Sannolikhet och statistik

Sannolikhet och statistik Matematiklyftet är en fortbildning som genomförs lokalt på skolan. De vanor, rutiner, förhållningsätt och kunskaper ni under årens lopp gemensamt byggt upp kan ses som skolans undervisningskultur. Ni ges möjlighet att tillsammans diskutera och vidareutveckla denna kultur. Fortbildningen består av att ni tillsammans med kollegor arbetar med materialet i denna modul med stöd av en handledare. Parallellt erbjuds också er rektor att delta i en utbildning för att kunna stödja er. Tillsammans får ni även möjlighet att utveckla er fortbildningskultur. Modulens åtta delar 1. Sannolikhetslära och statistik ur ett historiskt perspektiv 2. Formativ bedömning i sannolikhet och statistik 3. Sannolikhet kopplingen mellan teoretisk modell och data 4. Klassrumsnormer och experimentbaserad sannolikhet 5. Variation i statistiska uttrycksformer 6. Kommunikation och undersökande arbetssätt i statistik 7. Statistisk slutledning som del av resonemangsförmågan 8. Begreppskartor som instrument för summering och framåtblick I den här modulen ska ni speciellt diskutera och reflektera över undervisning i sannolikhet och statistik som är ett av de centrala områdena i kursplanen för matematik. Detta område är betydelsefullt då vi som medborgare i ett modernt samhälle dagligen ställs inför situationer som kräver förståelse för slump, sannolikhet och statistik. Efter modulen förväntas ni ha: breddat er syn på sannolikhetslära och statistik fördjupat er kunskap om didaktiska perspektiv på matematikundervisning i allmänhet och inom sannolikhet och statistik i synnerhet fått ökad förståelse för ett undersökande arbetssätt i sannolikhet och statistik utvecklat er förmåga att urskilja, bedöma och utveckla elevers förmågor fått ökad förståelse för hur undervisningens organisation påverkar lärandet i matematik fått ökad förståelse för hur det sociala sammanhanget har betydelse för lärandet i matematik. Begreppslista I dokumentet "Begreppslista" har vi samlat de begrepp inom sannolikhet och statistik som förekommer i hela modulen. Där ger vi en förklaring till begreppen och i vissa fall finns också länkar till illustrationer. Begreppslistan hittar du i rutan "Se även". Revision: 6 Datum: 2017-10-27

Vi önskar er lycka till i ert arbete och hoppas att detta material kommer att stödja er utveckling som matematiklärare i stort men framförallt er förmåga att bedriva effektiv undervisning i sannolikhet och statistik. Ansvariga för modulen Örebro universitet, i samarbete med Malmö Högskola, Linnéuniversitetet, Göteborgs universitet och NCM. Revision: 6 Datum: 2017-10-27

Del 8. Begreppskartor som instrument för summering och framåtblick Syftet med del 8 är att ni ska: prova på att använda begreppskartor i matematikundervisningen sammanfatta modulen och diskutera hur ni kan fortsätta arbetet att utveckla er undervisning i sannolikhet och statistik Ni ska även diskutera hur ni kan dra nytta av ert arbete med modulen och om det påbörjat någon förändring av den undervisnings- och fortbildningskultur som arbetet med modulen initierat. Om möjligt kan rektor vara med på den avslutande träffen i Moment D. Revision: 6 Datum: 2017-10-27

Del 8: Moment A individuell förberedelse Läs och se film I texten Begrepp i kartor eller bubblor beskriver Grevholm hur lärare kan arbeta med begreppskartor i planering, genomförande och uppföljning av matematikundervisning. Läs texten Begreppskarta med stöd av begreppskort och se filmen Arbete med begreppskartor. Filmen visar elever men kan inspirera till hur ni tillsammans med barn kan arbeta med begreppskartor. I dokumentet Begreppskort finns förslag på begrepp som anknyter till sannolikhet och statistik. Dessa överensstämmer med kunskapskraven för åk 7-9 och det ni arbetat med i modulen. Dessa finns också utformade som kort i Kopieringsunderlag. Återvänd gärna till texterna Sannolikhetslärans födelse och Sannolikhetslära och statistik ur ett historiskt perspektiv, från del 1, som stöd i arbetet med denna del. Använd också begreppslistan i den mån ni behöver repetera begreppen. Reflektera Gå igenom anteckningar som du fört genom modulen och välj ut de tre mest framträdande insikter du gjort. Förbered dig på att berätta om dessa för dina kollegor. Ta med dina reflektioner till Moment D. Material Revision: 6 Datum: 2017-10-27

