Systemteknik/Processreglering Laboration 2 Modellbygge och beräkning av PID-regulatorn. Praktiska saker. 1. Inledning

Transkript

1 Ssemeknik/Processreglering Laboraion 2 Modellbgge och beräkning av PID-regulaorn Insiuionen för reglereknik Lunds ekniska högskola Senas uppdaerad sepember 2010 Prakiska saker Ni loggar in med användarnamne lab_anka (precis som i laboraion 1). Lämna lösenordsfäle blank. Vid inloggning sarar laboraionens grafiska användargränssni i vå fönser sam MATLAB, uan grafisk användargränssni, i e separa fönser. (Dea sker auomaisk.) 1. Inledning Laboraion 1 gav prakisk erfarenhe och insik i PID-reglering. Laboraionen saknade dock en ssemaisk meod för val av regulaorparamerar. Sfe med denna laboraion är a visa hur man kan konsruera en maemaisk modell för processen man vill sra och hur man med hjälp av denna kan beräkna lämplig regulaorinsällning. Laboraionen uförs på samma ankssem som användes i laboraion 1, se figur 1. Figur 1 Laboraionsuppsällning (varav vänsra halvan används) 1

2 Förberedelser För a få u någo av laboraionen är de vikig a du behärskar begreppen linjärisering, överföringsfunkion, karakerisisk polnom och polplacering. Du ska ha läs igenom denna laboraionshandledning. Du ska också ha arbea igenom förberedelseuppgiferna 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.7, 2.8, 3.1 sam 3.6. Observera a uppgiferna 3.1 och 3.6 räknas på övning. peera även gärna appendix ill laboraion 1 (som behandlar användargränssnie) innan du går vidare med laboraionen. Samarbee på förberedelseuppgiferna är illåe, men du ska enskil kunna redogöra för lösningarna vid laboraionens början. Glöm ine a a med handledningen från laboraion 1 även ill denna laboraion för a kunna jämföra dina resula. (I appendix ill handledningen för laboraion 1 finns även gränssnie beskrive, vilke kan komma ill na.) 2. Modellbgge I dea avsni ska vi a fram en maemaisk modell av anksseme ugående från fsikaliska principer och konsrukionsdaa. Den erhållna maemaiska modellen ska sedan verifieras genom experimen. Innan vi påbörjar själva modellbggande kan de vara vär a ägna uppmärksamhe å en prakisk aspek som i sig är okomplicerad, men som ros dea ofa säller ill de vid implemenaion av reglerssem. Enheer och enhesomvandlingar I denna laboraion (och i den föregående) sr vi en fsisk process med hjälp av en regulaor. I den fsiska processen hanerar vi signaler med skilda enheer, såsom nivåer [m], flöden [m 3 s 1 ] och spänningar [V]. Vår regulaor är implemenerad i en daor som endas kan hanera enheslösa al. För a ine förvilla oss i enhesdjungeln kommer vi konsekven a ange enheer för såväl konsaner som signaler. (Vi använder [1] för a indikera a någo är enheslös.) Dea kan vid försa anblick verka överdrive, men uelämnande av en ordenlig anals leder ofa ill fel som kan vara både allvarliga och svåra a lokalisera. Blockschema i figur 2 illusrerar vår sluna reglerssem. gulaorns in- och usignaler är enheslösa och normaliserade ill inervalle (0, 1). Srsignalen omvandlas ill spänningen som driver pumpen via en D/A-omvandlare (Digial/Analog). Vi berakar här pumpens försärkande drivkres som en inern del av pumpen och anar a pumpspänningen är linjär proporionell mo flöde genom pumpen. Nivån i ankarna mäs med hjälp av rckgivare som genererar en spänning, proporionell mo vaenhöjden. Denna spänning omvandlas ill en enheslös signal, normaliserad ill (0,1) med hjälp av en A/D-omvandlare (Analog/Digial). De är ine självklar var vi ska lägga snie mellan process och regulaor. De är dock praxis a snie väljs så a processens in- och usignaler får samma enhe. E naurlig sä a uppnå dea är a beraka D/A- och A/D omvandlarna som en del av processen, snarare än regulaorn. På dea vis blir regulaorns u- och insignaler normaliserade ill(0,1) och enheslösa. För a förenkla vår arbee ersäer vi blockschema i figur 2 med de ekvivalena schema i figur 3. 2

