Matematiska problemlösningsprocesser och uttrycksformer

School of Mathematics and Systems Engineering Reports from MSI - Rapporter från MSI Matematiska problemlösningsprocesser och uttrycksformer En jämförelse mellan skolår fem och nio Emma Nilsson Sara Nilsson Sep 2008 MSI Report 08099 Växjö University ISSN 1650-2647 SE-351 95 VÄXJÖ ISRN VXU/MSI/MDI/E/--08099/--SE

Examensarbete 15 hp i Lärarutbildningen Vårterminen 2008 ABSTRAKT Emma Nilsson & Sara Nilsson Matematiska problemlösningsprocesser och uttrycksformer En jämförelse mellan skolår fem och nio Mathematical problem solving processes and forms of appearance A comparison between school year five and nine Antal sidor: 60 Studien syftar till att undersöka problemlösningsprocessen då elever arbetar i grupp med matematiska problem samt uppmärksamma de uttrycksformer som används. En jämförelse mellan skolår fem och skolår nio görs för att upptäcka betydelsefulla skillnader. Metoderna som använts är kvalitativa i form av observation och intervju. Två grupper från respektive skolår har studerats, där varje grupp bestod av tre elever. Resultatet visar att grupperna i klass 9 är mer resultatinriktade och uppvisar en enkelriktad problemlösningsprocess, samtidigt som grupperna i klass 5 vid flertalet gånger går tillbaka i problemlösningsprocessen och vågar göra kvalificerade gissningar. Skillnaderna mellan skolåren när det gäller uttrycksformerna är få. De mest använda uttrycksformerna är den logisk/språkliga och den grafisk/geometriska. Bristande erfarenhet av arbete med laborativt material och problemlösning i grupp har uppmärksammats. Sökord: Problemlösning, problemlösningsprocess, uttrycksformer, matematik, grupp. Postadress Växjö universitet 351 95 Växjö Gatuadress Universitetsplatsen Telefon 0470-70 80 00

Innehållsförteckning 1 Inledning 5 2 Syfte och frågeställningar 6 3 Teoretisk bakgrund 7 3.1 Problemlösning i dagens skola 7 3.1.1 Problemlösning som mål och medel 7 3.1.2 Skillnader i skolår fem och nio 8 3.1.3 Problemlösningsförmåga 9 3.2 Vad är ett matematiskt problem? 11 3.2.1 Definitioner av ett matematiskt problem 11 3.2.2 Olika typer av problem 12 3.2.3 Rika matematiska problem 12 3.3 Problemlösning som arbetssätt 13 3.3.1 Undervisning 13 3.3.2 Enskilt eller grupp 14 3.3.3 Problemlösning i grupp 15 3.4 Problemlösningsprocess 16 3.4.1 Att förstå problemet 16 3.4.2 Att göra upp en plan 16 3.4.3 Att genomföra planen 17 3.4.4 Att se tillbaka och kontrollera resultatet 17 3.5 Matematiska uttrycksformer 18 3.5.1 Konkret uttrycksform 18 3.5.2 Logisk/språklig uttrycksform 18 3.5.3 Algebraisk/aritmetisk uttrycksform 19 3.5.4 Grafisk/geometrisk uttrycksform 19 4 Metod 21 4.1 Metodval 21 4.1.1 Observation 21 4.1.2 Intervju 22 4.2 Urval och avgränsningar 23 4.3 Genomförande 24 4.3.1 Val av problem 24 4.3.2 Undersökningstillfälle 27 4.4 Analys och bearbetning av insamlad information 28 4.5 Forskningsetik 28 4.6 Validitet och reliabilitet 29 4.6.1 Validitet 29 4.6.2 Reliabilitet 30 5 Resultat 31 5.1 Problemlösningsprocess 31 5.1.1 Att förstå problemet 31 5.1.2 Att göra upp en plan 33 5.1.3 Att genomföra planen 34 5.1.4 Att se tillbaka och kontrollera resultatet 38

5.2 Matematiska uttrycksformer 39 5.2.1 Konkret uttrycksform 39 5.2.2 Logisk/språklig uttrycksform 40 5.2.3 Algebraisk/aritmetisk uttrycksform 41 5.2.4 Grafisk/Geometrisk uttrycksform 42 6 Analys 44 6.1 Problemlösningsprocess 44 6.1.1 Att förstå problemet 44 6.1.2 Att göra upp en plan 45 6.1.3 Att genomföra planen 45 6.1.4 Att se tillbaka och kontrollera resultatet 46 6.2 Matematiska uttrycksformer 47 6.2.1 Konkret uttrycksform 47 6.2.2 Logisk/språklig uttrycksform 47 6.2.3 Algebraisk/aritmetisk uttrycksform 47 6.2.4 Grafisk/geometrisk uttrycksform 48 6.3 En jämförande sammanfattning 48 7 Diskussion 50 7.1 Resultatdiskussion 50 7.1.1 Problemlösningsprocess 50 7.1.2 Matematiska uttrycksformer 51 7.2 Metoddiskussion 52 7.2.1 Observation 53 7.2.2 Intervju 53 7.3 Slutsatser 54 7.4 Framtida forskning 54 Källförteckning 55 Tryckta källor 55 Internetkällor 56 Bilaga 1 Brev till vårdnadshavare 57 Bilaga 2 - Intervjuguide 58 Bilaga 3 Observationsschema 59

1 Inledning Matematik är ett ämne med starka traditionella inslag. Räknefärdigheter, algoritmräkning och ekvationslösning är exempel på formella matematiska verktyg som undervisningen fokuserat på (Skolverket, 2003). Dock har en utveckling inom matematikämnet skett. I samband med införandet av Lpo 94 och Kursplaner 2000 har moment som kommunikation och problemlösning fått en betydande roll. Förändringarna har framförallt lett till att elevens tänkande och matematiska resonemang ställs i centrum. Eleven ska genom reflektion, kommunikation och problemlösning få möjlighet att kunna upptäcka och utforska meningsfulla matematiska samband (Myndigheten för skolutveckling, 2007). Strävansmålen i Lpo 94 (Skolverket, 2006:10) belyser kommunikation och problemlösning på följande sätt. Skolan skall sträva efter att varje elev lär sig att lyssna, diskutera, argumentera och använda sina kunskaper som redskap för att formulera och pröva antaganden och lösa problem, reflektera över erfarenheter och kritiskt granska och värdera påståenden och förhållanden Malmer (2002) skriver att syftet med undervisningen har förskjutits till att belysa nya ting när det gäller innehåll, arbetsformer och lösningsstrategier. Vidare menar Malmer att skolmatematiken har gått från att vara formell till funktionell, samtidigt som hon påpekar att många elever har svårt att se denna förändring. Tyvärr har många elever ett alldeles för snävt perspektiv. De tycker att det viktigaste är att få fram ett korrekt svar på en förelagd uppgift och tänker inte på hur viktig matematiken är för deras vuxenliv och för den demokratiska samhällsprocessen (Malmer, 2002:192). Dagens matematikämne premierar inte endast ett korrekt svar utan sätter även processen fram till svaret i centrum (Myndigheten för skolutveckling, 2007). Dessutom kan framhållas att problemlösning numer är ett av de viktigaste målen för matematikundervisningen (Emanuelsson, red. 2004). Med bakgrund i resonemanget ovan inriktas den här studien på problemlösning, med tyngdpunkt i problemlösningsprocessen och dess uttrycksformer. Problemlösningen studeras i samband med grupparbete, där eleverna får möjlighet att kommunicera matematik. En undersökning av detta slag kan motiveras på flera sätt. Inte minst ur egen nyttoaspekt då vi anser att det som blivande matematiklärare är av stor betydelse att kunna visa en förståelse för elevers tänkande. På så vis skapas en medvetenhet om hur tankegångar och lösningsstrategier kan se ut och därmed kan också eleverna bemötas och utmanas på ett bättre sätt. Studien är en jämförelse mellan elever i år fem och år nio. Infallsvinkeln kan skapa uppfattningar om elevers tänkande och matematiska utveckling. Genom att jämföra elever i olika åldrar kan en förståelse för elevers matematiska kunskaper frambringas och ge förutsättningar att avgöra det stöd eleven behöver, oavsett ålder. Som lärare anser vi att det är nödvändigt att ha en uppfattning om det som ligger före, men också det som kommer efter ens eget verksamma stadium.

