Laborativ problemlösning för lust och lärande En studie om undervisning genom laborativ problemlösning

Transkript

1 Självständigt arbete I, 15 hp Laborativ problemlösning för lust och lärande En studie om undervisning genom laborativ problemlösning Författare: Frida Hultenius och Hanna Karlsson Handledare: Oduor Olande Eaminator: Constanta Olteanu Termin: HT16 Ämne: Matematik och matematikdidaktik Nivå: Avancerad nivå Kurskod: 4GN02E

2 Abstrakt Problemlösning beskrivs ofta både som en metod och ett mål inom matematiken. Vi anser, liksom flera forskare, att laborativ problemlösning gynnar yngre elevers utvecklande av problemlösningsförmågan. Vår uppfattning är dock att det råder ett klimat där läroboksundervisningen styr matematikundervisningen på många skolor. I vår studie kommer vi därför att beskriva hur lärare kan arbeta med laborativ problemlösning för att främja elevernas lust och lärande för matematik. För att undersöka detta har vi samlat in empiri genom att utföra observationer och intervjuer på fyra olika skolor. Studien har utgått ifrån ett variationsteoretiskt perspektiv. Utifrån studiens resultat har vi kommit fram till ett flertal principiella slutsatser. Dels att läraren bör koncentrerar sig på få aspekter av lärandeobjektet för att eleverna lättare ska tillägna sig innehållet. Vår studie redogör även för att undervisning genom laborativ problemlösning inte enbart utvecklar elevernas problemlösningsförmåga, utan även elevernas kommunikations- och resonemangsförmåga. Slutligen redogör vi för att undervisningen genom laborativ problemlösning bidrar till ett ökat intresse för matematik. Nyckelord Laborativ problemlösning, laborativa arbetssätt, problemlösning, variationsteorin, läroboksundervisning, lustfullt lärande, matematikundervisning, grundskolan. Tack Vi vill rikta ett tack till alla de lärare som har deltagit i vår studie. Vi vill rikta ett speciellt tack till de lärare vi har besökt för att observera och intervjua och som visat ett stort engagemang för vår studie. Populärvetenskaplig sammanfattning Syftet med vår studie är att klargöra hur lärare arbetar med laborativ problemlösning i matematikundervisningen. I vår studie utgår vi ifrån vilka aspekter av laborativ problemlösning som lärarna fokuserar på i sin undervisning. Genom detta arbete utgår vi även ifrån lärarnas uppfattningar om hur eleverna utvecklar sina matematiska förmågor. I vår studie har vi observerat fyra olika matematiklektioner i årskurs 2 och 3, planerade av fyra olika lärare, inom området laborativ problemlösning. Lärarnas lektioner behandlade olika områden inom laborativ problemlösning, så som geometri, mönster, kombinatorik och val av operationer i problemlösningsuppgifter. I vår studie utgår vi ifrån ett lärarperspektiv och vi har därför valt att intervjua dessa fyra lärare för att få en uppfattning om lärarnas upplevelser om fenomenet laborativ problemlösning. I resultat- och analysavsnitt presenterar vi tabeller som redogör för vilka aspekter av undervisningsinnehållet som lärarna har tagit upp i sina lektioner. Vi presenterar även studiens resultat i form av citat från de intervjuer vi har genomfört. Studiens resultat analyseras genom variationsteoretiska begrepp. Efter att ha analyserat resultatet av vår studie kom vi till slutsatsen att desto färre aspekter läraren fokuserar på under lektionen, desto lättare är det för eleven att lära sig om dessa. I vår studie redogör vi även för vikten av att läraren är aktiv i problemlösningsprocessen och ger förslag på hur läraren kan stödja eleven under problemlösningsprocessen. Samtliga lärare i vår studie i

3 poängterar också vikten av att arbeta kontinuerligt med laborativ problemlösning, eftersom detta område inte berörs tillräckligt i läroböckerna. Vår studie har gynnat oss i vår framtida roll som lärare eftersom vi genom den har fått kunskap om hur vi som lärare kan planera och genomföra matematikundervisning i form av laborativ problemlösning. Vi anser att vår studie är relevant för verksamma lärare som önskar att arbeta med problemlösning genom laborativa arbetssätt för att utveckla elevernas problemlösningsförmåga, resonemangsförmåga och kommunikationsförmåga. Studien är även relevant för de lärare som vill öka elevernas intresse för matematik eftersom resultatet av vår studie visar att laborativ problemlösning kan bidra till både ökat lust och lärande inom matematiken. ii

4 Innehåll 1 Inledning 1 2 Syfte Frågeställningar 2 3 Litteraturbakgrund Läroboksundervisning Problemlösning Tetuppgifter Undervisa i problemlösning Laborativa arbetssätt Konkret, halvabstrakt och abstrakt Laborativ problemlösning Problemlösning i grupp 8 4 Teori Variationsteorin Bärande begrepp Lärandeobjekt Urskiljning och kritiska aspekter Struktur och mening Problemlösningsprocessens enligt Polya 12 5 Metod Metodologisk forskningsansats Genomförande Urval Datainsamlingsmetod Enkät Observationer Intervju Validitet, reliabilitet och generaliserbarhet Forskningsetiska principer Informationskravet Samtyckeskravet Konfidentialitetskravet Analys av empiri 19 6 Resultat och analys Aspekter av lärandeobjekten Lektion Lektion Lektion Lektion 4 23 iii

5 6.2 Resultat och analys av lärandeobjekten Avsett lärandeobjekt Iscensatt lärandeobjekt Erfaret lärandeobjekt 30 7 Diskussion Metoddiskussion Resultatdiskussion Förslag till fortsatt forskning Slutsats 38 Referenser 39 Bilagor I Bilaga 1 - Enkät I Bilaga 2 Missivbrev IV Bilaga 3 Observationsschema V Bilaga 4 Intervjufrågor VI iv

6 1 Inledning Under vår tid på lärarutbildningen har vi varit ute på ett flertal VFU-perioder. Våra samlade erfarenheter av dessa VFU-perioder, och erfarenheter från vår egen skolgång, är att matematikundervisningen till stor del är styrd av läroboken. Vi har upplevt att både lärare och elever lägger en stor vikt vid antalet räknade uppgifter i matteboken. Det leder till att det ofta blir som en tävling mellan eleverna om vem som har räknat flest sidor i matteboken. Elevernas fokus ligger på antalet räknade uppgifter på kortast tid istället för att reflektera över sina matematiska kunskaper. Vi har även fått erfara goda eempel på lektioner där eleverna fått möjlighet att arbeta med det som vi benämner som laborativ problemlösning. Vår definition av laborativ problemlösning innebär att eleverna får möjlighet till att arbeta med elevaktiverande problemlösningsuppgifter. Det kan eempelvis handla om att eleverna arbetar i grupp, utomhus, med hjälp av laborativt material, genom lekar, spel, rörelse och så vidare. Under dessa lektioner med laborativ problemlösning har vi märkt att eleverna tvingas till att stanna upp, tänka efter och reflektera över sitt matematiska kunnande för att lösa problemet med en lämplig metod. Liksom våra reflektioner menar även Johansson (2006) att det på många skolor råder en kultur där matematikkunskaper mäts i antalet räknade sidor i läroboken. Löwing (2004) beskriver i sin studie att lärarna i många fall framhåller att målet för matematiklektionen handlar om vad som ska göras, istället för att tala om vad eleverna ska lära sig. I vissa fall uttrycker läraren att målet för lektionen var att hinna räkna vissa sidor i läroboken. Löwing (2004) anser att detta beror på att läraren i många fall planerar undervisningen utifrån läroboken. Även om Johanssons (2006) och Löwings (2004) studier är över 10 år gamla kan vi se att denna kultur råder på många skolor än idag. Enligt Rystedt och Trygg (2013) bidrar laborativa arbetssätt till en varierad undervisning som ökar intresset för matematik hos elever. Rystedt och Trygg (2013:4) skriver att genom att använda flera arbetssätt ges fler möjligheter till olika sätt att lära och fler elever kan upptäcka matematikens spännande sidor. Rystedt och Tryggs (2013) syn på en varierad undervisning stämmer väl överens med den som uttrycks i läroplanen. I läroplanen står det skrivet att eleverna ska erbjudas en balanserad undervisning genom varierade arbetsformer (Skolverket, 2016). Liksom Johansson (2006) antyder anser vi att läroboken kan vara ett hjälpsamt verktyg i undervisningen, men bör inte vara det enda verktyget. För att avgränsa vårt studie om laborativa arbetssätt till att handla om ett specifikt matematiskt område valde vi att skicka ut en enkät till verksamma lärare inom årskurs 1 3. I enkäten fick lärarna svara på vilket matematiskt område de anser behöver mest kompletterande uppgifter utöver läroboken och inom vilket matematiskt område de arbetar mest med laborativa arbetssätt. Vår sammanställning av lärarnas svar visar att de flesta lärarna ansåg att de arbetade mest laborativt med området problemlösning, delvis på grund av att de ansåg att dessa typer av uppgifter saknades i läroböckerna. Vi anser också att problemlösning är ett intressant område att undersöka då eleverna behöver använda flera metoder och räknesätt för att lösa ett problem. I läroplanen uttrycks det också att matematik är av sin art en kreativ, reflekterande och problemlösande aktivitet (Skolverket, 2016). Vi anser därför att det är gynnsamt för vår framtida profession som lärare att studera laborativ problemlösning 1

7 2 Syfte Baserat på våra erfarenheter från fältet utgår matematikundervisningen ofta ifrån läroboken. Vi anser dock att läroboken inte ger eleverna tillräckligt med möjligheter för att utveckla sin problemlösningsförmåga. Syftet med vår studie är därför att skapa en större förståelse för hur läroboksundervisning kompletteras med undervisning genom laborativ problemlösning inom matematiken. Vi vill undersöka hur lärare använder sig av laborativ problemlösning inom årskurs 2 och 3 för att eleverna ska få möjlighet att utveckla deras problemlösningsförmåga. 2.1 Frågeställningar I vår studie kommer vi utgå från följande frågeställningar: Vilka aspekter säger sig läraren fokusera på i användningen av kompletterande uppgifter inom problemlösnings området? Vilka aspekter förkommer i lärarnas planering och genomförande av laborativa problemlösningslektioner? Hur upplever lärarna att eleverna utvecklar sin problemlösningsförmåga genom att arbeta med laborativa problemlösningsuppgifter? 2

8 3 Litteraturbakgrund I detta avsnitt kommer vi att redogöra för tidigare forskning inom studiens valda områden. Som vi tidigare nämnt i vår inledning väcktes idén till vår studie genom att vi har upplevt att det på många skolor råder ett klimat där matematikundervisningen endast består av att arbeta i matematikboken. Vi kommer därför att beskriva tidigare forskning inom området läroboksundervisning. Vidare kommer vi att redogöra för tidigare forskning inom områdena problemlösning och laborativt arbetssätt. Avslutningsvis kommer vi att beskriva laborativ problemlösning. 3.1 Läroboksundervisning Johansson (2009) beskriver matematikboken som en central del av undervisningen. Det som läroboken tar upp är det matematiska innehåll som eleverna kommer att bli tillgodosedda med. Det ligger djupt rotat hos både lärare och föräldrar att det är av vikt att hinna räkna många sidor i boken då det motsvarar att vara duktig i matematik. Johansson (2009) beskriver att läroboken tar upp utvalda delar av matematiken och är ett praktiskt verktyg i undervisningen. Det finns olika utgångspunkter i hur en lärobok blir utformad (Johansson, 2009). Det kan dels ha sin utgångspunkt i vilket land man bor i, men även vilken utbildningsvetenskaplig syn på lärande läromedelsförfattarna influeras av. Om ett läromedel har sin utgångspunkt i det sociokulturella perspektivet borde läromedlet bestå av fler problemlösningsuppgifter för att ge eleverna möjlighet till samarbete och diskussion (Johansson, 2009). Johansson (2009) lägger vikt vid att läroboken inte ska ses som ett verktyg för att kunna fastställa att eleverna har uppnått målen i styrdokumenten. Det är därmed inte tillräckligt att arbeta med ett matematiskt område enbart genom läromedlet. Johansson (2009) förtydligar att det inte behöver betyda att läromedlet är av bristande kvalitet, utan att eleverna behöver erfara innehållet genom fler arbetsformer. Lärare kan dessutom inte ta förgivet att läromedlet överensstämmer med kursplanen. Johansson (2006) menar därmed att det kan vara ett problem att bygga upp matematikundervisningen helt utifrån läroboken eftersom många läroböcker inte uppfyller de mål och kriterier som finns i läroplanen. I Löwings (2004) studie av nio lärare uppmärksammar hon att lärarna i många fall följde de upplägg som presenteras i läroboken, utan att reflektera över hur innehållet relaterar till kursplanen. Enligt Löwing (2004) förmedlade lärarna ofta att målet för lektionen var något som skulle göras istället för att beskriva de förmågor och kunskaper eleverna förväntas utveckla. Enligt Johansson (2009) saknar Sverige idag den form av statlig granskning och kvalitetssäkring av läromedel som finns i många andra länder. Skolverket (2015) beskriver att staten hade ansvar för att granska alla läromedel i förväg mellan åren Vid dessa granskningar kontrollerades hur väl läromedlet överensstämde med kursplanens innehåll, objektivitet och språk. Sedan år 1983 har staten inte längre någon möjlighet till att underkänna läromedel som inte uppfyller kraven, men de kan fortfarande göras ett utlåtande. Enligt Skolverket (2015) avslutades statens granskning av läromedel i samband med att Skolöverstyrelsen och Statens institut för läromedelsinformation lades ner år Skolverket (2015) meddelar att det idag inte finns någon statlig myndighet med ansvar att kvalitetssäkra och granska läromedel. Ansvaret läggs istället på de verksamma lärarna och indirekt även på lärarutbildningen. I läroplanens övergripande mål och riktlinjer står det även att det är rektorns ansvar att säkerhetsställa att de läromedel som används i undervisningen är av god kvalitet (Skolverket, 2016). 3

9 Johansson (2009) beskriver även lärobokens fördelar och menar på att den skapar struktur och kan vara en hjälp för planering av undervisning och uppgifter för lärare. Även Skolinspektionen (2009) beskriver i sin granskning att många lärare anser att läroboken är ett viktigt stöd. Johansson (2006) menar på att om läraren lägger för stor vikt vid läroboken i matematikundervisning finns risk att det uppstår begränsningar. Läroboken beskrivs därför som ett hjälpsamt verktyg inom matematikundervisningen, men det bör inte vara det enda verktyget. Eleverna bör även få möjlighet till att erfara det matematiska innehållet genom andra arbetsformer (Johansson, 2006). Skolinspektionens rapport från 2009 hade i fokus att granska om undervisningen i matematik bedrivs av behöriga lärare, och även om undervisningen utgår från läroplanen och de mål som finns i kursplanen. Förhoppningen med granskningen var att det skulle leda till att huvudmän och skolor la mer fokus på hur undervisningen i matematik planeras och genomförs (Skolinspektionen, 2009). Granskningen gjordes i 10 kommuner på 23 grundskolor. Utifrån granskningen framkom det att läroboken styrde matematikundervisningen. Skolinspektionen (2009) lägger tyngdpunkt på att den starka styrningen av läroboken medför ett flertal konsekvenser för eleverna. Eleverna får inga eller små möjligheter till att utveckla sin kompetens i problemlösning, och inte heller möjligheten till att sätta in matematiska problem i sammanhang. En läroboksstyrd undervisning möjliggör lite eller inte alls möjligheten för eleverna att utveckla sin logiska resonemangsförmåga (Skolinspektionen, 2009). 3.2 Problemlösning Löwing och Kilborn (2002) menar att problemlösning ofta anses vara det yttersta målet för matematikundervisning. Det vill säga att syftet med matematikundervisningen i skolan är att eleverna ska lära sig att lösa olika typer av problem. Även Häggblom (2013) betonar vikten av att utveckla förmågan att lösa problem i alla skolämnen. Att utveckla förmågan att tolka och lösa problem beskrivs också som en grundfärdighet i vardagslivet. Niss (2006) har ända sedan början av 1990-talet talat om problemlösning som en diskurs och menar att problemlösning bör ses som det övergripande målet för matematikundervisningen i skolan. Häggblom (2013) menar att grundtanken med problemlösningsuppgifter är att eleverna tvingas till att reflektera över sitt matematiska kunnande och blir på så vis medvetna om vad de har lärt sig. För att lösa problemen behöver eleverna använda flera metoder och koppla samman olika slags kunnande. Häggblom (2013) beskriver därmed problemlösning både som en metod och som ett mål inom matematikundervisningen. Det finns många definitioner och förklaringar av vad ett problem och en problemlösningsuppgift innebär. Vissa menar att alla uppgifter som innehåller tet räknas som problemlösningsuppgifter, det vill säga alla benämnda uppgifter (Löwing & Kilborn, 2002). När vi talar om problemlösningsuppgifter använder vi oss dock av Häggbloms definition av vad en matematisk problemlösningsuppgift är. Häggblom (2013:162) beskriver ett matematiskt problem som en uppgift där en person inte på förhand har en given lösningsstrategi, utan det krävs en ansträngning för att lösa problemet. Det innebär att ett problem kan uppfattas på olika sätt ur ett elevperspektiv. En uppgift som en elev upplever som en problemlösningsuppgift kan en annan elev tolka som en rutinuppgift. 4

