Framväxten av ett ramverk för partikelfysik Relativistisk Kvantfältteori. Jens Fjelstad

Transkript

1 Framväxten av ett ramverk för partikelfysik Relativistisk Kvantfältteori Jens Fjelstad

2 Innehåll Otillräckligheten hos icke relativistisk kvantmekanik elektronens spinn uteslutningsprincipen kvantstatistik Diracekvationen & relativistisk kvantmekanik Kvantfältteori & kvantelektrodynamik 2 / 22

3 Zeemaneffekten Breddning [1896] och uppsplittring [1897] av spektrallinjer i magnetiska fält [Pieter Zeeman] Förklarades i en klassisk modell för ljus [Lorentz, 1896] Klassisk elektronbana magnetiskt moment Senare: (ban )rörelsemängdsmomentet kvantiserat. kvanttal: l = 0, 1, 2,..., m l = l, l + 1,..., l 1, l energinivåer i magnetiskt fält m l 3 / 22

4 Den anomala Zeemaneffekten Uppplittring i fler linjer än vad Lorentz förutsade [Cornu, 1898] E mgb i magnetfält B [Landé 1921] m: kvanttal j(j + 1) + R(R + 1) l(l + 1) g = 1 +, 2j(j + 1) j = l + R m, R & j är halvtaliga för alkalimetallerna, R = 1/2 man antog R associerad med inre elektronskal 4 / 22

5 Paulis uteslutningsprincip Wolfgang Pauli visade att R omöjligt kan härröra till inre elektronskal, utan måste vara associerad till en egenskap hos valenselektronen själv; elektronen har en icke klassiskt beskrivbar tvåvärdhet (zweideutigkeit) [1924] 5 / 22

6 Paulis uteslutningsprincip Wolfgang Pauli visade att R omöjligt kan härröra till inre elektronskal, utan måste vara associerad till en egenskap hos valenselektronen själv; elektronen har en icke klassiskt beskrivbar tvåvärdhet (zweideutigkeit) [1924] Elektronens nya egenskap beskrivs av ett kvanttal m R = ±1/2 [Goudsmit] Fullständig uppsättning kvanttal: (n, l, m l, m R ) Stoners regel [1924]: antalet elektroner i ett fyllt elektronskal är dubbla antalet kvanttal (n, l, m l ) svarande mot fixt n Pauli postulerar: I en atom kan två eller fler elektroner aldrig befinna sig i tillstånd beskrivna av samma värden (n, l, m l, m R ). Om en elektron har tillståndet (n, l, m l, m R ) så är tillståndet upptaget (ockuperat). 5 / 22

7 Elektronens Spinn På Ehrenfests inrådan undervisar doktoranden Samuel Goudsmit 1925 George Uhlenbeck (även han student) om spektralzoologi. Då de diskuterade uteslutningsprincipen och kvanttalet m R insåg Uhlenbeck att det betyder att elektronen har en rotationsfrihetsgrad, R är elektronens rörelsemängdsmoment pga spinn kring sin egen axel [1925] Klassiska bilden ej rättvisande, men elektronen uppför sig som om den kan spinna på två sätt kring sin egen axel. 6 / 22

8 Kvantstatistik Heisenberg [1926]: övergångar i ett system av två identiska harmoniska oscillatorer sker mellan tillstånd med samma symmetriegenskap då koordinaterna permuteras Ψ(x 1, x 2 ) = Ψ(x 2, x 1 ) symmetrisk Ψ(x 1, x 2 ) = Ψ(x 2, x 1 ) antisymmetrisk Wigner [1926] attackerade problemet med N identiska partiklar, övergångar sker inom s.k. irreducibla representationer av den symmetriska gruppen S N av permutationer av N element Uteslutningsprincipen är uppfylld då Ψ(x 1, m s1 ; x 2, m s2 ) = Ψ(x 2, m s2 ; x 1, m s1 ) m s : spinnkvanttalet analogt för N identiska partiklar sägs uppfylla Fermi Dirac statistik (modernt: fermioner) Fotoner har symmetrisk vågfunktion sägs uppfylla Bose Einstein statistik (modernt: bosoner) 7 / 22

