Just niondelar har vi inte jobbat överdrivet mycket med

Transkript

1 UPPSALA UNIVERSITET Institutionen för utbildning, kultur och media Institutionen för didaktik Examensarbete i utbildningsvetenskap inom allmänt utbildningsområde, 5 hp Rapport 200ht667 Just niondelar har vi inte jobbat överdrivet mycket med En kvalitativ studie av elevers resonemang vid division av bråk Författare: Sofia Perner Handledare: Lovisa Sumpter Betygsättande lärare:

2 Sammanfattning Tidigare forskning har uppmärksammat elevers svårigheter med bråk samt bråkräkning och omfattande felanalyser har gjorts. Dock beskriver inte dessa felanalyser bakgrunden till elevernas strategival eller de slutsatser som dragits vid uppgiftslösning. Utifrån detta är syftet med den här uppsatsen att studera de resonemang som elever för när de löser uppgifter som innefattar division av bråk. Vilka argument grundar sig val av strategi på samt de lösningar som nås? Är argumenten förankrade i bråkens inre matematiska egenskaper? Den metod som använts är kvalitativ där tre videoobservationer har gjorts av elever när de, under en labbsituation, enskilt löst uppgifter som innefattat division av bråk. Resultaten visar att ett kreativt matematiskt grundat resonemang (KMR) påträffas sällan medan ett imitativt resonemang (IR) där lösaren grundar sin argumentation på en känd algoritm är desto vanligare. I de situationer då elevens resonemang befann sig nära KMR saknades ofta förmågan att grunda slutsatsen på komponenternas inre matematiska egenskaper. Nyckelord: kvalitativ studie, bråkräkning, division av bråk, matematiska resonemang. 2

3 Innehållsförteckning. Inledning Syfte och frågeställning Bakgrund Bråkbegreppet Teoretiskt ramverk för matematiska resonemang Metod och material Urval och avgränsning inom ämnet Datainsamlingsmetoder Metod för dataanalys Kritiskt beaktande kring metod Forskningsetiska reflektioner Resultat Ida Uppgift a Uppgift d Uppgift Erik Uppgift a Uppgift Linn Uppgift b Uppgift e Uppgift Sammanfattning av resultat Diskussion..... Förslag till vidare forskning Referenslista Digitala källor: Bilagor...

4 6.. Brev till deltagare i studien Bråkuppgifter till videoobservationerna... 2

5 . Inledning Svårigheter inom matematik är en vanlig företeelse och tyvärr en stigande trend. TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) är en internationell studie som undersöker elevers kunskaper i matematik och de naturorienterade ämnena i år och år 8 vart fjärde år. Undersökningen från 2007 visar att elevers kunskaper i matematik var signifikant lägre jämfört med 995 (Skolverket, 2008). I skolverkets rapport En beskrivning av slutbetygen i grundskolan våren 200 kan man också läsa att under läsåren 997/ /0 har: andelen elever som inte uppnår målen i ämnet matematik ökat från 5, till 7,9 procent (Skolverket, 200, s.). En del inom det aritmetiska fältet som jag, under min utbildning, har märkt att många elever har stora svårigheter i att förstå är bråk; vad de symboliserar samt hur man utför beräkningar med dem. Denna svårighet för bråk är även något som de flesta forskare är överens om (Nunes, 2008). Engström (997) är en av de forskare som uppmärksammat detta problem och han menar att rangordna decimal- och bråktal i storleksordning eller utföra enkla matematiska operationer med talen kan ge upphov till väldiga svårigheter för elever. För att förstå och kunna tillämpa matematiken inom ett område förutsätts förkunskaper från lägre nivåer inom samma område liksom från de andra områdena som ämnet utgörs av. Kunskaper i bråk är till exempel, förutom en grundläggande baskunskap, en nödvändig förkunskap för att förstå och lära sig sannolikhetslära, proportionalitetslära samt algebra (se t.ex. Engström, 997; Nunes & Bryant, 2009; Clarke, Roche & Mitchell, 2008). Resultat från TIMSS visar dock att svenska elever i år 8 inte presterar lika bra i algebra jämfört med elever från andra länder (Skolverket, 2008). Att bråkräkning utgör ett hinder i elevers matematiska utveckling råder det således lite tvivel om och många studier har genomförts för att kartlägga vilka fel elever gör. Padberg (989 i Engström, 997) har t.ex. gjort en omfattande felanalys av elevers prestationer vid bråkräkning där felen visar på en strategi som utgår ifrån bråkens ytliga egenskaper 2 men som i den här kontexten saknar relevans (Lithner, 2008). Padberg menar att de flesta av dessa felmönster beror på elevers bristande bråkföreställningar samt övergeneralisering av regler. Dock kan man inte utifrån denna eller liknande felanalys säga något om hur och varför felen uppstår samt vilka tidigare resonemang de grundar sig i eller vilka korrekta antaganden eleven faktiskt gör. För att få en inblick i detta har denna studie undersökt elevernas förståelse av bråkbegreppet samt bråkräkning, vilka resonemang eleverna använder sig av vid val av strategi och hur de, med eller utan logik, kommer fram till en slutsats. Dessa resonemang har sedan kategoriseras utifrån om de är imitativa, dvs. lösaren minns ett svar eller återger en relevant algoritm för att lösa uppgiften, eller kreativa, vilket innebär att lösaren skapar eller återskapar en ny lösningsstrategi genom att En beskrivning av Padbergs (989) felanalys görs i avsnitt Mer om en komponents inre och yttre matematiska egenskaper beskrivs i avsnitt

