Hitta på något själv..hm..så att det blir jämnt?

Transkript

1 Institutionen för pedagogik, didaktik och utbildningsstudier Examensarbete i utbildningsvetenskap inom allmänt utbildningsområde, 15 hp Rapport2011ht4981 Hitta på något själv..hm..så att det blir jämnt? En kvalitativ studie av elevers resonemang vid lösning av matematiska problem om lika med Sofia Haegermark Lundin Handledare: Lovisa Sumpter Examinator: Martin Karlberg

2 Sammanfattning Internationell forskning visar att svenska elever presterar sämre i matematik i jämförelse med genomsnittet av elever i andra länder, där en förklaring tycks vara att eleverna inte har en full förståelse för begreppet lika med vid ekvationslösning. En annan förklaringsmodell kan vara att elevers resonemang tenderar att vara imitativa istället för baserade på matematisk grund. Kreativa resonemang däremot, som behövs för att skapa duktiga problemlösare, kräver att eleven verkligen använder den matematiska grunden. Denna studie undersöker elevers matematiska resonemang vid lösning av problem baserade på begreppet lika med. Elever i årskurs 2 har genom kvalitativ metod studerats med hjälp av videoobservationer när de enskilt i en laborationsliknande situation löst problemuppgifter om lika med. Resultaten visar på en ovanligt stor mängd kreativa resonemang. Tidigare studier avseende elevers matematiska resonemang har gjorts på äldre elever, vilket kan vara en av förklaringarna till detta avvikande resultat. Nyckelord: kvalitativ studie, lika med, matematiska resonemang, grundskolans tidigare år 2

3 Innehållsförteckning 1. Inledning Bakgrund Teoretiskt ramverk för matematiska resonemang Lika med-begreppet Syfte och frågeställningar Metod Urval och avgränsningar Datainsamlingsmetod Metod för dataanalys Reflektioner över metoden Forskningsetiska reflektioner Resultat Familjärt algoritmiskt resonemang, FAR Begränsat algoritmiskt resonemang, BAR Memorerat resonemang, MR Kreativt matematiskt grundat resonemang, KMR Kreativt algoritmiskt resonemang, KAR Kreativt begränsat resonemang, KBR Sammanfattning av resultat Diskussion Konklusion Referenslista Bilaga

4 1. Inledning Svenska elever i årskurs 4 presterar på en lägre nivå i matematik än genomsnittet av de 59 länder som deltar i TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) internationella studie (Skolverket, 2008, s. 8). Studien visar också att andelen högpresterande elever i matematik är lägre i Sverige än genomsnittet av de övriga deltagande länderna (Skolverket, 2008, s. 8). Djupanalyser av resultaten från TIMSS (Skolverket, 2008, s. 29) studie visar bland annat att svenska elever har en skev uppfattning om likhetstecknets betydelse, det vill säga många anser att lika med är detsamma som det blir i stället för är lika med. En korrekt förståelse av begreppet lika med är av stor betydelse för elevers möjligheter att kunna lösa ekvationer (Skolverket, 2008, s. 29). Arbete med ekvationer i skolan är en form av matematisk problemlösning som kan ge eleverna en möjlighet att utveckla sin förmåga att tänka logiskt, strukturerat och det kan dessutom öka elevernas lust att arbeta med matematik. Genom problemlösning förbereds även eleverna för att lösa matematiska problem som i framtiden kan uppstå i yrkes- eller vardagslivet (Haglund, Hedrén & Taflin, 2005, s. 13), vilket gör problemlösning och tillhörande matematiska resonemang till ett viktigt område inom matematiken. I min studie har jag valt att undersöka hur elever i årskurs 2 för matematiska resonemang vid problemlösning, där uppgifterna har baserats på begreppet lika med. Enligt Lithner (2008, s. 256) kan elevers matematiska resonemang vid problemlösning delas in i två huvudgrenar: imitativa resonemang och kreativa resonemang. Generellt uttryckt är det de kreativa resonemangen som krävs för att skapa duktiga problemlösare i framtiden (Lithner, 2008, s. 255). Forskning visar dock att elever i mycket stor omfattning väljer imitativa resonemang, vilket är den viktigaste orsaken till att elever har svårigheter med att prestera och lära sig matematik (Lithner, 2008, s. 255). I kursplanen för matematik står det bland kunskapskraven för årskurs 3 ( att: Eleven kan föra och följa matematiska resonemang om val av metoder och räknesätt.. Tidigare studier avseende elevers matematiska resonemang har mestadels omfattat äldre elever, det vill säga elever i högstadiet, gymnasiet eller universitetet (Bergqvist, 2006; Perner, 2010; Sumpter, 2009; Øystein, 2011), vilket gör det intressant att studera barn i tidiga skolår. Dessutom visade en av de få studier som gjorts på yngre elever, nämligen barn i årskurs 2 (Davidsson & Hidefält, 2008) på resultat med fler kreativa former av resonemang än i studierna av äldre elever. Ytterligare studier avseende elevers matematiska resonemang i årskurs 2 kan därför vara av stort intresse för att se vilka resultat en sådan studie skulle kunna ge i jämförelse 4

5 med tidigare forskning. Resultaten från denna studie kan ge möjlighet till ökad kunskap om utveckling av elevers matematiska resonemang och förståelse för undervisning i problemlösning. 5

6 2. Bakgrund I detta avsnitt kommer bakgrunden till undersökningen att presenteras, vilket bland annat omfattar teoretiskt ramverk, definitioner av begrepp, kursplaner, tidigare forskning samt övrig litteratur som berör studiens innehåll. På grund av den starka kopplingen mellan den teoretiska bakgrunden och övrig forskning på området kommer dessa delar att gemensamt presenteras under denna rubrik. Vart fjärde år gör TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) en undersökning av elevers kunskaper i matematik och naturvetenskap i årskurserna 4 och 8. Detta är en internationell studie där 59 EU- och OECD-länder ingår. Den senaste undersökningen visade att svenska elever i årskurs 4 presterade på en lägre nivå i matematik än genomsnittet av de länder som deltar (Skolverket, 2008, s. 8). Även andelen högpresterande elever var betydligt färre i Sverige, men Sverige hade dock inte fler lågpresterande än genomsnittet. Ett skäl till undersökningens resultat var att svenska elever är sämre på att använda begrepp och fakta i matematik. Ett av dessa begrepp är lika med, vilket kommer att presenteras vidare i avsnitt 2.2. Tidigare forskning har visat att en viktig anledning till att elever lär sig och presterar sämre i matematik beror på vilka matematiska resonemang elever för när de löser matematiska problem (Lithner, 2008, s. 255). Lithner (2008) har utarbetat ett teoretiskt ramverk avseende matematiska resonemang där en uppdelning görs mellan imitativa och kreativa resonemang. De kreativa resonemangen är viktiga för att eleverna ska bli duktiga problemlösare, eftersom de kreativa resonemangen kräver en förståelse av den matematiska grunden. Forskning har dock visat att det är de imitativa resonemangen som dominerar och är en viktig anledningen till att elever har svårigheter i matematik (Lithner, 2008, s. 255). Min studie utgår från Lithners (2008) teoriramverk, vilket redovisas i följande avsnitt Teoretiskt ramverk för matematiska resonemang Lithners (2008) teoretiska ramverk avseende matematiska resonemang har arbetats fram med syfte att kunna beskriva och särskilja imitativa resonemang från kreativa resonemang. Ramverket syftar också till att förklara varför olika resonemang används av problemlösare och vilka konsekvenser dessa kan leda till (Lithner, 2008, s. 256). Begreppet matematiska resonemang används i många sammanhang för att beteckna någon form av resonemang med hög kvalitet, men begreppet definieras mycket sällan (Bergqvist, 2006, s. 14). I kursplanen för matematik ( står det följande avseende matematiska resonemang: 6

