Lärare 3. Lärare 1 Binomial och normalfördelning Fel i statistiska undersökningar Att tolka undersökningar Falska samband Jämföra i tid och rum

Transkript

1 Lärare 3 Lärare 1 Binomial och normalfördelning Fel i statistiska undersökningar Att tolka undersökningar Falska samband Jämföra i tid och rum Lärare 2 Att utföra undersökningar Sneda statistiska underlag Störande faktorer Hypotestester Placebo effekt Blindtester av läkemedel Lärare 3 Vetenskap och pseudovetenskap Hur man inte ska avfärda Att känna igen pseudovetenskap Poissonfördelning Simulering av vardagliga problem Tillämpnig på trafikflöde Numbers Lärare 4 Felaktiga upptäckter i historia Den vetenskapliga metoden Lärare 5 Analys av en statisktisk undersökning Bemöta spådomar om världens undergång Analys av protokollet för ett test av rutgängare Analys av en recension och stickprovmetodik 1

2 Att Känna igen Pseudovetenskap Använder material från Sven Ovek Hansson & Jesper Jerkert omarbtening av Vetenspak och ovetenskap, Stockholm Pseudovetenskap = falsk vetenskap Varför låtsas vetenskap? Att känna igen fuskverk Hur man inte ska att avfärda? Sju kännetecken på pseudovetenskap 2

3 Varför låtsas vetenskap? Vetenskapen har förändrat vår världsbild. Jorden är inte platt Uralstring är fel Mörker är ingen substans, utan frånvaro av ljus.... Det är naturligt att den som vill påverka andras syn på världen vill framställa sina idéer som vetenskap. På medeltiden beskrev man alla möjliga idéer som om de vore uttolkningar av kristendomen, för att få gehör för dem. Vissa idéer kan idag presenteras som vetenskap trots att de inte är det, tex ufologi, astrologi, evighetsmaskiner, parapsykologi, 3

4 Att Känna igen Fuskverk Att känna igen mellan falsk och riktig vetenskap kan liknas med att skilja mellan fuskverk och äkta hantverk i praktiska yrken. När något lagas, eg. bilen eller diskho ville man helst att det ska hålla i alla fall ett tag, och ska inte gå sönder igen med en gång. På samma sätt ska en vetenskaplig teori inte gå sönder så fort man prövar den! Den behöver inte hålla i evighet, men iaf ett tag. ett tag =det finns iaf en period i historien då man inte har motsägande bevis Vetenskap är det systematiska sökandet efter sådan kunskap som inte beror på den enskilda individen, utan som envar skulle kunna återfinna och kontrollera. 4 Och därmed värdet: att det är reproducerbart kunskap (och därför praktiskt användbart).

5 Vetenskap evolverar med tiden Eftersom vetenskap är ett sökande så är vetenskapliga teorier inte eviga, utan kan kompletteras eller revideras. Men det innebär inte att man ska acceptera fuskverk. Vetenskapliga teorier prövas om och om också och används t.o.m. i praktiska tillämpningar. För att skilja mellan vetenskap och ovetenskap räcker det inte att studera påståendens yttre form, man behöver ofta sätta sig i sakfrågor som det handlar om. 5

6 Vetenskap På samma sätt ska en vetenskaplig teori inte gå sönder så fort man prövar den! Inom vetenskap är vedertagen teori: den teorin man har inte lyckats förstöra trots alla försök! En stor del av det vetenskapliga arbetet är just att förstöra teorier, (men inte lika intressant för media ) Dessa mislyckade teorier glöms omedelbart, det är en del av av processen. När man hittade Higgs partikeln, på samma gång dog många andra teorier som förutsåg att det inte fanns en Higgs partikel. Inom vetenskap finns det olika grader av förtroende för en teori. 6

7 Vetenskapliga Teorier (1) De mest vedertagna teorier sådana som forskare försökt motbevisa i flera årtionde (kanske för att de hade andra egna teorier) men som överlevt trots alla experiment, trots alla kritiker. Ofta sådana som underbygger praktiska och fungerande tillämpningar. (Jorden är rund, DNA finns, elektrisk ström består av laddade partiklar i rörelse, ) I am a survivor! 7

8 Vetenskapliga Teorier (2) Omdebatterade teorier Försöker beskriva fenomen som ligger vid gränsen av känsligheten för våra experiment. Det finns därför ett visst experimentellt utrymme och osäkerhet för olika tolkningar. Det kan ta lång tid innan man kan bestämma vem som har rätt / fel. OBS: de stämmer med befintliga experimentella observationer, annars är de inte alls debatterade. 8 (Mörk materia och modifierad teori av gravitation är två aktuella teorier som är i detta läge just nu).

