Lite extra material för deltagarna i kursen MAB 5.1
|
|
- Torbjörn Eklund
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Lite extra material för deltagarna i kursen MAB 5.1 Detta material ska endast ses som ett stöd till provförberedelserna och inte som en fullständig sammanfattning av kursen. Hela kursens innehåll repeteras noggrant på sidorna i boken. Arbeta dig gärna igenom det materialet också. Sannolikhet Sannolikheten för någon händelse A är P(A)= antalet gynnsamma utfall för A totala antalet utfall Exempel: En tärning kastas. Vilken är sannolikheten för att ögontalet är mindre än 5? Svar: P ögontalet mindre än 5 = 4 6 0,67 Förklaring: Händelsen är ögontalet mindre än 5 De gynnsamma utfallen för händelsen är ögontalen {1,2,3,4} (4 st) Alla utfall, dvs alla ögontal är {1,2,3,4,5,6} (6 st) Uppgift Vilken är sannolikheten för att en person född år 1991 är född a) i februari? b) den sista dagen av en månad? Svar: a) P född i februari år 1991 = ,077 b) P född sista dagen av en månad år 1991 = ,033 Förklaring: a)-fallet händelsen är född i februari år 1991 gynnsamma utfall är dagarna i februari (28 st) totala antalet utfall är alla dagar år 1991 (365 st) Förklaring: b)-fallet händelsen är född sista dagen av en månad år 1991 gynnsamma utfall är antalet sådana dagar (12 st) totala antalet utfall är alla dagar år 1991 (365 st)
2 Experimentell sannolikheten Med experimentell sannolikhet avser man sannolikheter som man härleder från insamlad information. Den experimentella sannolikheten är inte nödvändigtvis exakt samma som den verkliga sannolikheten, men om materialet är stort kommer den att ligga mycket nära den verkliga. Exempel: Tabellen nedan visar antalet förlossningar och tvillingfödslar i Finland år 2003 Förlossningar Tvillingfödslar Den experimentella sannolikheten för tvillingfödsel blir nu den relativa andelen av tvillingfödslar, alltså P tvillingfödsel = ,014 Exempel Tusen glödlampors livstid har testats och resultatet är följande: Funktionstid (h) Antal lampor Med vilken sannolikhet lyser en lampa som redan fungerat i 2000 timmar, ytterligare 2000 timmar? Lösning: Enligt tabellen slocknade = 741 lampor inom 2000 timmar. Alltså lyste =259 lampor ännu efter 2000 timmar. Enligt tabellen slocknade =229 i tidsintervallet timmar. Alltså lyste ännu =30 lampor efter 4000 timmar. Svaret blir således P lampa som lyst 2000 h lyser ytterligare 2000 h = ,12
3 Tärningskast med två tärningar Uppgift: Vi kastar två tärningar, en röd en blå. Vad är sannolikheten att ögontalens summa blir 5? Beteckning: I detta sammanhang är ett utfall ögontalen av tärningarna vid ett kast. Om till exempel den blå tärningen blir en fyra och den röda en etta kan utfallet nedtecknas som (4,1). =(4,1) Lösning med hjälp av definitionen för sannolikhet: Sammanlagt finns det 36 möjliga utfall: {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1), (1,2), (2,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2), (1,3), (2,3), (3,3), (4,3), (5,3), (6,3), (1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (5,4), (6,4), (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5), (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6)} Gynnsamma utfall är {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}. Dessa är fyra till antalet. Svaret blir: P ögontalens summa 5 = ,11 Snabbare lösningsmetod: Vi ritar upp följande koordinatsystem och ringar in de punkter för vilka koordinaternas summa är 5: Vi ser av bilden att det finns fyra punkter i området. Svaret blir således P ögontalens summa 5 = ,11
4 Multiplikationsregeln Om A och B är oberoende händelser har vi att P A och B =P A P B Exempel: 51,2 av nyfödda barn är pojkar. Med vilken sannolikhet är alla fyra barn i en familj pojkar? Lösning: Vi gör beteckningar för händelser: A 1 = första är pojke A 2 = andra är pojke A 3 = tredje är pojke A 4 = fjärde är pojke P(alla är pojkar) = P(A 1 och A 2 och A 3 och A 4 ) = P(A 1 ). P(A 2 ). P(A 3 ). P(A 4 ) = 0,512. 0,512. 0,512. 0,512 0,69 Multiplikationsregeln, händelser som inte är oberoende P A och B =P A P B händer förutsatt att A redan ägt rum. Exempel: Vad är sannolikheten att dra tre hjärter ur en kortpacke? Lösning: ,013 Komplementhändelse Om A är någon händelse, så är dess komplementhändelse A = "A händer inte". Sannolikheternas samband är P A =1 P A. Typisk användning av komplementhändelse: 5% är vänsterhänta. Med vilken sannolikhet finns det åtminstone en vänsterhänt i en grupp på 20 elever? Kommentar: Händelsen åtminstone en vänsterhänt är svår att räkna ut direkt, för då skulle man bli tvungen att separat beräkna sannolikheterna att exakt en är vänsterhänt, exakt två är vänsterhänta, exakt tre är vänsterhänta etc. Komplementhändelsen till åtminstone en är vänsterhänt är händelsen ingen är vänsterhänt och den är lättare att räkna ut. Lösning: Sannolikheten att en person inte är vänsterhänt är 0,95. Sannolikheten att ingen av de tjugo eleverna är vänsterhänta blir därför enligt multiplikationsregeln lika med 0, Således får vi att P åtminstone en vänsterhänt =1 0, ,64
