Tentamen i Vågor och Optik 5hp den 19. augusti 2016

Transkript

1 Uppsala Universitet Institution för ysik och Astronomi Laurent Duda krivtid kl Hjälpmedel: Räknedosa, Physics Handbook eller motsvarande (även Mathematical Handbook är tillåten) för godkänd (3:a) krävs normalt minst: Riktlinjerna för betygsättningen: minst 7p från A-delen (viss kompensation genom B- och C-delen kan ges) för en 4:a behövs minst: (utöver kraven för godkänd) sammanlagt minst c:a 16p totalt. för en 5:a behövs minst: (utöver kraven för godkänd) minst c:a 30p. Viktigt för B-delen: ETT problem per blad. kriv problemnummret i övre högre hörn pga. häftning i vänster hörn! Använd EJ baksidan! KOD på varje inlämnat blad! En lärare kommer till skrivsalen 2 timmar efter påbörjat skrivning. Lycka till! A B C bonus umma Betyg Den här tabellen fylls i av läraren!

2 A-delen (krävs för att få godkänd) Läs dessa anvisningar: Ge kortsvar i lämplig ruta. Där det är lämpligt ska du ange både formel och numeriskt värde. Inga härledningar ska redovisas. I. Två stycken (linjärpolariserande) polaroider är initialt arrangerade så att båda transmissionsaxlar har samma orientering (0 ). Den ena roteras sedan till θ 1 =30 och sedan vidare till θ 2 =60. Beräkna kvoten q mellan de transmitterade intensiteterna vid θ 1 och θ 2 om det inkommande ljuset är slumpmässigt polariserat. Mitt svar till I: q = 2 cos 30 cos60 =3 II. En laser med effekten P=100 mw emitterar en stråle med diameter d=2 mm. Beräkna strålens intensitet I. Mitt svar till II: I = 4P eff πd 2 = 31.8 kw m 2 III. Betrakta mekanisk vågutbredning i en dimension på en sträng, där vågfunktionen y(x,t) beskriver utslaget från viloläget. Om y(x,t) är känd, vad är uttrycket för partikelhastigheten på strängen? Mitt svar till III: v=dy/dt IV. Två monokromatiska sändare skickar isotropt ut vågor av samma frekvens. I en viss punkt P uppmäts en intensitet I=0. Hur stor är fasförskjutningen δ mellan vågorna i denna punkt? Mitt svar till IV: δ =180 eller π radianer V. Ett objekt placeras i avståndet s o =3f från en positiv lins med brännvidd f. Beräkna bildens förstoring M. f Mitt svar till V: M = f s = 1 2

3 VI. En inkommande harmonisk elektromagnetisk våg träffar på en spegel vinkelrätt till sin utbredningsriktning och den reflekterade vågen överlagras med den inkommande vågen. Om den elektriska andelen av den resulterade stående vågen kan skrivas som! E(x,t) = 2sin(kx)sin(ωt)ê y V m hur ser den magnetiska andelen ut hos samma våg? Mitt svar till VI: VII.En elektromagnetisk våg infaller från vakuum på vatten som har brytningsindex n=1.33. Beräkna vågens fashastighet v i vattnet i m/s (tre värdesiffror anges). Mitt svar till VII: v=c/n= m/s VIII. Beräkna brännvidden f hos en symmetrisk, bikonvex lins (n=1.5) med krökningsradierna R=100 cm. R Mitt svar till VIII: f = = R = 100 cm 2(n 1) IX. Ett gitter som är B=5 cm brett har 1000 ritsar per mm och belyses i normalinfall. Vad är gittrets maximala upplösningsförmåga R max i andra ordningens (m=2) spektrum? Mitt svar till IX: R max =Nm= = X. Ett visst material uppmäts ha en kritisk vinkel θ krit =45.58 för totalreflexion i luft. Beräkna materialets Brewstervinkel θ Br för ljus som faller in från luft på en plan yta hos materialet. Ange tre värdesiffror. Mitt svar till X: θ Br = arctan[1/sin(45.58 )]=54.5

