Pluritoriska upplösningar av kvotsingulariteter
|
|
- Stefan Arvidsson
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 OCHALMERS TEKNISKA H GSKOLA GOTEBORG Pluritoriska upplösningar av kvotsingulariteter Den impopulärovetenskapliga versionen Samuel Bengmark Department of Mathematics Göteborg 1998
2 Populärvetenskaplig version av avhandling för filosofie doktorsexamen i matematik vid Göteborg universitet, som enligt beslut av Matematik och Datavetenskap kommer att offentligt försvaras fredagen den 4 december 1998 kl i hörsalen, Matematiskt centrum, Eklandagatan 86, Göteborg. ISBN Xtra versionen Matematik och Datavetenskap Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Göteborg 1998
3 Contents 1 Inledning 5 2 Kvotsingulariteter 5 3 Upplösning 8 4 Pluritorisk 10 5 Avslutning 12 3
4
5 1 Inledning När jag försöker förklara för någon, som inte håller på med matematik, vad jag forskar om brukar det ta högst trettio sekunder innan jag får frågan vad man skall ha det till. Mina svar på denna fråga brukar sällan göra åhöraren nöjd. Orsaken till detta är nog att jag inte kan peka på industriella tillämpningar. Jag tycker dock att man gott kan säga att det finns tillämpningar av denna matematik, men dessa tillämpningar finns inom matematik och teoretisk fysik. Men framför allt tycker jag matematik är en del av vår kultur, den är vacker och spännande, och har ett värde i sig. Men håller man nu inte med om detta så skall man ha klart för sig att det används mer, och annan, matematik i industrin idag än för tio år sedan. Matematiker har trampat upp stigarna och lyft fram objekt och samband som man sedan tagit till sig i industriella sammanhang. Vem vet, om tio år så är man kanske intresserad av kvotsingulariteter på Ericsson, Volvo eller ABB. Ingen kan veta helt säkert. Nu skall jag försöka ge en bild av innehållet i originalversionen av denna avhandling. Jag gör det genom att gå igenom orden i titeln, ett och ett, baklänges. 2 Kvotsingulariteter Tänk dig att vi har ett pappersark. För att kunna referera till olika punkter på arket så ritar vi in ett koordinatsystem på pappret med origo mitt på, som i följande bild. 5
6 Nu viker vi arket längs y-axeln, d v s den lodräta linjen, och spritsar in lim emellan och trycker ihop enligt följande skiss. Resultatet blir ett nytt pappersark. Detta nya pappersark är nu hälften så stort och dubbelt så tjockt men det är inget som bekymrar en matematiker. Matematiska pappersark är nämligen oändligt stora och oändligt tunna. Detta får till följd att om vi viker ett sådant så har vi efter vikning fortfarande ett oändligt stort och oändligt tunt pappersark. Men haka inte upp dig på detta för det är inte väsentligt för oss just nu. Vi skall snart se andra situationer som blir något mer komplicerade, men för att kunna beskriva dem tänker vi efter vad denna vikning av pappret egentligen innebar. Jo, t ex ser vi att punkten (3, 2) limmades ihop med punkten ( 3, 2). Vi säger att (3, 2) och ( 3, 2) identifieras. ( 3, 2) (3, 2) ( 3, 2) (3, 2) På samma sätt gjorde vi med varje punkt, d v s en godtycklig punkt (x, y) limmades ihop med punkten ( x, y). Detta är alltså ett sätt att säga vilka punkter som skall identifieras med vilka punkter. Vi anger detta genom att för en godtycklig punkt (x, y) ge en lista på alla punkter som skall identifieras med den. I vårt 6
7 exempel får vi listan (x, y), ( x, y), d v s listan består av två punkter eftersom vi identifierade punkterna två och två. Låt oss också titta på ett annat exempel där vi identifierar punkter två och två, fast på ett annat sätt. För att göra detta snyggt klipper vi först arket så att det blir runt och har (0, 0) i mitten. (3, 2) ( 3, 2) Vi tänker oss detta som en stor urtavla och att vi har en liten visare som har sin ändpunkt i punkten (3, 2). Den visaren kommer, efter att ha vridits ett halvt varv, ha ändpunkt i ( 3, 2). Dessa punkter vill vi limma ihop. Helt allmänt vill vi limma ihop punkten (x, y) med punkten ( x, y), d v s vi vill identifiera enligt listan (x, y), ( x, y). För att kunna göra detta rent praktiskt får vi först klippa ett rakt snitt in till mittpunkten på cirkelskivan och sedan rulla ihop till en kon på följande vis. 7
8 I denna kon kommer nu punkter (x, y) och ( x, y) identifieras. Denna gång fick vi inte en bit platt papper utan en kon. Denna kon har en väldigt speciell punkt, nämligen spetsen, som är en så kallad singulär punkt, en singularitet. Denna avhandling handlar om singulariteter som uppkommer genom identifikation av punkter med hjälp av regler på detta sätt. De kallas kvotsingulariteter. Nu har du förhoppningsvis någon bild av vad sista ordet i titeln betyder. Låt oss nu ge oss på övre raden och låt oss börja med det andra ordet där. 8
9 3 Upplösning Ytor utan singulariteter, som t ex det plana pappersarket, är i någon mening enkla. Nu har vi sett att det på ytor, som t ex konen ovan, kan finnas kvotsingulariteter. Upplösning av en singularitet handlar om att ta bort singulariteten. Men man gör inte detta hur som helst utan man vill ha koll på hur ytan förändras. Låt oss använda en analogi. Om jag är intresserad av bilar skulle jag kanske vilja göra en lista över alla bilar som finns i världen. Listan skulle kanske börja: Reg.num. Modell Stad APG 305 Volvo 245 Göteborg SE UH24536 Morris Minor Wellington NZ... Det blir en nästan övermänsklig uppgift att göra en sådan lista. Något klokare är kanske att göra en lista över alla bilmodeller som finns. Man tänker då att alla Volvo 245 som finns i världen är tillräckligt lika för att utgöra en enda punkt i min lista. Man säger att alla 245:or är ekvivalenta. Detta ger en tillräckligt nogrann lista för att den skall vara intressant, eller hur? Nu kan den som inte är riktigt så energisk kanske nöja sig men att göra en lista på alla bilmärken som finns. I den listan kan man säga att alla Volvo modeller är ekvivalenta, d v s man har klumpat ihop Volvo S80, Volvo 245 o s v till en enda punkt på listan. Denna lista blir nu ännu kortare och mindre detaljrik, men även den skulle vara intressant. På samma sätt är det med ytor. Man kan liksom inte lista alla ytor som finns. Man klumpar därför ihop ytor som är tillräckligt lika i någon lämplig mening. I algebraisk geometri finns det i huvudsak två sätt att klumpa ihop ytor. Ett finare sätt, som liksom motsvarar bilmodell i vår liknelse, och ett grövre sätt 9
