i Designdiagram för förenklad dynamisk kontroll av järnvägsbroar CHRISTOFFER SVEDHOLM ANDREAS ANDERSSON STOCKHOLM, TRITA BKN, Rapport ISSN 89 ISRN KTH/BKN/R SE Brobyggnad Byggvetenskap KTH, SE Stockholm www.byv.kth.se
Designdiagram för förenklad dynamisk kontroll av järnvägsbroar CHRISTOFFER SVEDHOLM Tekn. Lic., Doktorand KTH Brobyggnad Konstruktör ELU Konsult AB ANDREAS ANDERSSON Tekn. Dr., forskare KTH Brobyggnad Beräkningsspecialist, Trafikverket TRITA-BKN, Rapport ISSN -89 ISRN KTH/BKN/R SE
Sammanfattning I följande rapport redovisas så kallade designdiagram för dynamisk kontroll av järnvägsbroar. Syftet är att dessa ska kunna användas i tidiga skeden som en första bedömning om en given bro har möjlighet att klara kraven på komfort och trafiksäkerhet enligt SS-EN 99, avsnitt A... Kraven baseras på vertikal acceleration och vertikal nedböjning av brodäcket samt vinkeländring vid upplag. Baserat på spännvidd och brons lägsta egenfrekvens kan erforderlig massa samt styvhet läsas av direkt i diagrammen. Diagrammen gäller endast för broar med ballastfria spårsystem och största hastighet sth = km/h. Diagrammen är framtagna baserat på en D balkmodell med konstant massa och styvhet samt fasta upplag och är giltiga endast under dessa förutsättningar. Nyckelord: järnvägsbro; dynamik; höghastighetståg; ballastfria spår; acceleration. i
Summary In this report, so called design charts for dynamic assessment of railway bridges are presented. The aim is to use these diagrams in early stage design of bridges, to determine if they are likely to comply with the requirements for riding comfort and traffic safety stated in SS-EN 99, section A... The requirements are based on vertical acceleration and vertical displacement of the bridge deck, as well as end rotation at supports. Based on the span length and the fundamental natural frequency, the required mass and stiffness can be obtained directly from the diagrams. The diagrams are only valid for bridges with ballastless track systems and an allowable speed sth = km/h. The diagrams are developed based on a D beam model with constant mass and stiffness and fixed supports. The diagrams are only valid under these assumptions. Keywords: Railway bridge; dynamic; high-speed train; ballastless track; acceleration. iii
Förord Följande rapport utgör del i utredning enligt beställning TRV / Designdiagram för dynamisk kontroll av ballastfria järnvägsbroar, på uppdrag av Trafikverket. I denna rapport redovisas s.k. designdiagram som beskriver samband mellan spännvidd, lägsta egenfrekvens samt erforderlig massa eller styvhet för att uppfylla de dynamiska brukskrav som anges i SS-EN 99, avsnitt A.., avseende vertikal acceleration, nedböjning och vinkeländring vid upplag. Beräkningarna bakom dessa diagram baseras på D balkteori och är främst avsedda som en första bedömning i tidiga skeden. Stockholm, 9 januari Christoffer Svedholm & Andreas Andersson v
Innehåll Sammanfattning Summary Förord i iii v Inledning. Bakgrund......................... Syfte och avgränsningar................... Dynamisk kontroll enligt Eurokod. Dynamiska kontroller..................... Deformation och svängningar.................. Krav på en dynamisk analys.................. Krav enligt TDOK :9................ Designdiagram 9. Beräkningsmodell..................... 9. Beräkningsförfarande..................... Exempel fritt upplagd betongbalkbro............. Exempel betongbalkbro i tre fack.............. Litteratur A Designdiagram för slakarmerade betongbroar 9 A. Fritt upplagda broar.................... A. Kontinuerliga broar i två fack................ A. Kontinuerliga broar i tre fack................. A. Kontinuerliga broar i fyra fack................ vii
B Designdiagram för förspända betongbroar 9 B. Fritt upplagda broar.................... B. Kontinuerliga broar i två fack................ B. Kontinuerliga broar i tre fack................. B. Kontinuerliga broar i fyra fack................ C Designdiagram för stål- och samverkansbroar 9 C. Fritt upplagda broar.................... C. Kontinuerliga broar i två fack................ C. Kontinuerliga broar i tre fack................. C. Kontinuerliga broar i fyra fack................ D Tvärsnittsoptimering för D-dynamik 9 D. Betongplattbroar..................... D. Betongbalkbroar..................... D. Betonglådbroar...................... D. Samverkansbroar..................... viii
Kapitel Inledning. Bakgrund Vid utformning av järnvägsbroar på höghastighetsbanor krävs utöver en konventionell statisk dimensionering även dynamiska kontroller för att säkerställa komfort och trafiksäkerhet, vilket riskerar att inträffa främst vid resonans. Dessa beräkningar är ofta mycket tidskrävande och behöver utföras redan i ett förslagsskede (systemhandlingsskede). Det som oftast är avgörande är brodäckets vertikala acceleration, men för längre spännvidder kan även vertikal nedböjning eller vinkeländring vid upplag vara avgörande. Det är ofta svårt att på förhand avgöra om en bro klarar kraven på komfort och trafiksäkerhet utan att utföra fullständiga dynamiska analyser.. Syfte och avgränsningar Syftet med föreliggande rapport har varit att ta fram ett enkelt hjälpmedel för att i tidiga skeden kunna göra en första bedömning om en aktuell bro har möjlighet att uppfylla kraven på komfort och trafiksäkerhet enligt SS-EN 99, avsnitt A... Så kallade designdiagram har tagits fram, som beskriver samband mellan spännvidd, lägsta egenfrekvens samt erforderlig massa eller styvhet för att klara ställda krav. Diagrammen gäller för broar med ballastfria spår och hastighet sth = km/h. Designdiagrammen baseras på en D balkmodell med konstant massa och styvhet samt fasta upplag. Både fritt upplagda och kontinuerliga broar redovisas, dock med givna proportioner i spännvidd. Vid användandet av diagramen bör det säkerställas att nämnda förutsättningar är uppfyllda. För broar med lågfrekventa vridmoder eller mycket eftergivliga upplag riskerar diagrammen att ge uppskattningar på osäker sida. Vidare är diagrammen inte tillämpliga för andra brotyper, t.ex. plattrambroar.