7 Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar förmågan att argumentera logiskt och utföra matematiska resonemang. och Eleven kan föra och följa matematiska resonemang om val av metoder och räknesätt.. Min studie kommer att utgå från den definition som Lithner (2008, s. 257) presenterar i sitt ramverk, där matematiska resonemang definieras såsom de tankeprocesser som hör ihop med att man gör påståenden och når slutsatser när man löser uppgifter. Resonemangen behöver inte nödvändigtvis vara logiska eller kunna bevisas. Att lösa en uppgift kan ses såsom en resonemangsstruktur i fyra steg (Lithner, 2008, s. 257): 1. En problemsituation (PS) uppstår. Problemlösaren möter en uppgift som för denne inte är helt självklar hur den ska lösas. 2. Ett strategival (SV) görs. Strategin kan innefatta allt från lokala procedurer till generella metoder. Ordet val ses i vid mening och kan innebära välja, minnas, konstruera, upptäcka, gissa etc. Strategivalet kan stödjas av en förutsägande argumentation: Varför kommer denna strategi att lösa uppgiften? 3. Strategin implementeras (SI). Implementeringen, det vill säga genomförandet, kan stödjas av en bekräftande argumentation: Varför löste strategin uppgiften? 4. En slutsats (S) erhålls. Utifrån resonemangsstrukturen som börjar med en uppgift och avslutas med ett svar kan man utläsa vilken typ av matematiskt resonemang som problemlösaren har fört. En viktig del i detta är vilka argument som använts i resonemanget och dessa argument kan vara ytliga, vaga eller starka (Lithner, 2008, s. 258). Förutsägande argumentation, såsom i steg 2, innefattar analys, utforskning och planering. Bekräftande argumentation, såsom i steg 3, innebär genomförande och verifiering av uppgiften (Lithner, 2008, s. 260). Ett argument kan också vara förankrat på olika sätt. Ett socialt förankrat argument innebär att problemlösaren baserar sin motivering på exempelvis information eller hjälp från en lärare eller förälder. Ett matematiskt välgrundat argument däremot innefattar hur väl komponenterna i resonemanget är förankrade i inre matematiska egenskaper. För att klargöra vad inre matematiska egenskaper är till skillnad från ytliga kan följande exempel redovisas. Vilket tal är störst av 4/5 eller 9/16? Storleken på siffrorna (4, 5, 9, 16) utgör den ytliga egenskapen som är otillräcklig för att kunna avgöra vilket tal som är störst. Kvoten däremot utgör den inre matematiska egenskapen (Lithner, 2008, s. 261). Lithners (2008) teoretiska ramverk omfattar de matematiska resonemang som framkommer vid problemlösning. Hagland, Hedrén och Taflin (2005, s. 27) definierar ett problem som en uppgift som behöver lösas, personen har inte en given procedur på förhand om hur uppgiften ska lösas samt att det krävs en ansträngning av personen för att lösa uppgiften. Om en uppgift 7

8 inte upplevs som problematisk av problemlösaren betraktas den som en rutinuppgift och faller därmed utanför det teoretiska ramverkets olika kategorier för matematiska resonemang. Problemlösning i skolan kan utveckla elevernas förmåga att tänka kreativt, strukturerat, logiskt och självständigt. Att lösa problem kan också ge eleverna ökad motivation att arbeta med matematik och lära sig mer. Målet är givetvis att arbetet med problemlösning ska ge eleverna en förberedelse inför de problemlösningssituationer eleverna i framtiden kommer att ställas inför i vardags- eller yrkeslivet (Hagland et al., 2005, s. 13). Liknande förmågor avseende problemlösning understryks i kunskapskraven för årskurs 3 ( Kategorier av resonemang Grundidén i Lithners (2008) teoretiska ramverk avseende matematiska resonemang utgörs av en uppdelning mellan imitativt resonemang och kreativt matematiskt grundat resonemang (Lithner, 2008, s. 256). De imitativa resonemangen (IR) innebär att problemlösaren minns ett svar eller att denne minns eller imiterar en lösningssekvens. De kreativt matematiskt grundade resonemangen (KMR) kännetecknas i stort av att problemlösaren grundar sina argument på inre matematiska egenskaper hos de komponenter som ingår i resonemanget. Dessa välgrundade matematiska argument saknas i IR. Matematiskt resonemang Imitativt (IR) Kreativt matematiskt grundat (KMR) Memorerat (MR) Algoritmiskt (AR) Familjärt AR (FAR) Begränsat AR (BAR) Guidat AR (GAR) Text-guidat Person-guidat Figur 1: Översikt över de olika formerna av resonemang som ingår i Lithners (2008) ramverk. Imitativa resonemang delas upp i två huvudgrupper: memorerat resonemang och algoritmiskt resonemang. Memorerat resonemang (MR) innebär ett strategival där problemlösaren minns ett helt svar och att strategin implementeras genom att problemlösaren bara skriver ned svaret. Ett exempel på detta är uppgiften: Hur många centimeter är en meter?. I ett algoritmiskt resonemang (AR) gör problemlösaren ett strategival genom att minnas en algoritm. En algoritm kan definieras som en regel som visar hur man steg för steg kan beräkna något eller lösa ett problem (Kiselman & Mouwitz, 2008, s. 128). I Lithners (2008, s. 259) ramverk definieras 8