3 Tal Tal Spänning Flöde Nivå Spänning Tal k da k p k m k ad Algorim D/A Försärkare, Pump Tank Nivågivare A/D Figur 2 Blockschema för reglersseme med enhesomvandlare k da, k p, k m sam k ad Uppgif 2.1 (Förberedelseuppgif) Vad är enheerna hos enhesomvandlingskonsanerna k da, k p, k m sam k ad i figur 2? Urck de na konsanerna α respekive β i figur 3 i konsanerna från figur 2. Ange särskil enheerna för de na konsanerna. Tal Tal Flöde Nivå Tal α β Algorim Soromvandling Tank Soromvandling Process Figur 3 Ekvivalen blockschema för de sluna sseme Vi är nu klara med vår enhesanals och har en processmodell vars in- och usignal varierar i inervalle(0, 1) [1]. För insignalen mosvaras inervalle(0, 1) av (avsängd pump, full påslagen pump), medan olkningen blir (om ank, full ank) för processens usignal. Efer dea vikiga, och dessvärre ofa försummade seg, är vi nu redo a sälla upp en maemaisk modell av vår reglerssem som vi kommer a använda vid uformningen av olika regulaorer. Uppgif 2.2 (Förberedelseuppgif) Använd volmbalans för a sälla upp differenialekvaioner som beskriver sambande mellan inflöde q u () [m 3 s 1 ] ill den övre anken och höjderna h 1 () [m] respekive h 2 () [m] i de vå ankarna. E ungefärlig samband mellan usrömningshasighe v() [m s 1 ] och vaennivå h() [m] i en ank ges av Toricellis lag: v()= 2gh() där g=9.81 [m s 2 ] är graviaionsacceleraionen. Lå A 1 [m 2 ] och A 2 [m 2 ] beeckna värsnisarean för övre respekive undre anken. Lå vidare a 1 [m 2 ] och a 2 [m 2 ] beeckna mosvarande uloppsareor och försumma dnamiken i pumpmoorn och slangarna. 3

4 Ledning: Då en väska flödar med hasighe v() [m s 1 ] genom e hål med värsnisarea a [m 2 ] ges glöde av q() = a v() [m 3 s 1 ]. Jämför med figur 3 och var koncisen med användande av enheer. Vi har nu en fsikalisk modell med flöde [m 3 s 1 ] som insignal och höjder [m] som illsånd (usignaler), medan den önskade processmodellens in- och usignaler är al [1], normaliserade ill inervalle (0,1) i enlighe med figur 3. Uppgif 2.3 (Förberedelseuppgif) Inför enhesomvandlingarna q u = αu, h 1 = x 1 /β respekive h 2 = x 2 /β i din modell från uppgif 2.2 för a erhålla den önskade processmodellen, där illsåndsvariablerna x 1,x 2 [1] är ankhöjderna h 1,h 2 [m] normaliserade ill inervalle (0,1). Uppgif 2.4 (Förberedelseuppgif) Tankarna i laboraionen har samma värsnisare, dvs A=A 1 = A 2 [m 2 ]. Visa a processen beskrivs av modellen där γ 1 = a 1 A dx 1 () = γ 1 x1 ()+δu() d dx 2 () = γ 1 x1 () γ 2 x2 () (1) d 2gβ [s 1 ], γ 2 = a 2 2gβ [s 1 ], δ = αβ A A [s 1 ] Kommenar: Dea är en illsåndsbeskrivning av e olinjär ssem. Hur ser man de? Inervalle (0,1) [1] i illsånden x 1,x 2 mosvarar vaennivåinervalle (0,0.16) [m] i den övre respekive undre anken. Beräkna eoreiska värden på paramerarna δ, γ 1 och γ 2 ur konsrukionsdaa nedan och för in svaren i abellen nedan. Tankarnas värsnisarea: A 1 = A 2 = m 2 Uloppshålens area: a 1 = a 2 = m 2 Omvandlingsfakor från srsignal ill flöde: Omvandlingsfakor från höjd ill mäsignal: α = m 3 s 1 β = 6.25 m 1 Uppgif 2.5 (Förberedelseuppgif) I prakiken har ine alla ankprocesserna exak samma konsrukion. Dessuom förändras deras egenskaper över iden hålen kalkar igen, pumparna slis, o.s.v. De eoreiska parameervärdena är därför ine allid hel illförliliga. De verkliga värdena kan dock skaas med e par enkla experimen: δ kan skaas genom a blockera uflöde från den övre anken (med hjälp av reglage AV3), sälla in en konsan srsignal och sedan mäa hur lång id de ar för mäsignalen a öka från e värde ill e anna. γ 1 och γ 2 kan skaas genom a sälla in en konsan srsignal, väna ills sseme är i jämvik och sedan läsa av de saionära illsånden x 0 1 och x0 2. Ugående från ekvaion (1), visa hur man med hjälp av ovansående experimen kan räkna fram experimenella värden på förs δ, sedan γ 1 och ill sis γ 2. 4