9 Relativistisk Kvantmekanik ( ) Klein Gordon ekvationen φ = m2 c 2 φ c 2 t 2 2 relativistisk (till skillnad från Schrödinger ekv.) ej kompatibel med sannolikhetstolkning problemet: andra ordningens tidsderivata Schrödinger ekv. för elektronen med spinn [Pauli] ) ( ) ( ) ψ1 ψ1 ( H11 H 12 H 21 H 22 ψ 2 = i t ψ 2 Dirac [1928]: kvadratroten ur c 2 p 2 E 2 = m 2 c 4 A great deal of my work is just playing with equations and seeing what they give. 8 / 22

10 Relativistisk Kvantmekanik ( ) Klein Gordon ekvationen φ = m2 c 2 φ c 2 t 2 2 Schrödinger ekv. för elektronen med spinn [Pauli] Dirac [1928]: ( γ µ x µ + mc ) ψ = 0 där γ µ är 4 4 matriser och ψ har 4 komponenter γ µ 11 γ µ 12 γ µ 13 γ µ 14 ψ 1 γ µ = γ µ 21 γ µ 22 γ µ 23 γ µ 24 γ µ 31 γ µ 32 γ µ 33 γ µ, ψ = ψ 2 34 ψ 3 γ µ 41 γ µ 42 γ µ 43 γ µ 44 ψ 4 ψ: spinor 8 / 22

11 Relativistisk Kvantmekanik ( ) Klein Gordon ekvationen φ = m2 c 2 φ c 2 t 2 2 Schrödinger ekv. för elektronen med spinn [Pauli] Dirac [1928]: ( γ µ x µ + mc ) ψ = 0 relativistisk i centralpotential är spinn en automatisk konsekvens Schrödingers teori som gräns då E << mc 2 8 / 22

12 Diracekvationen och Diracs hålteori Diracekvationen framgångsrik i vissa avseenden, men E = ± c 2 p 2 m 2 c 4 kan i kvantmekanik ej kasta bort lösningar med negativ energi Kleins paradox Hålteorin: vakuum är ett tillstånd med (nästan) alla negativa energitillstånd upptagna ( Dirachavet ), och uteslutningsprincipen gäller ett icke ockuperat tillstånd i havet ser ut som en partikel med laddningen +e och positiv energi, Dirac föreslog detta var protonen då ψ kopplar till EM fält kan elektron-hål par bildas via absorption av fotoner partikelantalet ej bevarat! 9 / 22

13 Positronen Flertal invändningar mot protonhypotesen [1930] väteatomens livstid s [Oppenheimer, Tamm] ett hål har exakt samma massa som en elektron [Weyl] Dirac [1931]: A hole, if there were one, would be a new kind of particle, unknown to experimental physics, having the same mass and opposite charge of the electron. han kallar den anti elektron Carl Anderson [1932] detekterar partiklar med liten massa och positiv laddning i observationer av kosmisk strålning, en redaktör på tidskriften Science föreslår namnet positron 10 / 22

14 Kort sammanfattning Ny ingrediens: spinn konsekvens av relativistisk kvantmekanik Udda tolkning hålteorin, automatiskt en mångpartikelteori 11 / 22

15 Klassisk fysik och dess kvantisering Klassisk (fundamental) fysik: partikelmekanik (Newtonsk & relativistisk) dynamiken hos klassiska punktpartiklar fältteori Maxwells teori för elektromagnetism (relativistisk), Newtons teori för gravitation (Newtonsk) Deras kvantiserade motsvarigheter: (icke relativistisk) kvantmekanik Schrödingers vågmekanik/heisenbergs matrismekanik relativistisk kvantmekanik Diracekvationen kvantiserad Maxwellteori?? krävs pga fotonbegreppet, kopplar till laddade partiklar (kvantiserad Newtonsk gravitation?) 12 / 22

16 Kvantelektrodynamik första stegen Förarbete av Born, Heisenberg & Jordan [1925] Dirac [1927]: kvantteorin för EM-fält kopplat till en väteatom vektorpotential A µ : E = A 0 t A, B = A fourieruppdelning A µ = ( a µ ( k, t) + a µ( ) k, t) k e i k x kommuteringsrelationer [a µ k, t), a ν( k, t)] = δ µν δ k, k Hamiltonian H = ( j, k hc k a j ( k)a j ( ) k) många harmoniska oscillatorer (en för varje k, j) a j ( k) skapar & a j ( k) förintar en foton med energi hc k Dirac beräknade approximativt amplituderna för emission och absorption av en foton 13 / 22