9 algoritm såsom alla i förväg specificerade förfaranden, inte bara beräkningar. Strategivalet i AR är att minnas en algoritm som kan lösa problemet. Den förutsägande argumentationen kan variera, men det finns inget behov för problemlösaren att skapa en ny lösning. Strategin implementeras sedan enkelt genom att svaret räknas ut med hjälp av algoritmen, där endast slarvfel kan göra att svaret inte nås. AR kan genomföras både med full som begränsad förståelse av proceduren (Lithner, 2008, s. 259). Det svåraste i AR för problemlösaren är att hitta och välja en passande algoritm. Detta val kan vara baserat på ytliga överväganden, vilket gör valet matematiskt osäkert (Lithner, 2008, s. 261). AR delas i sin tur upp i tre grupper: familjärt AR, begränsat AR samt guidat AR. Familjärt AR (FAR) kännetecknas av att strategivalet bygger på att problemlösaren känner igen uppgiften sedan tidigare och inser att uppgiften kan lösas med hjälp av en algoritm som problemlösaren kan. Genomförandet av strategin består endast av att problemlösaren löser uppgiften med hjälp av algoritmen (Lithner, 2008, s. 262). FAR bygger på erfarenhet och något annat argument för strategivalet behövs inte. Begränsat AR (BAR) innebär att problemlösaren väljer en algoritm från en mängd olika algoritmer som denne känner till. Argumentationen för valet av strategi grundar sig på ytliga överväganden och beror av problemlösarens förväntningar på resultatet. Om genomförandet av strategin inte leder till ett förväntat svar, prövar problemlösaren en annan algoritm utan att göra en utvärdering (Lithner, 2008, s. 263). Guidat AR (GAR) innebär att problemlösaren använder sig av extern hjälp, vilken kan vara antingen textguidad eller personguidad. Textguidat AR kännetecknas av att problemlösaren hittar ytliga likheter mellan uppgiften i fråga och andra uppgifter, definitioner, regler eller dylikt i en text, vilket sedan avgör valet av algoritm. Algoritmen används utan verifierande argumentation. Personguidat AR innebär att en annan person, exempelvis läraren, gör alla svåra val åt problemlösaren och ger inte heller eleven någon förutsägande argumentation. Strategin genomförs utifrån guidningen och även här utan verifierande argumentation (Lithner, 2008, s. 264). Motsatsen till IR är ett kreativt matematiskt grundat resonemang (KMR). KMR kännetecknas av att följande kriterier uppfylls: 1. Nyhet. En för problemlösaren ny resonemangssekvens skapas eller att en bortglömd sekvens återskapas. 2. Rimlighet. Det finns argument som stödjer strategivalet och/eller strategigenomförandet och som motiverar varför slutsatsen är sann eller rimlig. 3. Matematisk grund. Argumenten är förankrade i inre matematiska egenskaper hos komponenterna som ingår i resonemanget. Ett KMR behöver inte vara en utmaning för problemlösaren utan kan även vara elementära resonemang. I Lithners (2008) teoriram är KMR det enda kreativa resonemang som kategoriseras 9

10 och definieras. De flesta studier visar att KMR är sällsynta och att AR är de dominerande resonemangen (Lithner, 2008, s. 266) Kreativa resonemang I Lithners (2008) teoretiska ramverk beskrivs att motsatsen till imitativa resonemang är kreativa resonemang (Lithner, 2008, s. 256). Däremot definieras inte vad kreativa resonemang är, utan det är kreativt matematiskt grundat resonemang (KMR) som kategoriseras och definieras. Vad är då ett kreativt resonemang? Enligt Haylock (1997, s. 68) finns det ingen enhetlig eller generell definition av begreppet kreativitet. Däremot används begreppet på två huvudsakliga sätt: 1. en tankeprocess som är avvikande och övervinner fixering och 2. en produkt som uppfattas kreativ av någon anledning, till exempel ett konstverk. Sriraman (Liljedahl & Sriraman, 2006, s. 19) beskriver matematisk kreativitet hos elever som 1. en process som resulterar i en ovanligt (ny) och/eller insiktsfull lösning för ett givet problem och/eller 2. formulering av nya frågor och/eller möjligheter som tillåter att gamla problem betraktas ur en ny synvinkel. Lithner (2008, s. 266) beskriver dock att ett kreativt resonemang inte behöver vara ett strikt logiskt deduktivt resonemang, som skiljer ett bevis från en gissning. Ett kreativt resonemang skiljer snarare en gissning från en mer rimlig gissning. När man studerade elevers matematiska resonemang i årskurs 2 (Davidsson et al., 2011, s. 22) identifierades ett nytt resonemang som inte ingår i Lithners ramverk (2008) men som uppfyller delar av KMR. Det nya matematiska resonemanget benämndes kreativt algoritmiskt resonemang (KAR) och kännetecknas likt KMR av kriteriet nyhet, det vill säga att en för problemlösaren ny resonemangssekvens skapas eller att en bortglömd sekvens återskapas. KMR s andra kriterie rimlighet i argumentationen saknas i KAR och i KAR behöver inte argumentationen baseras på en korrekt matematisk grund, vilket är det tredje kriteriet för KMR. I studien klassificerades KAR såsom ett IR, eftersom författarna menade att resonemanget baserades på en form av algoritmiskt strategival med en matematiskt kreativ aktivitet som inte var korrekt. Författarna placerade dock KAR i mitten på en tänkt skala där motpolerna var IR och KMR (Davidsson et al., 2011, s. 40). Bergqvist (2006, s. 36) gör i sin studie av elevers matematiska resonemang en uppdelning av KMR i lokala och globala resonemang Tidigare studier av matematiska resonemang Tidigare studier av matematiska resonemang visar att det är de imitativa resonemangen som dominerar och att de kreativt matematiskt grundade resonemangen är ovanliga (Lithner, 2008, s. 255). I de flesta av dessa studier (Bergqvist, 2006; Lithner, 2000; Perner, 2010; Sumpter, 2009; 10

