Varierade arbetsformer och arbetssätt i matematikundervisningen

Transkript

1 Varierade arbetsformer och arbetssätt i matematikundervisningen Farida Norlund Marie Stenberg Vt 2017 Examensarbete, 30 hp Grundlärarprogrammet F-3, 240 hp Institutionen för matematik och matematisk statistik

2

3 Sammanfattning Syftet med vår studie är att fördjupa kunskaper och ge goda exempel om vilka variationer som kan finnas kring arbetsformer och arbetssätt i matematikundervisningen. Vi vill sedan ta reda på hur lärare beskriver att matematikförmågorna kan komma i uttryck i de valda arbetssätten. Den teoretiska bakgrunden presenterar vad tidigare forskning beskriver om arbetsformer som helklass, grupp/par samt enskilt arbete. Den tar också upp arbetssätten som matematiska samtal, laborativ undervisning och problemlösande arbetssätt. Vidare förklaras även forskning kring varierad undervisning, läroboken och matematikförmågorna från läroplanen För att besvara våra forskningsfrågor har en kvalitativ metod använts med tillhörande observationer och intervjuer. Resultatet visar att arbetsformerna har varierat. Helklassundervisning har använts mest. Arbetssätten har varierat både kopplat till- och utan läroboken. Förmågorna har även kommit i uttryck genom olika arbetssätt, men där samtal är centralt. Nyckelord: matematikundervisning, läroboken, matematiska samtal, helklassundervisning, matematikförmågor English title: Varying work and working methods in mathematics education

4

5 Innehållsförteckning 1 Inledning Syfte och frågeställningar Teoretisk bakgrund Läroboken i matematikundervisningen Varierad undervisning Matematikförmågorna Arbetsformer och arbetssätt Matematiska samtal Laborativ undervisning med laborativt material Problemlösning med problemlösande arbetssätt Metod Kvalitativ metod Urval Förstudien Observations- och intervjuperioden Datainsamlingsmetoder Observationer Semistrukturerade intervjuer Beskrivning och genomförande Förstudien Observations- och intervjuperioden Forskningsetiska principer Databearbetning observationer Databearbetning av semistrukturerade intervjuer Avgränsningar Resultat och analys Resultat och analys av arbetsformer Resultat och analys av arbetssätt och arbetsuppgifter Resultat och analys av fyra lektioner Lektion 1: 100-festen Lektion 2: Klockan Lektion 3: Omkrets och mätning Lektion 4: Programmering Diskussion Resultatdiskussion Metoddiskussion Slutsats och vidare forskning Referenser... 58

6 8 Bilagor... 63

7 1 Inledning Läroboken har stort utrymme i svensk skola. Detta visar bland annat Skolinspektionens (2009) rapport som presenterar en granskning som de gjort. I denna granskning framgår det att eleverna ofta får arbeta enskilt i läroboken. Det medför att eleverna får svårt att uppnå målen i läroplanen eftersom andra kompetenser, idag kallade förmågor, inte får träda fram i undervisningen. Lärarna i granskningen visade en osäkerhet kring syftet med kursplanens delar och de använde då läroboken som ett stöd och vägledning i matematikundervisningen. Något som också framkom i rapporten var att undervisningen i de besökta skolorna inte var tillräckligt varierad och anpassad för att möta olika elevers behov och förutsättningar. Rekommendationerna i rapporten anger att varierad matematikundervisning är betydelsefull för att uppnå måluppfyllelse (ibid). Mellan åren 2009 och 2011 gav Skolverket ekonomiskt bidrag för att höja kvaliteten i matematikundervisningen i grundskolan. Intresset var stort och många ansökte om detta bidrag. I ansökningarna framgick det från lärarnas sida en önskan om att minska lärobokens inflytande och istället fokusera på mer laborativa arbetssätt utifrån konkreta material (Skolverket, 2012a). Med stöd från ovanstående är varierad undervisning betydelsefullt för att alla förmågor i skolämnet matematik ska bearbetas, men varierad undervisning kan betyda många saker. Skolverkets beskrivning av varierad undervisning handlar om att variera både arbetsformer, arbetssätt och innehåll (Skolverket, 2012b). Under lärarutbildningen har vi fått kunskaper om hur arbetsformer, men främst arbetssätten kan praktiseras i förhållande till det centrala innehållet och matematikförmågorna. Arbetsformer förklaras med hur läraren organiserar undervisningen som helklassundervisning, par-, grupp, och enskilt arbete. Arbetssätt handlar om hur ett innehåll bearbetas med exempelvis samtal, laborativt arbete och undersökande arbetssätt (Pettersson, 2011; Löwing, 2004; Backlund och Backlund 1999; Vinterek, 2006), medan innehållet kopplas till det centrala innehållet i kursplanen (Skolverket, 2011b). Forskningen efterfrågar fler arbetsformer och arbetssätt än enskilt räknade i matematikboken för att eleverna ska få möta fler kompetenser, som i dagens läroplan kallas förmågor (Skolinspektionen, 2009; Skolverket, 2003). Även om det finns rapporter som signalerar ett kritiskt sätt till användandet av läroboken i matematikundervisningen, finns det även 5

8 en annan syn på användandet av läroboken. Monica Johansson (2006) är en av dem. Hon menar att den kan fungera som ett verktyg, men att läraren måste vara medveten hur läroboken används både när det gäller tillgångar och begränsningar. Får den styra för mycket kan läraren bli negativt beroende av läroboken, eftersom det hindrar en mer öppen och variationsrik matematikundervisning. Det är också där vi valt att rikta in oss, det vill säga på den varierade matematikundervisningen med fokus på arbetsformer och arbetssätt kopplat till förmågor. Denna studie riktar sig mot att lyfta bredden av de goda exemplen. Studien kommer förhoppningsvis att bidra till att både blivande och verksamma lärare får en inblick hur de goda exemplen kan användas och därmed kan kanske i sin tur ge inspiration till egen undervisning. 6

9 2 Syfte och frågeställningar Syftet med denna studie är att fördjupa kunskaperna och ge goda exempel av variation gällande arbetsformer och arbetssätt i matematikundervisningen. Vi vill även ta reda på hur läraren beskriver att matematikförmågorna kommer i uttryck i de valda arbetssätten. Detta ska undersökas utifrån följande frågeställningar: 1. Vilka variationer av arbetsformer används i undervisningens upplägg under de observerade matematiklektionerna? 2. Vilka variationer av arbetssätt används i de observerade matematiklektionerna? 3. Hur beskriver läraren att förmågorna kommer till uttryck i de valda arbetssätten under matematiklektioner? 7

10 3 Teoretisk bakgrund Nedan presenteras tidigare forskning kring lärobokens användning i matematikundervisningen samt vad varierad undervisningen är. Sedan förklaras hur förmågorna ska förstås i läroplanen och vilka fem matematikförmågor som finns. I Skolverkets (2012b) beskrivning av varierad undervisning ingår tre begrepp; arbetsformer, arbetssätt och innehåll. De begreppen kommer att beskrivas i denna del. Studien kommer däremot att fokusera på de två förstnämnda begreppen och hur de tillämpas inom matematikundervisningen. Den teoretiska bakgrunden kommer att utgöra det teoretiska ramverket för undersökningen. 3.1 Läroboken i matematikundervisningen Enskilt arbete i läroboken är en arbetsform som används flitigt i matematikundervisning i Sverige (Skolinspektionen, 2009; Skolverket, 2003,). Många av lärarna tillåter sig i huvudsak vägledas av läroboken i stället för att vägledas av kursplanen, även om det lyfts fram undantag bland lärarna i granskningen. De lärare som visar en osäkerhet kring kursplanens delar förlitar sig på att läroboken tolkar de delarna på ett rimligt sätt. Från intervjuerna i granskningen framgår det även att några lärare nämner användningen av boken på ett ursäktande sätt, och några av dem förmedlar också ett intryck av att inte själva reflekterat över relationen mellan kursplanens mål och arbetssätten. En förklaring till osäkerheten hos lärarna kan vara att utformningen av kursplanen är svårtolkad och att lite tid har lagts åt gemensamma diskussioner och tolkningar ute på skolorna. När läroboken används i matematikundervisningen läggs stort fokus på procedurhantering och det förklaras med att räkna i matematikboken och ofta efter relativt kända uppgifter. Trots att det framgår att procedurräkning är vanligt, är det inget som lärarna lyfter fram som viktigt. Denna procedurräkning bidrar till att flera av de andra kompetenserna, som i dag kallas förmågor, inte får träda fram i matematikundervisningen, som exempelvis problemlösning och kommunikation. Det medför att eleverna inte får möjlighet att uppnå målen i läroplanen (Skolinspektionen, 2009). 8

11 Johansson (2006) beskriver en positiv syn på användandet av läroboken, även om hon också menar att läroboken starkt har präglat matematikundervisningen. Det har dessutom funnits förväntningar från både kollegor, elever och föräldrar att den ska användas. Boken kan ses som en trygghet för att säkerhetsställa att eleverna få ta del av alla delar inom matematiken inför kommande skolgång. Forskaren menar att läroboken kan underlätta det dagliga arbetet. Hon förklarar vidare att lärarna inte behöver utforma egna uppgifter som eleverna ska arbeta med, samt att det går att individualisera undervisningen om uppgifterna delas in i svårighetsgrad. Johansson fortsätter att förklara att läroboken kan vara ett bra stöd om läraren inte är så säker på sin matematik. Däremot framhåller hon att ansvaret ligger hos läraren och att det är mycket viktigt att ta kloka beslut om hur läroboken ska användas. Lärare bör inte bli negativt beroende av den, utan de behöver veta vad boken kan erbjuda och hur den ska användas. Läroboken ska vara ett stöd i undervisningen och den ska användas så att den överensstämmer med lärarens pedagogiska avsikter (ibid.). 3.2 Varierad undervisning Som nämnts har läroboken ett stort utrymme i Sveriges matematikundervisning (Skolinspektionen, 2009; Skolverket 2003). Rapporter eftersöker en varierad matematikundervisning för att tillmötesgå kursplanens delar och för att skapa en lustfylld undervisning för eleverna (ibid.). Samtidigt fanns det goda exempel i Skolinspektionens (2009) granskning. I de exemplen hade lärarna god kompetens om styrdokumenten, beaktade elevers olika sätt att lära, samt försökte variera arbetssätten för att göra undervisningen lustfylld för eleverna. Trots det betonar granskningen att det inte är tillräckligt med några goda exempel, utan att samtliga elever ska ha möjlighet att möta kursplanens alla delar (ibid.). Från Skolverkets (2003) rapport framgår det att det finns en skillnad i arbetssätten, i de tidigare skolåren i jämförelse med senare år i skolan, kopplat till lusten att lära. Arbetssätten är friare, men rapporten belyser också att det övergår till formaliserat lärande främst i matematik. I det formaliserande lärandet får läroboken en central roll för läraren och rapporten förespråkar, likt Skolinspektionens (2009) rapport om en varierad undervisning. Även Malmer (2002) beskriver variationen 9

12 och flexibiliteten för att tillmötesgå elevernas olika sätt att lära, och hon förespråkar inte en alltför enformig undervisning. Med avseende på lärobokens användning har det också funnits önskemål från lärarnas sida att minska bokens inflytande i matematikämnet. När Skolverket gav ekonomiskt bidrag för att höja kvalitén på matematikundervisningen framgick det att lärarna i stället ville fokusera på mer laborativa arbetssätt utifrån konkreta material (Skolverket, 2012a). Lärarens kunskaper om läroplanens syfte tillsammans med att bedriva en varierad undervisning bäddar för att främja elevernas kunskapsutveckling. Att använda sig av varierad undervisning i skolan handlar både om att variera arbetssätt, arbetsformer och innehåll, samt att anpassa efter individen och gruppen (Skolverket, 2012b). I en intervju med Madelene Löwing påtalar hon att det är viktigt att veta att det inte endast handlar om att variera arbetssätt, utan att det ska finnas ett tydligt innehållsligt mål om vad eleverna ska kunna (Skolverket, 2012a). Nedan presenteras matematikförmågorna som beskriver de det eleverna ska kunna, för att därefter förklara begreppen som tillhör Skolverkets definition på varierad undervisning. 3.3 Matematikförmågorna Syftestexten i läroplanen anger den grund undervisningen ska vila på. Den texten utmynnar sedan i ett antal långsiktiga mål för respektive skolämne och benämns som förmågor. Förmågorna beskriver det kunnandet som eleverna ska ges möjlighet att utveckla och är grunden för kunskapskraven. I ämnet matematik handlar det om fem matematikförmågor (Skolverket, 2011a; Skolverket, 2011b). De matematikförmågor som Läroplanen lyfter fram är generella och de är inte kopplade till något specifikt innehåll i matematikämnet. De är alltså inte isolerade utan de överlappar varandra vid användningen av dem. Vid planering och utförande av undervisningen måste läraren ge dessa matematikförmågor ett matematiskt innehåll genom att tillämpa dem tillsammans med det centrala innehållet. Samtidigt som det centrala innehållet också måste tolkas utifrån matematikförmågorna. I och med att läraren utgår från läroplanen vid planering och utförande fokuseras också olika förmågor i olika former av arbetssätt och uppgifter (Häggblom, 2013; Skolverket, 2011b). Det är här som denna studie kommer fokusera, 10

