En learning study i matematik om ekvivalens

Transkript

1 Malmö högskola Lärarutbildningen Natur, miljö, samhälle Examensarbete 15 högskolepoäng En learning study i matematik om ekvivalens A learning study in mathematics about equality Anders Bengtsson Jörgen Vennerlund Lärarexamen 210hp Matematik och lärande Examinator: Tine Wedege Handledare: Anna Wernberg

2 2

3 Sammanfattning Syftet med denna studie var att beskriva skillnaderna i sättet som lärandets innehåll behandlas i matematik under två lektioner i årskurs 4 om ekvivalens, samt titta på om det intentionella lärandeobjektet var förenligt med det iscensatta lärandeobjektet. Studien kommer även att titta på ifall eleverna lärde det som var intentionen med lektionen samt vilken invarians och variation som skapas under lektionen. För att besvara dessa frågor används learning study som en forskningsmetod i denna studie. Studien visar att grupp 1 inte erbjöds lika goda förutsättningar att erfara det som var intentionen med lektionen som grupp 2 gjorde. Resultatet visar också att skillnaderna var väldigt små mellan de båda grupperna, men att grupp 1 i stort sett endast hade förbättrat sig på uppgiften de undervisades om under lektionen. Det går inte att dra några generella slutsatser av det resultat studien visar. Nyckelord: Ekvivalens, kritisk aspekt, learning study, likhetstecknet, lärandeobjekt, matematik, praxisnära forskning, variationsteori 3

4 4

5 Innehållsförteckning Innehållsförteckning Inledning Syftet med studien Litteraturgenomgång Lärandeobjekt Variationsteorins ursprung Variationsteoretiskt perspektiv på lärande Studier om ekvivalens Metod Val av forskningsmetod Praxisnära forskning Design experiment en kort presentation Lesson study en kort presentation Learning study Vår learning study Urval Val av lärandeobjekt Tillförlitlighet Bortfall Etik Resultat Redovisning av resultat Förkunskapstest - kartläggning Planering lektion ett (grupp 1)

6 5.3.2 Resultat lektion ett Variation och invarians av ekvivalens i lektion ett Planering lektion två (grupp 2) Resultat lektion två Variation och invarians av ekvivalens i lektion två Diskussion Erbjöds eleverna att lära det som var intentionen med lektionen ett? Lärde eleverna det som var intentionen med lektion ett? Diskussion av elevernas resultat Referenser

7 1. Inledning Skolverket skriver i läroplanen för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och fritidshemmet (Lpo 94) att undervisningen skall anpassas till varje elevs individuella behov och förutsättningar. Undervisningen skall också främja elevernas lärande och kunskapsutveckling (Skolverket, 2006). Vårt eget intresse för elevernas lärande har stärkts under tiden på lärarutbildningen. Vi har under vår verksamhetsförlagda tid utvecklat ett stort intresse för hur elever lär sig och det har varit givande att tillsammans med våra handledare reflektera över lektionernas innehåll för att förbättra elevers lärandesituationer. Dessa reflektioner ledde till att vi blev medvetna om möjliga förbättringar av undervisningen. Vi har genom våra reflektioner av matematiklektionerna under vår verksamhetsförlagda tid upptäckt att eleverna inte alltid lär sig det som var lärarens avsikt med lektionen. Denna upptäckt visade att det ofta var små detaljer i undervisningen som var kritiska för elevernas lärande. Genom en föreläsning 15/ av Anna Wernberg på Malmö högskola om Learning study gavs vi nya infallsvinklar om elevers lärande. I en Learning study fokuseras inte olika undervisningsmetoder utan uppmärksamheten ligger på hur läraren presenterar innehållet (Holmqvist, 2006). I vår studie undersöks ekvivalens. I Learning study utgår man från en inlärningsteori, variationsteorin. Det är en teori om lärande och har sin utgångspunkt i den fenomenografiska forskningen. Fenomenografin beskriver endast människors kvalitativt olika sätt att erfara fenomen i sin omvärld, medan variationsteorin är en teori som vill utveckla lärandet, dvs. en teoretisering av fenomenografin (Wernberg, 2005). I denna studie kommer vi att undersöka vad eleverna i årskurs 4 erbjuds att lära under två matematiklektioner. Tillsammans med läraren kommer vi att identifiera det som var avgörande i lektionen för att utveckla elevernas färdigheter och kunskaper i förståelsen av ekvivalens. Valet av att undersöka elevernas förståelse av ekvivalens görs utifrån lärarens önskemål. 7

8 2. Syftet med studien Ett syfte är att beskriva skillnader i sättet som lärandets innehåll behandlas i två matematiklektioner i årskurs 4 och titta på vad dessa skillnader betyder för elevers lärande om ekvivalens. Ett annat syfte är att utifrån variationsteorin titta på om det som läraren avser med lektionen verkligen är det som eleverna erbjuds att lära sig. Med andra ord om det intentionella lärandeobjektet är förenligt med det iscensatta lärandeobjektet (dessa begrepp vidareutvecklas i 3.3) och huruvida eleverna lär det som är intentionen med lektionen. Studien strävar även efter att besvara nedanstående fråga: Viken variation och invarians av ekvivalens skapas och erbjuds av läraren i de båda lektionerna? 8

9 3. Litteraturgenomgång 3.1 Förklaring av begrepp Nedan förklaras begrepp som används i studien. Ekvivalens: Ekvivalens innebär att vänster och höger led om likhetstecknet är olika uttryck för samma tal. Kritiska aspekter: De kritiska aspekterna är de aspekter i lärandeobjektet som läraren måste ge eleverna möjlighet att upptäcka för att de ska kunna få en förståelse för lärarandobjektet (Wernberg, 2006). Kritiska aspekter för ekvivalens är att eleverna måste förstå att det skall vara lika mycket på båda sidor av likhetstecknet samt att det kan förkomma operationer på båda sidor. Operationell förståelse: I matematik är det när en individ har lärt sig en metod för ett problem, men förstår inte varför metoden används och kan inte relatera det till nya problem. Det krävs att eleven håller i minnet vilka metoder som används till vilka problem (Skemp, 1976). Ett exempel på operationell förståelse kan vara när individer kan lösa uppgifter av formen 23+8= men får svårt med uppgifter av formen 16-6=_+5. Relationell förståelse: I matematik är det när individen inte enbart vet vilken metod som fungerar utan även varför metoden används. Genom att individen förstår kan metoden relateras till problemet och möjligtvis relatera metoden till nya problem (Skemp, 1976). I likhetstecknets innebörd är relationell förståelse när eleven förstår att det ska vara lika mycket på båda sidor om likhetstecknet (ekvivalens) och kan relatera det till andra uppgifter av olika form. 3.2 Lärandeobjekt Ett lärandeobjekt är det område för lärande som undervisningssituationen har för avsikt att utveckla (Holmqvist, 2006). Enligt Marton och Tsui (2004) är det lärandeobjektet som är i huvudsaklig fokus i variationsteorin. Det finns tre olika former av lärandets objekt, det intentionella, det iscensatta och det erfarna lärandeobjektet. Det intentionella lärandeobjektet är det objektet som läraren har för avsikt att eleverna skall erfara under lektionen. Vad eleverna har möjlighet att erfara framträder i det iscensatta lärandeobjektet. Det som 9

10 eleverna uppfattat/urskilt av lärandeobjektet under lektionen och därefter är det erfarna lärandeobjektet. Marton och Pang (2006) menar att ett lärandeobjekt inkluderar såväl det direkta lärandeobjektet som det indirekta lärandeobjektet och att de inte kan existera utan varandra. Ett exempel för att särskilja dessa två aspekter kan vara likhetstecknets betydelse. Om likhetstecknets betydelse är det direkta lärandeobjektet, så är den förmåga som eleverna förväntas utveckla det indirekta lärandeobjektet. I en lärandesituation måste det finnas en relevant struktur och variation för att den lärande skall kunna urskilja de kritiska aspekterna i lärandeobjektet. Det är lärarens uppgift att finna och lyfta fram det aktuella lärandeobjektets kritiska aspekter för eleverna. I de kritiska aspekterna måste läraren sedan åstadkomma en variation som presenteras för eleverna (Wernberg, 2005). När eleverna kan urskilja de kritiska aspekterna i lärandeobjektet samtidigt, har de möjlighet att förstå innebörden av lärandeobjektet (Wernberg, 2006). För att läraren skall finna de kritiska aspekterna av lärandeobjektet är det viktigt att kartlägga vilka förkunskaper eleverna besitter. Enligt Wernberg finns det en mängd olika sätt att ta reda på elevernas förkunskaper angående lärandeobjektet beroende på vilket ämne eller ämnesområde som berörs. De kritiska aspekterna är möjliga att finna genom till exempel ett förkunskapstest som visar elevernas kunskaper angående det aktuella lärandeobjektet. Förkunskapstestet kan även kombineras med intervjuer samt med relevant forskningslitteratur för att få en djupare förståelse. Utförs inte en kartläggning av elevernas förkunskaper blir troligtvis de kritiska aspekterna av lärandeobjektet annorlunda och mindre relevanta för undervisningen (Wernberg, 2006). Tidigare studier av Holmqvist (2006) har visat att en tydlig definition och analys av lärandeobjektet krävs tillsammans med frågor som Vad krävs för att lära det vi avser att eleverna ska lära, vad ingår/ingår inte i lärandeobjektet och varför är det betydelsefullt att eleverna utvecklar lärande inom lärandeobjektet? (s.23). För att finna de kritiska aspekterna i lärandeobjektet kan man ställa sig följande frågor Vad innebär det att kunna eller förstå lärandeobjektet? Vad tar vi för givet (Wernberg, 2006, s.54) Lärarnas och elevernas tänkande möts i lärandeobjektet och läraren har då möjlighet att rikta elevernas medvetande mot vissa aspekter i lärandeobjektet (Runesson, 1999). Det är viktigt att vara medveten om att de kritiska aspekterna av lärandeobjektet måste förstås utifrån den aktuella gruppen av elever som har fått sina förkunskaper kartlagda. De kritiska 10