2 Syfte och frågeställningar Syftet är att identifiera och utreda den problemlösningsprocess som sker då elever arbetar med problemlösning i grupp. Studien kommer att jämföra elever från år fem och år nio, med intentionen att kartlägga de eventuella skillnader som finns dem emellan. Hur ser problemlösningsprocessen ut vid grupparbete med ett matematiskt problem? Vilka matematiska uttrycksformer använder gruppen och vilken betydelse får de för problemlösningsprocessen? Vilka eventuella skillnader går att uppmärksamma i ovan ställda frågor mellan år fem och år nio? Vad kan dessa skillnader bero på? 6

3 Teoretisk bakgrund 3.1 Problemlösning i dagens skola I dagens samhälle ställs vi ofta inför olika uppgifter där en god problemlösningsförmåga kan vara avgörande för att fatta ett gynnsamt beslut. Utöver de matematiska verktygen krävs en mängd andra kvaliteter för att utvecklas till en bra problemlösare. I det här avsnittet presenteras varför problemlösning fungerar såväl som mål som medel i dagens skola, vilka skillnader det finns inom området mellan skolår fem och nio, samt vilka förmågor problemlösning fordrar men även utvecklar. 3.1.1 Problemlösning som mål och medel För att inte bli vilseledd i dagens samhälle krävs matematiska kunskaper och problemlösningsförmåga. Det är en demokratisk rättighet att förstå och kunna använda matematiken. De kunskaper eleverna tillägnar sig i skolan ska ligga som grund för ett framtida yrkesliv. Matematiken har en större roll i dagens samhälle, varav en bättre matematisk förmåga krävs (Wistedt, 1996). Kunskaper om matematik och inte endast i matematik behövs, med tanke på det livslånga lärandet och allas möjlighet att vara aktiva medborgare (Myndigheten för skolutveckling, 2007). Det är viktigt att eleverna redan i skolan får träna och lära sig att lösa verkliga matematiska problem. Unenge och Wyndhamn (1988) menar att eleven kan lära sig att bemästra olika färdigheter och lösningsstrategier och därmed skapa en slags grund för att kunna lösa framtida problem. Skolans arbetssätt och arbetsformer samt elevernas möjlighet till inflytande är av betydelse för att svara mot de krav på kommunikationsförmåga, kreativitet och självständighet som ett framtida samhälls- och arbetsliv ställer (Emanuelsson, red. 1996:11). Problemlösning kan ses som ett medel för att nå ett matematiskt tänkande och som en drivkraft i lärandet. Det är ett bra sätt att kombinera vardaglig matematik med skolmatematiken och visa eleverna på sambandet dem emellan. Problemlösning hjälper barn att uppmärksamma matematiken utanför skolan i sin vardag. Matematiska problem kan användas som arbetssätt för att träna alla de olika räknesätten inom matematiken. Genom problemlösning tränas inte bara de matematiska färdigheterna utan en hel del därtill (Hagland, m.fl. 2005). Eleverna lär sig att planera, använda det logiska tänkandet och att upptäcka och förstå samband mellan de olika räknesätten och de olika områdena inom matematiken. Problemlösning kan även utveckla elevernas tankar, idéer och självförtroende. Elevernas analysförmåga blir dessutom bättre och problemlösning uppmanar till mer kreativitet och fantasi än många andra matematikuppgifter i läroböckerna. För att bli en duktig problemlösare behövs tålamod, då problemlösning i vissa fall är en krävande process, inte minst tidsmässigt. Rimlighetsberäkning och sunt förnuft är två viktiga kunskaper, som även de tränas genom problemlösning (Malmer, 2002). Om problemlösningen sker i grupp finns det ännu fler vinster med att arbeta med matematiska problem. Eleverna får exempelvis tillfälle att utveckla sin sociala kompetens och att lära sig att samarbeta med andra. Genom den kommunikation som sker i den samarbetande gruppen tränas elevens språk, där möjligheter för reflektion och argumentation uppstår. Problemlösning kan hjälpa elever att få en bättre förståelse i andra skolämnen, av den anledningen att matematik och problemlösning genomsyrar stor del av skolans verksamhet (Wistedt, 1996). 7

Kursplanen i matematik för grundskolan poängterar vikten av kommunikation och argumentation i ämnet. Ett bra tillfälle att träna detta är i samband med problemlösning. Att prata och diskutera matematik hjälper eleverna att bättre förstå och fördjupa sina matematiska kunskaper. Följande går att läsa i Kursplanen för matematik i grundskolan (Skolverket, 2000). Utbildningen i matematik skall ge eleven möjlighet att utöva och kommunicera matematik i meningsfulla och relevanta situationer i ett aktivt och öppet sökande efter förståelse, nya insikter och lösningar på olika problem. utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande, utvecklar sin förmåga att formulera, gestalta och lösa problem med hjälp av matematik, samt tolka, jämföra och värdera lösningarna i förhållande till den ursprungliga problemsituationen. Skolan skall också sträva efter att eleverna utvecklar grundläggande talbegrepp och rumsuppfattning, lär sig arbeta med olika metoder, måttsystem och mätinstrument. Det är även viktigt att eleven får träna på att uppskatta, jämföra och att räkna med reella tal, procent och geometriska begrepp. Problemlösning är en viktig del av matematikämnet i skolan. För att kunna använda matematiken på ett effektivt sätt, krävs mycket kreativitet, en god problemlösningsförmåga och kunskap om matematikens olika begrepp, uttrycksformer och metoder (Skolverket, 2000). 3.1.2 Skillnader i skolår fem och nio I dagens skola har problemlösning kommit att innebära svårigheter för åtskilliga elever i de senare skolåren. Därför har genomförandet av problemlösningen ifrågasatts och Olsson (2000) menar att eleverna måste få arbeta med problemlösning i ett tidigare stadium. I kommentarer till grundskolans kursplan och betygskriterier i matematik diskuteras orsaken till elevers svårigheter med problemlösning (Skolverket, 1997:18). Läroböckernas uppgifter har sedan de första räknelärorna kommit att domineras av färdigformulerade problem med precis de sifferuppgifter angivna i texten som skall användas i lösningen. Ibland är det inte ens ett äkta problem eftersom räknesättet anges genom sammanhanget eller kapitelrubriken. Uppgifterna är inte sällan konstruerade för att passa in i ett räknemönster, så ett eleverna paradoxalt nog kan lösa dem utan att ta hänsyn till den vardagsanknytning de var tänkta att ge. I verkligheten får man oftast själv formulera problemet, välja ut eller skaffa uppgifter som behövs, välja lösningsmetod och fundera över om det erhållna svaret är rimligt i förhållande till sammanhanget. Alla dessa delar ska eleven möta i sin matematikutbildning. Vidare menar Olsson (2000) att de problemlösningsuppgifter eleverna arbetar med måste vara av den typ som utvecklar deras problemlösningsstrategier. De bör ha flera steg, obehövliga sifferuppgifter och överflödig information för att barnen tidigt ska kunna lära sig att urskilja nödvändiga upplysningar (Olsson, 2000). Tyvärr tycks arbetsformen i matematik på ett tidigt stadium inrikta sig mot enskilt arbete med lärobokens uppgifter och facit. Detta kan skapa negativa attityder hos barnen gentemot ämnet i stort. I grundskolans år fem är de allra flesta eleverna positiva till skolan och innehållet i matematiken befinner sig fortfarande på en konkret nivå. Eleverna kan se samband mellan skolans lärdomar och omvärlden. Det är också i år fem som den största andelen elever med god tillit till den egna matematiska 8