Kapitel Dynamisk kontroll enligt Eurokod I följande kapitel ges en kortfattad beskrivning av de krav som gäller vid dynamiska kontroller av järnvägsbroar enligt Eurokod. Sedan införandet av BV-Bro utgåva år finns i Sverige dimensioneringsregler för broar som kan komma att trafikeras av tåg i farter över km/h. I samband med harmonisering av de svenska broreglerna mot europeisk standard hänvisar nuvarande TRVK Bro till tillämpliga delar i Eurokod. Förutsättningar och laster framgår av SS-EN 99 samt SS-EN 99-. Ytterligare ledning ges i [].. Dynamiska kontroller Vid dimensionering av järnvägsbroar där tåghastigheten kan överstiga km/h ska dynamiska kontroller utföras för att säkerställa brons verkningssätt vid passage av tåg i högre hastigheter. Den huvudsakliga skillnaden jämfört med statiska beräkningar är att resonans beaktas. Det är härvid av stor vikt att beräkningsmodellen kan beskriva brons verkningssätt vid dynamisk belastning på ett tillförlitligt sätt. Felaktiga antaganden om t.ex. massa, styvhet eller randvillkor kan resultera i stora felskattningar. Vidare kan antaganden som är konservativa vid statisk dimensionering ge resultat på osäkra sidan avseende dynamiska kontroller. De resultat som kontrolleras vid dynamiska analyser avser vertikala accelerationer, vertikala nedböjningar och horisontella utböjningar, vinkeländring vid upplag och stöd, vridning. Vilka av dessa som kan bli dimensionerande beror på ett antal parametrar hos såväl bron som tåget. I SS-EN 99- avsnitt.., anges en uppsättning parametrar som anses vara mest väsentliga för dynamisk inverkan. Av dessa kan nämnas: brons spännvidd för studerad konstruktionsdel, brons massa, egenfrekvenser och dämpning, tågets hastighet, antal axlar, axellaster och axelavstånd, fjädrad/ofjädrad massa och dynamiska tågegenskaper.
KAPITEL. DYNAMISK KONTROLL ENLIGT EUROKOD Dessutom inverkar spårets egenskaper, t.ex. rälsens oregelbundenheter och dynamisk karakteristik hos spårkomponenter m.m. Oftast betraktas tåget endast som rörliga punktlaster verkande direkt på brons bärverk, resulterande i att tågets dynamiska egenskaper och spårets karakteristik inte beaktas. Vidare ska lasteffekterna från de dynamiska analyserna beaktas samt att en kontroll ska utföras för att klargöra om tillkommande utmattningsbelastning behöver medräknas.. Deformation och svängningar I SS-EN 99, A.. anges krav avseende vertikal acceleration, nedböjning, vinkeländring vid upplag m.fl. - Enligt avsnitt A...() ska den vertikala accelerationen begränsas till m/s för spår direkt befästa i bärverket (d.v.s. utan ballast). Kravet har sitt ursprung från ballasterade spår, med kravet. m/s (gäller fortfarande) för att undvika ballastinstabilitet. För icke-ballasterade spår är motivet främst att undvika risk för urspårning, men bakgrunden till valt värde kan ifrågasättas. - Vidare anges att frekvensen ska begränsas till n max = max( Hz,. n, n ), där n och n är den lägsta respektive tredje svängningsmoden i betraktad bärverksdel. För fritt upplagda balkar på oeftergivliga upplag domineras responsen vanligen av den lägsta egenfrekvensen. - I avsnitt A...() anges att den vertikala nedböjningen av tåglast begränsas till L/, vilket främst avser lastmodell LM och SW/ för låga hastigheter. I avsnitt A... anges krav på den vertikala accelerationen i tågvagnen, begränsad till b v =. m/s för hög komfortnivå. Detta kan översättas till ett krav på vertikal nedböjning, vilket enligt Figur A. (se Figur. nedan) varierar från L/ vid låga hastigheter till ca. L/ vid km/h. Villkoret är även beroende på spännvidden. För fritt upplagda broar i ett eller två spann eller kontinuerlig bro i två spann bör resultaten multipliceras med.. För kontinuerliga broar i tre eller fler spann bör resultaten multipliceras med.9. För spännvidder längre än m krävs särskilda analyser. - I avsnitt A...() visas en schematisk bild av vinkeländring vid upplag, se Figur., dock anges att begränsning av vinkeländringar vid upplag ges i implicit form i SS-EN 99-,... Detta avsnitt behandlar den kombinerade responsen på bärverk och spår från variabla laster och anger villkor på rörelser vid broändar samt spänning i rälsen. Dock gäller dessa värden endast för ballasterat spår. I TRVK Bro anges krav som funktion av höjden h (m) från räls överkant till rotationscentrum för lager, Figur.a. Värdet är θ = - /h (m) radianer vid broände och θ = - /h (m) radianer vid övergång mellan två överbyggnadsdelar. - Ytterligare krav på t.ex. vridning och svängningar i tvärled beaktas inte i denna rapport eftersom analyserna baseras på en D-modell.
.. DEFORMATION OCH SVÄNGNINGAR Figur.: Gränsvärden för vertikal nedböjning av tåglast, från SS-EN 99, Figur A.. θ θ Figur.: Vinkeländring vid broände, SS-EN 99, Figur A.. tryck drag h (m) θ Figur.: a) b) a) Krav på vinkeländring vid broände relateras till avståndet h (m) från rotationscentrum till räls överkant, enligt TRVK Bro, B...j, b) schematisk bild av fixerat spår vid broände.