9 Vetenskapliga Teorier Rena teorier Är sådana som har litet eller inget stöd experimentellt. Så varför arbetar med sådana teorier? För att de tillför något! De försöker förklara saker som man inte har en förklaring för. OCH motsäger inte befintliga observationer! MERVÄRDE, men måste ändå ses som rena teorier. (strängteori, extra rymd dimensioner, multiverse) Fungerar som modeller för att guida det experimentella arbetet. Vad ska vi testa? Vilket experimentet ska vi bygga för att lära oss mer. 9 Målet är alltid att lära sig mer, förstå mer.

10 Kort sammanfattning Vetenskap / Peusovetenskap Vetenskaplig teori ska inte gå sönder så fort man prövar den! Vedertagen teori: överlevt granskning, debatt, experimentella tester, Misslyckade teorier glöms omedelbart, det är en del av av processen. Det minsta man kan kräva är att alla teorier ska kunna sättas på samma prov. Vägrar man utsätta en teori för samma nivå av granskning, så kan inte denna teori förkänna samma förtroende. 10

11 Hur Man inte ska Avfärda Vissa argument borde inte användas för att avfärda pseudovetenskapliga teorier (men används trots allt ibland) 1) Vad är det för person som lägger fram teorin? Man kan inte avfärda bara för att en person inte tillhör forskarvärlden Att en person har en akademisk titel garanterar inte heller att teorier som läggs fram av denna person är vetenskap. Ta inte för givet vad som kommer från universitetsvärlden. Det måste hela tiden utvärderas. Och avfärda inte automatiskt vad som kommer från icke etablerade forskare. Peter Higgs första artikel om Higgs partikeln blev först avvisad från tidskriften 11

12 Hur Man inte ska Avfärda (2) 2) Det strider mot naturlagar eller redan etablerade teorier. Då skulle man i så fall aldrig kunna komma framåt, tex man skulla aldrig acceptera Kopernics teori om planetrörelser eftersom det stred mot teorin om kristalsfärerna. Då skulle vetenskap bestå endast av dogmer som inte får ifrågasättas. Om det hävdas tex att pyramidformade föremål faller långsammare än andra föremål. Hur ska man bemöta ett sådant påstående? 12

13 Hur Man inte ska Avfärda (2) 2) Det strider mot naturlagar eller redan etablerade teorier. Då skulle man i så fall aldrig kunna komma framåt, tex man skulla aldrig acceptera Kopernics teori om planetrörelser eftersom det stred mot teorin om kristalsfärerna. OBS: att strida mot gamla teorier är OK, men inte strida mot observationer OBS2: det händer också att man hittar fel i gamla mätningar! Det kräver då en väldigt noggrann analys och upprepning av experimentent i fråga 13

14 Hur Man inte ska Avfärda (2) 2) Det strider mot naturlagar eller redan etablerade teorier. Om det hävdas tex att pyramidformade föremål faller långsammare än andra föremål. Hur ska man bemöta ett sådant påstående? 1. Man skulle kunna avfärda det med andledning att det strider mot Newtons lagar? (och missa mycket spännande ny kunskap kanske?) 2. Det strider mot alla tidigare experiment som visar att massa och form inte har någon betydelse. 3. Man kan göra experiment med pyramidformade föremål (BÄST) Experiment avgör! Punkt slut. Det är vad vetenskapsmän/kvinnor sysslar med: Utföra experiment som aldrig gjorts tidigare eller göra om andras experiment! 14 Forskare X säger att neutriner färdar fortare än ljuset Vi gör om deras experiment! man man låter inte det stå uppe i luften obestämt, man undersöker saken vidare

15 Hur Man inte ska Avfärda (3) 3) Det strider mot sunt förnuft. Sunt förnuft säger (eller sade) att Jorden är platt Och att Solen snurrar runt Jorden. Sunt förnuft är också ett relativt begrepp. Kvantmekanik En liten del av de idéer som förs nu fram kan strida mot sunt förnuft men är kanske riktiga, men kommer kanske att räkna som sunt förnuft imorgon. Eg. neutriner fortare än ljuset? 15

