Karl Björk HÅLLFASTHETS LÄRA. för teknologi och konstruktion

Transkript

1 Karl Björk HÅLLFASTHETS LÄRA för teknologi och konstruktion

2 Förord Denna bok i hållfasthetslära anknyter till en av författaren utgiven "Formler och Tabeller för Mekanisk Konstruktion", tidigare benämnd "Formler och tabeller för Teknologi och Konstruktion M". Ett stort antal sidhänvisningar till denna formelsamling finns inlagda i texten och dessa blir efter hand felaktiga då formelsamlingen ändras. Sidhänvisningarna stämmer till sjätte upplagan av formelsamlingen (2009). När senare upplaga finns, medföljer rättelse till sidhänvisningarna. Varje avsnitt kan delas upp i tre delar : 1. Kortfattad genomgång med definitioner, formler, benämningar och beteckningar. Härledningar av vissa formler har flyttats till slutet av boken. I förekommande fall ges även beräkningsgång. 2. Ett antal exempel med lösningar och kommentarer. 3. Övningsuppgifter, att i första hand lösas av eleverna. Ofta får läraren hjälpa till och visa lösningen på tavlan. Boken innehåller cirka 450 uppgifter. Hållfasthetslärans omfattning är mycket stor. Att på ett begränsat utrymme behandla allt väsentligt och med rätt avvägning mellan olika avsnitt, är inte lätt. Med tanke på den korta tid som tilldelats ämnet i gymnasieskoian, blir det å andra sidan svårt, att hinna med allt. Då ämnet läses i både Teknologi och Konstruktion, bör därför ämneskonferensen besluta om, vilka avsnitt, som skall genomgås under varje termin. Beträffande utböjningar och statiskt obestämda balkar, så tillämpas i denna bok två metoder: 1. superpositionsprincipen på kända elementarfall. 2. elastiska linjens differentialekvation med steg-funktioner, en mer än 100 år gammal metod, utarbetad av A Clebsch. En metod som innebär avsevärda förenklingar i räknearbetet, men som tycks vara okänd här i landet. Författaren anser inte att vinkeländringsmetoden skall genomgås. Om man för att belysa vinkeländringsmetoden behöver två sidor i utrymme att lösa ett problem, som med superpositionslagen kan lösas på två rader, så blir man tveksam. Vinkeländringsmetoden bör tillämpas i ett sådant sammanhang, att dess användning blir motiverad, och det faller utanför ramen av hållfasthetslära på gymnasienivå, bl a på grund av tidsbrist. Formelhärledningarna samlade i slutet av boken är att betrakta som överkurs att kunna ges till matematiskt intresserade elever. Sådant kunnande måste ju till för att framställa riktig programvara, som skall avlasta oss från tungt beräkningsarbete. Örnsköldsvik, Märsta och Spånga Karl Björk 2

