller vara en naturlig definition (jämför med de generaliserade integralerna). I exemplet ovan ser vi att 3 = 3 n n
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 mars 208 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
En av matematikhistoriens mest berömda trianglar är Pascals triangel,
Michael Naylor Okända skrymslen i Pascals triangel Pascals triangel, som har varit känd av indiska, persiska, arabiska och kinesiska matematiker i mer än tusen år, fick sitt nuvarande namn i mitten av
1 Talteori. Det här kapitlet inleder vi med att ta
1 Talteori DELKAPITEL 1.1 Kongruensräkning 1. Talföljder och induktionsbevis FÖRKUNSKAPER Faktorisering av tal Algebraiska förenklingar Formler Direkta och indirekta bevis CENTRALT INNEHÅLL Begreppet kongruens
TALSYSTEM, DELBARHET OCH PRIMTAL
Explorativ övning 3 TALSYSTEM, DELBARHET OCH PRIMTAL Syftet med detta avsnitt är att titta närmare på positionssystemet och på heltalens multiplikativa struktur. De viktigaste begreppen är presentation
Tentamen består av 26 uppgifter fördelade på fem olika ämnesområden. Del 2 5 ger maximalt 11 poäng/del.
Skolmatematiktenta LPGG05 Kreativ Matematik 23 augusti 2016 8.15 13.15 Hjälpmedel: - Ansvarig lärare: Maria Lindström 054-7002146 eller 070-5699283 På omslagsbladet står att ni måste använda ett blad per
För att få första och sista elementet i en lista kan man använda First och Last
Arbetsblad 3 I det tredje arbetsbladet tar vi upp rekursiva definitioner, listor och primtal. Precis som det tidigare arbetsbladet är detta en mindre modifiering av en text skriven av Rikard Bögvad för
Övningshäfte 6: 2. Alla formler är inte oberoende av varandra. Försök att härleda ett par av de formler du fann ur några av de övriga.
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2005 MATEMATISK BASKURS Övningshäfte 6: Syftet med övningen är att utforska strukturen hos talsystemen under addition respektive multiplikation samt sambandet
a) A = 3 B = 4 C = 9 D = b) A = 250 B = 500 C = a) Tvåhundrasjuttiotre b) Ettusenfemhundranittio
Övningsblad 2.1 A Heltal 1 Skriv det tal som motsvaras av bokstaven på tallinjen. A B C D E F 0 10 0 50 A = B = C = D = E = F = G H I J K L 10 20 50 100 G = H = I = J = K = L = 2 Placera ut talen från
Anteckningar propp SMT2
Anteckningar propp SMT2 Lars Åström 11 december 2015 Under proppen ska följande gås igenom: Induktion - dominoeffekten Falluppdelning Extremprincipen Invarians Andra knep som används Induktion Vi använder
Mer om reella tal och kontinuitet
Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 0 januari 207 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje
Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, m fl, SF1610, tisdagen den 2 juni 2015, kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, m fl, SF1610, tisdagen den juni 015, kl 1.00-19.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga hjälpmedel
KURSBESKRIVNING - MATEMATIK
KURSBESKRIVNING - MATEMATIK ARBETSOMRÅDE TAL OCH DECIMALTAL ÅK 6 (HT 2016) Jeff Linder, Daniel Spångberg, Emil Ohlander Varför finns det tal? Finns det olika sorters tal? Och har det någon betydelse var
Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg
Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras
Lars-Daniel Öhman Lördag 2 maj 2015 Skrivtid: 9:00 15:00 Hjälpmedel: Miniräknare, lock till miniräknare
Umeå universitet Tentamen i matematik Institutionen för matematik Introduktion till och matematisk statistik diskret matematik Lars-Daniel Öhman Lördag 2 maj 2015 Skrivtid: 9:00 15:00 Hjälpmedel: Miniräknare,
Kaliningrad) låg vid bägge sidor av floden Pregel samt på
Grunder i matematik och logik (2018) Grafteori Marco Kuhlmann Grafteori är det område inom matematiken som undersöker egenskaper hos grafer. Inom grafteorin har begreppet graf en annan betydelse än graf
Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer
LMA100 VT2005 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med
Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002
Institutionen för matematik, KTH Mats Boij och Niklas Eriksen Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002 1. Använd induktion för att visa att 8 delar (2n + 1 2 1 för alla
Filosofisk logik Kapitel 19. Robin Stenwall Lunds universitet
Filosofisk logik Kapitel 19 Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Gödels fullständighetsteorem Sundhet och fullständighet Fullständighetsbeviset Vittneskonstanter Henkinteorin Eliminationsteoremet
1 Att läsa matematik.
1 Att läsa matematik. Precis som vid all annan läsning som betyder något skall matematik läsas aktivt. Detta innebär olika saker för olika personer. För en del kanske det betyder att visualisera de idéer
Algebra och kryptografi Facit till udda uppgifter
VK Algebra och kryptografi Facit till udda uppgifter Tomas Ekholm Niklas Eriksen Magnus Rosenlund Matematiska institutionen, 2002 48 Grupper. Lösning 1.1. Vi väljer att studera varje element i G H för
Diskret matematik: Övningstentamen 1
Diskret matematik: Övningstentamen 1 1. Bevisa att de reella talen är en icke-uppräknelig mängd.. För två mängder av positiva heltal A och B skriver vi A C B, om det är så att A innehåller ett heltal som
När du läser en definition bör du kontrollera att den är vettig, och försöka få en idé om vad den egentligen betyder. Betrakta följande exempel.