6 föra en matematiskt grundad argumentation kring strategivalet (Lithner, 2008). Eftersom bråkbegreppet är komplext och den första mer abstrakta matematik som eleverna möter i skolan finns en risk att bråkräkning reduceras till enbart en användning av olika algoritmer (Engström, 997). Detta tror jag är speciellt vanligt när bråk divideras. I min studie har jag således studerat vilka resonemang elever använt sig av när de löst uppgifter som innefattat division av bråk... Syfte och frågeställning Syftet med den här studien är att undersöka elevers matematiska resonemang när de löser uppgifter som innefattar division av bråk. Målet är att bidra med en ökad förståelse för vilken typ av resonemang elever använder sig av och belysa hur och på vilket sätt de använder sin kunskap om rationella tal. Mina frågeställningar är: Vilka resonemang använder sig eleverna av när de löser uppgifter som innefattar division av bråk? - Vid kreativt resonemang: Hur använder sig eleven av den matematiska grunden dvs. inom vilken del av bråkbegreppet grundar de sin argumentation på när de löser uppgifterna? - Vid imitativt resonemang: Vad ersätter de den matematiska grunden med?.2. Bakgrund Den teoretiska basen för uppsatsen kommer att utgöras av tidigare forskning av hur elevers konstruktion och förståelse av bråk ser ut i kombination med Lithners (2008) teoriram för matematiska resonemang..2.. Bråkbegreppet Inledningsvis innan tidigare forskning om elevers konstruktioner och förståelse av bråk beskrivs ska ett par begrepp preciseras. Ett rationellt tal definieras som tal som kan skrivas som kvoten mellan två heltal, p/q, där q 0 (Nationalencyklopedin). I Kiselman och Mouwitz (2008) kan man vidare läsa att ett rationellt tal har en periodisk decimalutveckling och exempel på rationella tal är 7, -9, / och 0,5 men inte 2. Bråk är ett rationellt tal och är uttryck av formen a/b eller a (ibid., s. 0). I uttrycket a/b kallas a för täljare och b för nämnare. Bråken /5 och 5/25 är b t.ex. olika bråk men representerar samma rationella tal. Tecknen och är båda tecken för bråk samt division där den senare företrädesvis används då man i löpande text vill skriva täljare och 6

7 nämnare på samma rad (ibid.). I den här uppsatsen kommer det tecken användas som lämpas bäst till den specifika situationen och bero på den aktuella dispositionen. Så som nämndes under avsnitt. tillhör kunskaper i bråk och bråkräkning den grundläggande baskunskapen inom matematik. I den nya läroplanen (lgr) som träder i kraft juli 20 kan man läsa under centralt innehåll att undervisning i ämnet matematik ska innefatta: centrala metoder för beräkningar med tal i bråk- och decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digital teknik [ ]. Dessutom, förutom att kunskaper i bråk och bråkräkning har ett värde i sig är de också nödvändiga för att förstå och lära sig algebra, proportionalitetslära samt sannolikhetslära (se t.ex. Engström 997; Nunes & Bryant, 2009; Clarke, Roche & Mitchell, 2008). Elevers svårigheter med bråk är emellertid både stort och utbrett, inte bara i Sverige utan även internationellt (Nunes & Bryant, 2009). I samband med att elevers svårigheter för bråk beskrivs uppmärksammar Engström (997) i sin avhandling skillnaderna mellan rationella tal och naturliga tal. Han menar att när elever först blir introducerade för tal i decimal- och bråkform kan en vanlig beskrivning vara att talområdet nu utvidgas från de naturliga talen till de rationella talen. Detta kan ge en uppfattning om att det handlar om någonting mer och inte om något annorlunda. Till de tidiga erfarenheterna barn har av tal hör att de representeras av en symbol, det finns således en ett-till-ett korrespondens mellan symbol och referens, vilket inte de rationella talen omfattas av. En annan skillnad jämfört med de naturliga talen är att det inte finns en minsta bråkdel så som det finns ett minsta naturligt tal. Olika begreppsliga tolkningar representeras nu dessutom i en och samma symbol; kan betyda en tredjedels meter, att var tredje elev har skilda föräldrar i en klass, att målarfärgen ska spädas med en del färg och tre delar vatten, att en kaka ska delas lika mellan tre personer osv. Nunes och Bryant (2009) tillägger i sin rapport att alla rationella tal som inte är noll har en multiplikativ invers, t.ex. så är /2 inversen till 2/. Denna egenskap påträffas dock inte hos naturliga tal. En medvetenhet om denna egenskap är viktig för förståelsen av divisionsalgoritmen för bråk och är nödvändig vid studier i algebra. Dessa olikheter jämfört med naturliga tal kan göra att elever har svårt att uppfatta bråk som tal. Just det faktum att de rationella talen måste betraktas på ett annat sätt än de naturliga talen kan vara en av orsakerna till elevers svårigheter (Engström, 997). Eftersom bråk är i fokus för olika begreppsliga tolkningar kan de delas in i olika underkonstruktioner vilka används i olika situationer. Ett bråk kan tolkas som del av helhet, kvot, mått, förhållande och operator (Marshall, 99). Mycket av den forskning som gjorts pekar på att det är av största vikt att elever lär sig om bråk utifrån ett flerfaldigt perspektiv istället för ett ensidigt sådant (se t.ex. Nunes & Bryant, 2009; Smith, 995). Därtill behöver elever hjälp med att uppmärksamma relationen mellan dessa representanter (Nunes & Bryant, 2009). Representationen av bråk som del av helhet är den tolkning som många elever inledningsvis möter. Situationen kan beskrivas som en där något ska delas in i lika delar. Det som ska delas kan vara en kontinuerlig mängd (en kaka) eller en diskret mängd (en klass med 25 elever). Situationer där bråk tolkas som en kvot är precis som när bråk tolkas som del av helhet beroende av delning. En 7