5 Uppgif 2.6 Logga in enlig anvisningen i början av denna handledning (om ni ine redan gjor dea). Uför experimenen och räkningarna enlig uppgif 2.5 för a besämma experimenella värden på δ, γ 1 och γ 2. δ γ 1 γ 2 Teoreisk värde Experimenell värde Konrollera a de experimenella värdena sämmer någorlunda överens med de eoreiska. Ni ska hels basera er regulaordesign på de experimenella värdena. Varför? Kommenar: Nu är vi färdiga med såväl modellering som idenifiering av processparamerar. Vi har erhålli en modell med normaliserade, enheslösa in- och usignaler sam illsånd och behöver därför ine längre bokföra enheer under resen av laboraionen. Uppgif 2.7 (Förberedelseuppgif) Linjärisera sseme (1) kring e allmän jämviksläge (x1 0, x0 2 ). (I laboraionen kommer vi a använda x0 1 = 0.5 respekive x0 2 = 0.5.) Uppgif 2.8 (Förberedelseuppgif) Visa a de linjäriserade sseme från uppgif 2.7 kan beskrivas av följande överföringsfunkioner, där usignalerna ges av 1 ()=x 1 (), 2 ()=x 2 (). Y 1 (s)= ρτ 1 U(s) 1+sτ 1 ρτ 2 Y 2 (s)= U(s) (2) (1+sτ 1 )(1+sτ 2 ) Besäm paramerarna ρ, τ 1 och τ 2 som funkioner av processens paramerar δ, γ 1 sam γ 2 vid arbespunken x 0 1, x Beräkning av regulaorinsällning I dea avsni ska vi beräkna regulaorinsällningar för srning av övre respekive undre anken. Vi ugår från de maemaiska modeller som ogs fram i föregående avsni. gulaorerna ska sedan provköras ihop med anksseme. gulaorns paramerar kommer a bero på den specifikaion som vi vill a de åerkopplade sseme ska uppflla. En specifikaion kan ha olika former; i de här falle 5

6 är de åerkopplade ssemes poler som anges. Som bekan har polplaceringen en inuiiv olkning i ermer av snabbhe och dämpning hos de sluna sseme. I denna laboraion kommer vi a arbea med PI- och PID-regulaorer. Genom a välja PI(D)-paramerarna på lämplig sä kan man erhålla e önska karakerisisk polnom (nämnarpolnom) hos de sluna sseme, se figur 4. r r + gulaor Process äljare s 2 + 2ζω s + ω 2 1 Figur 4 Sluna sseme specificeras genom e önska karakerisisk polnom. glering av övre anken Uppgif 3.1 (Förberedelseuppgif) Använd försa ekvaionen i modellen (2) från uppgif 2.8 för a uforma en PI-regulaor, ( u()=k e()+ 1 T i 0 ) e(τ)dτ ( U(s)=K 1+ 1 ) E(s) (3) st i för reglering av nivån i den övre anken. Välj regulaorparamerarna så a de sluna sseme får en relaiv dämpning ζ och en odämpad egenvinkelfrekvens ω, dvs så a de sluna sseme får de karakerisiska polnome s 2 + 2ζ ωs+ω 2 (4) I svare ska K och T i urckas i processparamerarna ρ och τ 1 sam designparamerarna ω och ζ. Ledning: Om de öppna ssemes överföringsfunkion har srukuren G o = Q/P där P och Q är (relaiv prima) polnom, kan vi skriva de sluna ssemes överföringsfunkion som G= G 0 1+G 0 = Q/P 1+Q/P = Q P+Q (5) De karakerisiska polnome är allså P+Q. 6

