Eller så tar man pq-regeln

Transkript

1 Rapport2012vt00034 Institutionen för pedagogik, didaktik och utbildningsstudier Examensarbete i utbildningsvetenskap inom allmänt utbildningsområde, 15 hp Eller så tar man pq-regeln En studie av gymnasieelevers resonemang när de löser integraluppgifter David Höglund Handledare: Lovisa Sumpter Examinator: Anna Danielsson

2 Sammanfattning Studiens syfte är att undersöka vilka resonemang som gymnasieelever använder när de löser integraluppgifter efter Lithners (2008) ramverk för matematiska resonemang. Fyra elevers resonemang har undersökts genom en kvalitativ analys av videobservationer där eleverna individuellt löser integraluppgifter. Majoriteten av resonemangen i studien kategoriserades som imitativa och saknade ofta matematisk grund. Matematiska resonemang som kännetecknas av matematisk grund och en rimlig argumentation förekom i mycket begränsad utsträckning. Ett av resonemangen som urskiljdes i analysen kunde inte kategoriseras inom Lithners ramverk för matematiska resonemang. Resonemanget kategoriserades med inspiration av Haegermark Lundins (2011, s.28) definition för Kreativt begränsade resonemang (KBR). Nyckelord: observationsstudie, integralbegreppet, matematiska resonemang, gymnasiet.

3 Innehållsförteckning 1. Inledning Bakgrund Litteraturöversikt Tidigare forskning Integralbegreppet Teoretiskt ramverk för matematiska resonemang Imitativa resonemang (IR) Kreativt matematiskt grundade resonemang (KMR) Kreativa resonemang Syfte och frågeställning Metod Urval Metod för datainsamling Metod för analys av data Kritiskt betänkande över metoden Etiska överväganden Resultat & Analys Kreativt matematiskt grundade resonemang (KMR) Kreativt begränsat resonemang (KBR) Familjärt algoritmiskt resonemang (FAR) Begränsat algoritmiskt resonemang (BAR) Guidat algoritmiskt resonemang (GAR) Sammanfattning av resultatet Diskussion Konklusion Referenser Bilagor Informationsbrev till deltagarna i studien Integraluppgifter... 36

4 1. Inledning Att den matematiska förståelsen i den svenska skolan har sjunkit det senaste decenniet är oroväckande (TIMMS advanced, 2009, s.8). Matematisk förståelse är viktig för att bland annat tolka fenomen i vardagen och samhället. Vetenskap som område har generellt sett en mer eller mindre stark koppling till matematiken vilket får konsekvenser då elevers förståelse av matematik försämras. För att närmare förstå och utvärdera elever förståelse och förmåga för matematik kan man undersöka elevers matematiska resonemang. Tidigare forskning om elevers resonemang för avancerad matematik visar att svenska elever oftast använder imitativa resonemang. För att åskådliggöra elevernas resonemang utgår studien från Lithners ramverk för imitativa och kreativa matematiska resonemang (Lithner, 2008). Denna studie ämnar att bredda bilden av elevers resonemang för avancerad matematik genom att studera ett begreppsområde som inte studerats tidigare utifrån Lithners ramverk. Studiens syfte är att undersöka gymnasieelevers resonemang när de löser integraluppgifter. 4

5 2. Bakgrund Den svenska skolan har varit föremål för en intensiv debatt de senaste åren. Debatten har kretsat kring svenska elevers sjunkande skolresultat i internationella jämförelser och faktorerna bakom detta. Matematik är ett av ämnena där svenska elevers prestationer har försämrats i internationella jämförelser (Skolverket, 2009, s.8). TIMSS advanced 2008 (skolverket, 2009) visar att gymnasieelevers kunskaper i avancerad matematik på det naturvetenskapliga programmet har försämrats avsevärt jämfört med TIMMS studie från 1995 (ibid.). Forskning visar att svenska elever i hög grad använder sig av imitativa resonemang när de löser matematiska uppgifter. De använder sällan matematiska välgrundade lösningar utan använder memorerade algoritmer när de löser matematiska problem (Lithner, 2008, s.255). Lithner hävdar att den största faktorn till elevers inlärningssvårigheter och försämrade resultat i matematikämnet beror på att eleverna är begränsade till imitativa resonemang. Studier visar även att skolans nationella prov i matematik i hög grad innehåller uppgifter som kräver mer av eleverna än att applicera memorerade algoritmer och lösningar (Boesen, Lithner, & Palm, 2005, s.221). Integralbegreppet tillhör det centrala innehållet för de högre matematikkurserna på gymnasiet, matematik D & E för lpf94 och matematik 4&5 för gy2011 (skolverket, 2012a; skolverket, 2012b). Trots att integralbegreppet är centralt för de senare matematikkurserna har svenska elevers resonemang när de löser matematiska problem av integralkaraktär ännu inte utforskats. De internationella studier som har undersökt elevers förmåga att använda integralbegreppet visar att elever har svårt att tolka och lösa integraluppgifter i vidare bemärkelse (Mahir, 2009, s.207). Elever har även svårigheter i att återskapa en meningsfull definition av integralbegreppet (Orton, 1983, 9-12; Rasslan, 2002, s.8). Den här studien ämnar undersöka vilka resonemang svenska gymnasieelever använder när de löser integraluppgifter. På vilket sätt använder svenska gymnasieelever kreativa matematiska och imitativa resonemang? 5