8 typisk representation är bråket b a där a delas in i b delar. Till skillnad från del av helhet situationerna representerar a och b i bråken olika ting och istället för att representera antal delar av helheten representerar a något som i sig själv ska delas. Så som namnet föreslår, representerar bråk som kvot en division, i detta fall att dela a element (t.ex. fyra pizzor) i b delar (t.ex. delas mellan fem vänner). Bråk som mått hänvisas istället till situationer när bråket används upprepade gånger för att bestämma en sträcka (Marshall, 99). När vi mäter något använder vi en enhet som mått. Det objekt som vi ska mäta kan ofta inte beskrivas med endast hela enheter varför vi behöver bråk för att representera en del av enheten t.ex. /2 deciliter mjölk eller en / meter tyg (Nunes & Bryant, 2009). Bråk innefattas även i situationer där det representerar ett förhållande; två kvantiteter relateras och sätts i proportion till varandra. Till skillnad från de två första situationerna där bråk förekommer, omfattar inte denna situation bråk som en delning av något. Istället jämförs ett visst antal av ett objekt med ett visst antal av ett annat objekt. Förhållandet mellan saft och vatten kan t.ex. vara vilket betyder en del saft och tre delar vatten. och refererar således till helt skilda ting. Den sista situationen innefattar en konstruktion av bråk som operator. Typiskt i dessa situationer är att man har ett givet värde eller område som ska omformas så att ett annat värde eller område erhålls (Marshall, 99). Exempel på detta är / av 2=9 och = 2. Här är en vanlig missuppfattning att vid multiplikation blir svaret alltid större 2 och vid division blir svaret alltid mindre. Marginella erfarenheter av att använda bråk som operator kan också vara en bidragande faktor till denna missuppfattning (Clarke, Roche & Mitchell, 2008). Nunes och Bryant (2009) påpekar att elever kan lära sig att räkna med bråk utan att sammankoppla dessa procedurer med deras förståelse av ekvivalens och storleksordning av bråk. De skriver vidare att studier av vuxna har visat att kunskap om räkneprocedurer kan vara isolerad från förståelse under en lång tid. En del av de personer som ingick i dessa studier och som lyckades implementera det tillvägagångssätt som de lärt sig vid division av två bråktal medgav att de inte hade någon aning om varför divisorns täljare och nämnare skulle byta plats. Med anledning av att bråk kan tolkas på ett flertal sätt representerar det ett av de första skedena när elever måste tänka på ett koncept på olika sätt beroende på situation. Missförstånd mellan olika representationer har undersökts och felanalyser har studerats. En omfattande felanalys är den Padberg (989 i Engström, 997) har genomfört av elevers prestationer i årskurs 7 och 8 i Tyskland. Felanalysen bygger på tillämpningen av algebraiska regler på bråkuppgifter. En sammanställning av de typiska felmönstren (vanligt förekommande fel) för de olika räknesätten visar att vid addition och subtraktion av två bråktal adderas respektive subtraheras täljare och nämnare var för sig: a + c a c = alternativt a - c a c =. Vid multiplikation av två b d b d bråktal är två typer av fel vanligt förekommande: c = ba d b d 8 b d a c alternativt: c = b ba d a b b c d. När ett bråktal multipliceras med ett naturligt tal är ett vanligt fel att det naturliga talet multipliceras med täljaren respektive nämnaren: n a n a =. Vid division, när ett bråktal divideras med ett naturligt b n b

9 tal, ser den typiska felaktiga lösningen ut på samma sätt som i föregående fall; det naturliga talet a n multipliceras både med bråkets täljare och med nämnaren: n =. När ett bråktal divideras med ett annat bråktal divideras ofta bråkens täljare med varandra medan nämnaren lämnas orörd: 9 = =. Dock beskrivs inget typiskt felmönster för de fall då bråkens nämnare är olika (t.ex ). Som nämndes i uppsatsens inledning beror, enligt Padberg (989 i Engström, 997), de flesta av dessa felmönster på elevers bristande bråkföreställningar samt övergeneralisering av regler. Felanalyser som denna säger dock ingenting om hur och varför felen uppstår eller vilka resonemang som ligger bakom val av strategi och slutsatser. Nunes och Bryant (2009) skriver att om elevers inlärningskurva för specifika koncept, samt de argument som elever för, är kända torde undervisningen kunna förbättras. Forskning har hjälpt till att identifiera elevers argument när de jämför bråk för att storleksordna dessa och bestämma ekvivalens (ibid.) dock finns få studier om elevers resonemang vid bråkräkning och i synnerhet inte när bråk divideras. a b b n.2.2. Teoretiskt ramverk för matematiska resonemang I kursplanen för matematik beskrivs att: Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang [ ] (Skolverket, 2000). I kapitel tre i den nya läroplanen (lgr ) kan man i kursplanen för matematik även där läsa att: Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar förmågan att argumentera logiskt och föra matematiska resonemang (Skolverket, 200, kap, s.2) Både den nuvarande kursplanen samt den kommande hänvisar till matematiska resonemang och beskriver dem i relation till logiskt tänkande. Begreppet resonemang eller matematiska resonemang används i många kontexter för att representera ett tänkande med hög kvalité men som sällan, alternativ vagt, definieras (Bergqvist, 2006). I den här studien kommer begreppet resonemang att användas i en vidare bemärkelse med utgångspunkt i Lithners (2008) definition som beskriver resonemang som den tankelinje som förs när man producerar ett påstående och når en slutsats till en uppgiftslösning. Ett svar är den information som efterfrågas och en lösning är ett svar och en motivering till varför svaret är korrekt. Resonemanget baseras inte nödvändigtvis på formell logik och är således inte begränsat till bevis vilket skiljer sig från kursplanens användning av begreppet. Ett resonemang kan även vara inkorrekt förutsatt att det finns något förnuftigt argument, för lösaren själv, som kan övertyga om dess giltighet. I kursplanen måste resonemanget vidare uttryckas explicit för att definieras som ett sådant, Lithner (ibid.) uppmärksammar emellertid att det alltid är en, åtminstone implicit, anledning till val av strategi vilket då ses som ett resonemang. Författaren har utarbetat ett teoretiskt ramverk vars syfte är att karaktärisera det matematiska resonemanget genom att definiera och särskilja imitativt 9

10 resonemang och kreativt matematiskt grundat resonemang samt diskutera dess uppkomst och konsekvens. Ramverket har utarbetats under ett antal år och grundas på empiriskt data av de resonemang som elever använt sig av när de löser matematiska uppgifter. Den utgörs av väldefinierade begrepp och lämpar sig således väl som verktyg för att karaktärisera empiriskt data (Bergqvist, 2006). Följande struktur används för att beskriva resonemang vid uppgiftslösning (Lithner, 2008):. En (del)uppgift erhålls. Den identifieras som en problemsituation (PS) om tillvägagångssättet inte är uppenbart. 2. Ett strategival (SV) görs. Strategierna kan variera från lokala procedurer till generella metoder. Val betraktas i vid mening och kan bestå i att välja, minnas, konstruera, upptäcka, gissa etc. Strategivalet kan stödjas av en förutsägande argumentation: Varför kommer denna strategi att lösa uppgiften?. Strategin implementeras (SI). Implementeringen kan stödjas av en bekräftande argumentation: Varför löste denna strategi uppgiften?. En slutsats (S) erhålls. Med hjälp av denna resonemangsstruktur kan de olika typerna av matematiska resonemang klassificeras. Resonemang betraktas följaktligen, vilket nämndes ovan, som den kedja av tankar som förekommer ett påstående samt lösningen till en uppgift. Resonemangen behöver inte nödvändigtvis bygga på deduktiv logik och kan även vara inkorrekta. I och med det kan vi tala om olika typer av resonemang, inklusive de som är inkorrekta. Det centrala blir således att studera argumenten för de beslut som fattas (ibid.). Ett argument är den del av resonemanget som styr tänkandet och vars uppgift är att övertyga lösaren eller någon annan om att resonemanget är användbart. Ju starkare det logiska värdet är desto rimligare är argumenten. Ett argument kan betraktas utifrån olika aspekter där den förutsägande argumentationen innefattar analys, utforskning och planering av uppgiften och den bekräftande argumentationen involverar genomförandet samt slutsatserna och kan innehålla metakognitiva argument. Ett argument kan baseras på social status, till exempel på auktoriteten hos en lärare eller en smart klasskamrat, men för att ett argument ska vara matematiskt grundat måste det baseras på sociomatematisk norm. I relation till det senare introduceras begreppet förankring vilket avser att man förankrar de komponenter man resonerar om, dvs. objekt, transformationer och begrepp, i relevanta matematiska egenskaper. Objekt är det som man gör något med t.ex. tal, variabler etc. och en transformation är det man gör med objektet. Ett begrepp är följaktligen en central matematisk idé som bygger på en uppsättning av objekt och transformationer, t.ex. funktionen eller oändligheten. Hur relevant en matematisk egenskap är 0