10 Taflin (2007) menar att problemlösningsuppgifter kan delas upp i två kategorier, rika problem och övriga problem. Haglund, Hedrén och Taflin (2005) definierar begreppet rika problem som ett problem som ger eleverna möjlighet att diskutera och reflektera över matematiska metoder, idéer och begrepp. Uppgiften ska upplevas som en utmaning och ta tid för eleverna att lösa, men uppgiften ska samtidigt vara enkelt formulerad så att alla förstår innebörden. Problemet ska också kunna lösas på flera olika sätt, med hjälp av olika strategier och representationer. Eftersom eleverna tvingas använda olika strategier kan uppgiften ses som brobyggare mellan olika matematiska områden. Med fördel ska även problemet leda till en diskussion som öppnar upp till förslag på liknande problemlösningsuppgifter. Häggblom (2013) beskriver också att problemlösningsuppgifter kan benämnas som slutna eller öppna uppgifter. Slutna problem har enbart ett korrekt svar, medan öppna problemlösningsuppgifter kan lösas på flera olika sätt och ha flera olika svar. Ett eempel på en öppen problemlösningsuppgift kan eempelvis vara Hur många gånger blinkar du under ett dygn? (Häggblom 2013:165). För att lösa problemet behöver eleverna själva tänka ut en lämplig metod och söka fram fakta. Resultatet bör sedan redovisas på ett överskådligt sätt, eempelvis genom en tabell. Marton och Booth (2000) menar på att genom att lösa en problemlösningsuppgift kan det leda till att en förändring uppstår i förståelsen av de fenomen som ingår i uppgiften. Vidare beskriver Marton och Booth (2000) att hur problemlösaren erfara ett specifikt problem har sin utgångspunkt i förståelsen av de fenomen som problemet omfattar och även vilka förutfattade meningar problemlösaren har Tetuppgifter Eftersom en problemlösningsuppgift ofta presenteras som en skriven tetuppgift menar Häggblom (2013) att det krävs att eleverna har förmågan att tolka innehållet i en tet. För att lösa matematiska problemlösningsuppgifter krävs därför också goda språkliga färdigheter, som att läsa, skriva, lyssna och tala. Häggblom (2013) menar därmed att kommunikationsförmågan är viktig vid problemlösning. När eleverna löser ett problem som är presenterat genom en tetuppgift får de möjlighet till att använda matematiken i elevnära situationer. Eleverna tolkar tetens innehåll och får lära sig att se samband mellan en upplevd verklighet och en matematisk struktur. Löwing och Kilborn (2002) poängterar dock att alla tetuppgifter inte uppfyller de krav som finns för att de ska definieras som ett matematiskt problem. Enkla tetuppgifter tillhör istället kategorin rutinuppgifter. Häggblom (2013) menar att det finns en tydlig koppling mellan matematik och språk. För att lösa ett problem som presenteras som en tetuppgift krävs inte enbart kunskaper i matematik, utan elevernas läsförmåga prövas också. Det krävs både att eleverna förstår uppgiftens semantiska och matematiska innebörd. Enligt Häggblom (2013) innehåller tetuppgifter ofta ord och begrepp som är specifika för matematiken, vilket gör att eleverna även utvecklar sin begreppsförståelse Undervisa i problemlösning Lester och Lambdin (2006:95) menar att huvudmålet med att undervisa genom problemlösning är att eleverna ska utveckla en djupare förståelse för matematiska begrepp och metoder. Lester och Lambdin (2006) menar även att elever allt för ofta får möjlighet till att arbeta med problemlösningsuppgifter först efter att de studerat ett visst begrepp eller färdighet. Problemlösningsuppgifter bör istället enligt Lester och Lambdin 5

11 (2006) användas som en metod och hjälpmedel för att eleverna ska utveckla nya kunskaper inom matematiken. Lester (1996), Häggblom (2013) och Palmér och van Bommel (2016) poängterar alla vikten av att eleverna utvecklar förmågan att hitta lösningsstrategier. De understryker även vikten av att eleverna värderar och reflekterar över sina lösningsstrategier efter att problemet är löst. Lester (1996) redogör för några eempel på lösningsstrategier som eleverna bör lära sig att använda, eempelvis att rita en bild, skriva en ekvation, göra en tabell, gissa och pröva, räkna baklänges och att använda laborativa material. Enligt Lester (1996) bör eleverna få möjlighet till att utvecklas genom att arbeta med problemlösningsuppgifter kontinuerligt under en lång tidsperiod. Eleverna behöver nämligen få möjlighet till att lösa många problem eftersom det är en lång process att utveckla problemlösningsförmågan. Lester (1996) menar också att det är större chans att eleverna tillägnar sig innehållet om undervisningen sker på ett systematiskt vis och om eleverna tror på att läraren själv anser att problemlösning är en viktig del av matematiken. Enligt Lester (1996) är det även viktigt att problemlösningsuppgifterna behandlar ett lämpligt innehåll och att problemet ligger på en lämplig svårighetsgrad i relation till elevernas förkunskaper. Läraren behöver också ta hänsyn till olika riktlinjer för genomförandet, det kan eempelvis handla om att läraren behöver reflektera över tiden som behövs för problemet, gruppsammansättning och klassrumsklimat. Problemet bör också kunna anpassas till alla elever oavsett deras kunskapsnivå (Lester, 1996). Lester (1996) menar att problemlösning kan vara svårt att undervisa i på grund av dess kompleitet. Även Häggblom (2013) medger att problemlösning är en krävande aktivitet både för lärare och elever. Enligt Lester (1996) är det viktigt att läraren är aktiv i klassrummet när eleverna arbetar med problemlösningsuppgifter. Det finns en risk för att läraren ger eleverna för lite stöd om den ständigt uppmanar eleverna till att försöka själva. Enligt Lester (1996) har läraren en viktig roll, nämligen att läraren motiverar, observerar, lyfter fram positiva element i elevernas lösningar, ställer frågor och om det är nödvändigt även hjälper eleverna genom att ge idéer. Även Palmér och van Bommel (2016) redogör för att läraren bör vara aktiv när elever arbetar med problemlösningsuppgifter, vare sig eleverna arbetar enskilt, i par eller i grupp. Under tiden då eleverna arbetar kan läraren vara aktiv och ställa frågor som leder eleverna framåt. Palmér och van Bommel (2016) menar dock att det är en risk för att uppgiften som hade i syfte att vara en problemlösningsuppgift istället kan uppfattas som en rutinuppgift om läraren ställer för mycket ledande frågor. I ambitionen att hjälpa eleverna kan läraren avslöja uppgiftens lämpliga lösningsstrategi, som eleverna borde upptäckt på egen hand om uppgiften ska definieras som ett problem. Det finns också en risk för att läraren förenklar problemlösningsuppgiften så mycket att det inte längre är ett problem. Enligt Palmér och van Bommel (2016) bör eleverna istället förenkla problemet och ställa ledande frågor till sig själva för att komma fram till en lösning. Det kan läraren uppmuntra genom att ställa frågor som: Vad är det du ska ta reda på?, Vad förstår du inte? och Kan du förklara uppgiften med egna ord? (Palmér & van Bommel, 2016:19). I en av modulerna för matematiklyftet beskrivs en modell för matematikundervisning i problemlösning (Larsson, 2013). Enligt modellen bör en problemlösningslektion bestå av fyra faser: introduktion, enskilt arbete, arbete och diskussioner i par/smågrupper och klassdiskussion. Modellen brukar benämnas för EPA, vilket står för enskilt, par och alla. EPA-modellen har sitt ursprung från Lyman (1981) som istället benämnde dessa 6

12 faser som, "Listen, Think, Pair, Share". Syftet med modellen är att ge eleverna förutsättningar till att lyssna på frågan, tänka över frågan, diskutera frågan i par och slutligen dela med sig av det som framkommit inför hela gruppen (Lyman, 1981). I modulen för matematiklyftet förespråkar Larsson (2013) ett likande tillvägagångssätt för att arbeta med problemlösningsuppgifter. Läraren bör starta lektionen med att introducera problemet för att alla elever ska förstå vad som är problemställningen. Därefter ska eleverna fortsätta att arbeta enskilt med problemet. När eleverna gjort detta en stund ska de sedan diskutera och arbeta vidare med sina lösningar i par eller smågrupper. Avslutningsvis ska läraren hålla en klassdiskussion gemensamt med elevernas olika lösningar (Larsson, 2013). I helklassdiskussionen ska läraren även sammanfatta viktiga aspekter av problemet. Även Palmér och van Bommel (2016) menar att läraren med fördel kan lyfta problemet till en helklassdiskussion efter att eleverna har arbetat enskilt, i par eller i smågrupper. Lärarens uppgift är att välja bra eempel på lösningar av eleverna, sammanfatta och kategorisera elevernas lösningar och ta upp vanliga missuppfattningar som kan diskuteras i helklass. Syftet med att synliggöra olika lösningsstrategier är att eleverna ska få möjlighet att jämföra olika strategier för att se skillnader mellan dem. Enligt Palmér och van Bommel (2016) kan diskussion och jämförelse av olika strategier även leda till att eleverna förfinar sina lösningar. 3.3 Laborativa arbetssätt Häggblom (2013) beskriver att matematikämnet är något som kan väcka olika känslor, som hopp och glädje, men även frustation. Matematikämnet har en lång tradition av att vara upplagd mycket teoretiskt, vilket har gjort att ämnet upplevs svårt för många. Vidare beskriver Häggblom (2013) att matematikämnets uppbyggnad är på vad som är rätt och fel, och gränsen mellan att lyckas och misslyckas är smal. I läroplanen i delen övergripande mål och riktlinjer beskrivs det under elevens ansvar och inflytande att läraren ska, svara för att eleverna får pröva olika arbetssätt och arbetsformer (Skolverket, 2016:15). Under 2001 och 2002 gjordes en nationell kvalitetsgranskning av Skolverket (2003) i lust att lära i matematik. Granskningen gjordes bland annat i grundskolan och hade i syfte att se vilka faktorer som påverkar för att ge upphov till och stödja lusten till att lära i ämnet matematik. Något som framkom i granskningen var att när undervisningssituationerna kännetecknades av variation i innehåll och arbetsformer kände eleverna lust till att lära. Skolverket (2003) belyste i sin granskning att det är av vikt att lägga upp undervisningen där olika arbetsformer förekommer för att fånga upp alla elever. För att behålla elevernas känsla av lust att lära sig matematik ska undervisningen undvikas att bli enformig. Berggren och Lindroth (2011) beskriver att laborativ matematik inte handlar om det konkreta materialet i sig utan om att det finns ett problem som eleverna ska arbeta med. Vidare lägger Berggren och Lindroth (2011) tyngdpunkt på att den laborativa matematiken ska vara något som finns med i den dagliga undervisningen i matematik. Fler elever får möjlighet att förstå nya matematiska begrepp och samband om undervisningen både erbjuder teoretiska uppgifter och laborativa aktiviteter. Mouwitz och Emanuelsson (2002) beskriver att laborativa arbetssätt medför att eleverna får använda flera sinnen. Det är något som även Molander (2012) beskriver som en fördel med att arbeta med matematik utomhus, att fler elever får möjlighet till att hitta sitt sätt lära sig på eftersom de får använda alla sina sinnen. Rystedt och Trygg (2013) lyfter flera argument för att arbeta med laborativa arbetssätt. Ett av argumenten är att laborativt arbetssätt hjälper elevernas begreppsutveckling. Berggren och Lindroth 7

13 (2011) beskriver att den laborativa matematiken ger lärare förutsättningar att samla in information om elevers kunskaper i matematik. Det möjliggörs genom att eleverna får förutsättningar att visa sina kunskaper på flera olika sätt. Mouwitz och Emanuelsson (2002) menar att det medför många fördelar med att använda laborativa arbetssätt vid problemlösning. En fördel är att det laborativa arbetssättet kan leda fram till upptäckter som inte hade varit möjliga om eleverna endast fått försöka tänka fram lösningen Konkret, halvabstrakt och abstrakt Berggren och Lindroth (2011) beskriver att det konkreta materialet ska ge eleverna stöd för hur de tänker och arbetar. Likt Berggren och Lindroth (2011) menar Rystedt och Trygg (2013) att det laborativa materialets uppgift är att ge eleverna stöd och även stimulans i undervisningen. Vidare beskriver Rystedt och Trygg (2013) att om användningen av det laborativa materialet har tänkts igenom noggrant kan det öka elevernas förståelse i alla matematiska områden. Björklund (2013) beskriver matematiken som något abstrakt och det konkreta materialet kan aldrig ersätta den abstrakta tanken som det matematiska resonemanget medför. Det matematiska materialet kan dock stödja eleverna framåt i sitt tänkande. Det är en utmanande uppgift för läraren att stödja eleverna i sina resonemang som ska ta dem från det konkreta till den abstrakta nivån. Björklund (2013) poängterar, för att eleverna ska få möjlighet till att gå från det konkreta till det abstrakta behöver eleverna arbeta med representationer som är halvabstrakt. Om övergången mellan representationer som är konkreta och abstrakta sker för snabbt kan det leda till att förståelsen för begrepp inte lyckas. Berggren och Lindroth (1998) beskriver att det laborativa materialets uppgift är att eleverna ska få hjälp med att kunna lösa något konkret, vilket ska leda till att lösningsmetoder och generella lösningar kan komma fram. De generella lösningarna leder till abstraktion. 3.4 Laborativ problemlösning I vår studie har vi valt definitionen laborativ problemlösning för att beskriva elevaktiverade problemlösningsuppgifter. Benämningen laborativ problemlösning är något som även Berggren och Lindroth (1998) beskriver i det laborativa arbetet med problemlösning. Vår tolkning är att det finns många benämningar när det kommer till att benämna elevaktiverade uppgifter inom matematiken. Malmer (1990) beskriver istället begreppet, kreativ matematik, som innefattar elevaktiverande arbetssätt. Vidare benämner även Malmer (1990) problemorienterat arbetssätt. Det problemorienterade arbetssättet handlar inte om hur mycket material det finns att tillgå utan istället om hur undervisningen planeras och organiseras. Som vi tidigare har nämnt definierar vi laborativ problemlösning för att beskriva elevaktiverade problemlösningsuppgifter. Det kan eempelvis handla om att eleverna arbetar i grupp, utomhus, med hjälp av laborativt material, genom lekar, spel, rörelse och så vidare. Utifrån våra observationer och intervjuer kunde vi urskilja att det vanligtvis arbetades med laborativ problemlösning i grupper Problemlösning i grupp Häggblom (2013) menar att problemlösning i grupp inte enbart ger eleverna möjlighet att utveckla sin problemlösningsförmåga utan även stora möjligheter att utveckla sin samarbets- och kommunikationsförmåga. Även Pamlér och van Bommel (2016) beskriver fördelar med samarbete i grupp eller i par vid problemlösning. Samarbetet kan leda till en större förståelse för att följa och förstå andras resonemang, vilket gör att 8

14 eleverna får möjlighet att utveckla sin resonemangsförmåga. Häggblom (2013) poängterar dock att en förutsättning för att alla eleverna ska ha möjlighet att utveckla dessa förmågor är att alla elever i gruppen är aktiva. Häggblom (2013) menar därför att den optimala gruppstorleken varierar mellan två till fyra elever beroende på problemlösningsuppgiftens utformning och syfte. Sjödin (1991) talar om fyra framträdande aspekter som påverkar vid problemlösning i grupp: gruppstorlek, gruppsammansättning, problemtyp och normer inom gruppen. Vidare beskriver Sjödin (1991) att det kan vara en fördel att vara flera medlemmar i gruppen eftersom varje medlem bidrar med sina unika resurser. Samtidigt ökar dock svårigheten att kommunicera ju fler medlemmar det är i gruppen. Mouwitz och Emanuelsson (2002) menar att det lämpar sig mycket bra att samarbeta i par eller grupp eftersom eleverna arbetar i form av undersökande och laborativt arbetssätt. Uppgiftens form, och det eventuella laborativa materialet, gör att det blir överskådligt för hela gruppen så alla elever kan delta, vilket även bidrar till en bättre kommunikation. Enligt Mouwitz och Emanuelsson (2002) talas det ibland om att uppgifter med konkret material leder till att eleverna analyserar och generaliserar mindre. Mouwitz och Emanuelsson (2002) menar dock att en praktiskt visad lösning med fördel kompletteras med logisk argumentation och förklaring av användande av matematiska metoder. 9

