SPÄNNINGSFÖRDELNING I ENSKILD BÄRVERKSDEL

ISRN-UTH-INGUTB-EX-B-2017/04-SE Examensarbete 15 hp Juni 2017 SPÄNNINGSFÖRDELNING I ENSKILD BÄRVERKSDEL En jämförelse mellan handberäkningar och FEM-design 3D Structure 16 Johannes Ferner Sofia Gustafsson

SPÄNNINGSFÖRDELNING I ENSKILD BÄRVERKSDEL En jämförelse mellan handberäkningar och FEM-design 3D Structure 16 JOHANNES FERNER SOFIA GUSTAFSSON Institutionen för teknikvetenskaper, Byggteknik, Uppsala universitet Examensarbete 2017

Detta examensarbete är framställt vid institutionen för teknikvetenskaper, Tillämpad mekanik, Byggteknik, Uppsala universitet, Box 337, 751 05 Uppsala ISRN-UTH-INGUTB-EX-B-2017/04-SE Copyright Johannes Ferner och Sofia Gustafsson Institutionen för teknikvetenskaper, Tillämpad mekanik, Byggteknik, Uppsala universitet ii

Abstract Stress distribution in an individual structural element Johannes Ferner & Sofia Gustafsson Teknisk- naturvetenskaplig fakultet UTH-enheten Besöksadress: Ångströmlaboratoriet Lägerhyddsvägen 1 Hus 4, Plan 0 Postadress: Box 536 751 21 Uppsala Telefon: 018 471 30 03 Telefax: 018 471 30 00 Hemsida: http://www.teknat.uu.se/student As cities are densified and as the housing shortage is continuously high, the need to utilize height in new constructions increases, and with it, also the need to quickly make preliminary assessments when designing structural components in higher buildings. The question of whether calculations made using hand methods and calculations made using computerized methods yields results of the same order of magnitude, when analyzing structures, is therefore of interest. The question investigated in this work is whether calculations made by hand and calculations made with FEM-design 3D Structure, with respect to stresses in a single structural component, yield results of the same order of magnitude. A 16 storey building with concrete walls and floors was the basis for the calculations. The calculations were made for two load cases for both hand calculations and calculations made with FEM-design 3D Structure; one case where vertical forces are considered to have a beneficial effect on the stability of the building and one case where vertical forces are considered to have an adverse effect on the stability of the building. The survey shows that there are major differences in results between the two methods for each load case respectively. The explanation for this is believed to depend upon the characteristics of the two calculation methods. The recommendation given in this essay is that hand calculations should be used when the accuracy is of less important for the application of the results, when there is no access to computerized calculation programs, or when the time required to make more accurate calculations is limited. FEM design 3D Structure 16 should be used when accuracy is of greater importance and complexity is high. The work was carried out in collaboration with Knut Jönson Ingenjörsbyrå i Uppsala AB. Handledare: Mattias Almlöf Ämnesgranskare: Per Isaksson Examinator: Caroline Öhman Mägi ISRN-UTH-INGUTB-EX-B-2017/04-SE Tryckt av: Polacksbackens Repro Uppsala Universitet

SAMMANFATTNING Då stadskärnorna förtätas och då bostadsbristen är fortsatt hög ökar behovet av att utnyttja höjden vid uppföranden av nya konstruktioner, och med detta även behovet av att snabbt kunna göra preliminära bedömningar vid dimensionering av bärverksdelar i högre hus. Frågan, om huruvida beräkningar vid analys av bärverk gjorda med handberäkningsmetoder och med datoriserade metoder ger resultat av samma storleksordning, är därför av intresse. Frågeställningen som undersökts i detta arbete är om beräkningar gjorda för hand och beräkningar gjorda med FEM-design 3D Structure, med avseende på spänningar i en enskild bärverksdel, ger resultat av samma storleksordning. Ett 16 våningar högt hus med väggar och bjälklag av betong låg till grund för beräkningarna. Beräkningarna gjordes för två lastfall för både handberäkningar och beräkningar i FEM-design 3D Structure; ett fall då vertikala krafter räknas som att de har gynnsam inverkan på byggnadens stabilitet och ett fall då vertikala krafter räknas som att de har ogynnsam inverkan på husets stabilitet. Undersökningen visar att stora skillnader förekommer i resultat mellan de båda metoderna för respektive lastfall. Förklaringen till detta tros bero på de båda beräkningsmetodernas respektive karakteristik. De rekommendationer som ges i arbetet är att handberäkningar bör användas då noggrannhetsgraden har en mindre betydelse för tillämpningen, då man ej har tillgång till datoriserade beräkningsprogram eller då tiden det krävs att göra mer noggranna beräkningar är begränsad. FEM-design 3D Structure 16 bör användas då noggrannhetsgraden är av större betydelse och då komplexiteten är stor. Arbetet genomfördes i samarbete med Knut Jönson Ingenjörsbyrå i Uppsala AB. Nyckelord: FEM-design 3D Structure, Eurokod, Lastnedräkning, Handberäkning, Spänning, EKS 10. iv

FÖRORD Som en avslutande del av högskoleingenjörsprogrammet i byggteknik vid Uppsala Universitet har detta examensarbete på 15 hp utförts i samarbete med Knut Jönson Ingenjörsbyrå i Uppsala AB. Vi vill tacka vår handledare Mattias Almlöf för det engagemang och intresse han visat under projektets gång. Vi vill även tacka övriga kollegor på Knut Jönson Ingenjörsbyrå i Uppsala AB för den hjälp och det välvilliga bemötande vi fått under tiden för arbetet. Ämnesgranskare för arbetet har varit Per Isaksson, professor i hållfasthetslära vid Institutionen för teknikvetenskaper, Tillämpad mekanik och vi vill rikta ett tack till honom för det stöd och den hjälp han har gett oss under arbetets gång. Vi vill även tacka Youssef Alaoui och Martynas Sudzius på StruSoft AB i Stockholm för den support vi har fått och för den heldagskurs i FEM-design Plate som erbjöds oss. Metoderna beskrivna i detta arbete är ej att betrakta som fullständiga lösningsförslag för den här typen av problem, men kan användas som underlag vid lösning av liknande problem. Uppsala i juni 2017 Johannes Ferner Sofia Gustafsson v

INNEHÅLLSFÖRTECKNING 1 Introduktion... 1 1.1 Inledning... 1 1.2 Syfte... 1 1.3 Mål... 1 1.4 Frågeställning...1 1.5 Metod... 2 1.6 Avgränsningar... 2 2 Bakgrundsstudie... 3 2.1 Tidigare arbeten... 3 2.2 Eurokodernas utformning... 3 2.2.1 Eurokodsystemet... 3 2.2.2 Nationella bilagan... 3 2.3 Laster i Eurokod... 4 2.3.1 Klassificering av laster... 4 2.3.2 Dimensioneringssituation... 4 2.3.3 Lasttyper... 5 2.4 Lastkombinationer i Eurokod... 5 2.4.1 Brottgränstillstånd och lastkombinationer... 5 2.5 Lastnedräkning... 7 2.5.1 Allmänt om lastnedräkning... 7 2.5.2 Lastfördelning och lastarea... 7 2.5.3 Lastreduktion... 8 2.6 Stomstabilitet... 8 2.6.1 Allmänt om stomstabilitet... 8 2.6.2 Destabiliserande laster... 8 2.6.3 Fördelning av destabiliserande laster... 9 2.7 FEM-design... 9 3 Metodik... 11 3.1 Byggnadens utformning och förutsättningar... 11 vii

3.2 Laster... 12 3.2.1 Nyttig last... 12 3.2.2 Snölast... 13 3.2.3 Egentyngd... 13 3.2.4 Lastkombinationer... 13 3.2.5 Lastarea, lastandel och dimensionerande last på vägg... 15 3.2.6 Snedställningslast... 15 3.2.7 Vindlast... 16 3.3 Fördelning av stjälpande krafter på väggskivor... 16 3.3.1 Yttröghetsmomentet kring x-axeln och y-axeln... 17 3.3.2 Rotationscentrum, RC... 17 3.3.3 Kraftresultantens hävarm... 17 3.3.4 Kraftandelar... 18 3.4 Stjälpande moment... 18 3.5 Dimensionerande spänningsfördelning... 19 3.6 FEM-design... 19 3.6.1 Modell... 19 3.6.2 Laster... 21 3.6.3 Lastkombinationer... 23 3.6.4 Beräkningar och resultat... 23 4 Resultat... 25 4.1 Vertikala dimensionerande krafter... 25 4.2 Snedställningslaster... 26 4.3 Moment på grund av vindlast... 28 4.4 Totala moment... 29 4.5 Spänningar... 30 5 Analys och diskussion... 33 6 Slutsatser och rekommendationer... 35 7 Litteraturförteckning... 37 viii

BILAGOR Bilaga 1 - Reduktionsfaktorn för nyttig last och snölast B1.1 Bilaga 2 - Egentyngder per plan B2.1 Bilaga 3 - Dimensionerande vertikala laster B3.1 Bilaga 4 - Lastarea, lastandel, dimensionerande last på vägg B4.1 Bilaga 5 - Dimensionerande snedställningslaster per våning B5.1 Bilaga 6 - Vindlast B6.1 Bilaga 7 - Fördelning stjälpande krafter på väggskivor B7.1 Bilaga 8 - Stjälpande moment B8.1 Bilaga 9 - Spänningsfördelning B9.1 ix