11 hos en komponent beror på kontexten. Här görs en avgränsning mellan ytliga ( surface ) samt inre ( intrinsic ) egenskaper som kan illustreras med detta exempel: The relevancy of a mathematical property depends on the context. In deciding if 9/5 or 2/ is larger, the size of the numbers (9, 5, 2, ) is a surface property that is insufficient to consider while the quotient captures the intrinsic property (Lithner, 2008, s. 26). Nunes och Bryant (2009) uppmärksammar att elever som utan tvekan drar slutsatsen att varje person får mer när en kaka delas mellan tre personer istället för fem kan trots det påstå att /5 är ett större bråk än / för att 5 är ett större nummer än. Detta är således ett exempel på ett argument som grundas i komponenternas ytliga egenskaper. Lithners (2008) ramverk består, som nämnts ovan, av en indelning av matematiska resonemang som antingen imitativa eller kreativa. Imitativa resonemang (IR) karaktäriseras av att lösaren minns ett helt svar, imiterar eller minns en hel löningsstrategi för hur uppgiften ska lösas. Imitativa resonemang delas in i två underkategorier; memorerat resonemang (MR) samt algoritmiskt resonemang (AR), där den senare delas in i tre ytterligare underkategorier; familjärt algoritmiskt resonemang (FAR), begränsat algoritmiskt resonemang (BAR) samt guidat algoritmiskt resonemang (GAR) där i den senare en avgränsning görs om resonemanget är textguidat eller personguidat. En översikt över de olika resonemangen presenteras i figur. Ett memorerat resonemang (MR) innebär att strategivalet utgörs av att lösaren återger från minnet ett fullständigt svar och tillämpningen av strategin består av att svaret skrivs ned. Den här strategin är användbar vid faktafrågor som till exempel: Hur många cm går det på en liter?. I ett algoritmiskt resonemang (AR) innebär strategivalet att minnas en algoritm. En algoritm definieras som en sekvens av fördefinierade instruktioner som löser en specifik uppgiftstyp utan att behöva modifieras under genomförandet. Den förutsägande argumentationen kan variera men det finns inget behov av att skapa en ny lösning. Tillämpandet av strategin består i att följa algoritmen och utföra, för lösaren, enkla beräkningar men där endast ett slarvigt misstag kan hindra att ett svar nås. Denna typ av resonemang är snabb, har hög reliabilitet samt är designad för att producera korrekta lösningar utan att något krav på förståelse finns vilket gör att ingen argumentation behöver föras så länge algoritmen är identifierad. Detta gör att AR kan användas både med full men även med starkt begränsad förståelse av proceduren. Den centrala delen i AR är att identifiera en passande algoritm där tre vanliga sätt kommer att beskrivas. Val av algoritm är beroende av uppgiftens matematiska egenskaper och kan således baseras på uppgiftens yliga egenskaper endast, vilket gör att valet blir matematiskt tvivelaktigt och inte tillförlitlig vid problematiska situationer. I familjärt AR baseras strategivalet på att uppgiften ses som välbekant som kan lösas med en tillhörande känd algoritm. Strategigenomförandet innebär att följa algoritmen. Det argument (implicita) som övertygar lösaren om strategivalet baseras ofta på en etablerad erfarenhet, från liknande övningsuppgifter, att en uppgift med ett speciellt textmässigt, grafiskt eller symboliskt utseende kan relateras till en viss algoritm. Vid begränsat AR väljs en algoritm från en delmängd av

12 alla, för lösaren, kända algoritmer. Delmängden avgränsas av lösaren genom att algoritmerna har en ytlig koppling till uppgiften. Tillämpningen av strategin görs genom att algoritmen följs utan någon verifierande argumentation. Om utfallet inte blir som, av lösaren, förväntat avbryts genomförandet, dock utan någon utvärdering. Istället prövas en annan algoritm från den begränsade mängden. En annan metod när varken familjär eller begränsad AR fungerar är att använda sig av guidat AR. Strategivalet innebär att en guide, till exempel en lärobok eller en lärare, vägleder genom de delar som är svåra. Strategigenomförandet består i att följa algoritmen och guidens auktoritet gör således verifierade argument överflödiga. I text-guidad AR handlar strategivalet om att identifiera ytliga likheter mellan uppgiften och ett exempel, definition, sats, regel, eller liknande från en text. Algoritmen följs utan någon bekräftande argumentation. I personguidat resonemang görs alla strategival, som är problematiska för lösaren, av en guide som inte ger några förutsägande argument. Strategigenomförandet görs med hjälp av guidning tills det som kvarstår är transformationer av rutinkaraktär vilka görs utan några bekräftande argument (ibid.). Matematiskt resonemang Imitativt (IR) Kreativt matematiskt grundat (KMR) Memorerat (MR) Algoritmiskt (AR) Familjärt AR Begränsat AR Guidat AR Text-guidat Person-guidat Fig. : Översikt över de olika typerna av resonemang som ingår i Lithners (2008) ramverk. För att ett resonemang istället ska klassificeras som ett kreativt matematiskt grundat resonemang (KMR) ska följande kriterier uppfyllas:. Nyhet. En för lösaren ny sekvens av lösningsresonemang skapas eller en glömd sådan återskapas. 2. Rimlighet. Det finns argument som styrker strategivalet och/eller strategigenomförandet samt motiverar lösningens sanningsgrad eller rimlighet.. Matematisk grund. Argumenten är förankrade i de inre matematiska egenskaper hos de komponenter som ingår i resonemanget. Ett kreativt resonerande behöver inte vara intellektuellt utmanande och kan innehålla resonemang på en grundläggande nivå (ibid.). Trots detta påträffas KMR sparsamt i många 2