15 4 Teori De två centrala delarna i det här avsnittet är variationsteorin och strukturen för Polyas problemlösningsprocess. Vi kommer först att beskriva vad variationsteorin innebär. Efter det följer förklaringar av bärande begrepp inom variationsteorin som vi kommer att använda oss av i resultat- och analysdelen. Utöver variationsteoretiska begrepp kommer vi även att beskriva Polyas (2004) problemlösningsprocess eftersom vi använder denna för att presentera och analysera vårt resultat. 4.1 Variationsteorin Pettersson (2003) belyser att vi alla människor lär oss på olika sätt. Vidare beskriver Pettersson följande: En effektiv lärandemiljö utmärks av att det är god balans mellan olika arbetssätt, mellan elevens eget utforskande och kunskapssökande och en god och systematisk undervisning och handledning (Pettersson, 2003:60). Enligt Utbildningsdepartementet (2010:17) är variation viktigt för allt lärande. Utbildningsdepartementet skriver också att barn behöver möta matematiska begrepp i flera olika sammanhang för att förstå dess innebörd. För att de matematiska begrepp ska bli meningsfulla för barnen bör de därför få möjlighet till att möta dem genom olika representationsformer där de belyses från olika håll. Även Reis (2015) beskriver vikten av variation för ett meningsfullt lärande. Reis (2015) menar att fenomen bör belysas från olika håll genom att någon aspekt varieras medan en annan aspekt behålls konstant. Marton (2014) anser att man alltför ofta använder eempel som visar på likheter i undervisningssammanhang. Eleverna bör istället få möjlighet till att uppleva skillnader. Marton (2014) menar därmed att elever skapar förståelse om begrepp genom att se skillnader, likheter har en sekundär roll. Variationsteorin är en teori om lärande som har sitt ursprung i den fenomenografiska forskningsansatsen (Reis, 2015). Enligt Reis (2015) används variationsteorin främst för att studera undervisningssituationer där lärares arbetssätt, undervisning och elevers lärande är i fokus. Marton (2014:7) beskriver att en grundtanke bakom variationsteorin är du inte kan veta vad något är utan att veta vad det inte är. Vidare liknar Marton (2014:7) detta med att om du inte vet vad engelska är och du hör 100 människor tala engelska så får du ingen bättre förståelse av vad ett språk innebär. I vårt resultat kommer vi senare beskriva att en lärare i vår studie höll en lektion om symmetriskt väande mönster. Eleverna hade tidigare enbart arbetat med geometriska mönster. Sett ur ett variationsteoretiskt perspektiv förstås begreppet mönster först när de fick möta andra sorters mönster än enbart geometriska mönster, som i detta fallet symmetriskt väande mönster. Marton och Booth (2000) beskriver att vad och hur något ska läras ut är nyckelaspekter av undervisningen. Variationsteorin fokuserar därmed på lärandeobjektet och hur det ska läras ut för att så många elever som möjligt ska kunna tillägna sig kunskaperna som avses av läraren. Vidare beskriver vi variationsteorin utifrån bärande begrepp. 4.2 Bärande begrepp Lärandeobjekt Lo (2014) menar att allt lärande måste riktas mot något. Vidare beskriver Lo (2014:51) att vi kan inte tala om lärande utan att hänvisa till det som ska läras, det vill säga lärandeobjektet. Begreppet lärandeobjekt beskrivs därmed som en central term inom variationsteorin. Olteanu (2016:38) belyser lärandeobjektet som den förmåga som 10

16 utvecklas i en undervisningssituation i relation till ett innehåll. Vidare redogör Marton och Pang (2006) för det direkta lärandeobjektet och det indirekta lärandeobjektet. Det direkta lärandeobjektet handlar om det innehåll som behandlas i en undervisningssituation, men det kan inte betraktas som ett mål eller resultat i sig självt. Resultatet av lektionen beskrivs istället genom begreppet det indirekta lärandeobjektet som handlar om den förmåga som eleverna förväntas utvecklas i relation till lektionens innehåll. Marton och Pang (2006) menar därför att aspekterna är tydligt åtskilda, men det är samtidigt beroende av varandra. Begreppet lärandeobjekt innefattar båda dessa aspekter. Marton och Tsui (2004) anser dessutom att lärandeobjektet består av tre komponenter: avsett lärandeobjekt, iscensatt lärandeobjekt och erfaret lärandeobjekt. Det avsedda lärandeobjektet syftar till det innehåll som läraren avser att eleverna ska få erfara vid undervisningstillfället. Marton och Tsui (2004) beskriver det som att det är lärandeobjektet sett ur lärarens perspektiv. Det innehåll som eleverna faktiskt har möjlighet att erfara under ett undervisningstillfälle benämns som det iscensatta lärandeobjektet. Slutligen handlar det erfarna lärandet om det som eleverna faktiskt lära sig, det vill säga de aspekter av lärandeobjektet som elever urskiljer före, under och efter undervisningstillfället (Marton & Tsui, 2004). Holmqvist (2006) menar på att det som en lärare avser att eleverna ska lära sig inte alltid leder till att eleverna verkligen lär sig det som var avsett. Vidare lyfter Holmqvist (2006) fram att det har skett en form av lärande trots att eleverna inte har lärt sig det avsedda lärandeobjektet Urskiljning och kritiska aspekter Olteanu (2016) beskriver att kritiska aspekter handlar om de aspekter av innehållet som eleverna ännu inte har urskilt, men som de behöver urskilja för att tillgodogöra sig det matematiska innehållet. Gustavsson och Wernberg (2006) menar att när eleverna har urskilt de kritiska aspekterna leder det till att eleverna får en ökad förståelse av lärandeobjektet. Eleverna måste få förutsättningar till att upptäcka de kritiska aspekterna och dessa kritiska aspekter måste urskiljas samtidigt för att skapa förståelse av lärandeobjektets betydelse. Enligt Lo (2014) finns det flera kritiska drag inom kritiska aspekter. Dessa två begrepp, kritiska drag och kritiska aspekter, hänger alltid ihop. Lo (2014) lägger tyngdpunkt på att en förutsättning för om eleverna ska få möjlighet till att lära eller inte har sin utgångspunkt i att läraren måste ha identifierat och skilt ut de kritiska dragen. Eleverna kommer inte att lära sig något under lektionen om läraren inte ger eleverna förutsättningar till att kunna urskilja objektets kritiska drag. Reis (2015) beskriver att urskiljning är ett av de begrepp som är centrala när det handlar om hur vi erfar, uppfattar eller förstår aspekter av vår värld som är kopplat till lärandet och medvetenheten. Beroende på hur något urskiljs får det som erfaras alltid en mening. Det finns flera urskiljbara aspekter i varje situation. Vidare beskriver Reis (2015) att dessa urskiljbara aspekter inte urskiljs samtidigt. Först måste aspekten skiljas ut från omgivningen och delarna måste kunna relateras till varandra. Aspekten måste även relateras till helheten, aspekten och det som omger aspekten. Reis (2015) redogör för att det krävs att man har urskilt en variation av fenomenet för att kunna erfara och urskilja ett fenomen eller företeelse. Detta eemplifiera Reis (2015) genom att förutsättningarna för att förstå om något är långt kräver erfarenheter av något som är kort. 11

17 4.2.3 Struktur och mening Olteanu (2016) beskriver att till erfarandebegreppet hör de strukturella och referentiella delarna till. Begreppen strukturell och referentiell kan även benämnas som struktur och mening. Enligt Lo (2014) måste struktur och mening kunna urskiljas för att det ska vara möjligt att lära sig om ett objekt. Både struktur och mening måste kunna urskiljas eftersom dessa samspelar med varandra, det går inte att enbart urskilja det ena. Marton och Booth (2000) menar på att man först måste se strukturen för att finna meningen. Figur 1. Beskrivande modell av ett sätt att erfara någonting (fritt från Marton & Booth, 2000) Den strukturella aspekten av erfarandet kan delas in i två delar: intern horisont och etern horisont (Marton & Booth, 2000). Den interna horisonten beskrivs som delarna och deras ömsesidiga förhållande tillsammans med fenomenets strukturer. Hur fenomenet urskiljs från sitt sammanhang beskriver Marton och Booth (2000) som den eterna horisonten. Den eterna horisonten handlar även om hur fenomenet relaterar till sitt och andra fenomens sammanhang. I resultat- och analysdelen kommer vi senare att beskriva en problemlösningsuppgift som en av lärarna i vår studie använder sig av i sin lektion. I uppgiften får eleverna talraden , dessa siffror ska sedan adderas eller subtraheras så att summan blir 100. Strukturen av uppgiften handlar om hur eleven urskiljer delarna, i detta fall siffrorna. Eleven kan urskilja en siffra i taget eller urskilja det som sammansatta tal, eempelvis 98+7 Liksom vårt eempel beskriver Marton och Booth (2000) att struktur handlar om hur eleven urskiljer delarna, hur eleverna relaterar delarna till varandra och hur eleven skapar en helhet av delarna. Marton och Booth (2000) menar därför liksom Lo (2014) att begreppet del och helhet hör ihop med objektets struktur. För att delarna ska få en betydelse måste det finnas en helhet som delarna tillhör. Lärandet kommer inte att bli lyckosamt om det inte finns någon helhet. Vidare förklarar Lo (2014) att för att kunna få vetskap om detaljer måste det finnas vetskap om vad det är detaljer av för något Problemlösningsprocessens enligt Polya Undervisning genom problemlösning är en process med flera olika faser. Polya (2004) har utformat en modell för att beskriva problemlösningsprocessen genom fyra steg/faser. Vi har valt att använda denna modell för att kartlägga strukturen i problemlösningsprocessen när vi presenterar och analyserar vårt resultat. Modellen presenteras i Polyas bok How to solve it som publicerades första gången år 1945, men som senare kommit i flera upplagor (Polya 2004). Polya (2004) beskriver problemlösning processens struktur genom följande fyra steg. Förstå problemet - För att kunna lösa problemet måste eleven först förstå problemet. Polya (2004) beskriver att det delvis handlar om att eleven måste förstå uppgiftens 12

18 språkliga formulering, vilket läraren kan kontrollera genom att be eleven att upprepa uppgiften. Det handlar även om att förstå problemets förutsättningar, det okända som efterfrågas och problemets fakta. Polya (2004) menar att det inte enbart är tillräckligt att eleven förstår problemet, eleven måste också vilja finna en lösning på problemet. Det är därför viktigt att läraren väljer ut ett lämpligt problem som varken är för lätt eller för svårt och som är intressant. Planering av lösningsstrategi - Den andra fasen handlar om att göra en plan över vilka strategier som skulle vara lämpliga att använda för att lösa problemet (Polya 2004). För att gör en plan över en lämplig lösningsstrategi menar Polya (2004) att eleverna bör försöka att finna kopplingen mellan uppgiftens fakta och det okända som efterfrågas. Eleven bör också reflektera över om den har löst något liknande problem tidigare. Enligt Polya (2004) kan läraren hjälpa eleverna i denna process genom att visa på liknande problem och dess lösningar. Polya (2004) menar att det är ett svårt steg att tänka ut en lämplig lösningsstrategi eftersom det ställer krav både på elevernas kunskaper liksom mentala styrka och koncentrationsförmåga. Lösning av problemet - När eleven väl tänkt ut en plan menar Polya (2004) att steget att lösa problemet efter den planen är ett relativt enkelt steg. Om eleven har en tydlig plan kan läraren ta ett steg tillbaka, eftersom det mestadels krävs tålamod av eleven i denna fas. Polya (2004) beskriver dock att det finns en risk med att eleven glömmer bort planen, det är speciellt vanligt förekommande om eleven inte själv förstått planen utan mottagit den utifrån. Om eleven har varit aktiv i föregående steg och planerat lösningsstrategin själv, eller med viss hjälp från läraren, menar dock Polya (2004) att eleven inte brukar glömma planen. Kontroll av resultat - Polya (2004) definierar att den fjärde och sista fasen handlar om att kontrollera sitt svar för att se om det är rimligt. Polya (2004) menar att eleven missar ett viktigt och lärorikt steg i problemlösningsprocessen om den inte ser tillbaka på sin lösning för att kontrollera rimligheten. Att se tillbaka på sin lösning kan även hjälpa eleven att göra generaliseringar i framtida problemlösningsuppgifter. Enligt Polya (2004) är alla fyra faser viktiga att gå igenom. Om eleven eempelvis inte tar sig tid att förstå problemets alla förutsättningar finns det en stor risk för att lösningen också blir felaktig. Ibland kan dock eleverna bli ivriga när de har kommit på en idé och försöka svara på problemet utan att gå igenom alla steg. Polya (2004) beskriver att det är fördelaktigt om eleven inspireras av sin ide, men att slutresultatet riskerar att bli lidande om eleven förbiser något av stegen. Polya (2004) menar därmed att många misstag kan undvikas om eleven följer dessa fyra steg. 13

19 5 Metod Metodavsnittet inleds med en beskrivning av vår metodologiska forskningsansats. Vidare beskrivs genomförandet av vår studie, urvalet och vilka datainsamlingsmetoder vi har använt för att samla in vår empiri. I metodavsnittet beskrivs även hur vi har beaktat de forskningsetiska principerna i vår studie. Avslutningsvis presenteras vårt tillvägagångssätt för att analysera insamlad empiri och vilka variationsteoretiska begrepp analysen kommer att innefatta. 5.1 Metodologisk forskningsansats Vår studie är utformad utifrån en fenomenografisk forskningsansats. Fenomenografin är en kvalitativ metod inriktad mot en empirisk ansats (Reis, 2015). Enligt Kihlström (2007) är fenomenografin vanligt förekommande när det gäller lärande och utbildningsfrågor. Marton och Booth (2000) hävdar att fenomenografin i sig inte är en metod utan innehåller metodologiska inslag. Det huvudsakliga syftet för fenomenografin handlar enligt Kihlström (2007) om att få reda på hur människor uppfattar olika aspekter av sin omvärld. Vi har därför valt att utgå ifrån en fenomenografisk forskningsansats i vår studie eftersom den till stor del handlar om att kartlägga lärares uppfattningar om olika delar inom fenomenet laborativ problemlösning. Kihlström (2007) beskriver vidare att uppfattningarna handlar inte om hur något är, utan istället om hur uppfattningarna uppfattas olika för olika människor. Vidare beskrivs att en studie med en fenomenografisk ansats har i syfte att hitta variationen och att kategorisera människors erfarenheter av olika fenomen. Det är människors tankar om sin omvärld som är bärande i fenomenografin, dels vad man som människa har varit med om och tänkt på. Dessa erfarenheter kan likaså handla om saker som är praktiskt handlande som teoretiskt grundade. Det är relationen mellan individen och omvärlden som uppfattningarna är uppbyggda av. I likhet med Kihlström (2007) beskriver Marton och Booth (2000) att fenomenografi är ett sätt att erfara någonting. I en fenomenografisk studie är det variationen i människors sätt att erfara fenomen i sina världar som är i fokus (Marton och Booth, 2000). Inom fenomenografin beskrivs den första och andra ordningen (Marton & Booth, 2000). I det dagliga livet görs yttranden om fenomen, världen och om situationer. Det är det som handlar om den första ordningens perspektiv, vilket handlar om sätten att erfara världen, situationer och fenomen. De bakomliggande sätten för att erfara fenomen, världen och situationer är det som beskrivs som den andra ordningens perspektiv. I den andra ordningens perspektiv förklarar Uljens (1989) att det intressanta istället är att beskriva hur andra personer uppfattar olika aspekter av verkligheten. 5.2 Genomförande Till en början hade vi inte avgränsat vår studie till att handla om ett specifikt matematiskt område. Vi skickade därför ut enkäter till 25 verksamma lärare inom årskurs 1 3 för att fråga dem om inom vilket matematiskt område de anser att det behövs mest kompletterande uppgifter i form av laborativt arbetssätt (Bilaga 1). Utifrån enkätsvaren kunde vi bestämma vilket matematiskt område som vårt arbete skulle ha som inriktning. Vi kunde även utifrån enkätsvaren välja ut de fyra lärare som vi ville observera och intervjua. Lärarna kontaktades via mejl där de fick information om det vi önskade att få utföra i form av ett missivbrev (Bilaga 2). I den vidare kontakten med lärarna godkände lärarna sitt deltagande, dag och tidpunkt bestämdes för vårt besök. Inför besöket mejlade lärarna sina lektionsplaneringar till oss för att vi skulle få vetskap innan om vad lektionens lärandeobjekt skulle handla om. Vid observationerna använde 14

20 vi oss av ett observationsschema (Bilaga 3). Efter att vi ha observerat en enskilds lärares lektion genomförde vi en intervju med denna läraren. Innan vi påbörjade intervjun informerade vi om att läraren hade rätt att avbryta intervjun och att vi skulle spela in en ljudupptagning, vilket alla accepterade. Som utgångspunkt för intervjuerna hade vi med oss intervjufrågor (Bilaga 4). Utifrån ljudupptagningarna transkriberade vi de fyra intervjuerna. Observationsschemat och transkriberingarna sammanställdes och analyserades sedan, vilket presenteras i avsnittet resultat och analys. 5.3 Urval Som vi tidigare nämnt började vi med att skicka ut enkäter till 25 verksamma lärare som undervisar i årskurs 1 3. Vi valde att skicka ut enkäter till lärare och skolor som vi på något sätt varit i kontakt med under vår utbildning. Anledning till detta var att vi hade ont om tid att få tillbaka svaren på våra enkäter eftersom vi ville ha dessa som underlag för att kunna precisera vårt matematiska innehåll. Vi trodde att det kunde underlätta om vi tidigare varit i kontakt med de skolor eller lärare tidigare. Av våra enkäter skickades 20 stycken till lärare som arbetar inom de två kommuner där vi har haft våra senaste VFU perioder. De resterande fem enkäterna skickade vi ut till andra lärare som vi på något sätt varit i kontakt med under vår utbildning. Av de 25 enkäterna vi skickade ut fick vi tillbaka 16 svar. Efter att ha sammanställt svaren kunde vi se att flest lärare svarat att de sett till lärobokens innehåll behövde använda sig mest av kompletterande uppgifter inom området problemlösning. Majoriteten av lärarna svarade också att de arbetade mest med laborativa arbetssätt inom området problemlösning. Samtliga lärare som svarade att de arbetar laborativt med problemlösning var verksamma inom årskurs 2 och 3. Därmed kunde vi avgränsa vårt matematiska innehåll i vår studie till att handla om laborativ problemlösning i årskurs 2 3. Av våra 16 enkätsvar valde vi ut fyra lärare att intervjua och observera. Vi ansåg att fyra stycken lärare var ett rimligt antal med tanke på studiens begränsade tidsperiod, samtidigt som det ger oss möjlighet till att samla in en godtagbar mängd empiriskt underlag. I urvalsprocessen såg vi till vilka lärare som hade svarat att de arbetade med laborativ problemlösning på ett sätt som intresserade oss mest. Vi tog även hänsyn till om lärarna hade svarat att de ville delta i vår studie. Valet föll på fyra lärare som alla beskrev att de arbetade med problemlösning genom laborativa arbetssätt kontinuerligt. De fyra lärarna är verksamma inom två olika kommuner. En av lärarna undervisar i årskurs 2, två av lärarna undervisar i årskurs 3 och en av lärarna undervisar i en åldersintegrerad klass (årskurs 2 3). 5.4 Datainsamlingsmetod För att samla in empiri har vi använt oss av metodkombinationen triangulering (Denscombe, 2016). Vi ansåg det fördelaktigt för vår studie att använda flera metoder. Våra datainsamlingsmetoder består av enkäter, observationer och intervjuer. Genom att använda sig av triangulering beskriver Denscombe (2016) att det möjliggörs att se saker från flera perspektiv och att en bättre förståelse kan skapas. Enkäterna hade i syfte av att vara en förstudie till vår studie. Det var istället observationerna och intervjuerna som användes för att svara på våra frågeställningar Enkät Enkäterna användes inte i den omfattning som Johansson och Svedner (2010) beskriver att en enkätundersökning vanligtvis består av. Syftet med enkäten var att ta vara på verksamma lärares erfarenheter för att kunna avgränsa vårt matematiska innehåll. Vår 15