11 aspekterna av lärandeobjektet kan således inte generaliseras till andra elevgrupper utan då krävs en ny kartläggning av dessa elevers kunskaper. Det kan finnas en del kritiska aspekter som kan vara generella, det gäller då vad som krävs för att förstå lärandeobjektet. Eftersom varje elevgrupp är unik är också de kritiska aspekterna av lärandeobjektet olika för varje grupp av elever. När en elev har utvecklat en förståelse för en kritisk aspekt av lärandeobjektet är denna aspekt inte längre kritisk för eleven. Samtidigt kan aspekten fortfarande vara kritisk för en annan elev i gruppen (Gustavsson, 2006). 3.3 Variationsteorins ursprung Enligt Marton (citerad i Gustavsson, 2008) har variationsteorin sitt ursprung i den fenomenografiska ansatsen. Fenomenografin kan förklaras som en ansats som framförallt uppmärksammar frågor som är relevanta för lärande och förståelse i en pedagogisk miljö (Marton & Booth, 1997, 2000). Inledningsvis var fenomenografin inriktad på studier av människors uppfattningar av skilda aspekter av omvärlden (Runesson, 1999). Runesson (1999) menar att det är en ny fas för fenomenografin när det sker en utveckling av dess teoretiska sida. Forskningen har då inriktat sig på hur variationen i sättet att uppfatta kan tillämpas i undervisningssammanhang (Runesson, 1999). 3.4 Variationsteoretiskt perspektiv på lärande När man ser lärande ur ett variationsteoretiskt perspektiv utgår man från att lärandet är ickedualistiskt (Holmqvist, 2006). Utifrån detta ontologiska antagande ses subjekt och objekt som oskiljaktiga (Runesson, 1999). Det finns inte en kunskap där ute i världen som den lärande skall förstå och avbilda i sin inre värld. Kunskapen finns inte heller inom individen och skall appliceras på världen utanför eller utvecklas i samspel med världen utanför. Det som den lärande erfar är unikt och finns varken där ute eller där inne. Det som erfars befinner sig mitt emellan (Holmqvist, 2006). Marton och Booth (2000) uttrycker samma sak på följande sätt, relationen mellan den som erfar och det som erfars finns inte i personens huvud utan ligger mellan denne och fenomenet. Vi förtydligar med följande exempel: Om du tänker dig ett hus så finns huset oavsett om det betraktas eller inte. Den bild som en person har av huset är beroende av dess erfarande av det, personens sätt att uppfatta huset. Detta innebär att oavsett hur huset ser ut så blir betraktandet 11

12 av huset unik för olika personer. Dessa olika sätt att erfara samma fenomen har att göra med kvalitativa skillnader i olika personers erfarande. En person urskiljer kanske i första hand husets färg medan en annan person urskiljer vilket material huset är byggt av. En tredje person urskiljer kanske i sin tur vilken sorts fönster huset har. Genom att börja samtala om huset kommer personerna upptäcka att de har sett olika aspekter av huset. Samtalet kommer att ge de aktuella personerna möjlighet att se nya aspekter av huset än de aspekter som de tidigare urskilde. Holmqvist (2006) menar att ur ett variationsteoretiskt perspektiv innebär lärande att erfara omvärlden på ett för personen nytt sätt. Gustavsson (2008) belyser att grundtagande i variationsteorin bygger på hur den lärande erfar att någonting skiljer sig från någonting annat. Det går inte att urskilja någonting utan en erfaren variation (Marton & Tsui, 2004). När någon aspekt blir urskild ses den mot bakgrund av en potentiell variation och för att veta vad någonting är måste man veta vad något inte är (Runesson, 1999). För att uttrycket vad lång du är skall få en innebörd måste den lärande ha erfaret vad kort innebär. Den lärande måste ha erfarit att ett föremåls längd kan variera. Enligt Carlgren och Marton (2000) är urskiljande en förutsättning för att lärande skall kunna ske, men samtidigt är en variation nödvändig för att den lärande skall kunna urskilja. Holmqvist (2004) utrycker att lära innebär att man på något vis skiftar perspektiv, att det som tidigare varit bakgrund framträder på ett tydligare sätt och det man först riktat sin uppmärksamhet mot utgör bakgrunden. Since discernment is necessary for learning, and variation is necessary for discernment, it is what the teacher varies and what s/he keeps invariant during the lesson that determines what pupils are likely to learn (Marton & Morris, 2002, s. 60). När det gäller variationen får den dock inte vara för stor eftersom då motverkas de effekterna av variationen som vi behöver för att urskilja vad det är som varierar (Wernberg, 2005). För att konkretisera effekterna av för mycket variation förtydligar Wernberg med följande exempel. När en person är ute och springer en vindstilla dag förnimmer personen troligtvis inte luften mot sin kropp. En dag när det blåser kommer personen att känna luften mot sin kropp. Det har då uppstått en variation i luften som gör att personen som var ute och sprang blev medveten om luften på ett helt annat sätt än den dagen då det var vindstilla. När samma person är ute och springer en annan blåsig dag och samtidigt har ont i knäet är det inte troligt att personen känner av att det är blåsigt. Detta beror på bristen av konstanta faktorer. 12

13 Variationen finns både i luften och i det värkande knäet. Följden blir att den avgränsade variationen i form av luften inte uppfattas likadant som när det endast var denna faktor som varierade. Imagine for a moment that there was no variation of colors,that everything around us had the same color. It would be impossible for us to know what red, green, or yellow were, just as it would be impossible for us to discern color as a feature. If every object we encountered had the same color, this feature of the object would not be discerned ( Marton & Tsui 2004, s. 14). Holmqvist (2004) beskriver simultanitet som samtidighet eller en förmåga att se del/helhet. Hon belyser att en del av något kan samtidigt vara en helhet och en helhet kan vara del av något ännu större. En hel cirkel utgör 100% och en halv cirkel utgör då 50%. Om vi tar 50% av en halv cirkel så utgör det samtidigt 25% av en hel cirkel. Det som 50% representerar varierar i förhållande till vilken helhet som avses. För att förstå detta krävs det att man ser sambanden mellan del/helhet. Simultanitet och urskiljning är nära relaterade till varandra (Runesson, 1999). Under uppväxttiden håller många barn på att kasta med bollar och olika föremål av varierande storlek. Barnen försöker ofta träffa saker från olika avstånd och olika håll, ibland kan det blåsa eller kanske till och med regna. På det viset lär barnen sig att urskilja aspekter av situationer, kritiska i förhållande till deras mål att träffa någonting, avstånd, läge, vikt och eventuellt vindstyrka. När barnen kastar försöker de ta dessa aspekter i beaktande samtidigt. Tar barnen inte med alla de kritiska aspekterna lär de inte lyckas så bra. Att försöka träffa någonting med en boll kan beskrivas i termer av vilka aspekter av situationen som har urskiljts och är samtidigt i medvetandets fokus (simultanitet), samt hur de är relaterade till varandra (Carlgren & Marton, 2000). I inlärningssituationen är variationen en viktig mekanism (Marton & Booth, 2000). Ett sätt att förstå ett fenomen kan definieras i de aspekter av fenomenet som urskiljs vid ett speciellt tillfälle. För att fenomenets kritiska aspekter skall kunna urskiljas måste vi erfara dimensioner av variation i relation till dessa aspekter (Vikström, 2005) För att det skall vara möjligt att erfara en ny aspekt måste man tidigare ha erfarit en dimension av variation av den nya aspekten (Runesson, 1999). För att förtydliga erfarna dimensioner av variation använder vi ett exempel med en gul kaffemugg som är inspirerat från ett exempel i Runesson (1999, s.31). Vi tänker oss att vi har 13

