Stålbalkars bärförmåga vid intryckningorsakad av lokal momentbelastning. Patch Loading Resistance of steel girders subjected to concentrated moments

Transkript

1 Stålbyggnad Kungliga Tekniska Högskolan Stålbalkars bärförmåga vid intryckningorsakad av lokal momentbelastning Patch Loading Resistance of steel girders subjected to concentrated moments Per Hedmark April 2007 TRITA-BKN. Examensarbete 250 Stålbyggnad 2007 ISSN ISRN KTH/BKN/EX 250 SE

2

3 Förord Förord Detta examensarbete utfördes vid avdelningen för stålbyggnad, Institutionen för Byggvetenskap på Kungliga Tekniska Högskolan i Stockholm (KTH) under september till april 06/07. Arbetet är ett samarbete mellan SSAB och KTH. Handledare vid KTH har varit Bert Norlin och från SSAB Eva Pétursson. Examinator är Bert Norlin. Jag vill ge ett stort tack till mina handledare som givit mig bra tips och idéer. För deras tid och tålamod för alla frågor och funderingar som uppkommit under arbetet. Jag vill speciellt tacka lektor Bert Norlin som alltid funnits till hands för att ge ny inspiration till att fortsätta kämpa. Stockholm, Mars 2007 i

4 ii Förord

5 Sammanfattning Sammanfattning Detta examensarbete behandlar stålbalkar utsatta för lokal intryckning orsakade av en lokal momentbelastning. För lastfallet finns ännu inga bra handräkningsmetoder, i plåthandboken som ges ut av SSAB finns en beräkningsmetod presenterad. Den är väldigt krånglig med många beräkningssteg och diagram. Denna studie är inriktad på att utreda hur man kan räkna på belastningsfallet på ett enklare och bättre sätt. Lastfallet uppkommer t.ex. då en lastögla svetsas till flänsen rakt över livet på en balk. Om lastöglan dras parallellt med balkens riktning så kan belastningen ses som två komponenter, ett moment och en horisontalkraft. Momentet kommer att trycka in lastöglan i balken och till slut blir det ett brott p.g.a. en blandning av att materialet flyter och att livet bucklar. I den här rapporten behandlas bara momentdelen av lasten. Studien är gjord i tre steg. Först byggdes en FE-modell i Abaqus. Denna modell verifierades mot fysiska försök på lokal intryckning från en vertikal kraft, eftersom inga försök hittades på intryckning av ett lokalt moment. Som steg nummer två anpassades FE-modellen till försök med lokal intryckning från ett moment. Ett antal experiment gjordes med variation av två parametrar, livplåtens tjocklek och lastöglans längd. Lastöglan var väldigt styv eftersom den bara skulle skapa momentbelastningen. Sista steget var att utifrån resultaten ta fram en beräkningsmodell för lastfallet. FE-modellen som skapades för testerna visade sig ge bärförmågor ca 10% under bärförmågan från de fysiska försöken. Detta berodde mycket på att balken var känslig för hur initialimperfektionerna såg ut och att första bucklingsmodens form användes vid modelleringen av de geometriska imperfektionerna. Beräkningsmodellen utvecklades så att den skulle efterlikna den som gäller för lokal intryckning från vertikal last i EN Detta för att modellen skulle kunna användas som ett tillägg till EK3. Modellen utvecklades i tre delar, flytbärförmågan, kritiska bucklingslasten och reduktionsfaktorn för buckling. Modellen för flytbärförmågan togs fram analytiskt och fick en form som efterliknar den i EK3. Beräkningsmetoden för den kritiska bucklingslasten använder sig i princip av formlerna i EK3 förutom två små ändringar. Reduktionsfunktionen som valdes är en liten ökning av funktionen i EK3 men resultaten ligger ändå med bra marginal på säkra sidan. Den kompletta beräkningsmodellen ger resultat där säkerhetsmarginalen ökar vid minskande längd på lastöglan. Den har utformats så att den är lätt att använda och vid jämförelse med FE-försök gav beräkningsmodellen resultat på säkra sidan för alla balkar förutom några få av balkarna med låg slankhet. iii

6 iv Sammanfattning

7 Abstract Abstract This master thesis deals with steel girders subjected to patch loading caused by concentrated moments. There exist no good methods to calculate by hand the ultimate resistance for this load case. In tunnplåtshandboken, (Handbook for sheet metal, which is published by SSAB), one calculation method is presented. It s however fairly difficult to use, because of many calculation steps and many graphs. This study concentrates on how to calculate the resistance for this load case in a better way. The load case arises for example when a small steel plate (attachment) is welded to the flange above the web of a girder and the attachment is pulled in a direction parallel to the beam. It s possible view the load as two components, a moment and a horizontal load. The moment will push the attachment into the girder and finally yielding in combination with web buckling will govern the ultimate resistance. In this report, only the moment part of the load is studied. This study was made in three steps. First an FE-model was built. This model was verified against physical tests on patch loading from a force acting perpendicular to the beam axis. This approach was taken because no tests were found for the load case with a local moment. As step number two the FE-model was numerically adjusted to work for tests with patch loading caused by a local moment. A number of experiments were made, for which two parameters were varied, the thickness of the web and the length of the attachment. The loaded attachment was made very stiff, because it should not be deformed in order to simulate a sharp concentrated moment. In the last step a hand calculation model was developed for the investigated load case. The FE-model that was created for comparison to the physical experiments gave resistances 10 % below the resistances, from the physical tests. This was mainly due to the sensitivity of the girder to initial imperfections and that the most severe buckling mode was used in the modeling of the imperfections. The handcalculation model was developed to imitate the one for patch loading in EN (EC3), because it may then work as an addition to EC3. The model was developed in three steps: yield resistance, critical elastic buckling load and the resistance function. The model for yield resistance is analytical and has a form equivalent to the one in EC3. The expressions for the critical elastic buckling load were taken as simple as possible, since they are the main area of this study. The method essentially uses the same equations as EC3 except from two small changes. The results are on the safe side but the safety margin increases when the length of the loaded attachment decreases and the slenderness of the web panel increase. Consequently formulas for calculating the critical load may be improved. The chosen reduction function was slightly increased compared to the function in EC3 but the results will still have a good safety margin. The complete model gives results where the safety margin increases as the length of the loaded attachment decreases. The calculation model was designed to be easy to use. In comparison to the FE-analysis, all the tested beams except a few with low slenderness gave results on the safe side. v