21 enkät användes som en förstudie och därav var enkätens utformning enkel och det behövdes ingen större bearbetning av dess svar. Enkäten var utformad genom fyra kortare frågor (Bilaga 1). Enligt Johansson och Svedner (2010) är det bra att tänka på att göra enkäten kort. Vidare beskrivs att det är bra att tänka på att utforma enkäten på ett sätt där fasta frågor är det centrala och undvika för många öppna frågor. Syftet med enkätens två första frågor var att få information om vilken årskurs lärarna undervisade matematik i och om läraren använde sig av någon lärobok. I fråga 3 fick lärarna värdera inom vilket matematiskt område de ansåg att de behövde använda sig av mest kompletterande uppgifter utöver läroboken. I fråga 4 bad vi lärarna att värdera inom vilket matematiskt område de arbetar mest med laborativa arbetssätt. I både fråga 3 och 4 hade lärarna 12 svarsalternativ, men de skulle enbart bara välja ett av alternativen. Vi valde att de enbart skulle få välja ett alternativ för att respondenterna skulle reflektera över vilket område de arbetade mest med kompletterande uppgifter och laborativa arbetssätt. Svarsalternativen formulerade vi utifrån läroplanens centrala innehåll för matematik i årskurs 1 3 (Skolverket, 2016). Lärarna hade sedan möjlighet till att skriva kommentarer om hur de brukar arbeta med laborativa arbetssätt. Dessa kommentarer var värdefulla för oss när vi skulle välja ut lärare för observation och intervju. Slutligen fick lärarna också svara på om de hade tid och möjlighet att delta i en intervju Observationer Johansson och Svedner (2010) beskriver att användningen av observationer som metod både kan ge en bild av undervisningsprocessen och av lärares och elevers beteende. Denscombe (2016) benämner två olika former av observationer, systematisk och deltagande. I genomförandet av vår observation valde vi att utgå ifrån deltagande observationer. Denscombe (2016) beskriver den deltagande observationen som att observatören deltar i den situationen som ska observeras. Genom att vi var deltagande i observationerna kunde vi gå runt och titta på det som eleverna arbetade med. Vi kunde även ställa frågor och få vetskap om hur eleverna tänkte. Det gjorde att vi fick en känsla av det som både lärarna och eleverna utförde. Denscombe (2016) belyser den deltagande observationen utifrån tre möjligheter: totalt deltagande, deltagande i den normala miljön och deltagande som observatör. I vår observation använde vi oss av deltagande som observatör eftersom våra roller som observatörer var kända för eleverna. Vi berättade för eleverna vilka vi var och vad vi gjorde för något under lektionen. Genom att vara deltagande som observatör ges möjligheter till att se händelse på ett mer detaljerat sätt (Denscombe, 2016). I våra observationer la vi stor vikt vid att beakta det som Denscombe (2016) beskriver som en viktig del i en deltagande observation, nämligen att behålla den naturliga miljön. Det innebär att fokus läggs på att situationen blir så likt som den vanligtvis är. I missivbrevet (Bilaga 2) som vi mejlade till lärarna inför lektionen bad vi om att få observera en matematiklektion som skulle ha fokus på det som vi definierar som laborativ problemlösning. Vi observerade fyra klasser under en lektion vardera där lärarna själva planerat en lektion utifrån premissen att den skulle handla om laborativ problemlösning. Eftersom lärarna planerade undervisningen utifrån det som klassen arbetade med för tillfället behandlade våra fyra observerade lektioner olika delar av laborativ problemlösning. Det gjorde att lektionerna vi observerade berörde fyra olika lärandeobjekt. I koppling till Denscombes (2016) beskrivning av den naturliga miljön kunde vi delta i lektionerna utan att störa undervisningen eftersom vi trädde in i det som var naturligt för eleverna. Vi upplevde inte att vi störde varken lärarna eller eleverna under våra observationer. 16

22 Under observationerna dokumenterades det vi såg i ett observationsschema. Observationsschemat bestod av flera frågor som vi skulle observera. I observationsschemat fanns det även utrymme för sådant som uppstod under lektionen som inte omfattades av de frågor vi förberett. Utifrån den tid vi har att genomföra denna studie såg vi det rimligt att observera endast en lektion i vardera klass Intervju Efter observationerna intervjuade vi även de fyra lärarna enskilt. Genom intervjuerna fick vi möjlighet att fråga om sådant vi inte kunde erfara enbart genom observationen. Vi frågade eempelvis om lärarens uppfattning av det avsedda lärandeobjektet, det vill säga vad läraren hade som avsikt att eleverna skulle lära sig under lektionen. Genom att läraren berättade om hur den har valt att planera lektionen kunde vi även kartlägga vilka aspekter av lärandeobjektet som läraren valde att fokusera på. Eftersom intervjun ägde rum efter de observerade lektionerna kunde vi även fråga om lärarens uppfattning om det erfarna lärandeobjektet och vilka matematiska förmågor läraren ansåg att eleverna fick möjlighet till att utveckla. Syftet med intervjun var även att undersöka lärarnas uppfattning om fenomenet laborativa arbetssätt, dels i relation till problemlösning i allmänhet men även i relation till den specifika aspekt av problemlösning som var lektionens huvudfokus. Genom intervjun ville vi även belysa frågan om varför lärarna upplever att det behövs kompletterande uppgifter, utöver läroboken, inom problemlösningsområdet. För att undersöka hur människor upplever ett fenomen, i vårt fall hur lärare ser på fenomenet laborativ problemlösning, beskriver Kihlström (2007) att man kan välja att använda en fenomenografisk forskningsansats. Kihlström (2007) beskriver intervju som en vanlig fenomenografisk metod för insamling av data. Genom att intervjua ett antal personer kan man kartlägga olika personers uppfattningar av ett fenomen. Kihlström (2007) menar att en fenomenografisk intervju till stor del handlar om att den intervjuade ska få möjlighet att uttrycka sina spontana tankar. Enligt Kihlström (2007) påminner den fenomenografiska intervjun om Piagets tankar om hur en intervju med barn bör gå till. Det innebär att den intervjuade bör få möjlighet att uttrycka sina spontana tankar, samtidigt som den som intervjuar bör fokusera på intervjuns syfte och huvudinriktning. Intervjuplanen bör därmed på ett sätt vara relativt ostrukturerad, så det finns utrymme för respondenten att uttrycka sina spontana tankar och att den som intervjuar kan följa upp dessa med spontana följdfrågor. De enda frågorna som bör vara planerade i förväg är de som behandlar ett nytt område eller fenomen. Intervjun bör därför ha en planerad struktur i grunden för att säkerhetsställa att den svarar på intervjuns tänkta syfte (Larsson, 1986). Även Marton (1994) hävdar att intervjun inte bör bestå av för många förutbestämda frågor, det bör istället finnas gott om utrymme för att följa upp den intervjuades svar. Marton (1994) betonar även vikten av att en fenomenografisk intervju bör vara utformad som en dialog. Våra intervjuer var strukturerade genom det som Denscombe (2016) benämner som semistrukturerade intervjuer. Denscombe (2016) beskriver den semistrukturerade intervjun som en form av intervju där intervjuaren har en del förbestämda frågor. Intervjuaren måste dock vara så pass fleibel under intervjun att ordningen på frågorna kan ändras. I en semistrukturerad intervju måste den som blir intervjuad få möjlighet till att utveckla sina svar och idéer. Under våra intervjuer gjorde vi ljudupptagningar för att dokumentera respondenternas svar. Dessa ljudupptagningar transkriberades sedan av oss. Denscombe (2016) menar på att det finns många fördelar med att göra en ljudupptagning under intervjun och en av fördelarna är att intervjuaren får med allt som 17

23 sägs. Ljudupptagning kan dock vara något som först upplevas jobbig, men vanligtvis blir det avslappnat efter en stund (Denscombe, 2016). 5.5 Validitet, reliabilitet och generaliserbarhet Denscombe (2016) beskriver validitet som ett begrepp som handlar om hur tydlig och giltig data är utifrån den forskningsfråga som är ämnad att undersöka. I vår studie har vi använt oss av triangulering vilket enligt Merriam (1994) stärker insamlingens och analysens validitet och reliabilitet. Enligt Merriam (1994) handlar reliabilitet om hur väl ett resultat kan upprepas och om undersökningen skulle leda till samma resultat om den upprepades Denscombe (2016) beskriver problematiken i att kunna generalisera en studie i ett litet antal. Vår studie omfattades av fyra lärare vilket kan anses vara ett mindre antal. Tiden vi hade på oss att skriva detta arbete var avgörande för hur många lärare som omfattades i vår studie. Om vi hade haft längre tid på oss att utföra vår studie hade fler lärare ingått vilket hade kunnat leda till att resultatet hade gått att generalisera på ett bättre sätt. 5.6 Forskningsetiska principer Informationskravet Inför och under vårt genomförande har vi tagit hänsyn till Vetenskapsrådets (2002) forskningsetiska principer. Informationskravet handlar om att forskaren ska informera om vad forskningen går ut på för de som är berörda av forskningsprocessen (Vetenskapsrådet, 2002). I vårt fall är informationskravet något som vi har tagit hänsyn till ett flertal gånger i vårt arbete. När vi skickade ut våra enkäter som en förstudie skrev vi en inledande tet med information om vad vårt arbete handlade om och vårt syfte. Utifrån enkäterna fick vi ett urval på fyra lärare som vi mejlade ut ett missivbrev till. I missivbrevet som vi mejlade ut gav vi lärarna information om vad vi hade i syfte och hur vi skulle gå tillväga med intervjun och observationen som vi önskade att genomföra. När vi kom ut till de fyra olika skolorna berättade vi även för eleverna om vad det var vi skulle göra när vi var där Samtyckeskravet Ett annat av Vetenskapsrådets principer (2002) är samtyckeskravet som innebär att de som deltar i en undersökning har rätt att själva bestämma om, hur länge och på vilka villkor de vill delta. De har därmed rätt att avbryta sin medverkan när de vill, utan att forskaren påverkar dem på ett olämpligt sätt. I missivbrevet vi mejlade ut till de fyra berörda lärarna informerades lärarna om att de fick lov att avbryta intervjun när de ville Det var något som vi även informerade om i samband med intervjun. Lärarna fick i missivbrevet information om att vi önskade att få göra en ljudupptagning av intervjun. Vi valde att inte göra videoinspelningar av observationerna då vi hade behövt godkännande från elevernas målsmän (Vetenskapsrådet, 2002) Konfidentialitetskravet Alla som deltar i studien ska få största möjliga konfidentialitet (Vetenskapsrådet, 2002). I vårt arbete kommer vi därför inte att skriva skolorna och lärarnas namn. Lärarna kommer att benämnas som lärare 1, lärare 2, lärare 3 och lärare 4 för att förbli anonyma. Vi har valt att benämna lärarna på detta vis istället för att ge dem fiktiva namn för att undvika antaganden om kön och ålder. Ordningsföljden som vi presenterar lärarna och lektionerna i är slumpmässigt utvald och överensstämmer inte med ordningen för den 18

24 insamlade empirin. Vi valde att ändra denna ordningsföljd för att ytterligare skydda lärarnas identiteter. Ljudupptagningarna från intervjuerna kommer att förvaras på ett sätt där oberörda inte har tillgång till dessa och de kommer att tas bort vid arbetets slut. Transkriberingarna från intervjuerna är något som endast vi kommer att ha tillgång till och dessa kommer inte heller att läsas av andra. 5.7 Analys av empiri För att analysera vår insamlade empiriska data, i form av observationer och intervjuer utgick vi ifrån olika variationsteoretiska begrepp. Olteanu (2016) beskriver att variationsteorin har sin grund i fenomenografin. De begrepp och synsätt vi använde oss av för att analysera vår insamlade data är dock hämtade från variationsteorin. Enligt Olteanu (2016) har det visat sig att variationsteorin med fördel kan användas som metod för analysering av data från klassrumsstudier. Vi kommer att presentera och analysera resultatet från vår studie enligt variationsteoretiska begrepp som lärandeobjekt, aspekter av lärandeobjekt, kritiska aspekter, del och helhet, struktur och mening, avsett -, iscensatt - och erfaret lärandeobjekt. För att presentera vårt resultat av vår insamlade empiri har vi utformat fyra tabeller, en för varje lektions lärandeobjekt. I tabellerna har vi sedan listat de aspekter av lärandeobjektet som läraren nämnde eller fokuserade på under sin lektion. Kartläggningen av de olika aspekterna av lärandeobjekten i tabellerna är delvis utformade utifrån våra egna erfarenheter och observationer, men vi tog även stöd i kommentarmaterialet till kursplanen i matematik (2011). Vi valde att presentera delar av resultatet i form av tabeller för att ge en överskådlig bild av vilka aspekter som lärarna nämnde eller fokuserade inom de olika lärandeobjekten. Huvuddelarna i vår resultat- och analysdel behandlar det som vi tar upp i våra frågeställningar, nämligen det avsedda-, iscensatta- och det erfarna lärandeobjektet. Utifrån dessa delar har vidare resultat och analys gjorts. Resultatet och analysen grundas både på våra observationer och intervjuer. Vid analysen av vår empiri har vi fokuserat på skillnader och likheter mellan lärarna och deras lektioner. Vårt resultat presenteras både i form av tabeller, upplevelser från observationer och i form av citat från intervjuerna. Anledningen till att vi valt att presentera flertalet citat i vårt resultat är att vår insamlade empiri till stor del består av intervjuer och vi anser därmed att citaten bidrar med validitet i vår studie. Merriam (1994) beskriver att validitet handlar om i vilken mån resultatet stämmer överens med verkligheten. Vi anser därför att citaten bidrar med validitet till vår studie eftersom det ger en korrekt bild av lärarnas uppfattningar, utan att vi har tolkat och omformulerat dem. På vissa ställen har vi dock kortat ner citaten för att fokusera på dess kärna. Vi de ställen när citaten har kortats ned markeras detta med symbolen [...]. Under avsnittet iscensatt lärandeobjekt har vi valt att till stor del analysera detta utifrån Polyas (2004) steg för att beskriva problemlösningsprocessen. Eftersom alla fyra lektioner hade den gemensamma faktorn att de handlade om problemlösning kunde vi under processen gång urskilja Polyas steg i alla lektioner. Ursprungligen beskriver dock Polyas (2004) modell problemlösningsprocessen ur elevens perspektiv. Vår studie handlar istället om lärarens perspektiv, och vi har därför anpassat Polyas modell något för att beskriva vårt resultat utifrån ett lärarperspektiv. I vår analys beskriver vi i det första steget, som benämns definition av problem, inte hur eleverna definierar problemet utan hur läraren presenterar problemet för att eleverna ska ha möjlighet att definiera problemet. Under processens gång uppmärksammade vi att stegen lösning av problem 19

25 och kontroll av resultat ofta gick in i varandra eftersom vi beskrev dem utifrån ett lärarperspektiv. Lärarna avslutade nämligen ofta lektionerna med att samla klassen för att diskutera olika förslag på lösning och hur dessa resultat kan kontrolleras. I resultatoch analysdelen har vi därför valt att beskriva steg tre och fyra i Polyas problemlösningsprocess under samma rubrik. I den sista delen som behandlar det erfarna lärandeobjektet analyserade vi hur de fyra lektionerna gick och vilka faktorer som kunde vara avgörande för om eleverna kunde tillgodogöra sig det avsedda lärandet eller inte. Vidare analyserades vilket syfte lärarna hade för utformningen av sin lektion och vilka matematiska förmågor som lärarna bedömde att eleverna arbetade med under lektionen. Som en avslutning i denna del lyfts positiva effekter av ett arbete med problemlösning och laborativa arbetssätt. 20