6 3. Litteraturöversikt 3.1. Tidigare forskning Det finns flera perspektiv inom matematikdidaktisk forskning för hur man diskuterar och analyserar elevers matematiska förståelse. För att bedöma elevers matematiska förståelse använder Tall och Vinner (1981) begreppen concept image och concept definition. Concept image och concept definition benämns som begreppsbild och begreppsdefinition på svenska där begreppsbilden är summan av de mentala bilder, egenskaper och processer en individ har om ett visst matematiskt begrepp. Genom att använda begreppsbild och begreppsdefinition kan man studera elevers föreställningar och förståelse om olika matematiska begrepp och definitioner. Ett annat perspektiv på matematisk förståelse presenteras i det danska projektet KOM: Competencies and the Learning of Mathematics. KOM utvecklades som ett svar på de sjunkande resultaten i den danska matematikundervisningen (Niss, 2002, s.2). Inom KOM-projektets ramar har man kommit fram till vilka kompetenser den matematiska förståelsen utgörs av. Perspektiven brister dock i sin användbarhet när man praktiskt vill kategorisera matematiska resonemang utifrån kvalitativa skillnader. Lithners (2008) teoretiska perspektiv skiljer sig på så vis att det inte försöker beskriva elevernas föreställningar om matematiska begrepp. Det centrala i Lithners ramverk är att registrera och kategorisera de matematiska resonemang eleverna använder när de löser matematiska problem. Fördelen med att använda sig av Lithners ramverk är att ramverket är väldefinierat utifrån de kategorier av resonemang som man funnit i empiriska studier. Ramverket är flexibelt eftersom det även inkluderar resonemang som inte är matematiskt korrekta. Lithner använder även en bredare definition för vad en rimlig argumentation är. Definitionen är på så sätt mer anpassad till elevers skolverklighet. Begreppet resonemang har en tydlig definition och beskriver den process från när eleven registrerar en problemsituation tills dess att en slutsats nåtts (Lithner, 2008). Lithners ramverk kan delas in i två huvudkategorier av resonemang; imitativa resonemang (IR) och kreativt matematiska resonemang (KMR). Resonemangen kategoriseras som imitativt då det enda som krävs av eleven är att följa en viss modell eller exempel. Vid kreativa resonemang låser sig inte eleven fast vid ett algoritmiskt tänkande utan skapar en ny lösning som är matematiskt förankrad. Tidigare studier av elevers matematiska resonemang efter Lithners ramverk har framför allt varit fokuserad på matematikundervisning för gymnasiet och universitetet. Analyser av gymnasielärares egenkonstruerade matematikprov visar bland annat att majoriteten av 6

7 provuppgifterna endast kräver imitativa resonemang för att lösas (Boesen, 2006, s.12). Ett resultat som överensstämmer med Bergqvists (2007a, s.368) analys av provuppgifter i grundläggande universitetets kurser i matematisk analys. Orsaken att så få uppgifter kräver kreativa matematiska resonemang beror enligt Boesen (2006, s.12) på tre faktorer. 1) Lärarna är ofta inte medvetna om vilka resonemang som krävs för att lösa olika problem, 2) låga förväntningar på elevernas förmåga och 3) en önskan att alla elever skall klara proven. Tranbecks (2010, s.2) studier tyder även på att lärarnas genomgångar i liten utsträckning uppfyller kraven för KMR. Imitativa resonemang är den mest förekommande kategorin av matematiska resonemang för grundskolans senare år och gymnasiet (Sumpter, 2009; Bergqvist, 2007b; Lithner, 2008). Elevers förmåga att använda KMR för att lösa matematiska problem verkar korrelera mot en begränsad konceptuell förståelse (Bergqvist et al, 2007b, s,11). Bergqvist har även funnit att elever på det naturvetenskapliga programmet till största delen bygger sin argumentation på ytliga antaganden när de löser matematiska problem. Studier av elevers matematiska resonemang i de lägre åldrarna är ytterst begränsad. Två examensarbeten riktade mot de tidigare åldrarna ställer dock frågan huruvida Lithners ramverk klassificerar samtliga resonemang som eleverna för (Davidsson & Hidefält, 2011; Haegermark Lundin, 2011). Davidsson & Hidefält (2011) och Lundin (2011) har funnit och definierat resonemang som inte kan kategoriseras efter Lithners ramverk. De nya resonemangskategorierna har klassificerats som kreativt begränsade resonemang (KBR) och kreativt algoritmiska resonemang (KAR). Resultatet av Haegermark Lundins (2011) studie stämmer för övrigt inte överens med den etablerade bilden av förhållandet mellan KMR och IR. Även om studien är begränsad i omfattning ställer den intressanta frågor om lågstadieelevers förmåga till KMR. Forskning där man har studerat elevers resonemang och förståelse om integralbegreppet är mycket begränsad. I de studier där man har undersökt elevers tankegångar och förmåga att använda sig av integralbegreppet hittar man inga studier där svenska elever har varit i fokus. I dagsläget finns det ingen publicerad studie som har undersökt hur elever resonerar när de löser integralproblem utifrån Lithners (2008) ramverk. Internationella studier på elever och studenter som läser motsvarande avancerad gymnasiematematik har visat att majoriteten av eleverna ofta inte kan återskapa en meningsfull definition av integralbegreppet (Orton, 1983, 9-12; Rasslan, 2002, s.8). Ett resultat som stämmer överens med resultatet från studier där man har studerat elevers förståelse av gränsvärdesberäkning utifrån begreppen koncept bild och koncept definition (Tall & Vinner, 1981, s.160). De har även svårigheter i att tolka och lösa integralproblem i vidare bemärkelse. En studie på turkiska universitetsstudenter visar att studenter löser integraluppgifter på rutin och föredrar memorerade lösningsstrategier som 7

8 kräver mindre konceptuell förståelse (Mahir, 2009, s.207). Sumpter (2008, s.1) har även visat att gymnasieelevers förväntningar har stor påverkan på vad de grundar sina centrala beslut på när de löser maxi- och minimiproblem. Eleverna brister även i hänsynstagandet till de inre matematiska egenskaperna Integralbegreppet Integralbegreppet är en central del i förståelsen av den matematiska analysen. Vanligtvis hänvisar man till integralen som arean under kurvan eller som antiderivatan. Kiselman och Mouwitz (2008) definierar integralen av en reell funktion över ett intervall som "arean räknad med tecken av den yta som begränsas av grafen till funktionen, x-axeln och de båda vertikala linjerna genom intervallets ändpunkter" (Kiselman & Mouwitz, 2008, s.169). (Bild från Wikipedia commons) Bild 3. Integralen ges av arean med tecken under funktionskurvan. Integralen av funktionen för intervallet kan skrivas som. Integraltecknet representerar summan av areorna av en mängd rektanglar som begränsas av, - axeln och, där delar in intervallet i antal rektanglar. Låter vi gå mot noll närmar sig integralen värdet på arean mellan kan därför ses som en gränsvärdesberäkning. Primitiva funktionen är en funktion vars derivata ger och -axeln som representeras i bild 3. Integralen kallar vi för primitiva funktionen., vilket kan skrivas som. Att beräkna integralen från [a,b] är detsamma som att beräkna differensen av primitiva funktionen för värdena a och b på intervallet [a,b], det vill säga. (Kiselman & Mouwitz, 2008; s ) 3.3. Teoretiskt ramverk för matematiska resonemang Lithner (2008) definierar resonemang som den tankegång som producerar påståenden och slutsatser när man löser matematiska problem. Resonemangen behöver inte vara av en strikt 8