13 nämligen på arbetssätten, men också på arbetsformerna tillsammans med lärarens beskrivning av förmågorna som beskrivs nedan. Problemlösningsförmågan handlar om att eleverna ska få tolka och analysera matematiska problem, för att därefter använda problemlösningsstrategier för att lösa uppgifter. Denna förmåga kan däremot bearbetas på en mängd olika sätt (Skolverket; Häggblom, 2013). Begreppsförmågan innebär att eleverna ska ges möjlighet att använda, ha kunskaper kring dem, samt vikten av begreppen och varför de används (Skolverket). Häggblom (2013) menar att begreppsförmågan är omfattande och fortsätter förklara att begreppsförståelsen är en central del i matematiken (ibid.). Begreppsförmågan och de begrepp som bearbetas i undervisningen kan behandlas inom flera typer av representationsformer i relation till olika matematiska syften och situationer. De representationsformer som begreppen kan bearbetas i kan exempelvis vara språk, symboler och visuella bilder för att finna samband mellan dem (Skolverket; Häggblom, 2013). Procedurförmågan (metodförmågan) handlar om att eleverna får utveckla och använda olika lämpliga matematiska tillvägagångssätt för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter. Den förmågan innebär också att eleven ska lösa olika uppgifter, hantera olika digitala verktyg, samt välja lämpliga metoder, för att främja sin säkerhet vid beräkningar av matematikuppgifter (Skolverket). Resonemangsförmågan innebär att elever ska kunna föra och följa matematiska resonemang. Resonemanget innehåller matematiska begrepp och metoder som kan omfatta lösningar till problem i olika matematiska situationer. Att föra resonemang i matematik kan betyda flera saker. Eleven kan själv och tillsammans med andra föreslå, förklara, finna mönster, argumentera, undersöka hypoteser och verkställa bevis i tal och skrift (Skolverket). Häggblom (2013) menar att resonemangsförmågan innebär att eleverna får möjlighet att uttrycka sina tankar i ord, som vidare kan resultera att tankarna revideras då de redovisar sina förslag för andra (ibid.). Kommunikationsförmågan ligger nära kopplad med begreppsförmågan, eftersom det i denna förmåga innebär att kunna kommunicera med matematiska uttrycksformer. Uttrycksformerna är bilder, ord, termer, symboler, tabeller, grafer, gestaltningar och 11

14 modeller. I denna förmåga ska uttrycksformerna också kunna kommuniceras i olika sammanhang (Skolverket; Häggblom, 2013). Med stöd från ovanstående och Löwings (Skolverket, 2012a) förklaring om att det inte handlar om att endast variera arbetssätt, finns en medvetenhet om att arbetssätten i sig inte är mål för undervisningen. De kan ses som medel som måste sättas i relation med syftet, förmågor, centralt innehåll och kunskapskrav, även om vi valt att i det här arbetet fokusera på arbetssätt, arbetsformer och förmågor. Nedan förklaras arbetsformer och arbetssätt. 3.4 Arbetsformer och arbetssätt Petterson (2011) förklarar att både arbetsformer och arbetssätt beskrivs och benämns som matematiska aktiviteter. Hon fortsätter beskriva att arbetsform handlar om hur läraren organiserar sin undervisning genom helklassundervisning, grupparbete eller enskilt arbete. Att arbetsformen handlar om hur läraren organiserar undervisningen som förklaras ovan tas även upp av andra (Löwing, 2004; Backlund och Backlund 1999; Vinterek, 2006). De här arbetsformerna kan även variera från lektion till lektion (Löwing, 2004). Vinterek (2006) lyfter dessutom fram miljön och lokaler som eleverna får arbeta i och hur de i sin tur kan anpassas efter behovet och intresset. När det kommer till arbetssätt handlar det om hur innehållet i undervisningen behandlas genom exempelvis föreläsning, diskussion, laborativt arbete, undersökande arbetssätt (Petterson 2011; Backlund och Backlund 1999). Att arbetssätt också ingår under metoder framgår av Kroksmark (1997). När han beskriver begreppet metoder menar han att det handlar om praktiska och konkreta aspekter av undervisningen. Författaren fortsätter förklara att metoder i sin tur har underavdelningar som handlar om undervisningens former, arbetssätt och principer. Metoder ska vara en medveten didaktisk handling, som riktar den undervisande och lärandeaktivitetens uppmärksamhet mot något innehåll. Det vill säga att den begripliggör ett sak- eller processinnehåll för någon genom en specifik undervisningsaktivitet (ibid.). Lindström och Pennlert (2012) lyfter även de fram metoder och kopplar dessa till hur-frågan. De förklarar likt 12

15 Kroksmark (1997), att hur-frågan riktas mot undervisningens process och upplägg. I det här arbetet kommer begreppet arbetssätt och inte metod att användas. På samma sätt finns det ingen tydlig avgränsning mellan arbetsformer och arbetssätt, utan de överlappar och sammanfaller med varandra. Vid instruktioner och utformning av uppgifter i undervisningen kan det skifta kring hur de används och inom arbetsformerna kan arbetssätten också skifta (Backlund och Backlund, 1999; Vinterek, 2006). Varierad undervisning handlar också om att variera innehållet i undervisningen (Skolverket, 2012). Lindström och Pennlert (2012) beskriver innehållet som den didaktiska vad-frågan. Det vill säga vad undervisningen ska innehålla och som i kursplanen benämns som det centrala innehållet (Skolverket, 2011a; 2011b). Det centrala innehållet i den svenska läroplanen är ett obligatoriskt innehåll som eleverna ska möta när de arbetar med ämnet (Skolverket, 2011b) och är, som tidigare beskrivits, kopplat till förmågor vid lärarnas planering och utförande av undervisningen (Häggblom, 2013). Sammanfattningsvis och med stöd från ovanstående handlar arbetsformer om hur läraren organiserar sin undervisning genom helklassundervisning, grupparbete, pararbete och enskilt arbete och det kan även ske i olika miljöer som exempelvis i olika lokaler. I arbetsformerna ingår olika arbetssätt. Arbetssätten beskriver hur innehållet i undervisningen ska behandlas och tar sig vidare uttryck i olika uppgifter och kan variera. Innehållet i undervisningen avser i denna studie det centrala innehållet, och kommer att betyda det läraren beskriver att lektionen ska handla om. Studien kommer att fokusera på arbetsformerna och arbetssätten. Nedan kommer arbetssätt att beskrivas och hur de används och arbetas med för att bearbeta ett matematiskt innehåll Matematiska samtal En person som betonar samtalet och språkets betydelse inom matematik är Malmer (2002). Hon menar att uttrycket tala matematik kan utmynna i samtal, diskussion och argumentation och uttrycket har varit rådande under längre tid. Den muntliga, men även den skriftliga delen i undervisningen är viktig för att eleverna ska få uttrycka sina tankar i ord som vidare har betydelse för utvecklingen av tankeprocessen. Malmer hävdar 13

16 vidare att det är i argumentationen och samtalet och det reflekterande samtalet som eleverna i par eller mindre grupper löser många uppgifter, genom att de får utbyta idéer och förslag mellan varandra. Det reflekterande samtalet beskriver Malmer bland annat indirekt som när barnen får berätta, argumentera, diskutera och fundera över sina lösningsförslag med varandra, men också när de utgår från att jämföra sina idéer och lösningsförslag (ibid.). Detta understryks även i annan forskning från Fransisco (2013), som menar att arbete i grupp gynnar elevernas förmåga att utveckla sina idéer och tankar och att matematisk förståelse blir bättre i sociala sammanhang. Díez- Palimar och Olivé (2015) beskriver dialogic talk inom matematik. De förklarar det som en dialog som sker mellan två eller flera personer och som inriktar sig på att finna lösningar på matematiska uppgifter eller aktiviteter. I denna dialog innebär det att personerna använder argument som baseras på påståenden som övriga deltagare i dialogen kan ta del av och arbeta med. Författarna menar att dialogic talk kan skapa meningsfulla lärandesituationer som gynnar barns matematiklärande i positiv riktning (ibid). Samtidigt har läraren en viktig roll för att stötta det matematiska samtalet. Det är något som bland annat Löwing (2004) lyfter. Läraren är elevernas språkliga förebild, men Löwing menar att det inte räcker för läraren att enbart vara ett gott föredöme. Läraren måste hjälpa eleverna att hantera och tillämpa det matematiska språket genom ett aktivt deltagande. Det gäller både elever emellan men även tillsammans med läraren, samt att samtalet kommer till användning i olika typer av kommunikation i klassrummet. Det är viktigt att språket är klart och tydligt så eleverna succesivt kan tillägna sig ett funktionellt matematikspråk (ibid.). I de matematiska samtalen är det också viktigt att kunna ställa frågor som lockar fram diskussioner i klassrummet. Förutom det behöver läraren även ta tillvara och synliggöra betydelsen av nya, men även bekanta matematiska begrepp (Häggblom, 2013). I denna studie och med stöd från ovanstående handlar matematiska samtal om när eleverna får möjlighet att samtala, diskutera, argumentera och redogöra för sina lösningsförslag inom matematiken. Möjligheten till matematiska samtal kan vidare ske genom att läraren ställer frågor som lockar till diskussioner i klassrummet, samt för att synliggöra bekanta och nya matematiska begrepp. Det kan också ske genom att 14

17 undervisningen organiseras genom par eller grupparbete där eleverna får samtala med varandra Laborativ undervisning med laborativt material Laborativt material kan delas in i två huvudgrupper. Vardagliga föremål, som kan härledas till föremål som människan använder praktiskt i vardagen som vid matlagning och snickeri. Det kan därmed vara föremål som måttband för mätning och hushållsmått, men det kan även vara material som återfinns i naturen (Rystedt och Trygg, 2010; Trygg, 2014). Den andra huvudgruppen är pedagogiska material. De är framtagna specifikt för att användas i matematikundervisningen med syfte att visa matematiska principer och användas om de vardagliga föremålen inte räcker till. Materialet kan bestå av exempelvis tiobasmaterial, multilink och talblock. Utöver dessa två huvudkategorier ingår också spel som kan användas för färdighetsträning och de kan vara tillverkade av lärarna, eleverna eller så är det färdigtillverkade spel som går att köpa (ibid.). Det laborativa materialet kan användas på olika sätt i matematikundervisningen. I en kunskapsöversikt av Rystedt och Trygg (2010) förklarar de laborativ undervisning som att flera sinnen får träda fram och användas, samt att det finns en stark koppling mellan det konkreta och det abstrakta. I den verksamheten arbetar eleverna praktiskt med material och med ett specifikt syfte för undervisningen. Materialet bearbetas genom att eleverna exempelvis får plocka isär, sätta ihop, vrida och vända, omfördela och ordna kopplat till ett matematiskt innehåll (ibid.). När Skolverket (2011c) beskriver laborativt arbetssätt och konkret matematik menar de däremot att inget av dessa primärt handlar att om involvera flera sinnen eller vara aktiv med kroppen. De betonar att det centrala med laborativt arbetssätt är att ge eleverna möjlighet att upptäcka och återupptäcka matematiken från olika håll där man inte utgår från en förutbestämd formel eller metod (ibid.). I det laborativa arbetssättet kan läraren börja och utgå ifrån den nivå eleverna befinner sig på. Eleverna arbetar då med olika innehåll baserat på sin förförståelse inom det matematiska område de arbetar med för att sedan gå vidare till den abstrakta och symboliska nivån (Rystedt och Trygg, 2010). Det laborativa arbetssättet kan exempelvis användas för att arbeta med begrepp, problemlösning och undersökande aktiviteter (Häggblom, 2013). 15

18 När Skolverket (2011c) tar upp konkret matematik utvecklar de kopplingen mellan konkret och abstrakt, men även från abstrakt till konkret. De riktar fokus på begreppet konkret som innebär själva materialet, till begreppet konkretisera och konkretisering. Förklaringen är att materialet inte i sig är konkretiserande, utan att det endast är ett konkret material. Kopplingen mellan konkret och abstrakt skapas alltså av läraren som i sin tur ser till att det blir en konkretisering för att underlätta förståelsen, det vill säga abstraktionen. Konkretisering i matematikundervisningen används därmed i ett sammanhang då begrepp, metoder och matematiska modeller kan vara svåra att uppfatta (ibid.). Eleverna börjar då på den abstrakta nivån för att sedan konkretisera ett innehåll, som i det här fallet ofta innebär att eleverna får arbeta med laborativt material (Rystedt och Trygg, 2010). Språket är en viktig del vid arbetet med laborativ undervisning, både gällande språkliga och intellektuella nivåer. De språk som används i det arbetet ska föras från vardagsspråk inom matematik till ett mer formellt matematikspråk, samt till abstrakt kunskap. Om inte läraren behärskar detta språk eller använder det i undervisningen finns det risk för att elever inte får förståelse för matematiska ord och begrepp. Det är alltså viktigt att läraren skapar en koppling mellan vardagsspråk och abstrakt språk i matematik (Löwing, 2004). Förutom språket är det också viktigt hur materialet används. Det är något som Malmer (2002) betonar. Ett ogenomtänkt plockande med materialet garanterar inte att eleverna får tillägna sig matematiska begrepp. Författaren menar att både aktiviteterna och materialet ska används på ett genomtänkt sätt och i meningsfulla sammanhang. Hon förklarar att genom att göra detta får eleverna möjlighet att skapa ett inre bildarkiv som fungerar som stöd för deras logiska tänkande och som vidare ger generaliserbara lösningsmetoder. Författaren tydliggör att genom konkretion, stimulans och omväxling kan elever få mer förståelse för matematik (ibid.). Med stöd forskning innebär laborativ undervisning att eleverna får arbeta med laborativt material, där det finns en koppling mellan det konkreta och abstrakta. Det är däremot viktigt att det används på ett genomtänkt sätt, eftersom materialet inte är undervisning i sig. Materialet behöver sättas in i ett meningsfullt sammanhang som skapas av läraren. 16

19 3.4.3 Problemlösning med problemlösande arbetssätt Problemlösning är centralt i matematiken. Det återfinns och uttrycks både i det centrala innehållet och som en förmåga, samtidigt som problemlösning inbegriper flera av de andra förmågorna (Skolverket, 2011b). Problemlösning är något som kan betyda olika saker och det är inte alltid enkelt att hitta en samlad definition av vad det kan innebära. Den är inblandad i flera didaktiska moment och aktiviteter i matematiken (Häggblom, 2013; Taflin, 2007). Problemlösning är en komplex och krävande aktivitet eftersom ett problem kan uppfattas på olika sätt. En problemlösningsuppgift kan vara en rutinuppgift för någon och ett problem för en annan (Häggblom, 2013; Grevholm, 2012). Däremot förklaras en problemlösningsuppgift oftast som en uppgift där personen inte har en given lösningsstrategi (Häggblom, 2013, Skolverket, 2011b). Att problemlösning är centralt och inbegriper flera delar i matematiken avspeglar sig också i den forskning som använts i den här studien som handlar om hur man kan arbeta med det i undervisningen. Ett sätt att arbeta med problemlösning kan vara att använda sig av de faser som Taflin (2007) använder sig av. Hennes forskning berör problemlösning, och hon tar stöd av fyra faser. Taflin benämner den första fasen som introduktionsfasen, där läraren introducerar problemet och det hela avslutas när eleverna uppfattat problemet. Den andra fasen är idéfasen, där eleverna både kan arbeta tillsammans och enskilt med fokus att lösa problemet och prova matematiska idéer. Lärarens roll är att stötta eleverna och inspirera dem till problemlösning. Fasen avslutas när eleverna funnit minst en matematisk idé. Tredje fasen är lösningsfasen. I den är en del av eller hela problemet löst och eleverna diskuterar, jämför och försöker komma överens om alternativa lösningar med sina klasskamrater eller med läraren. Sista fasen är redovisningsfasen som handlar om att redovisa olika sätt att lösa problemet som ofta sker i helklass, då lösningsförslagen jämförs och diskuteras över det utförda problemet (Taflin, 2007). De faser Taflin använder sig av, är i grunden utvecklade av Polya (1945), men har sedan vidareutvecklats av Schoenfeld (1985). Grevholm (2012) förklarar att i arbetet med problemlösning kan eleverna ha tillgång till matematiska begrepp, verktyg, tillvägagångssätt och metoder för att sedan hitta praktiska lösningar på problemet vilket också bör innehålla reflektion. I arbetet menar Grevholm att eleverna får möjlighet att diskutera, argumentera söka efter uppgifter och 17