KAPITEL. DYNAMISK KONTROLL ENLIGT EUROKOD. Krav på en dynamisk analys Krav på en dynamisk analys anges i SS-EN 99-, avsnitt... - Tåglasten utgörs vanligen av HSLM A-A, bestående av tågset med axellaster P som varierar mellan ton och total tåglängd som är ca. m. Tågseten är utformade att representera de dynamiska lasteffekterna från konventionella höghastighetståg. - Lastspridning av axellaster i spårets riktning anges i SS-EN 99- avsnitt..(), se Figur.. - Den dynamiska responsen kontrolleras vid varierande hastighet från m/s till. sth, där sth är största tillåtna hastighet vid broläget. Störst respons fås vanligen vid resonans, för system med låg dämpning kan stora skillnader erhållas vid små ändringar i tåghastighet. - Enligt SS-EN 99-, Tabell. ska broar med två spår endast belastas med tåglast på ett spår vid dynamisk kontroll. - Undre gräns på kritisk dämpning anges i SS-EN 99-, Tabell., se Tabell. nedan. Man särskiljer mellan stål- och samverkansbroar, förspända betongbroar samt slakarmerade betongbroar. I SS-EN 99- avsnitt...() anges en tilläggsdämpning Δζ beroende på tåg-bro interaktion. Senare tids forskning har dock visat att dessa värden kan vara på osäker sida [], varvid tilläggsdämpning inte medräknas i denna rapport. - Enligt SS-EN 99- avsnitt...() ska den dynamiska responsen ökas med en faktor., som beräknas enligt SS-EN 99-, Bilaga C. Denna faktor beaktar inverkan av rälsojämnheter och beror av bestämmande längd samt brons lägsta egenfrekvens. Figur.: Tåglastmodell HSLM A, SS-EN 99-, Figur.. Q vi / Q vi / Q vi / a a Figur.: Lastspridning av en axellast i spårets riktning, SS-EN 99-, Figur..
.. KRAV ENLIGT TDOK :9 Tabell.: Dämpningsvärden ζ (%) som får förutsättas vid dimensionering. Brotyp: L < m L m stål- och samverkan. +.( L). förspänd betong. +.( L). ingjuten balk och armerad betong. +.( L).. Krav enligt TDOK :9 Utöver kraven i TRVK Bro och Eurokod anges ytterligare krav i Trafikverkets tekniska systemstandard för höghastighetsbanor []. För järnvägsbroar kan dessa sammanfattas enligt följande. - Krav på spårets absoluta och relativa läge ska beaktas. - Lastfaktorn α =. kan användas för banor som enbart kommer att trafikeras av persontrafik. - Vid kontroll om dynamisk analys erfordras ska inverkan av upplagens eftergivlighet beaktas. - D verkningssätt ska beaktas i de dynamiska analyserna om det inte kan påvisas att en betraktelse som D är på säker sida. - Ökad dämpning Δζ enligt SS-EN 99- avsnitt... får inte tillämpas. I tillhörande rådstext, TDOK : [] anges följande: - Stål- och samverkansbroar riskerar att uppvisa höga vibrationsnivåer på grund av kombination av låg massa och låg egenfrekvens. - Ändskärmsbroar riskerar att uppvisa höga vibrationsnivåer på grund av transienta belastningar av vertikal tåglast mot ändskärm. För långa ändskärmsbroar kan svårighet föreligga att uppfylla krav på rotation och rörelse vid broände. - Korta broar på eftergivlig grundläggning riskerar att uppvisa höga vibrationsnivåer även om bärverket har hög styvhet. - För plattrambroar kan den dynamiska responsen reduceras genom samverkan med omgivande fyllning. Det bör påpekas att råden ovan är mycket generellt skrivna och inte är allmängiltiga. Dessa bygger till stor del på erfarenheter från tidigare utredningar, t.ex. [], [] och [].
Kapitel Designdiagram I följande kapitel ges en kortfattad beskrivning av principerna bakom beräkningsmodellen som ligger till grund för framtagandet av designdiagrammen. Vidare ges några räkneexempel på hur dessa diagram kan användas. Diagrammen redovisas i sin helhet i Bilaga A C. Exempel på brotvärsnitt visas i Bilaga D.. Beräkningsmodell Beräkningsmodellen baseras på Euler-Bernoulli balkteori och består av fritt upplagda eller kontinerliga D balkar på fasta upplag, Figur.. En analytisk lösning till problemet med rörliga laster på denna modell beskrivs i [8]. Brons dynamiska respons erhålls som en serielösning av egenmoder, där förskjutningar, vinkeländringar och accelerationer för varje egenmod kan lösas exakt. I [8] erhölls en sluten lösning av rörelseekvationen med hjälp av en Laplace-transform. Beräkningarna har även verifierats mot FE-analyser. P axel EI, m L ytter L inner L inner L ytter Figur.: Schematisk bild av beräkningsmodellen. För en fritt upplagd bro eller en kontinuerlig bro med lika spännvidd L, massa m och böjstyvhet EI kan den första böjfrekvensen beräknas enligt Ekvation (.). För kontinuerliga broar med varierande tvärsnittsegenskaper eller spännvidd krävs vanligen en numerisk lösning, t.ex. med finita element metoden. Designdiagrammen i denna rapport relateras dock till en effektiv frekvens och spännvidd L eff baserat på den längsta teoretiska spännvidden för kontinuerliga balkar. n,eff EI (.) L m eff 9
KAPITEL. DESIGNDIAGRAM För en bro med given spännvidd och egenfrekvens gäller samband enligt Ekvation (.) för vertikal acceleration a, vertikal nedböjning δ samt vinkeländring θ vid upplag. a m EI EI (.) Sambanden mellan massa och styvhet illustreras i Figur. avseende vertikal acceleration och i Figur. avseende vertikal nedböjning. För ökad tydlighet visas endast respons från tåglast HSLM-A. Analyserna baseras på L = m, EI = GNm och m =. ton/m. Ökad styvhet ger ökad resonanshastighet, oförändad acceleration och minskad nedböjning. Ökad massa ger minskad acceleration, oförändrad nedböjning och minskad resonanshastighet. a max (m/s ). m.8 EI. EI. EI a max (m/s ). EI.8 m. m. m Figur.: max (mm) Figur.: v (km/h) v (km/h) Max acceleration från HSLM-A på en m fritt upplagd balkbro, inverkan av ändrad böjstyvhet och massa..8 EI. EI. EI. m v (km/h) Max nedböjning från HSLM-A på en m fritt upplagd balkbro, inverkan av ändrad böjstyvhet och massa. Resonanshastigheten kan beskrivas enligt Ekv.(.), där d är avståndet mellan tågets axlar, boggi eller vagnar. max (mm). EI.8 m. m. m v (km/h) v i n d i, i,,,... (.) i, i