14 en helt ny väldigt stor gul kaffemugg som står på bordet framför oss. Hur kan vi då veta att denna kaffemugg är ny, gul och väldigt stor? Om vi leker med tanken att alla kaffemuggar i vår omgivning skulle vara helt nya, gula och exakt lika stora, hade det inte varit möjligt att urskilja dessa aspekter av kaffemuggen, eftersom vi då inte hade haft möjligheten att erfara hur aspekterna storlek, ålder och färg kan variera. Dessa aspekter är i sig olika dimensioner som kan variera, där till exempel aspekten färg är en dimension. I dimensionen färg ingår gul som en färg bland andra färger. För att vi ska kunna urskilja färgen gul krävs alltså en erfaren variation där vi samtidigt är medvetna om andra färgers existens. Det finns olika dimensioner av variation även hos tal där till exempel ett tal har två olika karaktärer i form av kardinaltal och ordinaltal. Tar man talet tre så representerar det ett värde i båda dessa dimensioner. Kardinaltalet tre representerar dimensionen tre som en mängd av till exempel antalet gula kaffemuggar på bordet. Denna dimension av antal kan variera precis som dimensionen färg kunde variera i exemplet ovan. Ordinaltalet tre representerar dimensionen av tre som ett ordningstal. Dimensionen av ordningstal kan också variera. Vi återknyter till de gula kaffemuggarna och ställer dem på rad. För att det ska kunna var möjligt att uppfatta den tredje gula kaffemuggens ordningsvärde måste vi vara medvetna om att det finns två kaffemuggar före. Marton (2003) menar att det inte är möjligt att betrakta ett enskilt tal var för sig och till exempel uppleva talets sekventiella position. Detta är inte möjligt eftersom det enskilda talet saknar dessa egenskaper. För att kunna uppfatta ett tals sekventiella position som en dimension av variation måste vi samtidigt vara medvetna om andra ordningstal. In order to experience something as something we must be able to discern it from and relate it to a context, and be able to discern its parts and relate them to each other and to the whole. But we discern wholes, parts, and relationships in terms of aspects that define the wholes, the parts, and the relationships (Marton & Booth, 1997, s. 108). Ett sätt att förstå något definieras i termer av de aspekter som urskiljs vid en speciell tidpunkt och för att dessa kritiska aspekter ska urskiljas av oss måste vi erfara dimensioner av variation i relation till dessa aspekter (Vikström, 2005, s.35). 14

15 Figur 1. Bilden illustrerar relationen mellan aspekter och dimensioner.( figuren hämtad från Holmqvist (2004) i Wernberg, 2005, s.323). De kritiska aspekterna i lärandeobjektet är de aspekter som läraren måste ge eleverna möjlighet att upptäcka för att de ska få en ökad förståelse av lärandeobjektet (Wernberg, 2005). Urskiljande av kritiska aspekter ger Runesson och Mok (2004) ett tydligt exempel på i en beskrivning av två lärare, i två olika klassrum som båda undervisar om kvadraten. Den förste läraren pratar om vinklar och konstaterar att kvadraten består av fyra räta vinklar. Läraren betonar relationen mellan sidorna i kvadraten att de är lika och på så vis definieras kvadraten. Den andre läraren fokuserar i sin undervisning även på vinklarna, sidorna och relationen mellan dem, men introducerar även variation av dessa aspekter. Läraren ritar en romb sidan om kvadraten och riktar elevernas uppmärksamhet på skillnaden mellan vinklarna i kvadraten och romben. Läraren jämför även antalet sidor i en kvadrat med antalet sidor i en triangel. På samma sätt som läraren lyfter fram relationen mellan de motsatta sidorna i en kvadrat och en rektangel. Avslutningsvis lyfter läraren fram kvadrater av olika storlekar. Marton och Tsui (2004) skriver att det var samma kritiska aspekter som var fokuserade i båda lektionerna, vinklar, antal sidor och relationen mellan dessa. Den andra läraren skapade en variation av de kritiska aspekterna genom att till exempel visa olika storlekar på kvadrater och vinklar. Den första visade inte denna variation för eleverna. Det var inte möjligt för eleverna att erfara att storleken på en kvadrat kan variera och fortfarande vara en kvadrat. Eleverna 15

16 som fick erfara en variation av de kritiska aspekterna har fått en större möjlighet till lärande eftersom det går inte att urskilja något utan en erfaren variation, som vi tidigare nämnt. Marton och Tsui (2004) skriver att det är nödvändigt att veta vad en rät vinkel inte är för att lära sig vad det faktiskt är. De skriver även att eleverna måste erfara minst två olika exempel på kvadrater för att förstå vad en kvadrat är. 3.5 Studier om ekvivalens Knuth m.fl (2006) menar att många elever i de tidigare skolåren har en bristfällig förståelse för likhetstecknets betydelse. Eleverna ser ofta likhetstecknet som ett resultat av en aritmetisk operation istället för en matematisk ekvivalens (Knuth m.fl., 2006). Elever som ser likhetstecknet som ett uträkningstecken har i regel inte några problem när de löser vanliga aritmetiska uppgifter i form av A+B=. När eleverna däremot möter algebraiska problem ger den operationella synen på likhetstecknet eleverna problem (Knuth m.fl, 2006). Knuth m.fl (2006) har gjort en forskningsstudie angående elevers förståelse för likhetstecknet. Studien omfattade 177 elever (47 årskurs 6, 72 årskurs 7, 58 årskurs 8) i USA. Eleverna fick uppgiften enligt figuren nedan. The following questions are about this statement: = 7 (a) The arrow above points to a symbol. What is the name of the symbol? (b) What does the symbol mean? (c) Can the symbol mean anything else? If yes, please explain. Figur 2. Hämtad från Knuth m.fl (2006) Journal for research in Mathematics Education, 36(4), s Elevernas svar tolkades därefter i tre olika kategorier relationell förståelse, operationell förståelse samt en övrig förståelse. Majoriteten av elevernas svar hamnade i de två förstnämnda kategorierna. Svar som tolkades som relationella var av typen same as operationella svar var av typen likhetstecknet betyder add the numbers eller the answer. Vidare skriver författarna att de fann ett starkt samband mellan elevernas förståelse för 16

17 likhetstecknet och deras förmåga att lösa ekvationer. De elever som förstår likhetstecknet som en relationell symbol som står för ekvivalens kommer att bli framgångsrikare än de elever med en operationell syn på likhetstecknet, när de skall lösa algebraiska ekvationer (Knuth m.fl, 2006). Franke, Levi och Carpenter(2003) undersöker elevernas förståelse av likhetstecknet. Eleverna i studien arbetade bland annat med uppgiften 8+4 =_+5. Typiska svar som eleverna uppvisade var the answer comes next och dessa elever svarade 12 eftersom 8+4=12. Vid frågan vad 5 betyder i uppgiften, så blev svaret att den har ingen betydelse. Ett annat svar var use all the numbers och dessa elever adderar alla tal i uppgiften 8+4+5=17. Författarna förklarar dessa två kategorier av svar som att eleverna är vana vid uppgifter där operationen är till vänster och svaret till höger om likhetstecknet. När dessa elever stöter på en uppgift som 8+4=_+5 är den okänd för dem och de anpassar sin regel till uppgiften. Franke, Levi och Carpenter (2003), Knuth m.fl (2006) studier av likhetstecknets betydelse visar på vikten av att eleverna har en relationell förståelse av den matematiska symbolen. Skemp (1976) skriver om två olika former av förståelse relationell och instrumentell förståelse. Elever som ser likhetstecknet som ett operationstecken har en instrumentell förståelse av likhetstecknet, de förstår inte innebörden av det. En relationell förståelse av likhetstecknet innebär att eleverna förstår att det står för ekvivalens. Enligt McNeil m.fl (2006) så beror elevernas operationella tolkning av likhetstecknet på deras tidigare matematiska erfarenheter av det. I de tidigare skolåren möter eleverna ofta likhetstecknet i uppgifter av typen 3+4=, = där operationen är på den vänstra sidan och svaret till höger. För att eleverna skall kunna lösa liknande standard uppgifter korrekt behöver de inte ha en förståelse för att likhetstecknet innebär ekvivalens. Eleverna behöver endast kunna utföra beräkningarna i vänsterledet för att få det rätta svaret. Resultatet av detta kan bli att eleverna fokuserar på den aritmetiska uträkningen för att få rätt svar och associerar likhetstecknet med räkneoperationen. 17