3 Sida Hållfasthetslärans grundbegrepp 4 Spänningar definitioner 6 Formförändringar definitioner 7 Samband mellan spänningar och töjningar 7 Materialprovning, drag-, slag- och hårdhets-prov 8 Övningsuppgifter materialprovning 10 Tillåten spänning, säkerhetsfaktor 11 Övningsuppgifter tillåten spänning 11 Enkla belastningsfall. Översikt 12 Dragning, formler 12 Exempel med lösning. Övningsuppgifter 13 Tryck 15 Exempel med lösningar. Övningsuppgifter 15 Statiskt obestämda fall dragning tryck 16 Kontakttryck, stor och liten anliggningsyta 17 Tillåtna kontakttryck 18 Exempel med lösning. Övningsuppgifter 18 Skjuvning 20 Exempel med lösningar 20 Övningsuppgifter skjuvning 21 Dragning, tryck och skjuvning 24 Exempel med lösningar. Övningsuppgifter 24 Samverkande material dragning eller tryck 26 Exempel med lösningar. Övningsuppgifter 26 Egenspänningar 27 Värmespänningar dragning och tryck 27 Exempel med lösningar. Övningsuppgifter 27 Förspänningar 28 Vridning eller torsion 29 Exempel med lösningar vridning 30 Övningsuppgifter vridning 31 Vridmomentdiagram. Övningsuppgifter 32 Vridning av icke cirkulära tvärsnitt 33 Slutna och öppna tvärsnitt. Övningsuppgifter 33 Vridning. Cylindrisk skruvfjäder 34 Exempel med lösningar. Övningsuppgifter 34 Böjning raka balkar. Formler 36 Snittstorheter vid böjning 36 Belastningstyper. Stödtyper 37 Snittstorheterna M och T vid böjning 37 Exempel med lösningar T- och M-diagram 38 Övningsuppgifter T- och M-diagram 41 Snittstorheterna I och W vid böjning 43 Exempel med lösningar I med Steiners sats 43 Balkprofiler, standard, öppna, slutna 45 Övningsuppg. tröghetsmoment, böjmotstånd 46 Övningsuppg. spänningsberäkn. vid böjning 47 Övningsuppg. dimensionering vid böjning 48 Formförändringar vid böjning 49 Utböjning. Exempel med lösningar 49 INNEHÅLL Övningsuppgifter utböjningar och lutningar 50 Spänningar vid cirkulär krökning 50 Statiskt obestämda balkar 51 Exempel med lösningar. Övningsuppgifter 51 Superpositionslagen vid utböjning 52 Exempel med lösningar. Övningsuppgifter 52 Superposition använd på statiskt obestämda balkar. Ex. med lösning. Övningsuppgifter 53 Skjuvspänningar vid böjning 54 Statiskt areamoment S 55 Spik- nit- och bult- delning vid böjskjuvning 55 Exempel med lösning. Övningsuppgifter 56 Sammanfattning av hänsynstagande vid böjn. 57 Förenklad formel för skjuvspänningar 57 Samverkande material vid böjning 58 Exempel med lösning. Övningsuppgifter 58 Mot böjning jämnstarka balkar 59 Praktisk utformning av jämnstarka balkar 60 Bladfjädrar. Ex. med lösn. Övningsuppgifter 61 Största spänning i icke jämnstarka balkar 62 Övningsuppgifter 63 Sammansatt hållfasthet dragn. och böjning 64 Övningsuppgifter dragning-böjning 65 Tryck och böjning. Sektionskärna 66 Övningsuppgifter 67 Knäckning. Formler knäckspänning 68 Exempel med lösningar, tröghetsradie 69 Stångformer vid knäckbelastn. 70 Exempel med lösning, tvådelade stänger 71 Övningsuppgifter knäckning 72 Tryck och böjning noggrant 73 Olika former av tryck och böjning noggrant 74 Exempel med lösning tryck o böjning 75 Sammansättning av skjuvspänningar 75 Sammansättning av normal- o skjuv-spänning 75 Spänningsanalys. Plant spänningstillstånd 76 Exempel med lösningar. Övningsuppgifter 77 Plana spänningstillstånd bestämda genom töjningsmätningar på ytan. Exempel 78 Brott och flythypoteser. Effektivspänning 79 Skjuvning och böjning 80 Dragning och vridning. Exempel 81 Tryck och vridning. Dragning och skjuvning 81 Vridning och böjning 82 Säkerhetsfaktor s vid sammansatt hållfasthet och dynamisk belastning 82 Vridning och böjning. Dimensionering av axeländar. Exempel. Övningsuppgifter 83 Sned böjning eller böjning-böjning 84 3