16 Kännetecken på Pseudovetenskap Vetenskap är det systematiska sökandet efter sådan kunskap som inte beror av den enskilda individen, utan som envar skulle kunna återfinna och kontrollera. Nu ska vi titta på 7 sätt att känna igen pseudovetenskap, som är egentligen olika sätt att bryta mot definitionen ovan. 16

17 Kännetecken på Pseudovetenskap 1) Auktoritetstro Vissa personer tillmäts så stor förmåga att avgöra vad som är sant och falskt, att andra bara har att rätta sig efter deras bedömningar. Vissa organisationer eller sekter. I dessa sammanhang får man inte ifrågasätta Teorin för att man är inte tillräckligt smart själv, för att den person som kommit på det är så överlägsen att man inte kan förstå. Oftast väldigt få bidragit till teorins utveckling. Vetenskap är nuförtiden resultatet av arbetet av många. Inom vetenskapen ska man vara försiktig när en person eller teori bli för dominerande. Det kritiska tänkandet är livsblodet för vetenskap. 17

18 10% av hjärnan myten Studies of brain damage: If 90% of the brain is normally unused then damage to these areas should not impair performance. Instead, there is almost no area of the brain that can be damaged without loss of abilities. Even slight damage to small areas of the brain can have profound effects. Evolution: The brain is enormously costly to the rest of the body, in terms of oxygen and nutrient consumption. It can require up to twenty percent of the body's energy more than any other organ despite making up only 2% of the human body by weight. [9][10] If 90% of it were unnecessary, there would be a large survival advantage to humans with smaller, more efficient brains. If this were true, the process of natural selection would have eliminated the inefficient brains. By the same token, it is also highly unlikely that a brain with so much redundant matter would have evolved in the first place. 18 ur wikipedia, se referenser också!

19 10% av hjärnan myten Brain imaging: Technologies such as Positron Emission Tomography (PET) and functional magnetic resonance imaging (fmri) allow the activity of the living brain to be monitored. They reveal that even during sleep, all parts of the brain show some level of activity. Only in the case of serious damage does a brain have "silent" areas. Localization of function: Rather than acting as a single mass, the brain has distinct regions for different kinds of information processing. Decades of research have gone into mapping functions onto areas of the brain, and no function-less areas have been found. 19 ur wikipedia, se referenser också!

20 Microstructural analysis: In the single-unit recording technique, researchers insert a tiny electrode into the brain to monitor the activity of a single cell. If 90% of cells were unused, then this technique would have revealed that. Metabolic studies: Another scientific technique involves studying the take-up of radioactively labelled 2-deoxyglucose molecules by the brain. If 90 percent of the brain were inactive, then those inactive cells would show up as blank areas in a radiograph of the brain. Again, there is no such result. Neural disease: Brain cells that are not used have a tendency to degenerate. Hence if 90% of the brain were inactive, autopsy of adult brains would reveal large-scale degeneration. Myten är död. Kräver att man tittar på detaljfakta. 20 Om man behöver vara noggrant så ska man egentligen kolla referenserna.!

21 Kännetecken på Pseudovetenskap 2) Experiment som inte kan upprepas. Teori som förlitar sig på experiment som utförts någon enstaka gång, men som inte gått att upprepas med samma resultat av andra. Bäst exempel är kallfusion, men många andra exempel. När ett experiment utförs, resultaten måste rapporteras på ett sånt sätt att experimentet kan upprepas av andra. Jag hittar ett recept för muffins (eller kallfusionreaktor) på internet och jag lagar muffins (kallfusion) enligt receptet. När det är väl klart får jag något klibbigt som inte smakar eller liknar muffins. 21 Jag skickar epost till dem och klagar, men jag får som svar: Receptet fungerade alldeles utmärkt den 17 april Eller: du hade ju fel inställning, du trodde inte på receptet, därför blev resultatet påverkad av dina negativa tankar.