9 logisk karaktär (Lithner, 2008, s.260). Det viktiga är valet av strategi och att de påståenden som motiverar valet av lösning är rimliga för den resonerande. Kärnan i Lithners ramverk ligger i att karakterisera resonemang. För att åskådligöra och kategorisera resonemang använder sig Lithner av en resonemangsstruktur. Resonemangsstrukturen är uppdelad i fyra steg för att synliggöra den process från när ett problem registrerats till dess att en slutsats är nådd. 1. En problemsituation (PS) identifieras när det inte längre är uppenbart hur man vidare löser uppgiften. 2. Ett strategival (SV) görs. Strategi kan innebära allt ifrån att minnas, konstruera, upptäcka eller gissa sig fram till en lösning. Kan stödjas av förutsägande argumentation som besvarar frågan: Varför löser denna strategi problemet? 3. Strategin implementeras (SI) och kan kompletteras med en verifierande argumentation: Varför löste strategin problemet? 4. En slutsats (S) är nådd. (Lithner, 2008, s.257) Argumentation i steg II och III syftar till det innehåll som används för att övertyga användaren eller en utomstående att strategin är lämpligt för att lösa problemet. Argumentationens kvalité bedöms utifrån hur väl den överensstämmer med de sociomatematiska normer som råder (Sumpter, 2009, s.8). Det centrala är hur välförankrad argumentationen är i de inneboende matematiska egenskaperna hos de objekt som resonemanget innehåller. Vi illustrerar detta med ett exempel. Exempel: Vilket är störst av och? Lithner (2008, s.261) använder begrepp inneboende och ytliga matematiska egenskaper för att avgöra hur välförankrad argumentationen är. De som står ovanför exponenten på (3 och 2) i exemplet ovan är de ytliga egenskaperna medan integrationen av funktionerna [0,1] är den inneboende matematiska egenskapen i exemplet. Om argumentationen bygger på att 3 är större än 2 så har man inte tagit hänsyn till de inneboende egenskaperna för objektet och man har då argumenterat utifrån de ytliga egenskaperna i problemet. Lithner (2008) delar in matematiska resonemang i två huvudkategorier, kreativt matematiskt grundade och imitativa resonemang. Se bild 1 för en överblick av Lithners ramverk. 9

10 Kreativa matematiska resonemang(kmr) Guidat AR Matematiska resonemang Imitativa resonemang(ir) Algoritmiskt resonemang(ar) Begränsat AR Familjärt AR Memorerade resonemang(mr) Bild 1. En sammanställning av Lithners (2008) kategorier för matematiska resonemang Imitativa resonemang (IR) Imitativa resonemang är den vanligaste kategorin av resonemang som elever använder sig av när de löser matematiska problem (Lithner 2008). Resonemangen kategoriseras som imitativa eftersom det enda som krävs av eleven är att följa en viss modell eller exempel. Imitativa resonemang grundar sig ofta på matematiska problems ytliga egenskaper. Resonemang av imitativ karaktär kan vara fruktlösa för att ta sig ur en problemsituation (Sumpter, 2009, s.8). Man tror att den fokus som finns på att elever skall memorera fakta och algoritmer ligger bakom många av de inlärningssvårigheter som finns i matematikämnet (Lithner, 2008, s.255). I empiriska studier av elevers resonemang har man kunnat urskilja två huvudkategorier av imitativa resonemang. Nedan följer en definition och beskrivning av memorerade och algoritmiska resonemang. Memorerade resonemang (MR) Ett memorerat resonemang uppfyller följande kriterier. i). Strategivalet går ut på att minnas ett fullständigt svar. ii). Strategins implementeringen går ut på att skriva ner svaret. Man kan beskriva de olika delarna av svaret utan att ta de andra delarna i beaktning. Exempel: Hur många dl går det på en liter eller hur många cm går det på en meter? Är exempel på frågeställningar där memorerad fakta och lösningar räcker för att lösa uppgiften. Algoritmiska resonemang (AR) Gemensamt för algoritmiska resonemang är att de uppfyller följande kriterier. 10

11 i). Strategivalet grundar sig i att minnas en uppsättning regler som garanterar att man får ett rätt svar. ii). Strategins implementering består av att följa de uppsatta reglerna. Det resterande resonerande är trivialt där endast slarv orsakar ett felaktigt svar. Exempel: Användningen av liggande stolen när man löser divisionsproblem är ett exempel på ett algoritmiskt resonemang. Algoritmiska resonemang kan delas in i tre subkategorier. Familjär AR (FAR) karakteriseras av att det centrala i elevens strategival är att känna igen ett problem som familjärt. Där den familjära typen av problem löses av en specifik algoritm. Exempel på detta är när eleverna letar efter nyckelord i uppgiften som associerar till en för eleven känd algoritm. Guidad AR (GAR) kännetecknas av att elevens lösning förs fram av en yttre källa. Man kan dela upp guidad AR i två kategorier. Den ena är textbaserad där eleven identifierar likheter med exempel, definitioner eller teorem för att lösa uppgiften. Den andra kategorin är i de fall eleven lotsas fram i sitt resonemang med hjälp av feedback från en lärare. Begränsat AR (BAR) får vi när eleven väljer en algoritm utifrån den totala mängden av algoritmer som eleven har till sitt förfogande. Valet av algoritm görs utifrån de ytliga egenskaperna i uppgiften. Ingen verifierande argumentation förs vid implementeringen av algoritmen. Ger algoritmen inte det svar som lösaren förväntar sig avbryts algoritmen. En ny algoritm väljs sedan utifrån ett begränsat urval av kända algoritmer Kreativt matematiskt grundade resonemang (KMR) Ett resonemang som uppfyller nedanstående kriterier benämns som kreativt matematiskt grundade resonemang (KMR). (i). Nyhet. En för individen ny resonemangssekvens skapas eller en glömd återskapas. (ii). Rimlighet. Det finns argument som stärker strategivalet och/eller strategins implementering som motiverar varför lösningen är sann eller rimlig. Chansningar och vaga intentioner ses inte som rimliga argument. (iii). Matematisk grund. Argumenten är förankrade i de inneboende matematiska egenskaperna hos de komponenter som ingår i resonemanget. För att ett argument skall vara förankrat krävs det att man använder matematiska objekt på sådant sätt att de relaterar till varandra på ett korrekt sätt. Ett argument där man hävdar att integralen av en funktion är arean mellan funktionen och -axeln är ett exempel på ett argument som är förankrat i de inneboende egenskaperna hos matematiska objekt. Jämför man 11