Material Begrepp i kartor eller bubblor B. Grevholm Begreppskarta med stöd av begreppskort P. Nilsson, C. Kilhamn Begreppskort P. Nilsson, T. Jansson, C. Kilhamn Kopieringsunderlag P. Nilsson, T. Jansson, C. Kilhamn Arbete med begreppskartor null https://www.youtube.com/watch?v=fkzsjui5moi Filformatet kan inte skrivas ut Revision: 6 Datum: 2017-10-27

Barbro Grevholm Begrepp i kartor eller bubblor? Begreppsförståelse är grundläggande för att elever ska erhålla ett gott matematikkunnande. Här beskriver författaren likheter och skillnader mellan tankekartor, begreppskartor och begreppsbubblor. Hon diskuterar också deras styrkor och svagheter samt hur de kan användas i undervisningen. En viktig del i elevers lärande i matematik består av att bygga upp en begreppsförståelse så att kunskaper kan länkas samman och ses i skilda sammanhang. För att stötta eleverna i arbetet med begreppsförståelse har olika typer av kognitiva och visuella hjälpmedel använts. På 1980-talet var så kallade tankekartor (mindmaps) mycket populära, många böcker skrevs i ämnet och det hölls kurser för lärare i hur de kunde använda dem. Långt innan dess hade forskare infört så kallade begreppskartor (concept maps) som inledningsvis användes för att dokumentera och analysera forskningsdata. Snart noterades hur kraftfulla redskap dessa begreppskartor var och de började användas i undervisningen. På 2000-talet har även så kallade begreppsbubblor (concept cartoons) blivit populära och förespråkats inte minst av Skolverket. Vi ska nu se lite närmare på dessa verktyg samt deras styrkor och svagheter. Tankekartor En tankekarta får ofta en spindelvävsliknande form. Det centrala begreppet i kartan omges av grenar åt alla håll som speglar de associationer som kartans ritare har fått. De olika orden i kartan är förenade enbart genom linjer och en annan läsare vet inte hur den som ritade tänkte sig sambanden. Följande är en sammanfattning av tankekartans egenskaper och möjligheter till användning: översiktlig skiss av ett område mental kartbild av ett fenomen hur nyckelord och begrepp knyts samman stödord till en muntlig presentation redovisning sammanfattning självdiagnos efter studier repetition. Nämnaren nr 2 2014 11

Tankekarta över begreppet procent. Från begreppet procent i centrum går det ut fem grenar. Två av dem delar sig i sin tur i fler grenar från något fenomen längs vägen. De första associationerna hos den som ritat har varit hundradel, rabatt på en vara, moms, alkoholhalt och en beskrivning av hur procentandelen kan beräknas. I någon mening ger kartan en ögonblicksbild av hur den som ritat just då ser på begreppet procent. Kartorna är helt individuella och både måste och ska alltid accepteras som den uppfattning den som ritar har om begreppet. Då flera elever jämför sina kartor kan intressanta diskussioner uppstå och som kanske leder till att någon av dem senare vill rita om sin karta. Eleven har då ändrat sin uppfattning på något sätt eller upptäckt något som inte tidigare var medtaget i tankekartan. Begreppskartor Begreppskartor kan vara av många olika slag men jag vill här presentera dem enligt den beskrivning som gavs av forskaren Joseph Novak 1998. Begreppskartan är en bild som representerar en persons kunskaper vid ett visst tillfälle uttryckta genom påståenden. Dessa länkar olika begrepp till varandra med hjälp av länkord som oftast är verb. Begreppen är i regel substantiv och hierarkiskt strukturerade i kartan. Länkarna visar hur de olika begreppen är förbundna med varandra i ett nätverk, en kognitiv struktur. Länkorden har en viktig roll i att ge mening åt kartans delar och skiljer begreppskartor från tankekartor. Begreppskartor kan, förutom i forskning, användas vid undervisning, inlärning, diagnosticering och bedömning. De skiljer sig från tankekartor genom att de både är byggda av kunskapspåståenden och är hierarkiska. När man läser en begreppskarta bildar orden och länkarna meningar som ger påståenden som innehåller kunskap. Konstruktion av kunskap är en komplex produkt av den mänskliga kapaciteten, den kulturella kontexten och förändringar i utvecklingen av relevanta kunskapsstrukturer samt verktyg för att erövra ny 12 Nämnaren nr 2 2014