22 Kännetecken på Pseudovetenskap 2) Experiment som inte kan upprepas. Många evighetsmaskiner eller anordningar som kunde skapa energi ur intet har dokumenterats på detta sätt. Det kan hända att ett experiment ger ett oväntat resultat, som strider vedertagen teorin. Då ska man noggrant beskriva experimentet så att andra kan upprepa det. Om det kan upprepas då är man nåt nytt på spåret och alla skulle vara väldigt glada! Annars kan man glömma bort det. 22

23 23 Kännetecken på Pseudovetenskap 3) Handplockade Exempel Ett 3e kännetecken är att man använder sig av handplockade exempel när ett slumpmässigt urval vore möjligt. Exempel: teorin om biorytmerna I denna teori som skapades på 1890-talet styrs människorsliv av två cykler, en om exakt 28 dagar som sägs styra känslolivet och en anna cykel om 23 dagar som sägs styra fysisk styrka och hälsa. Dessa cykler börjar när man föds. De argument som lagts fram bygger i huvudsak på handplockade exempel: Den 15 september 1973 dog den nittiettårige kung Gustav VI av Sverige, som både studerade arkitektur och var specialist på kinesisk keramik. Han dog på sin kritiska dag i känslocykeln. Samma år, den 22 oktober, dog den världsberömde cellisten och förespråkaren för frihet och mänskliga rättigheter, Pablo Casals, på sin kritiska dag i den intellektuella cykeln. Man kan bevisa vad som helst med handplockade exempel. I stället skulle en statistik studie behövas.

24 Kännetecken på Pseudovetenskap 4) Ovilja till prövning Man försöker inte pröva teorin mot verkligheten, trots att det vore möjligt. En vetenskaplig teori har sitt fulla och enda värde i att den ger en god beskrivning av verkligheten. Innan man påstår att en teori är sann måste man först så noga som möjligt jämföra den med iaktaggelser (redan gjorda eller möjliga). Den som avstår från denna prövning mot verkligheten har också gått ifrån det ständiga sökandet efter allt bättre verklighetsbild. Det ges kurser för att lära sig levitera av sekter. Man borde ganska enkelt kunna undersöka om det verkligen lyckas, men sekten har avstått från prövning. 24

25 Kännetecken på Pseudovetenskap 4) Ovilja till prövning: astrologi Astrologi hävdar en rad olika samband mellan himlakropparnas lägen vid födelsen och en rad händelser i en människas liv. Om sådana samband fanns skulle man kunna bekräfta dem med statistiska studier och man skulle kunna lära känna dem bättre och kanske använda dem bättre. Att horoskop ändå verkar att stämma in beror på att de innehåller mångtydiga fraser som stämmer in på de flesta. 25

26 Kännetecken på Pseudovetenskap 5) Likgiltighet inför motsägande fakta Det femte kännetecknet är att hävda teorin trots motsägande iakttagelser och experiment. Vill man att teorin beskriver verkligheten, så behöver man ta på allvar sådana experiment eller iakttagelser. Det kan leda till att teorin måste justeras eller överges. 26

27 Kännetecken på Pseudovetenskap Bermudatriangeln: Charles Berlitz utgav 1975 boken Dödens triangeln som sålts till över fem miljoner examplar Han hävdar att ett stort antal fartyg och flygplan försvunnit under mystiska omständigheter i ett triangelformat havsområde mellan Puerto Rico, Bermudaöarna, och södra Florida. Boken är fylld av skildringar om hur olika farkoster försvunnot spårlöst. 27

28 Kännetecken på Pseudovetenskap Bermudatriangeln: Flygpiloten Larry Kursche tog på sig att granska faktaunderlaget till alla de försvinnaden Berlitz rapporterade. Mha bla. Lloyd s fartygsregister i London och den amerikanska kustbevakningen arkiv fick han fram pålitliga uppgifter. Resulatet blev förödande för Berlitz. Många av de farkoster some denna påstod hade försvunnit i Bermudatriangeln hade i själva verket förolycklats på annat håll, i bland så långt bort som i Stilla Havet eller Irland. När alla de felaktiga uppgifterna korrigerats, återstår en olycksfrekvens som inte är större än i andra vatten med lika stor trafik. Detta har dock inte hindrat Berlitz från att fortsätta sin lukrativa verksamhet. I nya böcker och artiklar upprepar han de påståenden som Kusche så grundligt har motbevisat. 28

29 Likgiltighet inför motsägande fakta Andra Exempel Elefantine ön (i Egypten) som används som argument för att utomjordningar skulle ha besökt Jorden i antikviteten. Bibelkoden som mha av koder i texten skulle förutsäga olika händelser i världen. 29

30 Kännetecken på Pseudovetenskap 6) Inbyggda undanflykter Att man begär att teorin ska prövas på sådana villkor att den bara kan bekräftas, aldrig motbevisas av prövningens resultat. Tex man vill pröva teorin som säger att zink försenar planttillväxt. Då gör man ett experiment med 2 grupper av 50 växter: testgruppen får zink och kontrollgruppen får ingen zink. Om det blir i slutändan en signifikant skillnad mellan kontrollgruppen och test gruppen kan man rimligen säga att teorin stämmer annars stämmer inte teorin. En prövning värd namnet ska kunna antingen ge positivt eller negativt resultat! 30