20 använda egna metoder för uträkningen. Detta är i likhet med det Taflin (2007) förklarar. Hon menar att det matematiska resonemanget är viktigt vid problemlösning. Författaren anser att i ett klassrum där man arbetar med det problemlösande arbetssättet kan eleverna få möjlighet att använda och dela olika matematiska lösningar och idéer, som också kan uttryckas i olika matematiska representationer. Detta kan bädda för intressanta diskussioner i matematikundervisningen där eleverna lär av varandra, och även läraren lär av eleverna (ibid.). I arbetet med problemlösning får eleverna möjlighet att ställa frågor och hypoteser kopplat till lösningsförslaget och när de får möta andras sätt att tänka kan ytterligare frågor ställas (Ahlberg, 2001). Det problemlösande arbetssättet är alltså när eleverna får arbeta med problemlösning där uppgiften inte har ett givet tillvägagångssätt. I arbetet har eleverna kännedom om matematiska begrepp, verktyg, tillvägagångssätt och metoder för att hitta praktiska lösningar till problemet. Vid problemlösning är det också viktigt att förstå problemet, för att i arbetet kunna utforma en lösningsplan och följa den. Slutligen är samtalet betydelsefullt vid problemlösning eftersom det bidrar till att dela idéer, lösningsförslag och skapa diskussioner tillsammans. 18

21 4 Metod Denna studie innehåller två delar som kommer att benämnas som förstudien och observations- och intervjuperioden. Nedan presenteras valet av metod, urval och sedan de två datainsamlingsmetoder som användes för de två delarna. Därefter beskrivs också genomförandet och de forskningsetiska principerna som vi har förhållit oss till. Till sist tas databearbetningen upp och avrundas avslutningsvis med avgränsningar. 4.1 Kvalitativ metod Syftet med arbetet är att fördjupa kunskaperna och ge goda exempel om vilka variationer som används i matematikundervisningen gällande arbetsformer och arbetssätt, samt hur läraren beskriver att matematikförmågorna kommer i uttryck. Av den anledningen har vi använt oss av en kvalitativ metod, vilket, grundar på att vi ville ta reda på hur den verkliga och vardagliga matematikundervisningen ser ut kopplat till syftet. Frejs och Thornberg (2015) menar att en kvalitativ metod ger möjlighet att se verkligheten genom orddata, det vill säga data som är bestående av olika språkliga uttalanden som exempelvis inspelade intervjuer och fältanteckningar. Denscombe (2009) förklarar att kvalitativa metoder bygger på att göra djupare beskrivningar och att det därför är fördelaktigt att befinna sig på fältet under en längre tidsperiod för att värna om trovärdigheten. Utifrån både Frejs och Thornbergs (2015), samt Denscombe (2009) resonemang knyts våra observationer och intervjuer som utförts i totalt cirka tre veckor och som senare analyserades kvalitativt utifrån den teoretiska bakgrunden. 4.2 Urval Två urval gjordes. Ett för förstudien och ett för observations- och intervjuperioden. Nedan presenteras de, samt antalet deltagande lärare och en kort beskrivning om dem. 19

22 4.2.1 Förstudien Förstudien kopplas till ett bekvämlighetsurval. Det förklarar Denscombe (2009) som att forskaren väljer det första som finns till hands, och att det vid behov kan användas vid begränsade resurser både när det gäller tid och pengar. Han menar därmed är det rimligt att forskaren väljer det mest fördelaktiga alternativet. I den här studien användes urvalet utifrån att vi kontaktade en lärare vars identitet är känd för en av oss och det gjordes för att tiden var begränsad och för var angelägna om att besöka fältet. Under förstudien erbjöds vi av ytterligare en lärare att observera hens lektioner. Därmed observerades två lärares lektioner under förstudien. Lärarna arbetar på samma skola i norra Sverige, men i två olika klasser. Lärare A har arbetat som lärare i 17 år och är lärare för årskurs ett, medan Lärare B har varit verksam som lärare i 34 år och är lärare för årskurs tre. Skolan ligger i en annan kommun än den vars lärares lektioner vi observerade under observations- och intervjuperioden Observations- och intervjuperioden Vi kontaktade rektorer i två kommuner i norra Sverige via mail och därmed gjordes för observations- och intervjuperioden ett subjektivt urval. Ett subjektivt urval förklaras med att forskaren har kännedom om det som ska undersökas och att det som ska undersökas har valts ut från ett specifikt syfte eftersom det troligtvis kan ge mest värdefulla data (Denscombe, 2009). Urvalet kommer i uttryck genom att vi formulerade ett mail där vi önskade att få kontakt med lärare som arbetar utan lärobok eller kombinerar andra typer av aktiviteter kontinuerligt. De lärare vi fick kontaktuppgifter till kontaktade vi därefter via mail och telefon. Det var tre lärare som godkände sin medverkan, men det var ytterligare en lärare som godkände sin medverkan när vi var ute på fältet. Därmed deltog fyra lärare från detta urval och de arbetar på tre olika skolor i samma kommun. Lärare 1 har arbetat som lärare i 26 år och har i en klass på 17 elever som går i årskurs ett. Lärare 2 har arbetat som lärare i tio år och har en klass på 24 elever som går i årskurs tre. Lärare 3 har arbetat som lärare i sex år och eleverna i den klassen går också i årskurs tre och är 22 elever. Lärare 4 har arbetat som lärare i 15 år och har en matematiklektion i veckan med klassen som Lärare 3 har. 20

23 4.3 Datainsamlingsmetoder I denna studie har två datainsamlingsmetoder använts. Det är observationer och semistrukturerade intervjuer. Nedan presenteras ett schema som ger en överblick över hela studien, med förstudien respektive observation- och intervjuperioden. Figur 1. Översiktsschema över studien Observationer Observationer som datainsamlingsmetod skiljde sig inte åt mellan den första och andra delen. Det vill säga förstudien respektive observations- och intervjuperioden och därför faller även förstudien in i metodvalet; observationer. I denna studie handlar de två första frågeställningarna om vilka variationer av arbetsformer och arbetssätt som används under matematiklektionerna. För att besvara dem valdes observationer som metodval. Denscombe (2009) beskriver att observationer ger forskaren möjlighet att studera vad människor gör och vad som sker i jämförelse vad människor säger att de gör. Observationer grundar sig med andra ord på det ögat ser och beskriver det som sker, inte varför det sker (ibid.). Vid observationerna visste deltagarna om vår roll som forskare i klassrummen. Denscombe (2009) förklarar också systematisk observation 21

24 med observationsschema. Vid denna typ av observation begränsas observationsområdet för att säkerhetsställa att fler observatörer studerar samma händelser eller aktiviteter. I vår studie tillämpades det genom att observationsscheman användes för samtliga observationer, med kategorier, kopplat till forskningsfrågorna (se Bilaga 1, Bilaga 2). Sedan har ytterligare en datainsamlingsmetod använts, nämligen semistrukturerade intervjuer och dessa genomfördes endast under observations- och intervjuperioden och beskrivs nedan Semistrukturerade intervjuer Medan observationerna primärt användes för att besvara de två första frågeställningarna, användes semistrukturerade intervjuer för att besvara den tredje forskningsfrågan. Frågan handlar om hur läraren beskriver att matematikförmågorna kommer till uttryck i de valda arbetssätten. I valet av semistrukturerade intervjuer tog vi stöd av Denscombe (2009). Författaren menar att semistrukturerade intervjuer är en intervjumetod där man använder sig av färdiga frågeställningar som man vill ha besvarade, däremot behöver inte frågorna ställas i den ordningsföljd de utformades i. Det centrala är att låta den intervjuade utveckla sina svar mer öppet utifrån sina synpunkter (ibid.). Under observations- och intervjuperioden användes denna typ av intervjumetod genom att ställa tre förberedda frågor efter varje lektionstillfälle med syfte att de skulle få utveckla sina svar kopplat till den tredje forskningsfrågan. Förutom kortare intervjuer användes också längre semistrukturerade intervjuer och även då med förberedda frågor med fokus på att lärarna skulle få utveckla sina svar. Syfte var att få möjlighet att ställa specifika frågor som baserades på det som vi observerat under matematiklektionerna och som kunde kopplas till studiens ämne, samt för att få djupare kunskaper om studiens ämne utifrån ett lärarperspektiv. 4.4 Beskrivning och genomförande Som tidigare nämnts har studien genomförts i två delar; genom en förstudie på cirka en vecka, respektive observations- och intervjuperiod på två veckor. Nedan presenteras 22

25 beskrivning och genomförande av både förstudien och observations- intervjuperioden, vi hänvisar även till Figur 1 för en översikt av studien Förstudien Under förstudien användes observationer som datainsamlingsmetod. Förstudien användes för att studera vilken typ av variation kring arbetsformer och arbetssätt som tillämpades i matematikundervisningen. Innan förstudien utformade vi ett provisoriskt observationsschema (se Bilaga 1), som utgick från de två förstnämnda forskningsfrågorna, för att se om de kunde besvaras. Under veckan observerade vi sex lektioner tillsammans, varav fyra lektioner var i årskurs ett och två lektioner var i årskurs tre. Efter alla sex observerade lektioner jämförde vi även våra provisoriska observationsscheman med varandra för att studera om vi fyllt i dem samstämmigt. Förstudien kan därför ses som förberedelse inför observations- och intervjuperioden. Utifrån lektionernas underlag tillsammans med vår teoretiska bakgrund utformade och fastställde vi ett observationsschema när förstudien var avslutad. Det observationsschemat användes under observations- och intervjuperioden Observations- och intervjuperioden Observations- och intervjuperioden genomfördes drygt en vecka efter avslutad förstudie. Under denna period besöktes tre olika skolor i en annan kommun än förstudien. På en skola träffade vi klassen innan observations- och intervjuperioden för att presentera oss. I de två andra skolorna gjordes det i anslutning till när vi skulle observera. För att få tillräckligt med underlag till studien valde vi att dela på oss, men när möjligheten fanns observerade vi tillsammans. Vid observationerna i klassrummen var vi till största del placerade längst bak i klassrummet eller en bit ifrån eleverna för att behålla en diskret placering, men ändå kunna överblicka det som skulle observeras. Om vi rörde oss i klassrummet för att närmare kunna studera vad eleverna fick arbeta med lämnade vi anteckningar och penna vid vår plats. Observationsanteckningar har alltså 23

26 endast förts på vår observationsplats eftersom vi inte ville distrahera eleverna. Det ovan beskrivna finner vi stöd för hos Denscombe (2009), samt Bogdan och Knopp Biklen (2003). Anteckningar har förts i observationsschemat, men även i anteckningsblock eftersom vi kunde göra mer utförliga beskrivningar av lektionerna utifrån kategorierna. Efter varje lektionstillfälle renskrevs anteckningarna tidsmässigt i nära anslutning till utförd lektion, som stöd för minnet, och för att sammanföra det till observationsschemat. På likartat sätt förhöll vi oss också under observationerna vid förstudien. Efter varje observerad lektion under den här delen av studien genomfördes kortare intervjuer med samtliga lärare (se Figur 1). Intervjun skedde också tidsmässigt i nära anslutning till den lektion som hade observerats. Den varade mellan en till fem minuter och genomfördes i klassrummen eller i grupprum. Vid dessa intervjuer hade vi skrivit ut matematikförmågorna som återfinns i Läroplanen (2011a). Det gjordes för att användas som stöd för läraren om det behövdes. Efter cirka en vecka ute på fältet valde vi att ändra formuleringen på en av de frågor som ställdes, eftersom vi uppmärksammade att läraren svarade på den tredje frågan redan när vi ställde den andra frågan (se bilaga 3 för ändring). Förutom de kortare intervjuerna genomfördes även längre semistrukturerade intervjuer efter att samtliga observationer och de korta intervjuerna var färdiga. Det gjordes med tre av de fyra lärarna (se Figur 1). Intervjuerna varade mellan minuter och även här i ett enskilt rum. Alla intervjuer spelades in med mobiltelefoner efter lärarens godkännande. Ahrne och Svensson (2015) menar att mobiltelefonens inspelningsfunktion kan vara tillräcklig som inspelningsverktyg. De fortsätter förklara att det är viktigt att testa inspelningsverktyget innan själva intervjun (ibid.), vilket vi också gjorde. Vid ett tillfälle vid en av de kortare intervjuerna upptäckte vi att ett av intervjusvaren var otydlig, vilket medförde att vi följde upp det med läraren vid nästkommande intervjutillfälle. Lärarna på de tre skolorna kunde erbjuda olika antal lektioner, men sedan skedde även bortfall av matematiklektioner som vi på förhand hade vetskap om. Vi såg däremot inte det som ett hinder för vår studie, d v s att det observerades olika antal matematiklektioner per skola, eftersom vi inte skulle jämföra antalet lektioner mot varandra. Efter avslutad observations- och intervjuperiod hade det totalt observerats 17 24