12 två integralers storhet genom att jämföra exponentens storlek utan att ta hänsyn till integrationen över intervallet bygger man sitt argument på objektets ytliga egenskaper, se exempel på sida 6. ( Lithner, 2008, s.266) Även om rimlighet är en central del av KMR argumenterar Lithner (2008) för att elevens mått av rimlighet inte ska jämställas med strikt logik som används vid bevisföring. Eleverna uppmanas till exempel i skolan att gissa och chansa där kraven på användandet av strikt logik är begränsad. Viktigare är det att eleven kan bedöma olika alternativs rimlighet utifrån uppgiftens karaktär. Kreativa resonemang behöver inte vara utmanande utan kan bygga på enkla tankegångar (Lithner, 2008; Sumpter, 2009). Studier har visat att elever ytterst sällan för kreativa matematiska resonemang. Att eleverna sällan för kreativa matematiska resonemang får konsekvenser för eleverna när de bland annat skriver nationella prov eftersom dessa i hög grad kräver kreativa matematiska resonemang för att lösa (Boesen, 2006, s11) Kreativa resonemang Lithners (2008) ramverk saknar en definition av kreativa resonemang. Lithner definierar kreativa matematiska resonemang men inte vad ett kreativt resonemang är. Studier på lågstadieelevers matematiska resonemang i form av examensarbeten tyder på luckor i Lithners ramverk. Man har funnit resonemang som delvis uppfyller kriterierna för KMR (Haegermark Lundin, 2011; Davidsson & Hidefält, 2011). Två nya kategorier av resonemang som delvis uppfyller KMR har identifierats. Davidsson & Hidefält (2011, s.22) var först med att kategorisera kreativt algoritmiska resonemang (KAR). Fler fynd av KAR i de lägre åldrarna återfinns i Haegermark Lundins (2011, s.27) resultat. Haegermark Lundin fann i sin examensstudie ytterligare ett resonemang som inte passar in i Lithner ramverk. Resonemanget kategoriserades som kreativt begränsade resonemang (KBR). Gemensamt för KBR och KAR är att de uppfyller kriteriet nyhet för KMR. Enligt Haegermark Lundin (2011) saknar KAR rimlig argumentation och behöver inte stå på en matematisk grund. KBR karakteriseras precis som KMR av nyhet, rimlighet och matematisk grund. Däremot är KBR begränsad "i argumentationens rimlighet och i den matematiska grunden" (Haegermark Lundin, 2011, s.28). I denna studie kommer en utökad definition av KBR att användas för att inkludera resonemang som är begränsad i argumentationens rimlighet och/eller i den matematiska grunden. Där tilläget 'eller' vidgar definitionen för vad som klassas som KBR. 12

13 Jag hävdar att definitionen av kreativa resonemang rimligtvis bör inkludera KMR samt de kategorier som inte går att sammanföra med imitativa resonemang som KAR och KBR. Sriraman i Liljedahl & Sriraman (2006) definierar ett kreativt resonemang som 1) en process som resulterar i en ovanlig (nyhet) insiktsfull lösning till ett givet problem och/eller 2) formulerar nya frågeställningar som belyser eller skapar förutsättningar att se ett problem från en annan vinkel (Sriraman, 2006, s.19). Haylock (1997, s.68) konstaterar att det inte finns en entydig definition av kreativa resonemang. Kreativa resonemang används enligt Haylock för att beskriva 1) en avvikande tankegång som övervinner fixering och/eller 2) en produkt som av någon anledning uppfattas som kreativ, till exempel en musikal eller ett konstverk. Lithner anser att kreativt resonerande oftast används som ett "hooray word" eftersom definitionen vanligtvis går att ifrågasätta samtidigt som kreativitet är egenskap som värderas högt (Lithner, 2008, s.267). För att undvika en mångtydig definition av kreativa resonemang föreslår jag att resonemang som uppfyller det följande kriteriet klassas som kreativa resonemang; (i). Nyhet. En för individen ny resonemangssekvens skapas eller en glömd återskapas. Kriteriet ovan är densamma som kriteriet nyhet för KMR. Argumentationen behöver inte vara matematiskt grundad eller åtföljas av en rimlig argumentation för att resonemanget skall klassificeras som ett kreativt resonemang. Definitionen ovan är inte utan problem utan skall ses som en ansats till att förtydliga hur KBR och KAR relaterar till Lithners (2008) ramverk. I Bild 2 illustrerar hur kreativa resonemang, KBR och KAR relaterar till Lithners (2008) ramverk. Kreativa matematiska resonemang(kmr) Kreativa resonemang Kreativt begränsat resonemang(kbr) Matematiska resonemang Kreativt algoritmiskt resonemang(kar) Guidat AR (GAR) Imitativa resonemang(ir) Algoritmiskt resonemang(ar) Memorerade resonemang(mr) Begränsat AR (BAR) Familjärt AR (FAR) Bild 2. En sammanställning av Lithners (2008) kategorier för matematiska resonemang. Där de streckade resonemangen är tillägg till Lithners (2008) ramverk efter studier av lågstadielevers resonemang. 13

14 4. Syfte och frågeställning Studiens huvudsyfte är att utforska de resonemang gymnasieelever för när de löser integralproblem. Elevernas resonemang kommer att kategoriseras utifrån Lithners teoribildning om imitativa och kreativa resonemang. Studiens övergripande frågeställningen är: Vilka typer av resonemang, kategoriserade efter Lithners ramverk, för eleverna när de löser integralproblem? Utöver den övergripande frågeställningen tillkommer det två frågeställningar: 1. På vilket sätt använder eleverna sig av den matematiska grunden vid kreativa resonemang? 2. Vad förankrar eleverna sin argumentation i vid imitativa resonemang? 14