förmågan finns. Dessvärre tycks denna positiva inställning till ämnet matematik förändras till det sämre under tiden i grundskolan. I skolår sju till nio visar sig enskilt arbete vara den vanligaste arbetsformen och variation av såväl innehåll som arbetssätt är otillräcklig (Skolverket, 2003). Olsson (2000:191) skriver att Många lärare känner igen frågan: Är det plus, minus, gånger eller delat?. Som lärare är det lätt hänt att omedvetet svara på den här typen av frågor och därmed styra eleverna genom uppgifterna. Resultatet blir att eleverna blir oförmögna att på egen hand avgöra räknesätt och fatta beslut i tankeprocessen. Eleverna går miste om förståelsen (Olsson, 2000). Förståelsen tycks just vara avgörande för lusten att lära matematik. I skolår fyra och fem har en tydlig uppdelning uppmärksammats mellan de elever som uppfattar matematik som spännande och de elever som har tappat förståelsen och därmed motivationen. Dessa skillnader förstärks oftast ytterligare under skoltiden och i skolår nio är allt färre elever positiva till ämnet. Två grupper har bildats, en med elever som anser att innehållet ligger på rätt nivå och ger lagom svåra utmaningar, och en med elever som antingen tycker att innehållet är för svårt och oförståeligt eller för enkelt och oinspirerande. Den huvudsakliga drivkraften i matematik för elever i skolår nio kan kopplas till poäng och betyg (Skolverket, 2003). Med hjälp av de andra skolämnena och olika erfarenheter från omvärlden kan eleverna öka sitt matematiska kunnande. Ett av de mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte skolåret, handlar om att eleven ska ha tillägnat sig de grundläggande kunskaperna i matematik som krävs för att kunna beskriva, hantera och lösa konkreta problem som uppstår i elevens närmiljö. Ett likande mål finns för elever i skolår nio. I slutet av det nionde skolåret ska eleverna, utöver målet i skolår fem, dessutom kunna lösa problem som vanligtvis förekommer och uppstår i hem och samhälle. Eleverna ska för övrigt ha utvecklat den grund som behövs för den fortsatta utbildningen och de ska helst kunna jämföra olika metoders föroch nackdelar, samt kunna välja rätt räknemetoder och hjälpmedel till sitt problemlösningsarbete (Skolverket, 2000). 3.1.3 Problemlösningsförmåga PISA, ett projekt där femtonåriga elevers matematikkunnande undersöks, använder sig av begreppet mathematical literacy för att beskriva matematisk kunskap och kompetens. Begreppet innebär att eleven har förmågan att använda matematiken i övriga studier, olika situationer och i framtida samhälls- och yrkesliv (Skolverket, 2007). Emanuelsson m.fl. (1991) anser att begåvning har en viss betydelse för att kunna skapa en god problemlösningsförmåga, men inte uteslutande. Elever behöver övning för att kunna utveckla ett logiskt tänkande, analysförmåga, kreativitet, tålamod och förmågan att gissa. Dessutom krävs ett gott självförtroende (Emanuelsson m.fl. 1991). I den nationella utvärderingen 2003 visade det sig att den del som utvärderar elevers problemlösningsförmåga var den med sämst resultat. Uppgifterna innehåller ofta mycket text och resultatet kan därför kopplas till elevers försämrade läsförmåga (Myndigheten för skolutveckling, 2007). Lester (1996) delar upp problemlösningsförmåga i fem olika kategorier; kunskapande och användning, kontroll, uppfattningar av matematik, affekter och socio-kulturella sammanhang. Kategorierna samspelar och påverkar varandra, vilket kanske är orsaken till att problemlösning är komplext och svårt för eleverna. Nedan kommer varje kategori att ges en närmre beskrivning. 9

Kunskapande och användning Betydelsefulla typer av kunnande i matematik är enligt Lester (1996) att känna till fakta och definitioner, algoritmer, olika strategier och problemtyper. Eleven bör också vara förtrogen med rutinmässiga lösningstekniker och procedurer. Förutom att besitta ett matematiskt kunnande är det också av stor vikt hur kunskapen förvaltas. Med detta menar Lester hur kunskapen används i en situation, på vilket sätt kunskapen organiseras och representeras. Kontroll Problemlösningsförmåga handlar om att ha en viss kontroll i matematiska situationer. Det innebär att kunna planera, fatta beslut och utvärdera. Arbetet ska läggas upp och organiseras utifrån de förutsättningar som ställs. Att ha kontroll innebär också att kontinuerligt reflektera under problemlösningsprocessen för att finna eventuella snedsteg eller fel och rätta till dessa. Goda problemlösare uppmärksammar och finner oftast fel i lösningar tidigare än andra (Lester, 1996). En god problemlösare kan reglera det egna beteendet, en process som benämns metakognitiv. Hur elever styr och kontrollerar sitt tänkande har ägnats stort intresse inom den matematikdidaktiska forskningen (Lester, 1996). I Lusten att lära med fokus på matematik (Skolverket, 2003:9) står följande att läsa om metakognition. Metakognition handlar om att bli medveten om sitt eget och andras lärande, att styra och värdera sitt lärande och den kunskap som det leder till, förstå vad man har lärt sig och varför. Man kan förhålla sig till mål och riktlinjer. Att använda kognitiv och metakognitiv teori i granskningen innebär att observera elevers träning i att problematisera, ifrågasätta och kritiskt och konstruktivt granska skilda förhållanden och arbeta med problemlösningar av skilda slag. Dialoger och diskussioner förekommer. Uttryck för lusten att lära kan i detta avseende vara avslutade och lyckade diskussioner samt dialoger med flera stämmor, inte bara lärarens och en elevs utan fleras. Lester (1996) framhåller att elever med brist på kontroll och dålig medvetenhet kring kunskap och tänkande har svårt för problemlösning. Uppfattningar av matematik Alla har vi någon slags uppfattning av matematik som vi också bär med oss i de aktiviteter och situationer vi ställs inför. Lester (1996) skriver om matematiksyn och refererar till Schoenfelds term beliefs. Matematiksynen bygger upp en persons subjektiva kunskap om sig själv, om matematik, omgivningen och de moment som behandlas i olika matematikuppgifter (Lester, 1996:86). Affekter Kategorin affekter innefattar känslor och attityder. Lester (1996) menar att attityder kan tolkas som personers egenskaper, medan känslor är bundna till en viss situation. Attityder som motivation, intresse, risktagande, tålamod och förmåga att stå emot svårigheter påverkar prestationerna i problemlösningen. Elever anser att matematik är ett viktigt ämne, men desto färre finner ämnet intressant och motiverande. Uppgifterna i matematik bjuder på för få utmaningar vilket gör att motivationen sjunker (Myndigheten för skolutveckling, 2007). Matematik uppfattas som ett svårt ämne och många elever får aldrig känna glädjen med att lyckas, som är en motiverande känsla. 10