4 Bestämning av huvudtröghetsaxlar och huvudtröghetsmoment 84 Exempel med lösning. Övningsuppgifter 85 Spänningskoncentrationer av kälverkan 87 Övningsuppgifter 87 Konstruktiv utformning mot kälverkan 88 Utmattning, amplitudspänning, spänningskvot 89 Utmattningsprovning. Wöhlerdiagram 90 Definitioner av utmattningsgränser 90 Smithdiagram. Säkerhetsfaktor mot utmattn. 90 Olika faktorers inverkan på säkerhetsfaktorn 90 Exempel med lösningar. Utmattning 92 Säkerhetsfaktor mot utmattning vid sammansatt hållfasthet 93 Utmattning vid kontakttryck 94 Övningsuppgifter utmattning 95 Höjning av utmattningshållfastheten 96 Skal, cylindriska, sfäriska. Tekniska tillämpningar 97 Exempel med lösn. Övningsuppgifter 98 Tjockväggiga cylindriska skal, inre och yttre övertryck, övningsuppgifter 99 Roterande skivor och ringar. Spänningar på grund av centrifugaikrafter. Övningsuppgifter 100 Plana skal. Stabiliserande åtgärder 101 Instabilitet. Knäckning, vippning, buckling 102 Övningsuppgifter buckling vippning 103 Öppen eller sluten profil. Instabila broar 105 Plasticitetsteori. Gränslastmetod, plastiskt böjmotstånd 106 Formelhärledningar 107 Lodrät stångs förlängning av egen tyngd 107 Kontakttryck p mellan cylindriska ytor 107 Vridning. Härledning av formler för cirkulära tvärsnitt l p och W v 107 Jämförelser mellan slutna och öppna tvärsnitt 109 Böjning rak balk. Formler för spänningar och utböjningar. Tröghetsmoment. Krökn.radie 109 Härledn. av tröghetsmoment. Steiners sats 111 Samband mellan M, T och q 112 Skjuvspänningar vid böjning, statiskt mom. 113 Elastiska linjen, utböjningar och lutningar 114 Elastiska linjen med stegfunktioner lämplig att använda vid punktlaster på balk 115 Övningsuppgifter statiskt obestämda balkar 116 Noggrann momentbestämning tryck och böjning. Härledning av formler 117 Härledning av Eulers knäckningsfall 119 Svar till övningsuppgifter 120 Hållfasthetslärans grundbegrepp För den räknemässiga behandlingen av konstruktioner med avseende på hållfasthet har man funnit det praktiskt att införa benämningar och beteckningar på en rad begrepp och egenskaper, som sammanhänger med de på konstruktionerna verkande krafterna, de fasta kropparnas geometri och materialens formändringsegenskaper och styrka. Spänningar Spänning är den kraft, som verkar på en ytenhet i en snittyta genom materialet. Spänningen varierar i många fall, både till storlek och riktning från punkt till punkt i snittytan. Normalspänning är normalkraft per ytenhet av snittytan. Tangantialspänning är tangentialkraft per ytenhet av snittytan. Dragspänning är normalspänning med kraften i riktning från snittytan. Tryckspänning är en normalspänning med kraften gående i riktning mot snittytan. Skjuvspänning är detsamma som tangentialspänning. Påkänning är detsamma som spänning och det används jämsides med ordet spänning. Spänningstillstånd I en av krafter påverkad kropp av fast material är det möjligt att skära ut en kub så orienterad, att på dess sex begränsningsytor endast normalspänningar verkar. Treaxligt spänningstillstånd sägs råda, om normalspänningar verkar på alla tre paren motstående ytor. Tvåaxligt spänningstillstånd sägs råda, om normalspänningar verkar på två par motstående ytor. Enaxligt spänningstillstånd sägs råda, om normalspänningar verkar på att par motstående ytor. Formändringar De av krafter orsakade formändringarna hos fasta kroppar kan vara elastiska och plastiska. Elastisk formändring innebär, att kroppen återfår sin ursprungliga form efter avlastning. Plastisk formändring innebär, att formändringen kvarstår efter avlastning. Töjningar längdändring dividerad med ursprunglig längd. Längdändringen kan vara en längdökning eller en längdminskning. Vinkeländring är ändringen av en ursprungligen rät vinkel hos den odeformerade kroppen. Vinkeländringen kallas även skjuvvinkel, eftersom den orsakas av skjuvspänningar. 4