.. BERÄKNINGSMODELL Vid framtagandet av designdiagrammen är det tillräckligt att beräkna den dynamiska responsen för en bro med given egenfrekvens n eff, L eff och dämpning ζ. Erforderlig massa m för att uppfylla normkravet på vertikal acceleration samt erforderlig styvhet EI för att uppfylla normkravet på nedböjning och vinkeländring kan bestämmas med hjälp av Ekvation (.). Designdiagrammen baseras på beräkningsförutsättningar enligt Tabell. samt gränsvillkor enligt Tabell.. Diagrammen redovisas i sin helhet i Bilaga A C. Separata diagram redovisas för olika brotyper, endast beroende på att dämpningen inte är densamma. Vid användandet av diagrammen är det av yttersta vikt att säkerställa att förutsättningarna enligt Tabell. samt villkoren enligt Tabell. är tillämpliga. Tabell.: Variabel: Modell: Beräkningsförutsättningar för designdiagrammen. Beräkningsförutsättning: D Euler-Bernoulli balk på oeftergivliga upplag. Utförs med modalanalys där n max = max( Hz,. n, n ), se SS-EN 99 avsnitt A... Tåglaster: HSLM A-A, enligt SS-EN 99- avsnitt... Varje axellast beskrivs som en punktlast fördelad på sliprar, se SS-EN 99- avsnitt..., med ett inbördes avstånd på. m. Hastigheter: km/h till. sth i steg om km/h, där sth = km/h. Dämpning: Enligt SS-EN 99-, Tabell. (beror på brotyp). Ej Δζ enligt SS-EN 99- avsnitt...(). Brotyper: Stål- och samverkan, spännarmerad betong och slakarmerad betong (med dämpning enligt SS-EN 99-, Tabell.). Plattrambroar ej tillämpliga i analyserna. Spännvidder: m Spann: spann fritt upplagd, spann kontinuerlig (L =L ), och spann kontinuerlig (L ytter =.8L inner ). Böjstyvhet: Konstant längs hela bron Dynamikfaktor:. enligt SS-EN 99- avsnitt...(). Villkor: Vertikal acceleration: Vertikal nedböjning: Vinkeländring vid upplag: Tabell.: Gränsvillkor för designdiagrammen. Gränsvärde: γ bt = m/s för spår direkt befästa i bärverket, enligt SS-EN 99 avsnitt A... L/δ enligt SS-EN 99, Figur A., beroende på hastighet. Motsvarar b v = m/s enligt Tabell A.9. Enligt SS-EN 99 avsnitt A... med villkor enligt TRVK Bro, B...j.
KAPITEL. DESIGNDIAGRAM. Beräkningsförfarande Beräkningsförfarandet sker enligt följande: ) För ett antaget brotvärsnitt, beräkna totalt medverkande massa m (ton/m) samt böjstyvhet EI (GNm ). ) Beräkna den lägsta egenfrekvensen n eff baserat på effektiv spännvidd L eff. ) För en given brotyp, använd designdiagrammen för att läsa av erforderlig massa m erf (ton/m) för att uppfylla kravet på vertikal acceleration samt EI erf (GNm ) för att uppfylla kraven på vertikal nedböjning samt vinkeländring vid upplag. ) Om m<m erf eller EI<EI erf måste tvärsnittet justeras för att uppfylla villkoren. Det första antagandet om tvärsnittet ges vanligen av en statisk dimensionering eller erfarenhetsvärden. Om ) inte är uppfyllt är förfarandet iterativt, eftersom ny massa och/eller styvhet troligen resulterar i ny egenfrekvens och således nya värden på erforderlig massa och styvhet. Det bör påpekas att gränsvillkoren i Tabell. endast avser den dynamiska responsen och att tvärsnittet i många fall begränsas av den statiska bärförmågan.. Exempel fritt upplagd betongbalkbro Nedan visas ett exempel på beräkningsförfarandet med designdiagrammen. Det bör påpekas att detta är att betrakta som ett teoretiskt exempel, tvärsnittsmåtten är endast antagna och har inte kontrollerats genom statisk dimensionering. En fritt upplagd betongbalkbro med spännvidd L = m och tvärsnitt enligt Figur. analyseras. Tvärsnittsdata redovisas i Figur., där balkhöjden h balk ändras för att optimera tvärsnittet för D-dynamik. Bron antas vara spännarmerad, varvid resultat enligt Bilaga B används. Tvärsnittet antas ha en E-modul E ck = GPa (osprucket) och densitet kg/m (armerad betong). B s slab b slab b kb t slab t ko h kb t kb h balk b balk Figur.: Tvärsnitt, betongbalkbro.
.. EXEMPEL FRITT UPPLAGD BETONGBALKBRO Tabell.: Tvärsnittsdata för betongbalkbro. brobalk spårplatta kantbalk B = m b slab =. m t kb =. m b balk = h balk / t slab =. m h kb =. m h balk = varieras s slab =. m b kb =. m t ko =. m Spårsystemet utgöras av två betongplattor med måtten b slab =. m och t slab =. m. Spårplattorna antas inte samverka med bron men bidrar som massa, vilket med en densitet på kg/m ger. ton/m. Ytterligare massa på bron, t.ex. BESTutrustning mm. kan i ett verkligt fall behöva medräknas. Iteration : ) Antag h balk =. m, vilket ger: EI =.8 =. GNm och m =. +. =. ton/m.. ) Ekvation (.) ger n, eff. Hz.. ) Kontroll av acceleration, Figur B. med L = m och n =. Hz ger: m erf = ton/m >. ton/m ej ok. ) Tvärsnittet måste ökas för att klara accelerationskravet (m < m erf ). 9 Iteration : ) Antag h balk =. m, vilket ger: EI =.9 = GNm och m = 9. +. =. ton/m. ) n, eff. Hz.. 9 ) Kontroll av acceleration, Figur B. med L = m och n =. Hz ger: m erf = ton/m <. ton/m ok. Kontroll av nedböjning, Figur B. med L = m och n =. Hz ger: EI erf (δ) = 88 GNm > GNm ej ok. ) Tvärsnittet klarar kravet på acceleration men inte nedböjning, ytterligare itteration krävs.