BETECKNINGAR A Area [m 2 ] A 0 Referensarea för beräkning av reduktionsfaktor α A [m 2 ] A last Lastarea [m 2 ] A tot Total area [m 2 ] C 10,D Formfaktor för lovartsida D Formfaktor för läsida E C 10,E C e C t F d,n F i,d Exponeringsfaktor Termisk koefficient Dimensionerande vertikala last för vägg n [kn] Total dimensionerande last i botten av vägg på våningsbjälklag [MN] G k Karakteristisk egentyngd [kn] H i Snedställningslast [kn] I x,n Böjstyvhet i x-led för väggskiva n [m 4 ] I y,n Böjstyvhet i y-led för väggskiva n [m 4 ] L L b,w L x M Ed,n M Ed,n,β N a N b P n P y,i,n Längd [m] Takbjälklagets lastbredd för vindlast [m] Husets bredd i x-led [m] Totalt stjälpande moment i botten av vägg n [knm] Stjälpande moment i botten av vägg n [knm] Total vertikal last direkt ovanför bjälklag som H i verkar på [MN] Total vertikal last direkt ovanför underliggande bjälklag [MN] Stjälpande last på väggskiva n från våningsbjälklag [kn] Total stjälpande last på väggskiva n per plan i [kn] Q k Karakteristisk nyttig last [kn] V Volym [m 3 ] X RC Rotationscentrums x-koordinat [m] Rotationscentrums y-koordinat [m] Y RC b b x,n b y,n d y Bredd [m] Tvärsnittets bredd i x-led för vägg n [m] Tvärsnittets bredd i y-led för vägg n [m] Kortsidans längd [m] xi

e x e y Hävarm för kortsidan [m] Hävarm för långsidan [m] g k Karakteristisk egentyngd [kn/m 2 ] h Stabiliserande systemets höjd, total höjd på byggnad [m] h i Höjd för plan i [m] Tvärsnittets höjd i x-led för vägg n [m] h x,n h y,n Tvärsnittets höjd i y-led för vägg n [m] m Antal vertikala delar som bidrar till horisontalkraften [st] i Plan i q p (z e ) Karakteristiska hastighetstrycket [kn/m 2 ] v b Referensvindhastighet [m/s] s Karakteristisk snölast på tak [kn/m 2 ] s k Karakteristisk snölast på mark [kn/m 2 ] t Tjocklek bjälklag [m] q k Karakteristisk nyttig last [kn/m 2 ] w e,y Karakteristisk vindlastresultant på våningsbjälklag [kn/m 2 ] Dimensionerad vindlastresultant på våningsbjälklag w e,y,d x n x TP,n y n y TP,n z e α A α n α m [kn/m 2 ] Avstånd i x-led mellan RC och tyngdpunkt för väggskiva n [m] x-koordinaten för tyngdpunkten i väggskiva n [m] Avstånd i y-led mellan RC och tyngdpunkt för väggskiva n [m] x-koordinaten för tyngdpunkten i väggskiva n [m] Referenshöjd för utvändig vindlast [m/s] Reduktionsfaktor för nyttig last m.h.t belastad area Reduktionsfaktor för höjd Reduktionsfaktor för antalet samverkande konstruktionsdelar β y,n Total andel av stjälpande laster på väggskiva n i y- riktning γ btg Tunghet armerad betong [kn/m 3 ] γ d γ G γ s Partialkoefficient säkerhetsklass Partialkoefficient egentyngd Partialkoefficient snölast xii

γ tak Tunghet tak [kn/m 2 ] Partialkoefficient nyttig last γ Q γ w Partialkoefficient vindlast η Lastandel θ 0 Grundvärde för snedställningsvinkel [rad] θ i Snedställningsvinkel [rad] µ 1 Formfaktor σ min,n Minsta spänning i vägg n Största spänning i vägg n σ max,n ψ 0,q ψ 0,s ψ 0,v Faktor för kombinationsvärde för nyttig last Faktor för kombinationsvärde för snölast Faktor för kombinationsvärde för vindlast xiii

Kap.1 Introduktion 1. INTRODUKTION 1.1 Inledning Då stadskärnorna förtätas och då bostadsbristen är fortsatt hög ökar behovet av att utnyttja höjden vid uppföranden av nya konstruktioner, och med detta även behovet av att snabbt kunna göra preliminära bedömningar vid dimensionering av bärverksdelar i högre hus. Samtidigt som behovet av att snabbt kunna dimensionera bärverksdelar i högre hus har ökat, ställs också ökade krav på de uppgifter som ska tillhandahållas stomkonstruktörer. För att möta denna nya efterfrågan önskade Knut Jönson Ingenjörsbyrå i Uppsala AB, som historiskt sett enbart räknat på hela stomsystem, få utrett om beräkningar gjorda med datorprogrammet FEM-design 3D Structure 16 ger resultat som är jämförbara med resultat från handberäkningar gjorda för enskilda bärverksdelar. 1.2 Syfte Syftet med arbetet är att utreda om beräkningar gjorda för hand och beräkningar gjorda i FEM-design 3D Structure 16 ger resultat som är av samma storleksordning, med avseende på spänningar i enskilda bärverksdelar. 1.3 Mål Målet med arbetet är att bidra med kunskap som kan ligga till grund för effektivisering inom dimensionering av bärverksdelar. 1.4 Frågeställning Ger beräkningar gjorda för hand och beräkningar gjorda i FEMdesign 3D Sturcture, med avseende på spänning i enskild bärversdel, resultat av samma storleksorning? 1

Examensarbete: SPÄNNINGSFÖRDELNING I ENSKILD BÄRVERKSDEL 1.5 Metod Arbetet inleddes med en bakgrundsstudie där nödvändig kunskap inom ämnet inhämtades. Fokus i den litteratur som låg till grund för bakgrundsstudien låg på stomstabilisering och lastnedräkning. Tidigare examensarbeten studerades och i kombination med beräkningsexempel (Almlöf, 2017) låg dessa till grund för de handberäkningar som gjordes i detta arbete. Som introduktion till FEM-design 3D Structure, hädanefter benämnt som FEM-Design, erhölls en heldagskurs i det snarlika programmet FEM-design 16 Plate 1.6 Avgränsningar av StruSoft AB. Vidare genomfördes beräkningar för det aktuella huset i FEM-Design. Beräkningarna gjordes för två lastfall för både handberäkningar och beräkningar i FEM-design 3D Structure; ett fall då vertikala krafter räknas som att de har gynnsam inverkan på byggnadens stabilitet och ett fall då vertikala krafter räknas som att de har ogynnsam inverkan på husets stabilitet. Detta inverkar i slutändan på vilka spänningar som blir dimensionerande för den enskilda bärverksdelen. Resultaten från de olika beräkningsmetoderna sammanställdes och analyserades. Avgränsningar i detta arbete har gjorts gällande de lastkombinationer som tagits hänsyn till vid beräkning av den dimensionerande vertikala lasten. I detta arbete har endast två lastfall beaktats. I ekvation (3.3), motsvarande ekvation 6.10a i Eurokod (EC 0, 2010), beräknades alla laster som ogynnsamma medan alla laster utom vindlast i ekvation (3.4), motsvarande ekvation 6.10b i Eurokod (EC 0, 2010), beräknades som gynnsamma. Vindlasten på byggnaden har förenklat beräknats som det högsta värdet på hastighetstrycket q p för hela byggnaden, det vill säga då referenshöjden för utvändig vindlast z e är lika med byggnadens totala höjd h. Vidare bortsågs från faktorn C s C d. Vindlast som uppkommer invändigt på grund av otätheter har bortsetts från. Moment från vind som angriper andra sidor än husets sydsida och snedställningslaster som ger upphov till moment i riktningen parallell med husets kortsidor har ej beaktats i handberäkningar. Geotekniska laster och seismiska laster har ej beaktats. 2

Kap.2 Bakgrundsstudie 2. BAKGRUNDSSTUDIE 2.1 Tidigare arbeten Som en del av bakgrundsstudien undersöktes tidigare skrivna examensarbeten inom ämnet. En uppsats skriven vid Kungliga Tekniska Högskolan (Hansson och Ludvigsson 2015) beskriver särskilt hur beräkning av lastnedräkning och stomstabilitet görs i enlighet med Eurokod. En uppsats skriven vid Lunds Universitet (Adolfsson, Carlsson 2014) behandlar beräkningar enligt balkteori och finita element med avseende på styvhet hos väggskivor. Båda dessa arbeten har varit relevanta för studien och delvis legat till grund för arbetet. 2.2 Eurokodernas utformning 2.2.1 Eurokodsystemet Eurokodsystemet som är gemensamma europeiska standarder utarbetas av den Europeiska Standardiseringskommittén (CEN) och ges i Sverige ut av det svenska institutet för standarder (SIS). Systemet består av 10 Eurokoder inom olika grenar där varje gren har ett antal underkategorier. Varje underkategori innefattar 58 standarder som utgör regler och metoder för dimensionering av byggnader och anläggning, inklusive geotekniska aspekter, situationer som innefattar jordbävning, dimensionering av bärverk vid brand, utförandeskedet, och tillfälliga konstruktioner. Standarderna är beroende och hänvisar till varandra och för dimensionering av konstruktioner krävs tillgång till flera av dessa (Westerberg 2010). 2.2.2 Nationella bilagan Eurokoderna innehåller ett antal parametrar som varje land får ansätta själv, så kallade nationellt valda parametrar. Boverket har sammanställt dessa parametrar för att underlätta användandet av Eurokoderna i form av en bilaga, EKS, Boverkets föreskrifter och allmänna råd om tillämpning av europeiska konstruktionsstandarder (Eurokoder). Dessa uppdateras och kompletteras kontinuerligt allt eftersom ändringar görs. Huvudsyftet med dessa parametrar är att ge länderna möjlighet att fastställa säkerhetsnivån genom nationellt 3