5 Additionsregeln Om A och B är uteslutande händelser så gäller det att P(A eller B)=P(A)+P(A). Additionsregeln använd ofta is samband med multiplikationsregeln, vilket vi ser i följande exempel. Uppgift: En fotbollsmålvakt räddar 13% av motståndarens straffsparkar. Med vilken sannolikhet lyckas han rädda exakt en av fem straffar? Lösning: Vi gör följande beteckningar: A 1 = han räddar första straffen, släpper in resten A 2 = han räddar andra straffen, släpper in resten A 3 = han räddar tredje straffen, släpper in resten A 4 = han räddar fjärde straffen, släpper in resten A 5 = han räddar femte straffen, släpper in resten Vi ser m.h.a. multiplikationsregeln att P( A 1 )=0,13. 0,87. 0,87. 0,87. 0,87=0,13. 0,87 4 och också att P( A 2 )=0,87. 0,13. 0,87. 0,87. 0,87= 0,13. 0,87 4 etc. Alltså har vi att P räddar exakt en straff = P A 1 ellera 2 ellera 3 ellera 4 ellera 5 =P A 1 P A 2 P A 3 P A 4 P A 5 Produktprincipen och permutationer = 0,13 0,87 4 0,13 0,87 4 0,13 0,87 4 0,13 0,87 4 0,13 0,87 4 = 5 0,13 0,87 4 0,37 Produktprincipen: Om du gör flera val efter varandra, blir det totala antalet kombinationer produkten av valmöjligheterna vid de olika valen. Mera konkret: Anta att du att du går till en kebabrestaurang där du kan göra följande val: 1) Kebab eller falafel 2) Stark eller svag chilisås 3) Franskisar, ris eller pitabröd. Hur många olika sorters måltid kan du få? Lösning: Vid val 1) har du 2 alternativ. Vid val 2) har du 3 alternativ Vid val 3) har du 2 alternativ. Det finns alltså sammanlagt =12 olika sorters måltid.
6 Permutationer: Anta att vi har fyra objekt som kan arrangeras i en ordningsföljd. Varje sådan ordningsföljd är en permutation. En sak som man ofta behöver veta är hur många permutationer en mängd har. Hur många permutationer har dessa fyra objekt då? val av första objekt val av andra objekt val av tredje objekt val av fjärde objekt 4 möjligheter 3 möjligheter 2 möjligheter 1 möjlighet Enligt produktprincipen finns det således =24 permutationer. Man kan alltså arrangera dem i 24 olika ordningsföljder. Man betecknar 4!= Uppgift: Efter en fest väljer alla fem gäster på måfå en hatt på hatthyllan. Med vilken sannolikhet får alla sin egen hat? Lösning: Det finns 5!= =120 olika sätt att placera fem hattar på fem herrar. Ett av dessa är det rätta. Alltså blir sannolikheten P alla får sin egen hatt = ,0083 Antalet delmängder En mängd med n element har n n n 1 n 2 n k 1 k = k! stycken delmängder med k element. Uttryck av typen n k kallas binomialkoefficienter. Man räknar ut värdet på dem med räknemaskinen m.h.a. ncr-knappen. Uppgift: Beräkna 8 5. Lösning: = = =56. På räknemaskin: knappra in 8 ncr 5
7 Uppgift: Anta att vi har 27 elever i en högstadieklass. På hur många sätt kan man av eleverna bilda ett sexpersoners innebandylag? Ett sådant lag väljs med lottning. Vilken är sannolikheten att klassens bästa spelare Jenny och Johan båda kommer med i laget? Lösning: Det finns 27 6 = olika sätt att välja laget. Då vi räknar sannolikheten att Jenny och Johan kommer med finns det således totalt 27 6 utfall. Om Johan och Jenny väljs finns det 25 4 gynnsamma utfall. Således får vi att P(Johan och Jenny med) = ,043 sätt att välja de övriga fyra spelarna. Detta är antalet
8 Repetitionsmaterial för MAB 5.1, statistikdelen De cetrala centrala delalarna i kursens andra del är följande: diagram, frekvenstabeller, lägesmått (medeltal, modus, median), kumulativa fördelningar, standardavvikelse och normalfördelningen. Exempel: Vi åskådliggör statistiskt material över dagstidningsprenumeratiooner Andel hushåll % HBL och HS 4 Endast HBL 2 Endast HS 65 Andra tidningar 10 Ingen tidning 19 Som stapeldiagram: Andel hushåll % Andel hushåll % HBL och HS Endast HBL Endast HS Andra tidningar Ingen tidning
9 Materialet kan också framställas dom ett cirkeldiagram: Andel hushåll % Ingen tidning 19 % Andra tidningar 10 % HBL och HS 4 % Endast HBL 2 % Endast HS 65 % HBL och HS Endast HBL Endast HS Andra tidningar Ingen tidning När man rita vinklar med penna och papper måste man räkna ut sektorernas vinklar så att de motsvarar förhållandena de representerar: Andel hushåll % Sektorvinkel HBL och HS 4 0,04*360º=14,4º Endast HBL 2 0,02*360º=7,2º Endast HS 65 0,65*360º=234º Andra tidningar 10 0,10*360º=36º Ingen tidning 19 0,19*360º=68,4º Frekvenstabell, medelvärde, typvärde och median Statistiskt material presenteras ofta i en frekvenstabell. Exempel: En nybörjarkurs i judo för under åringar har 21 deltagare. Nedan är en tabell över frekvensen av olika åldrar Ålder frekvens Modus (typvärde) är det vanligaste värdet, dvs värdet med den högsta relativa frekvensen, i detta fall 16. Medianen är det mittersta värdet (se en definition på sida 107 i boken). Tabellen visar att det finns 9st adertonåringar, 4st sjuttonåringar och 6st sextonåringar. Om vi arrangerar alla deltagares åldrar i en storleksordning skulle den se ut såhär: 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18 Det mittersta talet är 17 (det finns lika många som är större eller lika som det finns åldrar som är mindre eller lika).