4 B-delen (krävs för att få högre betyg) Anvisningar: ull poäng kräver att du motivera dina svar tillräckligt och ger (kortfattade) förklaringar till hur du använder formlerna (utöver hänvisning till Physics Handbook). B1. En tank fylls med vatten. Ovanpå vattnet läggs sedan ett 1 cm tjockt oljelager med brytningsindex n olja =1.48. Vilken är den minsta vinkeln (till ytnormalen) som en parallell ljusstråle riktat snett uppåt inifrån vattnet kan ha utan att något ljus kan utträda från tanken? Rita en skiss av geometrin! (6p) Lösning: trålen som kommer från vattenskiktet bryts till ytnormalen vid gränssnittet till oljan och bryts sedan en gång till från ytnormalen vid olje-luftgränssnittet. Ljuset kan lämna tanken så länge infallsvinkeln θ i är tillräckligt liten för att θ u <90. ör större vinklar än så totalreflekteras strålen och stannar kvar i tanken. nells lag i olje-luft-gränssnittet är (1.) n o sin(θ t )=sin(θ u ) och för totalreflektion gäller: n o sin(θ t )=1. nells lag i vatten-olje-gränssnittet är (2.) n v sin(θ i )= n o sin(θ t ) där θ t kan bestämmas m.h.a. första ekvationen: (1b.) θ t =arcsin(1/ n o ). Man löser ut θ i ur andra ekvationen (2b.): θ i =arcsin(n o sin(θ t )/ n v )= arcsin(1/ n v )= arcsin(1/ 1.33)=48.8 var: θ i =48.8 är den minsta vinkeln där inget ljus utträder ur tanken.

5 B2. I ett Young s dubbelspaltexperiment (se bilden nedan) använder man ljus av våglängden nm. Man får då ett typiskt interferensmönster på en skärm med nollte ordningens interferensmaximum i den symmetriskt belägna punkten O. Man placerar nu framför den ena spalten 2, en transparent film med brytningsindex n=1.45 och tjockleken d. Interferensmönstret ändras nu så att 4:e ordningens interferensmaximum hamnar i den symmetriskt belägna punkten O. Beräkna filmens tjocklek d. Lösning: d=4.9 µm. (6p) täll upp fasvillkor δ=8π och bestäm fasskillnaden δ för vägarna från spalt 1 resp. spalt 2. ätt lika och lös för tjockleken. OB: Alla brytningsvinklar är försumbara och vägskillnaden är faktiskt noll. Det är endast skillnaden i brytningsindex för filmtjockleken som ger upphov till fasskillnaden.

6 B3. En vågplatta av materialet kvarts (eng. quartz ) ska användas till att omvandla linjärt till cirkulärt polariserat ljus. Det infallande ljuset har våglängden λ=590 nm. Beräkna den minsta tjockleken som en sådan platta kan ha. Vilken eller vilka andra viktiga förutsättningar i geometrin finns det så att det inkommande ljuset så att plattan uppfyller sitt syfte? örklara! (6p) Lösning: En kvartsvågplatta måste användas för detta ändamål, dvs. fasförskjutningen mellan ordinära och extraordinära vågen ska vara π/2. asförskjutningen i en vågplatta kan skrivas (P.H. 5.6) som: Δφ = 2π λ d n o. n e.o.. Allmänt blir tjockleken bestämd av: ( 2m +1) π 2 = 2π λ d n o. n e.o. med m=0,1,2,3 och för minsta tjocklek är m=0. Detta ger oss: d = λ 4 n o. n e.o. = 590 nm = mm. Denna tjocklek omvandlar linjärt till elliptiskt ljus och det krävs ytterligare att ljuset infaller så att dess polarisationsriktning bildar en vinkel 45 med plattans optiska axel.

7 B4. En sträng på ett monokord är 1.00 m lång. Med hjälp av en liten ryttare kan strängen delas utan att dess spänning förändras, så att dess båda delar kan vibrera var för sig. Vid ett experiment uppsöktes strängens mittpunkt med ryttare, vilket kunde konstateras genom att inga svävningar förekom då strängens båda halvor anslogs. Däremot erhålls svävningar på detta sätt, då ryttaren sedan förflyttades ett litet avstånd. Då man erhöll 4.0 svävningar per sekund var ryttarens förflyttning från strängens mittpunkt 3.2 mm. Vad är frekvensen för strängens grundton, då den anslås utan någon ryttare? (6p) Lösning: f = c där L är strängens hela längd och f är dess grundton, 2L då den anslås utan någon ryttare. Om x betecknar ryttarens förflyttning och f sv svävningsfrekvensen så blir våghastigheten c: 1 1 c = f sv L 2x m/s L + 2x m/s och f = Hz. 2 m