8 vi Abstract

9 Beteckningar Beteckningar s s L a t w h w t f b f x f yw f yf s y F F cr k F E ν χ λ M u M R M y M p M pt M pf längd på belastningsplatta längd på balk avstånd mellan avstyvningar tjocklek på livet höjd på livet tjocklek på flänsen bredd på flänsen längd från fläns till belastningspunkt flythållfasthet för livet flythållfasthet för flänsen längd som antas plasticeras utanför belastningsplattan kraft kritisk last bucklingskoefficient elasticitetsmodul tvärkontraktionstal bärförmågefunktion slankhetstal brottmoment från FE-beräkningar momentbärförmåga flytbärförmåga plastisk momentbärförmåga plastisk momentbärförmåga för T-sektion plastisk momentbärförmåga för flänsen vii

10 viii Beteckningar

11 Innehåll Innehåll Förord... i Sammanfattning...iii Abstract... v Beteckningar...vii Innehåll... ix 1. Introduktion Bakgrund Syfte och mål Teori Introduktion Plastisk analys Kritiska bucklingslasten Bärförmågefunktionen Finit elementmodell Testmodell Fysiska försök Modell Slutgiltig modell I-balk Resultat och diskussion Utveckling av beräkningsmodell Modell för bärförmågan vid flytning Elastiska bucklingsmomentet Bärförmågefunktionen Förslag på Beräkningsmodell och diskussion Slutsatser och diskussion Referenser Appendix A Appendix B ix

12 x Innehåll

13 Introduktion 1. Introduktion 1.1 Bakgrund Eurokod 3 ligger till grund för dimensionering av stålkonstruktioner inom byggsektorn men fungerar också för bärförmågan hos stålkonstruktioner i allmänhet. Inom andra industrier förekommer många andra problem som behöver lösas. Höghållfast stål ger nya möjligheter till lättare konstruktioner vilket också skapar nya problem. SSAB ger ut tunnplåtshandboken som baseras på EK3, de har kunder inom alla möjliga industrier och behöver alltså komplettera EK3 för att fånga in olika frågeställningar. Lokal intryckning där kraften kommer in via en lastögla är ett sådant lastfall. Det bildas ett moment i flänsen från horisontalkraften och en varierande spänningsfördelning bildas. I Figur 1-1 visas principen. Detta lastfall skulle t.ex. kunna uppkomma på en trailer. Problemet som uppstår är väldigt komplicerat. Att hitta en analytisk lösning är nästan omöjligt. Därför måste lösningen tas fram empiriskt. Det finns många studier gjorda på ett närliggande fall där lasten kommer in vinkelrätt mot flänsen. Från dessa kan man se att bärförmågan är en kombination av buckling och flytning, detsamma borde gälla om spänningsfördelningen är varierande. För tillfället finns inga bra enkla metoder för att lösa problemet när det blir en varierande spänningsfördelning. Ofta får man lösa problemen genom tidskrävande beräkningar med FEM. Det behövs därför en enkel metod för att snabbt ta fram bärförmågan vid detta lastfall. Figur 1-1 Lokal intryckning med varierande spänningsfördelning. 1.2 Syfte och mål Syftet med detta arbete är att utreda hur man kan handräkna på lastfallet då tryckkraften kommer in i flänsen via ett moment. Handräkningsmetoden ska fungera tillsammans med andra metoder som används till liknande bucklingsproblem, framförallt den som föreslås i EK3 vid lokal intryckning från en koncentrerad vertikal kraft. 1

14 Huvudsyftena med den här studien är att Introduktion ta fram en numerisk modell som verifieras mot experimentella data och att använda modellen till att göra numeriska experiment på balkar i höghållfast stål. med hjälp av resultaten från de numeriska experimenten ta fram en modell för handräkning på lastfallet. Studien begränsas till att variera två parametrar i de numeriska beräkningarna. Parametrarna som varieras är livplåtens tjocklek och lastplåtens längd. Studien behandlar bara bärförmågan med hänsyn till momentdelen av lasten. 2

15 Teori 2. Teori 2.1 Introduktion Författaren har inte hittat några rapporter på lokal intryckning med varierande spänningsfördelning, därför kommer detta kapitel att ta upp hur man räknar på lokal intryckning från en koncentrerad vertikal kraft och hur beräkningsmetoderna är framtagna. Belastningsfallen liknar varandra på många sätt, men det har gjorts massor av studier på intryckning från vertikal kraft. Några forskare med framgång har bl.a. varit Lagerqvist [1], Bergfelt [12] och Roberts [16] För att beräkna hållfastheten vid lokal intryckning eller så kallad patch loading använder man i EN en metod som baseras på plastisk analys av det kritiska området. En bärförmåga för en perfekt balk beräknas. Sedan reduceras bärförmågan med avseende på buckling, egenspänningar o.s.v.. Hur metoderna är framtagna beskrivs mycket bra i Lagerqvists doktorsavhandling [1]. I detta kapitel beskrivs kort hur dagens norm har tagits fram. 2.2 Plastisk analys Ett av de första förslagen på en brottmodell för lokal intryckning som baseras på flytleder är från Bergfelt [12] föreslår en modell för balkar med slanka liv (Figur 2-1). Metoden kallades three hinge-flange teori. Bergfelt beskriver metoden enligt följande. Vid en liten last beter sig flänsen som en balk på elastiskt underlag. Ökas lasten så bildas en plastisk led precis under lasten. Materialet flyter och brottet börjar när en plastisk led har bildats på var sida om lasten. Bergfelt nämner också att om flänsen är väldigt styv så kan det bildas en led på varje sida om lasten istället. Figur 2-1 Brotthållfasthet enligt Bergfelt [12]. En annan forskare som gjort betydande framsteg i forskningen om lokal intryckning är T.M. Roberts presenterade han tillsammans med K.C. Rockey [15] en 3