Examensarbete: SPÄNNINGSFÖRDELNING I ENSKILD BÄRVERKSDEL valda säkerhetsparametrar. Andra parametrar som väljs beror bland annat av miljö, klimat och beständighet (Westerberg 2010). 2.3 Laster i Eurokod 2.3.1 Klassificering av laster Laster i Eurokod klassificeras baserat på en rad olika faktorer, detta styr sedan hur lasterna representeras i olika dimensioneringssituationer. Lasterna kan klassificeras enligt flera kategorier beroende på dess belastningssituation. Lasterna klassificeras enligt Eurokod (EC 0, 2010) efter: Variation i tiden (permanent, variabel eller olyckslast) Variation i rummet (bunden eller fri) Ursprung (direkt eller indirekt) Natur (statisk eller dynamisk) 2.3.2 Dimensioneringssituation Aktuella lastkombinationer bestäms utifrån dimensioneringssituation. Följande dimensioneringssituationer finns definierade enligt Eurokod (EC O, 2010): Varaktiga dimensioneringssituationer används vid normalt nyttjande av bärverket. Tillfälliga dimensioneringssituationer används vid tillfälliga förhållanden för bärverket, t.ex. under reparation Exceptionella dimensioneringssituationer avser exceptionella förhållanden på bärverket eller dess exponering, t.ex. brand, påkörning eller explosion. Seismiska dimensioneringssituationer avser förhållanden som är tillämpliga på bärverket när det utsätts för seismisk påverkan. 4

Kap.2 Bakgrundsstudie 2.3.3 Lasttyper Permanenta laster (G) Permanenta laster anses vara kontinuerliga i tiden och med en obetydligt liten variation, dessa anses vara bundna i rummet. Till permanenta laster hör bland annat egentyngd för byggnadsverket, tyngd för fast utrustning och jordtryck (geoteknisk last). Om variationerna inte anses vara obetydligt små bör det övre värdet för permanenta laster (G,sup ) användas då lasten är gynnsam och det undre värdet för permanenta laster (G k,inf ) då lasten är ogynnsam. I annat fall då lasten anses vara kontinuerlig med tiden bör medelvärdet för permanenta laster användas, (G k ) (EC 0, 2010). Variabla laster (Q) Variabla laster varierar i storlek med tiden och kan vara antingen bunden eller fri i rummet. Till variabla laster hör bland annat nyttig last på bjälklag, snölast och vindlast. Det karakteristiska värdet för variabla laster (Q k ) ska antingen motsvara ett övre värde, ett undre värde eller ett nominellt värde beroende på sannolikheten hur lasterna uppstår. Då den statiska fördelningen är okänd används det nominella värdet (EC 0, 2010). Olyckslaster (A) Olyckslaster är sådana laster som förekommer under en kortare tid men som är av betydande storlek. Sannolikheten att byggnadsverket ska drabbas av en olyckslast är relativt liten men bör ändå beaktas då konsekvenserna är markanta. Till dessa laster hör till exempel explosioner och fortskridande ras (EC 0, 2010). 2.4 Lastkombinationer i Eurokod 2.4.1 Brottgränstillstånd och lastkombinationer Brottgränstillstånd klassificeras som det tillstånd där människor och bärverkets säkerhets berörs. Detta förklaras enligt Eurokod som de stadier som föregår kollaps av bärverket men som inte orsakar själva 5

Examensarbete: SPÄNNINGSFÖRDELNING I ENSKILD BÄRVERKSDEL kollapsen. Brottgränstillstånden finns definierade i Eurokod (EC 0, 2010) enligt EQU (Equilibrium): Förlorad statisk jämvikt för bärverk eller en del av bärverket som betraktas som en stel kropp där mindre variationer i värdet av eller den rumsliga fördelningen av permanenta laster från en enstaka källa är av betydelse, eller där hållfastheten hos konstruktionsmaterialet eller undergrunden inte är avgörande. STR (Strength): Inre brott eller för stor deformation av bärverk eller del av bärverk, inklusive grundplattor, pålar med mera, där konstruktionsmaterialets hållfasthet är avgörande. GEO (Geotechnical): Brott eller för stor deformation i undergrunden där hållfastheten hos berg eller jord har en inverkan på bärverkets bärförmåga. FAT (Fatigue): Brott som beror på utmattning hos bärverk eller del av bärverk. Följande lastkombinationer finns definierade i följande tabeller, i den nationella bilagan (EKS 10, 2015): Tabell B-2: Uppsättning A, ekv. 6.10 (EQU tillämpas) Tillämpas där statisk jämvikt för bärverk eller en del av bärverket som betraktas som en stel kropp där mindre variationer i värdet eller den rumsliga fördelningen av permanenta laster från en enstaka källa är av betydelse, eller där hållfastheten hos konstruktionsmaterialet eller undergrunden inte är avgörande. Tabell B-3: Uppsättning B, ekv. 6.10a och 6.10b (STR och GEO tillämpas) Används för verifiering av bärförmåga hos bärverk eller del av bärverk som inte innefattar geotekniska laster. Kan även användas för verifiering av bärförmåga hos bärverk eller del av 6

Kap.2 Bakgrundsstudie bärverk som innefattar geotekniska laster och undergrundens bärförmåga, kan användas tillsammans med uppsättning C. Tabell B-4: Uppsättning C, ekv. 6.10 (STR och GEO tillämpas) Används vid dimensionering av bärverksdelar som innefattar geotekniska laster och undergrundens bärförmåga, kan användas tillsammans med uppsättning B. Denna lastkombination används ej om undergrundens bärförmåga eller geotekniska laster inte innefattas. Tabell A1.3, ekv. 6.11a/b (exceptionell) och 6.12a/b (seismisk) Den nationella bilagan (EKS 10, 2015) anger att för exceptionella dimensioneringssituationer ska den variabla huvudlasten sättas till sitt frekventa värde (ψ 1 Q,1 ). Ett allmänt råd ges för dessa dimensioneringssituationer och säger att en kombination av α A -faktorn och ψ 1 -faktorn för samverkande nyttig last ej bör förekomma. 2.5 Lastnedräkning 2.5.1 Allmänt om lastnedräkning Syftet med lastnedräkning är att dimensionera bärverksdelar med hänsyn till laster i byggnadsverket. Beroende på dess syfte kan detta göras i olika skeden och med olika noggrannhetsgrad under processen. För enkla dimensioneringsfall räcker det ofta med enklare handberäkningar medan det för komplexa beräkningsfall ofta krävs ett beräkningsprogram som utför finita elementanalyser (Hansson och Ludvigsson 2015). 2.5.2 Lastfördelning och lastarea Benämningen lastarea avser den area för vilken en bärverksdel för ner last (EC 1, 2011). Inom branschen råder det en hel del begreppsförvirring kring begreppet. Lastarea, influensarea, belastad area och lastarea används synonymt. I denna rapport används begreppet lastarea. Beräkning av lastarea kan göras på många olika sätt, exempelvis genom överslagsberäkningar, finita elementmetoder och genom indelning av bjälklag i delplattor för hand. Lastarea i denna 7

Examensarbete: SPÄNNINGSFÖRDELNING I ENSKILD BÄRVERKSDEL rapport har beräknats genom indelning av bjälklag i delplattor för hand (Avén, 1985). 2.5.3 Lastreduktion Enligt Eurokod (EC 1, 2011) finns det två lastreduktioner som kan göras i samband med den nyttiga lasten, reduktion med hänsyn till antal våningsplan α n, och reduktion med hänsyn till belastad area α A. Denna reduktion grundar sig i hur stor sannolikheten är att en last förekommer i sitt fulla karakteristiska värde. Sannolikheten att den nyttiga lasten uppkommer jämt fördelat över en yta minskar med antalet plan och storleken på planet (Hansson och Ludvigsson, 2015). 2.6 Stomstabilitet 2.6.1 Allmänt om stomstabilitet Syftet med stomsystemet i en byggnad är att föra ner horisontella och destabiliserande laster till grunden. En byggnad måste därför dimensioneras baserat på alla de laster som den utsätts för. Till kategorin destabiliserande laster hör vindlast, snedställningslast, geotekniska laster och seismiska laster. Seismiska laster behöver normalt ej beaktas för svenska förhållanden enligt (Hansson och Ludvigsson, 2015). 2.6.2 Destabiliserande laster Det stomstabiliserande systemet för ner de destabiliserande lasterna till grunden. Vindlasten tas upp av fasadelementen på byggnaden och förs sedan vidare till bjälklagsskivorna för att sedan föras ned till grunden via vertikala bärverksdelar som t.ex. väggskivor eller trapphus (Hansson och Ludvigsson, 2015). Vindlast Enligt Eurokod (EC 1, 2008) betraktas vindlasten som en variabel bunden last och angriper ytan som en kraft, vinkelrätt och utbredd per ytenhet. Kraften verkar till största del på utvändiga ytor men på grund av otätheter uppkommer även en kraft på invändiga ytor. Beräkning av vindlastens hastighetstryck på en byggnad finns 8

