Vehicle Stability Control ESP. Vehicle Dynamics and Control. Övergripande funktion. Figur Kärt barn har många namn

Transkript

1 Vehicle Stability Control ESP Vehicle Dynamics and Control Jan Åslund Associate Professor Dept. Electrical Engineering Vehicular Systems Linköping University Sweden Lecture 7 Kärt barn har många namn AYC - Active Yaw Control VDC - Vehicle Dynamics Control ESP - Electronic Stability Program I fortsättningen används ESP som gemensam förkortning eftersom den är vanligast åtminstone för tillfället. Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 1 / 56 Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 2 / 56 ESP: Övergripande funktion Figur 5.24 För att uppnå önskad funktion behöver man Beskriva bilens önskade beteende. Detta är inte trivialt eftersom det kräver en uppfattning om förarens önskan. Beskriva bilens aktuella beteende. Relatera till de sensorer och aktuatorer som finns, och till underliggande reglersystem. Ta hänsyn till förarens beteende i en pressad situation. Utforma ett styrsystem baserat på ovanstående. Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 3 / 56 Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 4 / 56

2 ESP: Mål ESP: Krav på kunskap om bilens uppförande Hur beter sig en bil i stabil kurvtagning (relaterat till dynamiska variabler)? Skapa ett sladdhämmande moment M baserat på bilens uppförande jämfört med önskat beteende. Vi börjar med att titta på kraven på kunskap om bilens aktuella uppförande. Hur många variabler behövs? En bil med konstant fart i en kurva med konstant krökning har konstant Ω z, dvs konstant girvinkelhastighet (yaw-rate på engelska och ofta betecknad Ψ). Ett första villkor på reglerfunktionen: Reglera Ω z Detta är bakgrunden till den ursprungligen vanliga termen AYC - Active Yaw(-rate) Control Det är viktigt att inse att det inte räcker med konstant Ω z, dvs konstant yaw-rate. Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 5 / 56 Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 6 / 56 Figur 5.23 ESP: Krav på kunskap om bilens uppförande Villkoret på sidrörelse som kan formuleras i V y men det normala är att införa fordonets sidavdrift β Definiera fordonets sidavdrift (body slip på engelska) β = tan 1 ( V y ) Vi får ett andra villkor på reglerfunktionen: Reglera β Detta är bakgrunden till att den ursprungligen vanliga termen AYC - Active Yaw(-rate) Control inte är lika populär längre. Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 7 / 56 Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 8 / 56

3 ESP: Krav på kunskap om bilens uppförande ESP: Önskvärt beteende Slutsatsen att det krävs två variabler att reglera på. Vi väljer Ω z och β. Regleruppgiften består alltså i att reglera Ω z och β. Vilka börvärden ska man använda? Här kommer föraren in i bilden och vad vet vi om personen bakom ratten? Det vi vet är som vanligt förarens agerande på sina reglage: ratt, pedaler och växelspak. (De två senare är inte primära här men är viktiga för underliggande reglering som ABS/TC.) Uppgift: relatera styrvinkel,, till börvärden på Ω z och β. Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 9 / 56 Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 10 / 56 Önskat beteende: Girvinkelhastigheten Önskat beteende: Sidavdrift Hur ska vi relatera styrvinkel,, till lämpliga börvärden på Ω z och β som beskriver ett gott uppförande hos fordonet. Utgår från värdena vid stationär kurvtagning. f = L R + K V 2 us gr, Ω z = V R Eliminerar vi kurvradien R så får vi sambandet z = V L + K us V 2 /g f Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 11 / 56 f = L R + K V 2 us gr, βnom = l 2 R α r = l 2 R l 1mVx 2 2C αr LR β nom = l 2 l 1mV 2 x 2C αr L L + K us V 2 /g f Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 12 / 56

4 ESP: Reglermål ESP: Övergripande funktion Vi är nu redo att formulera reglermålen (i matematiska termer) Reglera bilen så att den reagerar på rattutslag,, så att girvinkelhastighet, Ω z, och sidavdrift, β, beter sig som under stabil stationär kurvtagning. Välj som referensvärden och z = L + K us V 2 x /g f β nom = l 2 l 1mV 2 x 2C αr L L + K us V 2 /g f Vi har nu kommit en bit på väg. För att uppnå önskad funktion behöver man Beskriva bilens önskade beteende. Detta är inte trivialt eftersom det kräver en uppfattning om förarens önskan. Beskriva bilens aktuella beteende. Relatera till de sensorer och aktuatorer som finns, och till underliggande reglersystem. Ta hänsyn till förarens beteende i en pressad situation. Utforma ett styrsystem baserat på ovanstående. Vi ska nu översiktligt titta på den tredje punkten. Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 13 / 56 Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 14 / 56 ESP: Underliggande reglersystem ESP: Ett exempel Kombinerad arkitektur för ABS och Traction Control (ASR på tyska). Ett exempel på arkitektur. Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 15 / 56 Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 16 / 56

