Frågor om matematikundervisning

Transkript

1 Frågor om matematikundervisning Ur The Mathematical Intelligencer, Vol 9, No 3, pp 65-67, Översättning: Karl Greger Anthony Ralston är professor i datalogi och matematik vid SUNY at Buffalo. Han har gjort sig internationellt känd som matematikdidaktiker med speciell inriktning på datorns roll i matematikundervisningen. Med några undantag har gymnasie-, universitets- och industrimatematikerna i Förenta Staterna, speciellt forskarna bland dem, visat föga intresse för grundskolans matematikundervisning. Och ändå, som Richard Guy nyss har skrivit i denna tidskrift ("How Good a Mathematician Are You?", Vol 8, No 3, 1986, pp 54-55), "Om matematik är viktig, så gäller detsamma för matematikundervisning". I själva verket borde alla gymnasie- och universitetsmatematiker intressera sig för grundskolans matematikundervisning. De flesta av er brukar, i likhet med mig, antagligen beklaga den låga kunskapsnivå med vilken eleverna och studenterna kommer till våra institutioner. Om du tillhör denna skara, kan det knappast ha undgått dig, att några insatser att förbättra grundskolans matematikundervisning vore på sin plats. En framgångsrik sådan skulle inte endast producera bättre rustade elever utan skulle också skapa större intresse för matematik-intensiva utbildningslinjer. Dessutom skulle den minska behovet av stödundervisning på gymnasie- och högskolenivå. Jag är särskilt intresserad av grundskolans matematikundervisning, eftersom jag f n är ordförande i en pilotgrupp inom Mathematical Sciences Education Board, som ingår i National Research Council, med uppdrag att utarbeta ramar (innehållande målbeskrivningar och rekommendationer) inom vilka sedan kursplanegrupper har frihet att t o m helt omstrukturera grundskolans och gymnasiets kursplaner i matematik. Vi är naturligtvis inte så blåögda att vi tror, att en radikal omstrukturering kan genomföras snabbt. Vi funderar över, hur en kursplan för år 2000 borde se ut. Vi bryr oss inte om att ett större genombrott för ett sådant projekt är rätt osannolikt. Nödvändigheten av en genomgripande omstrukturering är enligt min mening så stor, att även en låg sannolikhet för framgång kan resultera i stora förväntningar inför framtida förändringar. Min pilotgrupp, som omfattar forskare, universitetslärare, statliga och kommunala matematikkonsulenter samt vanliga lärare, vet att den behöver hjälp från många håll, bl a från gymnasielärare och från industrin. Jag vill här ställa en rad diskussionsfrågor, som jag ber er att fundera över och, om andan faller på, besvara helt eller delvis.