KAPITEL. DESIGNDIAGRAM Iteration : ) Antag h balk =. m, vilket ger: EI =.8 = 9 GNm och m =. +. =. ton/m. 9 ) n, eff. Hz.. 9 ) Kontroll av acceleration, Figur B. med L = m och n =. Hz ger: m erf = ton/m <. ton/m ok. Kontroll av nedböjning, Figur B. med L = m och n =. Hz ger: EI erf (δ) = 8 GNm < 9 GNm ok. Kontroll av rotation vid upplag, Figur B. med L = m och n =. Hz ger: EI erf (θ) h (m) = (h balk + t ko + t slab + h räl ) = 8 GNm > 9 GNm ej ok. ) Tvärsnittet klarar kravet på acceleration och nedböjning, men inte rotation vid upplag. Kommentar: För att klara accelerationskravet krävs en balkhöjd på. m, dock måste detta ökas till. m för att även klara kravet på nedböjning. Rotation vid upplag överskrids dock flerfaldigt. För att även klara rotationskravet skulle det krävas en balkhöjd på.9 m, vilket skulle ge ett tvärsnitt med ca. % mer massa. Ett annat alternativ skulle vara att ändra tvärsnittshöjden vid upplag så att h m = EI balk /EI erf = 9/ =. m. En kombination av båda dessa kan också vara möjlig. Kravet på vinkeländring vid upplag är relaterat till spårets förmåga att uppta vinkeländring, vilket borde bero på typ av spårlösning. Inom vissa intervall i designdiagrammen kan det vara svårt att läsa av exakta värden, eftersom konturlinjerna inte ligger med regelbundna avstånd. Det lägre värdet av angränsande konturlinje för m erf och EI erf ger en skattning på säker sida.. Exempel betongbalkbro i tre fack Motsvarande tvärsnitt studeras för en kontinuerlig bro i fack, Figur.. Egenfrekvensen relateras till det längsta spannet. Det bör noteras att designdiagrammen för och fack baseras på L ytter =.8L inner. L ytter = m L inner = m L ytter = m Figur.: Kontinuerlig bro i tre fack.
.. EXEMPEL BETONGBALKBRO I TRE FACK Iteration : ) Antag h balk =. m, vilket ger: EI =.8 =. GNm och m =. +. =. ton/m.. ) Ekvation (.) ger n, eff. Hz.. ) Kontroll av acceleration, Figur B. med L = m och n =. Hz ger: m erf = ton/m >. ton/m ej ok. ) Tvärsnittet måste ökas för att klara accelerationskravet (m < m erf ). 9 Iteration : ) Antag h balk =. m, vilket ger: EI =. = GNm och m = 9. +. =. ton/m. ) n, eff.8 Hz.. 9 ) Kontroll av acceleration, Figur B. med L = m och n =.8 Hz ger: m erf =. ton/m. ton/m ok. Kontroll av nedböjning, Figur B. med L = m och n =.8 Hz ger: EI erf (δ)= 8 GNm < GNm ok. Kontroll av rotation vid upplag, Figur B. med L = m och n =.8 Hz ger: EI erf (θ) h (m) = (h balk + t ko + t slab + h räl ) = GNm > GNm ej ok. ) Tvärsnittet klarar kravet på acceleration och nedböjning, men inte rotation vid upplag. Kommentar: Det krävs en tvärsnittshöjd på. m för att klara accelerationskravet. Kravet på nedböjning är då även uppfyllt. Dock påträffas även i detta exempel problem med rotation vid upplag. För att även klara rotationskravet skulle det krävas en balkhöjd på.8 m, alternativ minska höjden vid upplag till h m = EI balk /EI erf = / =. m. I Figur. visas envelopper av acceleration, nedböjning och vinkeländring vid upplag, baserat på dynamiska analyser av exempel och exempel. - För exempel begränsas tvärsnittet av nedböjningskravet, max acceleration är ca. m/s vid km/h. Med aktuellt tvärsnitt överskrids vinkeländringen vid upplag i hela hastighetsintervallet. - - För exempel begränsas tvärsnittet av accelerationskravet, vilket inträffar vid största dimensionerande hastighet,. sth. Nedböjningen klaras med god marginal med vinkeländringen överskrids i större delen av hastighetsintervallet.
KAPITEL. DESIGNDIAGRAM fack fack 8 8 a max (m/s ) a max (m/s ) v (km/h) v (km/h) max (mm) max (mm) v (km/h) v (km/h) max (mrad) max (mrad) v (km/h) v (km/h) Figur.: Acceleration, nedböjning och vinkeländring vid upplag, envelopp av respons från HSLM A-A med data från exempel och.
Litteratur [] Arvidsson, T. Train-Bridge Interaction. Literature Review and Parameter Screening. KTH Brobyggnad. Licentiatuppsats, Bulletin,. [] CEN. Eurokod Grundläggande dimensioneringsregler för bärverk. SS-EN 99,. [] CEN. Eurokod : Laster på bärverk Del : Trafiklast på broar. SS-EN 99-,. [] ERRI. Rail bridges for speeds > km/h, Final report. D /RP9, 999. [] Johansson, C., Andersson, A., Pacoste, C., Karoumi, R. Järnvägsbroar på Botniabanan, Dynamiska controller för framtida höghastighetståg Steg. KTH Brobyggnad, Rapport,. [] Johansson, C., Arvidsson, T., Martino, D., Solat Yavari, M., Andersson, A., Pacoste, C., Karoumi, R. Höghastighetsprojekt Bro, Inventering av järnvägsbroar för ökad hastighet på befintliga banor. KTH Brobyggnad, Rapport,. [] Johansson, C., Andersson, A., Wiberg, J., Ülker-Kaustell, M., Pacoste, C., Karoumi, R. Höghastighetsprojekt Bro, Delrapport : Befintliga krav och erfarenheter samt parameterstudier avseende dimensionering av järnvägsbroar för farter över km/h. KTH Brobyggnad, Rapport 9,. [8] Johansson, C., Pacoste, C., Karoumi, R. Closed-form solution for the mode superposition analysis of the vibration in multi-span beam bridges caused by concentrated moving loads. Computers & Structures 9, 8-9,. [9] Johansson, C., Pacoste, C., Karoumi, R. Development of design curves for preliminary dynamic assessment of railway bridges to higher speeds. IJRT (), -,. [] Trafikverket. Teknisk systemstandard för höghastighetsbanor, krav. TDOK :9, version.,. [] Trafikverket. Teknisk systemstandard för höghastighetsbanor, råd. TDOK :, version.,. [] Trafikverket. TRVK Bro, Trafikverkets tekniska krav Bro. TRV publ nr :8,.