Kap.2 Bakgrundsstudie beskrivet i Eurokod (EC 1, 2008) där hastighetstrycket ökar med höjden på byggnaden. Snedställningslast Alla konstruktioner drabbas av geometriska imperfektioner. Detta förklaras med att de inte kan tillverkas och monteras så att de får exakt samma utformning som beräkningsmodellerna. Ett exempel på detta kan vara en pelare eller vägg som är en aning krokig. Oftast ger dessa imperfektioner en negativ inverkan på bärverket och måste tas hänsyn till vid dimensionering och dess effekt på bärverket beräknas då genom antagande av en oavsiktlig snedställning av vertikala konstruktionsdelar (Engström, 2017). 2.6.3 Fördelning av destabiliserande laster En analys av kraftfördelning görs genom att beakta de enskilda stabiliserande enheternas inverkan på det totala yttröghetsmoment samt väggarnas placering i byggnaden. De horisontella krafterna ger upphov till moment i bjälklaget som uppstår då krafterna inte sammanfaller med rotationscentrum för byggnaden. Rotationscentrum bestäms med hjälp av väggarnas styvhet och placering i byggnaden. Enligt Eurokod (EC 2, 2008) finns det en förenklad metod för beräkning av fördelningen av destabiliserande laster mellan väggskivor enligt Figur 2.2. För att denna metod ska kunna användas krävs det att väggskivorna är någorlunda symmetriskt placerade eftersom man i denna beräkningsmetod inte kan ta hänsyn till stora effekter av det vridande momentet (Hansson och Ludvigsson 2015). 2.7 FEM-design FEM-design 3D Structure 16 är ett modelleringsprogram, utvecklat av StruSoft AB, som hanterar komplexa finita elementanalyser. Finita elementmetoden är en numerisk metod för att lösa partiella differentialekvationer. Programmet kan användas för både trä-, ståloch betongkonstruktioner och baseras på Eurokoderna. Programmet hanterar både enstaka element samt mer komplexa konstruktioner (StruSoft AB, 2017). 9

Examensarbete: SPÄNNINGSFÖRDELNING I ENSKILD BÄRVERKSDEL 10

Kap.3 Metodik 3. METODIK 3.1 Byggnadens utformning och förutsättningar Den byggnad som legat till grund för beräkningar och analyser i denna rapport är en byggnad i ett faktiskt projekt med tänkt placering i Stockholm. Den för beräkningarna aktuella byggnaden antogs ha en förenklad geometri baserad på den faktiska byggnaden. Byggnaden ansattes bestå av 16 plan exklusive takplan och ha en totalhöjd på 44,32 meter med en våningshöjd inklusive bjälklag, på 2,77 meter. Bärande ytter- och innerväggar ansattes bestå av betong, ha en tjocklek av 0,2 meter och en höjd av 2,5 meter per plan. Byggnaden ansattes vara utan dörr- och fönsteröppningar. Bjälklagen ansattes bestå av betong med en tjocklek av 0,27 meter per plan. Taket ansattes vara plant. Husets geometri i plan ansattes vara rektangulär med måtten 18x20 meter. Geometrin i plan redovisas i Figur 3.1. Beräkningar genomfördes för Vägg 1. 11

Examensarbete: SPÄNNINGSFÖRDELNING I ENSKILD BÄRVERKSDEL Figur 3.1. Modell i plan med väggnumrering 3.2 Laster 3.2.1 Nyttig last Nyttig last anges enligt nationella normer (EKS 10, 2015) till q k = 2,0 kn/m 2 för Kategori A Bjälklag. Nyttig last reducerades sedan med reduktionsfaktorn för nyttig last med avseende på belastad area. Reduktionsfaktorn beräknades enligt Eurokod (EC 1, 2002) som 12

Kap.3 Metodik α A = 5 7 ψ 0 + A 0 A 1,0 (3.1) Beräkningar redovisas i Bilaga 1. 3.2.2 Snölast Snölast beräknades, i enlighet med Eurokod (EC 1, 2013) som s = μ 1 C e C t s k (3.2) Snölastens formfaktor, μ 1, sattes till 0,8 då taket ansågs vara plant. Exponeringsfaktorn, C e, sattes till 1,0 då topografin antas vara normal. Den termiska koefficienten, C t, ansattes till 1,0. Det karakteristiska värdet för snölast på mark, s k, sattes enligt den nationella bilagan, med hänsyn till byggnadens placering i Stockholm, till 2,0 kn/m 2 (EKS 10, 2015). Beräkningar redovisas i Bilaga 1. 3.2.3 Egentyngd Egentyngder för bärverksdelar beräknades för respektive plan och nedräknades sedan per plan. För väggar och bjälklag användes tungheten γ btg = 25,0 kn/m 3 (EC 1, 2011) och för taket γ tak = 0,5 kn/m 2 (Almlöf, 2017). Beräkningar av egentyngder per plan och lastnedräkning av egentyngd redovisas i Bilaga 2. 3.2.4 Lastkombinationer För att undersöka vilket lastfall som ger upphov till de största spänningarna i den enskilda bärverksdelen behöver två lastkombinationer undersökas. De fall som behöver undersökas är det fall då vertikala krafter räknas som att de har gynnsam inverkan på byggnadens stabilitet och det fall då vertikala krafter räknas som att de har ogynnsam inverkan på husets stabilitet., hädanefter kallade Lastfall 1 och Lastfall 2. Vid beräkning av de dimensionerande lasterna per plan, i brottgränstillståndet STR, användes ekvationerna 6.10a och 6.10b i Eurokod (EC 0, 2002) för lastkombinationer, med tillägg från 13

Examensarbete: SPÄNNINGSFÖRDELNING I ENSKILD BÄRVERKSDEL nationella normer (EKS 10, 2015). Ekvationerna kan förenklat skrivas som F i,d = γ d γ G,j G k,j + γ d γ Q,1 ψ 0,1 Q k,1 + γ d γ Q,i ψ 0,i Q k,i j 1 i>1 (3.3) respektive F i,d = γ d γ G,j G k,j + γ d γ Q,1 Q k,1 + γ d γ Q,i ψ 0,i Q k,i j 1 i>1 (3.4) Med de applicerade konstanterna från Tabell 3.1 i (3.3) respektive konstanterna från Tabell 3.2 i (3.4) blir (3.3) den ekvation som ger det största möjliga värdet på dimensionerande vertikal last och (3.4) den ekvation som ger det minsta möjliga värdet på dimensionerande vertikal last. Ekvation (3.3) motsvarar därför Lastfall 1 och ekvation (3.4) motsvarar Lastfall 2. Tabell 3.1 Konstanter till (3.3) vid beräkning av lastkombinationer enligt STR, enligt nationella bilagan (EKS 10, 2015) Ekv. (3.3) Värde Typ γ d 1,0 Partialkoefficient säkerhetsklass γ G 1,35 Ogynnsam γ Q 1,5 Ogynnsam ψ 0,q 0,7 Psi-värde för nyttig last γ S 1,5 Ogynnsam ψ 0,S 0,7 Psi-värde för snölast Tabell 3.2 Konstanter till (3.4) vid beräkning av lastkombinationer enligt STR, enligt nationella bilagan (EKS 10, 2015) Ekv. (3.4) Värde Typ γ d 1,0 Partialkoefficient säkerhetsklass γ G 1,0 Gynnsam γ Q 0 Gynnsam ψ 0,q 0,7 Psi-värde för nyttig last γ S 0 Gynnsam ψ 0,S 0,7 Psi-värde för snölast Beräkning av dimensionerande vertikal last per plan redovisas i Bilaga 3. 14

Kap.3 Metodik 3.2.5 Lastarea, lastandel och dimensionerande last på vägg Lastarean, Α last, för Vägg n beräknades med delplattor enligt Avén (1985) och lastandelen η beräknades sedan som Vägg n:s lastarea dividerat med totala arean A tot för ett plan enligt η = A last A tot (3.5) Den dimensionerande vertikala lasten för Vägg n erhölls sedan genom att Vägg n:s lastandel multiplicerades med den vertikala dimensionerande lasten enligt F d,n = F i,d η (3.6) Beräkningar redovisas i Bilaga 4. 3.2.6 Snedställningslast Snedställningslasten per plan på grund av vertikala laster beräknades för de båda fallen av dimensionerande last per plan enligt Eurokod (EC 2, 2005) som där H i = θ i (N b N a ) (3.7) θ i = θ 0 α n α m (3.8) θ 0 = 1 200 α n = 2 h 2 3 α n 1,0 (3.9) (3.10) α m = 0,5 (1 + 1 m ) (3.11) 15