11 Øystein, 2011) har eleverna varit mycket äldre än elever i grundskolans årskurs 2. I den tidigare studien av elevers matematiska resonemang i årskurs 2 visade dock att de kreativa resonemangen inte var lika sällsynta, utan KMR förekom vid ett par tillfällen (Davidsson & Hidefält, 2011, s. 40). Ett typiskt exempel på att elever väljer imitativa resonemang är när elever löser uppgifter i matematikboken, där den vanligaste strategin är att eleven identifierar likheter mellan uppgiften i fråga och ett exempel i matematikboken och sedan bara kopierar lösningsstrategin (Berqvist, 2006, s. 15). Forskning visar också att elever ofta använder imitativa resonemang på uppgifter som inte ens kan lösas med hjälp av ett sådant resonemang (Bergqvist, 2006, s. 26). När eleven märker att strategin inte fungerar prövar denne en ny bekant algoritm, ända tills alla imitativa möjligheter tagit slut. Eleven har inte förmågan att tänka kreativt, det vill säga överväga de matematiska komponenterna och deras egenskaper i uppgiften och därmed pröva en strategi som baserar sig på komponenterna och egenskaperna. Detta arbetssätt, att bara använda sig av imitativa resonemang, kan vara ett av problemen till att elever har svårt att lära sig matematik (Bergqvist, 2006, s. 26). I en tidigare studie av Lithner (2000, s. 93) framgår att elever vid problemlösning fokuserar mer på vad de kan komma ihåg sedan tidigare och sådant som är bekant än att resonera matematiskt. Genom ett matematiskt resonemang hade eleverna kunnat göra betydande framsteg. Även forskning av högpresterande gymnasieelever visade att deras matematiska resonemang var starkt kopplade till imitativa resonemang trots att uppgifterna bestod av avancerade ekvationer (Øystein, 2011, s. 193). Det var först när eleverna fick någon form av guidning som de kunde bli flexibla i sitt tänkande och föra matematiskt kreativt grundade resonemang. En av anledningarna till att elever använder imitativa resonemang kan bero på det som Brousseau (1999, s. 47) benämner det didaktiska kontraktet (Bergqvist, 2006, s. 28). Det didaktiska kontraktet avser relationen mellan elev och lärare i didaktiska situationer. Kontraktet innefattar lärarens olika former av beteenden som eleven förväntar sig och elevens olika beteenden som läraren förväntar sig. Dessa beteenden och förväntningar kan vara såväl medvetna som omedvetna (Brousseau, 1999, s. 47). Om eleven exempelvis uppfattar att läraren förväntar sig en viss typ av strategi vid problemlösning, så gör eleven det enligt teorin om det didaktiska kontraktet. Detta underförstådda kontrakt blir extra tydligt om kontraktet bryts, till exempel genom att en elev inte lyckas lösa ett problem som läraren förväntar sig av eleven eller att eleven anser att läraren givit denne en för svår uppgift (Skott, Hansen, Jess & Schou, 2010, s. 381). En annan orsak till att elever väljer imitativa resonemang kan vara att elever uppvisar ett pseudoanalytiskt beteende (Vinner, 1997, s. 113). Detta beteende innebär att eleven väljer den lösningsprocedur som kräver minst ansträngning och det är viktigare för eleven att kunna ge ett svar än att kunna förstå själva problemet. Detta beteende kan liknas vid imitativa resonemang där den matematiska grunden ersätts med exempelvis en familjär algoritm. En annan anledning kan 11

12 vara att imitativa resonemang trots allt ofta är en framgångsrik metod (Bergqvist, 2006, s. 28) som fungerar på de flesta uppgifter som eleverna stöter på. Forskning visar att elever kan bli godkända på prov genom att bara använda sig av imitativa resonemang (Bergqvist, 2006, s. 43). Anledning till att proven inte innehåller uppgifter som kräver kreativt matematiskt grundade resonemang beror enligt lärarna på att dessa uppgifter är för svåra för eleverna. Lärarna menar att eleverna har för dåliga förkunskaper för att klara av sådana resonemang (Bergqvist, 2006, s. 43). Den tidigare studien av elever i årskurs två visade på att anledningen till att det inte förekom fler KMR, kunde bero på att eleverna hade otillräcklig kunskap avseende algoritmer och matematiskt vokabulär (Davidsson et al., 2011, s. 40). Ytterligare anledning till att imitativa resonemang är de dominerande kan vara att läromedel mestadels innehåller uppgifter som kan lösas med hjälp av denna typ av resonemang (Bergqvist, 2006, s. 30). En kontinuerlig upprepning av samma typ av uppgifter kan forma elevernas förväntningar och strategival vid problemlösning, om inte eleverna får möta andra former av problem (Sumpter, 2009, s. 40). Detta kan bidra till att eleverna undviker att pröva kreativt matematiskt grundade resonemang. Studier visar också att lärare i sina genomgångar sällan visar kreativt matematiskt grundade resonemang i de uppgifter som presenteras (Tranbeck, 2010, s. 32). Detta kan leda till att eleverna inte utvecklar en förmåga att föra KMR, vilket kan påverka deras problemlösningsförmåga negativt (Tranbeck, 2010, s. 38). I den tidigare studien av elever i årskurs 2 (Davidsson et al., 2011) identifierades det nya resonemanget KAR, vilket förekom vid många av problemsituationerna. KAR kännetecknas av delar av ett kreativt matematiskt grundat resonemang och kan ses som ett mellanting mellan IR och KMR, men kategoriserades som IR av författarna. Orsaken till att KAR förekom så ofta i studien kan ha berott på att eleverna inte hade kunskap om tillräckligt många algoritmer. Om eleverna hade haft kunskap om fler algoritmer hade troligen KAR blivit BAR istället (Davidsson et al., 2011, s. 40). Min uppsats syftar till att undersöka vilka matematiska resonemang elever i årskurs 2 för vid problemlösning. Lithners (2008) teoriramverk avseende matematiska resonemang utgör utgångspunkten för studien Lika med-begreppet Lika med är ett begrepp som inom matematiken uttrycks med hjälp av ett likhetstecken (=) och används för att ange att två uttryck visar samma sak efter exempelvis en uträkning. Likhetstecknet kan utläsas både som är lika med eller bara med är (Kiselman & Mouwitz, 2008, s. 16). Likheten på båda sidor om likhetstecknet finns samtidigt och kan utläsas både från vänster till höger och vice versa (Bergsten, Häggström & Lindberg, 1997, s. 51). Att båda sidor om likhetstecknet har samma värde, kallas ibland för vänster-höger-ekvivalens (Skott, Hansen, Jess & 12