27 lektioner. Sju lektioner på Skola 1, två lektioner på Skola 2, samt åtta lektioner på Skola 3. På Skola 3 är en lektion fördelad på Lärare 4 (se Figur 1). Vi planerade för att observera de tre skolorna under tre veckor, men efter två veckor bedömde vi att vi hade tillräckligt med underlag eftersom vi i det läget också beslutade att använda underlaget från förstudien till datainsamlingen. Trots att observationsschemat för förstudien inte har samma formgivning som det andra observationsschemat kunde de ändå kopplas till forskningsfrågorna, därför var inte det något problem med att använda det. Samtliga observationer i denna studie har använts i resultatdelen för att redovisa en överskådlig bild av datamaterialet, men det är fyra lektioner som beskrivs djupare. De grundar sig på både observation och lärarnas beskrivningar som inhämtades i både de kortare och längre intervjuerna. Vi valde de fyra lektionerna från observations- och intervjuperioden med syfte att ge en djupare och fylligare beskrivning, samt ge goda exempel av hur samtliga arbetsformer och arbetssätt använts. De fyra lektionerna visar på den variation som observerades i klasserna och lärarens beskrivningar hur matematikförmågorna kommer i uttryck vid dessa. 4.5 Forskningsetiska principer Vi utgår från vetenskapsrådets (2002) fyra forskningsetiska principer. Nedan presenteras hur vi har förhållit oss till dem. Den första är informationskravet som handlar om informera om forskningsuppgiftens syfte. Detta gjordes genom att informera läraren både skriftligt och muntligt om studiens syfte, samt vårt önskemål om hur vi ville samla in datamaterialet. Det vill säga via observationer och kortare intervjuer efter varje lektionstillfälle, samt en längre intervju. Den andra forskningsetiska principen är samtyckeskravet som innebär att deltagarna i undersökningen själva ska få bestämma över sitt deltagande. Detta skedde genom att vi kontaktade lärare via mail, samt telefon och de som godkände sin medverkan är de som fick delta i studien. Om de ville avbryta sitt deltagande, skulle de heller inte ifrågasättas av oss. Vi bad också lärarna informera eleverna och deras vårdnadshavare om det. 25

28 Konfidentialitetskravet innebär att deltagarna är anonyma och att personuppgifter förvaras på ett sätt där obehöriga inte kan del av det. I vår forskning görs detta genom att lärarna inte kommer anges med namn, utan de får fiktiva namn i detta arbete. Det sista är Nyttjandekravet och handlar om att de uppgifter som har samlats in endast ska användas för forskningsändamål. I vår studie kommer datamaterialet endast att användas för denna forskning och det kommer att förstöras efter godkänt forskningsarbete. De fyra lärare som godkände sin medverkan både via mail och på fältet under observations- och intervjuperioden har fått ta del av närmare information om studien i ett informationsbrev (se Bilaga 5), samt ett tillhörande samtyckesformulär (se Bilaga 6). Dokumentet bygger de fyra forskningsetiska principerna som beskrivs ovan. Lärarna fick möjlighet att läsa dem innan observations- och intervjuperioden och när vi väl var ute på fältet fick de skriva under att de tagit del av informationsbrevet, samt deras rättigheter under studien. Eftersom vi beslutade att använda underlaget från förstudien senare godkände även de lärarna att vi fick använda datamaterialet i resultatet via mail. 4.6 Databearbetning observationer Datamaterialet från observationerna har sammanställts utifrån arbetsformernas och arbetssättens kategorier, och definitioner utgår den teoretiska bakgrunden. Arbetsformerna innebär hur läraren organiserar undervisningen genom helklassundervisning, grupparbete, pararbete och enskilt arbete (Pettersson, 2011; Löwing, 2004; Backlund och Backlund 1999; Vinterek, 2006). Arbetssätt däremot handlar om hur om hur innehållet i undervisningen bearbetas (Pettersson, 2011; Backlund och Backlund, 1999). För att besvara frågan om vilka variationer av arbetsformer som använts i undervisningens upplägg under de observerade lektionerna, har arbetsformerna sammanställts genom en uppskattad tid hur länge de pågick. Den andra forskningsfrågan handlar om vilka variationer av arbetssätt som använts i undervisningens upplägg under de observerade lektionerna. För att besvara det har arbetssätten med tillhörande arbetsuppgifter analyserats utifrån de kategorier som funnits i de två observationsschemana (se Bilaga 1, Bilaga 2,), samt med koppling till den teoretiska bakgrunden där arbetssätten beskrivs närmare. I ena observationsschemat 26

29 benämns arbetsuppgifter som övriga aktiviteter (se Bilaga 2). Det har använts för att kunna föra in arbetsuppgifter eller arbetssätt som inte på förhand fanns utsatta, eller om vi var osäkra på var det skulle föras in och därmed kunde analyseras närmare efter avslutad lektion. Denscombe (2009) beskriver att forskaren har en betydande roll vid analysen av datamaterialet, eftersom det är forskaren som gör tolkningarna. Med stöd från det Denscombe tar upp, vill vi därför ange ett exempel på hur vi valt att tolka en uppgift med tillhörande arbetssätt. Exempel: Bygga med multilinkklossar och följa instruktioner Eleverna fick ett arbetsblad med bilder av flera figurer som föreställde färglösa multilinkklossar som var ihopsatta till olika konstruktioner. Eleverna skulle bygga dessa figurer med hjälp av multilinkklossar. De skulle sedan färglägga de färglösa multilinkklossarna på arbetsbladet så att det överensstämde med elevens byggda figur. Denna uppgift har vi tolkat som ett problemlösande arbetssätt, eftersom uppgiften inte hade en given lösning, samt kan kopplas till Taflin (2007) beskrivning om idéfasen, som bland annat handlar om att prova matematiska idéer. När eleverna gjorde uppgiften provade de att bygga och revidera för att överensstämma med arbetsbladets ritning, men också för att färglägga multilinkklossarna på arbetsbladet i överenstämmelse med deras färger på den byggda figuren. 4.7 Databearbetning av semistrukturerade intervjuer Datamaterialet från de korta och längre intervjuerna har transkriberats. Det gjordes genom att vi lyssnade på ljudfilerna flera gånger för att kunna överföra intervjuerna i ett Word-dokument på ett korrekt sätt i textform. Datamaterialet från intervjuerna fördes in under intervjufrågorna för den korta intervjun, samt för den längre intervjun. Datamaterialet från intervjuerna kopplar både till den tredje forskningsfrågan och kan även härledas till de fyra lektioner vi valt att presentera i det här arbetet. Därför har intervjufrågorna med lärarens svar, plockats både från de kortare och längre 27

30 intervjuerna, för att både besvara tredje forskningsfrågan och sammanföras med de fyra lektionerna. Inhämtningen av datamaterial från de längre intervjufrågorna fyller ytterligare ett syfte. Det är att ge en fylligare presentation av några lärares beskrivning om arbetssätten. Denscombe (2009) menar att forskaren kan välja utdrag ur kontexten från intervjumaterialet, men att det utvalda utdraget måste sättas in i ett sammanhang så att den intervjuades uttalande inte sätts i fel kontext och därmed blir felciterad (ibid.). I denna studie har detta gjorts genom att förklaringar ges innan citaten, samt att citaten förstärker förklaringarna. För att komma närmare datamaterialet har vi både lyssnat och läst de transkriberade datamaterialet flera gånger. Denscombe (2009) menar att det är värdefullt att skriva ner inspelade intervjuer, eftersom forskaren kommer i närkontakt med datamaterialet, samt att det underlättar för analysen. 4.8 Avgränsningar På grund av utrymmesskäl för denna studie behövde avgränsningar göras kring det datamaterial som tillhör de semistrukturerade intervjuerna. Därför kommer inte alla frågor med tillhörande svar från lärarna att beskrivas i resultatdelen. Det har även gjorts avgränsningar gällande observationer, eftersom vi valde att ge en djupare beskrivning kring fyra lektioner av totalt 23 observerade lektioner. När det gäller områden som observerats har ytterligare en kategori tagit bort, nämligen kategorin IKT som återfinns i observationsschemat (se Bilaga 2). 28

31 5 Resultat och analys Först presenteras resultatet och analysen som kopplas till den första frågeställningen; Vilka variationer av arbetsformer finns i undervisningens upplägg under de observerade lektionerna? Med samma struktur presenteras sedan den andra frågeställningen; Vilka variationer av arbetssätt används under de observerade lektionerna? Slutligen presenteras fyra lektioner med tillhörande intervjuer från lärarna för att ge en fylligare beskrivning av de data som samlats in. 5.1 Resultat och analys av arbetsformer Den totala tiden för användningen av samtliga arbetsformer är 1282 minuter. Helklassundervisningen är den mest frekventa arbetsformen. Den uppskattade tiden för helklassundervisningen är 564 minuter. Enskilt arbete är den näst mest använda och lärarna har använt den i en uppskattad tid av 367 minuter, därefter kommer pararbete som förekommit under 183 minuter. Den minst använda arbetsformen är slutligen grupparbete med 168 minuter Arbetsformer Minuter 300 Helklass Grupparbete Pararbete Enskilt arbete Helklass Grupparbete Pararbete Enskilt arbete Arbetsformer Diagram 1. Resultatet av användningen av arbetsformer. 29

32 Resultatet visar att lärarna har använt sig av samtliga arbetsformer; helklassundervisning, grupparbete, pararbete och enskilt arbete för att organisera sin undervisning. Det varierar angående användningen av arbetsformerna. Den totalt uppskattade tiden för grupp- och pararbetet tillsammans är 351 minuter, som då inte skiljer sig nämnvärt mycket i jämförelse med enskilt arbete som är den andra mest använda arbetsformen. Den har pågått i 367 minuter. Även om helklassundervisningen fortfarande är den framträdande arbetsformer vid denna jämförelse. 5.2 Resultat och analys av arbetssätt och arbetsuppgifter De arbetssätt som observerats har kategoriserats och delats in i tre kategorier; Matematiska samtal, Laborativ undervisning, Problemlösande arbetssätt. Sedan finns ännu en kategori; Övriga arbetsuppgifter. Nedan presenteras de med tillhörande arbetsuppgifter och i den ordning som beskrivits ovan. Punkterna visar alltså den variation av arbetssätt som har använts under matematiklektionerna och som vidare tar sig i uttryck i olika arbetsuppgifter. Arbetssätt: Matematiska samtal: Repetitioner, exempelvis omklockan, mätenheter. Redovisningar, exempelvis 100- utställning, mätenheter och omkrets. Genomgångar, exempelvis om talet 100, klockan, mätenheter och omkrets. Samtal mellan elever om uppgifter från matematikboken. Kompisrättning. Arbetssätt: Laborativ undervisning Sätta ihop talblock, talen 9, 10. Additionsspel, först till talet

33 Additionsspel, talområdet Pengarspelet. Skära bananer och glass. Mäta omkrets. Arbetssätt: Problemlösande arbetssätt Programmering. Utföra en tallinje. 100-rutan. Textuppgifter, dokumentera sina lösningsförslag. Textuppgiften: Bondgården. Rita figurer efter angiven omkrets. Öppen uppgift om klockan, dokumentera i tanketavlan. Bygga med multilinkklossar och följa instruktioner. Öppen uppgift, dela pengar och köpa varor. Övriga arbetsuppgifter Arbete med arbetsblad. Arbete med matematikboken. Sång och dans till tabell 3, 4. Klockspelet från matematikboken. Finn din talkamrat. Arbete med positionsspelet med talkort och White-board. Rutinuppgift om klockan, dokumentera i tanketavla. 5.3 Resultat och analys av fyra lektioner Nedan presenteras fyra lektioner utifrån observations- och intervjuperioden. De har valts ut med syfte att ge en djupare och fylligare beskrivning, samt ge goda exempel av hur samtliga arbetsformer och arbetssätt använts i matematikundervisningen inom årskurs ett till tre. Redovisningen av de fyra lektionerna inleds med en övergripande presentation, för att sedan beskriva observationerna och intervjuerna. Avslutningsvis finns en samlad analys av både observationer och intervjuer av varje lektion. 31

34 5.3.1 Lektion 1: 100-festen Presentation: Denna lektion pågår i 80 minuter. Innehållet handlar om talet 100 och läraren har anordnat en 100-fest. Klassen hade vid tidigare lektionstillfällen arbetat med talet 100 under en period. Lektionen organiseras genom helklassundervisning i en uppskattad tid på 60 minuter. Senare under lektionstillfället arbetar några elever enskilt samtidigt som några arbetar i par under en uppskattad tid på totalt 20 minuter. Observation: Lektionen börjar med helklassundervisning. Läraren inleder med en genomgång om talet 100. Vid genomgången använder hen smart-boarden för att visa en Powerpoint som handlar om talet 100, samt hur talet kan kopplas till olika saker som pengar, procent och volym. Under genomgången får eleverna vara delaktiga. Både genom att ge förslag på olika saker som kan vara 100, men även genom att svara på muntliga räkneuppgifter som berör talområdet 100. Lektionen går sedan vidare, fortfarande i helklass, med att eleverna får placera sig i klassrummets ena hörn för att delta arbetsuppgiften 100-utställningen. Eleverna har under några veckors tid tagit med sig 100 stycken föremål hemifrån. Saker som de i sin tur ska få presentera och berätta om vid en utställning för sina klasskamrater. Samtliga elever som tagit med sig saker får i tur och ordning redovisa dessa. Med stöd från läraren får de presentera vilket föremål de tagit med och vilket tillvägagångssätt de använt sig av för att samla in 100 stycken av det valda föremålet. Några av de föremål som tagits med är 100 stycken Kalle Anka-tidningar, 100 pärlor och 100 makaroner. Under 100-utställningen börjar eleverna tillsammans med läraren att diskutera, undersöka och dra slutsatser. Samtidigt som de jämför 100 föremål med 100 andra föremål kommer de fram till att detta ändå kan innebära att de har olika egenskaper så som olika volym och vikt. Ett exempel på det är då läraren tillsammans med eleverna diskutera skillnaden mellan 100 stycken Kalle Anka-tidningar och 100 stycken pärlor. Båda är 100 till antal, men de har olika volym och vikt. Efter 100-utställningen går lektionen över till nästa moment, och arbetsuppgiften fortsätter att vara organiserad i helklass. Eleverna får placera sig framför tavlan för att utföra en tallinje mellan 1 och 100. Läraren börjar med en kort genomgång om vad de 32