Uppgifterna måste ligga på rätt nivå för att eleverna ska kunna skapa motivation och engagemang i ämnet (Skolverket, 2003). Lester (1996) tar också upp självförtroendets betydelse för problemlösningsförmågan. En god självtillit kan höja elevers prestationer, samtidigt som en dålig självtillit sänker förmågan. Elevens inställning till sig själv och ämnet spelar en betydande roll för resultatet. Elever med god självtillit söker i högre grad efter utmaningar inom matematiken för att nå känslan av att lyckas lösa eller förstå nya uppgifter. Dessa elever kan finna utmaning och därmed motivation genom problemlösningen (Skolverket, 2003). Socio-kulturella sammanhang Allting sker i ett sammanhang. Kunskaper växer fram och utvecklas i sociala och kulturella situationer. Lester (1996) tar upp begreppet etnomatematik och beskriver det som den matematik barnen har utvecklat utifrån sina erfarenheter och sin miljö. Denna bakgrund tar barnen med sig till skolan. Vidare menar Lester att dessa socio-kulturella villkor har ett samband med elevens förutsättningar att lyckas med matematik i såväl skolsammanhang som vardagliga situationer. Elevers erfarenheter utanför skolan påverkar i hög grad förhållningssättet vad det gäller kunskap, vilken attityd eleven har till skolan och till matematikämnet. Sociala och kulturella erfarenheter är betydande för hur eleven förstår sig på och lyckas passa in i skolans värld. Det är dock viktigt att inte förtränga skolans roll, utan också utreda vilken betydelse denna har för elevens fram- och motgångar (Myndigheten för skolutveckling, 2007). 3.2 Vad är ett matematiskt problem? Det finns skilda uppfattningar om vad ett matematiskt problem egentligen är och begreppet är svårdefinierat. I följande avsnitt kommer olika definitioner av begreppet belysas samt kommer olika problemtyper att tas upp. Därefter följer en beskrivning av Rika matematiska problem som har en betydande plats i denna studie. 3.2.1 Definitioner av ett matematiskt problem En vanligt förekommande syn är att problemlösning handlar om något svårt och klurigt och ses många gånger som en syssla för begåvade elever. Löwing & Kilborn (2002) menar att problemlösning måste ses som en aktivitet för alla elever, oavsett nivå och förmåga. Detta försvårar ytterligare att göra en tydlig avgränsning om vad problem och problemlösning innebär. Hagland m.fl. (2005) tar hänsyn till elevers individuella förutsättningar då de menar att samma uppgift kan vara en problemuppgift för en elev samtidigt som den är en simpel rutinuppgift för en annan elev. Även Lester (1993) menar att de uppgifter som löses på rutin inte kan klassificeras som ett problem. Lester s definition av ett problem är: A problem is a situation in which an individual or a group is called upon to perform a task for which there is no readily accessible algorithm which determines completely the method of solution (Nilsson, H, 1993:85). Unenge och Wyndhamn (1988) definierar ett problem utifrån följande kriterier. Eleven ska vilja lösa problemet och finna en eller flera lösningar. Motivationen är en viktig del i processen och eleven behöver känna att arbetet är meningsfullt. Viljan att lösa problemet är också betydande för elevens tålamod, det vill säga att eleven inte ger upp förrän problemet är löst. Ett annat kriterium är att det inte ska finnas någon utstakad rutin för hur problemet ska lösas. Eleven ska själv tolka uppgiften och välja lämplig strategi för att finna en lösning. Det sista kriteriet står för att ett problem behöver ett eller flera kreativa lösningsförsök. Eleven 11

ska också kunna använda sig av olika sorters kunskaper inom matematiken, så som taluppfattning, överslagsräkning, rimlighetsbedömning och huvudräkning (Unenge & Wyndhamn, 1988). 3.2.2 Olika typer av problem De matematiska problem som eleverna möter i skolan är oftast tillämpningsuppgifter eller problem med särskilda och förberedda syften. Unenge och Wyndhamn (1988) menar att dessa problem skiljer sig från de verkliga problem vi ställs inför i vardagen. Vardagsproblem kan vara av olika karaktär, ha flera och öppna lösningar samt innehålla kunskaper från olika ämnesområden (Löwing & Kilborn, 2002). Berggren och Lindroth (1998) påstår att elever ofta strävar efter att komma fram till själva svaret på en uppgift, när det egentligen är vägen fram till lösningen som är den väsentliga. Fokus ska ligga på processen som leder fram till svaret, för svaret i sig är nödvändigtvis inte det intressanta. Om eleverna får i uppgift att lösa öppna och rika problem, som inte bara har ett rätt svar, ges eleverna bättre möjligheter att lösa problemet på olika sätt och på sin egen individuella nivå. Enligt Berggren och Lindroth innehåller inte dagens läromedel rätt sorts problemlösningsuppgifter. Uppgifterna kräver för lite av både logik och fantasi, och uppgifterna har oftast endast en lösning som anses vara den rätta. Vissa uppgifter inbjuder eleverna till att använda redan förvalda strategier och räknesätt. Emanuelsson m.fl. (1991) kallar detta för snabba klipp, uppgifter som innebär att elever varken behöver välja rätt räknesätt eller en lämplig lösningsstrategi. I problemen kan det finnas så kallade kodord eller signalord, som till exempel ge bort, dyrare, kvar, äldre och mindre (Emanuelsson m.fl. 1991; Malmer, 2002). Istället för att analysera uppgiften och komma fram till vad den går ut på, försöker eleverna lösa uppgiften på snabbast möjliga vis genom att använda kodorden. Mindre än, det betyder att subtraktion är det räknesätt som ska användas och äldre än innebär en addition. En stor del av problemlösning går ut på att kunna analysera uppgiften och välja ut lämpliga lösningsmetoder (Emanuelsson m.fl. 1991). Det finns flera olika sorters matematiska problem. Problemen kan innehålla olika steg och kallas för enstegsproblem eller flerstegsproblem, där problem med fler steg ofta är mer avancerade och mer krävande. Sedan finns det något som kallas för öppna problem, där eleverna kan välja att lösa problemet på flera olika sätt och komma fram till olika lösningar. Den ena lösningen behöver inte vara mer rätt än någon annan och tolkningen av uppgiften är väldigt viktig. Andra vanliga problem kan vara vardagsproblem, antingen lite enklare problem som löses av rutin eller mer komplicerade vardagsproblem (Ahlberg, 1995; Löwing & Kilborn, 2002). Ibland kan problemuppgifter användas för att introducera ett nytt matematiskt moment eller för att integrera andra skolämnen i matematiken. Problemen kan även handla om aktuella saker som händer i samhället, något från elevernas vardagsliv eller från elevernas olika fritids- och intresseområden. Problem kan dessutom lösas för nöjes skull, vissa elever tycker om att arbeta med riktiga tankenötter. En del problem kan lösas på enklare sätt med hjälp av olika medel, exempelvis laborativt material. En viktig sak att påpeka är att problemlösning tar olika lång tid, beroende på vilket problem som löses, hur noga problemlösningsprocessen genomförs och vem eller vilka det är som löser problemet (Löwing & Kilborn, 2002). 3.2.3 Rika matematiska problem Hagland, Hedrén och Taflin (2005) skriver om forskningsprojektet Rika problem i matematikundervisningen, RIMA, i boken Rika matematiska problem. Genom projektet vill de undersöka elevernas inlärningsmöjligheter och lärarnas arbetssätt i samband med rika 12