16 Teori brottmekanism för slanka tvärsnitt. Mekanism bygger på att tre flytlinjer bildas i livet och fyra flytleder i flänsen. Med hjälp av det virtuella arbetets princip och empiriska samband togs ett uttryck för bärförmågan fram presenterade Roberts [16] en liknande modell för kraftiga liv (Figur 2-2). Denna mekanism har samma fyra flytleder i flänsen och livet antas flyta i rent tryck. Figur 2-2 Roberts brottmekanism för kraftiga liv [16] presenterade Lagerqvist [1] en vidareutveckling på en mekanism med 4 plastiska leder (Figur 2-3). Här tas även hänsyn till ett bidrag från livet i de yttre lederna. Vid framräknande av detta bidrag har hänsyn tagits även till slankheten hos livet. Efter jämförelse med testresultat och beräkningar enligt Eurokod kom Lagerqvist fram till att k 2 = 0,02 ger god överensstämmelse av brotthållfastheten vid lokal intryckning. Figur 2-3 Lagerqvists [1] mekaniska modell för flythållfastheten vid lokal intryckning från koncentrerad kraft. 2.3 Kritiska bucklingslasten I det här kapitlet visas grunderna för beräkning av den kritiska bucklingslasten. Det visar också hur man räknar på bärförmågan för buckling vid koncentrerad last enligt dagens normer. För en platta som belastas av en koncentrerad last i planet så kan formel (2.1) användas för att beräkna bucklingslasten enligt klassisk elasticitetsteori. Det uppkommer dock en hel del svårigheter när teoretiska lösningar ska tas fram. När en koncentrerad last appliceras på plattan så varierar spänningen över plattan och det blir matematiska svårigheter. Därför går bucklingsberäkningar enligt klassisk elasticitetsteori ut på att ta fram ett numeriskt värde på bucklingskonstanten k F. Den här studien kommer alltid att använda sig av k F från 4

17 Teori ( ) π 2 E F cr = k F 12 1 ν 2 t w 3 h w (2.1) För fallet med en koncentrerad kraft finns det många lösningar publicerade i litteraturen. De tidigaste är gjorda med analytiska metoder. Sedan har finit differensmetod använts en del och den senaste tiden FEM. Lagerqvist [1] har gjort en bra sammanfattning av olika lösningar från litteraturen. För fallet där lasten kommer in som ett lokalt moment så har inga lösningar hittats i litteraturen. Här nedan redovisas hur man räknar på lokal intryckning från en vertikal kraft enligt EN I Eurokod har man valt att förenkla (2.1) till 3 t w F cr = 0.9 k F E h w (2.2) Konstanten k F har för patch loading valts som k F = h w a 2 (2.3) med mått enligt Figur 2-4. F s S s h w a Figur 2-4 Mått för beräkning av k F. 2.4 Bärförmågefunktionen När den kritiska elastiska bucklingslasten och den plastiska bärförmågan har beräknats, kan bärförmågan beräknas med formel (2.4). Flytbärförmågan reduceras där med en reduktionsfaktor som är en funktion av slankhetsparametern λ. F R = F y χλ ( ) (2.4) 5

18 Teori där λ definieras som λ = F y F cr (2.5) Reduktionsfaktorn χ(λ) kan tas fram empiriskt genom att analysera en stor mängd resultat från tester. Detta gjorde bl.a. annat Lagerqvist [1]. Han plottade resultat från 190 försök (Figur 2-5) och tog fram en χ- funktion som anpassades till nedre femprocent fraktilen för F u /F y. Resultatet blev funktionen ( ) 0.06 χλ λ (2.6) Figur 2-5 F u /F y som funktion av λ för 190 intryckningstester från [1]. I EN har man valt att använda en enklare χ- funktion χλ ( ) λ (2.7) 6

19 Finit elementmodell 3. Finit elementmodell De numeriska beräkningarna gjordes i två steg. I första steget byggdes en modell som verifierades mot en serie fysiska försök på lokal intryckning gjorda av Lagerqvist [1]. Modellen verifierades på det sättet eftersom inga försök på lokal intryckning med varierande spänningsfördelning hittades. Till hjälp har det också funnits en rapport med numeriska beräkningar på samma serie gjorda av Tryland [5]. Fokus har lagts på att ta fram bärförmågan. I andra steget undersöktes fallet med varierad spänningsfördelning med utgångspunkt från en av balkarna från Lagerqvists testserie. Till modelleringen och beräkningarna användes Abaqus ver och Testmodell Fysiska försök Det har gjorts en hel del fysiska försök på lokal intryckning från en koncentrerad last. De flesta är dock dåligt dokumenterade. För att göra en så bra modell som möjligt behövs en väl dokumenterad testserie. Författaren har hittat försök av Lagerqvist [1] som är en väldokumenterade. Försöksserien bestod av 9 tester på lokal intryckning med huvudsyftet att ta reda på bärförmågan hos balkarna. Alla test gjordes med svetsade I- balkar i höghållfast stål, Weldox 700. Alla balkar var dubbelsymmetriska och slankhetstalet (h w /t w ) var mellan 40 och 110. Svetsarna hade ett a-mått på 3 mm. Lasten applicerades på överflänsen genom en 50 mm tjock och 100 mm bred stålplatta som var fritt upplagd. Flänsarna var förhindrade att röra sig i lateral riktning vid båda balkändarna. ΔH ΔH ΔW Figur 3-1 Försöksuppställning för testserie med koncentrerad last. 7

20 Finit elementmodell Initialimperfektionerna mättes i två punkter nedanför lasten. Rotationen av flänsarna representeras av ΔH, Deformationen i planet representeras av ΔW. Storleken på ΔW mättes vid h w /2 som avvikelsen från en rak linje mellan två punkter, 10 mm från över och underflänsen. Materialets hållfasthet mättes upp genom dragtest som finns presenterade med resultat i [1]. Flytgränsen mättes till MPa och f u /f y varierade mellan 1,03 och 1,06. Tabell 3-1 Resultat från FE-beräkningar och jämförelse med resultat från intryckningstester av Lagerqvist [1] och FE-beräkningar av Tryland [5]. Test h w t w b f t f S s L 2 H W Tryland Test FEM Dev (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (kn) (kn) (kn) (%) A13p 239,8 3,8 118,5 12, ,7 0, A14p 239,8 3,8 118,5 12, ,2 0, A22p 278,1 3,8 119,9 12, ,4 1, A32p 319,7 3,9 120,1 12, ,0 1, A41p 359,6 3,8 120,5 11, ,2 2, A51p 397,7 3,8 120,0 12, ,9 1, A61p 439,9 3,8 120,0 12, ,4 1, A71p 320,7 7,9 120,5 11, ,4 0, A81p 400,5 8,0 120,4 12, ,1 0, Modell Modellens Geometri har skapats med hjälp av Abaqus preprocessor. Figur 3-2 FE-modellen som används. Hela balken modellerades med skalelementet S4R som har 4 noder med 6 frihetsgrader per nod. Elementet använder reducerad integration och 5 integrationspunkter över tjockleken. Elementstorleken valdes till 1 cm. Balken modellerades så att höjden på livet är h w +t f eftersom fläns och livplåt delar noder där de sitter ihop. 8

