1(3) Tentamen i INTRODUKTION TILL SYSTEM- OCH REGLERTEKNIK

Transkript

1 1(3) Tentamen i INTRODUKTION TILL SYSTEM- OCH REGLERTEKNIK HJÄLPMEDEL: I tentamen tillåts alla andra hjälpmedel förutom lösningar till sådana gamla tentamensuppgifter som inte genomgåtts under föreläsningarna. 1. Proteinerna i en cell förnyas kontinuerligt genom att existerande molekyler degraderas och ersätts genom syntes av nya molekyler. Koncentration c(t) hos ett protein kan beskrivas med differentialekvationen dc(t) = k deg c(t) + r syn Här anger r syn hastigheten med vilket nytt protein syntetiseras och termen k deg c(t) anger degraderingshastigheten, med vilket proteinet sönderfaller. a) Man vill bestämma synteshastigheten r syn hos ett protein i en cell. Man kan emellertid inte mäta synteshastigheten direkt, utan endast proteinets koncentration i cellen. För att bestämma synteshastigheten bestämmer man först degraderingshastigheten genom att behandla celler så att syntesen av nytt protein förhindras, dvs r syn = 0. Härvid är halveringstiden (dvs den tid det tar för koncentrationen att minska till hälften) 40 min. Bestäm konstanten k deg. [Ledning: Betrakta c(t) för en stegformad ändring hos synteshastigheten r syn (t) = { rsyn, t < 0 0, t 0 ] b) I stationärtillståndet, dvs då dc(t)/ = 0, är proteinkoncentration (i lämpliga enheter) c = 1. Använd den enligt a-fallet bestämda värdet för k deg för att bestämma synteshastigheten r syn. The proteins in a cell are continuously renewed by degradation of existing molecules which are replaced by synthesis of new molecules. The concentration c(t) of a protein can be described by the differential equation dc(t) = k deg c(t) + r syn Here r syn is the synthesis rate of new protein and the term k deg c(t) denotes the degradation rate. a) We wish to determine the synthesis rate r syn of a protein in a cell. It is, however, not possible to measure the synthesis rate directly, but only the protein concentration in the cell can be measured. In order to determine the synthesis rate, the degradation rate is determined first by treating the cells so that synthesis of new protein is prevented, i.e., r syn = 0. The half-live (i.e., the time it takes for the concentration to reduce to 50% of the initial value) is then 40 min. Determine the constant k deg. [Clue: Consider c(t) for a step change in the synthesis rate, r syn (t) = { rsyn, t < 0 0, t 0 ] b) In the stationary state, i.e., when dc(t)/ = 0, the protein concentration is (in suitable units) c = 1. Use the value of k deg determined above to determine the synthesis rate r syn.

2 2(3) 2. Vid mobil kommunikation förändras styrkan hos den mottagna signalen på grund av varierande avstånd mellan avsändare och mottagare. Antag för enkelhetens skull att den mottagna signalstyrkan y beror av effekten u hos den utsända signalen enligt y(t) = u(t) + d(t) där d(t) är en störning som påverkar styrkan hos den mottagna signalen. För att upprätthålla en konstant, lämplig styrka hos den mottagna signalen används effektreglering i enlighet med exempel 2.5 i kurskompendiet. Härvid återkopplas signalstyrkan y hos mottagaren för att justera effekten u hos den utsända signalen. Detta kan åstadkommas med hjälp av en I-regulator, dvs genom att låta u förändras tills önskad styrka r hos den mottagna signalen uppnås, enligt du(t) = K c (r y(t)) a) Upprita ett blockschema som beskriver effektreglersystemet, samt bestäm överföringsoperatorerna som beskriver sambanden mellan systemets insignaler r och d och utsignalen y. b) Bestäm för vilka värden på K c reglerkretsen är stabil. c) Bestäm hur reglerfelet y(t) r förändras efter en stegformad förändring i störningen d(t), och bestäm sedan K c så att felet y(t) r efter en stegformad förändring i d(t) minskar till under 10% från sitt begynnelsevärde på 0.01 sekunder. In mobile communication the received signal power varies due to varying distance between transmitter and receiver. Assume for simplicity that the received signal power y depends on the power u of the transmitted signal according to y(t) = u(t) + d(t) where d(t) is a disturbance which affects the received signal power. In order to maintain a constant, suitable power of the received signal, power control is applied (cf. Example 2.5 in the lecture notes). In this approach the received signal power y at the receiver is fed back to adjust the power u of the transmitted signal. This can be achieved using an I-controller, i.e., by letting u change until the desired power r is achieved for the received signal, according to du(t) = K c (r y(t)) a) Draw a block diagram of the power control system, and determine the transfer functions which describe the relations between the system inputs r and d and the output y. b) Determine for which values of K c the control system is stable. c) Determine how the control error y(t) r varies after a step change in the disturbance d(t), and find a value for K c such that the error y(t) r after a step change in d(t) decreases to less 10% from its initial value in 0.01 seconds.