35 ska få göra. Hen förklarar att de ska placera ut var sitt talkort på en tallinje som de sedan får fästa med en klädnypa. Tallinjen är i form av en lina, och talen på korten är hela femtal eller hela tiotal. Läraren pekar på tallinjen och förklarar fortsättningsvis att talet 1 bör sitta längst fram på linan, medan talet 100 bör sitta längst bak. Därefter får några elever gå fram var för sig för att placera ut sitt talkort, men efter en stund övergår detta i att fler elever går fram samtidigt för att placera ut talkorten på tallinjen. Om någon elev behöver stöd får de ta hjälp av en klasskamrat. När samtliga elever har placerat ut sina talkort kör-räknar hela klassen tallinjen som de har gjort tillsammans. När tallinjen är gjord placerar eleverna sig på sina platser i klassrummet och lektionen fortsätter i helklass. Läraren börjar med att berätta vad resterande lektion kommer att innehålla. Hen förklarar att några elever ska få börja med att anordna fikat genom att skära bananer och glass, medan resterande elever under tiden ska spela ett additionsspel. Läraren fortsätter att förklara att de sedan ska byta av varandra så att samtliga får arbeta med de båda arbetsuppgifterna. Därefter har läraren tillsammans med fritidspedagogen en genomgång om hur de ska ordna med fikat. De visar upp bananerna och frågar eleverna hur många bananer de tror sig behöva för att få 100 bananbitar. Läraren ger eleverna ett förslag och ställer en fråga: Om en banan delas in i 20 bitar hur många bananer behövs då för att det ska bli 100 bananbitar? Eleverna ger olika förslag på lösningar, samtidigt som läraren skriver upp deras förslag. Tillsammans räknar de sedan ut hur många bananer som behövs, samt samtalar omkring vilket räknesätt som är lämpligt att använda och skriver samtidigt på tavlan. De kommer fram till att fem bananer behövs och att addition är ett passande räknesätt. Genomgången fortgår därefter i helklass och läraren övergår i att samtala med eleverna om hur glasspaketen ska fördelas. Läraren visar glasspaketen och frågar hur eleverna kan dela fyra stycken glasspaket så att 15 personer får lika stor glassbit var. Hen ritar samtidigt ett glasspaket på tavlan och frågar eleverna om de har några förslag. Förslagen som kommer ifrån eleverna ritas på tavlan av läraren och tillsammans kommer de överens om att de kan dela varje glasspaket i fyra delar eftersom det blir 16 bitar. Läraren ritar ännu en gång på tavlan och förklarar att glasspaketet kan delas in i fyra delar på två olika sätt. Hen förklarar även i det läget att de samtalar om ett nytt område i matematik som heter bråk och att det är ett område som de ska få arbeta mer med senare. 33

36 Efter genomgången om hur fikat ska anordnas förklarar läraren kort hur additionsspelet fungerar. Därefter delar läraren in eleverna i två grupper. En grupp ordnar fikat och en grupp som får spela spel. I gruppen som ordnar med fikat får några skära bananer enskilt, medan några enskilt delar glassen. Eleverna står nära och kan kolla på varandra när de skär bananerna och delar glasspaketen. Gruppen som spelar spel gör detta parvis. Eleverna slår två tärningar, skriver på papper och adderar antalet tärningsprickar som tärningarna visar. Den elev som först kommer till 100 vinner. Efter en stund byter grupperna arbetsuppgifter, men de elever som vill fortsätta att spela spelet får göra det. Under båda arbetsuppgifterna finns läraren till hands för att återkoppla till det som de samtalat om. 100-festen och det här lektionstillfället avrundas med att hela klassen får fika tillsammans. Intervju: Läraren valde att fokusera på samtliga matematikförmågor; problemlösningsförmågan, begreppsförmågan, procedurförmågan, resonemangsförmågan och kommunikationsförmågan. Att integrera flera förmågor är något som läraren beskriver att hen gör, dels i denna lektion, men även att det är bra att göra vid andra lektioner: jag tycker att ju fler förmågor man får in i alla lektioner ju bättre är det, faktiskt. Om det är meningsfullt sen kan det kanske vara så att man väljer någon förmåga till ett visst arbetspass men den här gången passade det bra med alla förmågorna tycker jag. Läraren fortsätter beskriva att problemlösningsförmågan kommer till uttryck när det handlar om att hjälpa varandra under olika aktiviteter. Och det gäller att hitta sätt för att kunna fortsätta arbetet menar hen: problemlösning också. För det gäller ju som att hjälpa varandra och blev inte det där så bra hur ska jag göra då för att komma vidare? 34

37 Under den längre intervjun fick läraren svara på vad hen ser för fördelar med att arbeta praktiskt med matematik. Exempelvis som i fallet när de fick dela bananer och glass, och om hen såg det som ett laborativt arbetssätt. Hen beskriver det som meningsfullt och att eleverna får användning av sin matematik: Därför allting som har en mening, blir meningsfullt som det här med att kunna dela en banan, ( ) det är viktiga saker, det blir ju inte så teoretiskt. (...) det är ett lärtillfälle till också. Men just det här med att vad har jag för användning av min matematik faktiskt, och det är ju det viktiga ( ) Ja, det skulle jag vilja säga. Dom får praktiskt göra, tänka efter, kolla, titta på varandra, resonera, jaha så där stor gjorde du alltså det blir ju en form av laboration kan man ju säga. Analys: Lektionen varierade utifrån arbetsformerna helklassundervisning, enskilt arbete och pararbete. Helklassundervisning användes mestadels i denna lektion. Detta i en uppskattad tid av 60 minuter, något som även avspeglas i diagrammet för den totala uppskattningen av tid i olika arbetsformer. Eleverna fick arbeta enskilt, men också i par. Den tiden fördelades och pågick i en uppskattad tid av 20 minuter. Enskilt arbete och pararbete speglar inte diagrammet på ett lika tydligt sätt, även om det förekom och kan sammanföras under respektive kategori av arbetsformer. Arbetssättet matematiska samtal framträder när eleverna får samtala, diskutera och jämföra skillnader på egenskaper och antal hos de 100 olika föremål de fått ta med sig. Om de sätts i relation till hur samtalet vidare utvecklas, där eleverna får samtala om hur bananerna ska skäras, får eleverna ytterligare möjlighet att bearbeta innehållet via matematiska samtal. Samtalet övergår sedan till att förmedla matematiska samtal till ett symbolspråk som läraren skriver på tavlan. Detta grundar sig på elevernas yttrande. Det matematiska samtalet tolkas genom att lägga en grund för innehållet, men också inför den praktiska handlingen att skära bananer. Vid slutet av genomgången uttrycker också läraren att de samtalat om ett nytt område som heter bråk. Något som kan tolkas som ett sätt för läraren att främja det matematiska samtalet, men som också förtydligar för eleverna att de faktiskt arbetat genom att samtala matematik. 35

38 Den laborativa undervisningen används när eleverna får skära och dela bananerna, samt räkna antalet bitar och räkna ut hur stora bitar de skall skära. Om man kopplar denna aktivitet till det tidigare samtalet skulle det kunna tolkas som att arbetsuppgiften får en mening och ett sammanhang. Detta lyfts också fram vid intervjun med läraren. Hen framförde dessutom vikten av att ha användning av sin matematik. Något som vidare kan tolkas som ett sätt att använda matematiken i ett bredare sammanhang. Det problemlösande arbetssättet får utrymme och kommer till uttryck när eleverna får utföra tallinjen. Det betraktas som ett sätt att använda sina befintliga kunskaper genom att placera talkortet mellan de två angivna talen, 1 och 100. Det kan ses som ett tecken på att eleverna får utveckla och träna på att värdera sina strategier och metoder. Gällande förmågorna beskriver läraren att samtliga används under detta lektionstillfälle, men det är svårt att avgöra hur läraren beskriver att samtliga förmågor kommer i uttryck vid samtliga arbetssätt. Däremot belyser läraren att problemlösningsförmågan används genom att ta hjälp av varandra för att på så sätt ta sig vidare. Detta skulle kunna tolkas som ett sätt att hitta strategier för att lösa problem. Något som också skulle kunna sammanföras med arbetsuppgiften då eleverna utförde tallinjen Lektion 2: Klockan Presentation: Denna lektion pågår i 55 minuter. Innehållet i lektionen handlar om klockan. Lektionen organiseras genom helkassundervisning i en uppskattad tid av 20 minuter, medan enskilt arbete pågår i en uppskattad dig av 20 minuter och likaså grupparbete med 15 minuter. Observation: Lektionen börjar med helklassundervisning. Läraren inleder med att repetera och återkoppla till tidigare lektioner. Läraren använder en klocka för att visa olika tider som 13.00, 14.00, Mellan varje angiven tid som hen visar med klockan frågar lärarna eleverna vad klockan är. Vid ett tillfälle frågar hen också hur mycket klockan är efter en halvtimme efter en angiven tid. Läraren frågar både elever som inte räcker upp handen, 36

39 och de som gör det. Om eleverna svarar vad tiden är på talspråk som ett, två, tre, ber läraren eleverna benämna den digitala tiden. När de inte kan får de fråga en klasskamrat. Lektionen fortsätter med helklassundervisning med genomgång. Eleverna får ange vilken tid de utför olika vardagsrutiner under dagen utifrån frågor som läraren ställer; När kliver du upp på morgonen?, När åt du frukost i morse?, när äter ni middag?, När går ni och lägger er? Innan läraren ställer frågorna ber hen eleverna förhålla sig till tider som är rimliga och frågar om de vet vad ordet rimligt handlar om. Läraren sätter tiderna och elevernas förslag i relation till andra tider, exempelvis; Om skolan börjar 8.10, när kan man kliva upp då? och liknande; Hur länge tar de innan ni äter frukost efter ni klivit upp? Läraren väljer elever som räcker upp handen och de som inte gör det. Till flera av vardagsrutinerna anger eleverna inte exakt samma tider. Utifrån elevernas förslag resonerar och samtalar de i helklass för att komma överens om en tid som är rimlig till varje vardagsrutin. Läraren skriver upp tiden på tavlan under en rubrik en dag, som då baseras på elevernas gemensamma förslag utifrån frågorna om vardagsrutinerna. Läraren avrundar sedan helklassundervisningen genom att uttrycka att eleverna ska hålla kvar pratet och förklarar att de ska få arbeta med det sedan. Eleverna får därefter plocka fram matematikboken medan läraren presenterar de sidor de ska arbeta med. Läraren ber eleverna hoppa över en uppgift och förklarar att de ska få göra den senare under lektionen. Under tiden eleverna arbetar enskilt i matematikboken går läraren runt och hjälper eleverna. Efter en stund förklarar läraren för eleverna att hen endast vill höra matteprat och tystar därefter ner det som inte tillhör matematikprat. Efter en uppskattad tid på 20 minuter ber läraren eleverna studera en uppgift i matematikboken. Läraren förklarar uppgiften och att de ska placera ut rimlig tid utifrån angivna vardagsrutiner. Därefter organiserar läraren undervisningen genom att eleverna får arbeta i grupper med uppgiften och uttrycker att hen vill att de ska samtala med varandra. Förutom matematikboken har eleverna tillgång till en klocka. Under arbetet i grupperna får eleverna samtala om uppgiften i boken, dock är några elever i klassen ofokuserade när de arbetar i grupperna. Grupparbetet avrundas med att läraren påpekar att det var synd att några elever gjorde uppgiften tidigare eftersom de missade mattepratet. Därefter lyfter läraren fram det eleverna samtalat om i grupperna och återkopplar till uppgiften om vilka tider som är rimliga då vardagsrutinerna utförs. Efter 37

40 att de har samtalat om uppgiften i helklass avrundas lektionen genom att eleverna får plocka undan. Intervju: De valda förmågor som läraren arbetade med var främst procedurförmågan men också kommunikationsförmågan eftersom eleverna fick utföra en uppgift från matematikboken tillsammans i grupp: De som skulle sitta den här lektionen var ju färdigheten att kunna läsa den digitala klockan... så det är ju egentligen den biten. Den biten är det fokus på men sen var det ju också egentligen den kommunikativa förmågan I och med att den där uppgiften fanns med. Det kändes ju som ett bra tillfälle att träna på den kommunikativa förmågan. Läraren fortsätter sedan att förklara utifrån en fråga om varför hen valt just de arbetssätten till förmågorna. Hen förklarar att det finns en tanke om att välja arbetssätt där eleverna får ta hjälp av varandra och prata, samt att försöka få med sig samtliga elever vid genomgångar i helklass: Det var ju för alla kan inte själva. Ibland måste man ta hjälp från en grupp. Prata ihop sig ( ). Jag kör alltid en genomgång först för att kolla av, så att de är redo för matteboken innan. Och jag kände redan idag att var några stycken... de här som jag spanat in på som jag ställde frågor till lite extra och såg att det var lite knaggligt fortfarande ( ). man ska egentligen inte börja med det abstrakta arbetet förens alla är med på banan Under den längre intervjun frågades det hur läroboken används. Läraren beskriver att hen använder läroboken olika beroende på innehållet i den, och menar att samtliga böcker behöver kompletteras. Hen lyfter fram att den matematikbok de använder nu är heltäckande innehållsmässigt och utmanar eleverna, samtidigt som matematikboken inte kan användas föra att möta alla förmågor: 38

41 Jag använder den som en grund för innehållet så att man får en plan för att det här ska vi jobba med ( ) Men alla läroböcker har ju någonting som måste kompletteras och den förra läroboken vi hade var jättedålig på att ta upp subtraktion till exempel så då visste man att ja men det här funkar jättebra det här har man sett resultat hos eleverna medans det här måste vi fylla på med ( ) Men förutom matteboken måste man komplettera, ( ) man kan sällan bedöma elevernas förmågor utifrån matteboken förutom procedurförmågan kanske så den får man komplettera. Därefter leder intervjun in på att det behövs ytterligare arbetssätt för att upptäcka och arbeta med förmågorna. Och då beskriver läraren samtalet: jag använder ju matteboken till att få dem att prata matematik också, ibland sitter man tillsammans och gör en uppgift eller man hjälper varandra och man kompisrättar och man diskutera vad man har kommit fram till och varför det har blivit fel och sånt där. Analys: Vid detta lektionstillfälle varierade arbetsformerna med helklassundervisning, enskilt arbete och grupparbete. Helklassundervisning användes i en uppskattad tid av 20 minuter, enskilt arbete användes också i en uppskattad tid av 20 minuter, medan grupparbetet pågick i en uppskattad tid av 15 minuter. Både helklassundervisning och enskilt arbete har använts mest, vilket återspeglas i diagrammet, eftersom de är de två arbetsformerna som används mest av de fyra arbetssätten. Grupparbetet förekom vid lektionstillfället, men i diagrammet är det den arbetsform som används minst utifrån den uppskattade tiden. I denna lektion har grupparbetet däremot använts nästan lika mycket som helklassundervisning och enskilt arbete. Matematiska samtal synliggörs först när eleverna får ange vad klockan är, och det i förhållande till att läraren uttrycker och uppmuntrar till att ange den digitala tiden. Vilket kan ses som ett sätt och en vilja hos läraren att eleverna ska utveckla sina svar om klockan. De matematiska samtalen tar sig vidare i diskussionen mellan läraren och eleverna när de ska komma överens om en tid, samt förhålla sig till en tid som är rimlig, 39