5 ESP: Sensorer ESP: Aktuellt beteende Följande sensorsignaler finns tillgängliga. Styrvinkel [rad. Ψ Girhastighet [rad/s. ω 1,2,3,4 Rotationshastigheter för respektive hjul [rad/s. a lat Lateral acceleration [m/s 2. Det finns också sensorer i det hydrauliska bromssystemet men vi går inte in i sådan detalj. Uppgift: Bestäm aktuellt Ω z, och β. Enklaste ansatsen (tillräcklig i laborationen) är att Ω z bestäms direkt ur sensorn för Ψ, girhastigheten [rad/s. bestäms ur ω 1,2,3,4 rotationshastigheterna för respektive hjul [rad/s. Välj rätt hjul. β bestäms genom att integrera a lat laterala accelerationen [m/s 2. Då får man V y och med användning av ovan erhåller man via definitionsformeln β Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 17 / 56 Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 18 / 56 ESP: Aktuellt beteende Figur 5.22 Uppgift: Bestäm aktuellt Ω z, och β. Enklaste ansatsen kan förbättras. Inte ens är enkel, dvs inte ens en vanlig hastighetsmätare är enkel. Vi vet att dynamiken i ett förenklat fall ges av u + M 1 Au = M 1 B Det är naturligt att förbättra estimeringen av Ω z, och β genom att använda en observatör. Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 19 / 56 Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 20 / 56

6 ESP: Styrlag ESP: Styrlag Inför M, korrigerande moment kring bilens masscentrum som mellanstyrvariabel. Antag att vi har nödvändiga variabler såsom (, v x, v y, Ψ) från sensorer och observatörer. Det gäller alltså att finna en styrlag Välj M så att reglermålen uppnås. Det är då naturligt att använda M = M(, v x, v y, Ψ) Enklaste ansatsen är att proportionellt återkoppla de två storheter man vill hålla nere M = k 1 (β nom β) + k 2 ( z Ω z ) där k 1, k 2 är regulatorparametrar som trimmas empiriskt. Notera att k 1 = 0 ger ren yaw-rate control med möjlig problembild enligt figur 5.23 i Wong. Fundera på vilka tecken k 1, k 2 ska ha. M = M(β nom β, z Ω z ) Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 21 / 56 Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 22 / 56 ESP: Effektuering med bromsar ESP: Val av hjul att bromsa Schematisk skiss av situationen för diskussion av vilket hjul att bromsa. Uppgiften är nu att givet ett önskat moment på bilen, M, skapa detta moment genom att individuellt bromsa olika hjul. För att realisera detta kan komplicerade strategier användas, men vi begränsar oss nu till en enkel variant som är tillräcklig för laborationen i kursen. Viktig strategifråga: Vilket (vilka) hjul ska bromsas i olika situationer? Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 23 / 56 Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 24 / 56

7 ESP: Val av hjul att bromsa Med M som i figur ska uppenbart ett vänsterhjul bromsas. Fram eller bak? Sidkraftsanalys ger att det är bak som ska bromsas. ESP: Val av hjul att bromsa Med M som i figur ska uppenbart ett högerhjul bromsas. Med bromsat framhjul ger den minskade sidkraften ett moment i önskad riktning. M M Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 25 / 56 Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 26 / 56 ESP: Effektuering med bromsar ESP: Effektuering med bromsar, Fall 1 Ett fordon i vänstersväng, Ω z < 0. Uppgiften är alltså att givet ett önskat moment på bilen, M, skapa detta moment genom att individuellt bromsa olika hjul. r F ^z Ψ. c Strategi: Vid överstyrning, när ett upprätande moment krävs, bromsas ett framhjul. Vid understyrning, när ett vridande moment krävs, bromsas ett bakhjul. Kvantitativt gäller det att finna den erforderliga bromskraften, F, som funktion av det önskade momentet M och styrvinkel. Löses fall för fall för de fyra fallen: höger- och vänstersväng, med respektive över- och understyrning. a Antag att fordonet överstyr vilket medför M > 0. Styrvinkeln,, är i figuren negativ. Ett upprätande moment krävs. Det realiseras genom att bromsa höger framhjul. r = aˆx + cŷ F = F ( cos( )ˆx + sin( )ŷ) = F (cos ˆx + sin ŷ) M = r F = F ( a sin + c cos )ẑ ^x b Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 27 / 56 Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 28 / 56