Logik och bevis II 3. föring Detta avsnitt handlar om olika metoder för att bevisa påståenden, och hur man kan konstruera ett bevis. I varje avsnitt finns en allmän beskrivning av metoden, varför den fungerar
Arbeta vidare med aritmetik 2018
Arbeta vidare med aritmetik 2018 I det här materialet har vi samlat problem inom aritmetik från flera olika tävlingsklasser, från Ecolier till Student. Årtal Varje år förekommer det problem som utgår från
Talteori (OBS en del frågor gäller diofantiska ekvationer och de tas inte upp från och med hösten 2012)
Talteori (OBS en del frågor gäller diofantiska ekvationer och de tas inte upp från och med hösten 2012) T4.4-T4.7, 4.3, 4.7,T4.13-T4.14 S: Jag har svårt för visa-uppgifter. i kapitel 4 Talteori. Kan du
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 12 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 10 december 2015 Anton Grensjö ADK Övning 12 10 december 2015 1 / 19 Idag Idag Komplexitetsklasser Blandade uppgifter
Utdrag från Verklighetens Kvadratrötter: Sida 1 en bok om matematikens användningsområden skriven av Marcus Näslund. Mer info: www.kvadratrot.se.
Utdrag från Verklighetens Kvadratrötter: Sida 1 KRYPTOLOGI Hur matematiken skyddar dina hemligheter Talteori, primtal, moduloräkning Bakgrund Den hemliga kod som under andra världskriget användes av Nazityskland
(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C
Sats 1.3 De Morgans lagar för mängder För alla mängder A och B gäller att (A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B C A C B C (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B
Anvisningar till rapporter i psykologi på B-nivå
Anvisningar till rapporter i psykologi på B-nivå En rapport i psykologi är det enklaste formatet för att rapportera en vetenskaplig undersökning inom psykologins forskningsfält. Något som kännetecknar
1, 2, 3, 4, 5, 6,...
Dagens nyhet handlar om talföljder, ändliga och oändliga. Talföljden 1,, 3, 4, 5, 6,... är det första vi, som barn, lär oss om matematik över huvud taget. Så småningom lär vi oss att denna talföljd inte
Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D2 och F, SF1631 och SF1630, den 10 januari 2011 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D2 och F, SF131 och SF130, den 10 januari 2011 kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden, tel. 0730547891.
Per Berggren och Maria Lindroth 2012-10-30
Varierad undervisning Per Berggren och Maria Lindroth 2012-10-30 Matematiska förmågor Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Examinator: Daniel Bergh. Lösningsförslag Algebra och kombinatorik
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Examinator: Daniel Bergh Lösningsförslag Algebra och kombinatorik 015-01-16 Uppgift 1 Vi noterar att 31 är ett primtal, så Z 31 är en kropp.
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real
a = a a a a a a ± ± ± ±500
4.1 Felanalys Vill man hårddra det hela, kan man påstå att det inte finns några tal i den tillämpade matematiken, bara intervall. Man anger till exempel inte ett uppmätt värde till 134.78 meter utan att
Definitionsmängd, urbild, domän
5B1493, lekt 5, HT06 Funktioner Definition av begreppet Definition: Låt X och Y vara två mängder. En funktion f av typ X Y är detsamma som en delmängd av X Y, sådan att 1. Om (x, y) och (x, z) f, så är
RSA-kryptografi för gymnasiet. Jonas Gustafsson & Isac Olofsson
RSA-kryptografi för gymnasiet Jonas Gustafsson & Isac Olofsson HT 2010 Innehåll 1 Grundläggande beräkningsmetoder och begrepp 5 1.1 Mängder.............................. 5 1.2 Kvot och rest...........................
Lösningar för tenta i TMV200 Diskret matematik kl. 14:00 18:00
Lösningar för tenta i TMV200 Diskret matematik 2018-08-31 kl 1:00 18:00 1 Om argumentet inte är giltigt går det att hitta ett motexempel, dvs en uppsättning sanningsvärden för vilka alla hypoteserna är
Kimmo Eriksson 12 december 1995. Att losa uppgifter av karaktaren \Bevisa att..." uppfattas av manga studenter
Kimmo Eriksson 12 december 1995 Matematiska institutionen, SU Att genomfora och formulera ett bevis Att losa uppgifter av karaktaren \Bevisa att..." uppfattas av manga studenter som svart. Ofta ar det