13 studier och ett användande av IR är desto vanligare (Bergqvist, Lithner & Sumpter, 2007; Lithner, 2008; Sumpter, 2009). Skott, Hansen, Jess och Schou (2009) uppmärksammar att elever på alla stadier i grundskolan kan engageras i matematiska resonemang och gradvis utveckla förståelse av vad ett bra matematiskt argument är. Detta innebär att man: argumenterar med hänsyn till de använda symbolernas meningsinnehåll och inte bara med hänsyn till symbolerna själva (ibid., s.6), vilket kan jämföras med Lithners (2008) beskrivning av när ett resonemang baseras på en komponents inre alternativt yttre matematiska egenskaper. Vidare beskrivs ett matematiskt resonerande innefatta ett formulerande av förmodan som undersöks, kritiseras samt revideras mot bakgrund av ny kunskap samt att en motivering om svarens giltighet inkluderas (Skott et al., 2009). Ett kreativt matematiskt tänkande är således inte begränsat till elever med en enastående matematisk fallenhet, men det kan vara svårt att producera ett sådant resonemang utan tillräckliga nyckelkompetenser och en stödjande omgivning (Lithner, 2008). Studier har visat att svensk matematikundervisning i stor utsträckning baseras på det läromedel som används (Skolverket, 200) samt att prov har en direkt påverkan på hur eleverna studerar och följaktligen på deras inlärning (Bergqvist, 2006). Forskning har också visat att uppgifter både i läroböcker samt i prov i stor utsträckning kan lösas endast med ett imitativt resonemang (se t.ex. Bergqvist, 2006; Lithner, 200). Smith (995) beskriver i sin studie hur kompetenta elever resonerar och utmanar den syn som beskriver ett kompetent resonemang som ett konsekvent användande av ett antal metoder för att lösa problem som lärts in genom instruktion. Hans resultat visar att dessa elever sparade sina generella strategier för situationer då de inte kunde para ihop problemets numeriska egenskaper med någon specifik strategi eller om de var temporärt vilsna. Detta indikerar att eleverna hade förmågan att växla mellan ett imitativt sätt att resonera till ett resonerande som bygger på bråks matematiska egenskaper. Sammanfattningsvis vid ett kreativt matematiskt grundat resonemang måste lösaren genom att föra en matematisk grundad argumentation, där den matematiska grunden baseras på inre centrala egenskaper hos komponenter som ingår i resonemanget, (åter)skapa en ny lösningssekvens. Ett imitativt resonemang däremot fordrar endast att lösaren kan återge ett helt svar eller en fulländad strategi och argumenten för strategival baseras istället på komponenternas ytliga egenskaper. Här saknas även matematiskt grundade argument som stödjer strategivalet samt lösningens rimlighet (Lithner, 2008). Användandet av ett imitativt resonemang kan betraktas som produktivt i det avseende att det är väldigt tidseffektivt förutsatt att du har identifierat, för uppgiften, relevant algoritm. Vid bemötande av en problematisk situation där standardalgoritmen inte längre fungerar kan inte ett imitativt resonerande ses som en speciellt framgångsrik metod utifrån en matematisk synvinkel (Sumpter, 2009). Skillnaden samt avsaknaden av en absolut hierarki mellan IR och KMR beskriver Tranbeck (200) enligt följande: Att memorera volymen av olika geometriska objekt är en mer tidseffektiv strategi än att resonera sig fram till hur volymerna kan beräknas varje gång det behövs. Däremot behöver man förstå resonemanget bakom hur volymerna härleds om man ställs inför uppgiften att beräkna volymen på ett nytt och tidigare okänt geometriskt objekt (Tranbeck, 200, s. 8).

14 2. Metod och material I följande avsnitt presenteras och diskuteras de urval och avgränsningar som gjorts, den metod som använts samt de forskningsetiska reflektionerna som har gjorts inför min undersökning. 2.. Urval och avgränsning inom ämnet Urvalet av deltagare till de tre observationerna är både strategiskt, vilket betyder att de utgår från olika kriterier, och ändamålsenligt. Anledningen till denna typ av urvalsstrategi är att jag är intresserad av, precis som Hartman (998) beskriver: [ ] att finna individer som kan ge den information man är ute efter. Man söker en bestämd kunskap och man bestämmer att intervjua [i mitt fall observera] dem som kan ge den kunskapen (Hartman, 998, s. 255). De elever som jag har valt kommer från en kommunal skola i en medelklassförort tillhörande en större stad. Eleverna som valts går i årskurs nio för att garantera att de har erhållit undervisning av det som ska observeras, har ett G+/VG- i betyg för att säkerställa att de befinner sig på en tillräcklig kunskapsnivå för att kunna forma resonemang samtidigt som uppgifterna fortfarande ska utgöra ett problem för dem. Med problem utgår jag från Hagland, Hedrén och Taflins (2005) definition som beskriver tre kriterier som måste uppfyllas för att en uppgift ska utgöra ett problem. Dessa är att personen ska vilja och behöva lösa problemet, personen har inte på förhand något givet tillvägagångssätt för att lösa det samt att det ska krävas en ansträngning av personen för att lösa problemet. Bråkbegreppet är komplext och ett stort område med många olika aspekter. Jag har därför valt att avgränsa denna studie till att endast innefatta räkning med bråk och i en snävare bemärkelse den bråkräkning som innefattar division av två bråktal samt division av ett bråktal med ett naturligt tal. Risken att bråkberäkning reduceras till en användning av olika algoritmer enbart, vilket nämndes i avsnitt. (Engström, 997), tror jag är vanligt vid division av bråk och är därför en intressant del inom bråkräkningen att undersöka elevers resonemang kring. Uppgifterna hjälper även till att synliggöra delar av elevens generella förståelse och syn på bråkbegreppet Datainsamlingsmetoder Det är karaktären på forskningsfrågan som ska avgöra valet av metod (Esaiasson, Gilljam, Oscarsson & Wängnerud, 2007, s. 8) och med utgångspunkt i min studies syfte utgörs metoden av ett kvalitativt tillvägagångssätt. Den här typen av forskning beskrivs som explorativ, induktiv och att fokus ligger mer på processer än på mål och slutresultat. Intresset riktas mot hur människor skapar mening, vad de upplever och hur dessa upplevelser tolkas samt hur människor