Bilaga A Designdiagram för slakarmerade betongbroar I följande bilaga redovisas diagram för slakarmerade betongbroar. Diagrammen beskriver samband mellan största teoretisk spännvidd, lägsta egenfrekvens n och erforderlig massa m erf (ton/m) för att klara vertikal acceleration, samt erforderlig böjstyvhet EI erf (GNm ) för att klara kraven på vertikal nedböjning samt vinkeländring vid upplag. Diagrammen för vinkeländring avser h (m) = m, från diagrammen erhållen böjstyvhet behöver därför multipliceras med aktuell höjd. Det rekommenderas att inte överstiga högsta redovisade m erf ( ton/m) eftersom nivåkurvorna därefter ökar kraftigt, se även rapportens framsida. Diagrammen för böjstyvhet är endast redovisade upp till Hz, det är på säker sida att extrapolera konturlinjerna vertikalt i ökande frekvens. För kontinuerliga broar i tre eller fyra fack är ytterfacken.8l. I samtliga fall antas böjstyvheten konstant längs bron. 9
BILAGA A. DESIGNDIAGRAM FÖR SLAKARMERADE BETONGBROAR A. Fritt upplagda broar m erf (ton/m) för a max = m/s, sth = 9 8 8 9 m erf (ton/m) för a max = m/s, sth = 8 8 Figur A.: Designdiagram för fritt upplagda slakarmerade betongbroar.
A.. FRITT UPPLAGDA BROAR 9 EI erf (GNm ) för L/ enligt EN 99 Figur A., sth = 8 9 8 EI erf (GNm ) för = - rad och h (m) = m, sth = Figur A.: Designdiagram för fritt upplagda slakarmerade betongbroar.
BILAGA A. DESIGNDIAGRAM FÖR SLAKARMERADE BETONGBROAR A. Kontinuerliga broar i två fack m erf (ton/m) för a max = m/s, sth = 9 8 8 9 m erf (ton/m) för a max = m/s, sth = 8 8 Figur A.: Designdiagram för kontinuerliga slakarmerade betongbroar i två fack.
A.. KONTINUERLIGA BROAR I TVÅ FACK EI erf (GNm ) för L/ enligt EN 99 Figur A., sth = 9 8 EI erf (GNm ) för = - rad och h (m) = m, sth = Figur A.: Designdiagram för kontinuerliga slakarmerade betongbroar i två fack.
BILAGA A. DESIGNDIAGRAM FÖR SLAKARMERADE BETONGBROAR A. Kontinuerliga broar i tre fack m erf (ton/m) för a max = m/s, sth = 9 8 8 9 m erf (ton/m) för a max = m/s, sth = 8 8 Figur A.: Designdiagram för kontinuerliga slakarmerade betongbroar i tre fack.
A.. KONTINUERLIGA BROAR I TRE FACK EI erf (GNm ) för L/ enligt EN 99 Figur A., sth = EI erf (GNm ) för = - rad och h (m) = m, sth = 9 9 9 9 Figur A.: Designdiagram för kontinuerliga slakarmerade betongbroar i tre fack.
BILAGA A. DESIGNDIAGRAM FÖR SLAKARMERADE BETONGBROAR A. Kontinuerliga broar i fyra fack m erf (ton/m) för a max = m/s, sth = 9 8 8 9 m erf (ton/m) för a max = m/s, sth = 8 8 Figur A.: Designdiagram för kontinuerliga slakarmerade betongbroar i fyra fack.
A.. KONTINUERLIGA BROAR I FYRA FACK EI erf (GNm ) för L/ enligt EN 99 Figur A., sth = EI erf (GNm ) för = - rad och h (m) = m, sth = 9 9 9 9 Figur A.8: Designdiagram för kontinuerliga slakarmerade betongbroar i fyra fack.
Bilaga B Designdiagram för förspända betongbroar I följande bilaga redovisas diagram för spännarmerade betongbroar. Diagrammen beskriver samband mellan största teoretisk spännvidd, lägsta egenfrekvens n och erforderlig massa m erf (ton/m) för att klara vertikal acceleration, samt erforderlig böjstyvhet EI erf (GNm ) för att klara kraven på vertikal nedböjning samt vinkeländring vid upplag. Diagrammen för vinkeländring avser h (m) = m, från diagrammen erhållen böjstyvhet behöver därför multipliceras med aktuell höjd. Det rekommenderas att inte överstiga högsta redovisade m erf ( ton/m) eftersom nivåkurvorna därefter ökar kraftigt, se även rapportens framsida. Diagrammen för böjstyvhet är endast redovisade upp till Hz, det är på säker sida att extrapolera konturlinjerna vertikalt i ökande frekvens. För kontinuerliga broar i tre eller fyra fack är ytterfacken.8l. I samtliga fall antas böjstyvheten konstant längs bron. 9
BILAGA B. DESIGNDIAGRAM FÖR FÖRSPÄNDA BETONGBROAR B. Fritt upplagda broar m erf (ton/m) för a max = m/s, sth = 8 m erf (ton/m) för a max = m/s, sth = Figur B.: Designdiagram för fritt upplagda förspända betongbroar.
B.. FRITT UPPLAGDA BROAR 9 8 EI erf (GNm ) för L/ enligt EN 99 Figur A., sth = 9 EI erf (GNm ) för = - rad och h (m) = m, sth = 8 Figur B.: Designdiagram för fritt upplagda förspända betongbroar.