10 Medianen kan också läsas ur tabellen. Sammanlagt finns det 21 deltagare. Hälften av 21 är 10,5. Vi räknar ihop klasser tills vi kommer till detta värde: 4) I klassen adertonåringar finns 8 (detta överskrider inte 10,5) 5) I klasserna adertonåringar och sjuttonåringar finns 8+4=12. Detta överstiger 10,5. 6) Alltså är 17 medianen. Medeltalet räknar vi ut enligt följande: ,0. 21 Klassindelning Det är ofta naturligt att presentera statistiskt material i klassindelningar. Tänk er t.ex. att man har fört statistik över inkomster på tusentals individer och vill presentera materialet i en begriplig form. Då lönar det sig inte att berätta exakt vad varje individ har tjänat, utan man man delar in individerna i olika inkomstklasser. Exemplet med elevers bostadsytor: En enkät ger följande resultat: 45, 51, 74, 71, 32, 102, 78, 89, 95, 88, 80, 74, 81, 77, 89, 105, 90, 108, 125, 58, 59, 85, 87, 70, 66, 65, 80, 74, 69, 46, 67, 74, 67, 54, 54, 76, 77, 37, 78, 68, 64, 87, 82, 85, 63, 59, 60, 71, 62, 63, 100 Vi gör en klassindelad frekvenstabell: Area (m²) Frekvens Klassmitterna blir: =40, =60,etc. Alltså får vi att Area (m²) Klassmitt (m²) Frekvens
11 Vi räknar ut ett medeltal m.h.a. klassmitterna: Detta medelvärde är inte alldeles exakt eftersom man antar att alla värden som faller inom en klass är samma som klassmitten. Det verkliga medeltalet skulle man kunna räkna ut i vanlig ordning genom att utgå direkt ifrån svaren i enkäten. Om man däremot endast har tillgång till en klassindelad frekvenstabell räknar man ut medelvärdet som ovan. Kumulativa fördelningar Nedan har vi Finlands åldersfördelning år 1850 Ålder % , , , , , ,0 90-0,0
12 Av tabellen ovan kan vi bilda en kumulativ tabell: Ålder % under 5 13,9 under 15 34,5 (=13,9 + 20,6) under 25 52,2 (=34,5+17,7) under 45 79,3 under 65 95,6 under 75 99,0 under Nu kan vi göra ett kumulativt diagram genom att låta pricka in datapunkterna i tabellen till höger i ett koordinatsysten och anpassa en kurva till den. Ålder blir x-axeln och % blir y-axeln. Kumulativt diagram: Nu kan vi t.ex. läsa ut att medianåldern år 1850 var ungefär 24 år: Normerade värdet
13 Standardavvikelse och normerade värden Power pointen från lektionen:
14
15 Normalfördelningen Många statistiska variabler har en fördelning som påminner om normalfördelningen. Längd, vitsord, mätfel, nyföddas vikt, etc fördelas ungefär enligt normalfördelningen. Om vi lär oss förstå normalfördelningen kan vi tillämpa den i många situationer. Bilden nedanför visar fördelningen av en variabel som är normalfördelad och har medelvärde noll och standardavvikelse 1. I praktiken har de flesta variabler vi undersöker inte medeltal 0 och standardavvikelse 1. Däremot kommer deras normerade värden att vara det (se förra sidan för normerade värden). Exempel: Anta att den den stokastiska variabeln X är normalfördelad med medeltal 20 och standardavvikelse 5. Vad är sannolikheten att X är mellan 15 och 25? Lösning: De normerade värdena fär 15 och 25 är (15-20)/5=-1 respektive (25-20)/5=1. Nu visar tabellen ovan att sannolikheterna mellan -1 och 1 adderas till 15+19,1+19,1+15=68,2. Svar: 68,2%. Kommentar: I exemplet ovan skulle X i en vanlig uppgift vara något konkret, till exempel vikten på Schäferhundar eller liknande.
16 Normalfördelningen med tabeller Tabellen i förra avsnittet visar sannolikheter där vi behandlar multiplar av hälften av en standardavvikelse (axelns värden på-1, -0,5, 0, 0,5, 1, 1,5,...). Vi kan med hjälp av tabellen lösa uppgifter där de normerade värdena inte råkar vara just sådana tal. Exempel: Anta att Schäferhundarnas vikt är normalfärdelad med medelvikt på 20 kg och standardavvikelse på 4 kg. Vad är sannolikheten att en Schäfer väger under 23 kg? Lösning: Vi räknar ut det normerade värdet för 23: (23-20)/4=0,75. Tabellvärdet för 0,75 är 7734, dvs 0,75 =7734. Svar: 77,34% 73% av schäfrarna är under 23 kg. Förklaring: 77,34% 0,75
17 Exempel: Medeltalet på längden av kvinnor i åldern 20 är 165 cm och standardavvikelsen är 6 cm. Vad är sannolikheten att en godtycklig kvinna i den ålder är längre än 158 cm? Lösning: Normerade värdet för 158 är ( )/6-1,17. Tabellvärdet för -1,17 finns inte. Men tabellvärdet för 1,17 är 1,17 =8790. Svar: 87,90% Förklaring: Detta är den sökta sannolikheten! -1,17 De vita områdena är lika stora pga symmetri! 87,90% 1,17
MATEMATIK ARBETSOMRÅDET LIKABEHANDLING Kränkande handlingar, nätmobbning, rasism och genus
MATEMATIK ARBETSOMRÅDET LIKABEHANDLING Kränkande handlingar, nätmobbning, rasism och genus STATISTIK/DIAGRAM VAD ÄR STATISTIK? En titt på youtube http://www.youtube.com/watch?v=7civnkawope Statistik omfattar
Läs merStatistik 1 för biologer, logopeder och psykologer
Innehåll 1 2 Diskreta observationer Kontinuerliga observationer 3 Centralmått Spridningsmått Innehåll 1 2 Diskreta observationer Kontinuerliga observationer 3 Centralmått Spridningsmått Vad är statistik?