15 5. Metod Avsnittet utgörs av en beskrivning av hur urvalet, datainsamlandet och analysen har genomförts. Studien använder sig av beprövade metoder och forskningsetiska principer för att besvara studiens syfte och frågeställningar. Studiens resultat bygger på den data som samlats in vid fyra observationstillfällena där eleverna enskilt löst integraluppgifter Urval För att undersöka vilka resonemang eleverna använder när elever löser matematiska uppgifter av integralkaraktär har jag observerat fyra elever. Eleverna går i åk 3 på naturvetarprogrammet och är den sista årskullen av elever som läser matematik E efter gy94 kursplaner. De har avslutat kurs D vilket är den kurs på gymnasiet då man introduceras för integralbegreppet. Mitt val av elevgrupp beror delvis på att jag tidigare auskulterat under en längre period i gruppen. Min tidigare kontakt med eleverna bör öka sannolikheten för att eleverna kan tänkas delta i min studie. För att garantera att eleverna som ingår i studien har en tillräckligt hög kunskaps nivå för att forma resonemang så är eleverna utvalda utifrån ett G+/VG- spektrum. Elever med MVG i betyg valdes bort eftersom uppgifterna annars skulle behöva röra sig utanför det centrala innehållet i kursen. Urvalet gjordes i samråd med den betygsättande läraren och ett registerutdrag av elevernas betyg i matematik D. Studiens möjligheter att studera elevers imitativa och kreativa resonemang ställer krav på valet av uppgift. Det är viktigt för studien att eleverna ställs inför en problemsituation. För att åstadkomma en problemsituation har jag valt att utgå från Haglund, Hedrén och Taflins (2005) definition av ett matematiskt problem. En elev skall alltså 1) vilja och behöva lösa problemet, 2) personen har på förhand inte något givet tillvägagångssätt för att lösa det, 3) det skall även krävas en ansträngning för att lösa problemet (Haglund, Hedrén & Taflins, 2005, s.27-28). De inkluderade problemen får alltså inte vara för lätta för eleven eftersom tillvägagångssättet då skulle vara, givet samt inte kräva någon ansträngning. De får inte heller vara för komplicerade eftersom det då finns en risk för att eleven inte påbörjar uppgiften och det då inte skapas någon problemsituation som kan analyseras. Man bör även ta hänsyn till att problemets lösning eller möjliga lösningar innehåller delar av familjära tillvägagångssätt och algoritmer eftersom problemen annars riskerar att utesluta möjligheten att analysera elevers imitativa resonemang. (Bergqvist, Lithner & Sumpter, 2007b, s.7) 15

16 Enligt Boesen (2006) kräver majoriteten av de uppgifter som nationella provet innehåller att eleverna använder sig av kreativa resonemang. Därför är uppgift 1 och 2 tagna från gamla nationella prov för matematik D (Skolverket, 2005). Den sista uppgiften är hämtad från elevernas kursbok (Björk & Brolin, 2000). För att säkerställa att mitt val av uppgift uppfyller de uppställda kriterierna har jag använt mig av samma kursbok som eleverna använt när de läst matematik D. På så sätt har jag kunnat avgöra hur familjära uppgifterna är och vilken svårighetsgrad de har. Samtliga uppgifter som användes i studien återfinns i bilaga Metod för datainsamling Valet av metod skall alltid beaktas i relation till forskningsfrågan (Einarsson & Chirac, 2002, s.15). Forskningsfrågan i denna studie är inriktad på att undersöka elevers resonemang när de löser matematiska problem. Studien i sig gör inget kvantitativt anspråk på att besvara hur vanligt det är att svenska gymnasieelever använder sig av olika resonemang. Genom att kvalitativt studera elever i problemsituationer vill jag säga något om deras resonemang. För att studera elevernas resonemang har jag likt Lithner (2008) och Sumpter (2009) valt deltagande observation som metod. Observationens fördel tillskillnad från andra metoder är att man i observationen studerar vad som faktiskt händer (Einarsson & Chirac, 2002, s.22). Observatörens närvaro och deltagande i observationen påverkar dess utfall. De möjliga fördelar en deltagande observation för med sig överväger dock de negativa för studien. Observationerna av de fyra eleverna utfördes enskilt i en klassrumsmiljö. Innan observationerna påbörjades förklarade jag studiens syfte för eleven. Observationerna varade snitt i 30 minuter. Eleven fick instruktioner av mig om att tala högt och resonera kring sina lösningar. Jag förtydligade för eleven att det intressanta för studien inte var huruvida eleven löste problemen korrekt utan hur de går till väga för att lösa dem. Uppgifterna introducerades för eleven en och en, för att öka elevens fokus på den aktuella uppgiften och minimera press. För att lösa uppgifterna fick eleverna använda standardartefakter som penna, sudd, linjal och miniräknare. De tillfällen då eleven tystnade eller om det var oklart hur eleven hade resonerat ställde jag frågor till eleven. För att öka tillförlitligheten i datainsamlandet mellan de olika observationerna använde jag mig av ett stödmaterial. Materialet bestod av en mall där jag innan observationerna antecknat ner svarsalternativ och frågor som jag fann lämpliga att använda under observationerna. Stödmaterialet användes för att minska risken för ett inkonsekvent förhållningssätt till de olika eleverna. Mallen hjälpte mig även genom att jag blev mer förberedd på att agera sakligt och att undvika att ta den bekräftande lärarrollen som eleverna sökte. 16

17 Observationerna i studien ställde stora krav på mig som observatör att vara närvarande och delaktig under observationerna. Genom att använda videokamera som tekniskt hjälpmedel kunde jag med relativt god precision fånga det som uttrycktes och gestikulerades under observationstillfället (Einarsson & Chirac, 2002, s.25). Kameran monterades snett bakom eleverna för att fånga elevernas anteckningar i relation till deras muntliga resonemang men även för att göra videokamerans närvaro mindre märkbar för eleven. Videoobservationerna transkriberades sedan för att analyseras tillsammans med elevernas anteckningar. Möjligheten att gå tillbaka och titta på ursprungsmaterialet flera gånger ökar studiens reliabilitet eftersom jag minskar risken för slumpmässiga fel (Esaiasson, Giljam, Oscarsson & Wängerud, 2012, s.63) Metod för analys av data Det första steget i analysen var att grovtranskribera samtliga observationer. I dialogen som fördes mellan observatören och deltagaren dokumenterades subjektiva tonfall och känsloyttringar mycket sparsamt. Gester som eleverna använde nedtecknades i transkriptionen då dessa var av betydelse för att följa elevens resonemang. Transkriptionerna ställdes sedan mot elevernas skriftliga lösningar där en grovanalys gjordes för att avgöra huruvida en problemsituation (PS) har uppstått. Uppfattades uppgiften som en rutinuppgift klassades det som av rutinkaraktär och utsätts inte för djupare analys. Till varje problemsituation (PS) urskiljdes ett strategival (SV), en strategiimplementering (SI) samt en slutsats (S). För varje SV studerades argumentationen för de centrala besluten som fattades för att se vad argumentationen förankrades i. Problemsituationerna diskuterades och kategoriserades efter Lithners (2008) ramverk för imitativa och kreativa matematiska resonemang. En sammanfattning av resultatet samt ett urval som i detalj beskriver de olika resonemangen presenteras i resultatdelen Kritiskt betänkande över metoden Två kritiska betänkligheter framgår från observationssituationerna. Den första är hur representativt det insamlade materialet är för elevernas naturliga resonemang samt hur jag som deltagande observatör kan ha påverkat den data som samlats in. En observationssituation är konstruerad och skiljer sig från den vanliga klassrumssituationen. Jag kunde notera att den konstruerade situationen hade en påverkan på hur avslappnade eleverna var. Att videokameran skulle ha påverkat eleverna mer än något annat i den redan konstlade observationsmiljön kunde jag inte observera med ett undantag då Sara frågade om 17