18 4. Metod 4.1 Val av forskningsmetod Vi har valt learning study som forskningsmetod i vår studie. I en learning study är det lärarens handlingar, verbala och andra, som formar ett lärandeobjekt som eleverna erbjuds att erfara (Runesson 1999). Eftersom lärarens alla handlingar är viktiga valde vi att använda oss av videodokumentering. Med hjälp av videodokumentering blir lärarens handlingar synliga vilket de inte blivit genom observation eller bandupptagning. Learning study är en fusion av lesson study och design experiment (Marton & Pang, 2006). De tre forskningsmetoderna är fortfarande relativt unga (Gustavsson & Wernberg, 2006). För att göra relationen mellan design experiment, lesson study och learning study tydligare kommer vi att göra en kort presentation av dessa. 4.2 Praxisnära forskning År 2002 utlyste utbildningsvetenskapliga kommittén (UVK), en del av Vetenskapsrådet, behovet av praxisnära forskning. Genom detta blev det kunskapsutvecklande syftet satt framför det verksamhetsutvecklande (Carlgren, 2005). Forskningen bedrivs av lärare med stöd av forskare enligt Gustavsson (2008). Praxisnära forskning strävar efter att förbättra praktiken (Marton, 2005). Carlgren (2005) belyser att det inte varit självklart att se lärarnas konkreta uppgifter som forskningsfrågor inom den pedagogiska utbildningsvetenskapen. Dessa har ofta uppfattats som frågor som kan lösas praktiskt och har därför hamnat utanför det som är vetenskapligt intressant. I en learning study arbetar lärare och forskare gemensamt för att försöka uppnå ett pedagogiskt mål och lära av detta (Marton, 2005). Vi ser learning study som en metod för praxisnära forskning Design experiment en kort presentation Design experiment utvecklades för att utföra forskning på utbildning. Man utgår från teoretiska principer från tidigare forskning för att på så vis förbättra designen på utbildning (Gustavsson & Wernberg, 2006). Metoden härstammar från laboratoriestudier, som till skillnad mot design experiment, utförs i en kontrollerad miljö. Ute i en stökig lärandemiljö 18

19 finns det variabler som inte går att kontrollera. Det ställs även stora krav på många av deltagarna vilkas arbete måste samordnas. Det är många faktorer som gör att ett design experiment är svårt att genomföra, vilket leder till att slutresultaten kan bli mindre tillförlitliga i förhållande till laboratoriestudier. Gustavsson & Wernberg (2006) skriver att...design experiment fokuserar och kritiskt utvärderar vägen till förbättringar av undervisningen ( s. 34). Detta görs genom storskaliga standardiserade studier Lesson study en kort presentation Lesson study är en metod som kommer från Japan. Tanken bakom lesson study är att det är det mest effektiva sättet att utveckla undervisning är i den direkta klassrumspraktiken (Stiegler & Hiebert, 1999). En lesson study börjar med att flertalet av skolans personal samlas för att bestämma ett tema för arbetet på skolan under året. Lärarna börjar sedan arbeta i grupper. En lesson study består av flera moment och det första momentet är att definiera ett problem som ska styra det kommande arbetet. Med hjälp av litteratur och dokumentation från andra lärare som studerat ämnet, planerar lärarna en lektion som kan utveckla elevernas förståelse i det momentet. Målet är att förstå varför och hur lektionen skapar förståelse hos eleverna enligt Stiegler och Hiebert (1999). En av lärarna i gruppen genomför lektionen medan resterande lärare observerar, antecknar och eventuellt videofilmar. Efter lektionen stannar lärarna kvar och utvärderar lektionen. Nästa steg är att revidera lektionen efter elevernas svårigheter och missförstånd. Den nya lektionsplaneringen genomförs i en ny klass av samma eller någon annan lärare i gruppen. Här är det öppet för hela kollegiet på skolan att observera. Efter lektionen är det utvärdering och reflektion och alla som bevistade lektionen är inbjudna. Det händer att en utomstående expert bjuds in till denna utvärdering och reflektion. Den undervisande läraren ger sin syn på lektionen sedan blir det en diskussion om undervisning och lärande på generell nivå. Avslutningsvis delar man med sig av resultatet till andra skolor genom en skriven rapport. Det händer ofta att rapporten blir publicerad i bokform. Rapporten läses av fakultet och rektor och om en universitetsprofessor varit delaktig i projektet kan rapporten bli skriven och publicerad för en bredare publik (Stiegler & Hiebert, 1999). 19

20 4.2.3 Learning study En learning study är en praxisnära forskningsmetod där lärare och forskare arbetar gemensamt (Marton, 2003). Learning study är en forskningsmetod samt en modell för lärarfortbildning och den har påtagliga likheter med lesson study. Det som ligger i fokus är på vilka olika sätt man kan erbjuda eleverna de aspekter som är kritiska för att förstå ett lärandeobjekt. Stegen i en learning study är enligt punkterna nedan och är hämtat och tolkat från (Gustavsson & Wernberg, 2006 s ) Kartläggning av eleverna Första steget är att kartlägga elevernas förmåga eller kunskap inom det aktuella området som utgör lärandeobjektet. Det kan vara t ex likhetstecknets innebörd. Kartläggningen kan ske med till exempel tester eller intervjuer. Val av avgränsat lärandeobjekt Med hjälp av resultatet från kartläggningen av eleverna tillsammans med lärarnas tidigare erfarenheter, bestämmer man sig för ett avgränsat lärandeobjekt. Analys av lärandeobjektets kritiska aspekter Forskare och lärare studerar ämnesdidaktisk litteratur relaterat till lärandeobjektet kombinerat med kartläggningen av eleverna och lärarnas tidigare erfarenheter av undervisning av lärandeobjektet för att synliggöra de kritiska aspekterna. Planering av lektion 1 Detta sker med utgångspunkt från en teori, vanligtvis variationsteoretiskt perspektiv på lärande. För att erfara en aspekt av ett lärandeobjekt måste eleverna erbjudas en möjlighet att erfara en variation av aspekterna. Lärare och forskare detaljplanerar lektionen. Genomförande av lektion 1 i elevgrupp A En av lärarna i gruppen genomför den gemensamt planerade lektionen. Läraren håller sig inom de aspekter som man enats om att eleverna ska erbjudas. Elevernas respons 20

21 ges stort utrymme och flexibilitet och lektionen blir således naturlig. Lektionen videodokumenteras samt att en ny kartläggning av eleverna genomförs. Analys och revidering av lektion 1 Lektionen analyseras med videodokumentering och kartläggning som underlag. Analysens resultat bidrar till en ny lektionsplanering för att skapa större möjligheter för eleverna att förstå lärandeobjektet. Genomförande av lektion 2 i elevgrupp B Lektionen genomförs i en ny elevgrupp, som blivit kartlagda precis som elevgrupp A. En lärare från lärargruppen, ny eller samma, genomför lektionen som dokumenteras precis som lektion 1. Analys och revidering av lektion 2 Lektionen analyseras precis som lektion 1 och en ny lektionsplanering genereras. Genomförande av lektion 3 i elevgrupp C Lektionen genomförs i en ny elevgrupp och efter samma principer som lektion 1 och 2. Analys av lektion 3 Lektionen analyseras på samma sätt som lektion 1 och 2, men här studeras även alla tre lektionerna för att försöka frambringa det som varit av avgörande betydelse för elevernas lärande av lärandeobjektet. Eventuellt ny kartläggning Någon form av eftertest kan genomföras för att upptäcka om eleverna fått en utvecklad förståelse som finns kvar efter en längre tid. Testet genomförs en viss tid efter lektionerna. Det existerar inga krav på att en learning study måste innehålla tre lektioner. Den kan t ex innefatta två eller fyra lektioner (Gustavsson & Wernberg, 2006). Det essentiella är att det är en upprepad process. 21