13 Schou, 2010, s. 680). Det är dock viktigt att poängtera att likhetstecknet inte ska utläsas som det blir, eftersom det uttrycket antyder att något förändras och blir något annat. (Kiselman et al., 2008, s. 16). Många elever uppfattar dock att likhetstecknet just betyder det blir, att likhetstecknet är en operator som indikerar att något ska göras. En studie av elever i årskurs 1-3 visade att mycket få av eleverna hade en full förståelse för likhetstecknets innebörd (Blomgren, 2010, s. 23). I en annan studie av elever i årskurs 3 svarade hälften av alla elever att likhetstecknet betydde det blir (Fiebig & Johansson, 2006). Denna uppfattning brukar benämnas som den dynamiska uppfattningen och kan ge elever svårigheter vid lösning av ekvationer (Skolverket, 2008, s. 29). En ekvation kan definieras såsom en matematisk uppgift som innehåller en likhet, till exempel 2 + x = 5 (Kiselman et al., 2008, s. 94). Trots omfattande försök att förändra svenska elevers uppfattning om lika med-begreppet, så lever den dynamiska uppfattningen kvar högt upp i åldrarna (Skolverket, 2008, s. 29). För att kunna lösa avancerade ekvationer krävs att eleverna istället har den statiska uppfattningen eller ekvivalensuppfattningen av likhetstecknet, det vill säga en förståelse att båda sidor om likhetstecknet är lika stora (Skolverket, 2008, s. 29). Förståelsen för likhetstecknet tas upp i kursplanen för matematik ( där det under kunskapskraven för slutet av årskurs 3 står att: Eleven kan hantera enkla och matematiska likheter och använder då likhetstecknet på ett fungerande sätt. För att öka elevers förståelse av likhetstecknets betydelse kan ett sätt vara att arbeta med uppgifter som både omfattar den statiska är uppfattningen och den dynamiska det blir uppfattningen. Ett exempelvis på detta är uppgiften: Skriv två tal som tillsammans är lika mycket som 4 + 6: = +. Denna uppgift ger möjlighet till många olika svar, till skillnad från uppgiften: =, eftersom båda leden innehåller en uträkning som stärker den statiska uppfattningen. Det visar att det högra ledet inte består av svaret i vanlig mening och medför att likhetstecknet som en svarsmarkör tonas ned. Detta ger eleven en möjlighet att uppfatta att inte blir lika mycket som 3 + 7, utan att de är lika (Bergsten et al., s. 52). Genom att arbeta med representationsformer kan likhetstecknets betydelse utvidgas och även omfatta utveckling av ekvationslösning. Den mest utbredda representationsmodellen för detta är en balansvåg i jämvikt, där jämvikten blir den fysiska representationen av likhetstecknet (Skott et al., 2010, s. 681). Jag ska i denna studie undersöka de matematiska resonemang elever för när de arbetar med problemlösning avseende uppgifter baserade på begreppet lika med, där uppgifterna är utformade med hjälp av balansvågar i jämvikt. 13

14 3. Syfte och frågeställningar Syftet med denna studie är att undersöka elevers matematiska resonemang när de löser uppgifter som innehåller begreppet lika med. Målet är att studiens resultat ska kunna ge ökad förståelse för hur elever för matematiska resonemang samt vilken matematisk grund som dessa resonemang baseras på. Den övergripande frågeställningen är: Vilka resonemang för eleverna när de löser matematiska problem som innefattar lika med? De två följdfrågorna är: 1. På vilket sätt använder eleverna sig av den matematiska grunden vid kreativa resonemang? 2. Vad ersätter eleverna den matematiska grunden med vid imitativa resonemang? 14

15 4. Metod Detta avsnitt innehåller en redogörelse över vilken metod som använts för att samla in data, vilka urval och avgränsningar som har gjorts samt hur insamlad data har analyserats. Avsnittet innehåller också ett kritiskt beaktande över vald metod samt forskningsetiska reflektioner Urval och avgränsningar I undersökningen gjordes kvalitativa observationer av fyra elever i årskurs 2. Genom att studera endast ett fåtal elever gav det möjligheter att få djupgående insikter i hur dessa elever resonerade vid problemlösning (Merriam, 1994, s. 9). Eleverna går på en kommunal skola på en mindre ort i Sverige, där den socioekonomiska miljön i genomsnitt är något över medelklass. Av de fyra eleverna var två flickor och två pojkar. Genom att välja lika många flickor som pojkar, kunde en eventuell genusskillnad begränsas i den totala analysen av resultaten. Valet av årskurs 2 berodde dels på att det tidigare inte har gjorts så många undersökningar avseende elevers matematiska resonemang i grundskolans tidiga skolår, dels på att den studie som gjorts på elever i yngre åldrar (Davidsson & Hidefält, 2011) gav indikationer på andra resultat än de empiriska studier som ligger till grund för Lithners (2008) ramverk. Den specifika klass som valdes utgjordes av den klass i vilken jag tidigare gjort min praktik och där jag byggt upp ett förtroende hos eleverna. Detta förtroende gjorde det lättare för eleverna att utföra de uppgifter som studien innehöll samt att våga samtala med mig (Esaiasson, Gilljam, Oscarsson & Wängnerud, 2009, s. 350). Urvalet har också utgått från elever som har en kunskapsnivå som motsvarar G+/VG-, för att eleverna skulle ha tillräckliga matematiska kunskaper för att kunna resonera kring uppgifterna men samtidigt uppleva att uppgifterna var problematiska. Dessutom valdes elever som inte skulle bli alltför obekväma i observationssituationen. De uppgifter som valdes ut för studien var matematikuppgifter av problemlösande karaktär, för att de skulle ge eleverna möjlighet att kunna göra matematiska resonemang. En problemuppgift karaktäriseras av att det är en uppgift som behöver lösas, personen har inte en given procedur på förhand om hur uppgiften ska lösas samt att det kräver en ansträngning för personen att lösa uppgiften (Haglund, Hedrén & Taflin, 2005, s. 27). Uppgifterna avgränsades dessutom till att de baserades på förståelse av begreppet lika med, vilket är ett viktigt begrepp som många elever i grundskolans tidiga år tyvärr har en skev uppfattning om (Skolverket, 2008, s. 29). För att studera elevernas förståelse för begreppet lika med, har samtliga uppgifter karaktären av ekvationer och utgörs av en balansvåg i jämvikt, vilket är den mest utbredda representationsmodellen för likhetstecknet (Skott, Hansen, Jess & Schou, 2010, s. 681). Genom 15