2 1 Antag som premiss att matematisk förståelse idag är viktigare i allt fler sammanhang och yrken än någonsin tidigare. la. Vilket värde bör tillmätas aritmetiska algoritmiska färdigheter med penna och papper? Vi kan inte längre påstå att sådana färdigheter har ett värde i sig. Det värde de möjligen ännu har kommer att försvinna i och med att miniräknare blir ännu billigare och pålitligare. Många matematiker har berättat för mig att de lärt sig (dvs förstått) en hel del matematik först efter att ha utfört några (numeriska eller symboliska) manipulationer för att få upp ögonen för djupare matematiska frågeställningar. Jag betvivlar inte riktigheten av sådana påståenden, men vill ställa två frågor i akt och mening att klarlägga relevansen av denna erfarenhet: 1b. Anser du att inlärning av aritmetiska algoritmer med penna och papper kan förmå barn att förstå vad aritmetik i själva verket är och kan användas till? (Den forskning som har utförts har inte visat någon korrelation mellan aritmetisk-algoritmiska färdigheter och förståelse.) 1c. Hur relevanta är egentligen professionella matematikers erfarenheter som vägledare för grundskolans matematikundervisning? När allt kommer omkring skulle även i den bästa av världar endast ett fåtal 7-åringar ha förutsättningar att bli matematiker. Blivande matematikers förutsättningar i matematik skiljer sig antagligen inte bara ifråga om graden utan även ifråga om arten avsevärt från den stora majoritetens, bland vilken ändå många måste kunna lära sig att använda matematik både i sitt yrke och i sitt dagliga liv. * 2 Här kommer några frågor i anslutning till de aritmetiska problem som vidrörts ovan. 2a. Skall den algoritmiska långdivisionen överhuvudtaget läras ut i skolan i framtiden? (Den brittiska rapporten "Mathematic Counts" från 1982, känd under namnet Cockcroftrapporten, rekommenderade faktiskt att långdivision i framtiden inte skulle läras ut i brittiska skolor.) 2b. Skall vi dela ut miniräknare till barnen i förskolan? Om inte, så varför och när skall skolbarnen lära sig använda dem? (Här antas att miniräknare som ges till mycket unga barn skall användas på ett målmedvetet och meningsfullt sätt och inte som leksak!) Aritmetik upptar f n ca 80 % av den tid som ägnas åt matematik i årskurserna c. Vad vore en lämplig andel aritmetik i skolkursen under denna tidsperiod? 2d. Om den totala skoltid som ägnas åt matematik förblir oförändrad, vad skulle du då vilja införa i skolkursen, om aritmetik-andelen minskades? * 3 Nästan alla är överens om att barn behöver utveckla större färdigheter i huvud- och överslagsräkning, nu när miniräknare blir allt vanligare och vikten av algoritmitisk aritmetik med penna och papper avtar. Detta inte minst för att göra det möjligt för barnen att avgöra om miniräknarens svar är rimliga eller inte.

3 3a. Vilken nivå i huvudräknefärdighet är rimlig? Med endast ensiffriga tal? Kanske addition med tvåsiffriga tal samt multiplikation med tvåsiffrig multiplikand och ensiffrig multiplikator? Barn utvecklar ofta den uppfattningen att i matematik, i motsats till andra ämnen, endast ett svar kan vara korrekt. 3b. Håller du med om att inympningen av denna uppfattning hos barn är olycklig, och att ökad vikt vid uppskattningar här skulle kunna återställa balansen? 4 Förutom aritmetik är en stor del av grundskole- och gymnasiematematiken inriktad på utveckling av (algoritmiska och andra "mekaniska") färdigheter. 4a. Om vi kan göra troligt att algoritmisk aritmetik med penna och papper snabbt förlorar i betydelse, varför kan man inte på liknande sätt hävda detta för nästan alla matematiska färdigheter som barn f n förvärvar i grundskolan och i viss utsträckning på gymnasiet?

4 Kom ihåg att vi har siktet inställt på år 2000! Då kommer olika slags miniräknare som kan utföra alla manipulationer i skolans algebra- och analyskurser att vara både lättillgängliga och billiga! Ett exempel är den nyligen av Hewlett-Packard lanserade HP-28C-räknaren. Den kan utföra rätt mycket symbolisk algebra, kan symboliskt derivera uttryck innehållande elementära funktioner, samt kan symboliskt integrera polynomfunktioner. Den kostar f n ca kronor, men priset kan förväntas falla snabbt och prestationsförmågan att bli allt större. 4b. Vilka manipulativa färdigheter kommer att vara nödvändiga för elever som år 2000 skall in på gymnasiet (under den förutsättningen, vilken du kanske inte kan acceptera, att vi kan bibringa elever vad de behöver kunna om den matematik som hör ihop med och ligger bakom dessa manipulativa färdigheter utan att behöva lära ut färdigheterna själva). Här kommer några speciella exempel: 4c. Skall de studerande kunna polynom-aritmetik? 4d. Skall eleverna kunna lösa kvadratiska ekvationer? (Visserligen inte enbart en manipulativ färdighet, men en rätt så "mekanisk" procedur ändå.) 4e. Hur är det med system av två eller tre linjära ekvationer? Om miniräknare kommer att användas för såväl symbolisk som numerisk manipulation, kommer det att bli lika viktigt att kunna avgöra om ett symboliskt svar är rimligt som ett numeriskt. 4f. Vad skall menas med uppskattning av symboliska uttryck? Hur skulle du lära en elev att avgöra, om t ex en symbolisk derivata, erhållen med en miniräknare, är rimlig eller ej? 5 Somliga hävdar att mycket i den traditionella gymnasiekursen i matematik är föråldrat (t ex många manipulativa moment) eller ineffektivt (t ex Euklidisk geometri). Andra framhåller vikten av att man för in nya moment i skolkurserna; de två vanligaste nya momenten tycks vara (1) sannolikhetslära, statistik och EDA samt (2) moment från diskret matematik. 5a. Vilka moment i den traditionella gymnasiekursen i matematik skall finnas kvar till varje pris? 5b. Vilka nya moment är mogna att tillföras gymnasiekursen? 5c. Skall algebra förbli det dominerande ämnet i gymnasiekursen? 5d. Vilken roll skall datorer spela i gymnasiekursen? 6 I långa tider har huvudmålet för de matematik-intensiva gymnasielinjerna varit en kurs i inledande matematisk analys (differential- och integralkalkyl). 6a. Är kunskaper i elementär analys fortfarande ett lämpligt mål för studerande på matematik-intensiva gymnasielinjer? 6b. Eftersom kursplanerna håller på att breddas till att omfatta diskret matematik, borde inte också de matematik-intensiva gymnasielinjernas mål breddas till att omfatta mera än elementär analys?