18 jag skulle klippa i materialet efter observationen. Deras nervositet kunde noteras redan innan eleven hade introducerats för observationsmiljön. Jag anser att de inledande spänningarna inte påverkade resultatet i större grad eftersom de avtog under observationernas gång. I efterhand kan det anmärkas att jag som observatör uttalade en mängd utfyllande ljud som "aa" och "mm" under observationstillfället. Huruvida dessa läten har påverkat resultatet är oklart. I det inspelade materialet finns det dock ingen stark indikation på att mina utfyllnadsläten har påverkat mer än att bekräfta att jag är insatt i elevens argumentation. Möjligheten att gå tillbaka till det inspelade filmmaterialet och elevernas egna anteckningar gav mig en hög grad av struktur vilket bidrog till att höja studiens reliabilitet (Einarsson & Chirac, 2002, 42-45; Esaiasson et al, 2012, s.57). Genom att systematiskt analysera och argumentera för mina metodval och slutsatser i studien försäkrar jag att validiteten är god (Einarsson et al, 2002, s.42-45). Studien har dock stora begränsningar i sin generaliserbarhet. Man kan i en studie av fyra elevers resonemang inte säga något om hur representativ resonemangen är för hela populationen av elever som läser matematik D Etiska överväganden All forskning har en etisk dimension. Enligt Vetenskapsrådet (2002) bör varje vetenskaplig undersökning beakta de möjliga negativa konsekvenser som studiedeltagarna kan tänkas utsättas för. För att garantera att de eventuellt negativa konsekvenserna som studien kan föra med sig på studiedeltagarna beaktas har Vetenskapsrådet utformat fyra allmänna huvudkrav (Vetenskaprådet, 2002). Dessa fyra krav benämns som informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet. För att försäkra mig om att studien uppfyllde informationskravet och samtyckeskravet informerade jag samtliga elever, lärare samt berörd rektor om studien. Samtliga parter gav samtycke till min studie även om jag endast samlade in skriftligt samtycken från eleverna i form av ett informationsbrev (se bilaga 1). Nyttjandekravet uppfylls av att jag garanterar att den data jag samlat in endast används för den avsedda studien. För att garantera att materialet inte återanvänds i andra sammanhang makuleras den data som samlats in underobservationerna. Den data som inte makuleras arkiveras enligt de normer som föreligger för examensarbeten på Uppsala Universitet. Konfidentialitetskravet syftar till att dölja de personuppgifter som kan vara känsliga för deltagaren. Detta kan man göra genom att till exempel koda den data som studien bygger på såtillvida att det för utomstående vore omöjligt eller svårt att avgöra vilka studiedeltagarna är. För att uppfylla konfidentialitetskravet i min studie kodade jag elevernas namn och utelämnade identifierbara beskrivningar av skolan/skolorna i studien. (Vetenskapsrådet, 2002) 18

19 6. Resultat & Analys Resultatet i den här studien bygger på individuella observationer av fyra gymnasieelever när de löser integralproblem. 17 problemsituationer identifierades i analysen. Majoriteten av resonemangen som återfanns i studien kategoriserades som algoritmiska resonemang; 15 av 17 resonemang kategoriserades som algoritmiska resonemang (AR). Av dessa var 12 familjära AR, två guidade AR och ett begränsat AR. Förekomsten av kreativa resonemang var mycket begränsad. Kreativa resonemang förekom i två fall. Endast ett kreativt resonemang kategoriserades som kreativt matematiskt resonemang (KMR). Det andra resonemanget kunde inte identifieras inom Lithner (2008) ramverk. Resonemanget uppfyllde delar av kriterierna för ett KMR som rimlighet men inte den matematiska grunden. Resonemanget kategoriserades som kreativt begränsat resonemang (KBR) då med ett tillägg till Haegermark Lundins (2011, s.28) definition. Inga memorerade resonemang identifierades i analysen. Nedan presenteras ett urval av KMR, KBR, FAR, GAR, och BAR. Urvalet är strukturerat utifrån de olika resonemangskategorierna och valda för att skapa en representativ bild av studiens resultat. Varje resonemang illustreras med en dialog där observatören betecknas som O. Under rubrikerna resonemangsstruktur och resonemang analyseras och kategoriseras elevens resonemang Kreativt matematiskt grundade resonemang (KMR) KMR kännetecknas av tre kriterier; nyhet, rimlighet och matematisk grund. Uppfyller resonemanget alla tre kriterierna kategoriseras resonemanget som ett KMR. KMR är ett resonemang där en ny eller gammal resonemangssekvens skapas. Argumentationen är rimlig genom att den stärker elevens val av strategi. Argumentationen måste även ha en matematisk grund. Påståenden och antaganden skall överensstämma med de inre matematiska egenskaperna. Exempel 1 I Jims strategi för att lösa uppgift 2 ingår det att bestämma lutningen för den primitiva funktionen. I dialogen nedan fångas Jims resonemang när han ifrågasätter huruvida hans beräkning av funktionens lutning stämmer. Till varje exempel följer en dialog och en resonemangsstruktur. 19

20 Uppgift 2 Dialog: J: Fem på -axeln, tre på -axeln, alltså fem genom tre då får du ett steg... tror jag [studerar grafen] J: Nej det bli fel. Det ska vara tre genom fem... för fem genom tre, är större än ett... men den är ju mindre än ett [markerar förändringen på -axeln för en längdenhet på -axeln] J: på en ruta tar den sig upp mindre än ett steg. Så det blir tre genom fem för funktionen stora av Resonemangsstruktur: PS: Stämmer k-värdet? SV: Studerar grafen SI: Ser att lutningen är mellan 0 och 1 S: k-värdet är 3/5 Resonemang: Jim uppvisar samtliga tre kriterier för ett kreativt matematiskt grundat resonemang. Hans första ansats utför han mekaniskt även om han visar att han är osäker när han säger "tror jag". När han sedan utvärderar över huruvida hans första förslag på lutning är korrekt ser vi hur han återskapar en gammal resonemangssekvens för att bestämma om lutningen stämmer. Han uppfyller på så sätt det första kriteriet för KMR det vill säga nyhet. Jim för en rimlig argumentation som bekräftar att hans lösningsstrategi stämmer när han säger att "på en x ruta tar den sig upp mindre än ett steg" samtidigt som han pekar på hur grafen förändras. Vilket är en rimlig argumentation över varför lutningen är 3/5 och inte 5/3. Strategin stödjer sig även på de inre matematiska egenskaperna då lutningen bestäms av 20