21 Upplagsvillkor och belastning Finit elementmodell Vid modelleringen provades många olika randvillkor. Det visade sig vara ganska krångligt att få modellen att fungera med komplicerade upplagsvillkor som t.ex. kontakt. För att allt skulle gå ihop och det inte skulle dra ut för mycket på tiden användes enkla upplagsvillkor. Avstyvningarna simulerades genom att flänsens ändar låstes i vertikalriktningen. Livet vid ändarna låstes för rörelser i 3-riktningen och för rotation runt 1-axeln. Stöden som balken ligger på simulerades med en fjäderbädd som fick samma styvhet som stålklossen. För att förhindra att balken förflyttar sig i 1-riktningen så låstes den i en punkt i centrum av underflänsen. Lasten kommer in som ett jämnt fördelat tryck i mitten av överflänsen på en längd som är lika med S s. I verkligheten kommer lasten in som ett kontakttryck från en stålkloss (Figur 3-1) och mer kraft tas upp av livet än av flänsen därför fick lasten en mindre bredd än klossens. Den lades in i området som begränsas av S s och egenspänningarnas begränsningslinjer. Bredden blir alltså 3 t f. För att beskriva faktumet att lasten kommer från en kloss så testades olika villkor. Det som beskrev de verkliga deformationerna bäst verkade vara att låsa alla frihetsgrader för rotation kring 1-axeln på överflänsen utmed den belastade längden. För att balken inte skulle röra sig i sidled under klossen så låstes 3-riktningen i mittpunkten på överflänsen. Egenspänningar och geometriska imperfektioner. Figur 3-3 Longituda egenspänningar föreslagna i Svenska stålbyggnadsnormen BSK 99 [8] till vänster och den förenklade form som används i beräkningarna till höger. Egenspänningarna som kommer av svetsningen modellerades med en förenklad form av BSK 99:s förslag. Storleken på flytspänningen som användes vid beräkningen av egenspänningarna är den som gäller för livet. En avhandling av Clarin [9] visar dock att egenspänningarna i verkligheten blir mycket lägre vid svetsning i höghållfast stål. Egenspänningarna ger inte heller så stora utslag, men det är bättre att ligga på säkra sidan. Bredden 3t f av det dragande egenspänningsblocket innebär att deras inverkan överdrivs något i förhållande till den inverkan BSK föreskriver. 9

22 Finit elementmodell De geometriska initialimperfektionerna infördes i modellen genom att använda formen på den första bucklingsmoden. Storleken på maxutböjningen på bucklingsmoden valdes som livets imperfektioner från mätningarna (Tabell 3-1), flänsens imperfektioner försummades. Detta borde vara möjligt eftersom imperfektionerna valdes så pass ofördelaktigt. Material Det höghållfasta stålet Weldox 700 modellerades enligt Figur 3-4 med hjälp av dragprovsresultat från Lagerqvist [1]. Spänning / MPa Figur 3-4 E=0,5GPa E=204GPa Livet A13-A61 Livet A71-A81 Flänsar Töjning (1/1000) Bi-linjär spänning-töjningsrelation använd vid beräkningarna. Kritiska punkter från grafen kan visas i Tabell 3-2. Tabell 3-2 Spänning-töjningspunkter använda i FE-modellen. Töjning Livet A13-A61 Livet A71-A81 Flänsar 1/1000 (MPa) (MPa) (MPa) Resultat och diskussion Resultaten från beräkningarna av uppnådd bärförmåga ges i Tabell 3-1. FE - beräkningarna gav lägre bärförmågor än de fysiska försöken. Större delen av den skillnaden består i att FE -modellen modellerades med den mest ofördelaktiga initialimperfektionen. Vid användning av en annan brottmod kan resultaten ändras betydligt. Tryland [5] använde i sina beräkningar en sinusformad imperfektion och de 10

23 Finit elementmodell beräkningarna gav betydligt mindre skillnader i bärförmågan. En annan skillnad mot Tryland är att han inte modellerat egenspänningarna. Beräkningar utan egenspänningar visar enligt några testkörningar en skillnad på ca 3%. Skillnaderna är lite större vid tjockare liv. Det kan bero på att det i de fysiska försöken finns svetsar som styvar upp området under flänsen. Detta gör större utslag vid de tjockare liven eftersom brottet där sker genom flytning i ett litet område under lasten. Resultaten kan också ha påverkats av att de styvaste balkarna har ett slankhetstal (h w /t w ) under 50 och egentligen borde modelleras med solidelement enligt Tryland [11]. 11

24 Finit elementmodell 3.2 Slutgiltig modell I-balk Modell För analyserna på lokal intryckning från ett moment, modifierades modellen som beskrivits i avsnitt I Figur 3-5 visas den nya modellen som har en elementlängd på 5mm. En plåt fästes på flänsen för att föra in kraften. Plåten är fastsatt genom att fläns och plåt delar noder i infästningspunkterna och den valdes så styv att den inte påverkas av någon buckling. Plåten är alltså bara till för att föra in kraften och skapa ett lokalt moment i flänsen. Höjden på plåten valdes så att inverkan av horisontalkraften på bärförmågan blir försumbar. Randvillkoren utökades med låsning av 1-riktningen i flänsändarna. Detta gjordes efter analyser av brottlasten på några balkar med olika låsningar i 1-riktningen. Analyserna gav brottlaster med en variation på max 5%. Låsningen i vertikalriktningen sattes i flänsändarna och det elastiska underlaget togs bort. För att inte dragarplåten skulle buckla låstes 3-riktningen i två punkter. Randvillkoren visas i Figur 3-5. Vad u står för förklaras i avsnitt 3.3. Figur 3-5 Modell med randvillkor för analyser på varierad spänningsfördelning. Siffrorna visar vilka frihetsgrader som är låsta. Material Balkens material modellerades som stålet Domex 700MC. Spänning-töjningskurvan som valdes gäller för Domex 700MC med 0 graders vals-riktning (rolling direction). Stålet modellerades som linjärt isotropiskt. En anpassning gjordes till verklig spänning och töjning enligt Figur 3-6. Materialmodellen fungerar inte för mycket stora töjningar 12