3 3(3) 3. Vissa tekniska system (såsom flygplan) är instabila och kan därför vara svåra, eller t.o.m. omöjliga att styra manuellt. För att underlätta manuell styrning av sådana system kan man använda en lämplig regutor för att stabilisera systemet först. Mera konkret, ett instabilt system som beskrivs av y(t) = G(p)u(t) stabiliseras först av en regulator u(t) = G c (p)(r(t) y(t)), så att den slutna kretsen y(t) = G(p)G c(p) 1 + G(p)G c (p) r(t) är stabil. Här är r(t) börvärdet till regulatorn. Genom att sedan i stället för insignalen u manipulera regulatorns börvärde r blir manuell styrning av systemet enklare. Betrakta följande andra ordningens system, G 1 (p) = 1 p p 1 och G 2 (p) = a) Undersök stabiliteten hos systemen G 1 (p) och G 2 (p). 1 p 2 0.5p 1 b) Man vill stabilisera systemen G 1 (p) och G 2 (p) med en enkel P-regulator av formen u(t) = K c (r(t) y(t)). Undersök om detta är möjligt. Ifall det är möjligt, bestäm K c så att den slutna kretsen är stabil och kritiskt dämpad. c) Ifall något av systemen G 1 (p) eller G 2 (p) inte kan stabiliseras med en P-regulator, föreslå en regulator som stabiliserar systemet, och bestäm reglerlagen så att den slutna kretsen är kritiskt dämpad. Some technical systems are unstable (such as some airplanes) and they may therefore be difficult, or even impossible, to control manually. In order to enable manual control of such systems a suitable controller can be applied to stabilize the system first. More concretely, an unstable system described by y(t) = G(p)u(t) is first stabilized by a controller u(t) = G c (p)(r(t) y(t)), so that the closed loop y(t) = G(p)G c(p) 1 + G(p)G c (p) r(t) is stable. Here r(t) is the setpoint to the controller. By adjusting this setpoint r instead of the system input u, manual control will be easier. Consider the following second-order systems, G 1 (p) = 1 p p 1 and G 2 (p) = a) Determine the stability of the systems G 1 (p) and G 2 (p). 1 p 2 0.5p 1 b) We wish to stabilize the systems G 1 (p) and G 2 (p) using a simple P-controller of the form u(t) = K c (r(t) y(t)). Determine whether this can be achieved. If stabilization is possible, determine K c so that the closed loop is stable and critically damped. c) If either of the systems G 1 (p) or G 2 (p) cannot be stabilized by a P-controller, propose a controller which stabilizes the system, and determine the control law so that the closed loop is critically damped.

4

5 2(3) 2. För en termosflaska anger tillverkaren att vatten vid 100 C efter 5 timmar avkyls till 80 C då flaskan bevaras vid rumstemperatur (20 C). - Bestäm en lämplig modell som beskriver hur temperaturen i termosen beror av tiden. - För att bedöma termosflaskans användbarhet, uppskatta hur lång tid det tar för vatten med begynnelsetemperaturen 90 C att kylas till 40 C då flaskan placeras i -10 C yttertemperatur. For a thermos bottle the manufacturer claims that water at 100 C after 5 hours cools to 80 C when the bottle is placed in room temperature (20 C). - Determine a suitable model which describes how the temperature in the bottle depends on time. - In order to evaluate the usefulness of the thermos bottle, estimate how long it takes for water with initial temperature 90 C to cool to 40 C when the bottle is placed in -10 C ambient temperature.