16 att arbeta med representationsformer kan likhetstecknets betydelse utvidgas och även omfatta utveckling av ekvationslösning (Skott et al., 2010, s. 681) Datainsamlingsmetod Utifrån studiens syfte och valda frågeställningar avseende elevers matematiska resonemang valde jag att göra en kvalitativ studie, där jag som forskare befann mig i den sociala verksamhet som skulle studeras. Genom en kvalitativ metod kunde elevernas handlingar och matematiska resonemang synliggöras. Fokus i kvalitativa fallstudier ligger mer på processen än på själva resultatet, vilket bidrar till att kunna besvara studiens syfte och frågeställningar (Merriam, 1994, s. 9). Utöver valet av kvalitativ metod genomfördes studien dessutom med hjälp av videoobservationer. Observationer som metod innehar den fördelen att forskaren själv är på plats och registrerar det som sker och behöver inte förlita sig på vad någon annan återberättar. Metoden är också särskilt lämplig när man vill studera processer (Esaisson et al., 2009, s. 343). Videoinspelning gör att observationerna finns lagrade på ett sådant sätt att det underlättar att kunna utföra detaljerade samtalsanalyser efteråt (Heikkilä & Sahlström, 2003, s. 28). Dessutom skulle det vara svårt, om man inte filmade, att samtidigt som eleven observeras föra ett samtal med eleven samt skriva ned alla anteckningar på ett tillfredsställande sätt (Esaiasson et al., s. 353). En nackdel med videoinspelning kan dock vara att deltagaren känner sig obekväm med att bli filmad och blir därmed hämmad i sin uppgift. Några veckor före videoobservationerna satte igång hade de deltagande eleverna och deras föräldrar fått en skriftlig information om studiens tillvägagångssätt. Föräldrarna hade även givit ett skriftligt godkännande av sina barns deltagande i studien (se vidare under rubriken: Forskningsetiska principer). Observationerna genomfördes med en elev i taget i fristående grupprum och inte i det ordinarie klassrummet, på grund av att studien ägde rum under dagtid då alla klassrum var upptagna. Filmningen med videokameran utfördes av en person som var bekant av deltagarna. Genom att få hjälp med filmningen och att videokameran monterades på ett stativ kunde möjligheterna för en god och stabil bildkvalitet öka (Heikkilä et al., 2003, s. 37). Filmningen skedde snett bakifrån eleven för att det tydligt i bild skulle framgå vilken uppgift eleven arbetade med och att det garanterade att inte elevens ansikte kom med i bild, eftersom deltagandet i studien ska vara anonymt. Precis före varje observationstillfälle informerade jag respektive elev om antalet uppgifter och om att jag inte fick hjälpa till på ett sådant sätt som skulle kunna påverka studiens resultat. Vidare informerade jag om att jag kommer att ställa frågor om hur eleven har tänkt och varför. Varje elev fick maximalt arbeta i tjugo minuter, men ingen av deltagarna behövde så lång tid. 16

17 Min roll under observationerna klassificeras som deltagande observatör, eftersom jag förutom att observera även deltog genom de samtal jag förde med eleverna (Esaiasson et al., 2009, s. 345). Dessa samtal skiljde sig dock från metoden intervju, eftersom samtalen i denna studie inte byggde på en i förhand förberedd intervju med utvalda samtalsfrågor utan på spontana frågor (Esaiasson et al., 2009, s. 298). Under samtalen satt jag bredvid eleven och antog ett i möjligaste mån objektivt förhållningssätt, för att inte påverka studiens resultat genom mitt agerande (Esaiasson et al., 2009, s. 350). Jag lät även deltagaren tänka hur länge denne ville och ställde frågor först när eleven själv sa något eller skrev något, för att denne inte skulle känna någon press. De frågor jag ställde avsåg att be eleverna att motivera sina beslut och argument. De matematikuppgifter eleverna fick lösa bestod av olika uppgifter där en våg med två vågskålar ingick. Vågen och dess skålar symboliserar begreppet lika med, det vill säga att vågskålarna ska väga jämnt. Med hjälp av vågen prövas alltså elevernas uppfattning av lika medbegreppet. Uppgifterna hämtades ur läromedlen: Matte Eldorado (Olsson & Forsbäck, 2008 och 2009) och modifierades för att anpassas till undersökningen. Detta läromedel arbetar inte eleverna i studien med i sin vanliga undervisning. Uppgifterna fanns utskrivna på tre separata blad och för varje nytt blad blev svårighetsgraden högre. Den första uppgiften hade tre deluppgifter och såg ut som följer (Ur Matte Eldorado 1B, Olsson & Forsbäck, 2008, s. 84, modifierad): 1. Vågarna väger jämnt. Fyll i så att det stämmer. Figur 2: Uppgift nr 1 I samtliga deluppgifter är målet att uppgiftslösaren ska inse att vågskålarna ska väga lika mycket på varje sida på respektive våg för att nå ett korrekt svar. Den första och andra deluppgiften kräver att eleven ska komma fram till specifika tal som ger ett korrekt svar. Uppgifterna kan ses 17

18 som ekvationer med ett obekant tal. Den tredje deluppgiften ger eleven möjlighet att välja vilka tal denne vill använda sig av i uppgiften, under förutsättning att båda leden är lika. Uppgift nummer 2 såg ut så här (Ur Matte Eldorado 2A, Olsson & Forsbäck, 2009, s. 19): 2. Vad ska du lägga på den sista vågen för att det ska väga jämnt? Figur 3: Uppgift nr 2 I uppgift nr 2 ska eleven ta hänsyn till den information som de två första vågarna ger. Denna information ska sedan sättas i relation till den tredje vågen, vilket kräver ett logiskt tänkande av eleven. Eleven får hjälp av fyra alternativ, A, B, C eller D. Även i denna uppgift är målet att eleven ska uppfatta att den sista vågen ska väga jämnt, det vill säga vågskålarna väga lika mycket på varje sida. Uppgift nr 3 såg ut som följer (Ur Matte Eldorado 2B, Olsson & Forsbäck, 2009, s. 113, modifierad): 3. Hur mycket väger katten? Figur 4: Uppgift nr 3 I uppgift nr 3 ska eleven räkna ut hur mycket katten väger, med hjälp av den information som de två vågarna tillsammans ger. Även i denna uppgift krävs ett logiskt tänkande och en matematisk förståelse av de båda vågarnas ekvivalens, det vill säga att vågskålarna ska väga jämnt. I denna uppgift har svarsförslagen tagits bort, till skillnad från uppgift 2. 18