Examensarbete: SPÄNNINGSFÖRDELNING I ENSKILD BÄRVERKSDEL Beräkningar redovisas i Bilaga 5. 3.2.7 Vindlast Den dimensionerande vindlasten per kvadratmeter beräknades förenklat, med utgångspunkt i Eurokod (EC 1, 2005) som w e,y = q p (z e ) c pe (3.12) med ett och samma värde på q p (z e ) för hela byggnaden, där z e = h (3.13) där q p (z e ) beräknades med linjär interpolation för tabellvärden ur den nationella bilagan (EKS 10, 2015) för z e, v b = 24 m/s och terrängtyp 1. c pe beräknades genom linjär interpolation som summan av formfaktorn på husets lovartsida och formfaktorn på husets läsida med tabellvärden ur den nationella bilagan (EKS 10, 2015) och korrigerades med en korrelationsfaktor som i sin tur beräknades med linjär interpolation i enlighet med Eurokod (EC 1, 2005). Den dimensionerande vindlasten beräknades sedan i enlighet med nationella normer (EKS 10, 2015) som w e,y,d = γ d γ w ψ 0,1 w e,y (3.14) då vindlasten är ogynnsam största samverkande variabla last och w e,y,d = γ d γ w w e,y (3.15) då vindlasten är ogynnsam variabel huvudlast. Beräkningar redovisas i Bilaga 6. 3.3 Fördelning av stjälpande krafter på väggskivor Den procentuella andelen stjälpande krafter som belastar Vägg n beräknas enligt Eurokod (EC 1, 2005) som P n = P (EI) n (EI) + (P e) y n (EI) n (EI) y n 2 (3.16) 16

Kap.3 Metodik där den första termen i uttrycket representerar den direkt transversella kraften och den andra termen representerar bidraget från vridmomentet i byggnadens rotationscentrum. 3.3.1 Yttröghetsmomentet kring x-axeln och y-axeln Yttröghetsmomentet beräknas i x-led och y-led för alla ingående bärande väggar enligt Johannesson och Vretblad (2013) som I x,n = b 3 x,n h x,n 12 (3.17) för yttröghetsmoment i x-led och enligt I y,n = b 3 y,n h y,n 12 (3.18) för yttröghetsmomentet i y-led. 3.3.2 Rotationscentrum, RC Koordinaterna för de ingående väggarnas rotationscentrum beräknades enligt Johannesson och Vretblad (2013) som X RC = (I x,n x TP,n ) I x,n (3.19) och Y RC = (I y,n y TP,n ) I y,n (3.20) där x TP,n och y TP,n uppmättes ur ritningar som x-koordinaten respektive y-koordinaten för väggskivan n:s tyngdpunkt. 3.3.3 Kraftresultantens hävarm Under antagandet att vinden belastar hela fasaden jämnt beräknades hävarmen i x- och y-led för moment kring RC som 17

Examensarbete: SPÄNNINGSFÖRDELNING I ENSKILD BÄRVERKSDEL e x = X RC L x 2 (3.21) respektive e y = Y RC L y 2 (3.22) 3.3.4 Kraftandelar Under förutsättningen att alla stabiliserande bärverksdelar hade samma E-modul kunde uttrycket för horisontal last på vägg n (3.6) skrivas om som där P n = β y,n P (3.23) β y,n = I x,n x n I x,n + I x,n (I x,n x 2 n ) + (I y,n y 2 n ) e x (3.24) Där x n och y n är avstånden mellan RC och väggskivan n:s tyngdpunkt i x- respektive y-led och beräknades som x n = X RC x TP,n (3.25) respektive y n = Y RC y TP,n (3.26) Beräkningar redovisas i Bilaga 7. 3.4 Stjälpande moment Det totala stjälpande momentet på grund av vindlast och snedställningslaster beräknades som M Ed,n = w e,y,d h 2 b 2 + i h i H i i 1 (3.27) 18

Kap.3 Metodik Det stjälpande momentet i botten av Vägg n på grund av vindlast och snedställningslaster beräknades sedan som M Ed,n,β = β y,n M Ed,n (3.28) Beräkningar redovisas i Bilaga 8. 3.5 Dimensionerande spänningsfördelning Spänningsfördelning i Vägg n beräknades enligt Almlöf (2017) som σ min,n = F d,n b x,n h x,n M Ed,n,β 2 b x,n h x,n 6 (3.29) σ max,n = F d,n b x,n h x,n + M Ed,n,β 2 b x,n h x,n 6 (3.30) Beräkningar redovisas i Bilaga 9. 3.6 FEM-design 3.6.1 Modell Byggnaden modellerades upp i 16 plan i FEM-design, med planlösning enligt Figur 3.2. De verktyg som användes vid modelleringen var verktygen plane plate och plane wall. 19

Examensarbete: SPÄNNINGSFÖRDELNING I ENSKILD BÄRVERKSDEL Figur 3.2. Modell i plan i FEM-design På bottenplan, undersida väggar, ritades reaktionskrafter in med hjälp av verktyget line support group. Väggarnas tjocklek sattes till 0,2 meter och bjälklagets tjocklek till 0,27 meter. Varje våning hade en höjd av 2,77 meter. Totalhöjden för modellen blev 44,32 meter. Materialet för väggar och bjälklag utgick från det i programmet fördefinierade betongmaterialet C25/30 men densiteten sattes manuellt till 2,5 t/m 3. 20

Kap.3 Metodik 3.6.2 Laster Load cases definierades enligt Figur 3.3. Duration class beaktades inte i beräkningarna då denna bara tas hänsyn till vid träkonstruktioner. Figur 3.3. Load cases i FEM-design Nyttig last lades, under load case Nyttig last, in som utbredda laster på alla plan med värdet 2,0 kn/m 3, som erhölls från handberäkningar på nyttig last. Snölast generades för modellen, under load case Snow load", med hjälp av verktyget Snow under fliken loads. Det karakteristiska värdet, erhållet från handberäkningar, angavs till 2,0 kn/m 3 vilket gav det applicerade värdet 1,6 kn/m 3. Vindlast, under load case (6.10a) Vindlast Y+, lades in som en last utbredd över husets sydliga fasad med värdet 0,69345 kn/m 2, som erhölls från handberäkningar för vindlast som största samverkande variabla last (Lastfall 1). Vindlast, under load case (6.10b) Vindlast Y+, lades in som en last utbredd över husets sydliga fasad med värdet 2,311668 kn/m 2, som erhölls från handberäkningar för vindlast som ogynnsam variabel huvudlast (Lastfall 2). 21

Examensarbete: SPÄNNINGSFÖRDELNING I ENSKILD BÄRVERKSDEL Laster för egentyngd genererades automatiskt av programmet för load case Egentyngd genom att sätta typen för load case Egentyngd till +Struc. Dead load. Det fiktiva takets egentyngd lades, under load case Taklast, in som en utbredd last på ovansidan av modellen, med värdet 0,5 kn/m 2. På grund av programmets uppbyggnad och beräkningsgång genererades snedställningslaster, deviation loads, med verktyget Deviation under fliken loads baserat på de icke kombinerade värdena på laster från load case Snow load, Egentyngd, Taklast och Nyttig last. För Lastfall 1 applicerades värden enligt Figur 3.4 och för Lastfall 2 applicerades värden enligt Figur 3.5. Figur 3.4. Faktorer för deviation load, Lastfall 1 22

Kap.3 Metodik Figur 3.5. Faktorer för deviation load, Lastfall 2 3.6.3 Lastkombinationer Lasterna, load cases, kombinerades sedan i lastkombinationer, load combinations enligt Figur 3.6. Figur 3.6. Load combinations 3.6.4 Beräkningar och resultat Programmet genererade automatiskt en mesh av finita element och genomförde sedan beräkningar för modellen baserat på load cases och load combinations. Resultaten för respektive lastfall för den vertikala 23

Examensarbete: SPÄNNINGSFÖRDELNING I ENSKILD BÄRVERKSDEL spänningen i Vägg n erhölls sedan genom att gå in under resultat, Display result och, under load combinations välja shell stresses och där under välja Sigma y, membrane för respektive lastfall, enligt Figur 3.7 och sedan rita ut önskad sektion. Andra resultat erhölls på liknande sätt. Figur 3.7. Resultat 24

Kap.4 Resultat 4. RESULTAT I följande kapitel presenteras resultaten för de olika beräkningsmetoderna för varje lastfall. Fullständiga beräkningar för handberäkningar redovisas i bilagor. De figurer som redovisas i detta kapitel visar Vägg 1 med resultat, som de redovisas i FEM-design, sedd från väst. Figurerna är enbart grafiska representationer och redovisar inte resultat skalenligt. 4.1 Vertikala dimensionerande krafter Resultaten för de vertikala dimensionerande krafterna för Vägg 1 redovisas i Tabell 4.1. Tabell 4.1. Sammanställning vertikala dimensionerande krafter Handberäkningar FEM-design Lastfall 1 Lastfall 2 Lastfall 1 Lastfall 2 F d,1 [MPa] 6,28 4,33 13,2 8,28 Figur 4.1. Vertikala reaktionskrafter [kn], FEM-design, Lastfall 1 25