matematiska problem. Författarna har konstruerat olika kriterier för vad som karaktäriserar ett rikt matematiskt problem. Kriterier för ett rikt matematiskt problem (Hagland m.fl. 2005). Problemet ska introducera viktiga matematiska idéer eller vissa lösningsstrategier. Problemet ska vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med det. Problemet ska upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid. Problemet ska kunna lösas på flera olika sätt, med olika strategier och representationer. Problemet ska kunna initiera en matematisk diskussion utifrån elevernas skilda lösningar, en diskussion som visar på olika strategier, representationer och matematiska idéer. Problemet ska fungera som brobyggare mellan olika matematiska områden. Problemet ska kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem. 3.3 Problemlösning som arbetssätt Felaktigt kan problemlösning uppfattas som ett nytt arbetssätt och en trend inom skolmatematiken (Emanuelsson m.fl. 1991). Problemlösning har egentligen ägnats stor uppmärksamhet under de senaste tjugo åren. Redan i samband med Lgr 80 hade problemlösningen en framträdande roll i och med att momentet presenterades som ett huvudområde. Detta sågs som en positiv utveckling, i den meningen att matematik inte uteslutande skulle handla om färdighetsträning av algoritmer och formler. I följande avsnitt redogörs för hur undervisningen kan planeras när det gäller problemlösning. Därefter presenteras olika organisationsformers positiva respektive negativa sidor. 3.3.1 Undervisning Momentet problemlösning är av tung vikt enligt Lpo 94, vilket Malmer (2002) finner naturligt eftersom vardagslivet består av flertalet problemsituationer. Malmer menar dock att dagens skola måste vidga perspektivet ytterligare och att undervisningens utformande och innehåll måste utvecklas för att eleverna ska kunna nå målen. I Lpo 94, belyses vikten av att kunna tillämpa det matematiska tänkandet i vardagen. Dagens samhälle kräver goda grundläggande matematiska kunskaper och en god problemlösningsförmåga. Det behövs medvetenhet och ett kritiskt förhållningssätt för att kunna urskilja och tolka betydelsefull information ur ett växande utbud av valmöjligheter (Skolverket, 2006). Enligt kursplanen för matematik i grundskolan är ämnets syfte att ge eleverna en varaktig matematisk grund för att kunna använda matematiken i andra ämnen och i den fortsatta utbildningen. Eleven ska utveckla ett logiskt tänkande som också kan nyttjas utanför skolans värld (Skolverket, 2000). För att nå dessa mål bör skolan satsa på en mer förståelseinriktad undervisning där eleverna ges möjlighet att se samband och helheter. Det måste ges tillfälle för eleverna att diskutera och argumentera för sina lösningar (Emanuelsson, red. 1996). Lester (1996) anser att de flesta elever får bristfällig undervisning inom problemlösning, antagligen för att området är komplext och svårt att undervisa i. Lester nämner dock några grundläggande principer att utgå ifrån när det gäller att utveckla problemlösningsförmågan. Eleverna bör möta och arbeta med många olika problemuppgifter och detta under en lång tid för att de ska ges möjlighet till utveckling. Undervisningen bör vara systematisk och läraren har en viktig roll som inspirationskälla (Lester, 1996). Läraren ansvarar för att skapa tillfällen där eleverna får möjlighet att tala matematik. Problemen som ligger till grund för arbetet ska kännas meningsfulla och intressanta för att eleverna ska kunna formulera lösningar, utveckla 13

egna tankar och resonemang som utgångspunkt för lärandet i matematik (Myndigheten för skolutveckling, 2007). Problemlösning bör integreras i den vardagliga matematikundervisningen och inte endast uppmärksammas vid enstaka tillfällen (Lester, 1996). Elevers reaktioner i en undervisningssituation kan ha stor spridning, ändock måste elevers olikheter och skilda behov tillgodoses. Därför är variation och flexibilitet i undervisningen viktiga utgångspunkter. Tyvärr arbetar lärare ofta monotont med momentet problemlösning i den meningen att laborativt arbetssätt och arbete i olika organisationsformer sällan eller aldrig förekommer. Anledningen är ofta lärarens uppfattning att dessa metoder blir stökiga då elevgrupperna är stora, ibland över trettio elever (Skolverket, 2003). Läraren förlorar kontrollen över undervisningen och finner det dessutom svårt att värdera och bedöma den enskilde elevens insats (Emanuelsson m.fl. 1991). Lester (1996) anser att problemlösning till största del bör behandla så kallade processproblem, det vill säga ett problem som kräver mer än bara beräkningar för att kunna lösas. Genom processproblem måste eleven kunna förstå, planera, lösa problemet samt utvärdera lösningen (Lester, 1996). Ett processinriktat arbetssätt gör också att eleven utvecklar en förmåga att beskriva och reflektera över matematiska lösningsprocesser då de oftast inte är rutinmässiga (Skolverket, 2003). Vidare påpekar Lester (1996) att eleverna i större utsträckning måste få möjlighet att arbeta med och lära sig att använda problemlösningsstrategier. Det kan handla om att rita en bild, ställa upp en ekvation, arbeta baklänges eller arbeta med laborativt material. Eleverna måste få öva på att praktisera strategier och på att avgöra när det är lämpligt att använda en viss strategi. 3.3.2 Enskilt eller grupp Enligt nationella utvärderingar av grundskolan - 1992, 1995 och 2003 - har enskilt arbete blivit allt vanligare, inte minst i matematik. Bland de teoretiska ämnena är matematik i särklass det ämne där flest elever anger att de arbetar enskilt näst intill varje lektion. Skolverket menar att denna ökning av enskilt arbete kan vara en orsak till att elevernas prestationer i ämnet har försämrats jämfört med den nationella utvärderingen, 1992. Enskilt arbete kan sänka elevens engagemang då utmaningarna blir för få. Dessutom går det inte att motivera uteslutande enskilt arbete som arbetsform gentemot styrdokumentens mål som kräver variation, möjlighet till interaktion och kommunikation (Myndigheten för skolutveckling, 2007). Vid enskilt arbete har läraren ungefär två minuter att ägna åt varje elev. Resterande tid av lektionen lämnas eleven själv med att arbeta och lära sig av lärobokens uppgifter. Vikten läggs ofta felaktigt på att räkna många uppgifter fortast möjligt, det vill säga att ju längre fram i boken desto bättre. Tyvärr bekostar detta bland annat förståelse och begreppsutveckling (Skolverket, 2003). En missuppfattning som existerar är att enskilt arbete med läroboken, i elevens egen takt, skulle vara en form av individualisering och därmed ett sätt att eftersträva läroplanens riktlinje att arbeta individanpassat. Tanken att varje elev får arbeta i sin egen takt är säkert god, men den gemensamma diskussionen och det kollektiva lärandet går förlorat (Myndigheten för skolutveckling, 2007). När vi stöter på problem i vår vardag löser vi oftast dessa med hjälp av kollegor, vänner eller familj. Därför borde också skolans undervisning i större utsträckning inrikta sig på problemlösning i grupp, vilket har flera fördelar. Emanuelsson m.fl. (1991) poängterar att arbete i grupp med matematikproblem gör att uppgiften kan ses ur olika perspektiv och att alla i gruppen kan ses som en resurs för att finna en lösning. Grupparbete i matematik har inte blivit vanligare sedan den nationella utvärderingen 1992. Detta märks genom att elever och lärare visar en osäkerhet och ovana med att arbeta i grupp med problemlösning. Dock är 14