kunskap, menar Novak. Han hävdar att begrepp spelar en central roll i både lärandets psykologi och teorier om kunskap. För de flesta är ordet begrepp en självklarhet som de inte närmare tänkt på meningen av. Frågar vi en elev eller lärare vad de menar med begrepp är det inte alltid de har ett svar till hands. Hur skulle du själv beskriva innebörden i ordet begrepp? Novak definierar ett begrepp som uppfattade regelbundenheter i händelser eller objekt och som vi har infört en etikett eller benämning för. Etiketten kan vara ett ord eller en symbol. Novak har använt begreppskartor som ett verktyg för att representera strukturer eller ramverk av begrepp och påståenden som härletts från kliniska intervjuer eller konstruerats av lärande personer. Begreppskartor har också visat sig vara användbara verktyg vid planering av undervisning och för att hjälpa elever att lära sig hur de lär. Begreppskartan skiljer sig från tankekartan där läsaren måste gissa hur ritaren har associerat. Tankekartan är alltså inte meningsbärande på samma sätt som en begreppskarta. Låt oss se på en begreppskarta över procent. I bilden återfinner vi en del av den information som finns i tankekartan men här finns också en översikt över några vanliga typer av problem om procent samt antydan om hur de löses. Vi ser tydligt hierarkin av begrepp och underliggande begrepp. Terminologi belyses i den vänstra länken som förklarar vad procent betyder och hur det kan skrivas med ord, som bråk och som decimaltal. I de tre mittersta länkarna visas de vanliga byggstenar som används i procentuppgifter, dvs procenttalet, delen och det hela samt hur de kan användas i problemtyperna. I den högra länken belyses några vanliga problemsituaitoner där procent används. En begreppskarta kan alltid byggas vidare och kopplas samman med andra begreppkartor för att påvisa ytterligare samband i de matematiska kunskaperna. Begreppskarta över begreppet procent. Nämnaren nr 2 2014 13

Begreppsbubblor Begreppsbubbla om procenträkning (fritt efter teckning i Limit 1:2, s 14) Begreppsbubblor är inspirerade av tecknade serier och består av bilder där personer säger eller tänker saker om något matematiskt begrepp eller problem. I det ideala fallet är det autentiska uttalanden av elever om fenomenet i fråga. Bilden kan användas för att stimulera ett samtal i klassen om vad eleverna på illustrationen egentligen säger. Därmed kan elever få syn på hur andra tänker om ett matematiskt begrepp eller hur man kan gå olika vägar för att finna en lösning. I bilden här nedan berättar tre elever hur de gör då de räknar med procent. Den första eleven går vägen via att först beräkna hur mycket en procent är och så använda det för att beräkna den aktuella procentdelen. Den andra eleven skriver om procenttalet i decimalform och multiplicerar sedan med det aktuella talet medan den tredje eleven först dividerar procenttalet med hundra och därefter multiplicerar med det hela. Ett samtal om dessa metoder kan få elever att se skillnaderna och att det är möjligt att välja olika vägar beroende på vilket som förefaller enklast i ett visst fall. Det verkar som om begreppsbubblor hittills varit mer populära i de naturvetenskapliga ämnena än i matematik. Forskare pekar på att begreppsbubblor har fördelen att man direkt kan lyfta fram möjliga missförstånd, men att det sker på bekostnad av att man inte, som i begreppskartan, ger eleven möjlighet att avslöja bredden eller djupet i sin förståelse. I regel blir inte begreppsbubblorna lika tydligt fokuserade på ett givet begrepp, vilket är fallet med en begreppskarta. Det förefaller också som om de sätt på vilka man kan använda en begreppskarta är betydligt fler och mer varierade. Jag ska nu avrunda med att diskutera hur begreppkartor kan användas i undervisningen. Hur kan begreppskartor användas? I forskningslitteratur finns en rad olika sätt att använda begreppskartor beskrivna. Vid inledningen av ett nytt avsnitt i undervisningen kan läraren börja med att kartlägga elevernas förkunskaper genom att de får berätta allt de vet genom påståenden. Dessa påståenden kan skrivas upp på tavlan och därefter sammanfogas i en begreppskarta. Kartan blir ett synligt bevis på klassens utgångsläge inför nya kunskaper. Efter det att klassen arbetat igenom det nya avsnittet kan en ny karta ritas. Jämförelse med den tidigare kartan kan då synliggöra nya kunskapsstrukturer och begrepp. Detta är då exempel på kartor som innehåller en grupps samlade kunskaper. I en jämförelse blir det tydligt för både lärare och elever om några luckor finns i associationerna mellan begrepp eller om elever har olika uppfattning om hur begreppen ska länkas samman. 14 Nämnaren nr 2 2014