8 ESP: Effektuering med bromsar, Fall 2 ESP: Effektuering med bromsar, Fall 3 och 4 Ett fordon i vänstersväng, Ω z < 0. ^z a Ψ. ^x r b c F De två återstående fallen gäller fordon i högersväng, Ω z > 0, och är analoga med vänstersväng. Notera dock olika teckenbyten. Antag att fordonet understyr vilket medför M < 0. Styrvinkeln,, är i figuren negativ. Ett vridande moment krävs. Det realiseras genom att bromsa vänster bakhjul. r = bˆx cŷ F = F ˆx M = r F = F cẑ Antag att fordonet överstyr. Ett upprätande moment realiseras genom att bromsa vänster framhjul, och momentet som krävs är mindre än noll. Antag att fordonet understyr. Ett vridande moment realiseras genom att bromsa höger bakhjul, och momentet som krävs är större än noll. Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 29 / 56 Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 30 / 56 ESP: Effektuering med bromsar ESP: Problem kring förarbeteende I samtliga fall löses den erforderliga bromskraften, F, ut ur sista ekvationen som funktion av det önskade momentet M och styrvinkel. Vid en verklig realisering tilllkommer att hantera det underliggande bromssystemet så att man erhåller de bromskrafter man önskar men vi går inte in på detta. Det visar sig att många förare överreagerar i utsatta situationer. Vid sladd yttrar det sig i alltför häftiga rattutslag. Problemställning: Finns det några vettiga åtgärder som kan införlivas i styrsystemet? Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 31 / 56 Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 32 / 56

9 ESP: Tillägg för hantering av förarbeteende ESP: Tillägg för hantering av förarbeteende Häftiga rattutslag resulterar via och i för stora nominella värden. z = L + K us V 2 x /g β nom = l 2 l 1mV 2 x 2C αr L L + K us V 2 x/g f Hur kan man begränsa z och β nom? Det är inte lönt att kräva större sidkrafter än underlaget medger i förhållande till farten. Vi har F ymax = ma ymax < µmg Nu vet vi inte µ men kan skaffa oss en uppfattning via a ytrigg börjar sladda. Vi har också a y = V y + Ω z = µg när det Ansätter vi lite grovt att V y = 0 precis i starten av sladden så får vi z < µg Inför denna begränsning i styrsystemet. Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 33 / 56 Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 34 / 56 ESP: Tillägg för hantering av förarbeteende ESP: Tillägg för hantering av förarbeteende Yaw rate Ω z [rad/s G yaw µg/ µ=1.0 µ=0.8 =4.0 o µ=0.6 µ=0.4 µ= Velocity [km/h =16.0 o =12.0 o =8.0 o Illustration begränsning z. av av Vi får z = z = om Ωnom z < L + K us Vx 2 /g µg sign(ωnom z ) annars µg Notera att detektering/diagnos krävs utöver filtrering (observatör) för att identifiera att sladd sker. Ansatsen V y = 0 i starten av sladden är grov så om man säger att den termen tar maximalt 15 % av a y så kan man använda z < 0.85 µg Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 35 / 56 Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 36 / 56

10 ESP: Tillägg för hantering av förarbeteende ESP: Tillägg för hantering av förarbeteende Begränsning av β nom? Illustrerar med en empirisk gräns β nom max = atan(0.02µg) En bakgrund till att den fungerar är att β är liten när man har kontroll på fordonet. (I laborationen kan man använda β nom = 0 med gott resultat.) Man får alltså β nom = l 2 l 1mV 2 x 2C αr L L + K us V 2 /g f om β nom < atan(0.02µg) β nom = atan(0.02µg) sign(β nom ) där man skattar µg på som innan. annars Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 37 / 56 Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 38 / 56 ESP: Tillägg för hantering av förarbeteende ESP: Tillägg för hantering av förarbeteende 12 µ=1.0 Slip angle β [ o atan(0.02µg) G β µ=0.8 µ=0.6 µ=0.4 =16.0 o =12.0 o µ=0.2 =8.0 o =4.0 o Illustration av begränsning av β nom. För µ = 0.95 (asfalt) får man 10 grader som övre gräns, och för µ = 0.35 (packad snö) får man 4 grader som övre gräns. Man kan gå vidare och införa filtrering/fördröjningar innan man låter rattutslag slå igenom i börvärdena. Man har också en dödzon på M, dvs den måste vara större än en tröskel för att påverka bromsning av hjul. Det ska alltså inte hända hända något under normal körning. Detta sparar också bränsle eftersom något hjul i annat fall skulle småbromsa hela tiden Velocity [km/h Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 39 / 56 Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 40 / 56

