Arbetsuppgifter till delkursen i matematik Naturvetenskaplig problemlösning termin 1, 2001

Transkript

1 Arbetsuppgifter till delkursen i matematik Naturvetenskaplig problemlösning termin 1, 2001 Uppgifterna behandlas och löses gemensamt inom gruppen och alla gruppmedlemmar ska delta i de diskussioner och överväganden som leder fram till slutsatsen eller lösningen. I flera fall måste man först göra lämpliga extra antaganden för att det ska bli möjligt att åstakomma en lösning. Det kan i- bland vara aktuellt att diskutera alternativa lösningsmetoder eller att presentera lösningar med varierande förutsättningar. Samtliga uppgifter (hoppas vi) inbjuder till omedelbar diskussion och undersökningar i t.ex. specialfall, men flera av dem kommer att kunna behandlas mer långtgående allteftersom teoriframställningen i kursen framskrider. Naturligtvis uppmuntrar vi starkt att gruppen på eget initiativ söker i litteraturen efter ideer och uppslag som kan leda processen framåt. Vidare uppmuntrar vi till att använda datorer för att göra beräkningar, rita kurvor etc. Det är givetvis också meningen att gruppen ska diskutera med sin handledare. Resultatet av gruppens ansträngningar med ifrågavarande uppgift redovisas muntligt och/eller skriftligt. För skriftliga redovisningar används L A TEX. Dessa tjänar även som en övning i att skiva matematisk text och bör därför ägnas viss omsorg. Några tips finns under rubriken Skrivtips nedan. Skriftliga redovisningar ska vara inlämnade angivet datum till Pär Kurlberg (plan 2 Matematiskt Centrums östra huskropp), och denna tidsgräns är absolut. Några dagar senare (se schema) kallas gruppen till diskussion och (eventuell) muntlig redovisning. Deltagande i arbetet med uppgifterna, redovisningarna samt i de efterföljande diskussionerna är ett villkor för att bli godkänd på kursen. Uppgiftsomgång I Skattkistan Är följande verkligen möjligt? På en liten obebodd ö i Söderhavet och med endast två palmer synliga, en kokospalm och en dadelpalm, är en skatt- 1

2 kista nedgrävd. När den grävdes ner fanns också en galge på ön, men tidens tand (och kanske också alltför flitigt användande) har gått så hårt åt den att det är omöjligt att avgöra var den en gång var placerad. Skattkistan grävdes ner på en plats som man beskrev på följande sätt: Gå från galgen till kokospalmen, vrid sedan 90 grader åt vänster och gå lika långt. Markera denna plats. Utgå sedan från galgen och gå mot dadelpalmen, vrid här 90 grader åt höger och gå sedan lika långt som mellan galgen och dadelpalmen. Markera även denna plats. Skattkistan är nedgrävd vid mittpunkten på sträckan mellan de markerade platserna. Kan man återfinna skattkistan utan att behöva gräva på flera platser? Grodmannen En extremt uthållig grodman avser att simma närmaste vägen från Jönköping till Askersund. Hur djupt kommer han att befinna sig när han är som djupast? Hur mycket längre får han simma om han följer vattenytan? Renodla gärna problemet genom att studera en sjö av godtycklig storlek. Skriftlig lösning av Grodmannen inlämnas senast den 24/9-00. Vid den efterföljande muntliga genomgången, då också Skattkistan ska redovisas muntligt, får gruppmedlemmarna presentera var sin del av lösningarna. Vidare diskuterar vi den skriftliga framställningen. Uppgiftsomgång II Parabolantennen Varför ser en parabolantenn ut som den gör? Vad händer med signaler som faller in parallellt med parabolantennens rotationsaxel? Vidare vet vi att signalerna består av elektromagnetiska svängningar. Finns det någon risk för fasförskjutning mellan olika signaler då dessa når parabolantennens mottagare? Skriftlig lösning av Parabolantennen inlämnas senast den 5/ Vid den efterföljande muntliga genomgången får gruppmedlemmarna presentera var sin del av lösningarna. Uppgiftsomgång III Ekvationer och funktioner 2