10 som motsvarar bilmärke. Upplösning är en sätt att utifrån en ytan med singulariteter skapa en yta utan singulariteter. Den yta man får efter upplösning är naturligtvis inte samma yta som den ursprungliga, den är inte ens av samma modell, men man vill att den yta man får efter upplösning skall vara av samma märke som den ursprungliga ytan som hade singulariteter. En algebraisk geometriker skulle småle just här för han vet att man normalt använder ordet modell i de sammanhang som här associeras med ordet märke, fast på ett lite annat sätt. Låt oss nu försöka ge en bild av vad upplösning av singularitet innebär. Låt oss titta på en dubbelkon. Den har en singulär punkt där den övre och undre konen möts. Nu kan man tänka sig att man tar en oändligt tunn nål, för den uppifrån in i den övre konen och sticker ett hål i den singulära punkten. Den singulära punkten har nu blivit en liten cirkel. Vi för in händerna och drar isär tills vi får en cylinder. Vips så har vi en yta utan singulära punkter. Matematiskt sett liknar denna process egentligen mer vad vi skulle kalla deformation, men resultatet stämmer i alla fall i en viktig aspekt med vad upplösning skulle innebära. Den singulära punkten har bytts ut mot något av högre dimension, nämligen en hel cirkel, som vi ritar in i följande bild. 10
11 Nu var detta den enklaste typ av singularitet man kan tänka sig. I allmänhet kan det efter en sådan här nålstickning fortfarande finnas någon singulär punkt kvar. Om man då sticker en gång till så byter man åter igen ut en punkt mot en kurva. Tillsist blir det dock så att det inte finns några singulariteter kvar, d v s man har löst upp den ursprungliga singulariteten. Nu kan man förstå något av hur avancerad den ursprungliga singulariteten var genom att se på vilka kurvor man fick ersätta den singulära punkten med för att lösa upp den. Om du t ex tittar på sidan 72 i originalversionen av denna avhandling ser du en bild bestående av fem streck. Denna bild beskriver just fem kurvor som man behövt för att ersätta en singulär punkt för att få en upplösning av den. Denna avhandling går till en del ut på att försöka förstå vilka saker man skall ersätta en singulär punkt med för att göra en upplösning, och att göra detta genom att bara titta på den identifikation man använde då singulariteten uppstod. Nu återstår att behandla ett ord i titeln på denna avhandling nämligen pluritorisk. 4 Pluritorisk De två sätten att identifiera punkter som vi sett ovan innehåller bara vars ett väsentlig recept på hur man skall se vilka punkter som skall identifieras. I det första fallet, d v s då vi vek ett pappersark, ges receptet av att man går ifrån (x, y) till ( x, y). Vi skriver detta så här: (x, y) ( x, y). Eftersom varje punkt ges av ett par av tal (x, y) så låter alltså receptet på ren svenska 11
12 så här: Byt tecken på första talet. Upprepar man samma recept igen finner man att man går ifrån ( x, y) till (x, y), d v s vi kommer tillbaka till startpunkten (x, y). Detta betyder att alla punkter som identifieras med t ex (3, 2) nås genom att hela tiden använda samma recept. Denna avhandling handlar om identifikationer givna av recept som är sådana att man kommer tillbaka till startpunkten efter att ha använt dom ett antal gånger. T ex tittar vi aldrig på recept av typen (x, y) (x + 1, y), eftersom detta recept aldrig tar oss tillbaka till (x, y) igen. Däremot tittar vi på identifiering av punkter som är given av två, eller flera, recept. Låt oss titta på ett exempel där vi har två recept givna av Byt tecken på första talet, d v s (x, y) R 1 ( x, y). Byt tecken på andra talet, och sedan plats på talen, d v s (x, y) R 2 ( y, x). Om man håller på och använder dessa två recept i alla möjliga ordningar så finner man till sist att man hoppar omkring bland åtta olika punkter nämligen (x, y), ( y, x), ( x, y), ( x, y), ( y, x), (y, x), (y, x), (x, y) Man säger att dessa två recept genererar en ändlig grupp. Vi kan tänka oss här att detta betyder att den identifikationskaka jag bakar med mina recept alltid identifierar ett ändligt antal punkter med varandra. I detta fall identifieras de åtta och åtta. Vad som är speciellt med identifikationer givna av fler än ett recept är att det kan spela roll i vilken ordning man använder recepten. Det gör det t ex i vårt fall, som vi nu skall se. (x, y) R 1 ( x, y) R 2 ( y, x). Om vi använder recepten i omvänd ordningsföljd så får vi (x, y) R 2 ( y, x) R 1 (y, x). 12