7 Uppgif 3.2 Vi börjar nu med a uforma en regulaor med ζ = 1,ω = 0.3 för den övre anken, då arbespunken väljs ill x1 0 = 0.5. Dea kan göras med hjälp av MATLAB-skripe calcpi enlig följande exempel (fll i era skaade värden på dela,gamma1 ochgamma2): >> dela =... ; >> gamma1 =... ; >> gamma2 =... ; >> omega = 0.3; >> zea = 1; >> calcpi K = Ti = Tia även på skripe genom a skriva >> pe calcpi och jämför beräkningarna med era förberedelseuppgifer. Uppgif 3.3 Vi ska nu uvärdera regulaorns presanda vid referens- och lassörningsseg. Experimene för a göra dea uförs förslagsvis på följande vis: 1. Se ill a gränssnie är insäll på PI-reglering av övre anken, dvs a Conrol Mode vals ill Auomaic, Tank Selecion vals ill Upper sam a blocken P respekiveiär akiverade (via) medan blockedär inakivera (ljusblå). 2. Se ill a reglagenav1,av2,bv2,bv1 är inrcka, sam a reglagenav3,bv3,av4,bv4,v5 är nedrcka. 3. Säll in regulaorparamerarnakochti. 4. Säll in referensvärderill 0.5 och väna ills alla signaler är i saionärie. 5. Gör en börvärdesändring (seg) ill 0.7 och ria av svare i figuren nedan. 6. Åersäll referensvärde ill När sseme åer är i saionärie, öppna lassörningsreglage BV1, och ria av svare på lassörningen. Ledning: Era resula bör ha samma principiella useende som framgår av figur 5. Om ni är osäkra är de bra om ni konakar er handledare innan ni forsäer med laboraionen. 7

8 Översläng Insvängningsid Sigid Figur 5 Definiion av sigid och översläng vid börvärdesändring sam insvängningsid vid lassörning L R + E G r + G p Y 1 Figur 6 Blockschema för sluna sseme vid reglering av övre anken Poler och nollsällen Vår sluna ssem, vid reglering av övre anken, beskrivs av blockschema i figur 6. Sluna ssemes överföringsfunkion från referensen R(s), respekive lassörningnen L(s), ill usignalen Y(s) ges av G Y R (s)= G p(s)g r (s) 1+G p (s)g r (s) = ρk(s+ 1 T i ) s 2 + s( 1 τ 1 + ρk)+ ρk T i (6) 1 G Y L = 1+G p (s)g r (s) = sρ s 2 + s( 1 τ 1 + ρk)+ ρk T i (7) Uformningen av vår regulaor har ske med hjälp av polplacering, dvs val av sluna ssemes karakerisiska polnom. Ingen hänsn har agis ill hur regulaorn påverkar de sluna ssemes nollsälle. Då regulaorns paramerar ändras kommer ssemes poler a flas. I överföringsfunkionen från referensvärde ill usignal, G Y R, kommer även ssemes nollsälle a flas. Nollsällena hos sseme G Y L påverkas ine av regulaorparamerarna. Dea är förklaringen ill a de kan uppkomma en översläng i mäsignalen vid referensseg (men ej vid lassörningsseg) ros a den relaiva dämpningen vals ill ζ = 1. Ska vi undersöka hur polernas läge inverkar på sseme bör vi således främs undersöka svare vid en lassörning. Vill vi undersöka nollsällena och polernas gemensamma inverkan ska vi ia på svare vid en referensvärdesändring. Uppgif 3.4 Nu, när vi undersök skillnaden mellan referenssegs- och lassegsvar, är vi redo a genom experiemen undersöka hur sluna ssemes egenskaper varierar med relaiv dämpning ζ och egenvinkelfrekvens ω. 8

9 Vi fixerar förs ζ ill 1 och varierar ω enlig abellen nedan. Anag a den saionära nivån är x 0 1 = 0.5 och beräkna PI-regulaorns paramerar K och T i för varje val av ω. Uför experimenen enlig insrukionen i uppgif 3.3. Fll i abellen, singulariesdiagrammen sam ploarna nedan. Prova ill sis även den regulaor för övre anken som ni kom fram ill i laboraion 1. (Fll i den sisa raden i abellen.) Börvärdesändring Lassörn. ω ζ K T i Sigid [s] Översläng Mäning Insv.id [s]