Läs mer2 Dataanalys och beskrivande statistik
2 Dataanalys och beskrivande statistik Vad är data, och vad är statistik? Data är en samling fakta ur vilken man kan erhålla information. Statistik är vetenskapen (vissa skulle kalla det konst) om att
Läs merEn typisk medianmorot
Karin Landtblom En typisk medianmorot I artikeln Läget? Tja det beror på variablerna! i Nämnaren 1:1 beskrivs en del av problematiken kring lägesmått och variabler med några vanliga missförstånd som lätt
Läs mer13.1 Matematisk statistik
13.1 Matematisk statistik 13.1.1 Grundläggande begrepp I den här föreläsningen kommer vi att definiera och exemplifiera ett antal begrepp som sedan kommer att följa oss genom hela kursen. Det är därför
Läs merVidare får vi S 10 = 8,0 10 4 = 76, Och då är 76
Ellips Sannolikhet och statistik lösningar till övningsprov sid. 38 Övningsprov.. i) P(:a äss och :a äss och 3:e äss och 4:e äss ) P(:a äss) P(:a äss :a äss) P(3:e äss :a och :a äss) antal P(4:a äss :a
Läs merF9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT
Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion
Läs merSammanfattningar Matematikboken X
Sammanfattningar Matematikboken X KAPITEL 1 TAL OCH RÄKNING Naturliga tal Med naturliga tal menas talen 0, 1,,, Jämna tal 0,,, 6, 8 Udda tal 1,,, 7 Tallinje Koordinater En tallinje kan t ex användas för
Läs merLektionsanteckningar 2: Matematikrepetition, tabeller och diagram
Lektionsanteckningar 2: Matematikrepetition, tabeller och diagram 2.1 Grundläggande matematik 2.1.1 Potensfunktioner xmxn xm n x x x x 3 4 34 7 x x m n x mn x x 4 3 x4 3 x1 x x n 1 x n x 3 1 x 3 x0 1 1
Läs merTypvärde. Mest frekventa värdet Används framförallt vid nominalskala Ex: typvärdet. Kemi 250. Ekon 570. Psyk 120. Mate 195.
Lägesmått Det kan ibland räcka med ett lägesmått för att beskriva datamaterial Lägesmåttet kan vara bra att använda då olika datamaterial skall jämföras Vilket lägesmått som skall användas: Typvärde Median
Läs merStatistik. Det finns tre sorters lögner: lögn, förbannad lögn och statistik
Statistik Statistik betyder ungefär sifferkunskap om staten Statistik är en gren inom tillämpad matematik som sysslar med insamling, utvärdering, analys och presentation av data eller information. Verkligheten
Läs merBeskrivande statistik
Beskrivande statistik Sorina Barza Department of Mathematics, Karlstad University, Sweden October 5, 2010 Vad är beskrivande statistik? Sammanställning av statistiska material Vad är beskrivande statistik?
Läs merBeskrivande statistik
Beskrivande statistik Tabellen ovan visar antalet allvarliga olyckor på en vägsträcka under 15 år. år Antal olyckor 1995 36 1996 20 1997 18 1998 26 1999 30 2000 20 2001 30 2002 27 2003 19 2004 24 2005
Läs mer1.1 Diskret (Sannolikhets-)fördelning
Föreläsning III. Diskret (Sannolikhets-)fördelning Med diskret menas i matematik, att något antar ett ändligt antal värden eller uppräkneligt oändligt med värden e.vis {, 2, 3,...}. Med fördelning menas
Läs merF4 Beskrivning av ett datamaterial. Val av diagram, lägesmått och spridningsmått.
Tabellering av kvalitativ variabel En variabel varierar över ett antal kategorier. F4 Beskrivning av ett datamaterial. Val av diagram, lägesmått och spridningsmått. T ex, individer är kvinnor eller män.
Läs mer1 Föreläsning I, Mängdlära och elementär sannolikhetsteori,
1 Föreläsning I, Mängdlära och elementär sannolikhetsteori, LMA201, LMA521 1.1 Mängd (Kapitel 1) En (oordnad) mängd A är en uppsättning av element. En sådan mängd kan innehålla ändligt eller oändlligt
Läs merVarje deluppgift ger 1 poäng. Det är även utskrivet vilken förmåga du kan visa på varje uppgift. Till exempel betyder EB, begreppsförmåga på E-nivå.
Övningsuppgifter statistik Varje deluppgift ger 1 poäng. Det är även utskrivet vilken förmåga du kan visa på varje uppgift. Till exempel betyder EB, begreppsförmåga på E-nivå. Hjälpmedel: papper och penna.
Läs merStatistik 1 för biologer, logopeder och psykologer
Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data
Läs merREPETITION 3 A. en femma eller en sexa?
REPETITION 3 A 1 Du kastar en vanlig tärning en gång. Hur stor är sannolikheten att du får en femma eller en sexa? 2 Eleverna i klass 8C fick ge betyg på en bok som de hade läst. Diagrammet visar resultatet.
Läs merÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 2
ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 2 DATAMATRISEN 1. Datamatrisen nedan visar ett utdrag av ett datamaterial för USA:s 50 stater. Stat Befolkningsmängd Inkomst Marijuana Procent män (miljoner) per person lagligt?