5 Samband mellan spänning och formändring Elastisk formändring Elasticitetsmodul är förhållandet mellan normalspänning och töjning i kraftriktning vid en-axligt spänningstillstånd. Det kallas Hookes lag. Skjuvmodul är förhållandet mellan skjuvspänning och vinkeländring. Kontraktionstal (Poissons tal) är förhållandet mellan töjningen vinkelrätt kraftriktning och töjningen i kraftriktning vid en-axligt spännings tillstånd. Vid dragspänning är töjningen vinkelrätt kraftriktningen negativ (längdminskning) och töjningen i kraftriktningen positiv. Vid tryckspänning gäller det motsatta för båda töjningarna. Elasticitetsmodul, skjuvmodul och kontraktions tal är att betrakta såsom fysikaliska materialkonstanter, som beror av materialets byggnad(struktur) men som inte påverkas av exempelvis legeringstilisatser eller härdningsförfaranden. Formändrings- och hållfasthets- egenskaper definierade med hjälp av mekaniska materialprovningsmetoder Gränsspänning eller kritisk spänning är en spänning utgörande en gräns där ett visst tillstånd hos materialet upphör eller inträder. Proportionalitetsgräns är den största spänning intill vilken proportionalitet råder mellan spänning och töjning. Det är en gräns för Hookes lags giltighet. Flytgräns är den spänning vid vilken plastisk formändring inträder. Sträckgräns är flytgränsen vid dragning, exempelvis vid dragprovning. Övre sträckgräns och undre sträckgräns är de högsta och lägsta värdena inom flytområdet. Stukgräns är flytgränsen vid tryck. Resttöjningsgräns är den högsta spänning intill vilken en provstav kan belastas utan att den kvarstående töjningen efter avlastning överstiger ett angivet värde, t.ex. 0,02%. 0,2-gräns är en resttöjningsgräns, som används för material, som saknar tydlig sträckgräns. Den kvarstående töjningen är då 0,2%. Krypgräns är den spänning, som hos ett material vid en viss temperatur framkallar en viss uppgiven töjningshastighet, t.ex procent per timme. Brottgräns är den vid drag- eller tryck- provning under långsam formändring till brott uppträdande största belastningen dividerad med ursprunglig tvärsnittsarea. Utmattningsgräns är den största spänning som en konstruktion eller provstav nätt och jämnt kan uthärda utan att brista efter ett visst antal belastningsperioder under vilka spänningen varierar mellan angivna gränser. Formändring vid dragprovning Brottöjning eller förlängning mätt efter brott på en viss mätlängd. Kontraktion vid dragprovning är areaminskningen i procent av ursprunglig area, mätt vid brottstället. Slagseghet SIagarbete är den energi, som absorberas i en speciellt utformad provstav, under det att denna träffas av ett slag från en pendel med viss hastighet. Oftast brister provstaven. Ythårdhet Ett materials ythårdhet bestäms genom att ett föremål trycks mot ytan, varvid en plastisk formändring uppstår. Brinellhårdhet är förhållandet mellan tryckkraften och kvarstående intrycksyta. TNC 68 Hållfasthetsordlista utgiven av Tekniska nomenklaturcentralen Stockholm, innehåller ett mycket stort antal ord, vilket visar hållfasthetslärans stora omfattning. En del förändringar mot tidigare språkbruk är att notera: Man skall använda ordet area i stället för yta, spänning = kvot av kraft och area. Ordet tyngdpunkt skall ersättas av areacentrum och masscentrum, yttröghetsmoment skall ersättes med areatröghetsmoment. 5

6 INNEHÅLL Sida Spänningar och formförändringar och deras samband Materialprovning drag-, slag-, ythårdhets- och utmattnings-provn. Tillåtna spänningar Dragning tryck Kontakttryck tillåtna kontakttryck 18 Skjuvning stansning, klippning, nitförband, kedjor 20 Samverkande material dragning, tryck Egenspänningar värmespänningar 27 förspänningar 28 Vridning roterande effektöverföring, fjädrande element Böjning tvärkraft- och moment- diagram 38 tröghetsmoment och böjmotstånd 43 balkprofiler 45 beräkning av spänningar och dimensioner 47 utböjningar och lutningar 49 statiskt obestämda fall 51 skjuvspänningar vid böjning 54 byggda balkar, delning för nit, spik, bult 55 Samverkande material böjning Mot böjning jämnstarka balkar Knäckning knäckspänning, tröghetsradie, slankhetstal och tillåten spänning 68 stångformer; odelade, tvådelade, sammansatta 70 Spänningsanalys plant spänningstiilstånd med töjningsmätning på en yta med töjn.givare 78 brott och flythypoteser, effektivspänning 79 Av förlaget utgivna böcker: Elementär Mekanik. Formler och Tabeller för Mekanisk Konstruktion Sammansatt hållfasthet dragning och böjning, addition 64 tryck och böjning, sektionskärna, addition 66 dragn./tryck och böjning, noggr., förhöjn.faktor 73 skjuvning och vridning, addition 75 skjuvning och böjning, effektivspänning 80 dragning och vridning 81 tryck och vridning 81 dragning och skjuvning 81 vridning och böjning med säkerhetsfaktor 82 böjning-böjning (sned böjning), (vippning) 84 Dimensionering av axeländar mot vridning-böjning Huvudtröghetsaxlar och huvudtröghetsmoment Spänningskoncentrationer på grund av kälverkan konstruktiv utformning mot kälverkan 88 Utmattning provning, säkerhetsfaktor 89 höjning av utmattningshållfastheten 96 Skal cyl., sfäriska, tunna, (övertryck inre el. yttre) 97 tjockväggiga cylindriska (övertr. inre el. yttre) 99 Skivor roterande med centrifugalkraftspänningar 100 Plana skal stabiliserande åtgärder 101 Instabilitet översiktlig info. knäckning, vippning, buckling 102 buckling av tunnplåtsrör 103 Plasticitetsteori gränslastmetod, plastiskt böjmotstånd 106 Formelhärledningar Svar till övningsuppgifter Beställes från: Karl Björks Förlag HB Uppgårdsvägen Spånga Tel: Mobil: Fax: E-post: bjorks.forlag@telia.com