19 4.3. Metod för dataanalys När observationerna var klara transkriberades samtliga fyra observationer. Tack vare videoinspelningarna kunde samtalen återges i detalj eftersom videoinspelning möjliggör att lyssna och se på materialet ett obegränsat antal gånger. I transkriberingarna skrevs allt tal ned, all skrift som eleverna skrev samt alla relevanta gester som syntes såsom exempelvis att eleven pekade på olika saker. Även vissa tidsangivelser noterades. Utifrån transkriberingarna analyserades materialet och uppkomna problemsituationer (PS) identifierades. De uppgifter som inte innehöll någon PS betraktades som rutinuppgifter och sållades bort, eftersom dessa inte givit upphov till sådana matematiska resonemang som ingår i Lithners (2008) teoriramverk. För de olika PS identifierades elevens strategival i uppgiften (SV), hur strategiimplementering genomförts (SI) samt vilken slutsats eleven kommit fram till (S). Utifrån de argument som eleven givit för de centrala beslut denne fattat i problemlösningen, kunde resonemanget klassificeras med hjälp av Lithners (2008) teoriramverk. I ett analysarbete är det nödvändigt att göra kategoriseringar av materialet för att på ett systematiskt sätt kunna utläsa mer djupgående mönster (Esaiasson et al., 2009, s. 356). Utifrån studiens syfte och frågeställningar har några av de matematiska resonemangen valts ut och redovisats mer i detalj i avsnittet resultat. Samtliga kategorier av de resonemang som identifierades i studien finns representerade bland resultaten Reflektioner över metoden Metoden observation med hjälp av videoinspelning fungerade i studien mycket bra och fångade många intressanta matematiska resonemang att analysera. Om man dock kritiskt beaktar studiens metod så kommer jag fram till några faktorer som kan ha haft en inverkan på studiens resultat. En av faktorerna avser risken med att använda sig av teknisk utrustning, vilket kan påverka situationens naturlighet negativt (Esaiasson et al., 2009, s. 354). Exempelvis stod stativet med videokameran väldigt nära eleverna för att kunna fånga en tydlig bild, vilket eventuellt kan ha gjort eleverna lite spända och nervösa. Även det faktum att vi inte var i det ordinarie klassrummet utan i ett grupprum kan också ha haft en inverkan på elevernas agerande. En tredje synpunkt är att jag som deltagande observatör kan ha påverkat studiens resultat genom att inte vara tillräckligt objektiv i samtalet med eleverna. Trots ovanstående invändningar anser jag att metoden observation med hjälp av videokamera var det bästa alternativet för att kunna uppnå studiens syfte och besvara dess frågeställningar. Avseende studiens tillförlitlighet anser jag att min undersökning har en hög reabilitet dels genom det faktum att jag använt mig av videoinspelning där elevens exakta ord, tonfall och pauser finns lagrade dels genom en noggrann transkribering av observationerna. Detta kan ha bidragit till att minska antalet slumpmässiga eller osystematiska fel (Esaiasson et al., 2009, s. 70). 19

20 Studiens interna validitet har i möjligaste mån säkerställts genom systematisk analys av materialet samt med underbyggda slutsatser (Esaiasson et al., 2009, s. 64; Merriam, 1994, s. 177). Avseende den externa validiteten har min studie inte som syfte att dra generaliseringar eller överföra resultaten till en klassrumssituation, utan endast indikera vilka typer av resonemang barn i årskurs 2 kan prestera när de löser matematikuppgifter som handlar om lika med. Utifrån studiens resultat finns möjlighet att få ytterligare förklaring och förståelse för undervisning i problemlösning och utveckling av elevers matematiska resonemang Forskningsetiska reflektioner Jag har i denna studie följt Vetenskapsrådets forskningsetiska principer ( för att ge deltagarna ett skydd mot bland annat kränkande behandling eller otillbörlig insyn i deras livsförhållanden. Vetenskapsrådets forskningsetiska principer innehåller fyra grundläggande individskyddskrav på forskningen: informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet samt nyttjandekravet. I studien uppfylldes informationskravet genom att de utvalda eleverna muntligen informerades om vad en medverkan i studien skulle innebära samt att en skriftlig information skickades hem till föräldrarna. I såväl den muntliga som den skriftliga informationen framgick det att deltagandet var frivilligt och att en medverkan kunde avbrytas när som helst. I den skriftliga informationen beskrevs även syftet med studien, hur den skulle gå till samt vem som var huvudman ( Samtyckeskravet uppfylldes genom att eleverna gav sitt samtycke om att deltaga samt att elevernas föräldrar skriftligen godkände sitt barns medverkan. Jag meddelade också deltagarna och deras föräldrar att i samtyckeskravet ingår även att deltagarna självständigt kan bestämma över hur länge de vill medverka och om de vill avbryta, utan otillbörlig påverkan ( Utöver detta inhämtades också samtycke från skolans rektor. För att uppfylla konfidentialitetskravet filmades inte barnens ansikten och därför framgår det inte av videoinspelningarna vilket barn som har deltagit. Dessutom har eleverna i studien beskrivits med fingerade namn. De dokument som ändock innehöll personuppgifter samt videobanden har förvarats på ett säkert sätt, så att obehöriga inte har kunnat få tillgång till dem (ibid.). De uppgifter som har samlats in under studien kommer inte att utlånas för kommersiellt bruk eller andra icke-vetenskapligt syften, vilket gör att nyttjandekravet uppfylls ( Under arbetet med studien har jag att även tillämpat Vetenskapsrådets ( riktlinjer om god forskningssed. Dessa innebär bland annat att jag öppet redovisat studiens metod och resultat. Riktlinjerna innebär också att utgångspunkterna för min studie har redovisats samt att forskningsresultaten dokumenterats och arkiverats väl. 20

21 5. Resultat I detta avsnitt kommer resultaten från de fyra videoobservationerna både att presenteras och analyseras. Några av resonemangen kommer att redovisas i detalj och minst ett exempel från varje kategori kommer att presenteras. De fyra observationerna resulterade i sammanlagt 19 problemsituationer (PS). Av dessa PS var 5 rent imitativa resonemang, varav två FAR, två BAR och ett MR. 9 PS var rent kreativa i form av KMR. Av övriga resonemang var två KAR, vilket tidigare nämnts är ett resonemang som inte ingår i Lithners (2008) teoriramverk men som identifierats i en tidigare studie av elever i årskurs 2 (Davidsson & Hidefält, 2011). För de resterande tre PS upptäcktes en ny form av resonemang som efter analys inte kunde klassificeras i en tidigare definierad form av resonemang. Detta resonemang kommer i denna studie att benämnas Kreativt begränsat resonemang (KBR). KBR liknar KMR och KAR på så sätt att en för problemlösaren ny resonemangssekvens skapas. I jämförelse med KMR, har dock KBR begränsningar i argumentationens rimlighet och i den matematiska grunden. Graden av matematisk grund är dock högre i jämförelse med KAR. Dessa två nya resonemang är varken rena IR eller rena KMR, utan kan ses såsom ett mellanting. Presentationen av resultaten kommer att redovisas på så sätt att ett resonemang i taget beskrivs. Varje avsnitt inleds med en redovisning över de allmänna kännetecknen för respektive resonemang. Därefter beskrivs hur uppgiften såg ut som gav upphov till resonemanget, vilken dialog som fördes mellan eleven och observatören samt hur resonemangsstrukturen för varje PS såg ut. Därefter avslutas varje avsnitt med en analys av det resonemang som eleven fört Familjärt algoritmiskt resonemang, FAR FAR kännetecknas av att strategivalet bygger på att problemlösaren känner igen uppgiften sedan tidigare och inser att uppgiften kan lösas med hjälp av en algoritm som problemlösaren kan. Genomförandet av strategin består endast av att problemlösaren löser uppgiften med hjälp av algoritmen. FAR bygger på erfarenhet och något annat argument för strategivalet behövs inte. I studien förekom FAR två gånger av de totalt 19 PS som uppstod och nedan kommer jag att presentera den ena. D står för David och O för observatören. Passager som inte är relevanta för resonemanget markeras med: [ ]. Exempel 1 David ska lösa den första deluppgiften i uppgift nr 1. Eftersom resonemanget endast avser den första deluppgiften har de andra två vågarna i uppgiften här redigerats bort. Så här såg uppgiften ut (Ur Matte Eldorado 1B, Olsson & Forsbäck, 2008, s. 84, modifierad): 21