Examensarbete: SPÄNNINGSFÖRDELNING I ENSKILD BÄRVERKSDEL Figur 4.2. Vertikala reaktionskrafter [kn], FEM-design, Lastfall 2 De värden som redovisas i Figur 4.1 och Figur 4.2. är reaktionskrafterna, motriktade de krafter som redovisas i Tabell 4.1, och därför negativa. 4.2 Snedställningslaster De från handberäkningarna beräknade snedställningslasterna och de av FEM-design automatiskt genererade snedställningslastera för byggnaden, för Lastfall 1 och Lastfall 2, redovisas i Tabell 4.2. Tabell 4.2. Sammanställning snedställningslaster Handberäkningar (H i ) [kn] FEM-design [kn] Plan Lastfall 1 Lastfall 2 Lastfall 1 Lastfall 2 Takplan 12,7 9,42 11,9 7,19 16 13,7 9,42 23,0 12,9 15 13,7 9,42 20,0 12,9 14 13,7 9,42 20,0 12,9 13 13,7 9,42 25,8 12,9 12 13,7 9,42 20,0 12,9 11 13,7 9,42 20,0 12,9 10 13,7 9,42 20,0 12,9 9 13,7 9,42 20,0 12,9 8 13,7 9,42 20,0 12,9 7 13,7 9,42 20,0 12,9 6 13,7 9,42 20,0 12,9 26

Kap.4 Resultat 5 13,7 9,42 20,0 12,9 4 13,7 9,42 20,0 12,9 3 13,7 9,42 20,0 12,9 2 13,7 9,42 20,0 12,9 1 - - - - Moment som uppstod i Vägg 1 grund av snedställningslaster redovisas i Tabell 4.3. Figur 4.3 och Figur 4.4 visar momenten på grund av snedställningslast för respektive lastfall i FEM-design. Tabell 4.3. Sammanställning moment på grund av snedställningslaster Handberäkningar FEM-design Lastfall 1 Lastfall 2 Lastfall 1 Lastfall 2 M [MNm] 2,53 1,76 0,970 0,593 Figur 4.3. Moment på grund av snedställningslast, FEM-design, Lastfall 1 27

Examensarbete: SPÄNNINGSFÖRDELNING I ENSKILD BÄRVERKSDEL Figur 4.4. Moment på grund av snedställningslast, FEM-design, Lastfall 2 4.3 Moment på grund av vindlast De från handberäkningarna och FEM-design beräknade momenten på grund av vindlast för Lastfall 1 och Lastfall 2, redovisas i Tabell 4.4. Tabell 4.4. Sammanställning moment på grund av vindlast Handberäkningar FEM-design Lastfall 1 Lastfall 2 Lastfall 1 Lastfall 2 M [MNm] 5,39 18,0 1,58 5,25 Figur 4.5 och Figur 4.6 redovisar momenten på grund av vindlast för respektive lastfall i FEM-design. Figur 4.5. Moment på grund av vindlast [knm], FEM-design, Lastfall 1 28

Kap.4 Resultat Figur 4.6. Moment på grund av vindlast [knm], FEM-design, Lastfall 2 4.4 Totala moment Momenten för handberäkningar som redovisas i Tabell 4.5 är de stjälpande momenten för respektive lastfall. De moment, för beräkningar i FEM-design, som redovisas i Tabell 4.5 är momenten som beräknades för lastkombinationerna för respektive lastfall. Tabell 4.5. Sammanställning totala moment Handberäkningar FEM-design Lastfall 1 Lastfall 2 Lastfall 1 Lastfall 2 M Ed,1,β [MNm] 7,92 19,7 1,29 7,75 Figur 4.8 och Figur 4.9 redovisar momenten för lastkombinationerna för respektive lastfall i FEM-design. 29

Examensarbete: SPÄNNINGSFÖRDELNING I ENSKILD BÄRVERKSDEL Figur 4.7. Moment på grund av Lastfall 1 [knm], FEM-design Figur 4.8. Moment på grund av Lastfall 2 [knm], FEM-design 4.5 Spänningar Tabell 4.6 redovisar de största och minsta värdena på spänning över Vägg 1 för respektive metod och lastfall. Spänningsfördelningen i Vägg 1 för respektive lastfall i FEM-design redovisas i Figur 4.9 och Figur 4.10. FEM-design redovisar tryckspänningar som negativa och dragspänningar som positiva. I Tabell 4.6 redovisas tryckspänningar som positiva och dragspänningar som negativa. Tabell 4.6. Sammanställning spänningar Handberäkningar [MPa] FEM-design [MPa] Lastfall 1 Lastfall 2 Lastfall 1 Lastfall 2 σ min,1 0,977-0,399 3,30 1,53 σ max,1 2,16 2,56 3,98 3,22 30

Kap.4 Resultat Figur 4.9. Spänningsfördelning över Vägg 1 [MPa], FEM-design, Lastfall 1 Figur 4.10. Spänningsfördelning över Vägg 1 [MPa], FEM-design, Lastfall 2 31

Kap.5 Analys och diskussion 5. ANALYS OCH DISKUSSION Som kan konstateras av resultaten föreligger stora skillnader mellan resultaten från de olika beräkningsmetoderna. Vid analys av de totala momenten för FEM-design kan det konstateras att dessa inte beräknats på samma sätt som de totala momenten för handberäkningsmetoden. Enligt handberäkningsmetoden beräknades de totala momenten som summan av momenten för vindlast och snedställningslast men vid en summering av momenten för vindlast och snedställningslast från FEM-design kan det konstateras att dessa inte motsvarar de totala momenten från FEM-design. På grund av den tydliga skillnaden i beräkningssätt vid totala moment för de olika metoderna kan det anses svårt att alls analysera och jämföra dessa två beräkningsmetoder på ett beräkningstekniskt plan. Tydliga skillnader framgår även mellan övriga resultat, vilket troligtvis även kan förklaras med att de beräknats genom användande av olika beräkningsmetoder inom handberäkningar respektive FEM-design. På grund av FEM-designs komplexitet och uppbyggnad och de uppenbara skillnaderna i beräkningsmetodik för de båda metoderna är det svårt att analysera programmets resultat och de ingående parametrarna på ett sätt som blir likvärdigt med analysen av resultaten från handberäkningsmetoden. Ett exempel på svårigheten vid jämförelse av de båda metodernas tillvägagångssätt är frågan om huruvida FEM-design räknar med att vindlast ger upphov till moment i flera riktningar och hur dessa moment eventuellt påverkar varandra, något som inte tagits hänsyn till i handberäkningsmetoden. Ett intressant konstaterande vid analysen av spänningar är att handberäkningsmetoden, baserat på dess metod, bygger på ett antagande om linjär spänningsfördelning över Vägg 1 med maximum och minimum i ändarna, något som inte överensstämmer med resultaten för spänningsfördelningen från FEM-design. Ett exempel på detta framgår i Figur 4.9 där den minsta tryckspänningen uppstår i mitten av Vägg 1. För de båda metoderna kan ses att handberäkningsmetoden ger upphov till större moment, men lägre vertikal dimensionerande kraft än FEM-design. Huruvida resultaten 33

Examensarbete: SPÄNNINGSFÖRDELNING I ENSKILD BÄRVERKSDEL från handberäkningsmetoden är att betrakta som att metoden är på säker sida beror på om förekomsten av dragspänningar eller förekomsten av höga tryckspänningar är dimensionerande. Handberäkningsmetoden påstår, till skillnad från FEM-design, att det uppstår dragspänningar enligt Lastfall 2 medan FEM-design uppvisar högre tryckspänningar. Avslutningsvis kan det vara värt att nämna den mänskliga faktorn som en eventuell källa till fel i de båda beräkningsmetoderna. Den mänskliga faktorn kan argumenteras påverka mer vid handberäkningar där det kan anses vara svårare att koppla beräkningarna till en modell. Det kan dock också argumenteras att den är ett stort problem vid beräkningar i datorprogram eftersom det ofta krävs en grundläggande förståelse för programmet i fråga. 34

Kap.6 Slutsatser och rekommendationer 6. SLUTSATSER OCH REKOMMENDATIONER Arbetet i denna rapport har visat att beräkningar för hand och beräkningar med FEM-design 3D Structure 16 med avseende på spänning, ger stora skillnader i resultat för samma bärverksdel. Mot bakgrund av dessa resultat kan det vara värt att diskutera de båda beräkningsmetodernas giltighet med avseende på tillämpning. Som framkommit under arbetets gång är handberäkningsmetoden en, trots att den bygger på grovt förenklade antaganden om lasters samverkan i byggnader, komplicerad och tidskrävande metod i jämförelse med FEM-design. Därav följer att denna handberäkningsmetod troligtvis bäst lämpar sig för uppskattningar av grov natur där noggrannhetsgraden har en mindre betydelse för tillämpningen av resultatet eller där man ej har tillgång till datoriserade beräkningsprogram, eller tiden det krävs att göra mer noggranna beräkningar. FEM-design är ett komplext beräkningsprogram som använder sig av väl teoretiskt underbyggda och vedertagna analysmetoder, och som på ett snabbt sätt, relativt handberäkningsmetoden, ger alla möjliga upptänkbara resultat och möjlighet till analys av konstruktioner. Denna komplexitet kräver dock att brukaren av programmet har en djup förståelse för programmets funktion och uppbyggnad, men också en stark teoretisk och analytisk kompetens för att kunna göra rimliga bedömningar av resultaten. Att blint förlita sig på ett datorprogram är att betrakta som omdömeslöst och något som i värsta fall kan ha fatala konsekvenser. Det ska dock poängteras att detta även gäller handberäkningar. På sikt kan ett brukande av datoriserade beräkningsprogram utan koppling till teorin bakom metoderna leda till att komptensen och trovärdigheten hos yrkeskåren urholkas. Som förslag till fortsatta studier föreslås att undersöka vilken påverkan öppningar i väggar för fönster och dörrar samt ett nyttjande av elastiska stöd under väggar skulle ha på resultatet. Vidare föreslås en utredning av vad skillnaderna mellan handberäkningsmetoden och FEM-design kan bero på, samt ett utarbetande av bättre överensstämmande beräkningsmetoder baserat på denna utredning. 35