15 strukturerar sin sociala verklighet (Merriam, 99) vilket stämmer väl in på min studie som undersöker vilka resonemang elever använder sig av för att bygga sina antaganden om lösningar till uppgifter som innefattar division av bråk. För att undersöka elevers resonemang inom detta fält har tre elever observerats i ungefär en halvtimme vardera i en labbsituation när de enskilt löst uppgifter innefattandes division av bråk. Undersökningen utgörs av en viss grad av manipulation i den mening att eleverna fick bestämda bråkuppgifter som de skulle resonera kring samt att miljön var artificiell då observationen ägde rum avsides i skolans samtalsrum. Anledningen till dessa två val är att jag ville få fram så mycket som möjligt av vilka resonemang elever kan använda sig av inom detta område vilket jag tror möjliggjordes med detta tillvägagångssätt. Under en observation kan forskarens roll se olika ut; från fullständig observatör till fullständig deltagare. I min studie befann jag mig i rollen som observatör som deltar. Bakgrunden till detta är att observationen på intet sätt var dold, mitt främsta syfte var att verka som observatör men jag ville samtidigt ha möjlighet att ställa frågor för att försöka få eleverna att ytterligare reflektera över sina strategival och slutsatser samt utveckla sina resonemang. Eleverna ombads även att tänka högt (Merriam, 99). Efter att en deltagare hade lämnat informerat samtycke berättade jag muntligt för dem om uppgifternas kvantitet och att det var deras resonemang jag var intresserad av vilket gör att det inte har någon betydelse om de inte kan komma fram till en korrekt lösning på uppgifterna. Den första uppgiften bestod av fem deluppgifter som såg ut enligt följande:. a) 5 = b) 2 = c) 5 0 = d) = e) Blir svaret större eller mindre? Motivera. Lös därefter uppgiften 2 2 = Uppgifterna innehöll bråk med samma nämnare och där kvoten blir ett heltal men även uppgifter som var svårare att konkretisera. Uppskattning av svaret ombads för att försöka komma åt eventuella logiska resonemang. Andra uppgiften var: 2. Bestäm det bråk som är hälften av 9. Blir svaret större eller mindre? Motivera. Lös därefter uppgiften Här kontrollerades först att eleven förstod begreppet hälften av. Dock är begreppsförståelse inte i fokus för denna studie varför en förklaring gavs av observatören om eleven var osäker. Att nämnaren är ett udda tal har medvetet valts eftersom den inte ska vara delbart med två. Den sista uppgiften lydde:. Kan du dividera två bråk och få kvoten 5? Förklara hur du kommer fram till ditt svar. 5

16 Syftet med den sista uppgiften var att ytterligare få en inblick i deras förståelse och kreativitet. Alla uppgifter gavs till eleven en i taget för att försöka minska eventuell stress eller ofokusering. För att dokumentera observationen användes videoinspelning, som sedan transkriberades, data utgörs därmed av inspelat material tillsammans med de papper som eleverna använde för att lösa uppgifterna. Vid observationer kan det vara svårt att hinna med att göra en tillfredsställande dokumentation varför jag valde att spela in observationstillfället. På detta sätt säkerställer också videoinspelningen datainsamlingens exakthet, dvs. reliabilitet, eftersom inspelningen möjliggör att man kan studera elevernas resonemang upprepade gånger. Fördelen med att använda mig av video till skillnad från att endast spela in vad som sades med en bandspelare, var att jag kunde se hur de använde sig av artefakter (penna och papper) tillsammans med sina muntliga utsagor. För att man skulle kunna höra vad eleverna sade, kunna urskilja vilken uppgift på pappret eleverna refererade till när de pekade samt i vilken ordning uträkningar gjordes var kameran monterad på ett stativ snett bakom eleven (Heikkilä & Sahlström, 200). Därmed visades inte elevernas ansikten i bild. En sådan dokumentation var inte heller relevant för den här studien. Användandet av stativ var här mest fördelaktigt eftersom bildkvaliteten ofta blir bättre samt att videoinspelningen blir självgående vilket gör att jag inte behöver koncentrera mig på den tekniska aspekten under observationstillfället. Observationen var rumsligt stabil, detta gör att man inte behöver fundera över det som vanligtvis blir en nackdel; att man blir fysiskt begränsad med ett stativ (ibid.). Vid datainsamling är det viktigt att vara medveten om hur min forskarroll samt datainsamlingsmetod påverkar mitt material (Esaiasson et al., 2007). I denna studie tror jag att datainsamlingsmetodens påverkan minimerades eftersom eleverna hade specifika uppgifter att koncentrera sig på. Hur min närvaro och interaktion med eleverna påverkade resultatet var i fokus för en ständig reflektion och de följdfrågor som ställs under observationerna kommer att redovisas. Forskningsprocessen i en kvalitativ studie kan utgöras av analytisk induktion alternativt grundad teori ( grounded theory ) (Hartman, 998). Enligt grundad teori ska problemet inte formuleras från början utan det görs urval av tänkbara frågeställningar och datainsamlingsmöjligheter upprepade gånger under hela undersökningen så kallade teoretiska urval. Efter att man har samlat in data från ett urval analyseras detta induktivt, sedan görs ett nytt urval deduktivt grundat på analysen. Detta betyder att man inleder analys av datainsamlingen direkt när, i mitt fall, den första observationen är genomförd och använder sig sedan av den analysen vid urval och riktning vid nästa undersökningstillfälle. Analytisk induktion däremot innebär att vid planeringsfasen formuleras först en fråga vilken man avser att undersökningen ska besvara. All datainsamling görs därefter som sedan analyseras för att generera en teori. Urval kan göras på lite olika sätt, men ett vanligt tillvägagångssätt är att använda sig av ändamålsenliga urval precis på det sätt som beskrivits ovan under avsnitt 2.. Min forskningsprocess skiljer sig från grundad teori i det avseende att forskningsprocessen inleddes med en forskningsfråga och mitt urval baserades således på vad som ansågs kunna ge den kunskap som söktes. 6