26 6 Resultat och analys I resultat- och analysavsnittet kommer vår insamlade empiri att presenteras och analyseras. Inledningsvis är det aspekter av lärandeobjekt som är fokus vilket även presenteras i form av fyra tabeller. Vidare analyseras och presenteras resultatet utifrån avsett, iscensatt och erfaret lärandeobjekt. Vi kommer då att fokusera på skillnader och likheter mellan lärarna och deras lektioner. Det iscensatta lärandeobjektet beskrivs efter strukturen i Polyas (2004) problemlösningsprocess. 6.1 Aspekter av lärandeobjekten Som vi nämnt i vårt metodavsnitt har lärarna själva planerat och genomfört lektionerna, därför behandlar de fyra lektionerna olika delar av problemlösning. Nedan kommer vi beskriva dessa lärandeobjekt för vardera lektion och kartlägga vilka aspekter av lärandeobjekten som läraren nämnt eller fokuserat på. Med fokuserade aspekter menar vi de aspekter av lärandeobjektet som läraren varit tydlig med att framhäva under lektionen. De nämnda aspekterna har framkommit under lektionen, men läraren har inte fokuserat på dessa nämnvärt Lektion 1 Det huvudsakliga lärandeobjektet för lektion 1 var olika typer av problemlösningsuppgifter. Lektionen bestod av fyra mindre problem som berörde olika räknesätt och delar av problemlösning. I Tabell 1 har vi listat de olika aspekter av lärandeobjektet problemlösning som lärare 1 nämnde eller fokuserade under sin lektion. Det första problemet handlade om division eftersom eleverna fick i uppgift att räkna ut hur många vagnar det behövdes om 17 elever ska åka berg-och dalbana, förutsättning är att det kan sitta tre elever i varje vagn. Eleverna fick lösa uppgiften enskilt och skrev ned sin lösning på varsin liten whiteboard-tavla. Eleverna ombads sedan att visa sina tavlor och de diskuterade olika lösningar i helklass. Det andra problemet som presenterades för eleverna behandlade området talmönster. Eleverna fick i uppgift att fortsätta talmönstret 1, 2, 4, 7, 11 Först skulle eleverna lösa problemet enskilt sedan skulle de diskutera lösningarna i par. Slutligen lyftes diskussionerna i helklass. Den tredje problemlösningsuppgiften handlade om geometri med fokus på triangeln och dess egenskaper. Eleverna fick tillgång till nio stycken tändstickor och ombads att konstruera en triangel av dessa. När eleverna konstruerat en triangel fick de i uppgift att bilda tre mindre, men dock lika stora trianglar, av den större triangeln. De fick dock endast flytta på tre stycken av tändstickorna i den stora triangeln. Eleverna laborerade enskilt med tändstickorna på sina bänkar tills läraren samlade dem för en genomgång. Vid genomgången fick en elev i uppgift att visa sin lösning med en större magnetisk modell av triangeln på tavlan. Slutligen handlade den sista problemlösningsuppgiften om att eleverna skulle utgå från siffrorna och sätta ihop dessa siffror till tal. Talen skulle sedan adderas eller subtraheras till summan hundra. Varje siffra skulle endast användas en gång. När läraren presenterade uppgiften var dock lektionen snart slut vilket gjorde att eleverna inte fick mycket tid till att lösa problemet. 21

27 Lärandeobjekt Aspekter av lärandeobjektet Nämnda aspekter Fokuserade aspekter Division Delningsdivision Upprepad addition Multiplikation Samband mellan räknesätt (t.e. multiplikation och division) Mönster Talmönster Triangel och dess egenskaper Geometriska begreppet triangel Egenskaper hos geometriska begrepp: hörn sida Konstruktion av geometriska objekt Val av operation Addition Subtraktion Likhetstecknets innebörd Positionssystemet (ental, tiotal och hundratal) Tabell 1: Aspekter av lärandeobjekt lektion Lektion 2 Under den andra lektionen vi observerade arbetade eleverna med problemlösningsuppgifter som handlade om kombinatorik. Lektionens lärandeobjekt är därmed kombinatorik. I Tabell 2 är de aspekter av lärandeobjektet lärare 2 nämnde eller fokuserade på listade. Eleverna fick i uppgift att lösa på hur många sätt fyra bilar i olika färger kan parkera i fyra parkeringsplatser. Det vill säga, hur många olika kombinationer kan bilarna parkeras i. Till sin hjälp fick eleverna laborativt material i form av fyra bilar i olika färger, en stencil med bilar i rader och färgpennor. Stencilen användes som en halvabstrakt övergång där eleverna kunde fylla i vilka kombinationer de gjort. Aspekter av lärandeobjekt Nämnda aspekter Fokuserade aspekter Enkel kombinatorik i konkreta situationer Permutation Kombinatoriska principer Tabell 2: Aspekter av lärandeobjekt lektion 2 22

28 6.1.3 Lektion 3 Under lektion tre fick eleverna arbeta med mönster, vilket var lektionens lärandeobjekt. I Tabell 3 listas de aspekter av lärandeobjektet mönster som lärare 3 nämnde eller fokuserade på under lektionen. Inledningsvis fick eleverna i helklass fundera och diskutera sig fram till vilken del som var den upprepade delen av det mönstret som läraren ritat upp på tavlan. Därefter fortsatte eleverna att enskilt skissa upp ett mönster på ett papper. Det mönstret som de skissat upp på pappret skulle de sedan lägga med hjälp av laborativt material. Fokus låg inte på det laborativa materialets form utan på att mönstret skulle väa symmetriskt. När eleverna lagt ut sitt mönster med det laborativa materialet bytte de plats med en klasskompis för att fortsätta att lägga det mönstret som klasskompisen lagt. Därefter skulle eleverna fortsätta med att fundera på vilken del som var den upprepade delen på klasskompisens mönster. Som en etrauppgift fick eleverna fortsätta att lägga klasskompisens mönster åt det andra hållet. Aspekter av lärandeobjektet Konstruera mönster Fortsätta på ett mönster Mönster av geometriska figurer Mönster som väer symmetriskt Beskriva och uttrycka mönster Upprepade delen Nämnda aspekter Fokuserade aspekter Tabell 3: Aspekter av lärandeobjekt lektion Lektion 4 Den fjärde lektionen vi observerade handlade om lärandeobjektet geometri. I Tabell 4 listas de aspekter av lärandeobjektet geometri som lärare 4 nämnde eller fokuserade på under lektionen. Lektionen inleddes med att läraren gick igenom begreppen sida, kant och hörn med hjälp av att visa på en mindre kub och en tärning. Läraren tog därefter upp problemlösningsuppgiften på en interaktiv skrivtavla och lät eleverna börja arbeta i par. I paren skulle eleverna bygga en stor kub med hjälp av 27 små centikuber. Kuben som eleverna byggde skapade förutsättningar för att de skulle kunna arbeta vidare med problemlösningsuppgifterna. I beskrivningen av uppgiften fick eleverna vetskap om att alla sidytor på den stora kuben var målade runt om. Elevernas uppgift var att ta reda på hur många av de små kuberna som hade tre sidor målade, två sidor målade, en sida målad och ingen sida målad. Vidare skulle de arbeta med att se hur många små kuber hade tre, två, en eller ingen sida målad om den stora kuben var byggd av 64 eller 125 små kuber. Det var bara ett fåtal av eleverna som hann komma till den sista uppgiften, men de som gjorde det byggde en ny kub av 64 små kuber. 23

29 Aspekter av lärandeobjektet Nämnda aspekter Fokuserade aspekter Geometriska begreppet kub Egenskaper hos geometriska begrepp: sida kant hörn Relationer mellan olika geometriska begrepp (te. kvadrat och kub) Konstruktion av geometriska objekt Rymdgeometri Tabell 4: Aspekter av lärandeobjekt lektion Resultat och analys av lärandeobjekten Avsett lärandeobjekt Lärarnas avsedda lärandeobjekt avser det som är lärarens intentioner med det iscensatta lärandeobjektet, det vill säga det som läraren planerar att eleverna ska lära sig under lektionen (Marton & Tsui, 2004). Vi fick ta del av lärarnas avsedda lärandeobjekt genom lärarnas lektionsplaneringar och genom samtal före och efter lektionen. Lärare 2 hade planerat en lektion där det avsedda lärandeobjektet var att eleverna skulle få lösa problem genom kombinatorik. Lektionen som lärare 2 hade planerat var en lektion som behandlade problemlösningsuppgifter som handlade om mönster. Lärare 4 hade planerat en lektion med problemlösningsuppgifter om geometri. Lärare 1:s lektions skilde sig dock något från de övriga då läraren hade planerat en lektion där syftet var att eleverna skulle få arbeta med olika problemlösningsuppgifter. I motsats till de andra lektionerna vi observerat där lärarna fokuserat på en vald del inom problemlösningsområdet behandlade lärare 1 däremot fyra mindre problem om olika matematiska områden. Gemensamt för de fyra lektioner vi observerat är dock att alla bygger på laborativ problemlösning, även om de handlar om olika matematiska områden. Samtliga lärare hade planerat att eleverna skulle arbeta i par eller grupp och de skulle använda laborativa material. Lärare 1, 2 och 4 beskrev att de arbetade med problemlösning minst en lektion varje vecka. Lärare 3 arbetar med någon annan form av matematikundervisning än matematikboken under 2 3 lektioner i vecka. Under dessa lektioner arbetade de vanligtvis med problemlösning eller laborativ matematik i någon form. Samtliga lärare är överens om att de matematikböckerna som de använder inte tar upp området problemlösning i en tillräcklig mängd. Lärare 3 nämner också att de problemlösningsuppgifter som finns med i boken inte alltid uppfyller de kriterier vi uttryckt för en problemlösningsuppgift. Uppgifterna i läroboken kan istället mer klassas som rutinuppgifter som formuleras som tetuppgifter. Samtliga lärare i vår studie anser därför att det är en nödvändighet att arbeta med kompletterande problemlösningsuppgifter, utöver de som finns i läroboken. 24

30 Om man bara arbetar med matteboken missar man ganska mycket, det finns faktiskt dom som klarar av att räkna hela matteboken utan att ha ett mattetänk. Man kan ju göra det systematiskt på något vis, så man behöver inte ha tänket med sig. (Lärare 3, intervju 3) Lärarnas syfte med dessa problemlösningslektioner är därmed att eleverna ska få en möjlighet till att utveckla sin problemlösningsförmåga eftersom det i många fall inte finns möjlighet till detta genom att arbeta i läroboken. Samtliga lärare i vår studie har deltagit i skolverkets fortbildning Matematiklyftet. Lärare 1 och lärare 4 beskriver uttryckligen att de genom Matematiklyftet fått inspiration till att arbeta med en problemlösningslektion i veckan. Det är dock tydligt att samtliga lärare inspirerats av fortbildning då alla använder sig av undervisningsmetoden EPA, som det säger att fick lära sig genom Matematiklyftet Iscensatt lärandeobjekt Överlag anser vi att det som lärarna beskriver som det avsedda lärandeobjektet stämde väl överens med det iscensatta lärandeobjektet under lektionerna. Samtliga lärare i vår studie beskriver att de brukar använda sig av EPA-modellen under problemlösningslektioner. Under våra observationer kunde vi dock se skillnader i hur lärarna använder sig av denna modell. Lärare 3 gick igenom alla steg i modellen, och uttryckte även tydligt för eleverna att de skulle arbeta genom EPA. Även lärare 1 beskrev för eleverna att de skulle arbeta genom EPA, vilket verkade vara en välkänd modell för eleverna. Under lektionen kunde vi se att läraren använde sig av alla steg i ett av problemen. I de resterande tre uppgifterna användes dock enbart stegen enskilt och alla. Lärare 1 förklarar valet att gå direkt från enskilt till alla, och på så vis hoppa över par-momentet, på följande vis: Mitt syfte var ju att var och en skulle få tänka själva och inte sitta och vänta på att någon annan skulle komma med svaret, utan skriva ner svaret då. Sen att de skulle få möta olika typer av uppgifter och vi har ju jobbat regelbundet med problemlösning i olika former och det insåg ni säkert att de är bekanta med EPA- modellen[...] Det får inte bli för långrandigt heller. Ser man att det här, det här är ju klart då gå vi vidare till nästa steg. (Lärare 1, intervju 1) Lärare 4 valde istället att förbigå steget enskilt och gick direkt till par-momentet. Arbete i par upptog största delen av lektionen och följdes endast av en kortare helklassdiskussion som avslutning av lektionen. Under intervjun framkom det att läraren anpassar användandet av EPA-modellen utifrån uppgiftens utformning: Mycket par brukar jag köra, EPA-metoden. Enskilt först en stund. Nu när de skulle bygga här idag tyckte jag att de kunde börja direkt tillsammans. Annars brukar de få fundera 10 minuter själva först. För att skapa någon bild, sedan i parvis och sedan kör vi alla. Ibland några fler, men jag tycker par är ganska så lagom. (Lärare 4, intervju 4) Även lärare 2 valde att gå direkt till par, följt av alla i form av helklassdiskussion. Under intervjun beskriver läraren att de ofta använder sig av EPA-modellen under problemlösningslektioner, det var dock inte uttalat att modellen skulle användas under denna lektion. Läraren beskriver att de ibland går direkt till par-momentet och motiverar sitt val på följande vis: För vi kör ju enligt EPA-modellen ibland också; enskilt, i par och sen alla. Men jag tycker ändå att par direkt ger mer. För kör du enskilt, då har du dom här som bara racear iväg och har inte fått det resonemanget, hur resonerar jag mig fram nu? Men jag vet ju redan rätt svar, då när dom kommer till nästa steg är inte dom intresserade längre för dom har redan löst det, och då får du inte det här resonemanget mellan eleverna. (Lärare 2, intervju 2) 25

31 Citaten från de olika lärarna visar på att de har något skilda uppfattningar om vad som är viktigast inom laborativ problemlösning. Lärare 1 fokuserar mer på att eleverna ska tänka självständigt tillskillnad från lärare 2 som fokuserar mer på resonemanget i parmomentet. Vidare analyserar vi det erbjudna lärandeobjektet utifrån Polyas (2004) fyra steg för att beskriva problemlösningsprocessens struktur. Eftersom vår studie utgår ifrån ett lärarperspektiv kommer vår analys utgå ifrån hur lärarna agerar och stöttar eleverna för att de ska ta sig igenom processens olika faser. Vi har dock valt att presentera fas tre och fas fyra under samma rubrik, då lärarna tog upp dessa faser i samma moment av lektionen. Förstå problem Polya (2004) beskriver att det första fasen av problemlösningsprocessen handlar om att eleven skaffar sig en förståelse för problemet. Eftersom vår studie utgår från ett lärarperspektiv kommer vi i denna första fas presentera och analysera hur läraren presenterar problemlösningsuppgiften för att eleverna ska ha möjlighet att förstå problemet. Utifrån det vi har observerat kunde vi se att samtliga fyra lärare presenterade problemet med att som benämner det Lo (2014) gå från del till helhet. Dock var det något som alla lärare inte gjorde lika tydligt. Lärare 2 och lärare 3 gjorde det på ett tydligare sätt än de övriga. Både lärare 2 och lärare 3 beskrev under intervjun att de gjorde ett medvetet val att gå från delarna till helheten för att gynna elevernas lärande. Lärare 3 valde att inleda sin lektion med en fråga som skrevs upp på tavlan. Frågan hade i syfte att ge eleverna en ingång till problemet, under lektionens gång presenterades sedan del efter del av problemet. Lärare 3 sammanfattade lektionen med att ta upp frågan igen som en helhet av problemet. Även lärare 2 var tydlig med att presentera problemet genom mindre delproblem. Nedan följer ett citat av lärare 2:s tankar om att gå från del till helhet. Ja jag försöker att dela upp det för att man först ska få börja att tänka och laborera själv. För hade jag gett dom direkt att nu vill jag veta hur många gånger ni kommer att kunna parkera i. Då hade vi ju kunnat låst oss vid den frågan och inte kommit vidare i att hade testat oss fram [ ] Ger man för mycket information kan man låsa eleverna och även att det här var för svårt, det kommer jag aldrig kunna lösa. Men bara en uppgift att bara börja måla, då är ju alla instartade, alla lyckades, alla kom igång på en gång. Och sen börjar man putta in små frågor för att alla ska få känna att, ja men jag har ju lyckats här, nu blir det bara ett trappsteg till. Det använder jag mig av mycket, i allt, att ta ett trappsteg till upp hela tiden. Att det är små små steg, vi ska inte klara hela trappan på en gång, utan det är små små steg uppåt. (Lärare 2, intervju 2) Under lärare 2:s lektion observerade vi att eleverna arbetade med problemet utifrån del till helhet. Det gjordes genom att de inledningsvis arbetade i form av konkret, därefter halvabstrakt och avslutningsvis abstrakt. Eleverna fick först använda sig av leksaksbilar och därefter fick de färglägga bilar på ett papper. I det sista steget fick eleverna gå vidare med att omsätta det som de har arbetat med på mattespråket med hjälp av multiplikation. Det gick tydligt att se att eleverna fick arbeta steg för steg med problemlösningsuppgiften som i slutet skapade en helhet. Lärare 2 beskrev även under intervjun att tanken med lektionen var att eleverna skulle få möjlighet att arbeta på detta sätt för att det skulle gynna deras lärande. Nedan följer lärare 2:s tankar kring detta. 26