majoriteten bland både lärare och elever positiva till grupparbete, även om vissa lärare anser att arbetssättet är olämpligt för svagpresterande elever (Myndigheten för skolutveckling, 2007). Nilsson, B (1993) påpekar att beroende på hur problemet ser ut passar grupparbete bättre vid vissa tillfällen, medan enskilt arbete kan vara mer effektivt vid andra. Vidare menar Nilsson, B (1993) att grupparbete både kan hjälpa och hindra den enskilde individen och dess prestationer. Enskilt arbete med problemlösning kräver att eleven har en inre kraft och motivation, egna kunskaper och erfarenheter att utgå ifrån. I en grupp kan motivation skapas genom samarbetet och de olika kunskaper som gruppmedlemmarna tillför. Det handlar om att hjälpas åt och svårigheter kan lättare överbyggas (Nilsson, B, 1993). 3.3.3 Problemlösning i grupp Att arbeta med problemlösning i grupp är ett arbetssätt som elever uppfattar som roligt och lärorikt. Dessa undervisningssituationer erbjuder ofta upptäckarglädje, där både känsla och tanke får ta plats. Arbetsformerna och innehållet är varierat och reflektion och kommunikation blir naturliga delar i processen. Engagemang skapas hos såväl elever som lärare (Skolverket, 2003). Grupparbete med problemlösning ger eleverna möjlighet att diskutera olika lösningsstrategier och resultat, få nya idéer av kamraterna som också kan skapa en medvetenhet om det egna tänkandet. Detta utvecklar i sin tur förståelsen (Emanuelsson m.fl. 1991). Emanuelsson m.fl. redogör för olika typer av grupparbete som kan genomföras i mindre eller större gruppsammansättningar. Det kan handla om diskussioner, undersökande aktiviteter, tematiskt eller problembaserat arbete. Nilsson, B (1993) menar att det alltid uppstår roller och allianser i en grupp. En person som känner sig överflödig eller på något sätt utsatt agerar ofta defensivt. Fokus flyttas då från att finna en lösning på problemet till att skydda sig själv mot gruppmedlemmarna. Ahlberg (1995) anser att det är lärarens uppgift att sätta ihop fungerande grupper. Elevgrupper om tre till fyra har visat sig vara gynnsamma för aktivitet och delaktighet i problemlösningen (Lester, 1996). Helst ska varje elev få en personlig uppgift tilldelad för att alla ska bli delaktiga i projektet (Ahlberg, 1995). Gruppuppgifterna bör inte vara komplementära, det vill säga att elevers enskilda arbete inte ska kunna sättas ihop till ett grupparbete utan att omarbetas. Grupparbetsuppgifter bör vara konjunktiva vilket betyder att allas bidrag behövs för att finna en lösning på problemet. Utöver dessa två typer av gruppuppgifter beskrivs disjunktiva uppgifter, där det räcker att en elev löser uppgiften, och kompensatoriska uppgifter, där gruppen kommer fram till ett svar genom att rösta (Myndigheten för skolutveckling, 2007). Nilsson, B (1993) framhåller att en grupp undantagsvis är effektivare än den starkaste eleven. Det är dock avgörande att den elev som ser en lösning på problemet har god självtillit och kan argumentera för sin lösning. Det är nämligen inte ovanligt att en elev har kommit fram till rätt lösning, men övertygas av övriga gruppmedlemmar att lita på ett inkorrekt svar. För att grupparbetet ska ha en positiv verkan är det viktigt att alla i gruppen blir respekterade och tagna på allvar. Eleverna ska våga visa sina idéer och allas förslag och ansträngningar bör uppmuntras och granskas. Att lyssna aktivt på gruppmedlemmar är också av stor betydelse för att arbetet ska kunna föras framåt (Emanuelsson m.fl. 1991). Ett annat villkor är varje individs inställning och ansvarstagande. Det går inte att förskjuta arbetet och tänka att någon annan antagligen gör det. Grupparbetet påverkas av en mängd olika faktorer vilket gör att två gruppers processer sällan eller aldrig kan jämföras, trots att problemuppgiften är densamma (Nilsson, B, 1993). 15

