Räkneuppgifter på avsnittet Fält Tommy Andersson 1. En negativt laddad pappersbit befinner sig nära en oladdad metallplåt. Får man attraktion, repulsion eller ingen kraftpåverkan? Motivera! 2. På ett mönsterkort (kretskort utan komponenter) löper två ledningspar, A och B. Ledningsparen utgöres av kopparbeläggning på vardera sidan av mönsterkortet, se figuren ovan. Figuren visar ett tvärsnitt. Ledningarna går vinkelrätt mot papperets plan. a) Vilken av ledningsparen ovan har störst kapacitans per längdenhet mellan ledningarna? (Räkna inte, tänk!) b) Glasfiberlaminatet har tjockleken 1,6 mm och har relativa permittiviteten 4,7. Ledarbredden för ledningarna A är 3 mm och för B är 6 mm och längden är i båda fallen 100 mm. Använd plattkondensatorapproximationen för att approximativt beräkna kapacitansen mellan ledarna för respektive ledningspar. c) Vilken av dessa beräkningar bör stämma bäst med verkligheten?! 3. I samband med elektriska installationer används kopparledningar med olika tvärsnittsareor beroende på hur mycket ström de skall tåla. Antag att vi har en ledningstråd som har tvärsnittsarean 1,5 mm 2 och är 20 m lång. Strömmen genom tråden är 10 A (max tillåten ström för denna tvärsnittsarea). För koppar gäller att " Cu =1,72#10 $8 %m. a) Bestäm ledningstrådens resistans b) Bestäm strömtätheten. c) Bestäm den elektriska fältstyrkan i tråden. d) Bestäm spänningen mellan trådändarna med hjälp av c) e) Bestäm spänningen mellan trådändarna med hjälp av Ohms lag och a) 1
4. En dubbelledning består av två tunna, långa raka ledare med avståndet d enligt figuren ovan. Ledningen för strömmen I. Bestäm B i punkterna 1 och 2. Vad händer om d! 0? 5. Vi vill konstruera en induktiv flödesmätare för vatten. Vätskeflödet skall passera ett luftgap med ett magnetiskt fält. Vi dimensionerar järnkärnan, antalet trådvarv och strömmen genom lindningen så att B-fältet i luftgapet blir 0,5 T. Vi låter vätskeflödet passera luftgapet genom ett plaströr med rektangulärt tvärsnitt. Innerdimensionerna är 4 mm x 16 mm. I vardera sidan av röret sitter två tunna metallelektroder. Antag att vätskeflödet är 10 milliliter/sekund och att hastigheten är homogen (lika stor över rörets tvärsnittet). Hur stor spänning uppstår mellan elektroderna? Ange också spänningens polaritet i förhållande till B-fältets och vätskeflödets riktningar (visa med tydlig figur). 2
6. Elis har möblerat om sin lägenhet och känner sig rätt nöjd. När han sätter sig framför sin dator upptäcker han emellertid att bilden känns orolig. Den flimrar på något sätt. Han kommer så småningom på att det kanske beror på att det finns ett störande magnetfält där bildskärmen står. När han flyttar skärmen till andra sidan av rummet försvinner flimret. Han har hört att magnetfält kan vara farligt så han bestämmer sig för att försöka mäta fältet. Han inser att fältet måste ha med elnätet att göra och därför bör vara sinusformat och ha frekvensen 50 Hz. Han tänker använda en spole och en multimeter. Multimeterns känsligaste mätområde är 200,0 mv rms. Han har läst i tidningen att det finns något slags gränsvärde för B-fält i inomhusmiljöer på 0,2 µt. Han gissar att det är effektivvärdet. Frågan är hur stor spole som behövs? Han hittar en 1,5 liters Coca-Cola flaska som man borde kunna göra en spolstomme av. Han mäter diametern vid inbuktningen, den är ca 9 cm. Han har en rulle tunn lackerad koppartråd liggande i en skrotlåda sen han plockade sönder en gammal radio någon gång i sin barndom a) Hur många varv behövs för att 1 µt skall svara mot 1 mv på multimetern? b) Elis tillverkar en spole enligt ovan och sätter i gång och mäter. Han upptäcker att fältet är starkare i närheten av ett värmeledningsrör. Han har hört talas om vagabonderande strömmar och inser att det måste gå ström i röret. När han vrider spolen så att multimetern ger maximalt utslag visar den 4 mv rms när spolens centrum är ungefär 30 cm från värmeledningsröret. Uppskatta strömstyrkan i röret! 3
7. Figuren ovan visar en ledning med längden l =1 m. Ledningen har cirkulärt tvärsnitt och är homogen. a) Antag att ledningen är gjord av koppar och har radien a = 5 mm. Bestäm effektutvecklingen i ledningen om en likström med strömstyrkan 100 A går genom ledningen. b) Vi vill byta ut ledningen mot en lika lång ledning av järn. Bestäm hur stor radien måste vara för att samma effektutveckling skall erhållas som i kopparledningen. b) Vi tänker oss nu en växelström med effektivvärdet 100 A och frekvensen 50 Hz. Bestäm hur stor radie som behövs för dels en kopparledning, dels en järnledning om samma effektutveckling skall erhållas som i uppgift a. Räkna med följande materialparametrar: koppar :! = 5,7 "10 7 S/m och µ r = 1 järn:! = 1"10 7 S/m och µ r = 1000 8. En plan, planpolariserad våg utbreder sig i positiv z-riktning. I en viss punkt och vid ett visst tillfälle är E-fältet riktat i y-led och beloppet är 1 V/m. Hur är motsvarande H-fält riktat? Hur stort är beloppet av H-fältet? (Antag vakuum). 4
Svar och vissa lösningar 1. 2. a) C B bör bli dubbelt så stor som C A eftersom ytan är dubbelt så stor och avståndet är detsamma. b) C A 8 10-12 F = 8 pf, C B 1,6*10-11 F = 16 pf c) Det bör stämma bäst för ledarparet B eftersom förhållandet mellan ledarbredden och avståndet är störst och då blir läckningen ute vid kanterna förhållandevis mindre. Dock är det så att i båda fallen blir i verkligheten kapacitansen något större än beräkningarna på grund av det extra fältet ute vid kanterna. 3. a) 0,23 Ω b) 6,67 10 6 A/m 2 = 6,67 A/mm 2 c) 0,11 V/m d) 2,3 V e) 2,3 V 4. 5. 1,25 mv 5
6. 6
12.3 12.4 12.7 7
7. a) 2,2 W b) 1,2 cm c) För koppar blir inträngningsdjupet 9,4 mm, man får därför ingen nämnvärd strömförträngning utan radien blir som i a) dvs 5 mm. För järn blir inträngningsdjupet 0,71 mm dvs man kan räkna med utpräglad skineffekt. För att få samma effekt som i a) behöver radien vara 10 cm! 8. H= 2,65 10-3 A/m, riktat i negativ x-riktning 8