13 Nu kom vi till ( y, x) i det första fallet men till (y, x) i det andra. Om det spelar roll i vilken ordning man använder sina recept så säger man att man har en ickeabelsk grupp. Denna avhandling handlar i stor utsträckning om de singulariteter som uppkommer då man använder en ickeabelsk grupp för att identifiera punkter. Kapitel 2 handlar om abelska grupper, dvs grupper där det inte spelar någon roll i vilken ordning vi använder recepten. De singulariteter som uppkommer vid identifikation av punkter då man använder en abelsk grupp kan man behandla med hjälp av något som kallas torisk varietet. Det är en väldigt rolig typ av objekt, tycker jag, men det skulle tyvärr inte komma till sin rätt här. Med toriska varieteter kan man göra något som kallas torisk upplösning. Nu anar du förhoppningsvis hur ordet torisk kommer in i titeln. Ordet pluritorisk är ett hemmagjort ord sammansatt av pluri och torisk och syftar på att man använder ett flertal toriska upplösningar. För att förstå något av hur det går till så låter vi igen identifikationen vara given av de två ovanstående recepten. D v s vi identifierar punkterna åtta och åtta enligt (x, y), (x, y), ( x, y), ( x, y), (y, x), (y, x), ( y, x), ( y, x) Nu letar man upp delar av detta där det inte spelar någon roll i vilken ordning man tar dom, d v s man letar upp abelska delgrupper. Det finns tre sådana av maximal storlek. De ges av samt (x, y), (x, y), ( x, y), ( x, y) (x, y), ( x, y), (y, x), ( y, x) (x, y), ( x, y), (y, x), ( y, x) Var och en av dessa mindra identifikationer kan ge upphov till singulära punkter. Nu kan man använda toriska varieteter för att finna kurvor jag måste ersätta dessa singulära punkter med 13
14 för att göra en upplösning av var och en av dessa singulariteter. Man får på detta sätt två separata uppsättningar av kurvor. I avhandlingen ser man att dessa separata delar kan, efter lite pyssel, sättas ihop till precis den uppsättning med kurvor som behövs för att göra en upplösning av singulariteten när man identifierar med hela den ickeabelska gruppen. Detta kallas pluritorisk upplösning. Jag har valt detta exempel för att det är litet. För att inte förvirra den som kan lite mer kanske det bör tilläggas att detta exempel inte är så bra i den meningen att det innehåller speglingar, som ju inte ger upphov till singulära punkter, vilket gör att man faktiskt kunde använt vanlig torisk upplösning i detta exempel. Syftet med denna avhandling är att ge ökad förståelse av kvotsingulariteter, inte bara av kvotsingulariteter på ytor utan också om man går upp i dimension och tittar på kvotsingulariteter på trefalder, och så vidare. Pluritorisk upplösning är då ett möjligt hjälpmedel att studera dessa singulariteter. I Kapitel 6 i originalversionen av denna avhandling, finns en del påståenden om kvotsingulariteter, och dessa påståenden visar man där är sanna genom att utnyttja pluritorisk upplösning. 5 Avslutning Nu återbara bara en väsentliga frågor. Hur kan detta, som åtminstone verkar någorlunda begripligt, behöva se så hopplöst obegriplig ut som det gör i originalversionen av denna avhandling? Om man bortser från författarens tillkorta kommande när det gäller att framställa innehållet, så finns det nog två orsaker till detta. För det första, i den mån denna omformulering av avhandlingen är trogen originalversionen så ger den inte hela sanningen, som du kanske anar. Men den viktigaste orsaken att det ser komplicerat ut i originalversionen är nog något annat. Vet du vad en snickare menar med att lusa i eller vad en läkare menar med sfygmogram, eller vad man skall göra när 14
15 bilmekanikern säger att den skall skränkas loss? De flesta yrkeskategorier skapar sin egen uppsättning av begrepp som underlättar arbetet och kommunikationen. Så är det synnerligen för matematiker. De begrepp som gör att det kan se obegripligt ut för en utomstående är till för att underlätta arbetet för matematiker och kommunikationen dem emellan. Att uttrycka allt som sägs i original versionen av avhandlingen, i den typ av språk som används i denna version, är nog näst intill omöjligt, speciellt när det gäller alla tekniska detaljer. Dessutom skulle det behövas många, många fler sidor är de knappt hundra som används idag. Frågan är också om det hade upplevts lättare att ta till sig för det. Man hade kanske inte sett skogen för alla träden. 15
LINNE MED SNEDREMSA I HALS- OCH ÄRMHÅL
Du behöver: urklippta delar till ett linne + extra tyg till snedremsor (ca 50 x 50 cm), symaskin och matchande tråd, sax, knappnålar, synål, måttband, strykjärn och strykbräda. Köpta snedremsor använder
Läs merOm det finns något som de flesta som arbetar med barn är överens om, så är
inledning Om det finns något som de flesta som arbetar med barn är överens om, så är det att fantasi är något positivt och önskvärt i barns liv. Fantasi och kreativitet hör nära samman och det är just
Läs merSymmetri är ett begrepp, som kan berika matematikstudierna i alla åldrar.
Thomas Martinsson Symmetri skön matematik för många sinnen Symmetri förekommer inom bilder och att skapa symmetriska bilder kan berika undervisningen i matematik. Med hjälp av bilderna kan förståelsen
Läs mer4-8 Cirklar. Inledning
Namn: 4-8 Cirklar Inledning Du har arbetat med fyrhörningar (parallellogrammer) och trehörningar (trianglar). Nu skall du studera en figur som saknar hörn, och som består av en böjd linje. Den kallas för
Läs merFira Pi-dagen med Liber!
Fira Pi-dagen med Liber! Specialuppdrag från Uppdrag: Matte o Kul-diagram o Geometri med färg UPPDRAG: MATTE Mattedetektiverna Mattespanarna Hej! Den 14 mars är det Pi-dagen (3.14). Det är värt att uppmärksammas
Läs mer2C 6C. Form logiska block. strävorna
strävorna 2C 6C Form logiska block samband begrepp kreativ och estetisk verksamhet geometri Avsikt och matematikinnehåll När vi ser oss omkring är form en framträdande egenskap. För att kunna känna igen,
Läs merhttp://www.leidenhed.se Senaste revideringen av kapitlet gjordes 2014-05-08, efter att ett fel upptäckts.