22 4.2.4 Vår learning study I vår learning study ingick en lärare och två forskare (vi). Upplägget av studien bygger på en learning study med en upprepad process bestående av två matematiklektioner. Vi kommer under rubrikerna nedan, Val av lärandeobjekt och Genomförande att förklara vår learning study mer ingående. 4.4 Urval För att det skulle vara möjligt att genomföra vår studie med en god tillförlitlighet gjorde vi bedömningen att vi behövde två relativt kunskapshomogena elevgrupper. Vi var också i behov av att involvera minst en matematiklärare som var beredd att öppna upp sitt klassrum för oss. Matematikläraren skulle samtidigt vara villig att fördjupa sig i variationsteorin för att kunna vara delaktig i lektionsplaneringarna. Efter ett idogt sökande träffade vi en erfaren matematiklärare som hade arbetat som lärare i trettiosex år. Lena som vi valt att kalla vår lärare var väldigt intresserad av att delta i vår studie. I sin grundutbildning är Lena mellanstadielärare med tillvalsämnen matematik, fysik och naturvetenskap. Lena har nyligen fortbildat sig i matematik genom GÖMU projektet (gränsöverskridande matematikundervisning) som var ett samverkansprojekt med Högskolan i Kristianstad och lärare i kommunen, med syfte att utveckla matematikundervisningen. Lena arbetar som matematiklärare i en skola som är belägen i en mindre stad i Skåne. På skolan går det ungefär trehundrasextio elever. Skolans upptagningsområde är i huvudsak från medelklassfamiljer som bor i villaområdet runt skolan samt närliggande bostadsrätts- och hyreslägenheter. Lena undervisar i tre relativt kunskapshomogena elevgrupper som går årskurs fyra. Vi valde tillsammans med Lena ut de två grupper som enligt henne var mest homogena. Vi väljer att kalla dessa grupper 1 respektive 2. Båda grupperna bestod av sjutton elever. Den tredje gruppen föll bort från denna studie på grund av att undervisningen inte gick att organisera utan för stor inverkan på andra lektioner. 22

23 4.4.1 Val av lärandeobjekt Vi träffade Lena den 23 oktober för att diskutera upplägget av vår studie samt för att delge henne forskningslitteratur om ett variationsteoretiskt perspektiv på lärande. Lena läste Variationsteorin i praktiken (Wernberg, 2005). Genom samtal med Lena angående vilket område inom matematiken som skulle kunna vara aktuellt att arbeta med, framkom det att eleverna troligtvis kunde ha en bristande förståelse för likhetstecknets betydelse. För att kartlägga elevernas förståelse för likhetstecknets betydelse fick samtliga elever i de tre grupperna göra ett förkunskapstest. Förkunskapstestet konstruerade vi med utgångspunkt att upptäcka om eleverna hade en relationell förståelse (Skemp, 1976) för likhetstecknet eller inte. Knuth m.fl.(2006) menar att vanliga aritmetiska problem av typen A+B= i regel inte kräver relationell förståelse för likhetstecknet utan eleverna klarar dessa problem ändå. Förkunskapstestet använde vi sedan också som ett första efterkunskapstest (se bilaga 2) direkt i anslutning till lektionen. Den 7 november genomför samtliga elever förkunskapstestet. 4.5 Tillförlitlighet För att vår studie skulle få en hög reliabilitet valde vi att användas oss av videodokumentering samt kompletterande observation av lektionerna. Metoden gav oss en tydligare bild av händelseförloppet under lektionerna än vad endast en visuell observation eller bandupptagning hade gjort. Inspelningarna gav oss och läraren möjlighet att analysera de båda lektionerna flera gånger för att på så vis få en högre tillförlitlighet. Elevernas erfarande av det aktuella lärandeobjektet valde vi att undersöka med hjälp av föroch efterkunskapstest (se bilaga 2). När man konstruerar ett instrument som ska mäta ett visst fenomen är det viktigt för instrumentets kvalité att det verkligen mäter det som man avser att det ska mäta (Patel & Davidsson, 1991). För att säkerställa validiteten i våra test så studerade vi forskningslitteratur kring förståelsen av likhetstecknets betydelse. Utifrån forskningslitteraturen samt med hjälp Lenas och våra kunskaper konstruerade vi för- och efterkunskapstesten. Enligt McNeil m.fl (2006) är uppgifter av typen 3+4=, 23+7= konstruerade så att eleverna inte behöver förstå att likhetstecknet står för ekvivalens. Vi använde oss av uppgifter på testen som skulle kunna visa att eleverna har en relationell 23

24 förståelse av likhetstecknets innebörd som ekvivalens. Det var uppgifter som t ex 16-6=_+5 och _+_=32+9. För att öka reliabiliteten i vår studie har eleverna förutom de videodokumenterade lektionerna inte fått någon undervisning i matematik om likhetstecknets betydelse mellan förkunskapstestet och lektionen. Lena diskuterade ingenting angående likhetstecknets betydelse med eleverna utanför studiens ramar. Det finns en möjlighet att eleverna har diskuterat ämnesinnehållet på lektionen och testerna med varandra eller andra vuxna utanför undervisningen. Förtestet och det eftertest som gjordes i direkt anslutning till lektionen var identiska. Detta medförde att vi kunde jämföra elevernas kunskaper på exakt samma uppgifter och på så vis upptäcka om det skett någon förändring. Det finns en möjlig risk att elevernas resultat på efterkunskapstesten till viss del kan ha förbättrats på grund av någon form av återtestningseffekt Elevernas kunskaper kan ha förbättrats för att de har testats på samma sak två gånger under relativ kort tid. Förbättringen av elevernas kunskaper kommer då inte enbart från undervisningen. Studien innefattar endast de elever som har deltagit i alla momenten, det vill säga att de har gjort båda testen samt varit närvarande vid lektionstillfället. De båda grupperna gjorde förkunskapstestet samtidigt och grupp 1 hade sin lektion en vecka tidigare än grupp 2. Detta kan ha inverkat på resultatet eftersom tiden för grupp 1 blev en vecka kortare än tiden för grupp 2 i studien. Våra resultat och slutsatser gäller för de elever i de aktuella grupperna som har deltagit i vår undersökning. Utifrån vår studie kan vi inte dra några generella slutsatser som skulle vara allmängiltiga bland elever i årskurs fyra. Det är fullt möjligt att resultatet och slutsatserna skulle bli annorlunda vid en upprepning av denna studie. 4.6 Bortfall De bortfall vi haft i studien är elever som ej genomfört alla moment i vår learning study. Alla bortfall utom ett har berott på sjukdom. I grupp 1 var det bortfall på sammanlagt fem elever. Det var tre elever som ej genomförde förkunskapstestet, en elev som varit borta under alla moment och en elev som fuskat (enligt läraren) på förkunskapstestet. 24

25 I grupp 2 var det ett bortfall på sammanlagt sju elever. Det var fyra elever som ej var närvarande under vår lektion och tre elever som ej genomförde förkunskapstestet. 4.7 Etik En förutsättning för en etisk hantering av försökspersoner i forskningsstudier är att allt deltagande är frivilligt (Helgesson, 2006). Han menar att det krävs tillräckligt med information för försökspersonerna, så att de kan fatta välgrundade beslut för att det ska vara etiskt relevant. Försökspersonerna har när som helst rätt att ta tillbaka sitt samtycke för deltagande i studien eftersom det är frivilligt (Helgesson, 2006). De elever som deltog i undervisningen som videodokumenterats har fått skriftlig information (se bilaga 1) om undersökningen och deras målsmän har givit skriftligt tillstånd för medverkan. I den skriftliga informationen till elevernas målsmän skrev vi att det gällde ett examensarbete och att vi skulle videodokumentera några lektioner. Informationen saknade syftet och vad elevernas medverkan kommer att innebära, vilket enligt Patel och Davidsson (1991) är nödvändigt. Vi insåg att vi inte varit tydliga med informationen till elevernas målsmän och valde därför att inför varje lektion ge eleverna tillräckligt med information, så att de kunde fatta ett beslut om deltagande. Även om vi fått elevernas målsmäns tillåtelse att medverka, hade de en möjlighet att välja att inte delta i undersökningen. Namn på läraren och elever har ändrats i studien för att de inte ska kunna identifieras. 25

26 5. Resultat 5.1 Redovisning av resultat Först redovisas förkunskapstestet (se bilaga 2) för båda grupperna. Testet visar elevernas kunskaper före studien och används för att planera lektion 1, samt för att beskriva elevernas lärande tillsammans med eftertestet. Därefter kommer vi att presentera lektion 1 med grupp 1 och redovisa gruppens resultat i efterkunskapstestet (se bilaga 2) samt presentera vad som varierar samt vad som hålls invariant under lektionen. Redovisningen av lektion 2 med grupp 2 kommer att följa samma upplägg som för grupp 1. Vi kommer även att presentera lärarens intention med lektionen och om det verkligen är det som eleverna erbjuds att lära. Detta görs genom att jämföra lektionsplaneringarna med genomförandet av lektionerna. Analysen av lektionerna görs med hjälp av videodokumenteringarna som transkriberats (ca 15 sidor). 5.2 Förkunskapstest - kartläggning Resultatet av förkunskapstesten som låg till grund för vår planering av lektion 1 var baserat på alla tre gruppernas gemensamma resultat. Det resultatet redovisas här nedan i form av diagram 1, ingen mer redovisning av tredje gruppen kommer att ske i denna studie. Diagram 1: Y-axeln representerar antalet elever och X-axeln representerar uppgifterna från