17 Kvantelektrodynamik första stegen Förarbete av Born, Heisenberg & Jordan [1925] Dirac [1927]: kvantteorin för EM-fält kopplat till en väteatom Dirac beräknade approximativt amplituderna för emission och absorption av en foton första pappret: Radiative processes...in which more than one light quantum take part simultaneously are not allowed... (1:a ordningens störningsteori) andra pappret: i 2:a ordningens störningsteori följer att amplituden har två bidrag: γ + e i e γ + e f γ + e i e + γ + γ γ + e f högre ordningar i störningsteori (mer exakta approximationer) inkluderar automatiskt flerpartikelprocesser 13 / 22

18 Kvantelektrodynamik första stegen Förarbete av Born, Heisenberg & Jordan [1925] Dirac [1927]: kvantteorin för EM-fält kopplat till en väteatom Dirac beräknade approximativt amplituderna för emission och absorption av en foton I kvantelektrodynamik är (nästan uteslutande) endast approximativa beräkningar möjliga: störningsteori storhet f f 0 + αf 1 + α 2 f α = e2 c : finstrukturkonstanten man beräknar succesivt bidrag från högre och högre ordningar i α 13 / 22

19 Fältkvantisering och Kvantstatistik Kommuteringsrelationerna i Diracs kvantisering av Maxwellfältet kan sammanfattas [A µ ( x, t), A ν( x, t)] = δ µν δ( x x ) Pascual Jordan & Oscar Klein [1927] visar: för ett kvantfält φ(x, t) = k (a k(t)u k (x) + a k (t)u k (x)) s.a. [φ(x, t), φ (x, t)] = δ(x x ) gäller partiklarna som skapas av a k (t) uppfyller Bose Einstein statistik Jordan & Wigner [1928] visar: för ett kvantfält ψ(x, t) = ) k (a k (t)u k (x) + a k (t)u k (x) s.a. {ψ(x, t), ψ (x, t)} = δ(x x ) där {A, B} = AB + BA (antikommutatorn), gäller partiklarna som skapas av a k (t) uppfyller Fermi Dirac statistik 14 / 22

20 Relativistisk invarians i kvantfältteori Speciell relativitetsteori: symmetri under den s.k. Lorentzgruppen rotationer i rummet Lorentz boostar Jordan, Pauli & Heisenberg (i olika konstellationer) [1928]: gav en allmän formulering av relativistiska fältteorier 15 / 22

21 Relativistisk invarians i kvantfältteori Speciell relativitetsteori: symmetri under den s.k. Poincarégruppen rotationer i rummet Lorentz boostar translationer i rum och tid Jordan, Pauli & Heisenberg (i olika konstellationer) [1928]: gav en allmän formulering av relativistiska fältteorier 15 / 22

22 Relativistisk invarians i kvantfältteori Speciell relativitetsteori: symmetri under den s.k. Lorentzgruppen Jordan, Pauli & Heisenberg (i olika konstellationer) [1928]: gav en allmän formulering av relativistiska fältteorier, utgående från en verkansintegral (se Claes föreläsning om symmetrier/ minsta verkans princip ) S = L(φ, φ) Jordan [1908]: S = ( E 2 B 2) är en Lorentzinvariant verkan för Maxwellfältet lösningar till de klassiska fältekvationerna minimerar verkan S givet hur φ transformerar under rotationer och Lorentzboostar är det relativt enkelt att lista ut hur S kan se ut för att ge manifest Lorentzinvarianta fältekvationer gav recept för hur dessa, i princip, kvantiseras 15 / 22

23 Gaugeinvarians Heisenberg & Pauli [1928]: till synes oöverstigligt hinder att kvantisera Maxwell teori enligt receptet, verkan S degenererad S måste formuleras i termer av vektorpotentialen A µ E, B bestämmer ej Aµ unikt, A µ & A µ + χ ger samma elektriska x µ och magnetiska fält för godtycklig funktion χ A µ innehåller redundanta (och icke fysikaliska) frihetsgrader A µ A µ + χ x µ, ψ eiχ ψ kallas U(1) gaugetransformation (ψ materiefält kopplat till EM fältet) 16 / 22

24 Gaugeinvarians Heisenberg & Pauli [1928]: till synes oöverstigligt hinder att kvantisera Maxwell teori enligt receptet, verkan S degenererad A µ A µ + χ x µ, ψ eiχ ψ kallas U(1) gaugetransformation (ψ materiefält kopplat till EM fältet) H & P fann 1929 hur en teori med gaugeinvarians kan behandlas Weyl [1919]: gaugeinvarians bevarande av elektrisk laddning principen om gaugeinvarians fruktbar: leder naturligt till icke triviala fältteorier, generaliseringar av Maxwellteori (ex.vis i standardmodellen) 16 / 22