Dokumentet är från sajtsidan Matematik: som ingår i min sajt: http://www.leidenhed.se/matte.html http://www.leidenhed.se Minst och störst Senaste revideringen av kapitlet gjordes 2014-05-08, efter att
Läs mer4. I lagret finns 24, 23, 17 och 16 kg:s säckar. På vilket sätt kan man leverera en beställning på exakt 100 kg utan att öppna någon säck?
Grundskolans matematiktävling Finaltävling fredagen den 3 februari 2012 DEL 1 Tid 30 min Maximal poängsumma 20 Räknare används inte i denna del. Skriv ner beräkningar, rita bilder eller ange andra motiveringar
Läs merLotto, ett skicklighetsspel!
79 Lotto, ett skicklighetsspel! Jan Grandell KTH 1. Inledning. Du håller nog med om att om man köper en lott så är det bara en fråga om tur om man vinner och hur mycket man vinner. På samma sätt håller
Läs merARKITEKTPROVET 2013 DAG 1. 1: LINJE & VECK [ENKELHET, UNDERSÖKNING] [1H] 9.15-10.15
ARKITEKTPROVET 2013 DAG 1. 1: LINJE & VECK [ENKELHET, UNDERSÖKNING] [1H] 9.15-10.15 Översikt: Den första uppgiften är en undersökning av linje, kant och yta. I den skall du försöka skapa något intressant
Läs merHandledning: Future City på Teknikdagarna
Handledning: Future City på Teknikdagarna Under den här lektionen på två timmar får eleverna prova på att planera och bygga en framtidsstad utifrån sina egna tankar och idéer. Eleverna sitter cirka 10
Läs merInstruktioner hur man gör RSC:s nya hatt, den s.k. cykelsadeln
Instruktioner hur man gör RSC:s nya hatt, den s.k. cykelsadeln Om du fått en gammal blå cykelsadel, börja med den. Ta isär den en smula för att se hur den är gjord. Sprätta loss plymen i tyll och se om
Läs merLutande torn och kluriga konster!
Lutande torn och kluriga konster! Aktiviteter för barn under Vetenskapsfestivalens skolprogram 2001 Innehåll 1 Bygga lutande torn som inte faller 2 2 Om konsten att vinna betingat godis i spel 5 3 Den
Läs mer9-2 Grafer och kurvor Namn:.
9-2 Grafer och kurvor Namn:. Inledning I föregående kapitel lärde du dig vad som menas med koordinatsystem och hur man kan visa hur matematiska funktioner kan visas i ett koordinatsystem. Det är i och
Läs merA: mindre än 4 år. B: minst 4 år. C: exakt 4 år. D: mer än 4 år. E: inte mindre än 3 år. (Schweiz) A: 0 B: Oändligt många C: 2 D: 1 E: 3 (Italien)
Trepoängsproblem 1. Andrea föddes 1997 och hennes yngre syster Charlotte 2001. Skillnaden i ålder mellan systrarna är med säkerhet A: mindre än 4 år. B: minst 4 år. C: exakt 4 år. D: mer än 4 år. E: inte
Läs mer4-4 Parallellogrammer Namn:..
4-4 Parallellogrammer Namn:.. Inledning Hittills har du arbetat bl.a. med linjer och vinklar. En linje är ju någonting som bara har en dimension, längd. Men när två linjer skär varandra och det bildas
Läs merMYSTERIER SOM ÅTERSTÅR
Matematiska institutionen Stockholms universitet C.G. Matematik med didaktisk inriktning 2 Problem i Algebra, geometri och kombinatorik Snedsteg 6 MYSTERIER SOM ÅTERSTÅR Mysteriet med matrisinversen. Det
Läs merBESTÄLLARSKOLAN #4: VAD KOSTAR DET ATT GÖRA FILM?
Sida 1/7 BESTÄLLARSKOLAN #4: VAD KOSTAR DET ATT GÖRA FILM? I detta avsnitt kommer du upptäcka bland annat: Hur du sparar halva reklamfilmskostnaden Vad det är som kostar i en film Vad du måste berätta
Läs merDin idé. Innehåll. stephen king
Din idé Jag vill försätta några personer (kanske ett par, kanske bara en ensam människa) i en brydsam situation och sedan se hur de ska klara sig ur det hela. stephen king Det allra viktigaste är förstås
Läs mer9-1 Koordinatsystem och funktioner. Namn:
9- Koordinatsystem och funktioner. Namn: Inledning I det här kapitlet skall du lära dig vad ett koordinatsystem är och vilka egenskaper det har. I ett koordinatsystem kan man representera matematiska funktioner
Läs merLinjär Algebra, Föreläsning 2
Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.
Läs merModul 4 Tillämpningar av derivata
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real
Läs merFräcka ramar och söta små askar!
SK-0062 Spara dina små saker i en liten ask! Kanske har du små saker som du vill förvara på ett speciellt ställe utan att de kommer bort? Den här gången får du göra egna fina askar som kan dekoreras och
Läs merVACKRA SMYCKEN AV LIM
VACKRA SMYCKEN AV LIM Magisterexamen Rapport av Klara Schmidt Ädellab/Metallformgivning, Konstfack 2005 Handledare: Aurél Schiller 1 Den här rapporten visar mitt sätt att arbeta när jag undersöker materialet
Läs merInspirationshäfte. Härliga och roliga tips för dig och ditt kreativa barn. Colorona är en del av
Inspirationshäfte Härliga och roliga tips för dig och ditt kreativa barn Colorona är en del av ROLIGA RAMAR PAPP-PYSSEL MÅLA PÅ KLÄDER SÖTA SMYCKEN HÄFTIGA HANDAVTRYCK FINURLIGA FIGURER PILLIGT PYSSEL
Läs merHantverk i skogsbrynet
Växtfärg Papper, växter. Stormkök, konservburk att koka i ( så slipper ni färgad kastrull ). Gör så här: Plocka växter och växtdelar, blommor, blad eller bär. Samla dom färgvis. Ta ca 2 dl växter till
Läs merBlommor och fjärilar. Inspiration med härliga färger!