25 Finit elementmodell utan skapades för att ge bra resultat fram till brott. Kurvan behövde modelleras på detta sätt för att få en snygg last-utböjningskurva. Elasticitetsmodulen valdes till 200 GPa genom en rät anpassning. Spänning / MPa Stress-strain True stress Anpassning Töjning (%) Töjning Spänning % (MPa) 0, , , , ,9 47 Figur 3-6 Spännings-töjningsrelation för Domex 700MC. Dragplåten fick en tjocklek på 30 mm och Elasticitetsmodulen var GPa. Den hade alltså en extrem styvhet och fungerade i stort sett som en stel kropp. Egenspänningar och geometrisk imperfektioner De geometriska initialimperfektionerna fördes in i modellen genom att använda formen på den första bucklingsmoden. Största storlek på imperfektionen valdes som den rekommenderade för livplåten i plåthandboken [13]. Bucklingsmodens maxutböjning blir livets höjd genom 200. Detta skapar en extremsituation med en viss inbyggd säkerhet. Egenspänningarna modellerades på samma sätt som i den tidigare beskrivna modellen (avsnitt ). Analys Beräkningarna gjordes genom att styra deformationen hos den belastade noden. Noden förflyttades i horisontalriktningen (Ett-riktningen) med ökningar som beräknades med Riks modifierade metod, vilken beskrivs i Abaqus manual [14]. Analysen gick till som följer: En egenvärdessanalys gjordes för att få fram första bucklingsformen och bucklingslasten. Egenspänningar och initialimperfektioner lades på. En statisk beräkning utan last gjordes för att låta egenspänningarna komma i jämvikt. 1-riktningen var inte låst i denna analys. Låsning av denna gav stora spänningar i flänsändarna p.g.a. att balken inte kunde längdändras. 1-Riktningen låstes i flänsändarna. Lasten lades på i form av nodförflyttningar i 1-riktningen som ökades i olika steg för att få fram en last-deformationskurva. 13

26 Finit elementmodell 3.3 Resultat och diskussion Femton testbalkar modellerades med utgångspunkt från Lagerqvists test A13p (Tabell 3-1). I detta arbete valdes två parametrar att variera, tjockleken på livplåten t w och längden på dragplåten S s. Dimensionerna på de analyserade balkarna visas i Tabell 3-3. Definitionerna på måtten visas i Figur 3-1. Måttet x (Figur 3-7) är dragplåtens höjd och eftersom den yttre kraften verkar längst upp på dragplåten så är x även avståndet mellan kraften och dragcentrum. Tabell 3-3 Resultat från FE-försök. Test h w t w b f t f S s L W x M cr M u (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (knm) (knm) O , ,5 12, , ,40 15,2 O , ,5 12, , ,4 22,0 O , ,5 12, , ,7 39,0 O , ,5 12, , ,2 O , ,5 12, , ,0 O , ,5 12, , ,80 22,4 O , ,5 12, , ,7 48,4 O , ,5 12, , ,9 O , ,5 12, , O , ,5 12, , O , ,5 12, , ,3 31,8 O , ,5 12, , ,1 69,5 O , ,5 12, , O , ,5 12, , O ,5 12, , Med resultaten från FE-beräkningarna togs kurvor över last och nedböjning fram. Nedböjningen mättes i beräkningarna i punkten u (se Figur 3-5). Brottlasten togs som den översta punkten i lastkurvan där tangenten är lika med noll. Resultaten visas i Tabell 3-3 där brottkraften räknats om till ett moment i flänsen genom att multiplicera brottlasten med avståndet x. Det kritiska momentet för brottmod ett från buklingsanalysen presenteras som M cr och brottmomentet som M u. Nedböjningskurvor för S s = 100 mm visas i Figur 3-8 och resterande kurvor ges i Appendix A där även en jämförelse mellan olika S s finns (Figur A:3). Nedböjningen definieras som u i Figur 3-7. Figur 3-7 Mått använda i beräkningarna. 14

27 Finit elementmodell Ur resultaten kan man se att för de allra slankaste balkarna blev brottmomentet större än det kritiska momentet. Det beror på att bucklingslasten beräknas för ett linjärt elastiskt material utan några initialimperfektioner. Vid analys av brottlasten finns dessutom ett överkritiskt område där det kan ske spänningsomlagringar. Genom att studera töjningsbilderna vid brottlasten för de olika balkarna konstaterades en maxtöjning på 17%, denna uppträdde på test Töjningen gick över 13% vid över 99% av brottlasten. Töjningarna är relativt små och materialmodellen borde därför fungera fram till brottlasten. Nedböjning Ss=100 mm Moment / knm ,5 1 1,5 2 2,5 3 Nedböjning / mm Figur 3-8 Nedböjningskurvor för olika livtjocklekar. Alla nedböjningskurvor utom 0102 har utpräglade toppar där man kan se brottlasten. I test 0102 togs brottlasten som den last som gäller då kurvan har minst lutning. Ytterligare något som kan ge en viss felvisning i resultaten är att de styvaste balkarna kanske hellre skulle modelleras med solidelement. I Appendix B finns bilder med Von Mises spänningen vid brott för två av balkarna. Dessa valdes ut eftersom de slanka och styva balkarna har olika form vid brottet. De slanka balkarna har en form som liknar ett brott med tre plastiska leder medan de styva ser ut att ha fyra plastiska leder. Det går också att se att flänsen inte plasticeras fullt ut i sidorna på de styvaste balkarna. 15

28 16 Finit elementmodell

29 Utveckling av beräkningsmodell 4. Utveckling av beräkningsmodell 4.1 Modell för bärförmågan vid flytning Målet med den här studien är att formulera en modell för att kunna handberäkna på bärförmågan vid lokal intryckning från ett moment. I det här avsnittet diskuteras en modell för att beräkna bärförmågan om balken inte vore påverkad av några initialkrokigheter, egenspänningar o.s.v. Metoden som använts är inspirerad av Lagerqvists avhandling [1]. För att få resultat att jämföra handberäkningsmodellen med användes FE-modellen från avsnitt 3.2 till tre försök på ganska styva balkar. I försöken valdes tjockleken på livplåten så stor att den inte bucklar och flänsen tillåts plasticeras fullständigt. Inga initialimperfektioner eller egenspänningar lades på. Höjden på livplåten, bredden på flänsen och längden på balken är lika stora som för balkarna i Tabell 3-3. I Tabell 4-1 finns balkar och resultat redovisade. Tabell 4-1 Test och jämförelse med beräkningsmodeller på tre balkar. Test t w t f S s x M u M y1 M u /M y1 M y2 M u /M y2 (mm) (mm) (mm) (mm) (kn) (knm) (knm) h ,5 76,0 0,99 84,6 1,11 h , ,08 h , ,06 I Tabell 4-1 bestäms M u med FE-modellen, M y1 med (4.8) och M y2 med (4.13). Figur 4-1 Princip för deformationerna hos flänsen vid brottlasten, observerade vid lokal intryckning från ett moment. Genom att titta på deformationsbilderna vid brott hos de analyserade balkarna kan man se att formen hos de styva är lik en brottmekanism med 4 plastiska leder. Hos de veka balkarna kan man se en annan form. Detta beror på att de veka balkarna får en mycket större buckla innan brott och livet kan därför inte hålla emot när det utsätts för ett stort tryck. I uträkningen av flytbärförmågan ska dock inte balken vara utsatt för någon buckling eftersom man reducerar bärförmågan m.a.p. slankheten i ett senare steg i beräkningarna. 17