31 Inbyggda undanflykter Astrologi (igen) Om förutsägelsen slår in, tillskriver astrologen stjärntydningen en ny triumf. Om det slår fel, talar han om att stjärnorna endast ger tendenser och aldrig betvingar ödet. Med någon lämplig förevändning lyckats han motsätta sig statistiska metoder inom astrologi, har han helt avskärmat sig från alla motargument som andra kan komma med. Om ingen prövning är någonsin möjlig då är det inte vetenskap. 31

32 Inbyggda undanflykter: ex. Slagerutemän Många slagrutemän tror på s.k. jordstrålning, ett slags mystisk energi som sägs finnas överallt men som särskilt anses gå fram i linjer som bildar ett ruttnät över hela jordklotet. Linjerna kan inte detekteras med konventionella mätinstrument utan endast med slagruta och dylikt. Tror i regel på flera linjesystem, varav det mest bekanta är Curry linjer. Platserna där flera linjer skär varandra kallas för kors eller currykryss. 32 Det hävdas att currylinjerna och i högra grad kors är dåliga platser för växter. De går med några meter mellanrum. Det borde synas med flygfoto på en åker. Om växten står precis mitt i ett negtivt Curry-kors drar auran ihop sig så mycket att det knappast blir någon aura kvar. Individen kommer att föra ett kraftigt hämmat liv eller helt dö ut. Om en annan individ ställer sig tillräckligt nära, som fallet är i en åker eller gräsmatta delar individenra på en del av auran. En individ som står mitt i ett negativt Curry-kors får då kraft från grannens aura och kan i bästa fall överleva och bli så livsduglig att vi inte observerar den svaga växligheten.

33 Man kan detektera arkeologiska fornlämningar med flygfoto, fast under marken. Då borde man också kunna detektera dessa mystiska linjer 33

34 Kännetecken på Pseudovetenskap 7) Förklaringar överges utan att ersättas Ett annat kännetecken är att man överger hållbara* förklaringar utan att sätta något annat istället. Syftet med vetenskaplig verksamhet är att förklara gradvis allt mer av sinnevärlden. En ny teori bör förklara mer eller lika mycket som en tidigare teori. Ibland finns det två teorier som förklarar lika mycket, men som ger olika förutsägelser för andra experiment som man ännu inte utfört, då är det viktigt att försöka utföra dessa experiment. Hållbar: att det inte finns motsägande experimentella iakttagelser och förklarar minst lika mycket som andra teorier. 34

35 Förklaringar överges utan att ersättas Två alternativ till Newtons teori av gravitation Einsteins ( ) relativitets teori (1905, 1916) Ivan Troeng lade fram en teori 1973: Månen bildades år sedan som en bula i jordskorpan på det ställe där Stilla Havet nu finns. Med denna teori vill han förklara bla. den bibliska syndafloden, dinosauriernas utdöende, den nordiska mytologins jättar, Ragnarök och Atlantis. I gengäld överger han gravitationsteori, grundgeologi, som beskriver bla Månens rörelser, som låter oss beräkna månens ålder, dvs en stor del av den moderna fysiken. 35

36 En personlig definition av vetenskap Vetenskapliga teorier är de teorier som överlevt trots att man provat allt för att motbevisa dem. Man kan se dem som den enda förklarigen som är kvar. Men imorgon kommer kanske ett nytt experiment som motbevisar min teori eller beskrivning av verkligheten. Då måste man hitta på nya. En ny teori kommer att vara den enda som kan förklara verkligheten. 36

37 Övning: kommentera Experimentatorer som arbetat länge inom detta område har observerat att resultatet hämmas om experimentet görs komplicerat, tungrott och långsamt. Säkerhetsåtgärder mot fusk som sådana är i regel distraherande. 37

38 Övning: kommentera Experimentatorer som arbetat länge inom detta område har observerat att resultatet hämmas om experimentet görs komplicerat, tungrott och långsamt. Säkerhetsåtgärder mot fusk som sådana är i regel distraherande. Joseph Rhine ( ) ansedd amerikansk parapsykolog. 38