Läs merNpMa2b vt Kravgränser
Kravgränser Provet består av ett muntligt delprov (Del A) och tre skriftliga delprov (Del B, Del C och Del D). Tillsammans kan de ge 67 poäng varav 26 E-, 24 C- och 17 A-poäng. Observera att kravgränserna
Läs merFöreläsning 1. 732G60 Statistiska metoder
Föreläsning 1 Statistiska metoder 1 Kursens uppbyggnad o 10 föreläsningar Teori blandas med exempel Läggs ut några dagar innan på kurshemsidan o 5 räknestugor Tillfälle för individuella frågor Viktigt
Läs mer6-2 Medelvärde och median. Namn:
6-2 Medelvärde och median. Namn: Inledning Du har nu lärt dig en hel del om datainsamling och presentation av data i olika sorters diagram. I det här kapitlet skall du studera hur man kan karaktärisera
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Kontinuerliga fördelningar Uwe Menzel, 8 www.matstat.de Begrepp fördelning Hur beter sig en variabel slumpmässigt? En slumpvariabel (s.v.) har en viss fördelning, d.v.s.
Läs merÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 2
ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 2 DATAMATRISEN 1. Datamatrisen nedan visar ett utdrag av ett datamaterial för USA:s 50 stater. Stat Befolkningsmängd Inkomst Marijuana Procent män (miljoner) per person lagligt?
Läs merFöreläsning 1: Introduktion
Föreläsning 1: Introduktion Matematisk statistik Chalmers University of Technology Mars 23, 2015 Lärare och kurslitteratur : Rum: E-mail: Anders Hildeman: Rum: E-mail: Kursansvarig och föreläsare H3018
Läs merExempel: Väljarbarometern. Föreläsning 1: Introduktion. Om Väljarbarometern. Statistikens uppgift
Exempel: Väljarbarometern Föreläsning 1: Introduktion Matematisk statistik Det som typiskt karakteriserar ett statistiskt problem är att vi har en stor grupp (population) som vi vill analysera. Vi kan
Läs merPLANERING MATEMATIK - ÅK 8. Bok: Y (fjärde upplagan) Kapitel : 5 Ekvationer Kapitel : 6 Sannolikhet och statistik. Elevens namn: Datum för prov
PLANERING MATEMATIK - ÅK 8 Bok: Y (fjärde upplagan) Kapitel : 5 Ekvationer Kapitel : 6 Sannolikhet och statistik Elevens namn: markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor ETT ETT TVÅ TVÅ
Läs mer732G01/732G40 Grundläggande statistik (7.5hp)
732G01/732G40 Grundläggande statistik (7.5hp) 2 Grundläggande statistik, 7.5 hp Mål: Kursens mål är att den studerande ska tillägna sig en översikt över centrala begrepp och betraktelsesätt inom statistik.
Läs merSTA101, Statistik och kvantitativa undersökningar, A 15 p Vårterminen 2017
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för ekonomi, samhälle och teknik STA101, Statistik och kvantitativa undersökningar, A 15 p Vårterminen 2017 Räknestuga 2 Förberedelser: Lyssna på föreläsningarna F4, F5 och
Läs merÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 9
ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 9 STOKASTISKA VARIABLER 1. Ange om följande stokastiska variabler är diskreta eller kontinuerliga: a. X = En slumpmässigt utvald person ur populationen är arbetslös, där x antar
Läs merLektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen
Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet
Läs merSTA101, Statistik och kvantitativa undersökningar, A 15 p Vårterminen 2017
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för ekonomi, samhälle och teknik STA101, Statistik och kvantitativa undersökningar, A 15 p Vårterminen 2017 Räknestuga 2 Förberedelser: Lyssna på föreläsningarna F4, F5 och
Läs merFöreläsning G70 Statistik A
Föreläsning 1 732G70 Statistik A 1 Population och stickprov Population = den samling enheter (exempelvis individer) som vi vill dra slutsatser om. Populationen definieras på logisk väg med utgångspunkt
Läs merFöreläsning 1: Introduktion
Föreläsning 1: Introduktion Matematisk statistik Chalmers University of Technology August 29, 2016 Lärare : Rum: E-mail: Anders Hildeman: Rum: E-mail: Sandra Eriksson Barman: Rum: E-mail: Kursansvarig
Läs mer1 Mätdata och statistik
Matematikcentrum Matematik NF Mätdata och statistik Betrakta frågeställningen Hur mycket väger en nyfödd bebis?. Frågan verkar naturlig, men samtidigt mycket svår att besvara. För att ge ett fullständigt
Läs merKLEINLEKTION. Område statistik. Lektionens upplägg. Lämplig inom kurserna Matematik 2b och 2c. Engage (Väck intresse) Explore (Upptäck laborera)
KLEINLEKTION Område statistik. Lämplig inom kurserna Matematik 2b och 2c. Centralt innehåll i Matematik 2b och 2c: Statistiska metoder för rapportering av observationer och mätdata från undersökningar
Läs merForskningsmetodik 2006 lektion 2
Forskningsmetodik 6 lektion Per Olof Hulth hulth@physto.se Slumpmässiga och systematiska mätfel Man skiljer på två typer av fel (osäkerheter) vid mätningar:.slumpmässiga fel Positiva fel lika vanliga som
Läs merGrundläggande statistik kurs 1
Grundläggande statistik kurs 1 Problem 1 Arbeta med frekvenstabeller Sid 2: Så här ser sidan 2 ut. Vi har alltså en delad sida med kalkylbladet till vänster och en Data&Statistik-sida till höger. I den
Läs merOlika typer av variabler och skalor. 1. Nominalskala 2. Ordinalskala 3. Intervallskala 4. Kvotskala. Intervallskala. Nominalskala.