25 Kvantelektrodynamik problem med Fock [1933], Heisenberg [1934]: elektronens vågfunktion kvantfältet ψ kvantelektrodynamik därmed en genuin kvantfältteori, hålteorin död Framgångsrik, men med problem Elektronens självenergi klassiskt: lim a 0 e 2 /a (icke relativistisk) kvantmekanik: lim a 0 e 2 /a [Jordan & Klein, Heisenberg & Pauli] kvantelektrodynamik: lim a 0 e 2 /a 2, ännu värre! [Oppenheimer] (det finns många intermediära tillstånd e γ + e e) Dirac [1934]: definiera fysikalisk energi och laddning genom att subtrahera bidraget från Dirachavet (uttryckt i hålteori, kräver noggrann subtraktion av divergerande storheter ( )) 17 / 22

26 Kvantelektrodynamik problem med Fock [1933], Heisenberg [1934]: elektronens vågfunktion kvantfältet ψ kvantelektrodynamik därmed en genuin kvantfältteori, hålteorin död Framgångsrik, men med problem Elektronens självenergi Dirac [1934]: definiera fysikalisk energi och laddning genom att subtrahera bidraget från Dirachavet (uttryckt i hålteori, kräver noggrann subtraktion av divergerande storheter ( )) Vakuumpolarisation Dirac [1933]: pga elektron positron parproduktion skärmas en elektrisk laddning i vakuum, och beror på vid vilken energi den mäts. ( ) Delvis fungerande recept, men otillfredställande situation Inget händer fram till / 22

27 Spin Statistik teoremet Partiklar kan ha heltaligt spinn (0, 1, 2,...) halvtaligt spinn (1/2, 3/2, 5/2,...) (elektronen, protonen, neutronen alla spinn 1/2) eller helicitet för masslösa partiklar (fotonen har helicitet 1) Teoremet [Fierz 1939, Pauli 1940, Schwinger 1950, Feynman]: Partiklar med heltaligt spinn är bosoner, partiklar med halvtaligt spinn är fermioner Beviset (eller bevisen...) kräver relativistisk kvantfältteori 18 / 22

28 Modern Kvantelektrodynamik (QED) Nya huvudpersoner: Julian Schwinger ( ), Sin-ItiroTomonaga ( ), Richard Feynman ( ), Freeman Dyson (1923 ). Schwinger, Tomonaga, Feynman oberoende av varandra gav en manifest Lorentz och gauge invariant formulering av störningsteori i kvantelektrodynamik Feynmans formulering mest elegant: vägintegral DA µ Dψe i S[Aµ,ψ] störningsteori organiserad i Feynmandiagram Dyson [1949]: Feynmans approach är ekvivalent med Schwingers och Tomonagas approacher 19 / 22

29 Feynmandiagram DA µ Dψe i S[Aµ,ψ] = O(1) + O(α) + O(α 2 ) +... Bidraget av ordning α n representeras av diagram med n loopar Inre linjer kallas virtuella partiklar 20 / 22

30 Feynmandiagram DA µ Dψe i S[Aµ,ψ] = O(1) + O(α) + O(α 2 ) +... Bidraget av ordning α n representeras av diagram med n loopar Inre linjer kallas virtuella partiklar I störningsteori: växelverkan sker genom utbyte av virtuella partiklar, elektromagnetisk växelverkan sker genom utbyte av virtuella fotoner 20 / 22

31 Renormering Utnyttja att vi inte känner teorin för godtyckligt höga energier: inkludera endast bidrag upp till en viss given energi Λ Resultat a priori beroende av cut off energin Λ, men ofta tillräckligt noggrannt för experimentella syften (effektiv fältteori) Ibland möjligt ta Λ med ändligt svar, teorin kallas då renormerbar ex: Standardmodellen Centralt för QED: proceduren måste ske utan att bryta gaugeinvarians! 21 / 22

32 Härnäst 70 85: standardmodellen (Sheldon Glashow, Stephen Weinberg & Abdus Salam) konceptuell förståelse av kvantfältteori & renormering (Kenneth Wilson) Se näst nästa föreläsning 22 / 22