21 . Vilket innebär att argumentationen är förankrad i relevanta matematiska egenskaper. Jim skapar en ny resonemangssekvens där han för en rimlig argumentation som är förankrad i de inre matematiska egenskaperna. Resonemanget kategoriseras därför som KMR Kreativt begränsat resonemang (KBR) Likt KMR i Lithners (2008) ramverk karakteriseras KBR av nyhet. Skillnaden mellan resonemangen är att ett KBR brister i rimlighet och/eller den matematiska grunden (Haegermark Lundin, 2011, s.28). Där "eller" är mitt tillägg för att utöka definitionen av KBR. Exempel 2 I resonemanget som fångas nedan för Jim en dialog där han undersöker frågeställningen i uppgift 3. Jim för en rimlig argumentation utifrån antaganden om areor och integraler som delvis bygger på de matematiska objektens inre matematiska egenskaper. Uppgift 3 Dialog: J: Vilket är det minsta värde som kan anta [...] J: Blir inte det här lite av en kuggfråga då? Om kan vara lika med noll...kör man då integralen från noll till noll så får man ju noll... för då har man ju liksom ingen yta alls att ta arean under [visar med händerna att man inte har någon yta för ] J: Så då blir ju av lika med noll... om man tar integralen från noll till noll O: Är det ditt svar? J: Det står ju här funktionen definieras av... är integralen av den där funktionen [pekar på ] J: kan vara lika med noll. Då kör man ju bara integralen från noll till noll. Om vi säger att är noll, då blir O: Mm lika med noll. Eller vänta, frågan är... eller kör man 21

22 J: Nej, man kan inte få ett negativt värde i en integral. Man kan inte ha minus nånting arean... då får jag svara likväl att det blir noll Resonemangsstruktur: PS: Bestäm minsta värdet av SV: Visa att ger det minsta värdet för SI: Till viss del tveksam men överlag säker i argumentationen. S: Det minsta värde som kan anta är noll. Resonemang: Jims fråga "Blir inte det här lite av en kuggfråga då?" visar att han är försatt i en PS. Hans argumentation innehåller inga tecken på att vara förankrad i de ytliga matematiska egenskaper i uppgiftsformuleringen, som att hitta den familjära algoritmen som löser uppgiften. Han skapar istället en ny resonemangssekvens. Han uppfyller på så sätt kriteriet för nyhet som ingår i KBR och KMR. Antagandena som Jim bygger sin argumentation på är rimliga även om den inte är fullständigt förankrad i korrekta matematiska antaganden. Jim antar i början av dialogen att "kör man då integralen från noll till noll så får man ju noll" något som han motiverar med att "då har man ju liksom ingen yta alls att ta arean under". Argumentationen har i det fallet både en matematisk grund och uppfyller kravet på rimlighet. Jim använder konsekvent antagandet att integralen ger en area i sin argumentation. Detta bekräftas när han säger "nej man kan inte få ett negativt värde i en integral. Man kan inte ha minus nånting arean". Jim argumentation är förankrad i två antaganden. Integraler beräknar areor och man kan inte ha negativa areor. Antagandena är väldigt nära komponenternas inre matematiska egenskaper. Det Jim inte tar hänsyn till är att integraler kan vara negativa eftersom de beräknar ytan mellan funktionen och -axeln med tecken framför (Kiselman & Mouwitz, 2008; s ). Det finns en inre logik i Jims antaganden som han bygger sin argumentation på vilket gör den rimlig. Jim för en rimlig argumentation och uppfyller därmed rimlighetskravet för KMR. Antagandena brister däremot i sin förankring i de inre matematiska egenskaperna. Resonemanget kategoriseras som KBR eftersom det inte fullt uppfyller kravet för matematisk grund Familjärt algoritmiskt resonemang (FAR) Resonemang där man försöker finna problemet som familjärt kategoriserar vi som familjära algoritmiska resonemang. Strategivalet blir att använda en algoritm som associerar till en 22

23 familjär uppgift. Lösning fås genom att använda en algoritm som associeras till den familjära uppgiften. Exempel 3a I dialogen nedan ser vi hur Sara bestämmer intervallet för integralen i uppgift 1 genom att använda en familjär metod. Uppgift 1 Dialog: S: Men jag vet inte...om jag nu tar pq-regeln O: Nu sa du pq-regeln S: Aa, på den där [pekar på ]...då blir det ju är lika med en halv plus minus roten ur [Sara applicerar pq-regeln på ] S: En halv upphöjt i två plus fyra, det blir en halv [slår på miniräknaren] S: Sen roten ur 4,25...det här är så fel O: Nu blev det fel, varför blev det fel? S: Nä, det känns inte rätt O: Det känns inge rätt? Kan du motivera mer varför... S: Eftersom det skulle kännas mer rätt om det var ett jämnt tal som jag hade fått ut nu. Det är därför som det känns fel. Med tanke på att den här är jämn [pekar på framför ] S: Oh, my god! det skulle ändå...om jag tänker på det jag kan just nu och det är från matte E då hade jag gjort det på det här sättet Resonemangssekvens: 23

24 PS: Bestämma intervallet för integralen SV: löser med pq-regeln SI: Implementeringen är säker. Osäker över svaret. S: x 1 =2,6 x 2 =-1,6 Resonemang: Sara använder en familjär algoritm när hon löser ut x genom att använda pq-formeln på. Hennes strategival saknar matematisk grund och saknar en förutsägande argumentation för varför strategin löser problemet. Implementeringen är snabb och säker. Implementeringen av strategin ger henne en slutsats som hon inte förväntat sig. Hon för en bekräftande argumentation som är förankrad i det familjära när hon säger "men om jag tänker på matte E så hade jag gjort så här". Det familjära strategivalet och argumentationen visar att resonemanget är ett FAR. Exempel 3b Daniel börjar uppgiften med att fråga observatören om uppgiften är en ekvation. När han inte får ett svar av observatören utvecklar han integralen. Uttrycket han får för sätter han lika med noll. Dialogen nedan börjar innan Daniel utvecklar integralen. Uppgift 3 Dialog: D: Är det här en ekvation? [Daniel utvecklar integralen i lite mindre än 5 minuter och får ett uttryck med endast i för ] D: Alltså svaret här skall bli lika med noll [sätter uttrycket lika med noll] [tittar på observatören frågandes] O: Det är ingenting som jag kan svara på...du tänker alltså att när du har hittat lösningen är det där lika med noll? D: Ja O: Är det, de du sa? 24