8 B5. En radioantenn består av 20 stycken hopkopplade antenner, placerade ekvidistant på en rät linje med 2 m inbördes avstånd. Då radiovågorna med frekvens 1700 MHz kommer in vinkelrätt mot antennernas sammanbindningslinje (θ=0 ) samverkar antennerna maximalt. Lösningen: a) Beräkna den minsta vinkel, θ 0, som också ger maximal samverkan. (3p) b) Beräkna vinkelupplösningen på antennsystemet genom att beräkna vinkelskillnaden mellan det första minimum på var sida om huvudmaximum. (3p) Detta är analogt till lektionsuppgiften E13. a) Här behöver man multipelspaltformeln för konstruktiv interferens: d sin θ = m λ med λ=c/f= m/s/1700 MHz=0.2 m. Man löser ut θ max : θ max = arcsin m λ d = arcsin 1 0.2m 2m = 5.74 b) Minima för multipelspaltformeln P.H finns vid Nd sinθ = m λ för helttaliga m utan 0, ±N, ±2N Därmed blir minimumvinkeln θ min och vinkelupplösningen θ upp m λ θ min = arcsin Nd = arcsin θ upp = 2θ min = m 20 2m = 0.29

9 B6. Betrakta följande vågfunktion som beskriver vågutbredningen på en viss sträng: y(x, t) = (2.20mm)cos 2π x 23.0 cm t s Bestäm vågfunktionens amplitud, våglängd, frekvens, utbredningshastighet och -riktning, samt den maximala partikelhastigheten. (6p) Lösning: Vågekvation är av formen: y(x,t) = Acos 2π x λ t T där A: amplitud; λ: våglängd; T: period Amplitud: 2.20 mm våglängd λ = 23.0 cm frekvens: f = 1 T = 1 = Hz 0.044s utbredningshastighet: i positiv x-riktning v = λ f = 23.0 cm Hz=5.23 m/s maximal partikelhastighet: v partikel = y(x,t) t = 2π T Asin 2π x λ t T är maximal när sinus blir lika med 1, dvs. y = 2π t max T A = 2π 2.2 mm = 0.314m/s 0.044s

10 C-delen (poäng adderas till B-delen, max. 6p) Anvisningar: kriv för sant eller för falskt påstående i vänsterkolumn. killnaden i antalet korrekta svar och fel svar kommer att delas med fyra i poängberäkningen (avrundas till närmaste heltal, t.ex ger 2p och 2.5 ger 3p). Du får aldrig minuspoäng och max. 6p är möjligt. OB: Lämnar du ett fält tomt eller sätter du ett kryss räknas det inte in, däremot räknas oläsliga svar som fel. Notera att det finns fler frågor på nästa sida! skriv eller påståendet Röntgenstrålning har mindre våglängd än mikrovågor. Brytningsindex för röntgenstrålning är oftast mindre än 1 i fasta material. Grupphastigheten i glas är normalt mindre än fashastigheten i det synliga området. Grupphastigheten i glas är normalt större än fashastigheten i det synliga området. ör stående vågor är Poyntingvektorn alltid lika med noll. ör tillräckligt tunna fristående såpvattenhinnor försvinner reflektionen praktiskt tagit helt. Vid ett materials Brewstervinkel reflekteras endast ljus som är polariserat vinkelrätt till reflektionsplanen. En platta av vanligt glas (omgiven av luft) kan göras dubbelbrytande om man gör den tillräckligt tunn. Normalmoder på en gitarrsträng har alltid ett udda antal av noder. Normalmoder på en gitarrsträng har alltid ett jämnt antal av noder. Amplituden hos den transmitterade vågen är alltid mindre än hos den inkommande vågen vid övergången från en sträng till en annan. Hastigheten hos en mekanisk våg beror både av mediets kompressionsmodul och mediets densitet.

11 skriv eller påståendet En halvvågplatta roterar E-fältets orientering hos linjärt polariserat ljus med 90. En halvvågplatta roterar E-fältets orientering hos linjärt polariserat ljus med 45. Lägger man ihop två ideala polarisatorer så att deras transmissions-axlar bildar en vinkel på 90 så transmitteras inget ljus. Man kan skapa två strålar av cirkulärt polariserat ljus från naturligt ljus genom att använda ett Wollastonprisma t.ex. gjort av två kalcitkristaller. Dopplereffektens frekvensförskjutning för ljudvågor är alltid proportionell till den relativa hastigheten mellan källan och observatören. Genom att lägga ihop tre stycken polarisatorer kan man rotera polarisationsriktningen hos en linjärt polariserad stråle med 90. Hastigheten hos en ljudvåg i luft beror av luftens temperatur. Hastigheten hos en ljudvåg i luft är oberoende av luftens temperatur. Pga. dispersion har glas större brytningsindex för blått ljus än för rött ljus. Pga. dispersion har glas mindre brytningsindex för blått ljus än för rött ljus. torleken hos Airy-skivan som skapas av ett teleskop avtar när objektivets diameter ökas (om allt annat är lika). torleken hos Airy-skivan som skapas av ett teleskop ökar när objektivets diameter ökas (om allt annat är lika).