17 Datainsamlingstillfällena utgjordes dock av en viss analys där en interaktion i linje med grundad teori gjordes genom följdfrågor som ställdes för att försöka utveckla ett visst argument eller resonemang som en elev förde (ibid.). Anledningen till att grundad teori inte användes i större utsträckning var för att den aktuella forskningsfrågan formulerades med hjälp av generella teorier och en förförståelse om elevers svårigheter med bråkräkning. Det som söktes var tydligt och genomtänkt och hur en respondent resonerade påverkade inte riktningen på kommande observationer eftersom det inte var ett specifikt resonemang jag ville komma åt. Detta gjorde att alla elever fick samma förutbestämda uppgifter att utgå ifrån. Med hänsyn till den tidsram som fanns till förfogande för arbetet kan användandet av grundad teori med teoretiska urval fungera negativt eftersom det inte går att förutse när forskningen kommer att vara avslutad, det vill säga när vi har uppnått en teoretisk mättnad (Denscombe, 2009). 2.. Metod för dataanalys Alla tre observationerna transkriberades i sin helhet varefter en grovanalys gjordes av samtliga uppgifter i alla observationer. Varje uppgift delades in i antal problemsituationer alternativt klassificerades som en uppgift av rutinkaraktär för eleven och lämnades följaktligen därhän. En lämplig storlek valdes på problemsituationerna i de fall som dessa kunde delas in i ytterligare problemsituationer. Totalt sett i de tre observationerna påträffades problemsituationer samt två situationer där uppgiften var av rutinkaraktär för eleven. För varje problemsituation (PS) identifierades det strategival (SV) som eleven gjorde samt hur strategiimplementeringen (SI) såg ut, därefter noterades den slutsats (S) som eleven drog. Detta följdes åt av en diskussion över vilken typ av resonemang eleven använt sig av utifrån Lithners teoriram, som beskrivits i avsnitt.2.2. När resonemangen karaktäriserades låg fokus på de centrala argumenten bakom beslut av strategi, implementering och slutsats. Följt av detta valdes några uppgifter från varje observation ut vilka har beskrivits mer detaljerat i uppsatsens resultatdel. Dessa valdes dels på basis av att de innehöll minst en problemsituation men även till viss del utifrån vilka resonemang som användes. Eftersom syftet med undersökningen var att illustrera de resonemang elever kan använda sig av och på vilket sätt detta görs valdes uppgifter så att alla de resonemang som användes totalt sett i hela undersökningen fick en utförligare beskrivning i uppsatsen. 2.. Kritiskt beaktande kring metod Esaiasson et al. (2007) anser att all sorts forskning bör sträva efter att uttala sig om det allmänna istället för det specifika eller unika. Man kan dock inte utifrån min studie göra någon större generalisering om elevers resonemang i den naturliga undervisningsmiljön på ett allmänt plan. Detta pga. att jag har studerat ett fåtal elever i en s.k. klinisk studie vilket gör att man därför endast kan dra slutsatser om detta. Dock kan man, eftersom området hittills har negligerats av forskare, argumentera för att studien tillför empiriskt välgrundad kunskap men att det givetvis 7

18 behöver göras ytterligare studier inom området innan det kan anses färdigundersökt (ibid.). Efterföljande intervju, exempelvis en stimulated recall intervju, hade kunnat bekräfta tolkningarna av resonemangen i resultaten. Dock är det tveksamt om eleverna hade haft någon metakognitiv kunskap om sitt eget resonerande. Resultaten är likväl intressanta för att kunna förstå och ge potentiella förklaringar till situationen i klassrummet som till exempel provskrivningar vilket den aktuella labbsituationen skulle kunna jämföras med. Därmed kan analysens slutsats ge relevans trots att det inte går att generalisera studiens resultat i en statistisk bemärkelse Forskningsetiska reflektioner Jag har utgått ifrån Vetenskapsrådets forskningsetiska principer genom Codex vid genomförandet av studien samt under efterföljande analys. För att följa kravet om informerat samtycke, konfidentialiteskravet samt nyttjandekravet fick de elever som valts ut som eventuella deltagare i undersökningen en skriftlig information om arbetet innan observation påbörjades. Informationen beskrev arbetets syfte, att medverkandet är frivilligt och kan avbrytas samt att ingen elev kommer att nämnas vid namn eller på något annat sätt kunna identifieras i arbetet. Vidare innehöll dokumentet information om att videoinspelningarna endast kommer att bli sedda av mig och min handledare, att materialet enbart kommer att användas till det forskningsarbete där mitt examensarbete ingår samt att deltagarna kan, vid intresse, få ta del av det slutgiltiga resultatet. Därefter behövde eleverna, som är över 5 år, skriftligt lämna ett samtycke innan de kunde delta i undersökningen ( Undersökningen är inte av etiskt känslig karaktär och under videoinspelningen filmades inte några elevers ansikten eftersom detta saknar relevans för arbetet. Detta gör även att konfidentialiteskravet långsiktigt tillgodoses ( Eleverna uppmanades, både skriftligt och muntligt, att meddela vårdnadshavare om undersökningen. För en närmre beskrivning av stimulated recall interviews se t.ex. Calderhead, J. (98) Stimulated Recall: A method for research on teaching. Informationsbrevet hittas i bilaga 6.. 8

19 . Resultat I detta avsnitt presenteras studiens resultat, dvs. de resonemang som de observerade eleverna använder sig av och på vilket sätt detta görs. De tre observationerna sätts i sitt sammanhang och utvalda problemsituationer från dessa beskrivs... Ida Idas observationstillfälle innefattade nio stycken problemsituationer varav resonemanget i samtliga klassificeras som familjärt algoritmiskt resonemang (FAR) dock är steget till ett kreativt matematisk grundat resonemang (KMR) inte långt i en av problemsituationerna. För att illustrera detta kommer, från hennes observation, uppgift a, d samt 2 att beskrivas. Vid citat står I för Ida och O för observatören.... Uppgift a Ida ska försöka ta reda på om blir större eller mindre än kvoten. Hennes arbete med uppgiften är uppdelad i två problemsituationer. Del samt lösa uppgiften och få fram Ida börjar med att bestämma om divisionens lösning kommer att bli större eller mindre än dividenden 5. Slutsatsen dras ganska snabbt med en tillhörande bekräftande argumentation som är något osäker. PS SV SI S > eller <? [ ] då måste det ju bli mindre eftersom du delar det kommer det ju liksom bli mindre bitar typ om man tänker en tårta. Ingen implementering görs. Mindre. Dock fortfarande osäker. Resonemang Inga argument som baseras på centrala matematiska egenskaper förs, till exempel undersöks inte bråkens storlek i förhållande till varandra. Uppgiften betraktas som familjär och slutsatsen motiveras med en hänvisning till divisionsalgoritmen där man, enligt lösaren, efter utförd division 5 Symbolen > kommer att användas för uttrycket större än och < kommer att användas för uttrycket mindre än. I talet y x är x dividenden eller täljaren och y divisorn eller nämnaren. 9