3.4 Problemlösningsprocess Enligt Polya (1990) kan problemlösningsprocessen beskrivas utifrån fyra olika faser, att förstå problemet, att göra upp en plan, att genomföra planen och att se tillbaka och kontrollera resultatet. Denna indelning av problemlösningsprocessen kommer att ligga som grund i studien varpå varje fas i följande avsnitt ges en närmre beskrivning. 3.4.1 Att förstå problemet Den första fasen i problemlösningsprocessen innebär att eleven måste förstå problemet. Polya (1990) menar dock att detta inte är nog, utan eleven måste också vilja finna en lösning på problemet. Även Taflin (2007) understryker elevens vilja att söka efter en lösning. Vidare skriver Taflin att problemlösaren måste ha en förmåga att tolka problemet och ta reda på vad som ska lösas. Problemuppgiften bör ligga på rätt svårighetsnivå, vara intresseväckande och ges tillräckligt med tid för att kunna lösas. Detta för att skapa intresse och goda förutsättningar för förståelse (Polya, 1990). För att kunna ta till sig ny kunskap och utveckla förståelse för nya begrepp behöver eleverna kunna relatera till tidigare erfarenheter (Skolverket, 2003). Taflin (2007) varnar dock för att knyta an alltför mycket till vardag och verklighet då det har visat sig svårt för många elever att utveckla sitt matematiska kunnande med den här typen av undervisning. Den språkliga förståelsen är av stor vikt och kan för många elever skapa svårigheter. Läst text sparas i korttidsminnet och det är därför viktigt att läsa texten noga och gärna upprepade gånger under problemlösningens gång. Varje ord och mening som läses översätts till en inre representation som sedan måste konstrueras om till symbolspråk (Nilsson, H, 1993). Oförmåga att förstå det språkliga i problemtexten är en av de vanligaste fallgroparna som eleverna hamnar i vid problemlösning (Taflin, 2007). Polya (1990) menar att en språklig förståelse av problemet är nödvändig för att kunna sortera ut betydelsefulla delar i problemet. Vad är givet och vad söks? Vilka villkor finns? Detta är viktiga frågor att ställa och besvara och ofta krävs det att se problemet ur olika vinklar. Nilsson, H (1993) påpekar att dessa frågor bör ställas flera gånger för att eleven ska vara säker på vad som verkligen efterfrågas. Alltför ofta använder sig elever av fel information och beräknar inte det uppgiften syftar till (Nilsson, H, 1993). Ett sätt att förstå problemet eller situationen kan vara att formulera problemet med egna ord. Det kan underlätta för eleven att se vilka fakta som krävs och söks, samt förstå förutsättningarna som ges. Redan i detta stadium ska eleven kunna se om tillräcklig information erhålls i uppgiften för att den ska vara lösbar, eller om problemet saknar lösning (Emanuelsson m.fl. 1991). Om det finns en figur kopplad till problemet kan eleven med fördel peka ut det givna respektive sökta (Polya, 1990). Nilsson, H (1993) menar att figurer är ett utmärkt hjälpmedel för att stödja tankeprocessen. Figurer kan ofta göra att eleven enklare kan se samband och helheter i uppgiften, samt skapa idéer om hur problemet ska angripas. 3.4.2 Att göra upp en plan I den andra fasen i problemlösningsprocessen tar Polya (1990) upp allmänna matematiska problemlösningsstrategier, vilket benämns heuristik. Nilsson, H (1993) skriver om heuristiska frågeställningar som ett medel att tänka högt och resonera kring problemet. Kan problemet förenklas? Kan problemet kopplas till ett liknande problem? Kan problemet delas upp i delproblem? Dessa frågor kan hjälpa problemlösaren att komma upp med en plan för att lösa problemet. Polya (1990) menar att vi har en plan när vi vet eller kan tänka oss vilka 16

uträkningar och konstruktioner som krävs för att finna en lösning. Det är sällan enkelt att komma på en plan eller finna en idé för hur det sökta kan nås. Det krävs tidigare kunskaper och erfarenheter, en god mental styrka och koncentration på problemets syfte och inte minst lite tur för att komma på rätt väg. Denna fas kan ta tid och vara krävande vilket fordrar tålamod från problemlösaren. Planen växer ofta fram gradvis efter prövningar varvade med återvändsgränder. Ibland kan en idé helt plötsligt kläckas, efter tid av osäkerhet och upprepade försök att komma igång. Polya anser att det är lyckosamt om problemet kan relateras till ett tidigare känt problem, även om det kanske inte kan hjälpa eleven fullt ut. Eleven måste ändock kunna se variationer och förändra och modifiera problemet. En bra idé grundar sig ofta på tidigare erfarenheter och kunskaper. Att minnas är dock inte tillräckligt för att kunna skapa en bra planering, även om det är en förutsättning. Lester (1996) menar att delproblem bör formuleras och lämpliga strategier måste väljas för att kunna lösa dessa. Några exempel på lösningsstrategier att använda sig av vid problemlösning är att: rita bilder, söka mönster, arbeta baklänges, göra en lista, skriva upp en ekvation, dramatisera situationen, göra en tabell, göra ett diagram, gissa och pröva, lösa ett enklare problem och använda laborativa material eller modeller. 3.4.3 Att genomföra planen Den tredje fasen i problemlösningsprocessen är att genomföra planen för att lösa problemet. Polya (1990) hävdar att denna fas är mycket enklare än den föregående. Återigen handlar det om att ha tålamod för att arbeta strukturerat efter den uppsatta planen, där varje genomfört steg i beräkningarna bör utvärderas och reflekteras kring för att undvika misstag och felberäkningar. Nilsson, H (1993) påpekar vikten av att planen inte är oföränderlig. Den förändras ofta under lösningens gång eller kanske till och med förkastas helt eller kräver en omarbetning. Det gäller att våga, att eleven tar god tid på sig och inte är rädd för att gå tillbaka om planen känns osäker (Emanuelsson m.fl. 1991). För att inte förlora fokus kan med fördel uppgifter och dellösningar skrivas ner (Nilsson, H, 1993). Polya (1990) menar att en fara är att eleven glömmer sin plan. Detta är lätt hänt om eleven har tagit till sig planen utifrån, exempelvis från läraren. En elev som däremot har varit aktiv i arbetet med att konstruera en plan på egen hand, eller med viss hjälp från lärare eller kamrater, har betydligt lättare för att komma ihåg planens olika delar. 3.4.4 Att se tillbaka och kontrollera resultatet Den fjärde och sista fasen i problemlösningsprocessen handlar om att se tillbaka och kontrollera lösningen. Polya (1990) poängterar att elever oftast inte ägnar någon tid att reflektera över sin lösning. I samma stund som problemet är löst lämnar eleven problemet bakom sig och börjar med någon ny uppgift. Nilsson, H (1993) beskriver en slags tillfredställelse som uppstår då ett problem blivit löst. Från att ha varit spänd under problemlösningsprocessen inträder en avslappnande känsla då problemet är löst. Eleven har ingen energi kvar att se tillbaka på sitt arbete (Nilsson, H, 1993). Det är inte ovanligt att elever arbetar med en mängd uppgifter utan att reflektera, vilket också betyder att få har förstått vad de egentligen gjort eller att lösningen kan användas i andra sammanhang (Skolverket, 2003). Emanuelsson m.fl. (1991) menar att problem med vardagsanknytning inte är tillräckligt för att elever ska motiveras till att reflektera över problemets innehåll. Även han påpekar att elever allför ofta arbetar med ett problem utan att granska och värdera resultatets rimlighet. Enligt Polya (1990) går dessa elever miste om en viktig del i problemlösningsprocessen. Att se tillbaka på resultatet och den väg som lett dit kan fördjupa elevens matematiska kunskap och utveckla problemlösningsförmågan. Ett problem är aldrig 17