30 Utveckling av beräkningsmodell En av deformationsbilderna från testerna enligt Tabell 4-1 visas i Figur 4-2. Figur 4-2 Deformationer i skala 1:10 för test h0210. Utifrån dessa resultat skapades en enkel brottbild, se Figur 4-3. Man antar att en balk belastas med en last från en horisontellt dragen plåt. Flänsen kommer att böjas och bete sig som en balk på elastiskt underlag. Ökas lasten så plasticeras först flänsen på sidan om plåten, sedan plasticeras flänsen en bit från plåten. Detta ger en enkel modell där ingen hänsyn tas till att livet ger något bidrag i de yttre plastiska lederna. Figur 4-3 Mekanisk modell för flythållfastheten vid lokal intryckning från ett moment. Med hjälp av denna brottbild och virtuella arbetets princip kan man härleda fram ett uttryck för bärförmågan M y vid enbart flytning. Flänsens plastiska bärförmåga är 2 f yf b f t f M pf = 4 (4.1) Inre och yttre arbetet blir A i = 2 M pf δ + 2M s pf δ y s y s s (4.2) 18

31 Utveckling av beräkningsmodell A y = 2M y δ s s f s yw t w s 2 + s y δ (4.3) Inre arbete (4.2) och yttre arbete (4.3) sätts lika och flytmomentet löses som 1 M y = 4 ( ) + f yw t w s y s s ( 2s y + s s ) 8M pf s s + s y s y (4.4) Längden s y fås genom att minimera M y med avseende på s y. Detta görs genom att derivera (4.4) med avseende på s y och sätta uttrycket lika med noll. dm ds y 0 2 s y = f yw t w f yw t w M pf (4.5) Med (4.4) och (4.5) kan flytbärförmågan beräknas M y = 2s s f yw t w M pf + 2M pf + 2 s s fyw t w 4 (4.6) Sätter vi in M pf från ekvation (4.1) i (4.6) fås 2 1 M y = s s f yw t w f yf b f t f + 2 f yf b f t f f yw t w s s 2 (4.7) Efter omskrivningar fås uttryck (4.8). Uttrycket inom parentesen är det som i Eurokod kallas för l y. 2 1 M y f yw t w s s 4 s 1 f yf b f t f f yf b f = s + + t 2 f yw s s t f w f yw t w (4.8) Vid användning av (4.8) på de tre testade balkarna fås resultat som visas i kolumn M y1 i Tabell 4-1. Momentet omvandlades till en kraft genom att dela med avståndet x, som är avståndet mellan last och överfläns. Resultat från beräkningar på 3 styva balkar finns presenterade i Tabell 4-2. De analytiskt beräknade bärförmågorna är ca 1% lägre än de från FE-beräkningen. Vid ett fysiskt försök skulle bärförmågan sannolikt bli högre eftersom svetsarna styvar upp flänsen. Detta kan ses i jämförelsen av FE-modellen i avsnitt 3.1. Det kan alltså vara motiverat att räkna med en del av livplåten i de yttre lederna. Lagerqvist gjorde detta i sina beräkningar och fick god överensstämmelse med tester. Om man tar med en del av livet kommer brottbilden istället att se ut som i Figur

32 Utveckling av beräkningsmodell Figur 4-4 Mekanisk modell för flytbärförmågan vid lokal intryckning från ett moment, där en del av livet medräknas. Om vi antar att den neutrala axeln ligger i flänsen och att k inte är så stort får vi enligt härledning av Lagerqvist [1] 2 f yf b f t f f yw t w M pt k h 4 2 w = (4.9) Lagerqvist [1] kom genom experimentresultat och beräkningar enligt Eurokod 3 Part 1 fram till att k 2 = 0,2 ger bra resultat vid patch loading. Detta värde på k borde ge bra resultat i fallet med en lokal momentbelastning också. Ekvationen för inre arbete blir A i = 2 M pt δ + 2M s pf δ y s y s s (4.10) och yttre arbete förblir oförändrat enligt (4.3) Ekvationerna (4.10) och (4.3) ger 1 M y = 4 ( ) ( ) 4M pt s s + 4M pf 2s y + s s + f yw t w s y s s 2s y + s s s y (4.11) Om (4.11) deriveras och sätts lika med noll så kan s y lösas ut. Sedan stoppas s y och de plastiska momenten från (4.1) och (4.9) in i (4.11), varefter flytbärförmågan blir f yf b f t f ss f yw t w f yw tw ss k h w M y = f yw t 2 w f yf b f t f f yw t w k h w f yf b f t f s s 2 f yw t w (4.12) Ekvation (4.12) kan skrivas om på formen 20

33 Utveckling av beräkningsmodell 2 1 M y f yw t w s s 4 s 1 f yf b f t f f yf b f s + t 2 f yw s s t f k 2 h w = + + w f yw t w t f 2 (4.13) I Tabell 4-1 i kolumnen M y2, finns resultat från beräkningar med denna metod på 3 balkar. Faktorn k valdes till roten ur 0,2. Beräkningar och härledningar gjordes med hjälp av Mathcad 13 som är ett program som klarar av symboliska beräkningar. I Tabell 4-2 visas resultat för beräkningar med de två presenterade metoderna. Balkarna är de som testades i avsnitt 3.3. Tabell 4-2 Test M y1 M y2 M u /M y1 M y2/ M y1 (knm) (knm) O102 27,0 28,0 0,56 1,04 O103 32,7 34,5 0,67 1,06 O105 42,5 46,3 0,92 1,09 O108 55,3 62,8 0,91 1,14 O112 70,8 84,0 0,92 1,19 O202 55,3 57,4 0,40 1,04 O203 70,8 74,5 0,68 1,05 O205 98, ,81 1,08 O ,96 1,11 O ,97 1,14 O302 92,1 95,1 0,35 1,03 O ,57 1,05 O ,74 1,07 O ,97 1,09 O ,98 1,11 Den senare modellen där livet medverkar i de plastiska lederna är ganska osäker eftersom handberäkningarna ger högre resultat än FE-beräkningarna, se Tabell 4-1. Dessutom ger den ett relativt litet bidrag till bärförmågan. Detta gäller i synnerhet de slankare balkarna. Därför rekommenderas att den enklare modellen används. Det är också den som används vid framtagandet av reduktionsfaktorn χ i avsnitt