5 7 Som tidigare nämnts klagar gymnasie- och högskolelärare ständigt över nybörjarnas bristande förkunskaper i matematik. Min inställning är annorlunda. Jag har ingenting emot att nybörjarna kommer med t o m ännu lägre förkunskaper än nu vad gäller fakta-kunskaper, om de bara vet någonting om matematikens "anda" vad det innebär att bevisa något, varför vissa metoder att angripa vissa problem är effektivare än andra, vad det generellt innebär att bedriva matematik i motsats till att manipulera symboler på ett papper. Jag uppfattar denna bristande insikt om vad matematik egentligen är, som mycket mera frustrerande än brister ifråga om fakta-kunskaper, t o m mycket triviala sådana. Om de studenter vi tar emot åtminstone har lärt sig den matematik de "kan" ordentligt, inte som en samling isolerade fakta och färdigheter utan som en integrerad och sammanhängande helhet, skulle jag vara nöjd även om de behärskade färre fakta. 7a. Håller du med om detta? 8 Föregående frågor innehåller fröet till större förändringar av grundskolans kursplaner i matematik. 8a. Om sådana förändringar genomfördes, hur skulle detta påverka grundskolans kursplaner till det bättre eller sämre? Jag hoppas du uppfattar några av mina frågor som provokativa. Jag har endast ytligt försökt dölja mina förutfattade meningar och har därför kanske gjort dig orolig eller arg. I vilket fall som helst vill jag gärna veta vad du anser. Håll i minnet: Hur framgångsrik den än har varit, är amerikansk matematik i likhet med amerikansk naturvetenskap och teknik på väg utför till medelmåttighet. Om du vill ha fakta som bakgrund för ditt eget ställningstagande, titta då på resultaten av "The Second International Mathematics Study" ("The Underachieving Curriculum: Assessing U.S. School Mathematics from an International Perspective", Stipes Publishing Company, Champaigne, IL, USA). Tiden är långt framskriden, vi behöver din hjälp! Departments of Computer Science and Mathematics SUNY at Buffalo 226 Bell Hall Amherst, NY 14260, USA Anmärkning Den ovan nämnda undersökningen är USA:s motsvarighet till IEA:s andra matematikundersökning i Sverige ("Matematik i svensk skola", FoU-rapport 46 SÖ 1983, Liber Utbildningsförlaget ISBN ). Nämnarens redaktion anser det vara mycket angeläget, att lärare och matematiker med intresse för den svenska skolans kursplaner i matematik ger synpunkter på Ralstons frågor och tänkbara svar. Många läsare är intresserade av att de nu aktuella ansträngningarna att förbättra matematikundervisningen intensifierar en diskussion om skolmatematikens innehåll. Redaktionen är alltså tacksam för inlägg!