11 ESP: Övergripande funktion ESP: Exempel på produkt Vi har nu kommit igenom hela kedjan. För att uppnå önskad funktion behöver man Beskriva bilens önskade beteende. Detta är inte trivialt eftersom det kräver en uppfattning om förarens önskan. Beskriva bilens aktuella beteende. Relatera till de sensorer och aktuatorer som finns, och till underliggande reglersystem. Ta hänsyn till förarens beteende i en pressad situation. Utforma ett styrsystem baserat på ovanstående. Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 41 / 56 Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 42 / 56 From the previous lecture: l 2 Ω z V y α r Kinematics from the figure α f = f l 1Ω z + V y α r = l 2Ω z V y Ω z V y f V y + l 1 Ω z Model for tire forces α f F yf = 2C αf α f F yr = 2C αr α r From now it will be assumed that the longitudinal velocity is constant and it will be play the role of a parameter in the analysis. Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 43 / 56 From the previous lecture: m( V y + Ω z ) = F yr + F yf cos f + F xf sin f I z Ω z = l 1 F yf cos f l 2 F yr + l 1 F xf sin f ( F yf = 2C αf f l ) ( ) 1Ω z + V y l2 Ω z V y, F yr = 2C αr Can be rearranged [ mv 2Cαf + 2C αr y + }{{} a 1 [ V y + m + 2l 1C αf 2l 2 C αr }{{} a 2 Ω z = 2C αf f (t) [ [ 2l1 C αf 2l 2 C αr 2l 2 I z Ω z + V y + 1 C αf + 2l2 2C αr Ω z = 2l 1 C αf f (t) V }{{ x V }}{{ x } a3 a 4 Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 44 / 56

12 The system [ mv 2Cαf + 2C αr y + }{{} a 1 [ V y + m + 2l 1C αf 2l 2 C αr }{{} a 2 Ω z = 2C αf f (t) [ [ 2l1 C αf 2l 2 C αr 2l 2 I z Ωz + V y + 1 C αf + 2l2 2C αr Ω z = 2l 1 C αf f (t) V }{{ x V }}{{ x } a3 a 4 can be written in matrix form Now we modify the model and add rear-wheel steering with the steer angle r : r l 2 Ω z V y Ω z α r V y f α V f x V y + l 1 Ω z Kinematics from the figure where Mẋ + Ax = u(t) [ [ m 0 a1 a M =, A = 2, u = 0 I z a 3 a 4 [ 2Cαf f (t) 2l 1 C αf f (t) α f = f l 1Ω z + V y α r = l 2Ω z V y + r Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 45 / 56 Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 46 / 56 Now we get m( V y + Ω z ) = F yr + F yf cos f + F xf sin f I z Ω z = l 1 F yf cos f l 2 F yr + l 1 F xf sin f ( F yf = 2C αf f l ) ( 1Ω z + V y l2 Ω z V y, F yr = 2C αr Can be rearranged m V y + a 1 V y + a 2 Ω z = 2C αf f + 2C αr r + r ) The system where [ [ m 0 a1 a M =, A = 2, u 0 I z a 3 a f = 4 Mẋ + Ax = u f f (t) + u r r (t) By taking the Laplace transform we get [ 2Cαf 2l 1 C αf (sm + A)X = u f f (s) + u r r (s) [ 2Cαr, u r =, x = 2l 2 C αr [ Vy Ω z I z Ω z + a3v y + a 4 Ω z = 2l 1 C αf f (t) 2l 2 C αr r Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 47 / 56 Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 48 / 56