10 Im Im Im Im 10

11 Uppgif 3.5 Fixera nu ω ill 0.4 och variera isälle ζ enlig abellen nedan. Beräkna regulaorparamerarna K och T i med hjälp av MATLAB på samma sä som idigare. Prova regulaorerna på övre anken och undersök svaren på börvärdesändringar och lassörningar. Ria av svaren i idsdiagrammen nedan. Ria även in polernas läge i singulariesdiagrammen och jämför med svarens useende; ia speciell på dämpningen. Uför experimenen på samma sä som i föregående uppgif. Börvärdesändring Lassörn. ω ζ K T i Sigid [s] Översläng Mäning Insv.id [s] Im Im Im 11

12 glering av undre anken Uppgif 3.6 (Förberedelseuppgif) Använd andra ekvaionen i modellen (2) från uppgif 2.8 för a uforma en PID-regulaor, ( u()=k e()+ 1 ) ( de() e(τ)dτ+ T d U(s)=K 1+ 1 ) + st d E(s) T i 0 d st i (8) för reglering av nivån i den undre anken. Välj regulaorparamerarna så a sluna sseme får de karakerisiska polnome (s+αω)(s 2 + 2ζ ωs+ω 2 ) (9) I svare ska K, T i och T d urckas i processparamerarna ρ, τ 1 och τ 2 sam designparamerarna ω, ζ och α. Ledning: Använd ledningen från uppgif 3.1. Poler och nollsällen Vi ska nu undersöka regleringen av den undre anken. I figur 7 visas e blockschema för de sluna sseme. I blockschema finns markera var lassörningar, markerade L 1 respekive L 2, kan komma in. Nedan finns överföringsfunkionerna från referensvärde ill usignal (G Y R ), sam från lassörningar ill usignal (G Y L1, G Y L2 ). L 1 L 2 R Σ E PID-reg. U Σ Övre anken Σ Undre anken Y 1 Figur 7 Blockschema för reglering av undre anken G Y R = G Y L1 = K p(s 2 T d τ 1 + s 1 τ T i τ 1 ) s 3 + s 2 ( 1 τ τ 2 + pkt d τ 1 )+s( 1 τ 1 τ 2 + pk τ 1 )+ pk (10) T i τ 1 s p τ 1 s 3 + s 2 ( 1 τ τ 2 + pkt d τ 1 )+s( 1 τ 1 τ 2 + pk τ 1 )+ pk T i τ 1 (11) s 1 τ G Y L2 = 1 (s+ 1 τ 1 ) s 3 + s 2 ( 1 τ τ 2 + pkt d τ 1 )+s( 1 τ 1 τ 2 + pk τ 1 )+ pk (12) T i τ 1 En lassörning L 1 i form av e seg kan åsadkommas genom a öppna reglagebv1. E lassörningsseg L 2 kan åsadkommas med reglageav4. De re överföringsfunkionerna har samma nämnarpolnom medan äljarpolnomen ser olika u. Då regulaorns paramerar ändras kommer ssemens poler a flas. I överföringsfunkionen från referensvärde ill usignal, G Y R, kommer även ssemes nollsällen a flas. Nollsällena hos ssemen G Y L1 respekive G Y L2 påverkas ine av regulaorparamerarna. Ska vi undersöka hur polernas läge inverkar på sseme bör vi således främs undersöka svare vid en lassörning. Vill vi undersöka nollsällenas och polernas gemensamma inverkan kan vi ia på svare vid en referensvärdesändring. 12

13 Uppgif 3.7 Fixera ζ ill 0.7, α ill 1 och variera ω enlig abellen på näsa sida. Anag a den saionära nivån är x2 0 = 0.5 och räkna u PID-regulaorns paramerar med hjälp av MATLAB-skripecalcpid enlig exemple nedan: >> omega = 0.15; >> zea = 0.7; >> alpha = 1; >> calcpid K = Ti = Td = Tia även på skripe genom a skriva >> pe calcpid och jämför beräkningarna med era förberedelseuppgifer. Prova regulaorerna på undre anken och undersök svaren på börvärdesändringar och lassörningar genererade med reglage BV1. Ria av svaren i idsdiagrammen på näsa sida. Ria även in polernas läge i singulariesdiagrammen och jämför med svarens useende; ia speciell på snabbheen. 13