avslutat, det finns alltid något mer att upptäcka eller arbeta med. Lösningen kan förbättras så som förståelsen för den. 3.5 Matematiska uttrycksformer Eleverna kan använda sig av flera uttrycksformer samtidigt och kombinera dessa på olika sätt vid problemlösningsarbetet. Enligt Emanuelsson (red. 1997) är det viktigt att kunna översätta och använda flera olika uttrycksformer och därigenom kunna förtydliga, kontrollera och förklara tankegångar och lösningsförslag. De olika uttrycksformerna ska fungera som redskap och ge stimulans för tankearbete och kommunikation. Till en början kan ett uttryckssätt brukas för att sedan växla och bygga vidare lösningen genom ett annat uttryck (Emanuelsson, red. 1997). En viktig del av matematisk kompetens är förmågan att vid behov kunna byta uttrycksform, att ledigt kunna växla mellan att utföra en konkret handling, att använda sig av ett språkligt uttryck muntligt eller skriftligt, med och utan matematiska symboler, att sätta upp tabeller, framställa grafer eller rita bilder (Hagland m.fl. 2005:35). Det finns flera olika sätt att dela in uttrycksformerna på, men i denna studie har Hagland, Hedrén och Taflins uppdelning valts, nämligen konkret uttrycksform, logisk/språklig uttrycksform, algebraisk/aritmetisk uttrycksform och grafisk/geometrisk uttrycksform. I och med detta har begreppet matematisk uttrycksform en bred innebörd och kan ses som en övergripande beteckning för olika problemlösningsstrategier och hur dessa representeras. I kommande avsnitt ges en beskrivning av dessa uttrycksformer. 3.5.1 Konkret uttrycksform Konkret uttrycksform betyder att eleverna använder något slags konkret material för att lösa problemet (Hagland m.fl. 2005). Malmer (2002) påstår att elever behöver använda sig av laborativt material när de arbetar med matematik för att kunna konkretisera och få omväxling och stimulans. Vidare menar Malmer att många elever som tycker matematik är svårt ofta får uppfattningen om att det även är tråkigt. Tillåts dessa elever att arbeta med laborativt material och med mer praktisk matematik ser elevernas förutsättningar genast bättre ut. Matematikundervisning med laborativt inslag anses ofta vara roligt och då är det lättare att bibehålla elevernas koncentrationsförmåga. Lärare är rädda att eleverna ska tycka att matematiken blir för barnslig om man använder sig av laborativt material (Malmer, 2002). Att arbeta med laborativa material förknippas ofta med nybörjarträning och svag prestationsförmåga. Att använda laborativt material kan kännas nedvärderande, eleven kan uppfatta sig själv som svag för att denne behöver använda hjälpmedel. Det finns olika sorters laborativa hjälpmedel med varierade inriktningar inom matematikens kunskapsområden (Malmer, 2002). 3.5.2 Logisk/språklig uttrycksform Den här uttrycksformen innebär att eleverna använder sig av språket för att komma fram till en lösning och för att kunna förklara hur de har gått till väga. Inga matematiska symboler förekommer i samband med att beskriva lösningen. Lösningen kan redovisas både skriftligt och muntligt (Hagland m.fl. 2005). Kommunikation är en viktig del av matematikämnet. Undersökningar gjorda av PISA visar att svenska elever var sämre på matematikuppgifter som krävde analys, reflektion, argumentation och diskussion. Med andra ord är svenska femtonåringar mindre bra på att kommunicera matematik (Skolverket, 2007). Den svenska skolans läroplan och kursplanen för matematik i grundskolan betonar vikten av kommunikation i matematikundervisningen. Matematisk kommunikation innefattar allt från 18

diskussion, argumentation, att kunna tolka och använda sig av matematiskt språkliga uttryck och olika symboler. Problemlösning är ett bra arbetssätt att använda för att träna upp elevernas matematiska och kommunikativa kompetenser. Eleven ska kunna föra ett matematiskt resonemang, både skriftligt och muntligt (Skolverket, 2006; Skolverket, 2000). I den nationella utvärderingen visade det sig att elever tycker att matematikämnet skiljer sig från övriga teoretiska skolämnen, på grund av att det förekommer färre gemensamma genomgångar och diskussioner mellan elever och lärare (Myndigheten för skolutveckling, 2007). Ett av målen i kursplanen innebär att eleven ska kunna kommunicera och resonera matematik tillsammans och kunna pröva olika lösningar och argumentera med andra (Skolverket, 2000). Om eleverna inte får möjlighet till att träna detta, är det heller inte så konstigt att de inte gör så bra ifrån sig på olika tester (Myndigheten för skolutveckling, 2007). Det finns flera olika varianter av kommunikation, exempelvis mellan lärare och elev, elev och läromedel, elev och elev och mellan flera elever i en grupp. Kommunikation finns även mellan förälder och barn och alla för med sig själva en inre kommunikation. För att kommunikationen ska fungera krävs det att alla elever har ett språk som tillåter ett samarbete och som både kan ge och ta av kommunikationen. Kommunikationen måste värderas högt och tas tillvara på, annars kan grupparbete ses som lönlöst för vissa elever (Myndigheten för skolutveckling, 2007). Löwing (2006) har studerat lektioner i matematik och upptäckt att det finns brister i kommunikationen och förståelsen mellan läraren och eleven. Många gånger talar lärare och elev förbi varandra, vilket ofta resulterar i missförstånd. En annan sak som Löwing upptäckte var att många av eleverna hade bristande kunskaper om matematikens språk och av den muntliga användningen av matematiska begrepp och termer. Lärarna visade tendens till att undvika ett matematiskt språk när de talade med eleverna. Malmer (2002) tror att matematiken står inför ett trendbrott och att den språkliga förmågan inom matematiken kommer att bli mer betydelsefull i framtiden. Matematiken har gått från att vara mekaniskt räknande till mer tänkande och logisk och då är det en fördel att kunna argumentera och diskutera olika lösningar. En annan viktig aspekt är att eleverna lär sig lyssna på sina kamrater och därigenom ta del av deras lösningar och metoder. 3.5.3 Algebraisk/aritmetisk uttrycksform Den algebraisk/aritmetiska uttrycksformen handlar om att elevernas lösning uttrycks med hjälp av algebraiska symboler eller med aritmetiska symboler, eller med både och. Ofta handlar det om att översätta från en logisk/språklig uttrycksform, till exempel en text i ett problem, till ett matematiskt symbolspråk. Översättningen kan bli en formel, en ekvation eller bara siffersymboler. Det är viktigt att stor tid i undervisningen läggs till att öva på att översätta till och från den algebraiska och aritmetiska uttrycksformen. Den algebraiska/aritmetiska uttrycksformen innehåller flera olika slags symboler, exempelvis siffror, bråkstreck, algebraiska symboler som x och y, rot- och integraltecken. I matematiken används en blandning av dessa olika symboler, vilket kallas för alfanumeriska uttryck. Ett vanligt exempel på ett alfanumeriskt uttryck är ekvationer, där blandas siffersymboler, bokstavssymboler och operationssymboler (Hagland m.fl. 2005). 3.5.4 Grafisk/geometrisk uttrycksform Grafisk/geometrisk uttrycksform innefattar att eleverna visar hur de har löst uppgiften genom att göra ett diagram, rita en graf eller bara en bild (Hagland m.fl. 2005). Som komplement kan bilder ritas för att representera verkliga ting. Ett verbalt uttryck kan övergå till den 19

grafisk/geometriska uttrycksformen för att förtydliga det som sägs. Elever som kan använda sig av olika uttrycksformer har en djupare förståelse för matematik och har därmed ökade förutsättningar för att lösa olika problemtyper. Genom att göra ett diagram eller rita en graf kan det verbala framställas på ett tydligt sätt. Diagram, tabeller och bilder framhäver en kvalitativ form av problemlösningen (Emanuelsson, red. 1997). 20