42 kopplat till varje angiven vardagsrutin. Läraren möjliggör även matematiska samtal mellan elever utifrån en uppgift i läroboken om klockan. Hen möjliggör det genom att organisera ett grupparbete och uttrycker att de ska samtala, samt komma överens med varandra. I arbetet i grupperna fortsätter de matematiska samtalen hos de flesta, vilket tolkas som att eleverna ytterligare få bearbeta innehållet med samtal. När läraren väljer att eleverna får arbeta med uppgifter i läroboken med hjälp av samtal i grupper, tolkas det som att boken används mer än enskilt arbete i läroboken i den här lektionen. I det enskilda arbetet tystar läraren ner det som inte var matematikprat. Vilket tolkas som att läraren uppmuntrar till att prata matematik när de arbetar enskilt i sin lärobok. Utifrån lektionen beskriver läraren att hen har fokuserat på färdigheten, som kopplas till procedurförmågan. Där hen ville att de skulle kunna läsa den digitala klockan. Den kommunikativa förmågan menar läraren också kommer i uttryck i och med de fick arbeta i grupp med en uppgift från läroboken. Läraren beskriver att hen använder läroboken olika beroende på innehållet i den, men att läroboken inte kan användas för att tillmötesgå samtliga förmågor. Samtidigt som läraren beskriver att hen använder läroboken för samtal också. Något som och återspeglas i denna lektion Lektion 3: Omkrets och mätning Presentation: Denna lektion pågår i 60 minuter. Innehållet handlar om att mäta och begreppet omkrets. Lektionen organiseras genom helklassundervisning i en uppskattad tid av 37 minuter och genom grupparbete i en uppskattad tid av 23 minuter. Observation: Lektionen börjar med helklassundervisning. Läraren inleder med att kort presentera målet för lektionen och den kommande veckan. Arbetsgången för lektionen står på smartboarden. Efter presentationen börjar läraren repetera och fråga om innehållet från tidigare matematiklektion. Läraren frågar då; Vad kan vi mäta i för enheter?, läraren låter eleverna fundera en liten stund innan hen drar några namn som står på glasspinnar som hänvisar till vilka som får svara. Läraren ställer sedan en ny fråga; Vad är en sträcka? och samma svarsprocedur upprepas. 40

43 Därefter går lektionen vidare genom att eleverna får plocka fram matematikboken och öppna den angivna sidan som även synliggörs på smartboarden. Lektionen fortsätter i helklassundervisning och läraren ber eleverna berätta vad det ser på bilden i matematikboken. Bilderna förställer en skolgård med byggnader, fotbollsplan etc. Läraren frågar sedan; Hur lång tror ni fotbollsplanen är? Därefter ber hen eleverna prata ihop sig i sina grupper om frågan. Efter en kort stund lyfter läraren fram varje grupps förslag och kopplar till bilden i boken. Sedan ställer läraren en ny fråga; Hur bred är fotbollsplanen? Återigen får eleverna prata ihop sig i grupperna och efter en kort stund lyfter läraren fram varje grupps förslag. Läraren ställer en ny fråga; Hur mycket är omkretsen? Eleverna pratar i sina grupper igen. Läraren låter sedan varje grupp ge förslag. När alla grupper fått ge förslag frågar hen om de kan redogöra på matematikspråket, samt beskriva vad de tog hjälp av för att räkna ut omkretsen. De kommer fram till att flera tagit hjälp av rutorna i bilden. Läraren ställer sedan en ny fråga; Vilken omkrets har huset? Läraren ber sedan eleverna prata ihop sig i sina grupper igen om den frågan. Efter en kort stund lyfter läraren fram varje grupps förslag. Sedan ber läraren eleverna ta reda på och prata ihop sig om hur stor omkretsen är på hela skolgården, utifrån bilden i matematikboken. Efter ytterligare en stund ges förslagen i helklass. I en grupp är två elever inte överens om omkretsen. Läraren ber då eleverna berätta hur de tänker. Efter det tar läraren upp förslagen för att sedan ta reda på i helklass vad omkretsen är och därefter presenterar läraren nästa steg i lektionen. Läraren delar in eleverna i grupper om tre personer. Läraren ger därefter instruktioner om att eleverna ska få mäta olika föremål i klassrummet, och därefter dokumentera i matematikboken genom att skriva omkretsen på föremålen. De ska mäta ett bord, sin matematikbok och en dörr. De får även komma överens i gruppen och hitta valfria föremål att mäta. Denna uppgift finns i matematikboken. När eleverna ska påbörja att mäta följer en del av grupperna med den andra läraren till ett annat klassrum för att utföra uppgiften. När eleverna mäter får de använda måttband och de hjälps åt att hålla i måttbandet och att läsa av och addera längderna på föremålen. Läraren går runt och stöttar eleverna. Lektionen avrundas med att eleverna återsamlas i helklass. Läraren knyter ihop lektionen genom att fråga hur det gick under arbetet och kopplar därefter till målen. Läraren ber eleverna visa med tummen hur de själva tycker att de uppfyllt målen för lektionen. Därefter plockar eleverna undan och går på rast. 41

44 Intervju: De matematikförmågor läraren valde att fokusera på var problemlösningsförmågan, begreppsförmågan resonemangsförmågan och kommunikationsförmågan. Läraren beskriver ofta resonemang och kommunikationsförmågan: de kommunicerar väldigt mycket under lektionen och resonerar också. Och resonemang kan man ju tro är att man ska diskutera, men de resonera i sig själv också i huvudet. De får ju tänka till innan. I början bad jag ju dem ju sitta och fundera och då resonerar de ju tyst för sig själv och då har du ju en tanke innan du sätter igång att diskutera med andra. Jag försöker få in alla förmågorna i lektionerna. När läraren fick beskriva hur problemlösningsförmågan användes i de valda arbetssätten förklarar läraren det genom att ge eleverna möjlighet att använda och prova egna strategier. Det handlar också om att fundera själv, samarbeta, diskutera för sina lösningsförslag och komma överens om en gemensam lösning i grupperna. Där är ju problemlösning för de var ju en bild där ( ) vissa bilder kunde man se under rutor som man kunde ta hjälp av, men det var ju ingenting som jag gav i tips, utan jag ville se om de kunde lösa det själv. Och sen frågade jag olika grupper hur man hade löst det. Vad man tog hjälp av från bilden. ( ) där får man ju in problemlösning. Dels den här strategin att man måste fundera själv och sen också kunna samarbeta, diskutera och komma överens om en lösning. Och motivera varför det blir som det blir. Sen var det en uppgift där det fanns ett stort hus och som man inte kunde se rutorna under och då blev det ju också olika, hur tänker vi här? Och där får man ju också fram fel-tänk, för det var ju några som hade tänkt fel och då kunde man eller tänkt fel det stämde inte med omkretsen och då kunde man också lyfta fram det. Hur tänkte ni och varför tänkte ni så? Och så fick de hjälp att förstå vad de var som hade blivit tokigt. 42

45 Under den längre intervjun frågades det om hur läroboken används. Läraren beskriver att hen väljer ut delar som är lämpliga för eleverna. De behöver heller inte utföra uppgifter om de uppvisat att de bemästrar dem: Jag försöker hitta delar som jag vet är viktiga att träna Har de visa att de kan en del så behöver man inte sitta och göra de resterande uppgifter utan då måste man gå vidare så jobbar jag med läroboken. Jag plockar väldigt mycket. Det är som bara en liten bank. Analys: Vid detta lektionstillfälle användes arbetsformerna helklassundervisning i en uppskattad tid av 37 minuter och grupparbete under 23 minuter. Helklassundervisningen användes mer än grupparbetet, vilket också syns i diagrammet för samtliga lektioner. Användningen av matematiska samtal sker och växlar kontinuerligt elever emellan och mellan lärare och elever. De används först som en grund för innehållet. Genom att eleverna får både använda tidigare kunskaper och fundera och svara när bland annat måttenheter används. Det matematiska samtalet utvecklas vidare med diskussioner och tillhörande lösningsförslag som grundar sig på att eleverna får samtala och lösa uppgifter i grupp från matematikboken. Läraren ger inte bara möjlighet till matematiska samtal, utan uttrycker även att de ska prata ihop sig. Det här tolkas som ett arbetssätt för att bearbeta innehållet, men också för att främja det matematiska samtalet. Det matematiska samtalet får ytterligare en innebörd när två elever inte är överens om vilken omkrets skolgården har, läraren ber då båda eleverna att redogöra sina strategier för lösningsförslagen och lyfter vidare förslagen i övriga klassen. Eftersom de matematiska samtalen belyser mätning och omkrets kan det tolkas som en grund för att ha strategier för att sedan kunna utföra det praktiskt. Den laborativa undervisningen tar sig i uttryck när eleverna fick mäta omkretsen på olika föremål i grupper om tre. Den laborativa handlingen är alltså när eleverna praktiskt får utföra uppgifterna. Det finns ett sammanhang med den laborativa undervisningen och det matematiska samtalen som skulle kunna ses som sätt att befästa och prova sina teoretiska kunskaper och få använda begreppen i ord. 43

46 Utifrån förmågorna beskriver läraren att kommunikationsförmågan kommer i uttryck genom att de får samtala mycket under lektionen. Medan resonemangsförmågan kommer i uttryck när hen ger eleverna möjlighet att resonera med sig själv i början av lektionen. Det handlar om att få fundera själv för att ha en tanke innan man diskuterar med andra. Problemlösningsförmågan menar läraren kommer i uttryck när eleverna får arbeta med uppgifterna i matematikboken som innehåller bilder. Eftersom läraren inte angivit några lösningsförslag utan tillät dem att prova egna strategier för att lösa uppgiften, samt ger dem möjlighet att fundera själv, samarbeta, diskutera och argumentera för sina lösningsförslag. När läraren beskriver att problemlösningsförmågan kommer i uttryck i lösningen av uppgifterna, ges det ytterligare en synsätt eftersom vi tidigare betraktade det som att innehållet bearbetades med matematiska samtal Lektion 4: Programmering Presentation: Denna lektion pågår i 90 minuter. Lektionen organiseras genom helklassundervisning i en uppskattad tid av 10 minuter. Resterande tid, det vill säga en uppskattad tid av 80 minuter fick eleverna arbeta i grupper med programmering. Under lektionen fick eleverna programmera och det var fjärde gången de arbetar med det. Observation: Lektionen börjar med helklassundervisning. Läraren inleder med en genomgång som innehåller instruktioner till eleverna inför programmeringen. Läraren förklarar att eleverna ska få börja med att utforma en ritning över den bana som de ska få bygga. Läraren fortsätter att ge instruktioner om att banan ska innehålla tre svängar. Därefter fortsätter genomgången med att läraren tillsammans med eleverna får ge förslag på hur man ska arbeta i grupperna. Läraren lyfter sedan fram att de ska samarbeta och att samtliga i gruppen ska vara delaktiga. Instruktionerna till programmeringen finns på smartboarden och läraren förklarar för eleverna att de ska studera dem under arbetsgången så att de följer dem, men även att de följer sina egna ritningar när de bygger. 44

47 Lektionen går vidare med att läraren delar in eleverna i grupper om tre till fyra personer. Varje grupp får var sin Blue- bot robot och därefter får de hämta Kaplastavar som de ska använda att bygga banan med och även papper och penna för att kunna dokumentera. Grupperna delar upp sig i de lokaler som finns till hands. Det var klassrummet, lekrummet och grupprummet. Eleverna börjar med att rita sina banor i en ritning. För att därefter börja byggandet av banorna. Under tiden eleverna arbetar i sina grupper lyfter läraren återigen fram att alla i gruppen ska vara delaktiga och att de ska samarbeta. När grupperna har planerat och dokumenterat får de börja bygga sina banor och programmera. Det varierar tidsmässigt inom de olika grupperna när de började med det. När eleverna programmerar får de trycka antal gånger på pilarna som finns på Bluebot roboten, som fungerar för vilken riktning den ska röra sig mot. Antalet tryck på roboten ska överensstämma med banan. Under tiden som eleverna arbetar i grupperna går läraren runt och studerar och samtalar med eleverna i deras arbete. Medan eleverna arbetar upptäcker också några av grupperna att deras Blue-bot robot har problem med att ta sig genom banan och de måste därefter göra justeringar. Justeringarna sker först i deras bana som de har byggt, men de reviderar också ritningarna så att de båda överensstämmer med varandra. När Blue-bot roboten har klarat banan får eleverna hämta läraren och redovisa sina programmeringar. Lektionen avrundades med att eleverna får plocka undan allt material innan de går på lunch. Intervju: De matematiskförmågor läraren valde att fokusera på var problemlösningsförmågan, begreppsförmågan, metodförmågan, resonemangsförmågan och kommunikationsförmågan. Några förmågor som läraren tydligt beskriver kommer i uttryck vid programmering är problemlösningsförmågan, resonemangsförmågan och kommunikationsförmågan: Det är mycket problemlösning i programmering, tänka, föra, analysera, utvärdera och så vidare... Det är ju det här att du ska kunna resonera, du ska kunna planera, du ska kunna sammanfatta och analysera. Du ska kunna dra lärdom av gammal erfarenhet till nästa gång och vad hände då, och hur 45