SC-0019 ewww.creativeclub.s Inspiration med härliga färger! Här får du ett härligt paket fyllt med läckra papper som man blir glad av! Fina blommor i chipboard, tyg, papper och nät samt söta fjärilar får
Läs merCellofanlek inspiration för presentförpackningar
Cellofanlek inspiration för presentförpackningar Jag fick frågan av en kund om jag kunde hitta på någon roligare ersättning för Cellofanpåsen vid sampackning av några olika produkter för presentändamål
Läs merRÖRELSE. - Mätningar och mätinstrument och hur de kan kombineras för att mäta storheter, till exempel fart, tryck och effekt.
RÖRELSE Inledning När vi går, springer, cyklar etc. förflyttar vi oss en viss sträcka på en viss tid. Ibland, speciellt när vi har bråttom, tänker vi på hur fort det går. I det här experimentet undersöker
Läs merArbetsbeskrivning. Godsaker med djup
Arbetsbeskrivning 1. Börja med att skissa på idéer i din skissbok. Testa både färg och form och bestäm vilka färger du skall välja. Välj en bakgrundsfärg som inte finns på motivet. Bestäm också om du skall
Läs merOm ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper
Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs kurvor som uppkommer
Läs merDelprov A, muntligt delprov Lärarinformation
Delprov A, muntligt delprov Lärarinformation Beskrivning av det muntliga delprovet Det muntliga delprovet kan genomföras fr.o.m. vecka 10 och resten av vårterminen. Det muntliga delprovet handlar om att
Läs merJag syr på fickorna och kantar öppningen. Fickorna kan man sy på med cover eller vanlig maskin. Använder man vanlig maskin och syr från rätan så kan
Tutorial Cozy dress Skriv ut mönstret i verklig storlek. Därefter klipper du längs klippkanterna så att de ska ligga kant i kant med varandra när man tejpar ihop mönstret. Strecken ska alltså mötas. Mönstret
Läs merlättläst Ritteknik Stig Andersson
lättläst Ritteknik Stig Andersson 1 2 Innehåll Att rita och skissa 4 Vyer 6 Linjer 9 Måttsättning 11 Formsymboler 14 Toleranser 15 Skalor 16 Delförstoringar 17 Snitt- och materialmarkering 18 Huvudfält
Läs merMatematiska uppgifter
Elementa Årgång 62, 1979 Årgång 62, 1979 Första häftet 314. Älgjägaren Allbom skjuter ett skott mot något som rör sig i skogsbrynet och som kan antas vara en älg. Kulans läge beskrivs av (,, 3/2) + t(33,
Läs merRumsuppfattning är förmågan att behandla sinnesintryck av former
Güner Ahmet & Thomas Lingefjärd Tredimensionellt tänkande Tredimensionella matematiska representationer är inte särskilt vanliga i skolans matematikkurser, med undantag för kurs 3 5 i gymnasiet. Varför
Läs merÖppna Xbox 360 Slim Guide
Öppna Xbox 360 Slim Guide Det finns många olika sätt att öppna sin Xbox 360 Slim. Ett antal guider finns att hitta på nätet och alla har sina favoriter. Jag har valt att öppna Xbox 360 Slim med X8 unlock
Läs merTre saker du behöver. Susanne Jönsson. www.sj-school.se
Steg 1 Grunden 0 Tre saker du behöver veta Susanne Jönsson www.sj-school.se 1 Steg 1 Grunden Kärleken till Dig. Vad har kärlek med saken att göra? De flesta har svårt att förstå varför det är viktigt att
Läs merKort om World Wide Web (webben)
KAPITEL 1 Grunder I det här kapitlet ska jag gå igenom allmänt om vad Internet är och vad som krävs för att skapa en hemsida. Plus lite annat smått och gott som är bra att känna till innan vi kör igång.
Läs mer30-40 år år år. > 60 år år år. > 15 år
1 av 14 2010-11-02 16:21 Namn: Skola: Epostadress: 1. Kön Kvinna Man 2. Ålder < 30 år 30-40 år 41-50 år 51-60 år > 60 år 3. Har varit verksam som lärare i: < 5 år 6-10 år 11-15 år > 15 år 4. Har du en
Läs merD. x 2 + y 2 ; E. Stockholm ligger i Sverige; F. Månen är en gul ost; G. 3 2 = 6; H. x 2 + y 2 = r 2.
Logik Vid alla matematiskt resonemang måste man vara säker på att man verkligen menar det man skriver ner på sitt papper. Därför måste man besinna hur man egentligen tänker. Den vetenskap, som sysslar
Läs merAtt montera lapptäcke utan vadd. Plocka fram de tyger du vill ha i täcket. Det du
Plocka fram de tyger du vill ha i täcket. Det du behöver när du gör detta är: tyger, gärna gardiner, ej för nötta. Sytråd, symaskin, gummimatta och rullkniv, sax, säkerhetsnålar, måttband. Riv/klipp bort
Läs merKattmatta. Materialåtgång; Mattan; ca 300 gr garn. (Masktätheten ska vara ca 20 m = 10 cm på stickor 31/2.)