Kap.7 Litteraturförteckning 7. LITTERATURFÖRTECKNING Adolfsson, L. och Carlsson L. (2014). Stomstabilisering av prefabricerade betonghus. Lund: Lunds Universitet. Almlöf, M. (2017) Knut Jönsson Ingenjörsbyrå i Uppsala AB, Uppsala (Muntlig information) Avén, S. (red.) (1985).Konstruktionsteknik. Författarna och LiberFörlag, Stockholm. Engström, B. (2007). Beräkning av betongkonstruktioner. Göteborg: Chalmers tekniska högskola. Hansson, H. och Ludvigsson, M. (2016). Praktisk lastnedräkning och stomstabilitet enligt Eurokoder. Uppsala: Uppsala Universitet. EC 0, 2010. (2017-04-05). SS-EN 1990. Eurokod Grundläggande dimensioneringsregler för bärverk. SVENSK STANDARD. EC 1, 2005. (2017-03-28). SS-EN 1991-1-3. Eurokod 1 Laster på bärverk Del 1-3: Allmänna Laster Snölast. SVENSK STANDARD. EC 1, 2008. (2017-04-05). SS-EN 1991-1-4:2005. Eurokod 1 Laster på bärverk Del 1-4: Allmänna Laster Vindlast. SVENSK STANDARD. EC 1, 2011. (2017-04-05). SS-EN 1991-1-1. Eurokod 1 Laster på bärverk Del 1-1: Allmänna Laster Tunghet, egentyngd, nyttig last för byggnader. SVENSK STANDARD. EC 2, 2008. (2017-04-05). SS-EN 1992-1-1:2005. Eurokod 2 Dimensionering av betongkonstruktioner Del 1-1: Allmänna regler och regler för byggnader. SVENSK STANDARD. EKS 10. (2017-03-28). BFS 2015:6 EKS 10. Boverkets föreskrifter om ändring i verkets föreskrifter och allmänna råd (2011:10) om tillämpning av europeisk konstruktionsstandarder (eurokoder). Boverket. 37

Examensarbete: SPÄNNINGSFÖRDELNING I ENSKILD BÄRVERKSDEL Johannesson P. och Vretblad B. (2013). Byggformler och tabeller. Liber AB, Stockholm. StruSoft AB (2017). FEM-design, http://www.strusoft.com/ (2017-04- 20). Westerberg, B. (2010). Beskrivning av Eurokoder för betongkonstruktioner. Rapport 2010:39, Strålsäkerhetsmyndigheten, Stockholm. 38

Bilaga 1 - Reduktionsfaktorn för nyttig last och snölast Reduktionsfaktor nyttig last α A = 5 7 ψ 0 + A 0 A = 5 10 0,7 + = 0,53 1,0 7 18 20 Snölast s = μ 1 C e C t s k = 0,8 1,0 1,0 2,0 = 1,6 kn/m 2 B1.1

Examensarbete: SPÄNNINGSFÖRDELNING I ENSKILD BÄRVERKSDEL B1.2

Bilaga 2 - Egentyngder per plan Bjälklag Plan 1 Plan 2 Plan 3 Plan 4 Plan 5 Plan 6 Area [m 2 ] 360 360 360 360 360 360 Tjocklek [m] 0,270 0,270 0,270 0,270 0,270 0,270 Tunghet [kn/m 3 ] 25,0 25,0 25,0 25,0 25,0 25,0 Egentyngd [kn] 2430 2430 2430 2430 2430 2430 Väggar Längd[m] 125 125 125 125 125 125 Höjd[m] 2,50 2,50 2,50 2,50 2,50 2,50 Tjocklek[m] 0,200 0,200 0,200 0,200 0,200 0,200 Tunghet[kN/m 3 ] 25,0 25,0 25,0 25,0 25,0 25,0 Egentyngd [kn] 1570 1570 1570 1570 1570 1570 Summa egentyngd [kn] 3990 3990 3990 3990 3990 3990 Bjälklag Plan 7 Plan 8 Plan 9 Plan Plan Plan 10 11 12 Area [m 2 ] 360 360 360 360 360 360 Tjocklek [m] 0,270 0,270 0,270 0,270 0,270 0,270 Tunghet [kn/m 3 ] 25,0 25,0 25,0 25,0 25,0 25,0 Egentyngd [kn] 2430 2430 2430 2430 2430 2430 Väggar Längd[m] 125 125 125 125 125 125 Höjd[m] 2,50 2,50 2,50 2,50 2,50 2,50 Tjocklek[m] 0,200 0,200 0,200 0,200 0,200 0,200 Tunghet[kN/m 3 ] 25,0 25,0 25,0 25,0 25,0 25,0 Egentyngd [kn] 1560 1560 1560 1560 1560 1560 Summa egentyngd [kn] 3990 3990 3990 3990 3990 3990 B2.1

Examensarbete: SPÄNNINGSFÖRDELNING I ENSKILD BÄRVERKSDEL Bjälklag Plan13 Plan14 Plan 15 Plan16 Takplan Area [m 2 ] 360 360 360 360 360 Tjocklek [m] 0,270 0,270 0,270 0,270 - Tunghet [kn/m 3 ] 25,0 25,0 25,0 25,0 0,5 [kn/m 2 ] Egentyngd [kn] 2430 2430 2430 2430 180 Väggar Längd[m] 125 125 125 125 0 Höjd[m] 2,50 2,50 2,50 2,50 0 Tjocklek[m] 0,200 0,200 0,200 0,200 0 Tunghet[kN/m 3 ] 25,0 25,0 25,0 25,0 0 Egentyngd [kn] 1560 1560 1560 1560 0 Summa egentyngd [kn] 3990 3990 3990 3990 180 Lastnedräkning egentyngd Plan Egentyngd [kn] Nedräknad egentyngd [kn] Takplan 180 180 Plan 16 3990 4170 Plan 15 3990 8170 Plan 14 3990 12200 Plan 13 3990 16200 Plan 12 3990 20100 Plan 11 3990 24100 Plan 10 3990 28100 Plan 9 3990 32100 Plan 8 3990 36100 Plan 7 3990 40100 Plan 6 3990 44100 Plan 5 3990 48100 Plan 4 3990 52100 Plan 3 3990 56100 Plan 2 3990 60100 Plan 1 3990 64100 B2.2

Bilaga 3 - Dimensionerande vertikala laster 15 1,0 1,35 8,2 1,5 0,7 0,5 0,7 1,5 0,7 0,6 12,0 14 1,0 1,35 12,2 1,5 0,7 0,5 1,4 1,5 0,7 0,6 17,8 13 1,0 1,35 16,2 1,5 0,7 0,5 2,2 1,5 0,7 0,6 23,6 12 1,0 1,35 20,1 1,5 0,7 0,5 2,9 1,5 0,7 0,6 29,4 11 1,0 1,35 24,1 1,5 0,7 0,5 3,6 1,5 0,7 0,6 35,2 10 1,0 1,35 28,1 1,5 0,7 0,5 4,3 1,5 0,7 0,6 41,0 9 1,0 1,35 32,1 1,5 0,7 0,5 5,0 1,5 0,7 0,6 46,8 8 1,0 1,35 36,1 1,5 0,7 0,5 5,8 1,5 0,7 0,6 52,6 7 1,0 1,35 40,1 1,5 0,7 0,5 6,5 1,5 0,7 0,6 58,3 6 1,0 1,35 44,1 1,5 0,7 0,5 7,2 1,5 0,7 0,6 64,1 5 1,0 1,35 48,1 1,5 0,7 0,5 7,9 1,5 0,7 0,6 69,9 4 1,0 1,35 52,1 1,5 0,7 0,5 8,6 1,5 0,7 0,6 75,7 3 1,0 1,35 56,1 1,5 0,7 0,5 9,4 1,5 0,7 0,6 81,5 2 1,0 1,35 60,1 1,5 0,7 0,5 10,1 1,5 0,7 0,6 87,3 1 1,0 1,35 64,1 1,5 0,7 0,5 10,8 1,5 0,7 0,6 93,1 Lastfall 1 Permanenta och samverkande variabla laster är ogynnsamma Vindlast är största samverkande variabla last Ekv. 3.4 F i,d = γ d (γ G G k + γ Q ψ 0,q α A Q k + γ s ψ 0,s S) Plan γ d γ G G k [MN] γ Q ψ 0,q α A Q k [MN] γ s ψ 0,s S [MN] F i,d [MN] Takplan 1,0 1,35 0,2 1,5 0,7 0,5 0,0 1,5 0,7 0,6 0,9 16 1,0 1,35 4,2 1,5 0,7 0,5 0,0 1,5 0,7 0,6 6,2 B3.1