39 Statistiska fördelningar i vardagslivet Normalfördeling centralvärdesatsen : många slumpmässiga faktorer oavsett vilken fördelning de följer var för sig kombineras till en normalfördelning eg. summan av ett stort antal tärninga Binomialfördelning Poissonfördelning 39

40 Poissonfördelning Definition för Poissonfördelning Antal händelser i två olika tidsintervall är oberoende. Sannolikheten för en händelse i en liten tids interval är proportionell mot tidsintervallet längd. 40

41 Poissonfördelning - Tillämpningar Exempel Antalet döda genom hästspark i Preussiska armen Defekter vid födelsen och genetiska mutationer. Sällsynta sjukdomar (som Leukemia, inte AIDS eftersom olika fall kan vara relaterade) Bilolyckor och försäkringar. Trafikflöde Antal typos i en text. Antalet hårstrå funna i en hamburgare Problem med en verskadmaskin. 41

42 Poisson Distribution If the expected number of occurrences in a given interval is, then the probability that there are exactly k occurrences (k being a non-negative integer, k = 0, 1, 2,...) is equal to Det betyder tex att om medelvärdet för antalet radioaktiva sönderfall i ett interval T är Lambda, då är sannolikheten för att observera: 0 sönderfall i intervallet T lika med f(0, ) 1 sönderfall i intervallet T lika med f(1, ) 2 sönderfall i intervallet T lika med f(2, ) 3 sönderfall i intervallet T lika med f(3, ) 42

43 Poisson Distribution & Trafikljus Man observerar vid ett trafikljus att det finns i genomsnitt =4 bilar som väntar på grönt ljus när det blir grönt. Tidsintervallet T hur lång tid är ljuset röd Det betyder tex att om medelvärdet för antalet radioaktiva sönderfall i ett interval T är Lambda, då är sannolikheten för att observera: 43 0 bilar har sannolikhet lika med f(k=0, =4)=4 0 e -4 /0!=e -4 /1 = % 1 bilar har sannolikhet lika med f(k=1, =4) =4 1 e -4 /1!=4 e -4 /1 = % 2 bilar har sannolikhet lika med f(k=2, =4) =4 2 e -4 /2!=16 e -4 /2 = % 3 bilar har sannolikhet lika med f(k=3, =4) =4 3 e -4 /3!=64 e -4 /6 = % 4 bilar har sannolikhet lika med f(k=4, =4) =4 4 e -4 /4!=256 e -4 /24= % 5 bilar har sannolikhet lika med f(k=5, =4) =4 5 e -4 /5!=1024 e -4 /120= %

44 Histogram av sannolikhet för att ett visst antal bilar väntar på grönt ljus. 44

45 En liten simulering av trafikljuset. Vi antar att trafikljuset är röd under 20 sekunder Medelvärde på antalet bilar =4 4 bilar som samlades under 20 sekunder, betyder i genomsnitt: (4 / 20) bilar = 0.2 bilar i sekunder = trafikflöde För varje sekund som går är sannolikheten att en bil dyker upp lika med 0.2 (20%) Kasta tärning varje simulerad sekund. 45

46 För Varje sekund slumpa fram ett tal mellan 0 och 1. Om talet är under 0.2 då säger vi att en bil kommer under denna sekund Antalet bilar som väntar ökar med 1 Om det varit rött ljus i 20 sekunder, då blir det grönt och antalet bilar som väntar blir noll igen Gör om samma steg för nästa sekund. Behöver bara slumpa fram slumptal mellan 0 och 1. 46

47 Det blir grönt ljust var 20 sekunder. 47

48 48 För varje sekund så kan det komma en bil eller inte med en sannolikhet på 20%. Varje svart sträck motsvarar en bil som tillkommer.

49 Antalet bilar i kön (röd) väntar varje gång en ny bil kommer Antalet bilar i kön går till noll när ljuset blir grönt. 49

50 50 Histogram av antalat bilar som står i kö precis innan det blir grönt Följer en Poisson fördelning!

51 51 Minsta kvadrat anpassning med en Poisson fördelning

52 Simuleringar Med hjälp av slumptal kan man bygga simuleringar av verkliga problem. I en simulering man bryter ner tiden i små tidsintervaller, tex en sekund i vårt traffikproblem, och för varje sekund kan man tillämpa väldigt enkla lagar. I vårt fall var det att dra ett slumptal mellan noll och ett för att avgöra om en bil kom eller inte under just denna sekund. Kan tillämpas till många problem, komplicerade mekanik problem osv. 52

53 Mycket lärorikt exempel på 53