Kattmatta Materialåtgång; Mattan; ca 300 gr garn. (Masktätheten ska vara ca 20 m = 10 cm på stickor 31/2.) Pälsen; ca 700 gr garn. Använd restgarner i blandade färger och tjocklekar, eller ett enfärgat
Läs merANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation
ANDREA REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se oulombs lag och Maxwells första ekvation oulombs lag och Maxwells första ekvation Inledning Två punktladdningar q 1 samt q 2 i rymden
Läs merInspirationshäfte Vinter Härliga och roliga tips för dig och ditt kreativa barn
Inspirationshäfte Vinter Härliga och roliga tips för dig och ditt kreativa barn Snögubbe Flaska 1. Gör en stor boll av leran (storleken beroende på flaskhalsens storlek). 2. Ta av korken och tryck på bollen
Läs merVikingarna. Frågeställning: Ämne: Historia, vikingarna.
Frågeställning: Ämne: Historia, vikingarna. Jag vill fördjupa mig i vikingatiden. Vad de åt, hur de levde, o.s.v. Jag tänkte dessutom jämföra med hur vi lever idag. Detta ska jag ta reda på: Vad var städerna
Läs merDiskutera sedan lösningarna utifrån följande frågor (med tillhörande kommentarer): 1. Var någon lösning bättre än de andra? I sådana fall, varför?
Åk 7-9, Gy Matematik Mänsklig matematik Syfte Tanken är att eleverna ska förstå att matematik är ett verktyg, och att de får en idé om vad verktyget kan göra för just dem. När eleverna går från lektionen
Läs merINSTRUKTIONER Y1 HJÄLPMEDEL SOM KAN BEHÖVAS DELARNA. Instruktion Y1 v. 0.2 Sida 1 av 7
Instruktion Y1 v. 0.2 Sida 1 av 7 INSTRUKTIONER Y1 HJÄLPMEDEL SOM KAN BEHÖVAS Byggsatsen skall limmas ihop. Lämpligt lim är cyanoakrylat, ex. Loctite Super Attak. Nyttiga verktyg: Kniv typ brytkniv Nålfilar
Läs merArbetslös men inte värdelös
Nina Jansdotter & Beate Möller Arbetslös men inte värdelös Så behåller du din självkänsla som arbetssökande Karavan förlag Box 1206 221 05 Lund info@karavanforlag.se www.karavanforlag.se Karavan förlag
Läs merGESTALTANDE UNDERSÖKNING
GESTALTANDE UNDERSÖKNING Min gestaltande undersökning behandlar vad som händer när konst och matematik möts och interagerar. Jag har arbetat utifrån frågeställningen: Vilka möjligheter och fördelar finns
Läs merpå fredag Dessutom slipper ni tjatet om att hålla ordning och trivseln förbättras.
Ordning och reda på fredag nej, alltid Ordning och reda (OR) handlar om att skapa bättre ordning på arbetsplatsen, utan att tjata. Ordning och reda handlar också om att minska risken för olycksfall och
Läs merMMA127 Differential och integralkalkyl II
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA127 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 211.8.11 14.3 17.3 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva
Läs merSune slutar första klass
Bra vänner Idag berättar Sunes fröken en mycket spännande sak. Hon berättar att hela skolan ska ha ett TEMA under en hel vecka. Alla barnen blir oroliga och Sune är inte helt säker på att han får ha TEMA
Läs merEllipsen. 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt.
Ellipsen 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt. Vi skall stifta bekantskap med, och ganska noga undersöka, den plana kurva som kallas ellips. Man kan närma sig kurvan på olika sätt men vi väljer som
Läs merINTRODUKTION 3 INOMHUS LEKAR 4. Kartritar leken 4. Kartteckenmemory 4. Kopieringsstafett 5. Pusselstafett 5. Ja & Nej stafett 6 UTOMHUSLEKAR 7
INNEHÅLL INTRODUKTION 3 INOMHUS LEKAR 4 Kartritar leken 4 Kartteckenmemory 4 Kopieringsstafett 5 Pusselstafett 5 Ja & Nej stafett 6 UTOMHUSLEKAR 7 Emit-stafett 7 Trollskogen 7 Kartan 8 Karttecken 8 SKATTJAKTEN
Läs merDimensioner och fraktal geometri. Johan Wild
Dimensioner och fraktal geometri Johan Wild 9 februari 2010 c Johan Wild 2009 johan.wild@europaskolan.se Får gärna användas i undervisning, kontakta i så fall författaren. 9 februari 2010 1 Inledning och
Läs merUNDERVISNINGSMATERIAL
UNDERVISNINGSMATERIAL ARBETSUPPGIFTER UNDERVISNINGSMATERIAL 1: SUNNY Uppgift 1: Skapa ett energinät Uppgift 2: Rita elbilen Sunny Uppgift 3: Soltornet ÄVENTYRSPAKET UPPFINNARNA OCH SOLHJULET Copyright
Läs mergipsavgjutning av magen
BELLYCASTING gipsavgjutning av magen Mot slutet av graviditeten, någon gång i vecka 37-38 - om du inte vet att du ska föda tidigare förstås, kan det vara roligt att göra en avgjutning av magen. Det blir
Läs merVardagssituationer och algebraiska formler
Modul: Algebra Del 7: Kommunikation i algebraklassrummet Vardagssituationer och algebraiska formler Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet och Jörgen Fors, Linnéuniversitetet En viktig del av algebran
Läs merFöreläsning 3.1: Datastrukturer, en översikt
Föreläsning.: Datastrukturer, en översikt Hittills har vi i kursen lagt mycket fokus på algoritmiskt tänkande. Vi har inte egentligen ägna så mycket uppmärksamhet åt det andra som datorprogram också består,
Läs merT-tunika med formremsa i halsringningen
Du behöver: begagnade tyger. Jag har en gardin och ett par shorts. Symaskin och matchande tråd, pappersoch tygsax, knappnålar, måttband, strykjärn och strykbräda, mellanlägg/fliselin till halsremsan. Synål.