48 fick vi jobba och så vidare. Dom ska ju rita kartor och de ska prata med varandra och jag tycker det är super super bra Läraren jämför även andra programmeringsuppgifter och lyfter fram fördelen med att de får rita ritningar i form av kartor: Jag tycker att det har varit otroligt berikande. Därför när man jobbar med programmering på datorn, då kan man sätta dem två och två med en dator. Sedan har man genomgång om hur man ska jobba med den här katten och hur man ska programmera den. Men det blir inte på samma sätt för där är inte hela kroppen med och du ritar ju inga kartor bredvid till exempel. Vilket jag tycker är jättebra att man har en tanke på någonting och jaha det blev inte riktigt så varför då? Analys: Vid detta lektionstillfälle användes arbetsformerna helklassundervisning i en uppskattad tid av 10 minuter och grupparbete i 80 minuter. I denna lektion användes helklassundervisning mindre än grupparbete. Det avspeglar inte diagrammet för de totala uppskattade tiderna för respektive arbetsform, eftersom i denna grupparbete användes mer. Det problemlösande arbetssättet kommer i uttryck när eleverna ska planera sin bana och navigera sin Blue-bot robot genom sin bana som utgår från den planerade ritningen. Arbetssättet framträder också när de får testa sig fram och revidera när roboten inte rör sig i överensstämmelse med banan. Eleverna blir då tvungna att antingen bygga om banan, eller navigera roboten på ett annat sätt genom att trycka på robotens pilar. Det sker kontinuerliga utvärderingar av programmeringen, eftersom de hela tiden får stämma av sina ritningar men också testa sig fram. Programmeringen avslutas också med en kort utvärdering och redovisning till läraren. En samlad tolkning av denna arbetsuppgift är att den ge eleverna utrymme att få lösa uppgiften utan någon tydlig lösning. Samtidigt får de konstruera sin egen uppgift, efter några givna ramar. Utifrån förmågorna beskriver läraren att samtliga förmågor har används, men problemlösning, kommunikation och resonemang förklaras tydligast och i varandra. Läraren menar att det handlar om att tänka, planera analysera, utvärdera, använda 46

49 tidigare kunskaper för att lösa problemet, som i detta fall är att programmera så att roboten kan navigera genom banan. För att det ska fungera behöver eleverna resonera och prata med varandra. Läraren jämför även denna typ av programmering med att sitta parvis vid en dator och menar att vid datorn är inte hela kroppen involverad. Detta överensstämmer även med det vi observerade. 47

50 6 Diskussion Här presenteras först resultatdiskussionen för att besvara de tre forskningsfrågorna om vilka variationer av arbetsformer och arbetssätt som används under matematikundervisningen, samt hur läraren beskriver att matematikförmågorna kommer i uttryck i de valda arbetssätten. Sedan diskuteras studiens val av metoder i förhållande till tillförlitligheten. 6.1 Resultatdiskussion Variationer av arbetsformer Tidigare forskning visar att enskilt arbete, där eleverna arbetar i läroboken, är en vanligt förekommande arbetsform i matematikundervisningen (Skolinspektionen, 2009; Skolverket 2003). Om vi endast studerar arbetsformer i denna studie så har samtliga använts och de har varierat med avseende på användning tid. Helklassundervisningen har använts mest, och sedan kommer enskilt arbete som har varit vanligt förekommande. Detta kan sammanföras med forskning som inte sällan lyfter fram det enskilda arbetet (Skolinspektionen, 2009). Däremot har också par och grupparbete använts, pararbetet har förekommit lite mer än grupparbete även om det inte skiljer avsevärt mycket mellan dem. Om par och grupparbete sammanförs under samma arbetsform, kan den sammanslagningen jämföras med hur mycket enskilt arbete som användes under samtliga observerade lektioner och då är det inte någon större skillnad i hur mycket de olika arbetsformerna används, även om helklassundervisningen fortfarande är ledande vid den sammanslagningen. Detta kan tolkas som att det ges mer tid för helklassundervisningen än enskilt arbete, till skillnad från vad tidigare forskning rapporterat som vanligt förekommande (Skolinspektionen, 2009; Skolverket, 2003). Förutom den totala variationen av arbetsformer under samtliga observerade lektioner, varierade även användningen av arbetsformerna i de fyra presenterade lektionerna. I två av lektionerna förekom två arbetsformer, vilket vi inte anser är utmärkande, däremot i de andra lektionerna förekom tre arbetsformer under respektive lektionstillfället. I den 48

51 ena lektionen organiserade läraren undervisningen i helklassundervisning, enskilt arbete och pararbete och i den andra i helklassundervisning, enskilt arbete och grupparbete. Det är i sig utmärkande i jämförelse med tidigare forskning som främst framhäver det enskilda arbetet (Skolinspektionen, 2009; Skolverket 2003), och utifrån det vi tagit del av inte lyfter fram särskilt många fler arbetsformer. Matematiska samtal och läroboken Tidigare forskning har framställer enskilt arbete i läroboken som främst procedurräknande (Skolinspektionen, 2009; Skolverket 2003). I denna studie har enskilt arbete i matematikboken också använts, men tillsammans med andra arbetssätt och arbetsformer som presenteras nedan. Vilket leder till att den andra forskningsfrågan besvaras. Matematiska samtal var ett arbetssätt som förekom i flera arbetsuppgifter med syfte att bearbeta det matematiska innehållet. Malmer (2002) lyfter fram tala matematik. Hon beskriver det som samtal, diskussion och argumentation och vidare att det är betydelsefullt för att utveckla sin tankeprocess muntligt. I lektionerna där läroboken förekom, används den tillsammans med det som Malmer beskriver om tala matematik och det sker både i helklass och i grupper under lektionstillfället. Det sker både samtal och diskussioner i helklass och i grupper om uppgifter i läroboken, som är det centrala i lektionen, men även ytterligare frågor som berör ämnet. Samtidigt som det matematiska samtalet pågår sker det i en kontinuerlig växling mellan lärare och elever, samt elever emellan i grupper. I själva arbetet när de samtalar om uppgifterna från boken får de likt det Malmer (2002) beskriver jämföra sina idéer och lösningsförslag som i det här fallet handlar om hur lång, bred och hur stor omkretsen var på föremålen i boken. I arbetsuppgiften om mätning och omkrets utifrån matematikboken uppstod även en oenighet kring ett lösningsförslag hur mycket omkretsen var på skolgården. Läraren bad då eleverna som var oeniga redogöra sina lösningsförslag, för att sedan lyfta fram och diskutera i helklass, för att tillsammans ta reda på vad omkretsen var. De visade på det som Diez- Palimar och Olivé (2015) beskriver som dialogic talk. Det handlar om en dialog som sker mellan två eller fler personer och syftar till att hitta lösningar på matematiska uppgifter, som präglas av argument som andra också kan ta del av och 49

52 arbeta med. I helklass fick de fortsätta argumentera och samtala om de olika lösningsförslagen. Läraren ger båda lösningsförslagen utrymme genom att diskutera dem tillsammans så att alla delar reds ut. Vilket också stämmer väl överens med Malmers (2002) beskrivningar av matematiska samtal. I och med att läraren organiserar undervisningen med grupper och använder sig av samtal för att bearbeta innehållet på ett aktivt sätt får hen också det som Löwing (2004) beskriver, en viktig roll för att främja det matematiska språket genom aktivt deltagande. Det aktiva deltagandet sker till stor del av att läraren kombinerar samtalet i kontinuerlig växling mellan lärare och elev, samt elever emellan, men även att hen uttrycker att de ska samtala med varandra. Sätts samtalet i relation till läroboken upptäcker man att den ger ytterligare en infallsvinkel på hur den använts och inte enbart för procedurräkning som tidigare forskning lyfter fram (Skolinspektionen, 2009; Skolverket, 2003) och som vi tycker kan upplevas som negativt. Sätter man procedurräkning i läroboken i relation till det som observerats har vi sett att det även kopplas till matematiska samtal i helklass, grupp eller par för att bearbeta innehållet. Det kan ses som det Johansson (2006) beskriver. Hon menar att läraren inte ska bli för negativt beroende av läroboken, utan veta vad den erbjuder och vad den ska användas till. Utifrån det, och de observerade lektionerna har vi kunnat se att den används på det viset, vilket även understryks i två av intervjuerna med lärarna. Ena läraren beskriver att hen plockar delar från läroboken i matematik, medan den andra läraren beskriver att hen använder den för samtal och hen lyfter också fram förmågorna. Hen menar att man inte kan bedöma samtliga förmågor utifrån enbart matematikboken. Detta stöds av det som Johansson (2006) tar upp, nämligen att läroboken är ett stöd i undervisningen så länge den används i överensstämmelse med de pedagogiska avsikterna. Laborativ undervisning med och utan lärobok Arbetssättet laborativ undervisning har också kommit i uttryck under de observerade lektionerna. Både när arbetsuppgifter varit kopplade till läroboken, men också utan den. I båda lektionerna används det som Rystedt och Trygg (2010) först beskriver om laborativ undervisning. Nämligen att sinnena får användas och att det finns en koppling mellan det konkreta och det abstrakta. Skolverket (2011c) hävdar däremot att det inte är 50

53 sinnena som är det primära när man arbetar med konkret material. De förskjuter begreppet konkret till begreppet konkretisering. De beskriver att i arbetet med konkretisering utgår man från begrepp, metoder och matematiska modeller som kan vara svåra att uppfatta, som sedan läraren konkretiserar. I båda arbetsuppgifterna; mäta omkrets, samt skära banan och glass skapas en konkretisering när det sätts i relation, då läraren och eleverna använder samtalet i helklass, men också i grupper i ena aktiviteten. Detta hände bland annat då eleverna fick samtala, använda och beräkna med räknestrategier till respektive innehåll, det vill säga omkrets och talet 100. Konkretiseringen avslutas inte vid samtalen och räknestrategierna utan fortsätter då eleverna får använda sina räknestrategier i vardera aktiviteten, som i det här fallet är praktiska. Malmer (2002) framhäver vikten av att använda materialet och aktiviteterna på ett genomtänkt sätt och i meningsfulla sammanhang. Detta är något som en av lärarna lyfter fram. Hen menar att det är meningsfullt att kunna dela en banan och att det inte blir så teoretiskt, samt att de får användning för sin matematik som är det viktiga. Utifrån observationerna har det använts på ett genomtänkt sätt eftersom läraren gör det som Skolverket (2011c) beskriver, nämligen konkretiserar begreppen och metoderna, även om det finns en medvetenhet om att det inte går att dra slutsatser hur väl eleverna uppnår förståelse. Sätts det ovan beskrivna vidare i relation till tidigare forskning som belyser den starkt läroboksstyrda matematikundervisningen med procedurräkning (Skolinspektionen, 2009; Skolverket, 2003), ger det ännu en bild om hur eleverna fått arbeta med läroboken. Det vill säga med hjälp av laborativ undervisning. Ytterligare en bild är att ena aktiviteten inte är förankrad i någon lärobok. Med avseende på läroboken menar Johansson (2006) att den ska användas och vila på välgrundade beslut från läraren, samt som stöd för undervisningen kopplat till de pedagogiska avsikterna. Vilket återigen kan sammanföras med hur en av lärarna beskriver att hen använder den, nämligen som en bank för att hitta viktiga delar att träna på. 51

54 Problemlösande arbetssätt med programmering I denna studie har det problemlösande arbetssättet kommit i uttryck i olika arbetsuppgifter. En tydlig arbetsuppgift där arbetssättet användes var programmering. Tidigare forskning visar att problemlösning är åsidosatt eftersom procedurräkningen i matematikboken upptar ett stort utrymme (Skolinspektionen, 2009). Vid programmeringen upptar inte läroboken något utrymme och det är inte främst procedurräkningen som är framträdande. Vid våra observationer synliggjordes Taflins (2007) andra och tredje fas. De faserna handlar om att prova minst en matematisk idé för att lösa problemet, och vidare i nästa fas diskutera, jämföra, utvärdera och komma överens om alternativa lösningar med klasskamraterna eller läraren. I arbetsuppgiften innebar det inte enbart att prova en matematisk idé. De provade flera, eftersom de stötte på problem i själva programmeringen. Problemet kunde vara att roboten inte kunde navigera genom banan som antingen berodde på att det blivit fel i inställningen av programmeringen. Eller att eleverna själva upptäckte under processen att de hade konstruerat en för svår bana. Här tydliggörs hur eleverna kontinuerligt testar sig fram, delar och jämför lösningsförslag med varandra, men också kontinuerligt överensstämmer med ritningen. Taflins (2007) andra och tredje fas sker i växling mellan varandra på grund av detta. Arbetsuppgiften och dess innehåll kan också sammanföras med Grevholms (2012) beskrivning av hur man kan arbeta med problemlösning. Hon förklarar det som att ha tillgång till matematiska begrepp, verktyg, tillvägagångssätt och metoder, för att sedan finna praktiska lösningar med tillhörande reflektion. I denna aktivitet är inte begreppen tydliga, däremot får eleverna tillgång till tillvägagångssätt, verktyg och metoder när de kontinuerligt reviderar och provar nya lösningar för att fortsätta lösa uppgiften. Grevholms beskrivning kan i sin tur också förenas med Taflins (2007) andra och tredje fas. När eleverna stötte på problem vid programmeringen uppstår tydliga diskussioner, argumentationer och lösningsförslag som delas mellan eleverna i varje grupp. Det sker alltså det som Taflin (2007) beskriver att problemlösning kan bädda för. Nämligen matematiska resonemang där lösningar och idéer utbyts och kan uttryckas i olika matematiska representationer. Att problemlösningsförmågan kommer i uttryck i denna aktivitet understryks också av läraren. Hen beskriver flera delar vid denna arbetsuppgift, som; planering, att 52