Lastfall 2 Permanenta och samverkande variabla laster är gynnsamma Vindlast är ogynnsam variabel huvudlast Ekv. 3.4 F i,d = γ d (γ G G k + γ Q ψ 0,q α A Q k + γ s ψ 0,s S) Plan γ d γ G G k [MN] γ Q ψ 0,q α A Q k [MN] γ s ψ 0,s S [MN] F i,d [MN] Takplan 1,0 1,0 0,18 0,0 0,7 0,53 0,0 0,0 0,7 0,58 0,18 16 1,0 1,0 4,17 0,0 0,7 0,53 0,0 0,0 0,7 0,58 4,17 15 1,0 1,0 8,17 0,0 0,7 0,53 0,72 0,0 0,7 0,58 8,17 14 1,0 1,0 12,2 0,0 0,7 0,53 1,44 0,0 0,7 0,58 12,2 13 1,0 1,0 16,2 0,0 0,7 0,53 2,16 0,0 0,7 0,58 16,2 12 1,0 1,0 20,1 0,0 0,7 0,53 2,88 0,0 0,7 0,58 20,1 11 1,0 1,0 24,1 0,0 0,7 0,53 3,6 0,0 0,7 0,58 24,1 10 1,0 1,0 28,1 0,0 0,7 0,53 4,32 0,0 0,7 0,58 28,1 9 1,0 1,0 32,1 0,0 0,7 0,53 5,04 0,0 0,7 0,58 32,1 8 1,0 1,0 36,1 0,0 0,7 0,53 5,76 0,0 0,7 0,58 36,1 7 1,0 1,0 40,1 0,0 0,7 0,53 6,48 0,0 0,7 0,58 40,1 6 1,0 1,0 44,1 0,0 0,7 0,53 7,2 0,0 0,7 0,58 44,1 5 1,0 1,0 48,1 0,0 0,7 0,53 7,92 0,0 0,7 0,58 48,1 4 1,0 1,0 52,1 0,0 0,7 0,53 8,64 0,0 0,7 0,58 52,1 3 1,0 1,0 56,1 0,0 0,7 0,53 9,36 0,0 0,7 0,58 56,1 2 1,0 1,0 60,1 0,0 0,7 0,53 10,1 0,0 0,7 0,58 60,1 1 1,0 1,0 64,1 0,0 0,7 0,53 10,8 0,0 0,7 0,58 64,1 Examensarbete: SPÄNNINGSFÖRDELNING I ENSKILD BÄRVERKSDEL B3.2

Bilaga 4 - Lastarea, lastandel, dimensionerande last på vägg Lastarea A last = 21,4 m 2 Lastandel η = A last 21,4 = A tot 18,9 16,8 = 0,0675 Lastfall 1 Permanenta och samverkande variabla laster är ogynnsamma Vindlast är ogynnsam, största samverkande variabla last F d,1 = F 1,d η = 93,1 0,0675 = 6,28 MN Lastfall 2 Permanenta och samverkande variabla laster är gynnsamma Vindlast är ogynnsam variabel huvudlast F d,1 = F 1,d η = 64,1 0,0675 = 4,33 MN B4.1

Bilaga 5 - Dimensionerande snedställningslaster per plan Reduktionsfaktor för höjd α n = 2 h = 2 44,32 = 0,30 2 3 α n 1,0 α n = 2 3 Reduktionsfaktor för antalet samverkande konstruktionsdelar α m = 0,5 (1 + 1 m ) där m = 11 16 = 176 st ger α m = 0,5 (1 + 1 1 ) = 0,5 (1 + m 176 ) = 0,709 Snedställningsvinkel θ i = θ 0 α n α m = 1 200 2 0,709 = 0,00236 3 B5.1

Examensarbete: SPÄNNINGSFÖRDELNING I ENSKILD BÄRVERKSDEL Lastfall 1 Snedställningslast per plan då vertikala permanenta och samverkande variabla laster är ogynnsamma Plan θ i F i,d [MN] H i [kn] Takplan 0,00236 0,9 12,7 16 0,00236 6,2 13,7 15 0,00236 12,0 13,7 14 0,00236 17,8 13,7 13 0,00236 23,6 13,7 12 0,00236 29,4 13,7 11 0,00236 35,2 13,7 10 0,00236 41,0 13,7 9 0,00236 46,8 13,7 8 0,00236 52,6 13,7 7 0,00236 58,3 13,7 6 0,00236 64,1 13,7 5 0,00236 69,9 13,7 4 0,00236 75,7 13,7 3 0,00236 81,5 13,7 2 0,00236 87,3 13,7 1-93,1 - B5.2

Lastfall 2 Snedställningslast per plan då vertikala permanenta och samverkande variabla laster är gynnsamma Plan θ i F i,d [MN] H i [kn] Takplan 0,00236 0,2 9,42 16 0,00236 4,2 9,42 15 0,00236 8,2 9,42 14 0,00236 12,2 9,42 13 0,00236 16,2 9,42 12 0,00236 20,1 9,42 11 0,00236 24,1 9,42 10 0,00236 28,1 9,42 9 0,00236 32,1 9,42 8 0,00236 36,1 9,42 7 0,00236 40,1 9,42 6 0,00236 44,1 9,42 5 0,00236 48,1 9,42 4 0,00236 52,1 9,42 3 0,00236 56,1 9,42 2 0,00236 60,1 9,42 1-64,1 - B5.3

Bilaga 6 - Vindlast Formfaktorn C pe (Tabell 7.1) (EC 1, 2002) h = 44,32 d y = 18,0 h = 44,32 d y 18,0 = 2,46 Formfaktor för lovartsidan D Värdet för C 10,D beräknas med linjär interpolation (tabell 7.1) (EC 1, 2005). C pe,10,d = 0,8 Formfaktor för läsidan E Värdet för C 10,E beräknas med linjär interpolation (tabell 7.1) (EC 1, 2005). C pe,10,e = 0,573 Den totala formfaktorn C pe beräknas sedan som C pe = C pe,10,d C pe,10,e = 0,8 ( 0,573) = 1,37 och multipliceras sedan med korrelationsfaktorn, beräknad med interpolation (2.2(3)) (EC 1, 2005) till 0,8938, vilket ger C pe = 0,894 1,37 = 1,23 Karakteristiskt hastighetstryck q p (z e ) Värdet för q p (z e ) beräknas genom interpolation (tabell C-10a) (BFS EKS 10, 2015) med terrängtyp 1, v b = 24 m/s och z e = 44,32 m till q p (z e ) = 1,26 kn/m 2 B6.1

Examensarbete: SPÄNNINGSFÖRDELNING I ENSKILD BÄRVERKSDEL Karakteristisk vindlast w e,y (EC 1,2005) w e,y = q p (z e ) C pe = 1,26 1,23 = 1,54 kn/m 2 Dimensionerande vindlast Lastfall 1 Vindlast största samverkande variabel last w e,y,d = γ d γ w ψ 0,1 w e,y = 1,0 1,5 0,3 1,54 = 0,693 kn/m 2 Lastfall 2 Vindlast ogynnsam variabel huvudlast w e,y,d = γ d γ w w e,y = 1,0 1,5 1,54 = 2,31 kn/m 2 B6.2

Bilaga 7 - Fördelning stjälpande krafter på väggskivor Yttröghetsmoment i x-led för Vägg 1 beräknades som I x,1 = b x h x 3 12 = 0,2 203 12 = 133 m 4 och i y-led som I y,1 = b y h y 3 12 = 20 0,23 12 = 0,0133 m 4 Yttröghetsmomenten för alla väggar redovisas i tabellen nedan. B7.1

Beräkningar yttröghetsmoment och tyngdpunkter Vägg I x,n [m 4 ] x TP,n [m] I y,n [m 4 ] y TP,n [m] I x,n x TP,n [m 5 ] I x,n x TP,n [m 5 ] 1 1,33E+02 0,1 1,33E-02 10,0 1,33E+01 1,33E-01 2 1,20E-02 9,0 9,72E+01 19,9 1,08E-01 1,93E+03 3 1,33E+02 17,9 1,33E-02 10,0 2,39E+03 1,33E-01 4 1,20E-02 9,0 9,72E+01 0,1 1,08E-01 9,72E+00 5 2,67E-03 2,5 1,07E+00 7,0 6,67E-03 7,47E+00 6 4,67E-03 4,0 5,72E+00 13,0 1,87E-02 7,43E+01 7 1,22E+01 8,0 6,00E-03 13,0 9,72E+01 7,80E-02 8 1,22E+01 10,0 6,00E-03 13,0 1,22E+02 7,80E-02 9 4,67E-03 14,0 5,72E+00 11,0 6,53E-02 6,29E+01 10 2,67E-03 15,0 1,07E+00 5,0 4,00E-02 5,33E+00 11 1,22E+01 9,0 6,00E-03 4,5 1,09E+02 2,70E-02 3,03E+02 2,08E+02 2,73E+03 2,09E+03 Examensarbete: SPÄNNINGSFÖRDELNING I ENSKILD BÄRVERKSDEL Beräkning rotationscentrums koordinater och kraftersultantens hävarm B7.2