Läs merPernilla Falck Margareta Picetti Siw Elofsdotter Meijer. Matte. Safari. Direkt. Lärarhandledning. Andra upplagan, reviderade sidor
Matte Direkt Pernilla Falck Margareta Picetti Siw Elofsdotter Meijer Safari 1A Lärarhandledning MS Enhetsdel Sist i varje kapitel finns ett avsnitt som i första hand tar upp enheter. Här i årskurs 1 handlar
Läs merMagiska Manteln en resa genom islamisk konst
Magiska Manteln en resa genom islamisk konst Kompletterande pedagogisk handledning Pappersmodeller Papper är ett material som ger möjlighet att tillverka allt från enkla modeller till stora invecklade
Läs mer12 Programstege Substantiv
Det här är en programstege för substantiv. Du kan alltså lära dig om substantiven på ett enkelt sätt, en liten bit i taget. Varje sida innehåller fakta om substantiv, tillsammans med uppgifter som du också
Läs merVarför undervisar ni matematiklärare på lågstadiet om klockan? Det var
Christel Svedin & Christina Svensson Möjligheter med analog klocka i geometriundervisning På Dammfriskolan i Malmö ledde lärares ifrågasättande av slentrianmässigt förekommande material och innehåll i
Läs merOrdlista 1B:1. modell. hel timme. halv timme. timvisare. Dessa ord ska du träna. Öva orden. När du bygger efter en ritning, får du en modell.
Ordlista 1B:1 Öva orden Dessa ord ska du träna modell När du bygger efter en ritning, får du en modell. hel timme På en timme går timvisaren ett steg på klockan. halv timme På en halvtimme går minutvisaren
Läs merInstruktion Yd v. 0.4 Sida 1 av 5
Instruktion Yd v. 0.4 Sida 1 av 5 INSTRUKTIONER YD Observera, instruktionen är helt nyskriven och uppdateras fortfarande. Titta på produktsidan på www.mollehem.se efter senaste versionen. HJÄLPMEDEL SOM
Läs merBERÄTTARFESTIVALEN SKELLEFTEÅ 2013 22-28 APRIL. Skellefteå skriver. 6 Hålet. En berättelse från Skellefteå
BERÄTTARFESTIVALEN SKELLEFTEÅ 2013 22-28 APRIL Skellefteå skriver # 6 Hålet En berättelse från Skellefteå Författaren & Skellefteå berättarförening 2013 Tryck: Skellefteå Tryckeri, april 2013 Jag var ute
Läs merOm Pythagoras hade varit taxichaufför
56 Om Pythagoras hade varit taichaufför i Luleå Andrejs Dunkels Högskolan i Luleå Fig 1. Om man vill ta sig från P-platsen i hörnet av Köpmangatan och Timmermansgatan till Vinbutiken (se fig 1) så går
Läs merI addition adderar vi. Vi kan addera termerna i vilken ordning vi vill: 1 + 7 = 7 + 1
BEGREPP ÅR 3 Taluppfattning och tals användning ADDITION 3 + 4 = 7 term + term = summa I addition adderar vi. Vi kan addera termerna i vilken ordning vi vill: 1 + 7 = 7 + 1 SUBTRAKTION 7-4 = 3 term term
Läs merRobotarm och algebra
Tekniska Högskolan i Linköping Institutionen för Datavetenskap (IDA) Torbjörn Jonsson 2010-12-07 Robotarm och algebra I denna laboration skall du lära dig lite mer om möjlighetera att rita ut mer avancerade
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://w3.msi.vxu.se/users/pa/vektorgeometri/gymnasiet.html Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Linnéuniversitetet Vektorer i planet
Läs merPåskpyssel. Roliga tips för dig och ditt kreativa barn. Colorona är en del av
Påskpyssel Roliga tips för dig och ditt kreativa barn Colorona är en del av Påskbild med handavtryck 1. Tryck din hand mot Giant Washable inkpad och sedan mot det vita pappret. 2. Gör samma sak med tummen,
Läs mer"Content is king" - Vacker Webbdesign & Effektiv Sökmotorsoptimering för företag
"Content is king" Skapad den jul 20, Publicerad av Anders Sällstedt Kategori Webbutveckling Jag funderade ett tag på vad jag skulle kalla detta blogginlägg. Problemet som sådant är att många undrar varför
Läs merKort introduktion till POV-Ray, del 1
Kort introduktion till POV-Ray, del 1 Kjell Y Svensson, 2004-02-02,2007-03-13 Denna serie av artiklar ger en grundläggande introduktion och förhoppningsvis en förståelse för hur man skapar realistiska
Läs merModellbygge - Bondestenåldern
Modellbygge - Bondestenåldern Mål: Skapa en modell av ett hus och undersöka vad byggnaden kan berätta om människornas levnadsvillkor. Material: Frigolitplatta, en per hus Limpistol A4-papper Rundstavar
Läs mer1 Den Speciella Relativitetsteorin
1 Den Speciella Relativitetsteorin På tidigare lektioner har vi studerat rotationer i två dimensioner samt hur vi kan beskriva föremål som roterar rent fysikaliskt. Att från detta gå över till den speciella
Läs merThomas i Elvsted Kap 3.
Kap 3 Nu börjar träningen Imre, inte Ymre När kommer din pappa, frågar jag Lappen, vi kanske ska dela upp innan. Han är redan hemma, han jobbar på Metallen med datorer, säger Lappen, så vi ska nog strax
Läs merRitning av ytor i allma nhet och OCAD-lo sningar da rtill i synnerhet
Ritning av ytor i allma nhet och OCAD-lo sningar da rtill i synnerhet Allmänt Förr i tiden när kartor renritades med pennor och tusch, var den primära målsättningen att slutresultatet skulle vara snyggt
Läs merDetaljer att leta efter! D 3. Du får fram bokstäverna till den gömda DEN GÖMDA MENINGEN. För att lycka med detta behöver du...