BILAGA B. DESIGNDIAGRAM FÖR FÖRSPÄNDA BETONGBROAR B. Kontinuerliga broar i två fack m erf (ton/m) för a max = m/s, sth = 8 m erf (ton/m) för a max = m/s, sth =.. Figur B.: Designdiagram för kontinuerliga förspända betongbroar i två fack.
B.. KONTINUERLIGA BROAR I TVÅ FACK EI erf (GNm ) för L/ enligt EN 99 Figur A., sth = EI erf (GNm ) för = - rad och h (m) = m, sth = Figur B.: Designdiagram för kontinuerliga förspända betongbroar i två fack.
BILAGA B. DESIGNDIAGRAM FÖR FÖRSPÄNDA BETONGBROAR B. Kontinuerliga broar i tre fack m erf (ton/m) för a max = m/s, sth = 8 m erf (ton/m) för a max = m/s, sth =.. Figur B.: Designdiagram för kontinuerliga förspända betongbroar i tre fack.
B.. KONTINUERLIGA BROAR I TRE FACK EI erf (GNm ) för L/ enligt EN 99 Figur A., sth = EI erf (GNm ) för = - rad och h (m) = m, sth = Figur B.: Designdiagram för kontinuerliga förspända betongbroar i tre fack.
BILAGA B. DESIGNDIAGRAM FÖR FÖRSPÄNDA BETONGBROAR B. Kontinuerliga broar i fyra fack m erf (ton/m) för a max = m/s, sth = 8 m erf (ton/m) för a max = m/s, sth =.. Figur B.: Designdiagram för kontinuerliga förspända betongbroar i fyra fack.
B.. KONTINUERLIGA BROAR I FYRA FACK EI erf (GNm ) för L/ enligt EN 99 Figur A., sth = EI erf (GNm ) för = - rad och h (m) = m, sth = Figur B.8: Designdiagram för kontinuerliga förspända betongbroar i fyra fack.
Bilaga C Designdiagram för stål- och samverkansbroar I följande bilaga redovisas diagram för stål- och samverkansbroar. Diagrammen beskriver samband mellan största teoretisk spännvidd, lägsta egenfrekvens n och erforderlig massa m erf (ton/m) för att klara vertikal acceleration, samt erforderlig böjstyvhet EI erf (GNm ) för att klara kraven på vertikal nedböjning samt vinkeländring vid upplag. Diagrammen för vinkeländring avser h (m) = m, från diagrammen erhållen böjstyvhet behöver därför multipliceras med aktuell höjd. Det rekommenderas att inte överstiga högsta redovisade m erf ( ton/m) eftersom nivåkurvorna därefter ökar kraftigt, se även rapportens framsida. Diagrammen för böjstyvhet är endast redovisade upp till Hz, det är på säker sida att extrapolera konturlinjerna vertikalt i ökande frekvens. För kontinuerliga broar i tre eller fyra fack är ytterfacken.8l. I samtliga fall antas böjstyvheten konstant längs bron. 9
BILAGA C. DESIGNDIAGRAM FÖR STÅL- OCH SAMVERKANSBROAR C. Fritt upplagda broar m erf (ton/m) för a max = m/s, sth = 8 m erf (ton/m) för a max = m/s, sth = Figur C.: Designdiagram för fritt upplagda stål- och samverkansbroar.
C.. FRITT UPPLAGDA BROAR 9 8 EI erf (GNm ) för L/ enligt EN 99 Figur A., sth = 9 8 EI erf (GNm ) för = - rad och h (m) = m, sth = Figur C.: Designdiagram för fritt upplagda stål- och samverkansbroar.
BILAGA C. DESIGNDIAGRAM FÖR STÅL- OCH SAMVERKANSBROAR C. Kontinuerliga broar i två fack m erf (ton/m) för a max = m/s, sth = 8 m erf (ton/m) för a max = m/s, sth =.. Figur C.: Designdiagram för kontinuerliga stål- och samverkansbroar i två fack.
C.. KONTINUERLIGA BROAR I TVÅ FACK EI erf (GNm ) för L/ enligt EN 99 Figur A., sth = EI erf (GNm ) för = - rad och h (m) = m, sth = Figur C.: Designdiagram för kontinuerliga stål- och samverkansbroar i två fack.
BILAGA C. DESIGNDIAGRAM FÖR STÅL- OCH SAMVERKANSBROAR C. Kontinuerliga broar i tre fack m erf (ton/m) för a max = m/s, sth = 8. m erf (ton/m) för a max = m/s, sth =. Figur C.: Designdiagram för kontinuerliga stål- och samverkansbroar i tre fack.
C.. KONTINUERLIGA BROAR I TRE FACK EI erf (GNm ) för L/ enligt EN 99 Figur A., sth = EI erf (GNm ) för = - rad och h (m) = m, sth = 9 9 9 9 9 9 9 Figur C.: Designdiagram för kontinuerliga stål- och samverkansbroar i tre fack.
BILAGA C. DESIGNDIAGRAM FÖR STÅL- OCH SAMVERKANSBROAR C. Kontinuerliga broar i fyra fack m erf (ton/m) för a max = m/s, sth = 8. m erf (ton/m) för a max = m/s, sth =. Figur C.: Designdiagram för kontinuerliga stål- och samverkansbroar i fyra fack.
C.. KONTINUERLIGA BROAR I FYRA FACK EI erf (GNm ) för L/ enligt EN 99 Figur A., sth = EI erf (GNm ) för = - rad och h (m) = m, sth = 9 9 9 9 9 Figur C.8: Designdiagram för kontinuerliga stål- och samverkansbroar i fyra fack.