34 Utveckling av beräkningsmodell 4.2 Elastiska bucklingsmomentet Det här avsnittet behandlar det elastiska bucklingsmomentet. Syftet är att presentera ett enkelt och säkert sätt att räkna fram det kritiska bucklingsmomentet bara genom att ändra lite i EK3:s formler för lokal intryckning. I EK3 räknar man ut den kritiska bucklingslasten som 3 t w F cr = 0.9 k F E h w (4.14) där k F beräknas enligt k F = h w a 2 (4.15) med mått enligt Figur 2-4. Om (4.14) görs om till ett kritiskt moment så måste det multiplicera med en längd. Ett sätt att göra detta är att tänka sig att momentet resulterar i ett kraftpar med avståndet s s, vilket ger M cr 3 t w 0.9k F E s h s w = (4.16) Med hjälp av (4.15) och (4.16) kan vi nu beräkna värden på k F, dels för lokal intryckning enligt EK3 och dels med experimentella värden. I Figur 4-5 presenteras en graf över olika k F beräknade med resultaten från tidigare balkexperiment i FEM (Tabell 3-3). I grafen presenteras också resultat från FE-beräkningar med s s = 500 mm (Tabell 4-3). Tabell 4-3 Test Bucklingsresultat. M cr (knm) O O O O

35 Utveckling av beräkningsmodell kf kf_eurocode tw=2mm tw=3mm tw=5mm tw=8mm tw=12mm s s / mm Figur 4-5 Bucklingskoefficienten k F från EK3 resp FEM som funktion av lastlängden s s för testade balkar. I Figur 4-5 ses att bucklingsfaktorn varierar både med tjockleken på livplåten och lastlängden. k F ser ut att öka vid ökande slankhet. Det är bara vara balkarna med låg slankhet som fått en lägre bucklingsfaktor än den i EK3. Eftersom de mindre slanka balkarna påverkas väldigt lite av buckling så antas att (4.15) ger säkra resultat på bucklingsfaktorn och därmed också det kritiska bucklingsmomentet, som beräknas med (4.16). 4.3 Bärförmågefunktionen Det sista som behövs för att ta reda på bärförmågan är en reduktionsfaktor som sänker bärförmågan m.a.p. egenspänningar, imperfektioner och buckling. I EN betecknas denna med χ, vilken är en funktion av λ. I detta avsnitt tas en funktion för χ fram. Bärförmågan för en balk som belastas av ett lokalt moment beräknas enligt M R = M y χλ ( ) (4.17) där slankheten definieras som 23

36 Utveckling av beräkningsmodell λ = M y M cr (4.18) Med hjälp resultat från Tabell 4-2 och Tabell 3-3 kan slankhetsvärden för de olika testade balkarna beräknas enligt (4.18). Här är M cr beräknad med (4.16) och M y är resultat från beräkningar med den analytiska modellen där bara flänsarna medverkar d.v.s. (4.8). I Figur 4-6 finns resultaten samt några χ-funktioner utritade. X-axeln representerar olika slankhetsvärden medan y-axeln visar reduktionsfaktorn. Punkterna kallade Experiment är resultat ifrån FEM-beräkningarna plottade mot λ. Kurvan 0,5/λ är från EN , Lagerqvists kurva är en funktion enligt (2.6). Den sista kurvan visar ett förslag på χ-funktion för lokal intryckning orsakat av ett moment, se (4.19) Mu/My 2 1,8 Experiment 1,6 Anpassning 1,4 Lagerqvist 1,2 0.5/ l 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 λ Figur 4-6 Resultat från experiment och några c-funktioner 0.5 ( λ) = λ χ (4.19) Den föreslagna χ-funktionen (4.19) togs fram genom en enkel modifiering av förslaget för lokal intryckning i EN Vi kan se att formeln överskattar bärförmågan för de minsta slanka balkarna. Så blir troligen inte resultaten vid ett fysiskt test eftersom svetsen ökar bärförmågan en del. Funktionen valdes för sin enkelhet. Det finns inte heller tillräckligt med resultat för att det ska vara möjligt att göra någon noggrann anpassning. 24

37 Utveckling av beräkningsmodell 4.5 Förslag på Beräkningsmodell och diskussion Den föreslagna beräkningsmodellen för lokal intryckning orsakat av ett moment är utformad för att efterlikna den i EN Detta skulle kunna bli ett tillägg till EN efter verifiering mot fysiska tester. Det ska observeras att dessa formler är framtagna med hjälp av en begränsad parameterstudie med FEM samt analytiska studier. Beräkningsmodellen nedan har samma beräkningsgång som kap 6 i EN Alla referenser till Eurokod nedan syftar på det kapitlet. Den dimensionerande bärförmågan beräknas som M Rd f yw L eff t w s s γ M1 = (4.20) Bärförmågan F Rd multipliceras med längden på lastplattan s s för att få ett moment. Den effektiva längden definieras som L eff = χ F l y (4.21) där l y beräknas som 2 1 l y 4 s 1 f yf b f t f f yf b f s + + t 2 f yw s s t f w f yw t w = (4.22) vilket är ett resultat av den brottmekaniska modellen enligt Figur 4-3. I ekvation (4.22) skulle man även kunna utnyttja konstanten m 1 som används i Eurokod. m 1 f yf b f = (4.23) f yw t w Då blir ekvationen för l y istället 2 1 m 1 t f l y 4 s s + + t 2 s f m 1 s = (4.24) Med hjälp av l y kan reduktionsfaktorn χ F beräknas. Denna faktor har fått ett tillägg för detta belastningsfall, d.v.s. ökats med 0,1 till 0.5 χ F = λ F (4.25) 25

38 Utveckling av beräkningsmodell där λ F definieras som λ F l y t w f yw s s = (4.26) M cr M cr beräknas som M cr 3 t w 0.9k F E s h s w = (4.27) där den kritiska bucklingsfaktorn k F är samma som i Eurokod, fall a k F = h w a 2 (4.28) En jämförelse mellan resultat från beräkningsmodellen och FE-beräkningarna visas i Figur 4-7. Där ses att det finns ganska stora säkerhetsmarginaler hos de slanka balkarna. De styva visar dock på en bärförmåga som är lägre enligt FEM än med beräkningsmodellen. Detta skulle antagligen inte vara fallet vid ett fysiskt test eftersom svetsen ger en del extra material i det kritiska området. I Figur 4-8 visas en jämförelse mellan resultat från beräkningar med k F från FEM resp. föreslagen beräkningsmodell. Det är bara en av balkarna som ger högre bärförmåga med kritiska moment enligt beräkningsmodellen ovan än med kritiska moment från FE-beräkningarna. 2,0 1,8 1,6 Ss=100 Ss=200 Ss=300 1,4 Mu/MR 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 λ Figur 4-7 M u /M R som funktion av λ för 12 FE-beräkningar. 26