6 3. En hiss i ett höghus beskrivs av modellen 3(3) y(t) = G(p)u(t), G(p) = 1 p + 5 där y(t) är vertikal hastighet, och u(t) är insignalen till motorn som driver hissen. För att styra hissens hastighet används en PI-regulator av formen t ) u(t) = r(t) (K p y(t) + K i y(τ)dτ τ=0 där r(t) är hastighetens börvärde. a) Upprita ett blockschema för reglersystemet. Observera speciellt positionen hos regulatorn! b) Bestäm ett uttryck för överföringsfunktionen från r(t) till y(t) för den slutna kretsen. c) Bestäm regulatorparametrarna K p och K i så att: - den slutna kretsen är kritiskt dämpad, dvs beskrivs av ett system med två lika stora tidskonstanter T 1 = T 2 = T, samt - felet r(t) y(t) efter en stegförändring i r(t) minskar till under 10% efter 2 sekunder. Ledning: Bestäm först värdet för tidskonstanten T, och därefter motsvarande regulatorparametrar. An elevator in a high-rise building is described by the model y(t) = G(p)u(t), G(p) = 1 p + 5 where y(t) is the vertical velocity, and u(t) is the input signal to the motor which drives the elevator. In order to control the velocity of the elevator a PI controller t ) u(t) = r(t) (K p y(t) + K i y(τ)dτ τ=0 is used, where r(t) is the setpoint of the velocity. a) Construct a block diagram of the control systems. Observe in particular the position of the controller! b) Determine an expression for the transfer function of from r(t) to y(t) for the closed-loop system. c) Determine the controller parameters K p and K i such that: - the closed loop is critically damped, i.e., it is described by a system with two equal time constants T 1 = T 2 = T, and - the error r(t) y(t) after a step change in r(t) reduces to less than 10% after 2 seconds. Clue: First determine the value of the time constant T, and then find the corresponding controller parameters.

7

8 3. Vid lagerstyrning i leveranskedjor är målsättningen att hålla lämpliga lagerstorlekar trots fluktuationer i leveranser och försäljning. Betrakta en enkel leveranskedja med en grosshandlare som levererar en vara till en försäljare som säljer varan vidare till sina kunder. Grosshandlaren upprätthåller ett lager med storleken y G (t) (enheter), medan försäljaren har ett lager med storleken y F (t) (enheter). Man kan ofta relativt väl beskriva lagerstorlekarnas (grova) variationer med differentialekvationer, varvid grosshandlarens lagerstorlek beskrivs av dy G (t) = u G (t) u F (t) där u G (t) är mängden inköpt vara (enheter/tid), och u F (t) är mängden vara som säljs vidare till försäljaren (enheter/tid). På samma sätt beskrivs försäljarens lagerstorlek av dy F (t) = u F (t) s F (t) där s F (t) är mängden såld vara (enheter/tid). För att kunna garantera leverans av varan bör det hela tiden finnas en viss mängd vara i lagren, men för att undvika onödiga lagerkostnader får mängden inte vara alltför stor. För att åstadkomma detta använder sig både försäljaren och grosshandlaren av en reglerlag, så att försäljaren strävar till att hålla sitt lager vid nivån r F (enheter) trots fluktuationer i försäljningen s F (t) genom att använda linjär återkoppling enligt u F (t) = K F (r F y F (t)) medan grosshandlaren strävar till att hålla sitt lager vid nivån r G (enheter) trots varierande leveranser u F (t) till handlaren med hjälp av linjär återkoppling enligt u G (t) = K G (r G y G (t)) a) Bestäm sambandet mellan försäljningen s F (t) och försäljarens lagernivå y F (t), samt beräkna y F (t) efter en stegförändring i s F (t), om K F = 1 antas. b) Bestäm sambandet mellan försäljningen s F (t) och grosshandlarens lagernivå y G (t), samt beräkna y G (t) efter en stegförändring i s F (t), om K F = 1 och K G = 1 antas. c) Vad kan man säga om effektiviteten hos ovan beskrivna metod för lagerstyrning? Föreslå sätt på vilka lagerstyrningen eventuellt kunde göras effektivare.