27 Det sammanlagda resultatet av förkunskapstestet (se bilaga 2) visade att eleverna hade svårigheter med bland annat uppgift nummer tre 7+_=_-7. Några exempel på elevernas lösningar som ej var korrekta: 7+7=14 7, 7+10=17 7 och 7+0=0 7. Eftersom många elever hade svarat fel på den nämnda uppgiften valde vi att använda denna uppgift under lektionen. En uppgift som enligt diagrammet inte många elever hade fel på är uppgift nummer åtta 499=_. Det är lite missvisande eftersom vi gav rätt till elever som skrivit en operation på andra sidan likhetstecknet till exempel 499=500 1, 499=504 5 även om vi förväntade oss svaret 499. De elever som svarade fel gav svaret 499=500. En uppgift som är nära relaterad till nummer åtta är uppgift nummer tio. I den fick eleverna 19=19 givet och skulle skriva det på något annat sätt. Denna uppgift gav en stor variation i de felaktiga svaren. Några exempel på elevernas lösningar som ej var korrekta såg ut på följande sätt: 19+19=38 19=19, 20 18=38 och 5+5=10+9=19. Sammanfattningsvis visade kartläggningen att många av eleverna saknade en förståelse för likhetstecknets innebörd som ekvivalens. För att eleverna skulle få en ökad förståelse för likhetstecknets betydelse behövde vi synliggöra de för eleverna kritiska aspekterna för att de skulle få denna förståelse. Den kritiska aspekten för många elever var att de inte hade full förståelse för att det kunde var operationer på båda sidor om likhetstecknet. 5.3 Planering lektion ett (grupp 1) Den 11 november planerar vi den första lektionen med Lena. Närvarande vid planeringen var Lena och författarna. Intentionen var att alla inblandade parter skulle vara delaktiga i planeringen som likvärdiga medlemmar av denna studie vilket också blev fallet. Alla möten och planeringar skedde på skolan där studien genomfördes. Vi enades om att Lena skulle undervisa i de båda lektionerna eftersom hon kände barnen. Planeringen av lektion ett grundade sig på resultatet av förkunskapstestet som alla tre grupperna hade genomfört. Anledningen till detta var att vi skulle få en uppfattning om vilka de kritiska aspekterna var för elevernas förståelse av likhetstecknets betydelse och att läraren skulle fokusera på dessa aspekter. Resultatet av förkunskapstestet visade som tidigare nämnts att eleverna generellt sett hade haft stora problem med uppgift nummer tre, uppgiften var konstruerad på följande sätt 7+_=_- 7 (se bilaga 2). I samtalen runt planeringen utgjorde variationsteorin grunden för hur vi skulle 27

28 presentera lärandeobjektet för eleverna. En kritisk aspekt i lärandeobjektet var att många av eleverna inte hade insikten att likhetstecknet stod för ekvivalens. En annan kritisk aspekt för många elever var att de inte hade full förståelse för att det kunde var operationer på båda sidor om likhetstecknet. Vi bestämde att uppgiften 7+_=_-7 skulle användas eftersom eleverna hade påtagliga problem med den i förkunskapstestet. Uppgiften skulle presenteras för eleverna med hjälp av en balansvåg. På balansvågen bestämde vi att det skulle sitta ett likhetstecken mellan vågskålarna för att ge eleverna en tydlig bild av att likhetstecknet står för ekvivalens. Vi bestämde att centikuber skulle vara lämpliga att arbeta med eftersom de gav tydligt utslag på vågen och var lätta att räkna med. I uppgift nummer tre på förkunskapstestet 7+_=_-7 bestämde vi att behålla sjuorna invarianta och variationen av tal skulle ske på de tomma platserna. Eleverna skulle involveras i arbetet genom att de skulle komma med förslag på tal som skulle stå på de tomma platserna. Deras förslag skulle sedan kontrolleras på vågen. Under planeringen diskuterades även grundligt vikten av att Lena hela tiden under lektionen skulle betona att likhetstecknet betyder är lika mycket som eller är lika med. Det var betydelsefullt att eleverna inte uppfattade likhetstecknet som ett operationstecken. Detta bestämdes eftersom resultatet av förkunskapstestet visade att många elever kunde ha en operationell syn på likhetstecknet. Uppgift numer åtta 499=_ på förkunskapstestet hade förhållandevis många elever också haft svårigheter att lösa. Vi beslutade att vi skulle använda samma typ av uppgift under lektionen för att vi ansåg att den var väldigt tydlig för eleverna och gav dem möjlighet att erfara när det var ekvivalent eller inte. Vi bestämde oss för att arbeta med 22=_ och visa detta med balansvågen. Under planering diskuterade vi också vikten av att Lena hela tiden höll sig till vår planering. 28

29 5.3.1 Genomförande av lektion ett Lena började lektionen med att skriva ett likhetstecken på tavlan och fråga eleverna vad detta tecken innebär. Flertalet av eleverna räckte upp handen och en elev förkunnade att likhetstecknet betyder att det skall vara lika mycket på båda sidor. Lena bekräftade elevens svar och upprepade att likhetstecknet betyder lika mycket på båda sidor. Därefter presenterade Lena balansvågen för eleverna genom att lägga pennor på vågen och visade att lika många pennor på varje sida betyder att det är ekvivalent. Lena skrev uppgiften 7+_=_-7 på tavlan och la sju centikuber på vågen. Excerpt 1 Läraren: Då har jag gjort det [pekar på 7+ ] hur ska jag kunna göra det? [ pekar på -7] [tystnad] Walter: [räcker upp handen men ångrar sig] Nej Läraren: Vad måste jag göra för att kunna göra det? [pekar på -7] Karin: Lägga till så du kan ta bort så det blir lika mycket på båda sidor Läraren: Ja, vad ska jag lägga till? Samuel vad säger du? Vad ska jag lägga till? Samuel: Ähh [ tystnad] fjorton Läraren: Fjorton? Då gör vi det. Är det okej att jag tar en sådan [ håller upp en tiostav] Eleverna: Jaa Läraren: Hur mycket är den? [håller upp tiostaven] Eleverna: Tio Läraren: [lägger tiostaven på vågen och fyra centikuber][räknar] tio, elva, tolv, tretton, fjorton. Är det lika nu? Eleverna: Nää Läraren : Nä, men vad har jag nu gjort vad ska där stå egentligen [ pekar på -7] Camilla: Fjorton Läraren: mmm [skriver fjorton på den tomma platsen] vad händer då om jag tar bort sju? Vad kommer att hända med vågen då? Sara: Det blir lika Läraren: Ska vi kolla? Läraren lägger en tiostav och fyra centikuber på högra vågskålen. Här uppstår problem i och med att tiostaven måste växlas för att kunna utföra operationen En elev ger förslaget att 29

30 ta bort tiostaven och lägga till tre centikuber, men läraren nöjer sig inte med det rätta svaret, vilket leder till en lång diskussion. Nedan följer ett utdrag från slutet på diskussionen. Excerpt 2 Läraren: Mmm där låg fjorton precis som Carin sa [pekar på tavlan 7+ =14-7] så skulle jag ta bort sju men jag har inte sju lösa. Hur ska jag göra för att ta bort sju? Camilla Camilla: Ta bort tian och lägg till tre Läraren: Blir det sju? Camilla: Då blir det sju kvar Läraren Har jag tagit bort sju då? Camilla: Ja Läraren: Ja det har jag ju. Hur många är där på den [håller upp en tiostav] Harald: Tio Läraren: Ja också så tar jag och sågar av de tre där [håller upp tiostaven och visar] hur många har jag då tagit bort? Erika: Tre Läraren: De tre jag gömmer är de som ligger där [visar genom att peka på de tre centikuberna] det är dom. Dom lägger jag där [på vågen] Har jag nu tagit bort sju då? Eleverna i kör: Jaa Lektionen fortsätter med att eleverna får komma med förslag vad som ska stå i de tomma rutorna 7+_= _-7. En del eleverna är snabba att hitta ett mönster i uppgiften om de utgår ifrån 7+0=14-7. Vilket visar sig när en elev säger att det går att skriva femton i högerledet och ett i vänsterledet. Läraren skriver upp elevernas förslag på tavlan och ett tydligt mönster blir synligt för alla elever. Eleverna upptäcker att när de ökar med ett i vänsterledet ska de även öka med ett i högerledet (se bilden nedan). Läraren upplyser eleverna om ett annat mönster som framträder. På bilden till vänster förklarar hon att skillnaden är fjorton mellan höger- och vänsterled. 30