39 Utveckling av beräkningsmodell MR FEM/ MR 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 Ss=100 Ss=200 Ss=300 0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 λ Figur 4-8 Jämförelse mellan resultat från beräkningar med kritiska moment från FEM, resp. föreslagen beräkningsmodell. 2 1,8 1,6 Ss=100 SS=200 Ss=300 1,4 Mu/MR 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 λ Figur 4-9 M u /M R som funktion av λ för 12 FE-beräkningar vid användande av kritiska moment från FEM. 27

40 28 Utveckling av beräkningsmodell

41 Slutsatser och diskussion 5. Slutsatser och diskussion I denna studie har en analytisk beräkningsmodell utvecklats och verifierats mot beräkningar med FEM. FE-modellen gav godtagbara resultat vid jämförelser med fysiska experiment, i alla fall för de slanka balkarna. För de mindre slanka balkarna underskattades bärförmågan lite väl mycket. Utifrån resultaten byggdes en beräkningsmodell upp i tre delar, flytbärförmågan, kritiska momentet, och reduktionsfaktorn. Modellen för flytbärförmågan byggdes upp med en ganska enkel analytisk modell och skulle mycket väl kunna förbättras en del för att höja bärförmågan. Det går t.ex. att ta vara på tillskottet från livet. För styva balkar skulle man istället kunna sänka bärförmågan en aning genom att begränsa medverkande flänsbredd. Modellen för det kritiska momentet underskattar bärförmågan, framförallt för låga värden på belastningsplåtens längd. Det skulle vara bra med en modell där bucklingskoefficienten är beroende av belastningsplåtens längd. Det finns alltså en del att förbättra. Det föreslagna beräkningspaketet ger resultat på säkra sidan för de slanka balkarna, kanske lite väl stor säkerhet. Styrkan ligger i enkelheten och att formlerna är användbara tillsammans med EK3. Den här studien behandlar bara bärförmågan från momentdelen av lasten. I verkligheten uppkommer detta lastfall oftast vid ex. en lastögla. Den utformas så att lasten angriper så nära balken som möjligt. Därför uppkommer nästan alltid en stor horisontalkraft, det blir alltså en normalkraft i balkens fläns. Som nästa steg i utvecklingen av en beräkningsmodell bör det göras tester på interaktionen mellan normalkraften och momentet. Förslagsvis undersöks om någon av de befintliga interaktionsformlerna i EK3 kan utgöra en bra utgångspunkt. Slutligen bör det göras fysiska experiment för att verifiera och komplettera beräkningsmodellen. 29

42 30 Slutsatser och diskussion

43 Referenser 6. Referenser [1] Lagerqvist O., Patch loading-resistance of steel girders subjected to concentrated forces. PhD thesis, Division of steel Structures, Luleå University of Technology, 1994:159D, January 1995 [2] Selén E., Resistance of stainless steel girders subjected to concentrated forces, Masters thesis, Division of steel Structures, Luleå University of Technology, 1998:283 CIV, October 1998 [3] Unosson E., Resistance of stainless steel girders, Experiments and finite analyses, Licentiate thesis, Division of steel Structures, Luleå University of Technology, 2003:12, February 2003 [4] Arvidsson A., Gustavsson W. Stålbalkar med kocentrerad last- icke linjär finit elementanalys av I-balkar, Master thesis, Division of steel and timber structures, Chalmers University of Technology, S 96:7, 1996 [5] Tryland T., Hopperstad O.S., Langseth M., Steel girders subjected to concentrated loading-validation of numerical simulations, Journal of constructional steel research, Volume 50, Number 2, May 1999, pp [6] Rockey K.C., Bagchi. D.K, Buckling of plate girder webs under partial edge loadings. International Journal of Mechanical Sciences, Vol. 12, 1970, pp [7] Eurokod 3: Design of steel structures, Part 1.5: Plated structural elements, EN :2006, 4 December [8] Boverkets handbook om stålkonstruktioner BSK 99. [9] Clarin M, High Strength Steel Local buckling and residual stresses, Licentiate thesis, Division of steel Structures, Luleå University of Technology, 2004:54, November 2004 [10] Eurokod 3: Design of steel structures, Part 1.8: Design of steel structures, pren :2002, 30 April [11] Tryland T., Aluminium and steel beams under concentrated loading, Norwegian University of Science and Technology, Department of Structural Engineering 1999:30, Trondheim,

44 Referenser [12] Bergfelt A., Patch loading on a slender web influence of horizontal and vertical stiffeners on the load carrying capacity, Chalmers University of Technology, Dept. of Structural Engineering, Div. of Steel and Timber Structures, publ. S79:1, Göteborg 1979 [13] Plåthandboken utgåva VII, SSAB Tunnplåt [14] Abaqus Analysis user s manual, Abaqus version 6.6 [15] Robert, T.M., Rockey, K.C., Methode pour predire la charge de ruine d une poutre a ame mince soumise a une charge semi-repartie dans le plan de l ame, Construction Metallique, No. 3, 1978, pp [16] Roberts, T.M., Slender plate girders subjected to edge loading, Proc. Instn Civ.Engrs, Part 2, Vol. 71, Sept., 1981, pp

45 Appendix A Appendix A Nedböjning Ss=200 mm Moment / knm ,5 1 1,5 2 2,5 3 Nedböjning / mm Figur A:1 Nedböjningskurvor för balkar i olika tjocklekar med s s = 200mm. Nedböjning Ss=300 mm Moment / knm ,5 1 1,5 2 2,5 3 Nedböjning / mm 0312 Figur A:2 Nedböjningskurvor för balkar i olika tjocklekar med s s = 300 mm. 33

46 Appendix A Nedböjning tw=8mm Moment / knm ,5 1 1,5 2 2,5 3 Nedböjning / mm Figur A:3 Nedböjningskurvor för balkar med livtjockleken 8 mm och olika lastlängd s s. 34

47 Appendix B Appendix B Figur B:1 Von-Mises spänningar vid brott i test 0103, lastplåten visas inte Figur B:2 Von-Mises spänningar vid brott i test 0212, lastplåten visas inte 35