32 Och jag tycker det är viktigt också att gå från det konkreta, och sen hålla det halvabstrakta någonstans. Att man inte bara direkt flyttar över till det helt abstrakta. Utan att det finns mellansteg, ibland kan det ju till och med finnas flera olika skift där emellan, innan man känner att man kan gå till det helt abstrakta. Det beror ju precis på vad det är för uppgift, vilka barn och vilken grupp och så vidare. (Lärare 2, intervju 2) En ytterligare skillnad mellan lärarnas presentation av problemet var hur tydligt de urskilde det som Olteanu (2016) beskriver som kritiska aspekter av lärandeobjektet för eleverna. Gustavsson och Wernberg (2006) menar på att eleverna måste få förutsättningar till att upptäcka de kritiska aspekterna för att de ska få en ökad förståelse av lärandeobjektet. Lärare 3 och lärare 4 urskilde detta tydligt redan i presentationen av uppgiften. Lärare 4 började lektionen med att gå igenom kubens olika egenskaper i form av begrepp, som hörn, sida och kant. Under intervjun kom det senare fram att läraren hade förutspått att detta kunde vara en kritisk aspekt och valde därför att uppmärksamma detta innan uppgiften ens presenteras. Läraren beskriver att syftet med detta var att ge eleverna en större möjlighet till att förstå uppgiften. Även lärare 3 var tydlig med att uppmärksamma en kritisk aspekt för eleverna. I presentationen av problemet var läraren tydlig med att uppmärksamma att dagens lektions skulle handla om mönster som väer symmetriskt, istället för mönster av geometriska former. Under intervjun förklarade läraren att eleverna sedan tidigare var vana med mönster av geometriska former eftersom det var denna typ av mönster som brukar förekomma i läroboken. För att hjälpa eleverna att urskilja denna skillnad visade läraren eempel på olika mönster på tavlan och hade en öppen diskussion om detta med eleverna. Lärare 3 var också tydlig med att förklara för eleverna att de inte skulle få tillgång till det laborativa materialet förrän de var färdiga med sin skiss av sitt mönster för att materialets form och färg inte skulle styra mönstrets uppbyggnad. Lärare 1 och 2 nämnde att de reflekterat över kritiska aspekter av lärandeobjektet i intervjun, men det uppmärksammades inte lika tydligt under dessa observerade lektioner. Planering av lösningsstrategier Den andra fasen av problemlösningsprocessen handlar enligt Polya (2004) om hur elever planerar olika strategier för lösa problemet. Vi kommer utifrån ett lärarperspektiv redogöra för hur lärarna under lektionen gav eleverna stöd till att planera en lösningsstrategi för problemet. Under våra observationer uppmärksammade vi att lärarna ger eleverna olika mycket stöttning i denna del av problemlösningsprocessen. Lärare 4 lät eleverna arbeta med problemet i par eller tre-grupper under eget ansvar. Under tiden eleverna arbetade med problemet byggde läraren en modell av kuber att använda vid avslutning av lektionen. Att läraren inte kontrollerade hur det gick för eleverna under arbetets gång, mer än för de som frågade om hjälp, resulterade i att ett par av eleverna fortfarande höll på att bygga kuben som var grunden för att börja lösa uppgifterna när lektionen avslutades. Lärare 2 var däremot aktiv när eleverna arbetade fram en lösning till problemet. Läraren ställde stöttande frågor som eempelvis vad har ni för plan för att lösa problemet? Eleverna ombads att börja laborera med materialet för att lösa problemet men efterhand frågade läraren de olika paren frågor som skulle man redan nu kunna ta reda på hur många kombinationer vi kan få fram?. Avsikten med detta var att leda in eleverna till att planera för hur problemet kan lösas genom en kombinatorisk princip. Stöttningen som eleverna fick av läraren ledde till att alla par kom fram till att antalet kombinationer kunde räknas ut genom multiplikationen 46=24. Vi anser att denna skillnad delvis kan bero på hur förberedda lärarna är inför lektionen och att lärarna kan ha olika uppfattning om hur mycket ledning eleverna bör få vid 27

33 arbete med problemlösning. Vi tror dock även att en stor bidragande faktor är lektionens ramfaktorer, som eempelvis gruppstorleken. Lärare 2 hade, till skillnad mot lärare 4, lektionen i halvklass, vilket bidrog till att det var lättare för lärare 2 att få möjlighet till att möta alla elever. Lärare 2, som hade haft samma lektion med den andra hälften av klassen föregående dag, beskriver också att olika grupper är i behov av olika mycket stöttning. Ja, alla grupper kom på det. Men i den här gruppen behövde dom ju små inledande avstickningar som leder dom. I den förra gruppen igår kom på det jättemycket snabbare, utan speciellt mycket av mina inputs. Och det är ju också det här med att dom fick det laborativa materialet, och dom i den gruppen igår är vana att gå och hämta plockmaterial, eftersom dom tillhör den gruppen som har det lite svårare kring matte. Dom är vana att laborera på det sättet. Nu har ju alla barnen eleverna här inne alltid haft laborativ matte med mig. Men har man det bara på vissa lektioner så blir det ju inte lika vanligt som om du har det hela tiden. Så det blir nog skillnad. Men alla löste ju det, och det hade jag ju tänkt att dom skulle också. Olika beroende på hur snabbt det gjorde det och hur mycket inputs de får av mig. (Lärare 2, intervju 2) Detta citat visar att lärare 2 anpassar hur mycket stöd som ges till eleverna utefter gruppens behov. Under vår observerade lektion kunde vi även se att lärare 3 var aktiv i klassrummet och gav eleverna stöd vid behov. Eftersom lärare 3 hade sin lektion i helklass var det dock svårare att ge lika mycket individuellt stöd till alla elever. Vi kunde dock se att lärare 3 samlade ihop klassen på ett fördelaktigt vis när en ny del av problemet skulle presenteras. Vid dessa kortare helklassdiskussioner fick eleverna möjlighet till att visa olika lösningsstrategier. Lärare 1:s lektions skilde sig något från de övriga då den behandlade flera mindre problem, vilket gjorde att det inte fanns lika mycket tid till att planera lösningsstrategier för problemen. Lösning av problemet och kontroll av resultat Polya (2004) menar att eleverna har nått problemlösningsprocessens tredje fas när de har kommit fram till en lösning av problemet. Den fjärde och avlutade handlar om att eleverna ska kontrollera sitt resultat (Polya 2004). Vi har dock valt att presentera dessa två faser under samma rubrik, då lärarna tog upp dessa parallellt under lektionernas avslutande del. Under denna rubrik kommer vi därmed dels att beskriva hur lärarna lyfter fram elevernas olika lösningar av problemet, hur lärarna kontrollerar elevernas resultat och hur lärarna uppmuntrar eleverna till att själva kontrollera sina resultat. Alla lärare synliggjorde elevernas lösningar på problemen, men tillvägagångssätten skilde sig åt. Lärare 1:s lektion bestod av fyra mindre problem vilket gjorde att lösningen på problemet redovisades efter varje problem. Elevernas lösningar synliggjorde lärare 1 genom att be en elev i taget komma fram och visa och förklara för de övriga eleverna. Proceduren upprepades med olika elever efter varje problem. I redovisningen av det tredje problemets lösning bad läraren endast en elev komma fram och visa sin lösning. I de andra problemen var det flera elever som fick komma fram och visa sin lösning, vilket gjorde att flera lösningsstrategier synliggjordes. Vissa gånger uttalade läraren om elevernas var rätt eller fel, andra gånger lade lärare 1 inte vikt vid om det var rätt eller fel utan fokuserade mer på att be en annan elev komma fram och visa sin lösning. Eleverna använde skrivtavlor när de arbetade fram sina lösningar i tre av problemen. När eleverna var klara med lösningen på det första problemet bad läraren eleverna att de skulle hålla upp sina skrivtavlor. På så sätt kunde lärare 1 direkt läsa av elevernas resultat. I slutet av lektionen blev det ont om tid vilket gjorde att eleverna inte riktigt hann göra klart det sista problemet. Lärare 1 bad ändå två elever komma fram och visa sina lösningar. Vi observerade att dessa lösningar dock inte var korrekta och läraren hade inte möjlighet att ge eleverna ett svar på problemet. Det 28

34 var något som vi både observerade och som läraren 1 la tyngdpunkt på i intervjun, att tidsbristen gjorde att det sista problemet inte blev som läraren tänkt sig. Lärare 2 hade möjlighet att följa elevernas tankegångar under tiden eleverna arbetade med problemet eftersom det endast var halvklass med åtta elever. Eleverna fick delar av problemet efter hand, och läraren kunde även följa hur eleverna löste problemet i de olika stegen. Det gjorde att lärare 2 kunde kontrollera elevernas resultat under tiden. Alla eleverna hade löst problemet i slutet vilket gjorde att lärare 2 endast gjorde en kort sammanfattning av elevernas olika lösningar. I sammanfattningen tog lärare 2 upp vad flera elever sagt under arbetets gång och hur de kommit fram till en lösning av problemet. Med hjälp av lösningen på problemet presenterade lärare 2 det andra problemet för eleverna som de arbetade vidare med. Lösningen av det första problemet blev en inkörsport i det andra problemet då lärare 2 lade stor vikt vid att eleverna skulle använda samma strategier som de använt sig av i det förra problemet. Under lärare 3:s lektion arbetade eleverna i flera steg då det arbetade med delproblem av problemet. Det gjorde att eleverna efter hand fick redovisa sina lösningsstrategier. Likt som lärare 1 gjorde under sin lektion fick en elev i taget komma fram och visa sin lösning. Det var även flera elever som fick presentera lösningen på samma delproblem. Lärare 3 la inte vikt vid om eleverna gjorde rätt eller fel utan de fick själva upptäcka detta genom att läraren på olika sätt ledde in eleverna på rätt väg. Eempelvis när en elev skulle förklara sin lösning på vad som var den upprepade delen och fick måla detta på tavlan. Genom att eleven fick pröva sin tänkta lösning insåg eleven själv att lösningen inte var korrekt. Nedan följer ett citat där lärare 3 beskriver sina tankar om att synliggöra fler elevers lösning och att lyfta det som är rätt och fel. Ja det blev ju jätteintressant faktiskt, att när dom gjorde fel. För hade dom inte gjort fel så hade vi inte fått den dimensionen. Så det är man ju väldigt tacksam för att dom gör, och att dom vågar visa det. Och sen i och med att man frågar många, så kan ju den som känner sig väldigt osäker ta någon annans svar, och då går man ju fri på det viset då. (Lärare 3, intervju 3) Lärare 3:s lektion byggde på att fler och fler delar av problemet gavs till eleverna och lösningarna kunde därför redovisas efterhand. Det gjorde att lärare 3 fick vetskap om elevernas resultat kontinuerligt under lektion. Lärare 3 gick även runt i klassrummet och kunde följa elevernas lösningsprocess. Eftersom lösningarna på problemet togs upp kontinuerligt under lektionen blev avslutningen kortfattad. Vi observerade även att det blev tidsbrist på slutet. Lärare 4 avslutade lektionen med att lyfta lösningen på problemet. Eleverna fick räcka upp handen och berätta hur de löst problemet. Lärare 4 tog inte upp så många av elevernas olika lösningar eftersom det inte fanns tillräckligt med tid för det. Därefter valde lärare 4 att ta hjälp av en tabell för att visa lösningen på problemet för eleverna. Genom tabellen visade läraren vad i kuben som var konstant, vad som varierade och vad som väte systematiskt. Det fanns inte mycket tid kvar på slutet vilket medförde att redovisningen av problemet gjordes fort. Det var något som lärare 4 tog upp i intervjun, nedan följer ett citat om detta. Jag önskar att vi hade hunnit lite mer. Men det var ju att de var så ivriga på att bygga vidare så det blev svårt att samla ihop dem på slutet...det är synd att vara stressad när man ska summera. Det är där det bränner till, där man lär sig. (Lärare 4, intervju 4) 29

35 Under lärare 4:s lektion observerade vi att läraren inte var aktiv i elevernas lösningsprocess utan eleverna arbetade enskilt i paren. Lärare 4 följde därmed inte elevernas lösningsprocess vilket gjorde att läraren inte kunde utläsa några resultat innan redovisningen av problemet. Det var ont om tid på slutet vilket gjorde att lärare 4 inte heller där kunde få vetskap om alla elevers resultat. Vi observerade även att det laborativa materialet gjorde det problematiskt för ett flertal elever. Problemet var att det var svårt att fästa ihop och bygga en stor kub utav flera mindre centikuber Erfaret lärandeobjekt Marton och Tsui (2004) beskriver att det erfarna lärandeobjektet handlar om det eleverna faktiskt lärde sig under lektionen, det vill säga vilka aspekter av lärande objektet eleverna urskilde. I detta avsnitt kommer vi därför presenterar och analyserar hur lärarna anser att lektionerna gick och vad eleverna fick möjlighet att lära sig. Under intervjuerna med lärarna ansåg samtliga lärare att de var nöjda med lektionen. Lärare 2 var den som tydligast uttryckte att denne var nöjd med lektionen och hur det gick för eleverna. Det framkom både innan lektionen och i intervjun med lärare 3 att läraren inte var så förberedd på lektionen som önskat. Det var en rad faktorer som lärare 3 inte hade kunnat påverka som lett till detta. Både lärare 1 och lärare 4 beskrev under intervjun att de var nöjda med lektionen, men båda poängterade att det blev tidsbrist i slutet. Lärare 1 och lärare 4 beskrev att de borde ha avbrutit lektionen tidigare för att få mer tid till en längre avslutning. I vår observation uppmärksammade vi att ett flertal av eleverna under lärare 4:s lektion inte lärde sig det som var avsett att eleverna skulle lära sig. När vi under intervjun frågade lärare 4 om alla elever lärde sig det som var tänkt för lektionen beskrev lärare 4, likt det vi observerat, att alla elever inte nådde fram till det som var avsett. Vår analys är att problemet var för svårt för eleverna eftersom problemet var ämnat för elever i årskurs 4 6. Nedan följer ett citat där lärare 4 beskriver att alla elever inte nådde fram till det avsedda lärandet. Inte alla. Vissa byggde mest flaggor, Tyskland och Frankrike. Det nådde inte fram till alla. (Lärare 4, intervju 4) Baserat på våra observationer och intervjuer kunde vi se att lärarna hade olika mål och syften med lektionerna. Lärare 1 beskriver att eleverna tidigare arbetat med de olika räknesätten och lektionen syftade till att sammanfatta dessa i olika problemlösningsuppgifter. Lärare 3 och lärare 4 beskriver att de tidigare arbetat med geometri respektive mönster och lektionerna syftade till att repetera och fördjupa elevernas kunskaper. Lärare 2:s lektion om kombinatorik hade istället syftet att introducera och ge en grundläggande uppfattning, delvis som en förberedning inför matematikuppgifter i högre årskurser. Vi anser att lärare 2:s lektion gav eleverna en möjlighet till att bekanta sig med området på ett konkret sätt genom laborativa arbetssätt. I intervjun efter lektionen beskriver lärare 2 att denne anser att alla elever tillägnade sig det tänkta lärandeobjektet att introduceras i kombinatorik, vilket läraren tror kommer underlätta för dem i framtiden: Nu greppade dom ju det att det går att använda multiplikation, men vilka tal ska vi använda? Syftet är inte att dom ska ha sett systemet och ekvationen för det än, utan ekvationen kommer ju i nästa steg. Men det här är en förberedande, som när vi bygger hus så lägger vi grunden nu, och sen så ska vi bygga stommen. Men att grunden måste ju vara jättestabil och stadig först. Så det tänker jag att det är väl framförallt det lågstadiet handlar om många gånger, att lägga grunden. [...] Och då tänker jag att när man första gången stöter på den där ekvationen så ska man inte behöva känna sig främmande för den, för kommer ni ihåg bilarna det var ju döenkelt liksom, och sen kan dom plocka det vidare ifrån det. (Lärare 2, intervju 2) 30

36 När vi under intervjuerna frågade lärarna om vilka av de matematiska förmågorna de arbetade med under lektionen svarade samtliga lärare att problemlösningsförmågan var i fokus. Vi observerade att under samtliga fyra lektioner arbetade eleverna även med resonemangs- och kommunikationsförmåga. Det var något som blev etra tydligt under lärare 2:s och lärare 3:s lektioner. För att en utveckling av kommunikations- och resonemangförmågan ska ske kan vi dock konstatera att det är viktigt att alla elever är aktiva. Under lärare 1 och lärare 4:s lektioner kunde vi observera att eleverna resonerade och kommunicerade med varandra, men inte alls i samma utsträckning som i lärare 2:s och lärare 3:s lektioner. Ett flertal av eleverna under lärare 1:s lektion kommunicerade mest med varandra för att berätta sin lösning. Oftast ville eleverna hålla fast vid sin lösning och kommunikationen ledde många gånger inte fram till något resonemang. Eleverna i lärare 4:s lektion uppmanades att arbeta tillsammans i paren när de skulle lösa problemet. Vi observerade dock att nästan alla elever arbetade enskilt i paren utan att varken kommunicera eller resonera med varandra. Utifrån våra reflektioner anser vi att två bidragande orsaker kan vara att uppgiften hade en för hög svårighetsgrad och att flertalet elever hade svenska som andraspråk vilket utgjorde ett hinder i kommunikationen. En problemlösningsuppgift består ofta av en tetuppgift där eleverna behöver förstå språket i uppgiften för att ha en chans att lösa den. Lärare 1, lärare 2 och lärare 4 hade alla elever med svenska som andraspråk i sina klasser och i intervjuerna med dessa lärare beskriver de att problemlösningsuppgifter kan utgöra en svårighet för dessa elever. Lärare 2 beskriver att det är viktigt att läraren tänker på hur problemlösningsuppgifter formuleras för att alla elever ska ha möjlighet att förstå dem. Som lärare kan du då behöva ta etra hänsyn till elever som har svenska som andraspråk och elever med läs- och skrivsvårigheter. Dels beror det ju på vad läsförmågan är, och läsförståelsen hos eleverna. Sen avgör det också om det är ditt modersmål som du ska läsa på. Och så är det ju så att i teterna idag är skrivna på ett mer matematiskt språk, och har dom inte det med sig så snubblar man ju på det med. Summa, hur ska jag kunna räkna ut det om jag inte ens vet vad summa betyder? Och sen om jag då kommer och förklarar vad summa betyder så kan det här talet redan hunnit bli så svårt, att eleven inte längre har självkänsla för att kunna räkna ut det (Lärare 2, intervju 2) Som vi tidigare nämnt arbetar samtliga lärare i vår studie kontinuerligt med lektioner i problemlösning och laborativ matematik. En bidragande orsak till att lärare 1 har förändrat sin undervisning till att bli mer varierad, laborativt och mer inriktad på problemlösning är enligt lärare 1 själv fortbildningen Matematiklyftet. Läraren känner att den förändrade matematikundervisningen har gett resultat och ökat intresset för matematik i klassen: Jag är nöjd med att det är varierat här inne i vad vi gör och faktiskt så är det den första klassen som jag verkligen märker att jag har ökat intresset för matte hos. För de talar liksom väldigt positivt om matte och så kommer de in och tittar på tavlan och säger jaa vi har matte!. (Lärare 1, intervju 1) Även lärare 2 beskriver att genom en aktiverande matematikundervisning med laborativa arbetssätt och problemlösning har elevernas intresse för matematik ökat, jämfört med när klassen togs över från en annan lärare i årskurs 1. Nedan presenteras ett avslutande citat om hur lärare 2 har ökat intresset för matematik genom laborativ matematik: 31

