E: 9p D: 10p C: 14p B: 18p A: 22p

Transkript

1 MID SWEDEN UNIVERSITY DMA Examination 2014 MA095G & MA098G Discrete Mathematics (English) Time: 5 hours Date: 19 March 2014 Pia Heidtmann The compulsory part of this examination consists of 9 questions. The maximum number of points available is 24. The points for each part of a question are indicated at the end of the part in [ ]-brackets. The final grade on the course is determined by how well the candidates demonstrate that they have met the learning outcomes on the course. Provided all learning outcomes have been met, the following guide values will be used to set the course grade: E: 9p D: 10p C: 14p B: 18p A: 22p The final question on the paper is the Aspect Question, it is optional and carries no value in terms of marks, but a good solution of this Aspect Question may raise a candidates grade by one grade. The candidates are advised that they must always show their working, otherwise they will not be awarded full marks for their answers. The candidates are further advised to start each of the nine questions on a new page and to clearly label all their answers. This is a closed book examination. No books, notes or mobile telephones are allowed in the examination room. Note that Mathematical Formula Collection Edition 3 is allowed on this tenta and will be available in the examination room. Electronic calculators may be used provided they cannot handle formulas. The make and model used must be specified on the cover of your script. GOOD LUCK!! c DMA, Mid Sweden University 1 MA095G & MA098G

2 Question 1 (a) Express the hexadecimal number 20C in base 10. (b) Compute the product [2] 1 [5] in Z 7. (c) Write the sum s = by using Σ notation. (d) Showing all your working, compute the sum 2014 n=193 (4n 3). Question 2 (a) Let p and q be logical propositions. Give a truth table for the following two composite propositions and decide whether they are equivalent or not. p 1 : p q; p 2 : ( p) ( q). (b) Consider the following statement concerning an integer n 2: If 7 n 1 is divisible by 4 then n is an even number. (i) Write down the contrapositive of this statement. (ii) Proving your answer, say whether the statement is true or false. [1.5p] Question 3 Consider the set S = { 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} and define a relation R on S by (x, y) R if and only if x + 2y 0 (mod 3). (a) Show that the relation R is symmetric. (b) Show that the relation R is an equivalence relation and list the equivalence class containing the element 1. [2.5p] c DMA, Mid Sweden University 2 MA095G & MA098G

3 Question 4 Let f : R Z be the floor function given by (a) Compute f(1) and f( 1). (b) Is the function f one-to-one? (c) Is the function f onto? f(x) = (8x + 7)/6. Justify your answers! Question 5 For all integers n 2 consider the sum n 1 s n = (i + 1)2 i n. i=1 (a) Compute the sums s 2, s 3, s 4, s 5. (b) Prove by induction that s n = n 1 for all n 2. Question 6 (a) How many 5-digit positive integers bigger than can be created by permuting the digits of the number 12369? (b) Find the number of permutations of the digits 1, 2, 3, 4, 5, 6 which satisfy at least one of the following two conditions. 1 appears immediately to the left of 4 4 appears immediately to the left of 3 c DMA, Mid Sweden University 3 MA095G & MA098G

4 Question 7 (a) Showing all your working, use Euclid s algorithm to find two integers s and t such that 2014s t = gcd(2014, 3287). (b) Showing all your working, find all solutions x Z of the congruence 2014x 76 (mod 3287). Question 8 Consider the graph G on the vertex set V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} with adjacency matrix (a) Draw G. (b) Is G Hamiltonian? (c) Is G bipartite? (d) Is G planar? (e) Find two non-isomorphic spanning trees of G. [1.5p] Justify your answers! c DMA, Mid Sweden University 4 MA095G & MA098G

5 Question 9 Describe Dijkstra s algorithm for finding a shortest path from a vertex x to a vertex y in a weighted graph, and use it to find a shortest path from the vertex a to every other vertex in the following graph. a 3 b 3 c d 3 e 3 f g 2 h 2 i Aspect Question Let p 2 be a prime. (a) Show for all integers n with 1 n p 1, that the binomial coefficient ( p n) is divisible by p. (b) Show that (x + y) p x p + y p (mod p) for all integers x and y. c DMA, Mid Sweden University 5 END OF EXAMINATION