20 får ett mindre tal som kvot. Vetskapen om att denna slutsats möjligtvis inte stämmer kan skönjas när Ida efter spegling av slutsatsen bekräftar att svaret bli mindre med: Ah jag tror det i alla fall. Resonemanget klassificeras som ett familjärt algoritmiskt resonemang (FAR). Del 2 När Ida sedan ska försöka lösa divisionen tänker hon först tyst i några sekunder. Därefter görs en ansats till att försöka beskriva hur de tidigare har tänkt och gjort men vilket inte fullföljs och vad som tolkas som frustration uttrycks med en ljudlig suck. Efter ytterligare några sekunder kommer Ida fram till att man nog ska skriva om bråken till hundradelar. Hon gör en inkorrekt förlängning i bråkens nämnare genom att multiplicera nämnarna var för sig med fem och får 5 5 hundra, hon gör dock rätt i täljarna när dessa multipliceras med fem: =. Ida får fram lösningen tre och detta tolkas som PS 2 SV 2 Hur löses uppgiften Förläng bråken till hundradelar.? SI 2 Implementerar strategin men gör fel i nämnaren. S 2 Får fram svaret och tolkar detta som. Kommenterar svaret med: Ah det 00 Resonemang låter ju väldigt fel men Ida försöker leta i minnet hur man ska gå tillväga vid bråkräkning. Hon blir lite frustrerad när hon först inte kommer på (ihåg) hur man ska gå tillväga. När strategin slutligen är identifierad skrivs algoritmen ned på pappret men ett misstag görs vid förlängningen i nämnaren. Svaret tre nås efter att femton har dividerats med fem och detta tolkas som. Ursprunget till denna tolkning 00 är dock okänt, möjliga orsaker kan vara en osäkerhet av vad som ska göras med nämnaren eller verkar rimligare eftersom svaret uppskattades bli mindre än och kan därför inte vara att 00 tre. Resonemanget klassificeras även här som ett familjärt algoritmiskt resonemang (FAR). Detta eftersom strategival och slutsats hänvisas till algoritmen för att förlänga ett bråk till hundradelar, en algoritm väl känd från skolmatematiken vad gäller t.ex. addition av bråk med olika nämnare alternativt procenträkning...2. Uppgift d Ida skriver av uppgiften och börjar med att fundera på om svaret blir större eller mindre än dividenden. Resonemanget som följer bygger på, enligt henne själv, en känsla av slutsatsens rimlighet: det är bara för att det där känns sådär [min kursivering] större än det där [pekar först 20

21 på och sedan på 5 ]. Därefter lämnas uppgiften relativt snabbt och divisionen utförs inte: 7 6 Alltså det är ingen idé att jag försöker för jag kommer inte komma fram till något i alla fall. PS SV SI S > eller < 6 5? Relaterar till hur bråkens storlek i förhållande till varandra känns. Ingen implementering görs. Mindre. Resonemang Detta resonemang klassificeras återigen som FAR. Steget till ett kreativt matematiskt grundat resonemang (KMR) är inte långt och hade möjligtvis används om Ida tidigare hade fått träna på att basera sina resonemang på matematiska egenskaper. Idas argument till varför lösningen på divisionen är mindre är således att: det är bara för att det där känns sådär [min kursivering] större än det där [pekar först på och sedan på 5 ]. För att resonemanget ska kunna klassificeras som 7 6 KMR behövs en argumentation som är baseras på inre matematiska egenskaper. Att lösningens division blir mindre än dividenden är ju således för att täljaren är mindre än nämnaren. Varför bråket som är i täljaren är mindre än bråket i nämnaren kan ju också motiveras utifrån bråkens inre matematiska egenskaper.... Uppgift 2 Ida försöker lösa följande uppgift: Bestäm det bråk som är hälften av 9? Blir svaret större eller mindre? Motivera. Hennes arbete med uppgiften delas in i två delar. Del Ida börjar med att försöka bestämma om lösningen på divisionen borde bli större eller mindre än dividenden. I den här uppgiften görs ingen hänvisning till hur talens storlek känns i förhållande till varandra. Slutsatsen om att svaret troligtvis blir större kommer efter några sekunder med en tillhörande argumentation: För när du delar på det så har Stefan [elevens lärare, min anm.] alltid tjatat om det där med tårtor Åh om du har äh hur ska jag förklara om du har en tårta åh så ska du dela den i fyra och sen så kan inte en komma så ska du dela den i tre då blir ju bitarna större. PS 2 > eller <? 9 9 SV SI S Hänvisning till vad läraren gör när en tårta ska delas mellan ett bestämt antal personer som sedan ändras till en person färre. Ingen implementering görs. Större. 2

22 Resonemang Ida baserar inte sitt resonemang på centrala matematiska egenskaper om division av bråktal. Uppgiften betraktas som något bekant som kan kopplas samman med en bestämd tidigare erfarenhet. I argumentet görs följaktligen en hänvisning till vad läraren gör och hans förklaring till storleken av en del av en helhet i förhållande till antal bitar som helheten delas in i. Detta har dock liten koppling till den aktuella uppgiften. Resonemanget är ett exempel på ett familjärt algoritmiskt resonemang (FAR). Del 2 Ida funderar över hur hon ska lösa uppgiften: Hälften av. 9 O: Vet du vad det blir? I: Nä det är det jag sitter åh funderar på just niondelar har vi inte jobbat överdrivet mycket med [nervöst skratt]. Efter en stunds funderande beslutar sig Ida för att istället för att förlänga bråket, som gjorts på de tidigare uppgifterna, borde man förkorta det med ett tal som är delbart både med fyra och med nio. Hon bestämmer sig för att förkorta med fyra. Därmed börjar hon med att förkorta bråkets täljare med fyra, vilket skrivs ned. Hon inser strax att nio inte är delbart med fyra och avbryter därmed genomförandet. PS 2 Hur löses 2? 9 SV 2 Förkorta bråket med. SI 2 S 2 Börjar men upptäcker att 9(dvs. 9/ går inte jämnt ut, utan ger en rest) Måste vara fel, lämnar uppgiften. Resonemang Även här baseras resonemanget utifrån uppgiftens karaktär vilken slutligen tolkas som bekant trots att niondelar beskrivs vara mindre känt. Detta resulterar i att det till uppgiften tillskrivs ett bestämt tillvägagångssätt med en tillhörande algoritm vilken Ida försöker imitera. När implementeringen leder till en, enligt lösaren, icke tillfredställande slutsats överges inte strategin i utbyte mot någon annan. Därmed utgörs inte Idas resonemang av ett begränsat algoritmiskt resonemang (BAR). I den aktuella problemsituationen lämnar istället Ida uppgiften utan att pröva någon annan strategi eftersom denna ansågs vara den korrekta. Resonemanget klassificeras följaktligen som ett familjärt algoritmiskt resonemang (FAR). 22