31 Bild 1 hämtad från film lektion 1. Efter detta blev det en paus i lektionen för det visade sig att centikuberna var tillverkade av olika träslag. Detta medförde att centikuberna vägde olika. När detta var utrett fortsatte lektionen med att läraren skrev 22=_ på tavlan. Excerpt 3 Läraren: Då ska vi göra en sak till [skriver 22 =_ på tavlan] om jag lägger tjugotvå [pekar på vågen] Det skiljer lite grann ser ni det? Om jag lägger tjugotvå där. Vad ska jag då lägga där? [Pekar på andra sidan på vågen] Nu blev det svårt, Sandra Sandra: Tjugotvå Läraren: Ja titta det stämde tjugotvå är samma som tjugotvå. Jag tror att du trodde att du skulle behöva räkna. Är det någon mer än Filippa som kan säga att den gjorde jag fel på? Fast det stod ju inte tjugotvå på pappret [hänvisar till förkunskapstestet]. Sara: Kan man inte också skriva 19+3? Läraren: Det kan du göra men om du har ett papper som ser ut så här 13= [skriver på tavlan] så. Då vill dom ju inte ha någon uträkning eller hur [hänvisar till oss]. Lektionen avslutades efter detta moment eftersom halva gruppen skulle gå till idrott. Denna information hade inte vi fått och lektionen blev därför kortare än väntat. Det sista som hände i lektionen var att läraren frågade eleverna vad likhetstecknet innebär. På grund av att eleverna gick till idrott kunde vi inte genomföra eftertest 1 (se bilaga 2) direkt anslutning till lektionen. Eleverna genomförde eftertest 1 senare samma dag. 31

32 5.3.2 Resultat lektion ett Diagrammet nedan visar reultatet från grupp 1 i form av antalet rätt på förkunskapstest respektive efterkunskapstest Antal rätt (FK) Antal rätt (EK) Diagram 2: Y-axeln representerar antalet elever och X-axeln representerar uppgifterna från FK betyder förkunskapstest. EK betyder efterkunskapstest. Grupp 1 förbättrade sitt resultat med tio procent från förkunskapstest till efterkunskapstest. Under lektionen med grupp 1 var det mycket fokus på uppgiften 7+_=_-7 och det är i den uppgiften som eleverna gjort den tydligaste förbättringen. På förkunskapstestet var det fem elever som lyckades lösa uppgiften korrekt, men på efterkunskapstestet löste alla elever den korrekt. Den uppgiften står för sju procent av de totala tio procent som gruppen förbättrade sitt resultat med. I övriga uppgifter på efterkunskapstestet är det inte så stora skillnader att vi kan dra någon slutsats om resultatet. Det är förändringar med ett eller två rätt på de övriga uppgifterna jämfört med resultatet på förkunskapstestet. Den totala ökningen av antalet rätt svar på de övriga uppgifterna motsvarar tre procent jämfört med förkunskapstestet. Under slutet av lektionen belyste läraren exempel med uppgifterna 22=_ och 13=_. Eleverna arbetade under lektionen med uppgift nummer tre 7+_=_-7 och uppgifter som liknade uppgift nummer åtta 499=_ vilket blev synligt i resultatet på eftertestet. I diagrammet ovan visar att samtliga elever hade rätt på dessa två uppgifter (uppgift nummer tre och åtta) på eftertestet. 32

33 5.3.3 Variation och invarians av ekvivalens i lektion ett Genom att analysera hur Lena presenterar lärandeobjektet under lektion ett upptäckte vi den variation och invarians som skapades vid lektionstillfället. Under lektionen arbetade eleverna större delen av tiden med uppgiften 7+_=_-7. Variationen skapades i de tomma rutorna i form av olika tal. De invarianta sjuorna i uppgiften blir tillsammans med talen som tilläts variera delar av en helhet. När Lena skrev 7+_=_-7 öppnade hon upp på tavlan upp för en variation av tal på de tomma platserna. Uppgiften visade sig inte vara speciellt lämplig att visa på vågen eftersom det inte var möjligt att i utgångsläget ta bort sju i höger vågskål. I excerpt 1 har Lena lagt sju centikuber på vågen och frågar eleverna: - Då har jag gjort det [pekar på 7+ ] hur ska jag kunna göra det? [Pekar på -7]. Eleverna har då möjlighet att komma med förslag på vilket tal som helst som ska stå på de tomma platserna. Elevernas förslag är att Lena ska lägga fjorton centikuber på högra vågskålen _-7 sidan. Här öppnas upp för en kontrast när eleverna får jämföra uttrycket på tavlan 7+_=14-7 med centikuberna på vågen 7=14. Eleverna ser på vågen att 7=14 inte är ekvivalent medan uttrycket på tavlan är tillsynes ekvivalent. När vågen visar att 7=14 inte är ekvivalent har eleverna möjlighet att erfara en kontrast jämfört med det ekvivalenta uttrycket på tavlan. Denna process upprepas och eleverna får möjlighet att jämföra uttrycken på tavlan med centikuberna på vågen. När Lena skriver upp elevernas förslag på tavlan (se bild 1) och inte använder vågen förblir sjuorna invarianta och variationen blir i de tomma rutorna. Eleverna har då möjlighet att erfara hur delar och helheter varierar och samtidigt är ekvivalenta. Lektionen avslutas med att Lena skriver 22=_ på tavlan och lägger uttrycket på vågen. Här är helheten tjugotvå i vänsterledet invariant och variationen möjliggörs på tavlan i högerledet. Uttrycket 22=_ ger inte möjlighet till någon variation på vågen eftersom antalet 22 blir invariant på båda sidor. Läraren stänger för variationen i högerledet även på tavlan när en elev ger förslaget 22=19+3 men läraren godkänner endast svar i form av 22= Planering lektion två (grupp 2) Den 17 november träffade vi Lena för att planera lektion nummer två som skulle vara med grupp 2. Planeringen startade med att vi gemensamt tittade på videodokumenteringen från den första lektionen som vi hade med grupp 1. Under denna analys av lektionen blev vi och 33

34 läraren tillsammans medvetna om att fokus under större delen av lektionen inte hamnade på likhetstecknet och dess betydelse. Fokus under den första lektionen hamnade istället på växling av tiostavar och talmönster som bildades. Genom balansvågen kunde eleverna få en konkret bild av att likhetstecknet står för ekvivalens. Därför beslöt vi att använda balansvågen med ett likhetstecken på även under lektion två. För att undvika att elevernas fokus återigen skulle hamna på växling av tiostavar bestämde vi oss för att endast använda nya centikuber av plast. Valet av att använda centikuber av plast gjorde vi för att försäkra oss om att alla centikuber skulle väga lika mycket. Vågen skulle endast visa ekvivalens om det var samma antal centikuber på båda sidorna i vågskålarna. Vi diskuterade att valet av uppgiften 7+_=_-7 inte var speciellt bra eftersom det fanns en risk att elevernas fokus åter skulle hamna på att se talmönster. Vi är medvetna om att det är viktigt att eleverna lär sig att se mönster i matematiken, men har valt att bortse från detta eftersom det inte var intentionen med lektionen. Vi valde trots detta åter att använda samma uppgift eftersom många elever hade problem med den på förkunskapstestet. Samtidigt bestämde vi att uppgiften 7+_=_-7 inte skulle få lika stort utrymme under den andra lektionen. I uppgiften skulle sjuorna återigen hållas invarianta och variationen skulle vara i de tomma rutorna. Eleverna skulle få komma med ett par förslag som skulle visas på vågen och samtidigt skrivas på tavlan. Lena skulle precis som i planeringen av lektion ett poängtera lika mycket som eller är lika med för att förstärka att likhetstecknet står för ekvivalens. Vi bestämde oss för att ändra upplägget på den andra lektionen. Lena skulle börja med att skriva uppgiften 22=_ på tavlan och därefter visa den på vågen. Anledningen till detta var att genom denna uppgift skulle vi tydligt kunna visa för eleverna när vågen visade att det var ekvivalent eller inte. På detta sätt skulle eleverna fokusera på den kritiska aspekten i lärandeobjektet nämligen att likhetstecknet står för ekvivalens. I denna uppgift skulle talet 22 hållas konstant och delarna av helheten 22 variera. För att eleverna skulle vara mer aktiva under den andra lektionen bestämde vi att de skulle få arbeta i par. Varje par skulle komma på egna förslag om hur det var möjligt att skriva 22=22 på olika sätt. Förslagen skulle eleverna sedan presentera på tavlan och Lena skulle gå igenom de olika förslagen och betona om det är lika mycket på båda sidor om likhetstecknet. Därefter skulle Lena skriva 20+2=19+3=14+8= 34