55 resonera, sammanfatta, analysera, använda tidigare kunskaper. Vilket också kan kopplas till de observerade händelserna. Avslutningsvis utifrån samtliga arbetssätt som beskrivs ovan har de även varierat om vartannat inom varje lektionspass, vilket framgår av både observationerna och intervjuerna. Förmågorna Matematikförmågorna har kommit i uttryck under de observerade lektionerna, men på olika sätt. Några förmågor som ofta beskrivs är kommunikationsförmågan, resonemangsförmågan och problemlösningsförmågan och inte sällan separat, utan de överlappar varandra i beskrivningarna. De beskrivs i relation till hur läraren har organiserat undervisningen och de uttrycks i beskrivningar som; hitta strategier, analysera, jämföra, diskutera. Men även andra faktorer som att ta hjälp av varandra och samarbeta. Matematikförmågorna har vidare använts ihop med arbetssätt där samtal, laborativ undervisning och problemlösande arbetssätt används för att bearbeta innehållet. Lärarnas olika beskrivningar om hur förmågorna har kommit till uttryck i det specifika arbetssättet stöds av Häggblom (2013) och Skolverkets (Skolverket, 2011b) beskrivning av läroplanen. Där förklaras att alla förmågor inte är kopplade till något specifikt innehåll i matematikämnet utan att förmågorna är generella. Förmågorna ska ge eleverna möjlighet att utveckla sina kunskaper inom matematik (ibid). Utifrån de korta intervjuerna framgår det att lärarna har valt att fokuserat på fler än en förmåga i undervisningen, någonting som avspeglas i de fyra presenterade lektionerna. I intervjun till en av de presenterade lektionerna finns det en lärare som uttrycker sig om att integrera flera förmågor. Hen menar att ju fler förmågor man väljer att integrera i undervisningen, desto bättre blir undervisningen. Tidigare forskning (Skolinspektionen, 2009) har visat att många lärare kan vara osäkra på kursplanens delar genom att den är svårtolkad. Vi har dock träffat lärare som inte visar på osäkerhet när det kommer till att tolka kursplanens del om matematikförmågor. Lärarna har vid varje intervjutillfälle förklarat både hur de kopplar förmågorna till de valda arbetssätten, men även förklarat förmågornas innebörd. Detta kan tolkas som att lärarna är medvetna om förmågors betydelse inom ämnet. Lärarnas förklaringar ger även en bild av att de är medvetna om hur deras val av innehåll och arbetssätt medför att eleverna får arbeta med 53

56 läroplanens matematikförmågor. Utifrån lärarnas koppling mellan förmågorna och de valda arbetssätten har vi fått en mer djupgående bild om vad undervisningen har innehållit och hur det har varierat. Detta kan vidare kopplas till Häggblom (2013) som beskriver att matematikförmågorna ska ge ett perspektiv om vad innehållet i undervisningen ska innehålla. För att summera, har det medfört att vi har fått klarare bild om hur man kan arbeta med de fem matematikförmågorna och hur man kan integrera dem i undervisningen. 54

57 6.2 Metoddiskussion I denna studie användes ett bekvämlighetsurval vid förstudien. Bekvämlighetsurvalet kopplas till när vi valde en lärare som var lättillgänglig och vars identitet var känd för en av oss. Detta är förmodligen inte det mest fördelaktiga urvalet, men å andra sidan var vi angelägna om att utföra en förstudie för att undersöka hur matematiklektioner kunde kopplas till studiens syfte och dess frågeställningar. Om tiden hade funnits kunde vi möjligtvis fått kontakt med lärare som inte var kända för oss. Sedan användes också ett subjektivt urval. Det användes i och med att vi skickade förfrågan om att få kontakt med lärare som arbetade utan lärobok eller de som kombinerar den med andra typer av aktiviteter. Lärarna valdes ut utifrån de som stämde överens med förfrågan och de som själva godkände sin medverkan i studien. Efterfrågan gjordes alltså för att uppnå en del av vårt syfte och frågeställningar. Detta har påverkat resultatet, hade ett annat urval gjorts skulle resultatet förmodligen blivit ett annat, men vi anser att urvalet var lämpligt i förhållande till studiens syfte. Observationer och semistrukturerade intervjuer har använts för att besvara forskningsfrågorna. Vi anser att de har kompletterat varandra på ett bra sätt. Observationer som metod baseras på det vi faktiskt sett, medan intervjuerna gett djupare beskrivningar på sådan som inte framgår och kan vara svårt att uppfatta under de observerade lektionerna. Tillsammans höjer de validiteten i studien. Risken med observationer att det däremot kan vara svårt att veta vad man ska fokusera på. För att säkerhetsställa det vi ville studera, valde vi att använda oss av en systematisk form av observation med observationsscheman. Detta gjordes för att undvika risken för att vi skulle fokusera på olika saker när vi observerade, vilket skulle kunna medföra att vi observerade olika händelser. Vi ansåg att det var av särskilt vikt när vi till stor del valde att dela upp oss under observationerna. Användningen av observationsscheman har därför förstärkt validiteten. Reliabiliteten i studien sänks dock eftersom vi uppskattade tiderna vid användningen av arbetsformerna, därmed är det inte exakta tider som anges i resultatdelen. Det hade kunnat undvikas om ett tidtagarur använts för att ge en mer exakt tidtagning. För att komplettera den bristen har vi utgått från anteckningarna från observationsschemat samt anteckningsblocken och utifrån dessa successivt uppskattat de rimliga tiderna för vad 55

58 som gjorts under samtliga lektionstillfällen. Några tider fanns även nedskrivna, vilket underlättade arbetet. Vid de korta intervjuerna uppmärksammande vi att två av frågorna besvarades likartat, vi ändrade därmed formuleringen på frågan men det ändrade dock inte frågans innebörd. Den kunde fortfarande kopplas till och svara på studiens frågeställningar, vi anser därmed att det inte påverkar validiteten negativt. Detta hade däremot kunnat undvikas om vi provat att observera en lektion och därefter ställt frågorna till en lärare, något som hade varit lämpligt att göra vid förstudien. Vi hade dock inte en tanke på det eftersom vi i det läget var inriktade på arbetsformerna och arbetssätten. Det hade också varit möjligt att göra det med någon annan lärare som dessutom gett oss möjlighet att träna på att ställa frågorna. Genomförandet av en förstudie har också fungerat som en förberedelse eftersom vi samstämde våra observationsscheman. Med det menar vi att validiteten höjs, eftersom vi kunde ta reda på om det samstämmiga dataunderlaget kunde besvara forskningsfrågorna. Denscombe (2009) förklarar att kvalitativa metoder bygger på djupare beskrivningar och att vid analysarbetet av kvalitativa data står forskaren bakom resultatet av datainsamlingen, eftersom den har bearbetats av forskaren. I den här studien har datamaterialet insamlats och analyserades utifrån de kategorier som kopplas till den teoretiska bakgrunden, och därmed vår synvinkel. Detta bidrar till att reliabiliteten sänks på grund av att det inte är en garanti för att någon annan forskare får samma resultat eftersom hen kan betrakta underlaget från sin synvinkel. För att öka trovärdigheten har förklaringar med tillhörande citat som förstärker varandra använts vid presentationen av resultatet av lärarnas intervjuer. På grund av att vi spelade in samtliga intervjuer och transkriberade dem har vi kunnat få med alla uttalanden från lärarna. Vi har dessutom angett exempel på hur vi analyserat datamaterialet, och försökt beskriva metoden tydligt. Vi har därmed gjort vad vi kunnat för att någon annan ska kunna använda studien för att få fram likartat resultat. Utifrån vår studie är vi medvetna om att det inte går att dra några generella slutsatser, men om ett större urval hade använts hade det varit möjligt. Samtidigt har vi haft tillräckligt med underlag i koppling till studien syfte. Vi har observerat 23 matematiklektioner, intervjuat 17 kortare intervjuer och även tre längre intervjuer under 56

59 totalt cirka tre veckors tid. Vilket har bidragit till att vi kunnat fördjupa kunskaperna i studiens ämne. 6.3 Slutsats och vidare forskning Slutsatsen av vår studie är att vi kan ge en positiv och bred bild om hur undervisningen inom matematikämnet kan variera. Utifrån de urval som har gjorts ger resultatet en mångsidig bild om hur arbetsformer och arbetssätt kan uttryckas och användas i den varierande matematikundervisningen i relation till matematikförmågorna. Samtidigt kan studien visa hur läroboken kan användas i ett mer varierat sätt i matematikklassrummet för årskurserna 1-3. Förslag till vidare forskning är att denna studie skulle kunna genomföras med ett annat urval. Den skulle också kunna genomföras med fler skolor för att kunna dra slutsatser utifrån en större undersökning. Vidare kan också jämförelser göras mellan skolor, i stället för att ge en samlad bild. Ett annat förslag på vidare forskning är programmering inom matematik. Detta på grund av att programmering är ett nytt område inom skolan och ska föras in i läroplanen, och har därmed inte bedrivits mycket forskning om. 57

60 7 Referenser Ahlberg, A. (2001). Lärande och delaktighet. Lund: Studentlitteratur. Ahrne, G. & Svensson, P. (2015). Handbok i kvalitativa metoder. (2., [utök. och aktualiserade] uppl.) Stockholm: Liber. Backlund, L., & Backlund, P. (1999). Att förändra arbetssätt svårt men nödvändigt. Nämnaren, 4, pp Hämtat: : Björklund, C. & Grevholm, B. (2012). Lära och undervisa matematik: från förskoleklass till åk 6. (1. uppl.) Stockholm: Norstedt. Bogdan, R. & Biklen, S. K. (2003). Qualitative research for education: an introduction to theory and methods. (4. ed). Boston: Allyn and Bacon. Denscombe, M. (2009). Forskningshandboken: för småskaliga forskningsprojekt inom samhällsvetenskaperna. (2. uppl.) Lund: Studentlitteratur. Diez-Palomar, J & Olivé, C. J. (2015). Using dialogic talk to teach matematics: the case of interactive grous. ZDM Mathematics Education, 47(7), Doi: /s x Fejes, A. & Thornberg, R. (red.) (2015). Handbok i kvalitativ analys. (2. uppl.) Stockholm: Liber. Francisco, J. M. (2013). Learning in collaborative settings: students building on each other s ideas to promote their mathematical understanding. Educational Studies in Mathematics, 82(3), Doi: /s

61 Häggblom, L. (2013). Med matematiska förmågor som kompass. (1. uppl.) Lund: Studentlitteratur. Johansson, M. (2006). Teaching mathematics with textbooks: a classroom and curricular perspective. Diss. (sammanfattning) Luleå: Luleå tekniska univ., Luleå. Hämtad: Kroksmark, T. (1997). Undervisningsmetodik som forskningsområde. I M. Uljens. (red.), Didaktik. (s.77-97). Lund: Studentltteratur. Lindström, G. & Pennlert, L. (2012). Undervisning i teori och praktik: en introduktion i didaktik. (5. uppl.) Umeå: Fundo. Löwing, M. (2004). Matematikundervisningens konkreta gestaltning: en studie av kommunikationen lärare - elev och matematiklektionens didaktiska ramar. Acta universitatis Gothoburgensis. Hämtad: Malmer, G. (2002). Bra matematik för alla: nödvändig för elever med inlärningssvårigheter. (2. uppl.) Lund: Studentlitteratur. Pettersson, E. (2011). Studiesituationen för elever med särskilda matematiska förmågor [Elektronisk resurs]. Diss. Växjö: Linnéuniversitetet, Växjö. Hämtad: Pólya, G. (1973). How to solve it: a new aspect of mathematical method. (2. ed., 2. pr.) Princeton, New York: Princeton University press. Rystedt, E. & Trygg, L. (2010). Laborativ matematikundervisning: vad vet vi?. (1. uppl.) Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning, Göteborgs universitet. Hämtad: Schoenfeld, A. H. (1985). Mathematical problem solving. Orlando: Academic Press. 59

62 Skolverket (2003). Lusten att lära [Elektronisk resurs]: med fokus på matematik: nationella kvalitetsgranskningar Stockholm: Skolverket. Hämtad: Skolinspektionen (2009). Undervisningen i matematik [Elektronisk resurs]: undervisningens innehåll och ändamålsenlighet. Stockholm: Skolinspektionen. Hämtad: Skolverket (2011a). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011 [Elektronisk resurs]. Stockholm: Skolverket. Hämtad: Skolverket (2011b). Kommentarmaterial till kursplanen i matematik [Elektronisk resurs]. Stockholm: Skolverket. Hämtad: Skolverket (2011c). Laborativ matematik och konkretiserande undervisning och matematikverkstäder [Elektronisk resurs]: en utvärdering av matematiksatsningen. Stockholm: Skolverket. Hämtad: Skolverket (2012a). Tid för matematik erfarenheter från Matematiksatsningen [Elektronisk resurs]. Stockholm: Skolverket. Hämtad: Skolverket (2012b). Utökad undervisningstid i matematik [Elektronisk resurs]: hur en ökning av undervisningstiden kan användas för att stärka elevernas matematikkunskaper. Stockholm: Skolverket. Hämtad: Skolverket: definitioner till matematiska förmågor. Hämtad: kurser/gymnasieutbildning/gymnasieskola/mat/comment.pdf?subjectcode=mat&com mentcode=all&lang=sv 60

63 Taflin, E. (2007). Matematikproblem i skolan: för att skapa tillfällen till lärande. Doctoral dissertation, Umeå university, Department of Mathematics and Mathematical Statistics. Hämtad: Trygg, L. (2014). Undervisning med laborativa material. I K. Wallby, U. Dahlberg, O. Helenius, J. Häggström, & A. Wallby, Matematikundervisning i praktiken (s ). Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning, NCM. Vetenskapsrådet. (2002) Forskningsetiska principer inom humanistisksamhällsvetenskaplig forskning. Hämtad: Vinterek, M. (2006). Individualisering i ett skolsammanhang [Elektronisk resurs]. Stockholm: Myndigheten för skolutveckling. Hämtad:

64

65 8 Bilagor Bilaga 1: Observationsschemat för förstudien Datum: Lektion: Tid: Klass: Vad ser vi? 1,Vad ska lektionen innehålla?. Övriga reflektioner 2,Vilket/vilka typ av arbetssätt/aktiviteter innehåller lektionen? 4, Vad får eleverna göra? 5, Hur får eleverna arbeta med matematikinnehållet? 3, Lärarens roll? 6, Vilka/vilket typ av material får eleverna arbeta med? 7, påverkande faktorer (vad som kan påverka lektionen, tid, elever, material osv).

66 Bilaga 2: Observationsschemat för observations- och intervjuperioden 1. Matematiskt innehåll Vad ser vi? Övriga anteckningar och reflektioner 2. Arbetsformer Helklass Grupper Parvis Enskilt 3. Arbetssätt Matematiska samtal Laborativt arbetssätt Problemlösning IKT Övriga aktiviteter 4. Material i undervisningen 5. Hur får eleverna arbeta? (beskrivande av arbetsform). 6. Vad får eleverna arbeta med? (beskrivande av arbetssätt och material)

67 Bilaga 3: Intervjufrågor efter varje lektionstillfälle