37 Jag tror ju mer på att eleverna får lära sig om det får eperimentera, utforska och se. Och dom gick ju från att när jag bytte över dom och jag började tänka att nu måste vi köra mycket mycket mer laborativt med dom. Dels genom problemlösning, men även spel, lekar, laborativt så att matte får bli ett aktivt ämne. För det är små barn och de behöver vara aktiva, då hände det någonting. Från att ha en klass i ettan där ungefär hälften tyckte att matte var tråkigt eller väldigt svårt. Till att gå över till när vi hamnar vid jul i tvåan ska man önska vad man vill göra inför jul, det brukar ofta vara att se på film och äta popcorn. Men då önskar hela klassen en hel dag med matte, istället för film och popcorn. Det var ett gott betyg till matten tyckte jag. (Lärare 2, intervju 2) Vi anser att dessa två senaste citat ovan visar på hur undervisning genom laborativ problemlösning kan öka elevernas intresse och lust för matematiken som ämne. Liksom lärare 2 anser vi att det är viktigt att matematik är ett aktivt ämne, framförallt i grundskolan tidigare år då den abstrakta matematiken kan vara svår att förstå. 32

38 7 Diskussion Det här avsnittet är indelat i fyra avsnitt. Inledningsvis kommer vi att föra en metoddiskussion där val av metoder kommer att diskuteras. Därefter kommer en resultatdiskussion där studiens resultat och analys kommer att diskuteras. Slutligen kommer vi lägga fram förslag till fortsatt forskning inom laborativ problemlösning och sammanfatta studiens slutsatser. 7.1 Metoddiskussion Vår intention med studien var från början att undersöka olika sätt att arbeta med laborativ problemlösning. Därför valde vi att låta lärarna fritt planera lektionen, utifrån premissen att det skulle handla om laborativ problemlösning. Under våra observationer kom vi dock till insikt med att laborativ problemlösning kan handla om flera olika matematiska områden. När vi sedan skulle presentera och analysera vårt resultat insåg vi att det fanns en ökad svårighet i att ha fyra lärandeobjekt istället för ett. Om vi istället hade givit lärarna ett bestämt lärandeobjekt eller uppgift att utgå ifrån hade vi lättare kunnat analysera och jämföra vilka aspekter av lärandeobjektet som lärarna valde att fokusera på. Det faktum att vi hade flera lärandeobjekt att analysera gjorde dock att vi kunde dra paralleller och se skillnader och likheter mellan olika innehåll. Vi kunde därmed använda oss av våra teoretiska begrepp på flera olika innehåll vilket gör att våra slutsatser blir mer generaliserbara för all undervisning genom laborativ problemlösning. Enligt Merriam (1994) visar en ökad generaliserbarhet på att studien har en valid och reliabel grund. Ytterligare en fördel med att lärarna själva fick styra över vilket innehåll inom laborativ problemlösning som lektionen skulle handla om var att vår studie inte påverkade elevernas vanliga matematikundervisning. Istället för att vi skulle styra innehållet anpassade lärarna nu lektionens innehåll och upplägg utifrån vad klassen arbetade med just vid tillfället. Det gjorde att de lektioner vi observerade var en naturlig del av undervisningen och inte konstlade lektioner för vår studie. Denscombe (2016) beskriver att den naturliga miljön är en viktig del av deltagande observationer. Tiden för vår studie har varit begränsad vilket gjorde att vi var tvungna att avgränsa insamlingen av vår empiri. Hade vi haft möjlighet att göra en längre och mer omfattande studie hade vi kunnat observera samma klass vid flera tillfällen. Det hade gett oss förutsättningar för att se en progression i elevernas utveckling och att se vad eleverna lär sig när de arbetar med problemlösning under en längre tid. De fyra observationer vi genomförde har ändå givit oss en tillräcklig mängd för analys, resultat och diskussion. Genom att vi kombinerade metoderna enkät, observation och intervju blev vårt empiriska underlag brett. Detta är något som Denscombe (2016) benämner som metodtriangulering. Vi fick möjlighet till att se sådant under observationen som läraren inte berättade om och vi kunde fråga saker som vi inte såg, men som vi ville ta del av. Om vi hade valt att inte kombinera observation och intervju anser vi att det hade varit svårt att få ett tillräckligt empiriskt underlag. Observationsschemat som vi använde oss av under observationerna gav oss en tydlig struktur på vad vi skulle observera. Vi hade ett flertal punkter som vi skulle titta efter och det fanns även utrymme för annat som uppkom under lektionen. Som vi tidigare nämnt utförde vi det som Denscombe (2016) benämner som semistrukturerade intervjuer. I efterhand ser vi det som en stor fördel eftersom det gav oss både struktur och trygghet att ha ett antal frågor som var bestämda. Genom att vi använde oss av den semistrukturerade intervjun kunde vi anpassa intervjun till det som vi såg under observationen. 33

39 Som vi tidigare nämnt så gjorde vi en så kallad deltagande observation. Det innebär att de som observerar kan röra sig runt i klassrummet och ställa frågor till eleverna (Denscombe, 2016). Att vi valde att göra deltagande observationer, istället för att enbart observera från en fast plats i klassrummet, hade både för och nackdelar. Fördelen var att vi kunde fråga eleverna om deras åsikter och röra oss för att se vad som hände på nära håll. En nackdel var dock att vår roll i klassrummet blev något oklar, både för lärare och elever. Vid vissa tillfällen kändes det som de såg på oss som etra hjälp mer än som observatörer. I mötet med eleverna fick vi dock möjlighet att se sådant vi inte annars skulle ha upplevt. För att vi skulle kunna förberett oss mer inför observationerna och intervjuerna kunde vi dock varit tydligare med vilka punkter vi ville ha med i lärarnas lektionsplaneringar. Vi ville störa lärarna i minsta mån i deras arbete vilket gjorde att vi endast bad dem att skriva en enkel lektionsplanering. Lärarna tolkade detta på olika sätt vilket gjorde att vi fick en väl beskriven lektionsplanering av en lärare, medan vi enbart fick det muntligt av en annan lärare. I efterhand kan vi se att det dock kunde vara fördelaktigt att få en skriftlig lektionsplanering av alla lärare för att vi skulle kunnat förbereda oss inför besöket på bästa vis. Som en metod för att strukturera vår resultat-och analysdel valde vi att använda oss av Polyas (2004) olika faser i en problemlösningsprocess. Det gjorde vi utifrån ett lärarperspektiv som är vårt fokus i vår studie. Faserna i Polyas (2004) problemlösningsprocess var inget som lärarna i vår studie använde sig av utan det var enbart en metod för oss för att analysera och strukturera vårt resultat. Polyas problemlösningsprocess finns beskriven redan år 1945 i den första upplagan av boken How to solve it. Trots att Polyas (2004) problemlösningsprocess är gammal finns den kvar än idag och är applicerbar. Vi har dock fått göra en egen tolkning av Polyas (2004) fyra faser eftersom vi utgått ifrån ett lärarperspektiv. Hade vi istället haft ett elevperspektiv anser vi att det tydligare hade kunnat gå att urskilja de fyra faserna under lektionerna. 7.2 Resultatdiskussion Enligt Häggblom (2013) är det vanligt att problemlösningsuppgifter presenteras i en skriven tet och det är därmed viktigt att eleven har förmågan att tolka tetens innehåll. En aspekt vi kunde observera under de fyra lektionerna var hur lärarna presenterade uppgiften. En aspekt vi kunde observera under de fyra lektionerna var hur lärarna Under de fyra lektioner vi observerade var det dock enbart en lärare som presenterade uppgiften genom en skriven tet, men även denna läraren läste och förklarade uppgiften för eleverna. De resterande lärarna berättade och förklarade uppgiften och skrev enbart ned stödord på tavlan. En anledning till att lärarna valde att mestadels presentera uppgifterna muntligt kan vara att de ville minska risken för att elevernas läs- och språkförmåga skulle påverka deras förmåga att lösa uppgiften. Lärare 1, lärare 2 och lärare 4 hade alla elever med svenska som andraspråk i sina klasser och beskrev under intervjuerna att de kunde vara svårt för de elever som inte varit i Sverige under så lång tid att förstå problemlösningsuppgifter. Häggblom (2014) menar att problemlösningsuppgifter kräver goda kunskaper i att läsa, skriva, lyssna och tala. Att dessutom förstå uppgifter skrivna på ett matematiskt språk kan därmed vara en svårighet för elever som inte hunnit utveckla sina språkliga färdigheter. Lärare 2 34

40 beskrev under intervjun att läraren behöver ta etra hänsyn till elever som har svenska som andraspråk och elever med läs- och skrivsvårigheter. Häggblom (2013) menar att problemlösning är en aktivitet som kan vara krävande både för elever och lärare. Under våra observationer kunde vi se att det krävdes mycket av lärarna under lektionerna. Som vi nämnde i resultat- och analysdelen kunde vi se att lärarna gav eleverna olika mycket stöttning och ledning under lektionen. Lärare 4 lät eleverna arbeta mer självständigt i paren under lektionen tillskillnad från lärare 2 som kontinuerligt stöttade eleverna under lektionen och ställde frågor som hjälp för att leda dem framåt. Både Lester (1996) och Palmér och van Bommel (2016) poängterar vikten av att läraren är aktiv i klassrummet när eleverna arbetar med problemlösning, vare sig eleverna arbetar enskilt, i par eller i grupp. Läraren ska ställa frågor till eleverna som kan leda dem framåt. Palmér och van Bommel (2016) menar dock att det finns en risk med att läraren ställer för mycket ledande frågor till eleverna så att problemlösningsuppgiften inte längre uppfattas som ett problem. Vi anser dock att de frågor som lärare 2 ställde till sina elever stämmer väl överens med Palmérs och van Bommels (2016) förslag på bra frågor, eempelvis frågade lärare 2 Har ni någon plan för att lösa problemet?. Vi menar att skillnaden mellan hur mycket hjälp lärarna gav eleverna kan bero på flera olika anledningar. Det kan delvis bero på att lärarna kan ha olika uppfattning om hur mycket ledning eleverna bör få vid arbete med problemlösning och hur väl förberedda lärarna var inför lektionen. Vi tror även att en stor bidragande faktor är lektionens ramfaktorer, som eempelvis gruppstorleken. Lärare 2 hade, till skillnad mot de övriga lärarna i studien, sin problemlösningslektion i halvklass. Det gjorde att lärare 2 hade större möjlighet till att ge alla elever det stöd de behövde. Av de fyra lektioner vi observerade syftade tre av dessa till att repetera, sammanfatta och fördjupa elevernas kunskaper. Lärare 1 beskriver att eleverna tidigare arbetat med de olika räknesätten och lektionen syftade till att sammanfatta dessa i olika problemlösningsuppgifter. Lärare 3 och lärare 4 beskriver att de tidigare arbetat med geometri respektive mönster och lektionerna syftade till att repetera och fördjupa elevernas kunskaper. Som vi tidigare nämnt menar Lester och Lambdin (2006) att det är vanligt att använda problemlösningsuppgifter i syfte att repetera och fördjupa. Lester och Lambdin (2006) menar dock att problemlösningsuppgifter bör användas som ett hjälpmedel för att introducera ett nytt område i större utsträckning. Lärare 2:s lektion om kombinatorik hade just detta syfte att introducera och ge en grundläggande uppfattning. I kommentarmaterialet för matematik (Skolverket, 2011) finns det beskrivet att kombinatorik är ett område som behandlas först i årskurs 4 6 enligt läroplanen, men att yngre elever med fördel kan prova på det. Vi anser att lärare 2:s lektion gav eleverna en möjlighet till att bekanta sig med området på ett konkret sätt genom laborativa arbetssätt. I lektionens andra problemlösningsuppgift fick eleverna möjlighet till att närma sig området genom en halvabstrakt uppgift. Lärarens syfte med detta var att eleverna först skulle få möta kombinatorik i en konkret uppgift, för att sedan gå vidare till halvabstrakt. Lärarens förhoppning är att dessa kunskaper ska hjälpa eleverna när de senare kommer möta en abstrakt uppgift om kombinatorik. Under de lektioner vi observerade fick alla elever tillgång till laborativt material i olika former. Lärare 2 var dock den lärare som var tydligast med att beskriva vikten av att gå från uppgifter med konkret material, vidare till halvabstrakta uppgifter, för att eleverna sedan ska ha lättare att förstå helt abstrakta uppgifter. Läraren beskriver att eleverna kan behöva flera mellansteg innan de är redo att gå vidare till det abstrakta. Även Björklund (2013) menar att det är viktigt att eleverna får möta halvabstrakta representationer i 35

41 övergången mellan konkret och abstrakt matematik. Om denna övergång mellan konkret och abstrakt sker för snabbt menar nämligen Björklund (2016) att det finns en risk för att eleverna inte skapar en förståelse för begreppen. Även lärare 3 välade mellan representationsformerna konkret och halvabstrakt på ett fördelaktigt vis. Som vi tidigare nämnt i resultat- och analysdelen arbetar samtliga lärare i vår studie kontinuerligt med lektioner i problemlösning, minst en lektion i veckan. Enligt Lester (1996) är det en viktig faktor att elever ska få möjlighet till att arbeta med problemlösningsuppgifter kontinuerligt. Alla lärare tog upp att matematikböckerna de använde inte bestod av mycket problemlösning. Om det förekom problemlösningsuppgifter i matematikboken var dessa inte i tillräcklig mängd. För att utveckla elevernas problemlösningsförmåga la samtliga lärare vikt vid att det krävdes mer undervisning i annan form än i matematikboken. Likt det som lärarna beskrev under intervjuerna, menar även Johansson (2009) att det inte är tillräckligt att arbeta med ett matematiskt område enbart genom ett läromedel. Eleverna behöver få möjlighet till att erfara lärandeobjektet genom fler arbetsformer. En del av vårt syfte var att undersöka laborativa arbetssätt som ett komplement till läroboksundervisning. Både lärare 1 och lärare 3 tog upp att eleverna behöver få erfara matematik på flera sätt för de elever som upplevs som starka i arbetet i matematikboken tillhör inte alltid de starka när det kommer till arbete i andra former inom matematiken. I vår studie framkom det även att samtliga fyra lärare arbetade med laborativ matematik. Den laborativa matematiken kunde eempelvis bestå av matematik utomhus, i grupper, med spel, med kroppen eller med laborativt material. Berggren och Lindroth (2011) betonar att den laborativa matematiken bör finnas med i den dagliga undervisningen i matematik. Lärare 1 och lärare 2 lyfte att deras varierade arbetssätt hade lett till att elevernas intresse och glädje för ämnet matematik hade ökat stort. Båda lärarnas slutsats av elevernas ökade intresse och glädje hade sin grund i att arbetsformerna var varierade och att eleverna fick möjlighet till att arbeta med matematik på flera olika sätt. I Skolverket rapport (2003) framkom det att eleverna kände lust till att lära matematik när de blev erbjudna en undervisning som var varierande i både innehåll och form. Lärare 1 hade ändrat sin matematikundervisning de senaste åren till en mer varierad undervisning, och hade sett en stor förändring hos både eleverna och hos sig själv. Lester (1996) menar att det är större chans för eleverna att tillägna sig innehållet om lärarna själv anser att problemlösning är en viktig del av matematiken. Lärare 1 förklarade även att tilltron till den egna förmågan i att undervisa i matematik hade ökat, vilket smittat av sig på eleverna. Under lärare 1 och lärare 3:s lektion kunde vi observera att när eleverna skulle redovisa sina lösningar fick flera elever gå fram och visa sin lösning. Både lösningar som var rätt och fel lyftes. Lärare 3 beskrev under sin intervju att undervisningen vanligtvis ser ut på det sättet i klassen, att allas svar lyfts oavsett om de är rätt eller inte. Det ledde in på intressanta och lärorika diskussioner genom att lärare 1 och lärare 3 både lyfte lösningar som var rätt och fel. Det var något som lärare 3 poängterade i sin intervju att ett fel svar som kom upp under lektionen ledde till en helt ny dimension som var intressant. Häggblom (2013) beskriver att matematikämnets uppbyggnad är mycket på vad som är rätt och fel. Under de lektioner som vi observerade låg fokus inte på om de gjorde rätt eller fel under processens gång. Lärare 2 uttalade inte heller under arbetets gång om eleverna gjorde fel eller inte utan ställde frågor som stöttade eleverna på ett bra sätt i rätt riktning. Det var inte heller det rätta svaret som var i fokus när det kom till att redovisa problemlösningsuppgiften i helklassdiskussionen. Om eleverna hade arbetat i 36