Olika typer av variabler och skalor Kvalitativ variabel -variabeln antar inte numeriska värden utan bara olika kategorier. vis olika bilmärken, eller man, kvinna. Kvantitativ variabel Antar numeriska värden
Läs mer1.1 Diskret (Sannolikhets-)fördelning
Föreläsning III. Diskret (Sannolikhets-fördelning Med diskret menas i matematik, att något antar ett ändligt antal värden eller uppräkneligt oändligt med värden e.vis {, 2, 3,...}. Med fördelning menas
Läs merSTOCKHOLMS UNIVERSITET VT 2007 Statistiska institutionen Johan Andersson
1 STOCKHOLMS UNIVERSITET VT 2007 Statistiska institutionen Johan Andersson Skriftlig tentamen på momentet Beskrivande statistik SDA l, 2 poäng, ingående i kurserna Grundkurs i statistik 20 poäng, samt
Läs merBIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, OCH INFÖR ÖVNING 4
LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, 216-4-6 OCH INFÖR ÖVNING 4 Övningens mål: Du ska förstå begreppet slumpvariabel och skilja
Läs merFöreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 2 HT07
Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 2 HT07 Bengt Ringnér August 31, 2007 1 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Händelser och sannolikheter
Läs merMatematik 1A 4 Potenser
Matematik 1A 4 Potenser förklara begrepp t ex. potens, bas, exponent och grundpotensform (Nivå E C) tolka, skriva och räkna med tal i grundpotensform (Nivå E A) helst kunna redogöra för räkneregler för
Läs merTMS136. Föreläsning 1
TMS136 Föreläsning 1 Varför? Om vi gör mätningar vill vi kunna modellera och kvantifiera de osäkerheter som obönhörligen finns Om vi handlar med värdepapper vill kunna modellera och kvantifiera de risker
Läs mer732G70, 732G01 Statistik A 7hp
732G70, 732G01 Statistik A 7hp Linda Wänström (linda.wanstrom@liu.se) Tommy Schyman (tommy.schyman@liu.se) Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin 1 Statistik är en gren inom
Läs merMA1S TATISTIK UPPGIFTER
1. Ett antal familjer svarade på frågan: Hur många datorer har Ni i Er familj? Resultatet visas i diagrammet. A) Bestäm typvärdet och medianen. B) Bestäm medelvärdet. 2. Diagrammet visar antalet syskon
Läs merFöreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012
Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår
Läs merFöreläsning 1: Introduktion
Föreläsning 1: Introduktion Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology March 22, 2014 Lärare och kurslitteratur David Bolin: Rum: E-mail: Fredrik Boulund: Rum: E-mail: Kursansvarig,
Läs merTal Räknelagar. Sammanfattning Ma1
Tal Räknelagar Prioriteringsregler I uttryck med flera räknesätt beräknas uttrycket i följande ordning: 1. Parenteser 2. Potenser. Multiplikation och division. Addition och subtraktion Exempel: 5 22 1.
Läs merRepetitionsprov inför provet Statistik
Repetitionsprov inför provet Statistik Del 1 Med miniräknare Endast svar krävs! 1. I en skolklass mättes sju elevers skostorlek. Detta visas i tabellen nedan: 37 41 43 39 45 47 38 a) Ange de sju skostorlekarnas
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 8.9.28 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 8.9.28 / 45 Stokastiska
Läs merKombinatorik och sannolikhetslära
Grunder i matematik och logik (2018) Kombinatorik och sannolikhetslära Marco Kuhlmann Sannolikhetslära Detta avsnitt är för det mesta en kompakt sammanfattning av momentet sannolikhetslära som ingår i
Läs merJörgen Säve-Söderbergh
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 8 Binomial-, hypergeometrisk- och Poissonfördelning Exakta egenskaper Approximativa egenskaper Jörgen Säve-Söderbergh Binomialfördelningen
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 6 13 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Mer om väntevärden och varianser (Kap. 5.2 5.3) Beroendemått (Kap. 5.4) Summor, linjärkombinationer
Läs merVälkommen till Borgar!
Välkommen till Borgar! Välkommen till Borgar! Vi ser fram emot att snart träffa en ny årskull med naturettor och hoppas att du kommer att trivas mycket bra hos oss. Studier i naturvetenskapliga ämnen förutsätter
Läs merBearbetning och Presentation
Bearbetning och Presentation Vid en bottenfaunaundersökning i Nydalasjön räknade man antalet ringmaskar i 5 vattenprover. Följande värden erhölls:,,,4,,,5,,8,4,,,0,3, Det verkar vara diskreta observationer.
Läs merÖvningstentamen i kursen Statistik och sannolikhetslära (LMA120)
Övningstentamen i kursen Statistik sannolikhetslära (LMA0). Beräkna ( ) 04.. Malin har precis yttat, ska skruva ihop sitt rektangulära skrivbord igen. Bordet har ett ben i varje hörn, har två långsidor
Läs merFinansiell statistik, vt-05. Slumpvariabler, stokastiska variabler. Stokastiska variabler. F4 Diskreta variabler
Johan Koskinen, Statistiska institutionen, Stockholms universitet Finansiell statistik, vt-05 F4 Diskreta variabler Slumpvariabler, stokastiska variabler Stokastiska variabler diskreta variabler kontinuerliga
Läs merFinns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning?