3 Bestäm alla lösningar till ekvationen e x2 2x 3 5x 2 = 0. Bestäm alla positiva reella tal a som har egenskapen att a x 1 + x för alla reella tal x. Skriftlig lösning inlämnas senast den 19/ För båda dessa problem är det rimligt att använda MATLAB-program. En introduktion till MATLAB finns på Jörgen Löfströms hemsida ( jorgen/) under rubriken datorhandledningar. Uppgiftsomgång IV Meddelas senare. Några skrivtips Det övergripande målet är att förmedla sina resultat så klart och tydligt som möjligt. Matematisk text är ofta mycket informationstät och kräver koncentration och eftertänksamhet av läsaren. Inte desto mindre skriver man fullständiga meningar. Korta formler har man ofta inne i en textrad medan längre formler för tydlighets skull gärna sätts på en egen rad. Om man vill numrera en formel, för att kunna hänvisa till den, måste den stå på egen rad. Observera dock att i båda fallen en formel ur syntaktisk synvinkel (dvs hur man bygger upp meningar) är en del av en mening. Om t.ex. en formel avslutar en mening så sätter man punkt i slutet av den o.s.v. Här kommer ett exempel: Om x är ett reellt tal sådant att så är x = 2 eller x = 2. Ekvationen x 2 = 4, x 2 = 4 har däremot inga reella lösningar alls. Den har dock två komplexa lösningar, nämligen x = 2i och x = 2i. Implikations- och ekvivalenspilar förekommer mycket sparsamt i matematisk text (endast i undantagsfall skulle man nog kunna säga) men är ofta populära bland nybörjare, vilka dessutom ofta tenderar till att använda dem 3

4 felaktigt. Hur som helst går dessa symboler alltid att ersätta med vanliga ord, och vi rekommenderar att de undviks helt i formell text. (Vid en mer informell framställning, t.ex. när man vill förklara något vid en tavla, kan de dock vara användbara.) Slå upp kursboken Persson/Böiers: Analys i en variabel för att konstatera hur dessa matematiker formulerar sig. Här kommer några tips för att undvika vanliga nybörjarfel i L A TEX. 1. Skriv alla matematiska symboler som siffror, konstanter, plus- och minustecken etc. i math mode, dvs inom dollartecken. 2. Om man vill uttrycka 3 gånger 4 så skriver man $3\cdot 4$ vilket ger 3 4. Varje bruk av symbolen i detta sammanhang ska undvikas. 3. Vanliga funktioner som t.ex. sin x skriver man $\sin x$ och på samma sätt med cos x, arcsin x, exp x, lim x etc. 4. Enheter bör man ha i text mode så den är 3a km lång skrivs den är $3a$ km lång eller eventuellt den är $3a\ \rm{km}$ lång 5. Om man är i text mode och skriver en punkt följd av mellanslag så tror L A TEX att det kommer en ny mening efteråt och gör därför ett extra stort mellanrum. Vill man ha en punkt (t.ex. efter en förkortning) med vanligt mellanrum efter så skriver man ett snedstreck direkt efter punkten. Dessa två senare tips kan, jämfört med de övriga, klassificeras som typografiskt finlir. Vi avslutar med två observationer. Vid all kommunikation finns två parter, en som förmedlar information och en som mottar information. Vad gäller inlämningsuppgifterna tänks, där inget annat explicit sagts, att ni skriver för en person med samma kunskapsbakgrund som ni själva har, innan ni förvärvat de specialkunskaper som er lösning av problemet gett. Den andra lilla observationen gäller hur texten hänger samman med det stadium av problemlösandet man befinner sig i. Mycket grovt kan problemlösande i allmänhet delas upp i den kreativa fasen när man letar sig fram till en lösning, och redovisningsfasen, när man i någon form ska presentera sin lösning. Under den första fasen för man kortfattade anteckningar. Här behövs inga fullständiga meningar, implikationer kan indikeras med pilar, argumenten kommer inte alltid i den rätta ordningen, man gör formella kalkyler som kan innebär att man slarvar med förutsättningar, man noterar mer eller mindre lösa hugskott. Dessa anteckningar är ju endast av temporär karaktär och för eget bruk. Vid redovisningen av lösningen duger inte den 4

5 text man har producerat under den kreativa fasen. Nu gäller kravet på fullständiga meningar, och matematisk stenografi som implikationspilar är bannlyst. Idéerna i texten ska hänga ihop så att en person som läser texten ska kunna följa flödet av argument. Förutsättningar ska formuleras klart och alla argument ska finnas på plats, och på rätt plats. Det är ett problem i sig att beskriva sin lösning av ett problem och det krävs undantagslöst flera omskrivningar innan man fått ihop en acceptabel text. Med detta önskar vi er lycka till! Peter Kumlin och Pär Kurlberg 5