22 1. Vågarna väger jämnt. Fyll i så att det stämmer: Dialog: D: Nitton..uh..det här var lite svårt. O: Mm D:.men om man...men...hm sju!..[david skriver 7 på den tomma påsen]..blir det. O: Och varför skriver du sju där? D: För att om..tolv kan man ta bort..tv-två [pekar på tvåan i 12] från nio [pekar på nian i 19]. O: Mm D:..då är det sju kvar. [...] O: Och varför skulle man ta bort två från nio där? D: Ja, för Elisabeth har sagt att det är lätt och tänka så. [ ] Resonemangsstruktur: Davids problemlösning av denna uppgift leder fram till följande resonemangsstruktur, vilken består av: problemsituation (PS), strategival (SV), stratgeiimplementering (SI) samt slutats (S). PS: 19 = 12 + x SV: Gör om ekvationen m h a inversen: 9-2. Tiotalen nämns inte. SI: Implementering görs utan tvekan. S: Slutsats dras snabbt. Avger svar 7 Resonemang: Att David upplevde uppgiften som en problemsituation och inte en rutinuppgift märks i repliken: uh, det här var lite svårt. Resonemanget klassificeras som FAR eftersom David väljer en algoritm som tycks vara familjär. Ekvationen 19=12+x gör David om genom invers addition till subtraktion x=9-2, där tiotalen tagits bort och fokusering görs på entalen. Genomförandet av strategin är oproblematisk. I argumentationen för strategivalet beskriver David hur han subtraherar samt att han styrker argumenten genom att hänvisa till sin lärare: Ja, för Elisabeth har sagt att det är lätt att tänka så, vilket är ett socialt förankrat argument. David löser uppgiften enligt vad han tror att hans lärare förväntar sig att han ska göra. Argumenten för strategivalet är 22

23 inte matematiskt välgrundade eller förankrade på inre matematiska egenskaper, eftersom David inte nämner vågens ekvivalens. Den matematiska grunden ersätts med en familjär algoritm Begränsat algoritmiskt resonemang, BAR BAR innebär att problemlösaren väljer en algoritm från en mängd olika algoritmer som denne känner till. Argumentationen för valet av strategi grundar sig på ytliga överväganden och beror av problemlösarens förväntningar på resultatet. Om genomförandet av strategin inte leder till ett förväntat svar, prövar problemlösaren en annan algoritm utan att göra en utvärdering. BAR förekom vid två tillfällen i studien. Dessa tillfällen uppstod efter varandra i en och samma uppgift för David. David betecknas nedan med D och observatören med O. Exempel 2 David ska lösa uppgift nr 3 där frågan är hur mycket katten väger (Ur Matte Eldorado 2B, Olsson et al., 2009, s. 113, modifierad). Det finns två vågar att ta hänsyn till. Under problemlösandets gång uppstår tre problemsituationer, vilka två är BAR och kommer att redovisas nedan. Den första PS kommer att benämnas PS 1 och den andra för PS Hur mycket väger katten? Dialog nr 1: [...] O: Hur mycket väger katten? D:..mm..fyra kilogram..kan..det va, men det är ju två presenter också.. O: Mm D:..och en [en vikt] är ju fyra presenter...hm.. Jag tror att jag har fattat det..att de..att här ska man säga att här är en till present och här [ritar två presenter i luften på kattens mage] och så ligger det en present här uppe också [ritar en present i luften på kattens huvud]. O: Mhm D: Kan det vara. O: Mm D: Då kanske det väger fyra kilogram. O: Mm D: Hm, men jag vet inte..om det är rätt eller inte? 23

24 [...] D: Mm..det kanske.. om det dära väger fyra..[suckar]..ja lite svårare. O: Mm D: Hur mycket väger katten? Katten. Jag tror den väger..två..kilogram [skriver David 2 kg]. Resonemangsstruktur nr 1: PS 1: Hur mycket väger katten? SV 1: En vikt är lika med fyra presenter. Gör om katten till presenter och testar med 3 presenter. SI 1: Katt är lika med 3 presenter. Missar en present. S 1: Osäker. Ny strategi Resonemang nr 1: Resonemanget är ett BAR, vilket framgår av att David prövar en algoritm som han känner till. Strategivalet grundar sig på ytliga argument och inte på matematiskt välgrundade argument, utan algoritmen får ersätta den matematiska grunden. Slutsatsen att katten väger 2 kg upplever David som osäker och prövar därmed direkt en ny strategi utan att göra någon utvärdering. Därefter följer denna dialog.: Dialog nr 2: O: Mm. Och varför tror du det är två kilogram då? D:..[suckar]..jag..jag bara tror för att fyra presenter är ju två... O: Mm D:..kilogram och två presenter och en katt är fyra kilogram. Om man tar bort två presenter, så kanske det är lika mycket som fyra [pekar på de fyra presenterna på den vänstra vågen]. Näe..nu blev det lite konstigt. Resonemangsstruktur nr 2: PS 2: Hur lösa uppgiften? SV 2: Subtrahera två paket SI 2: Osäker. Ingen implementering görs. S 2: Ingen slutsats erhålls. Resonemang nr 2: Detta resonemang är också BAR, eftersom David prövar en annan algoritm än den första och även denna strategi är grundad på ytliga överväganden. David tror att strategin ska leda till ett resultat, men han kommer inte fram till någon slutsats. Detta gör att han, utan utvärdering, väljer 24