14 Uför experimenen så här: 1. Se ill a gränssnie är insäll på PID-reglering av undre anken, dvs a Conrol Mode vals ill Auomaic, Tank Selecion vals ill Lower sam a blockenp,irespekivedär akiverade (via). 2. Se ill a reglagenav1,av2,bv2,bv1 är inrcka, sam a reglagenav3,bv3,av4,bv4,v5 är nedrcka. 3. Säll in regulaorparamerarnak,ti samtd. 4. Säll in referensvärde r ill 0.5 och väna ills alla signaler är i saionärie. Opimal-knappen kan användas för a så snabb som möjlig a sig från e godcklig x 2 ill x 2 = r. 5. Gör en börvärdesändring (seg) ill 0.7 och ria av svare. Aneckna sigiden och överslängen för börvärdesändringen i abellen nedan. Noera även huruvida srsignalen mäar och i så fall hur länge. 6. När sseme åer befinner sig i saionärie, öppna lassörningsreglage BV1 och ria av svare på lassörningen. Aneckna insvängningsiden för lassörningen i abellen. Prova ill sis även den regulaor för undre anken som ni kom fram ill i laboraion 1. (Fll i den sisa raden i abellen.) Ledning: Dessa experimen ar ganska lång id a genomföra. Arbea gärna med sammanfaningen i kapiel 4 under iden. AnvändOpimal-knappen för a spara id. Börvärdesändring Lassörn. ω ζ α K T i T d Sigid [s] Översläng Mäning Insv.id [s]

15 Im Im Im Im 15

16 4. Sammanfaning Denna sammanfaning är änk a dels visa på den arbesgång man använder vid reglerdesign, dels samla relevana frågor som ni ska kunna besvara efer avklarade experimen. Laboraionshandledaren kommer a gå igenom er sammanfaning innan ni kan bli godkända på laboraionen. Uppgif 4.1 Skriv in de momen som ni har gjor före och under laboraionen på rä plas i de omma boxarna i nedansående figur. (Observera a parameerskaningsexperimenen ine är med. Var skulle de passa in?) De åerkopplade ssemes överföringsfunkion Y(s)= G pg r 1+G p G r R(s) Fsikalisk modellering Olinjär differenialekvaion ẋ= f(x,u) Linjär differenialekvaion ẋ=ax+bu Linjärisering Laplace-ransform Specifikaion i form av polplacering s 2 + 2ζ ωs+ω 2 = 0 Provkörning på rikiga sseme Uvärdering Urck för regulaorparamerar K =..., T i =..., Överföringsfunkioner Y(s)=G(s)U(s) Den verkliga dubbelanken Uppgif 4.2 Nämn mins vå begränsningar hos den verkliga processen som ine fångas av den maemaiska modellen (1). 16

17 Uppgif 4.3 Vid PI-reglering av övre anken, hur ändras de sluna ssemes poler om man ökar parameern ω? Vilken effek får de i svaren på börvärdesändringar och lassörningar? Hur ändrar sig K och T i när ω ökar? Varför esar vi ine ω = 10 rad s 1? Uppgif 4.3 Vid PI-reglering av övre anken, hur ändras de sluna ssemes poler om man minskar parameern ζ? Vilken effek får de i svaren på börvärdesändringar och lassörningar? Hur skulle segsvare se u ifall vi valde ζ = 0? Uppgif 4.4 Varför använder vi ingen D-del när vi reglerar den övre anken? Uppgif 4.5 sseme? Vid PID-reglering av undre anken, hur många poler har de sluna Hur ändras de sluna ssemes poler om man ökar parameern ω? Vilke effek får de i svaren på börvärdesändringar och lassörningar? Hur ändrar sig K, T i och T d när man ökar ω? Varför esar vi ine ω = 1 rad/s? 17

18 Uppgif 4.7 Skriv in era rekommendaioner för lämpliga regulaorinsällningar i abellen på näsa sida. Jämför med de paramerar ni kom fram ill i laboraion 1. övre ank undre ank P K = K = PI PID K = T i = K = T i = T = d K = T i = K= T i = T = d 18