13 It follows from that where [ Vy Ω z (sm + A)X = u f f (s) + u r r (s) [ 1 ([ ms + a1 a = 2 2Cαf a 3 I z s + a 4 2l 1 C αf = 1 [ ([ Iz s + a 4 a 2 2Cαf a 3 ms + a 1 2l 1 C αf is the determinant. [ 2Cαr f + 2l 2 C αr f + [ 2Cαr = I z ms 2 + (I z a 1 + ma 4 )s + (a 1 a 4 a 2 a 3 ) 2l 2 C αr r ) r ) The transfer functions from r to V y and Ω z [ Vy (s) = 1 [ [ Iz s + a 4 a 2 2Cαr Ω z (s) a 3 ms + a 1 2l 1 C αr = 2C [ αr Iz s + a 4 + l 1 a 2 a 3 l 1 ms a 1 l r (s) = 1 r (s) [ Gyr (s) G zr (s) r (s) Consider a step in the rear steer angle, i.e., r (s) = 1/s. The immediate response in the lateral acceleration at the center of gravity is then V y + Ω z t=0 + = lim s s(sv y + Ω z ) = lim s s(sg yr + G zr ) r = lim s 2C αr I z s 2 + (...)s + (...) 1 s I z ms 2 + (...)s + (...) s = 2C αr m where we used the initial value theorem f (0 + ) = lim s sf (s). Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 49 / 56 Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 50 / 56 The transfer functions from r to V y and Ω z [ Vy (s) = 1 [ [ Iz s + a 4 a 2 2Cαr Ω z (s) a 3 ms + a 1 2l 1 C αr = 2C [ αr Iz s + a 4 + l 1 a 2 a 3 l 1 ms a 1 l r (s) = 1 r (s) [ Gyr (s) G zr (s) r (s) Consider a step in the rear steer angle, i.e., r (s) = 1/s. The limit value, as t tends to infinity, of the lateral acceleration at the center of gravity is then A v A r AB ω B V B lim V y + Ω z = lim s(sv y + Ω z ) = lim s(sg yr + G zr ) r t s 0 s 0 = lim s (...)s2 + (...)s 2 C αr (a 1 l 1 + a 3 ) 1 s 0 (...)s 2 + (...)s + (a 1 a 4 a 2 a 3 ) s = 2C αr (a 1 l 1 + a 3 ) a 1 a 4 a 2 a 3 where we used the final value theorem lim t + f (t) = lim s 0 sf (s). Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 51 / 56 v B = v A + ω r AB a B = a A + ω r AB + ω (ω r AB ) Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 52 / 56

14 [ Vy Ω z = 1 [ [ Iz s + a 4 a 2 2Cαf a 3 ms + a 1 2l 1 C αf = 2C [ αf Iz s + a 4 l 1 a 2 f a 3 + l 1 ms + a 1 l 1 f Consider a step in the front steer angle, i.e., f (s) = 1/s. The immediate response in the lateral acceleration at the rear axle is then V y l 2 Ω z + Ω t=0 z + = 2C αf (I z ml 1 l 2 ) = 2C αf ml 2 (l 1 l 1) I z m I z m where we have introduced the length l 1 = I z/(ml 2 ). The system is equivalent to a system with a point mass m 1 = ml 2 /(l 1 + l 2) located at the distance l 1 in front of the center of gravity, and a point mass m 2 = ml 1 /(l 1 + l 2) located at the rear axle. V y + Ω z l 2 Ωz t=0 + = lim s s(sv y l 2 sω z + Ω z ) = lim s 2C αf (I z ml 1 l 2 )s 2 + (...)s + (...) I z ms 2 + (...)s + (...) = 2C αf (I z ml 1 l 2 ) I z m where we used the initial value theorem f (0 + ) = lim s sf (s). l 2 l 1 l 2 l 1 m, I z m 2 m 1 Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 53 / 56 Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 54 / 56 Consider a hanging beam being hit by a hammer: If the suspension point is the rear axle, then the center of percussion is located at the mass m 1 in the figure: l2 l 1 COP COP COP COP COP COP COP 2Fyf Depending on where you hit it, the top of the beam will move in different directions. The limit case when the top doesn t move at all is when you hit it at the center of percussion (COP inn the figure). For a uniform beam the distance to (COP) from the top is 2/3 of the length of the beam. This explains the sign of the initial acceleration at the rear axle: V y l 2 Ω z + Ω t=0 z + = 2C αf (I z ml 1 l 2 ) = 2C αf ml 2 (l 1 l 1) I z m I z m Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 55 / 56 Jan Åslund (Linköping University) Vehicle Dynamics and Control Lecture 7 56 / 56