När vi nu lärt oss olika sätt att karaktärisera en fördelning av mätvärden, kan vi börja fundera över vad vi förväntar oss t ex för fördelningen av mätdata när vi mätte längden av en parkeringsficka. Finns
Läs merStatistik. Berit Bergius & Lena Trygg, NCM
Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 2 Del 3: Geometri och statistik Statistik Berit Bergius & Lena Trygg, NCM Bakåt i tiden förmedlades information muntligt, från man till man. När
Läs merBok: X (fjärde upplagan) Kapitel : 3 Längd, tid och samband Kapitel : 4 Algebra och mönster
PLANERING MATEMATIK - ÅK 7 Bok: X (fjärde upplagan) Kapitel : 3 Längd, tid och samband Kapitel : 4 Algebra och mönster Elevens namn: markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor ETT ETT TVÅ
Läs merSannolikhetslära. 19 februari 2009. Vad är sannolikheten att vinna om jag köper en lott?
Sannolikhetslära 19 februari 009 Vad är en sannolikhet? I vardagen: Vad är sannolikheten att vinna om jag köper en lott? Borde jag ta paraply med mig till jobbet idag? Vad är sannolikheten att det kommer
Läs merFörra gången (F4-F5)
F6 Standardiseringsmetoder Etiska regler och lagregler Förra gången (F4-F5) Lägesmått: aritmetiskt medelvärde (minst intervall), median (minst ordinal), typvärde (alla nivåer) När vi vill beskriva tyngdpunkten
Läs merSociologi GR (A) Sociologisk Metod Examination #2 Peter Axelsson. N Minimum Maximum Mean Std. Deviation
Uppgift 1 Vikt Vikt är en variabel på kvotskalan. Det gör att vi kan räkna med aritmetiskt medelvärde (m) som centralmått (Djurefeldt, 2003:59). Medelvärdet är 35,85 kg. Det saknas värden för två observationer,
Läs meren femma eller en sexa?
REPETITION 3 A Du kastar en vanlig tärning en gång. Hur stor är sannolikheten att du får en femma eller en sea? 2 Eleverna i klass C fick ge betyg på en bok som de hade läst. Diagrammet visar resultatet.
Läs merMa7-Åsa: Statistik och Sannolikhetslära
Ma7-Åsa: Statistik och Sannolikhetslära Efter påsklovet börjar det femte arbetsområdet som handlar om statistik och sannolikhetslära. Det kommer också att bli tid för att arbeta vidare med målen för begrepp
Läs merJörgen Lagnebo PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8
PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8 TERMINSPLAN HÖSTTERMINEN ÅK 8: 1 1.1 ANDELEN 2 1.2 HÖJNING OCH SÄNKNING 3 FORTS. 1.2 HÖJNING OCH SÄNKNING 4 1.3 HUR STOR ÄR DELEN 1 5 AKTIVITET + 1.4 HUR STOR ÄR
Läs merDeskription (Kapitel 2 i Howell) Moment 1: Statistik, 3 poäng
Kognitiv psykologi Moment 1: Statistik, 3 poäng VT 27 Lärare: Maria Karlsson Deskription (Kapitel 2 i Howell) Beskrivande mått, tabeller och diagram 1 2 Tabeller Tabell- och kolumnrubriker bör vara fullständiga
Läs merF5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)
Stat. teori gk, ht 006, JW F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.1-5.3, samt del av 5.4) Ordlista till NCT Random variable Discrete Continuous Probability distribution Probability distribution function Cumulative
Läs merLaboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, FÖR I/PI, FMS 121/2, HT-3 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Läs merHI1024 Programmering, grundkurs TEN
HI1024 Programmering, grundkurs TEN2 2014-10-27 KTH STH Haninge 13.15-18.00 Tillåtna hjälpmedel: En A4 handskriven på ena sidan med egna anteckningar Kursboken C PROGRAMMING A Modern Approach K. N. King
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Grundbegrepp, axiomsystem, betingad sannolikhet, oberoende händelser, total sannolikhet, Bayes sats Uwe Menzel, 2018 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de
Läs merLokala mål i matematik
Lokala mål i matematik År 6 År 7 År 8 År 9 Taluppfattning (aritmetik) förstår positionssystemets uppbyggnad med decimaler ex: kan skriva givna tal adderar decimaltal ex: 15,6 + 3,87 subtraherar decimaltal
Läs merMatematiska lägesmått med en micro:bit
Matematiska lägesmått med en micro:bit Lektionen handlar om att träna lägesmått genom att programmera en micro:bit. Lektionsförfattare: Camilla Askebäck Diaz Till läraren Sida 1 av 18 1. Repetera medelvärde,
Läs merF8 Skattningar. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 14/ /17
1/17 F8 Skattningar Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 14/2 2013 Inledande exempel: kullager Antag att diametern på kullager av en viss typ är normalfördelad N(µ,
Läs mer4. STATISTIK OCH SANNOLIKHET
4. STATISTI OCH SANNOLIHET R M MEDIANEN Fem personer är 160 cm, 170 cm, 165 cm, 155 cm och 150 cm. a) Mårten säger att medianen är 165 cm. Varför har han fel? b) Vad är det riktiga medianvärdet? E R Godtagbart
Läs merLäs noggrant informationen nedan innan du börjar skriva tentamen
Tentamen i Statistik 1: Undersökningsmetodik Ämneskod S0006M Totala antalet uppgifter: Totala antalet poäng Lärare: Mykola Shykula 5 25 Tentamensdatum 2014-05-15 Skrivtid 09.00-14.00 Jourhavande lärare:
Läs merTentamen på. Statistik och kvantitativa undersökningar STA101, 15 hp. Torsdagen den 22 mars TEN1, 9 hp
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för ekonomi, samhälle och teknik Statistik Tentamen på Statistik och kvantitativa undersökningar STA101, 15 hp Torsdagen den 22 mars 2018 TEN1, 9 hp Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare
Läs merVärdena för en diskret variabel (med få värden) kan redovisas i en tabell över frekvensfördelningen, dvs antalet observationer för de olika värdena.