Bilaga D Tvärsnittsoptimering för D-dynamik Metodiken som redovisades i kapitel har automatiserats i MATLAB, vilket förenklar framtagandet av minsta erforderliga tvärsnitt m.h.t. de dynamiska kraven. I följande bilaga redovisas exempel på resultat från dessa beräkningar, för olika brotyper, spännvidder och antal fack. För varje tvärsnitt varieras endast en parameter och övriga sätts konstanta. Tvärsnitten är inte kontrollerade avseende statisk bärförmåga, syftet är främst att ge en storleksordning kring vilka tvärsnittsmått som erfordras för olika brotyper och spännvidder. Orimligt låga tvärsnitt kan tolkas som att den dynamiska responsen inte är dimensionerande, orimligt höga värden kan tolkas som att tvärsnitten troligen är olämpliga avseende dynamik. Andra val av de fasta tvärsnittsmåtten ger andra resultat, det som redovisas ska därför endast ses som ett utfall av resultat som inte är allmängiltiga. För vissa tvärsnitt kan D-effekter vara av betydelse, vilket inte behandlas i denna rapport. Redovisade resultat är optimerande avseende vertikal acceleration och vertikal nedböjning, utan beaktande av rotation vid upplag. Däremot redovisas EI erf (θ) h (m) /EI, när denna kvot är större än överskrids kravet på rotation. I Tabell D. redovisas gemensamma tvärsnittsdata för samtliga studerade fall. Spårplattan antas endast medverka som extra massa, med samma densitet som betong. För spännvidder L> m antas betongtvärsnitten vara spännarmerade. Tabell D.: Gemensamma tvärsnittsdata för analyserna. broplatta spårplatta kantbalk B = m b slab =. m t kb =. m E c = GPa t slab =. m h kb =. m ρ c = kg/m s slab =. m b kb =. m t ko =. m 9
BILAGA D. TVÄRSNITTSOPTIMERING FÖR D-DYNAMIK D. Betongplattbroar En betongplattbro studeras med geometri enligt Figur D.. Minsta plattjocklek t platta beräknas för att klara de dynamiska kraven för spännvidder mellan till m. Plattans bredd b platta = m i alla beräkningar. Det bör påpekas att vid längre spännvidder liknar tvärsnittet snarare en balkbro. Resultaten sammanfattas i Figur D.. I samtliga fall är accelerationskravet avgörande. Kravet på rotation vid upplag överskrids vid m för en fritt upplagd platta och vid m för en kontinuerlig platta i två fack. B s slab b slab b kb t slab t platta h kb t kb b platta t ko Figur D.: Tvärsnitt för betongplattbro. t platta (m).. m (ton/m) EI (GNm ) fack fack fack fack.. n EI erf ( )/EI. EI erf ( ) h (m) /EI. Figur D.: Resultat från parameteranalys av betongplattbroar.
D.. BETONGBALKBROAR D. Betongbalkbroar En betongbalkbro studeras med geometri enligt Figur D.. Minsta balkhöjd h balk beräknas för att klara de dynamiska kraven för spännvidder mellan till m. Balkens bredd antas bero av balkhöjden som b balk = h balk /. Resultaten sammanfattas i Figur D.. Accelerationskravet är avgörande upp till ca. m, därefter begränsas tvärsnittet av nedböjningskravet. Rotation vid upplag överskrids vid ca. m, vid längre spännvidder överskrids kravet flerfaldigt. B s slab b slab b kb t slab t ko h kb t kb h balk b balk Figur D.: Tvärsnitt för betongbalkbro. h balk (m) m (ton/m) EI (GNm ) fack fack fack fack. n EI erf ( )/EI. EI erf ( ) h (m) /EI Figur D.: Resultat från parameteranalys av betongbalkbroar.
BILAGA D. TVÄRSNITTSOPTIMERING FÖR D-DYNAMIK D. Betonglådbroar En betonglådbro studeras med geometri enligt Figur D.. Minsta lådhöjd h låda beräknas för att klara de dynamiska kraven för spännvidder mellan till m. Lådans botten t ufl =. m och dess väggar t liv =. m. Resultaten sammanfattas i Figur D.. Accelerationskravet är avgörande upp till ca. m, därefter begränsas tvärsnittet av nedböjningskravet. Rotation vid upplag överskrids vid ca. m, vid längre spännvidder överskrids kravet flerfaldigt. B s slab b slab b kb t slab t ko h kb t kb tufl t liv h låda Figur D.: Tvärsnitt för betonglådbro. h låda (m) m (ton/m) EI (GNm ) fack fack fack fack. n EI erf ( )/EI. EI erf ( ) h (m) /EI Figur D.: Resultat från parameteranalys av betonglådbroar.
D.. SAMVERKANSBROAR D. Samverkansbroar En samverkansbro studeras med geometri enligt Figur D.. Minsta lådhöjd h låda beräknas för att klara de dynamiska kraven för spännvidder mellan till m. Övriga tvärsnittsdata för stållådan framgår av Tabell D., vilket är en kraftig förenkling eftersom det är starkt beroende av brons spännvidd och statiska system. Resultaten sammanfattas i Figur D.8. Accelerationskravet är avgörande upp till ca. m, därefter begränsas tvärsnittet av nedböjningskravet. Rotation vid upplag överskrids vid ca. m, vid längre spännvidder överskrids kravet flerfaldigt. För fritt upplagda samverkansbroar med spännvidd m krävs en betydande tvärsnittshöjd för att klara accelerationskravet. Detta minskar kraftigt då nedböjningskravet istället blir avgörande. I föreliggande fall krävs t.ex. h låda =. m vid L = m. Orsaken är brons låga massa. Om betongplattan istället görs jämntjock. m minskar erforderlig höjd till h låda =. m, vilket troligen är mindre än vad som krävs från en statisk dimensionering. B s slab b slab b kb t slab t ko h kb t kb b ofl t ofl t liv h låda t ufl b ufl Figur D.: Tvärsnitt för samverkanstvärsnitt. Tabell D.: Tvärsnittsdata för samverkansbroarna. tjocklek bredd material t ofl = mm b ofl =. m E s = GPa t ufl = mm b ufl =. m ρ s = 8 kg/m t liv = mm
BILAGA D. TVÄRSNITTSOPTIMERING FÖR D-DYNAMIK h låda (m) m (ton/m) fack fack fack fack EI (GNm ). n EI erf ( )/EI. EI erf ( ) h (m) /EI Figur D.8: Resultat från parameteranalys av samverkansbroar.
TRITA BKN. Rapport, ISSN 89 ISRN KTH/BKN/R SE www.kth.se