6 MITTUNIVERSITETET DMA Tentamen 2014 MA095G & MA098G Diskret matematik (svenska) Skrivtid: 5 timmar Datum: 19 mars 2014 Pia Heidtmann Den obligatoriska delen av denna tenta omfattar 9 frågor. Delfrågornas poäng står angivna i marginalen inom [ ]-parenteser. Maximalt poängantal är 24. Betyg sätts efter hur väl lärandemålen är uppfyllda. Riktvärde för betygen är: E: 9p D: 10p C: 14p B: 18p A: 22p Därutöver innehållar skrivningen en frivillig aspektuppgift som kan höja betyget om den utförs väl med god motivering. Behandla högst en uppgift på varje papper! Till alla uppgifter skall fullständiga lösningar lämnas. Resonemang, ekvationslösningar och uträkningar får inte vara så knapphändiga, att de blir svåra att följa. Brister i framställningen kan ge poängavdrag även om slutresultatet är rätt! Hjälpmedel: Matematisk Formelsamling Ed. 3 (delas ut), skriv- och ritmaterial samt miniräknare som ej är symbolhanterande. Ange märke och modell på din miniräknare på omslaget till tentamen. LYCKA TILL!! c DMA, Mittuniversitetet 1 MA095G & MA098G

7 Uppgift 1 (a) Uttryck det hexadecimala talet 20C i basen 10. (b) Beräkna [2] 1 [5] i Z 7. (c) Ange summan s = m.h.a. summatecken. (d) Beräkna summan Visa dina uträkningar! Uppgift n=193 (4n 3). (a) Låt p och q vara två logiska påståenden. Ge en sanningstabell för följande sammansatta påståenden och avgör om de är ekvivalenta eller ej. p 1 : p q; p 2 : ( p) ( q). (b) Betrakta följande påstående om ett heltal n 2: Om 7 n 1 är delbart med 4 så är n ett jämnt tal. (i) Ange det kontrapositiva påståendet. (ii) Är påståendet sant? Bevisa ditt svar. [1.5p] Uppgift 3 Låt S = { 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} och definiera en relation R på mängden S sådan att (x, y) R om och endast om x + 2y 0 (mod 3). (a) Visa att relationen R är symmetrisk. (b) Bevisa att relationen R är en ekvivalensrelation och ange ekvivalensklassen som innehåller talet 1. [2.5p] c DMA, Mittuniversitetet 2 MA095G & MA098G

8 Uppgift 4 Låt f : R Z vara golv-funktionen (a) Beräkna f(1) och f( 1). f(x) = (8x + 7)/6. (b) (c) Är f injektiv? Är f surjektiv? Motivera dina svar! Uppgift 5 För alla heltal n 2 definieras summan n 1 s n = (i + 1)2 i n. i=1 (a) Beräkna summorna s 2, s 3, s 4, s 5. (b) Bevisa med induktion att s n = n 1 för alla n 2. Uppgift 6 (a) Hur många 5-siffriga positiva heltal större än kan bildas genom att permutera siffrorna i talet 12369? (b) Bestäm antalet permutationer av siffrorna 1, 2, 3, 4, 5, 6 som uppfyller minst ett av nedanstäende villkor: ettan står omedelbart före fyran fyran står omedelbart före trean c DMA, Mittuniversitetet 3 MA095G & MA098G

9 Uppgift 7 (a) Använd Euklides algoritm för att hitta två heltal s och t sådana att 2014s t = sgd(2014, 3287). Visa dina uträkningar! (b) Bestäm alla lösningar x Z till kongruensen 2014x 76 (mod 3287). Visa dina uträkningar! Uppgift 8 Låt G vara grafen med hörnmängden V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} och grannmatrisen (a) Rita G. (b) (c) (d) Är G Hamiltonsk? Är G bipartit? Är G planär? (e) Hitta två icke-isomorfa uppspännande träd i G. [1.5p] Motivera dina svar! c DMA, Mittuniversitetet 4 MA095G & MA098G

10 Uppgift 9 Beskriv Dijkstras algoritm för att hitta en kortaste stig från hörn x till hörn y i en viktad graf och använd den för att hitta en kortaste stig från hörn a till varje annat hörn i grafen nedan. a 3 b 3 c d 3 e 3 f g 2 h 2 i Aspektuppgift Låt p 2 vara ett primtal. (a) Visa att p delar binomialkoefficienten ( p n), om n är ett heltal som uppfyller att 1 n p 1. (b) Visa att (x + y) p x p + y p (mod p) för alla heltal x och y. c DMA, Mittuniversitetet 5 SLUT PÅ TENTAMEN

11

12

13

14

15