35 för att visa eleverna att de går att sätta flera likhetstecken efter varandra. Eleverna ska komma med egna förslag och Lena får diskutera med dem om det är möjligt att sätta likhetstecken efter. Vi bestämde att vi skulle använda uppgift nummer nio _+_=_-_ från förkunskapstestet (se bilaga 2) där variationen finns i alla de tomma rutorna. Eleverna skulle precis som i förgående uppgift arbeta i par och redovisa sina förslag på tavlan. Lena skulle gå igenom de olika parens förslag och tillsammans med eleverna konstatera om där är lika mycket på båda sidor om likhetstecknet. Lektionen skall knytas ihop med att läraren skriver 22=_ på tavlan och därefter lägger tjugotvå centikuber på vågen. Eleverna får säga hur många centikuber det skall vara på högersidan för att kunna sätta likhetstecken. Lektionen avslutas med att eleverna får göra ett efterkunskapstest om likhetstecknets betydelse (se bilaga 2) Genomförande av lektion två Lektion två inleds med att läraren skrev ett likhetstecken på tavlan och frågade vad det betyder. En elev svarade att det ska vara lika mycket på båda sidor. Läraren presenterade nästa moment genom att skriva 22= på tavlan och introducerade de nya centikuberna. Hon la tjugotvå centikuber på vänstra vågskålen och frågade hur mycket det ska vara på andra sidan. Eleven Johanna svarade att det ska vara tjugotvå på andra sidan. Läraren frågade om hon är säker på sitt svar och eleven var säker på sitt svar. Läraren placerade tjugotvå centikuber på andra vågskålen och det konstaterades att det var lika mycket på båda sidor. I nästa moment skrev läraren 22=24 på tavlan. 35

36 Excerpt 4 Läraren: Om jag då skriver så här [skriver på tavlan 22=24]. Fia? Fia: Minus två Läraren: Jaså varför det? Fia: Jo om den [pekar] för annars blir det inte lika mycket. Minus på tjugofyra Läraren: [skriver till -2 på tavlan, 22=24-2] så blir det lika mycket då? [visar på vågen] Tjugofyra minus två. Lika mycket som tjugotvå. Ja, precis lika mycket på båda sidorna. Ja det var väl inte så dumt. Bild 2 hämtad från film lektion 2 Eleverna fick sedan ut ett tomt rutat papper där de parvis skulle hitta på egna förslag som är lika med tjugotvå. De fick sedan parvis bestämma sig för en favorit som de skulle skriva på tavlan. Elevernas förslag som skrevs på tavlan var: 22= = 22= = = Lena gick igenom alla uppgifterna med eleverna. Hon började med uppgiften 22=23 1 och frågade eleverna om det är lika mycket. Eleverna svarade i kör att det är lika mycket. Därefter pekade Lena på 22=44/2 och eleverna svarade att det är lika mycket. Lena frågade då om det verkligen är lika mycket och då blev eleverna osäkra och svarade att det inte är lika mycket. Lena ringar in uppgiften och säger fyrtiofyra delat med två vad blir det? En elev svarade tjugotvå och Lena frågade om det är lika mycket som tjugotvå. Eleverna svarade då i kör att det är lika mycket. Därefter gick Lena igenom resterande uppgifter på liknande sätt och eleverna fick bekräfta att det var tjugotvå på båda sidor om likhetstecknet. Nästa uppgift som presenterades för eleverna är 7+_=_-7 och de tog ett exempel gemensamt på vågen. Det gemensamma exemplet utmynnar i 7+3=17 7. Läraren frågar nu eleverna om de kan hitta på andra tal som kan stå i uppgiften och skriver 7+_=_-7 på tavlan. 36

37 Excerpt 5 Läraren: Utan vågen, kan vi komma på andra tal som kan stå här [pekar 7+_=_-7] för att det ska bli lika mycket på båda sidorna? Skarpa hjärnor. Agaton? Agaton: mmm man tar plus sju där [ pekar på vänsterledet] å sen är lika med fjorton, minus sju Läraren: [skriver 7+7=14-7] är det lika mycket på båda sidor nu? Eleverna i kör: Nää Läraren: Vad ska där stå istället då? Agaton? Agaton: ohörbart Läraren: Vad behöver du ha? För att där ska vara, hur mycket ska där vara kvar, när du är klar. Agaton: Lika mycket Läraren: Lika mycket och hur mycket är det här? Agaton: Fjorton Läraren: Jaa, och vad behöver du ha där då för att där ska vara fjorton kvar [ pekar på 7+7=14-7] Agaton: Sju till Läraren: Sju mer ja och vad blir det? Agaton: 21 Det följer ytterligare exempel med samma uppgift. Läraren bad om fler förslag och en flicka säger sju plus åtta och Lena skriver det på tavlan. Flickan fortsätter med att säga sju plus åtta är lika med tjugo minus fem. Läraren påpekar för flickan att hon inte får ändra den invarianta sjuan. Lena frågar flickan vilket tal som skall stå på den tomma platsen i högerledet. Flickan säger efter lite tvekan tjugotvå och Lena skriver 7+8=22 7 på tavlan. Lena frågar eleverna om där är lika mycket på båda sidorna och en elev säger att det är det inte. Därefter frågar Lena eleverna hur mycket sju plus åtta är och en flicka säger femton. Därefter frågar hon en pojke hur mycket tjugotvå minus sju är och pojken svarar femton. Eleverna får då möjlighet att erfara att det är lika mycket på båda sidor om likhetstecknet. I nästa moment skriver läraren _+_=_-_ på tavlan och ber eleverna arbeta i samma par som innan och hitta på egna lösningar på uppgiften. 37

38 På bilden till vänster ser man ett elevpar som arbetar med lösningar på uppgiften. Även lösningarna från första uppgiften syns. Bild 3 hämtad från film lektion2 Precis som tidigare i lektionen fick eleverna välja en lösning som de skulle skriva på tavlan. Elevernas svar som skrevs på tavlan var: 6+8= = = = = Lena gick igenom elevernas förslag i tur och ordning för att kontrollera att det är lika mycket på båda sidor om likhetstecknet. Hon började med att peka på 7+4=13 2 och frågade eleverna hur mycket det är på sidorna. En flicka svarade att det är elva på båda sidor. Lena bekräftade elevens svar och går vidare till uppgiften = och frågar eleverna om det är lika mycket på båda sidor. Eleverna svarade i kör att det är lika mycket. Lena frågade då eleverna hur mycket det är på varje sida om likhetstecknet. En pojke svarade att det är tvåtusen på varje sida och Lena bekräftade pojkens svar. Därefter gick Lena igenom de andra uppgifterna med eleverna efter samma princip som nämnts ovan och tillsammans konstaterade de att det är lika mycket på båda sidor om likhetstecknet. Excerpt 6 Läraren: Vad började vi med, kommer ni ihåg det? Agaton: Tjugotvå minus. Läraren: Vad började vi med? Jag kommer ihåg att vi hade lagt tjugotvå på den sidan [lägger tjugotvå på vågens ena sida och skriver 22= på tavlan] Eleverna småpratar (ohörbart) Läraren: Jens 38

39 Jens: Tjugotvå Läraren: [lägger tjugotvå på vågens andra sida] Ja [skriver på tavlan 22=22] och det var lika mycket. Det sista som sker är att eleverna genomför eftertest 1 (se bilaga 2) Resultat lektion två Diagrammet nedan visar resultatet från grupp 2 i form av antalet rätt på förkunskapstest respektive efterkunskapstest. Diagram 3: Y-axeln representerar antalet elever och X-axeln representerar uppgifterna från FK betyder förkunskapstest. EK betyder efterkunskapstest. Resultatet på förkunskapstestet för grupp 2var något lägre än resultatet för grupp 1, det skiljde fyra procent mellan grupperna. Grupp 2 har förbättrat sitt resultat med sjutton procent på efterkunskapstestet. I grupp 1 var det i huvudsak förbättring på en uppgift, medan det i grupp 2 skett en förbättring på flera olika uppgifter. De uppgifter som det skett en tydlig förbättring på är uppgift nummer tre: 7+_=_-7, nummer fem: 16 6=_+5, nummer sju: 32+_-_=32-_+_, nummer åtta: 499= _ samt uppgift nummer tio: 19=19 kan du skriva detta på något annat sätt. I dessa uppgifter har ökningen varit antingen tre eller fyra elever som angett ett korrekt svar jämfört med förkunskapstestet. Precis som i grupp 1 löste alla elever i grupp 2 uppgiften 499=_ korrekt. Under lektionen med grupp 2 arbetade eleverna med att skriva talet 22 på olika sätt. De arbetade även med uppgiften 22=22. På eftertestet gjorde grupp 2 den största 39