Deskriptiv statistik De enskilda uppgifterna i ett statistiskt material innehåller all tillgänglig information men behöver oftast sammanfattas och förenklas på något sätt. Detta kan göras i form av tabeller,
Läs merTENTAMEN Datum: 14 feb 2011
TENTAMEN Datum: 14 feb 011 Kurs: KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK HF1001 TEN 1 (Matematisk statistik ) Ten1 i kursen HF1001 ( Tidigare kn 6H301), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 13:15-17:15
Läs merTMS136. Föreläsning 2
TMS136 Föreläsning 2 Slumpförsök Med slumpförsök (random experiment) menar vi försök som upprepade gånger utförs på samma sätt men som kan få olika utfall Enkla exempel är slantsingling och tärningskast
Läs mer2. Lära sig beskriva en variabel numeriskt med "proc univariate" 4. Lära sig rita diagram med avseende på en annan variabel
Datorövning 1 Statistikens Grunder 2 Syfte 1. Lära sig göra betingade frekvenstabeller 2. Lära sig beskriva en variabel numeriskt med "proc univariate" 3. Lära sig rita histogram 4. Lära sig rita diagram
Läs merValfritt läromedel för kurs Matematik B Exempel: Räkna med Vux B, Gleerups förlag. Tag kontakt med examinator om du har frågor
Våren 010 PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik B Kurskod MA 10 Gymnasiepoäng 50 Läromedel Prov Muntligt prov Valfritt läromedel för kurs Matematik B Exempel: Räkna med Vux B, Gleerups förlag Skriftligt
Läs merF2 Beskrivning av ett datamaterial. Tabellering och val av diagram. Summatecknet
F2 Beskrivning av ett datamaterial. Tabellering och val av diagram. Summatecknet Tabellering av kvalitativ variabel En kvalitativ variabel varierar över ett antal kategorier. Antag att vi har observerat
Läs merÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 9
ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 9 STOKASTISKA VARIABLER 1. Ange om följande stokastiska variabler är diskreta eller kontinuerliga: a. X = En slumpmässigt utvald person ur populationen är arbetslös, där x antar
Läs mer1 Föreläsning I, Vecka I: 5/11-11/11 MatStat: Kap 1, avsnitt , 2.5
1 Föreläsning I, Vecka I: 5/11-11/11 MatStat: Kap 1, avsnitt 2.1-2.2, 2.5 Introduktion till kursen. Grundläggande sannolikhetslära. Mängdlära, händelser, sannolikhetsmått Händelse följer samma räkneregler
Läs merKap 3: Diskreta fördelningar
Kap 3: Diskreta fördelningar Sannolikhetsfördelningar Slumpvariabler Fördelningsfunktion Diskreta fördelningar Likformiga fördelningen Binomialfördelningen Hypergeometriska fördelningen Poisson fördelningen
Läs merTentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 1, 4p 12 november 2005, kl
Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för statistik Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 1, 4p 1 november 005, kl. 09.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formel-
Läs merTal Räknelagar Prioriteringsregler
Tal Räknelagar Prioriteringsregler Uttryck med flera räknesätt beräknas i följande ordning: 1. Parenteser 2. Exponenter. Multiplikation och division. Addition och subtraktion Exempel: Beräkna 10 5 7. 1.
Läs merExtramaterial till Matematik X
LIBER PROGRAMMERING OCH DIGITAL KOMPETENS Extramaterial till Matematik X NIVÅ ETT Statistik ELEV Du kommer nu att få bekanta dig med Google Kalkylark. I den här uppgiften får du öva dig i att skriva in
Läs mer9A Ma: Statistik och Sannolikhetslära
9A Ma: Statistik och Sannolikhetslära Efter påsklovet börjar det femte arbetsområdet som handlar om statistik och sannolikhetslära. Det kommer också att bli tid för att arbeta vidare med målen för begrepp
Läs merTAMS79: Föreläsning 1 Grundläggande begrepp
TMS79: Föreläsning 1 Grundläggande begrepp Johan Thim 31 oktober 2018 1.1 Begrepp Ett slumpförsök är ett försök där resultatet ej kan förutsägas deterministiskt. Slumpförsöket har olika möjliga utfall.
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 1. Jan Grandell & Timo Koski 19.01.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 19.01.2016 1 / 65 Många tänker på tabeller 1 när de hör ordet statistik.
Läs merMatematiska lägesmått med en micro:bit
Lektionen ger eleverna möjlighet att träna matematik och lägesmått med hjälp av att programmera en micro:bit. Camilla Askebäck Diaz är högstadielärare i matematik på Södermalmsskolan i Stockholm. Till
Läs merLABORATION 1. Syfte: Syftet med laborationen är att
LABORATION 1 Syfte: Syftet med laborationen är att ge övning i hur man kan använda det statistiska programpaketet Minitab för beskrivande statistik, grafisk framställning och sannolikhetsberäkningar, visa
Läs merVägda medeltal och standardvägning
Linköpings universitet 2000 MAI/Statistik Eva Leander Vägda medeltal och standardvägning Här följer ett antal sidor som behandlar vägda medeltal och standardvägning. Avsnittet om vägda medeltal förbereder
Läs merBeskrivande statistik Kapitel 19. (totalt 12 sidor)
Beskrivande statistik Kapitel 19. (totalt 12 sidor) För att åskådliggöra insamlat material från en undersökning används mått, tabeller och diagram vid sammanställningen. Det är därför viktigt med en grundläggande
Läs mer