42 matematikboken och fått en bock eller streck med att en uppgift var fel hade möjligheten till förståelsen av uppgiften inte blivit densamma som när den lyfts i en diskussion i helklass. Genom att synliggöra olika lösningar framkommer även olika metoder som eleverna använder vilket gör att eleverna kan ta lärdom av varandras metoder. Samtliga lärare använde sig av EPA-metoden under lektionerna vi observerade, men vi kunde dock se skillnader i hur lärarna använde sig av denna modell. Det var vanligtvis par momentet som lärarna ägnade stor del av under lektionerna. En av problemlösningsuppgifterna under lärare 1:s lektion krävde inte steget par eftersom samtliga elever redan löst uppgiften i steget enskilt. Trots att eleverna under lärare 4:s lektion arbetade i par observerade vi att samarbetet inte fungerade på ett önskvärt vis. Eleverna arbetade mer enskilt i paren och samarbetade inte med varandra. Pamlér och van Bommel (2016) beskriver att en fördel med att arbeta i grupp eller i par i problemlösning kan leda till att eleverna får möjlighet till att utveckla sin resonemangsförmåga. Att laborativ problemlösning ger eleverna möjlighet att utveckla flera matematiska förmågor var även något vi kunde se under våra observationer. En del av vårt ursprungliga syfte var att undersöka hur lärarna upplever att eleverna utvecklar sin problemlösningsförmåga genom laborativ problemlösning. Utifrån våra intervjuer kan vi dock konstatera att samtliga lärare upplever att detta arbetssätt även utvecklar elevernas resonemang- och kommunikationsförmåga. Häggblom (2013) poängterar dock att en förutsättning för att eleverna ska kunna utveckla detta är att alla elever är aktiva i gruppen. Det gick tydligt att observera att många elever under lärare 4:s lektion inte var aktiva och samarbetade vilket gjorde att resonemanget uteblev. Det finns även fördelar med att samarbeta i par eller i grupp, Mouwitz och Emanuelsson (2002) menar att arbeta i par eller grupp är en fördel när det gäller laborativt arbetssätt eller arbetssätt i form av undersökande. Både uppgiftens form och det laborativa materialet gör det mer överskådligt för eleverna. Det bidrar till att eleverna kan förbättra sin kommunikation. Under lärare 2:s lektion kunde vi observera att elevernas samarbete i paren utfördes på ett korrekt sätt. Alla elever var engagerade, resonerade och kommunicerade. Under den lektionen gick det att observera att samarbetet ökade elevernas kommunikations-och resonemangsförmåga. Lärare 4 var inte lika aktiv i att följa och stödja elevernas process som lärare 2, vilket vi menar på kan vara en av anledningarna till att samarbetet i lärare 4:s klass inte fungerade på ett bra sätt. Vårt syfte med studien var dels att undersöka vilka aspekter som lärarna arbetar med under lektioner med laborativ problemlösning. Som vi tidigare konstaterat behandlar våra lärare fyra olika lärandeobjekt: olika problemlösningsuppgifter, kombinatorik, mönster och geometri. Lärarna i vår studie fokuserade sedan på olika antal aspekter av dessa lärandeobjekt. Efter att ha analyserat vårt resultat kan vi konstatera att läraren bör fokusera på ett mindre antal aspekter, eftersom det ger eleverna större möjlighet att utveckla kunskaper inom det tänkta lärandeobjektet. Om läraren väljer att ta upp ett flertal olika aspekter av lärandeobjektet under samma lektion finns det är risk för att de enbart nämns och att eleverna inte får tid eller möjlighet till att fokusera på dem under lektion. Det leder till att eleverna lär sig mindre under lektionen. Sammanfattningsvis kan vi konstatera att desto färre aspekter läraren fokuserar på, desto lättare är det för eleverna att tillägna sig kunskap om dessa. 37

43 7.3 Förslag till fortsatt forskning I den här studien valde vi att undersöka lärares arbete med laborativ problemlösning. Vårt förslag till vidare forskning är att byta perspektiv och se det utifrån ett elevperspektiv istället. Det hade både varit intressant att observera och intervjua eleverna om deras upplevelser av att arbeta med laborativ problemlösning. Vi anser även att det skulle vara intressant att följa en elevgrupp under en längre tidsperiod för att kunna se hur undervisning genom laborativ problemlösning påverkar elevernas utveckling av de matematiska förmågorna. Vi anser att det skulle vara intressant att jämföra elevernas kunskaper i matematik före och efter avslutat projekt. För att undersöka detta krävs det dock att eleverna får möjlighet till att arbeta med laborativ problemlösning kontinuerligt under en längre tidsperiod vilket vi inte hade möjlighet att göra i denna studie. 7.4 Slutsats Sammanfattningsvis har vårt arbete bidragit till en rad slutsatser om att undervisa i form av laborativ problemlösning. Det går att konstatera att läraren bör fokusera på ett mindre antal aspekter i undervisning med laborativ problemlösning. Om läraren väljer att ta upp ett flertal olika aspekter av ett lärandeobjekt under samma lektion finns det risk för att de enbart nämns och eleverna får inte tid eller möjlighet till att fokusera på dem under lektionen. Uppgiftens form och lärarens agerande är också av avgörande faktorer för elevernas möjlighet till lärande. Lärare bör välja en eller flera bra problemlösningsuppgifter som kan anpassas till att det blir en lagom utmaning för samtliga elever i klassen. Problemlösningsuppgiften ska också presenteras på ett sådant vis att alla elever har möjlighet att förstå problemets förutsättningar. Läraren har även en viktig roll i att stödja eleverna i deras problemlösningsprocess. Vi kan även konstatera att laborativ problemlösning i par eller grupp ger eleverna goda möjligheter till att inte enbart utveckla sin problemlösningsförmåga, utan även kommunikationsoch resonemangförmåga. Avslutningsvis vill vi redogöra för att vi i vår studie har sett tydliga tecken på att en varieraread undervisning genom laborativ problemlösning leder till ett ökat intresse för matematikundervisningen hos eleverna. 38

44 Referenser Berggren, P. & Lindroth, M. (1998). Kul matematik för alla: - en idébok för 2000-talets lärare. Solna: Ekelund. Berggren, P. & Lindroth, M. (2011). Laborativ matematik: för en varierad undervisning. Uppsala: JL utbildning. Björklund, C. (2013). Vad räknas i förskolan?: matematik 3-5 år. Lund: Studentlitteratur. Denscombe, M. (2016). Forskningshandboken: för småskaliga forskningsprojekt inom samhällsvetenskaperna. Lund: Studentlitteratur. Gustavsson, L & Wernberg, A. (2006). Design eperiment, lesson study och learning study. M, Holmqvist. (Red). Lärande i skolan: learning study som skolutvecklingsmodell.(s.29-50). Lund: Studentlitteratur. Hagland, K., Hedrén, R. & Taflin, E. (2005). Rika matematiska problem: inspiration till variation. Stockholm: Liber. Holmqvist, M. (red.) (2006). Lärande i skolan: learning study som skolutvecklingsmodell. Lund: Studentlitteratur. Häggblom, L. (2013). Med matematiska förmågor som kompass. Lund: Studentlitteratur. Johansson, B. & Svedner, P.O. (2010). Eamensarbetet i lärarutbildningen. Uppsala: Kunskapsföretaget. Johansson, M. (2006). Teaching mathematics with tetbooks: a classroom and curricular perspective. Diss. (sammanfattning) Luleå : Luleå tekniska univ., Luleå. Johansson, M (2009) Om läroböcker och matematikundervisning. I G. Brandell (Red.), Matematikdidaktiska frågor: resultat från en forskarskola (s ). Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning. Kihlström.S. (2007). Fenomenografi som forskningsansats. J, Dimenäs. (Red). (2007) Lära till lärare (s ). Stockholm: Liber AB. Larsson, M. (2013). Undervisa i matematik genom problemlösning. Stockholm: Skolverket. Larsson, S. (1986). Kvalitativ analys: eemplet fenomenografi. Lund: Studentlitteratur. Lester, F. K. & Lambdin, D. V. (2006). Undervisa genom problemlösning. I J. Boesen (red.) (2006). Lära och undervisa matematik: internationella perspektiv. (s ). Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning. 39

45 Lester, F. K (1996). Problemlösningens natur. I G. Emanuelsson, K. Wallby, B. Johansson, & R. Ryding (red.) Matematik ett kommunikationsämne. (s ). Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning. Lo, M.L. (2014). Variationsteori: för bättre undervisning och lärande. Lund: Studentlitteratur. Lyman, F. T. (1981). The Responsive Classroom Discussion: The Inclusion of All Students. In A. Anderson (Ed.), Mainstreaming Digest (s ). College Park: University of Maryland Press. Löwing, M. (2004). Matematikundervisningens konkreta gestaltning: en studie av kommunikationen lärare - elev och matematiklektionens didaktiska ramar. Diss. Göteborg: Universitet, Göteborg. Löwing, M. & Kilborn, W. (2002). Baskunskaper i matematik: för skola, hem och samhälle. Lund: Studentlitteratur. Malmer, G. (1990). Kreativ matematik. Solna: Ekelund. Marton, F. (2014). Förord. M.L, Lo.Variationsteori:för bättre undervisning och lärande. (s.7-8). Lund: Studentlitteratur. Marton. F. (1994). Phenomenography. I Husén, T. Postlewaite, T.N.(ed). The International Encyclopedia of Education, 2 nd Edition, Pergamon Press, Oford. Marton, F. & Tsui, A. (red.) (2004). Classroom discourse and the space of learning. Mahwah, N.J.: Lawrence Erlbaum. Marton, F. & Booth, S. (2000). Om lärande. Lund: Studentlitteratur. Marton, F., & Pang, M. F. (2006). On Some Necessary Conditions of Learning. The Journal of the Learning Sciences, 15 (2) Merriam, S.B. (1994). Fallstudien som forskningsmetod. Lund: Studentlitteratur. Molander, K. (2012). Att lära in matematik ute: 2. Vimmerby: Outdoor teaching. Mouwitz, L. & Emanuelsson, G. (2002). DPL 14 Laborativ problemlösning. Nämnaren, Tidskrift för matematikundervisning, (nr 2). Göteborg: Nämnaren NCM. Niss, M. (2006). The problem discourse in mathematics education. I Häggblom, L., Burman, L. & Röj-Lindberg, A. (red.) Perspektiv på kunskapens och lärandets villkor: [festskrift tillägnad professor Ole Björkqvist]. Vasa: Pedagogiska fakulteten vid Åbo Akademi. Olteanu, L. (2016). Framgångsrik kommunikation i matematikklassrummet. Diss. Kalmar : Linnéuniversitetet. Palmér, H. & van Bommel, J. (2016). Problemlösning som utgångspunkt: matematikundervisning i förskoleklass. Stockholm: Liber. 40

46 Pettersson, A. (2003). Bedömning och betygssättning. Myndigheten för skolutveckling. Baskunnande i matematik.(s.60-73). Stockholm: Myndigheten för skolutveckling. Pólya, G. (2004). How to solve it: a new aspect of mathematical method. (Epanded Princeton Science Library ed.) Princeton: Princeton University Press. Reis, M. (2015). Barn matematiserar och lär sig matematik. Stockholm: Liber. Rystedt, E. & Trygg, L. (2013). Matematikverkstad: en handledning för laborativ matematikundervisning. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet. Rystedt, E. & Trygg, L. (2010). Laborativ matematikundervisning: vad vet vi?. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning, Göteborgs universitet. Sjödin, S. (1991). Problemlösning i grupp [Elektronisk resurs] : betydelsen av gruppstorlek, gruppsammansättning, gruppnorm och problemtyp för grupprodukt och individuell kunskapsbehållning = [Group problem solving] : [the significance of group size, group composition, group norm and problem type for group product and individual retention of knowledge]. Diss. Umeå : Umeå universitet, Umeå. Skolverket (2003). Lusten att lära: med fokus på matematik : nationella kvalitetsgranskningar Stockholm: Skolverket. Skolverket (2015). Hur väljs och kvalitetssäkras läromedel? Hämtad , från Skolinspektionen. (2009). Undervisningen i matematik utbildningens innehåll och ändamålsenlighet. Stockholm: Skolinspektionen. Skolverket. (2011). Kommentarmaterial till kursplanen i matematik. Stockholm: Skolverket. Skolverket. (2016). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011: reviderad Stockholm: Skolverket. Taflin, E. (2007). Matematikproblem i skolan: för att skapa tillfällen till lärande. Diss. Umeå : Umeå universitet, Umeå. Uljens, M. (1989). Fenomenografi: forskning om uppfattningar. Lund: Studentlitteratur. Utbildningsdeparementet. (2010). Förslag till vissa förtydligande och kompletteringar av förskolans läroplan. Promemoria U2010/4443/S Utbildningsdeparementet. Vetenskapsrådet. (2002). Forskningsetiska principer inom humanistisksamhällsvetenskaplig forskning. Stockholm: Vetenskapsrådet. 41

47 Bilagor Bilaga 1 - Enkät Hej! Vi är två lärarstudenter som studerar grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i förskoleklass och grundskolans årskurs 1-3 på Linnéuniversitetet i Kalmar. Vi läser nu vårt sista år på utbildningen och ska påbörja vårt självständiga arbete i matematikdidaktik (15hp). Syftet med vårt självständiga arbete är att undersöka hur läroboksundervisning kompletteras med undervisning genom laborativa arbetssätt. Vi är medvetna om att många lärare arbetar laborativt inom flera matematiska områden. Genom denna enkät söker vi nu efter det område ni anser behöver mest kompletterande uppgifter i form av laborativa arbetssätt för att kunna avgränsa vårt matematiska innehåll i vår studie. Med laborativa arbetssätt menar vi elevaktiverande uppgifter som avviker från rutinuppgifter i läroböcker och stenciler. Det kan eempelvis handla om att eleverna arbetar i grupp, utomhus, genom lekar, spel, rörelse och så vidare. Enkäten består enbart av fyra kortare frågor och vi hoppas att du har möjlighet att delta. Enkäten fylls i direkt i Word, spara din version och skicka tillbaka till oss. Tack på förhand! Med vänliga hälsningar Frida Hultenius fh222ey@student.lnu.se Hanna Karlsson hk222gu@student.lnu.se I

48 Enkätfrågor 1. Undervisar du i matematik för tillfället? Ja Nej Om svaret är ja, inom vilken årkurs/ vilka årskurser? Om svaret är nej, men du har tidigare erfarenhet av att undervisa i matematik får du gärna fortsätta att svara på enkäten. 2. Använder du dig av något läromedel i matematikundervisningen? Ja Nej Om svaret är ja, vilket läromedel? 3. Inom vilket matematiskt område anser du att det behövs mest kompletterande uppgifter, utöver de uppgifterna som behandlas i läromedlet? Markera ett alternativ med ett kryss. Positionssystemet Addition Subtraktion Multiplikation Division Tal i bråkform Algebra Geometri Mätning av längd, massa, volym och tid. Sannolikhet och statistik Samband och förändring (proportionella samband, däribland dubbelt och hälften) Problemlösning II

49 4. Inom vilket matematiskt område lägger du mest undervisningstid på att arbeta genom laborativa arbetssätt? Markera ett alternativ med ett kryss. Positionssystemet Addition Subtraktion Multiplikation Division Tal i bråkform Algebra Geometri Mätning av längd, massa, volym och tid. Sannolikhet och statistik Samband och förändring (proportionella samband, däribland dubbelt och hälften) Problemlösning Kommentarer gärna hur du brukar arbeta med detta matematiska område. Skulle du kunna tänka dig att delta i vårt självständiga arbete genom en intervju? Ja Nej III

50 Bilaga 2 Missivbrev Hej! För några veckor sedan skickade vi ut en enkät till ett flertal lärare med frågor om vilket område lärare anser att det behöver mest kompletterande uppgifter i form av laborativa arbetssätt. Enkätens syfte var att avgränsa vårt matematiska innehåll i vår studie. Efter att ha sammanställt svaren från enkäterna såg vi att flest lärare svarat att de anser att problemlösning är det område som kräver mest kompletterande uppgifter i form av laborativa arbetssätt. Efter att ha läst ditt svar kände vi att vi blev intresserade av att undersöka hur du arbetar med laborativ problemlösning i ditt klassrum. Vi skulle gärna vilja besöka dig, och din klass, för att studera detta vidare. För att få inblick i hur laborativa problemlösning ser ut i praktiken skulle vi vilja observera en lektion där ni arbetar med laborativ problemlösning. Det kan eempelvis handla om problemlösning i grupp, utomhus, eller problemlösning genom laborativa material. Vår studie kommer att skrivas ur ett lärarperspektiv vilket innebär att vi inte kommer fokusera på elevernas arbete. Under observationen kommer vi endast att föra anteckningar, inga ljud- eller filmupptagningar kommer att göras. Inför lektionen kommer vi be dig som lärare att skicka in en enkel planering av lektionen. Efter lektionen önskar vi att intervjua dig om laborativ problemlösning. Intervjun behöver inte ske i direkt anslutning till lektionen, utan vi bestämmer tillsammans en tid som passar dig. Vi beräknar att intervjun kommer att ta ca 30 minuter, men du har möjlighet att avbryta intervjun när du vill. För att underlätta processen önskar vi att göra en ljudupptagning av intervjun. Vi önskar att genomföra dessa observationer och intervjuer under v.48 eller v.49, alternativt även under v.50. Hör av dig om förslag för tillfällen som skulle passa dig. Hoppas att du vill delta i vår studie! Har du några frågor hör gärna av dig till oss. Tack på förhand! Med vänliga hälsningar Frida Hultenius fh222ey@student.lnu.se Hanna Karlsson hk222gu@student.lnu.se IV