25 D: Du vet enligt uppgiften så står det att inte får vara mindre än noll... [pekar med pennan på uppgiften] D: Däremot får den vara lika med noll eller? O: Kan du visa mig på papperet? D: får inte vara mindre än noll... [pekar på ]...alltså den får bara vara större än noll, och också lika med noll. Antingen lika med noll eller större [...] D: Aa, nu skall jag lösa för...nu blir det en ekvation för mig [utvecklar ekvationen tills han får ] D: Nää, jag har fastnat Resonemangsstruktur: PS: Bestämma ett värdet för SV: Lösa ekvationen SI: Säker. Blir osäker när han får S: Inget och avbryter Resonemang: Daniels strategival är förankrat i de ytliga matematiska egenskaperna i uppgiften. Det förs ingen förutsägande diskussion över huruvida hans strategival löser uppgiften. Han utvecklar uttrycket korrekt. Daniels strategival att sätta saknar matematisk grund. Det han konstruerar när han sätter uttrycket lika med noll är ett familjärt problem. Lösningen för det familjära problem erhålls av en (för Daniel) välkänd metod vilket är ett kännetecken för FAR. Implementeringen av ekvationslösningen är säker fram till han får. Lösningen avbryts hastigt och ingen slutsats erhålls Begränsat algoritmiskt resonemang (BAR) Det centrala i BAR är att algoritmen väljs utifrån uppgiftens ytliga egenskaper. Implementeringen sker utan en verifierande argumentation. Ger inte algoritmen en tillfredställande lösning överges algoritmen för en ny algoritm. Exempel 4 I dialogen nedan ser vi hur Sara väljer en algoritm som står på en matematisk grund för att sedan förkasta sin algoritm och ersätta den med en algoritm utan matematisk grund. 25

26 Uppgift 1 Dialog: S: Så ska jag ta ut vad är alltså vad dom här. Vad säger man [gör gester som kan tolkas värdena över och under integraltecknet] S: Dom två värdena där, som man stopper in O: Två värdena som man stoppar in? S: Aa... då är det här... [Sätter ] S: Så fel O:Vad har du gjort där? S: Jag har tagit det där lika med det där [pekar på och ] [...] S: Men det här är ju och det här är...är jag på rätt spår? O: Det får jag inte säga S: Det känns så himla fel men...men om jag gör det här då blir det...men då kan jag inte ta... eller så tar man pq-regeln så får man ut. Resonemangsstruktur: PS: Bestämma intervallet för integralen SV: Finn värdet för när SI: Skriver upp ekvationen. Osäker S: Osäker. Sara väljer en ny strategi. Resonemang: Sara söker efter värdena som bestämmer intervallet på integralen som hon vill beräkna. När 26

27 hon uttrycker sig som att det är "så fel" och "är jag på rätt spår" visar det att hon är försatt i en problemsituation där det inte är uppenbart hur hon bör gå tillväga. Saras argumentation är förankrad i problemets ytliga egenskaper även om strategivalet som hon gör är korrekt för att bestämma vilka världen på som innesluter integralen. Hade hennes strategival kompletterats med en förklaring för varför hennes metod ger oss intervallet hade det inte varit ett begränsat algoritmiskt resonemang. Det förs heller ingen verifierande argumentation över varför strategin inte förser Sara med en tillfredsställande lösning. Hon avfärdar sin strategi och gör ett nytt strategival. Situationen klassas som BAR när man gör ett nytt strategival utan att ha fört en verifierande argumentation om varför hennes strategival inte löser ekvationen. Det nya strategivalet behandlas inte i detta avsnitt eftersom resonemanget är av annan karaktär Guidat algoritmiskt resonemang (GAR) Strategivalet i ett guidat algoritmiskt resonemang är att hitta likheter med uppgiftsformuleringen och en yttre källa. Källa kan bland annat vara ett exempel, en definition eller att följa en lärares instruktioner. Exempel 5 I exemplet nedan ser ni Klara bestämma relationen mellan funktionerna och studera sin lösning från uppgift 1. genom att Uppgift 2 Dialog: K: Men om det där är en primitiv funktion av den. Så måste nån typ vara nåns derivata. Jag måste bara komma på vad är primitiva funktionen...får jag kolla på min förra uppgift? O: Ja, du kan få kolla på din förra uppgift 27

28 [ger tillbaks uppgift 1 till eleven] K: Jag glömmer bort... det där är en primitiv funktion [pekar på primitiva funktionen i hennes lösning från uppgift 1] Åhh... det snurrar i mitt huvud Okej, om det där är [pekar på ] Så är det där sådär [pekar först på och sen på primitiva funktionen i uppgift 1] O:Visa mig nått på papperet här K: Alltså om man deriverar den [pekar på ]...så får man den [pekar på ]...okej men då hänger jag med lite Resonemangsstruktur: PS: Bestämma relationen mellan funktionerna och SV: Jämför med lösningen från tidigare uppgift SI: Osäker S: Deriverar man får man. Säker Resonemang: Klara är osäker över hur relaterar till. Hon anar att någon av funktionerna är derivatan av den andra funktionen när hon säger "om det där är en primitiv funktion av den. Så måste nån typ vara nåns derivata". För att bestämma relationen väljer hon att studera en yttre källa det vill säga hennes lösning från uppgift 1. Vi ser att hon använder sin lösning som mall och exempel när hon bland annat pekar på och sedan primitiva funktionen i uppgift 1. Klaras strategival att använda uppgift 1 som exempel gör det till ett textguidat algoritmiskt resonemang Sammanfattning av resultatet Förekomsten av kreativa resonemang var ytterst begränsad. Majoriteten av resonemangen var imitativa. Varav 12 av 15 IR kategoriseras som FAR. Elevernas argumentation grundade sig sällan på de inre matematiska egenskaperna även om det kunde observeras i några enstaka fall. Två kategorier av kreativa resonemang förekom, KMR och KBR. Det var samma elev som gav upphov till de kreativa resonemangen. KBR ingår inte i Lithners (2008) ramverk utan är en resonemangskategori definierad av Haegermark Lundin (2011, s.28). KBR uppfyller kravet på nyhet i KMR men är begränsad i rimlighet och den matematiska grunden. Det resonemang som kategoriserats som KBR i studien uppfyller båda kriteriet för nyhet och/eller rimlighet för KMR men brister i den matematiska grunden. Där 'eller' är mitt 28