STORA DEN HÄR BOKEN TILLHÖR : På nästa sida börjar dina 4 kartritaruppdrag. KARTAN Över... Kartan över Henån är svår att förstå! Den behöver ritas klart och fyllas i med färg. Du har 2 huvuduppdrag! 1.
Läs merGrunder. Grafiktyper. Vektorgrafik
2 Grunder All vår början bliver svår eller hur det nu brukar heta, och detta är något som gäller även Flash. För den som är ovan vid Flash gäller det säkert extra mycket, då det kan vara knepigt att förstå
Läs merFörberedelser: Göm i hemlighet en boll i den mellersta muggen, som visas på bilden nedan.
MUGGAR OCH BOLLAR Placera en boll på toppen av en mugg och täck den med de andra två muggarna. Knacka på muggen och bollen kommer att passera genom muggen och hamna på bordet under. De återstående bollarna
Läs merLÄRARHANDLEDNING EN NATT I FEBRUARI. Mittiprickteatern Box 6071, 102 31 Stockholm 08-15 33 12 info@mittiprickteatern.se www.mittiprickteatern.
LÄRARHANDLEDNING EN NATT I FEBRUARI Mittiprickteatern Box 6071, 102 31 Stockholm 08-15 33 12 info@mittiprickteatern.se www.mittiprickteatern. En natt i februari av Staffan Göthe Lärarhandledning Syftet
Läs merProblem med stenplattor
Rolf Hedrén, Eva Taflin & Kerstin Hagland Problem med stenplattor Författarna har under flera år bedrivit ett forskningsprojekt med syfte att ta reda på hur lärare och elever tänker om lektioner kring
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III
Läs merGer bilder stöd för förståelsen av och förmågan att minnas kunskapskraven?
Ger bilder stöd för förståelsen av och förmågan att minnas kunskapskraven? Inledning Många elever har svårt att förstå och minnas kunskapskraven. I utvärderingar av min undervisning får ofta frågor kopplade
Läs mer4 Fler deriveringsregler
4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x
Läs merRAPPORT. Vad har du fått för reaktioner på din konsert? Leader Bergslagen Box 101 739 22 Skinnskatteberg Besöksadress: Kyrkvägen 7
RAPPORT Projektets namn Genomförare Mitt sommarprojekt/ Pianot i fokus Daniel Larsson Hur fick du idén till att göra pianokonserten och varför ville du göra den? Jag har spelat piano sedan jag var runt
Läs merMatematiska begrepp kan ibland vara svåra att visualisera, exempelvis
Kajsa Bråting Tolka visualiseringar Vilken roll kan visualiseringar ha i skolmatematiken? Några elever på gymnasiet tar sig an ett historiskt problem som handlar om att utifrån en visualisering avgöra
Läs merVad är geometri? För dig? I förskolan?
Vad är geometri? För dig? I förskolan? Vad är geometri? Betyder jordmätning En del i matematiken som handlar om rum i olika dimensioner, storlek, figurer och kroppar och deras egenskaper. Viktiga didaktiska
Läs merGraärgning och kromatiska formler
Graärgning och kromatiska formler Henrik Bäärnhielm, d98-hba 2 mars 2000 Sammanfattning I denna uppsats beskrivs, för en ickematematiker, färgning av grafer samt kromatiska formler för grafer. Det hela
Läs merTutorial Av Marika ioma Lantz för HannasPysselstuga.se
Fjärilalbum med tags Tutorial Av Marika ioma Lantz för HannasPysselstuga.se Materialet som jag använt: (Hittar du inte materialet i webshopen så kontakta Hanna så kan hon ordna det) Kartong eller annat
Läs merRESTAURERING AV GAMLA FOTOGRAFIER
RESTAURERING AV GAMLA FOTOGRAFIER Att fixa till gamla bilder sträcker sig från enklare justeringar till mer avancerade operationer. Det kan handla om att enbart behöva justera ljus och kontraster, men
Läs merRÄDDA EKVATIONERNA! Cecilia Christiansen
RÄDDA EKVATIONERNA! Cecilia Christiansen Innehåll Introduktion...4 Innan du börjar...6 Lektion 1 Vad är matematiska uttryck och hur förenklar man dem?...8 Lektion 2 Ekvationsspelet del 1...11 Lektion 3
Läs merSKAPA MED TOARULLAR! INSPIRATIONSHÄFTE, TOARULLAR DEL 1. Del 1. Härliga och roliga tips för dig och ditt kreativa barn.
INSPIRATIONSHÄFTE, TOARULLAR DEL 1 SKAPA MED TOARULLAR! Del 1. Härliga och roliga tips för dig och ditt kreativa barn. COLORONA ÄR EN DEL AV RAHMQVISTGRUPPEN Färgglad fisk Toarulle Plast/papptallrik Häftapparat
Läs merMin dominokofta under process. Material: bomullsgarn, både rester och annat, bl a Gjestads bomull Sport. Stickor nr 2,5, stoppnål, sax.
Min dominokofta under process. Material: bomullsgarn, både rester och annat, bl a Gjestads bomull Sport. Stickor nr 2,5, stoppnål, sax. Principen med dominostickning är, att man minskar vartannat varv
Läs merReflexioner kring självbedömning
Handen på hjärtat: Du som läser det här, vad vet du om din egen läsförmåga? av Per Måhl Reflexioner kring självbedömning s o m j a g s e r d e t, bör lärare göra allt de kan för att förbättra elevernas
Läs merChecklista för funktionsundersökning
Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara
Läs merGesällprov. av Suzanne Lagerin. arbetet pågick under tiden april oktober 2015
Gesällprov av Suzanne Lagerin arbetet pågick under tiden april oktober 2015 Mästarbrev godkänt februari 2016 Bakgrund Egentligen hade jag inte några planer på att göra ett gesällprov jobb fanns det ju
Läs mer