Elevers lärande En elev som vet hur begreppskartor ritas och fått en viss vana att göra det kan använda verktyget i sitt eget lärande. När ett nytt avsnitt bearbetats kan eleven försöka rita sin egen karta över de nya kunskaperna. Det visar sig att kartorna blir högst individuella. Steg för steg kan eleven rita in sin egen kunskapsutveckling och se om det sker nytt lärande eller inte. I samtal med läraren kan eleven diskutera om hans karta stämmer med en mera allmän syn på begreppen eller om han kanske fått en vag eller oklar bild av hur begreppen hänger samman. För att skapa utmaningar i lärandet kan läraren låta elever rita sina egna enskilda begreppskartor och därefter be dem att i små grupper jämföra sina kartor. Elever upptäcker likheter och skillnader och värdefulla diskussioner uppstår om varför de har olika uppfattningar på vissa punkter. Det kan leda till att någon elev ändrar uppfattning och ser nya möjligheter att förstå begreppssambanden. Elever kan upptäcka att vissa kartor är rikare än andra och har fler länkar. De kan få impulser att införliva fler delar i sin egen karta och på så sätt utvidga sin syn på begreppen inom området. I samtalen får elever tillfälle att utveckla ett matematiskt språk och får ge uttryck för hur de tänker matematiskt och motivera det för kamraterna. Resonemang och samtal av detta slag är väsentliga för lärandet, något som Alan Schoenfeld påpekade redan 1992. Lärares användning Kartorna kan användas för läraren att skapa sig en bild av hur en elev tänker. De fungerar då som ett alternativt diagnosinstrument, som kan användas upprepade gånger. Lärare kan använda begreppskartor för sin egen del. Att rita en karta inför ett nytt avsnitt innebär att du som lärare tydliggör för dig själv vilka centrala begrepp och delbegrepp du vill behandla och hur du ser sambanden mellan dem. Det kan tydliggöra vissa kopplingar som du annars kanske inte hade betonat så starkt. Om elever ska få en god begreppsuppfattning måste de få de viktiga begreppen belysta ur olika aspekter så att de får en rik och nyanserad begreppsbild. I undervisningen Sammanfattningsvis ger jag här en översikt över hur begreppskartor kan fungera i undervisningen. I en grupp eller klass kan en begreppskarta användas som inledning eller brainstorm för att diagnosticera kunskaper vid genomgång för att se var man fogar ny kunskap till den tidigare som startpunkt för jämförelser och diskussion som avslutning, för att sammanfatta och ge en helhetsbild. Enskilda elever kan använda begreppskartan för att skapa egen överblick kunna visa hur ny kunskap utvecklas och fogas till den tidigare göra jämförelser vid samtal med kamrater Nämnaren nr 2 2014 15

utveckla sitt språk inom ämnet se var det finns luckor i kunskaperna eller outvecklade föreställningar dokumentera sina kunskaper kunna iaktta sin egen utveckling över tid sammanfatta sina studier repetera vid ett senare tillfälle. För läraren själv kan begreppkartan komma till nytta för att skapa överblick vid förberedelser av undervisningen granska sin egen bild av kunskaper inom ett område prioritera vid val av stoff strukturera undervisningen diagnosticera en elevs utveckling bedöma och examinera elevers kunskaper. Begreppskartor är kraftfulla verktyg men man måste själv ha prövat på att använda dem för att verkligen känna deras styrka. Det finns kostnadsfri datorprogamvara tillgänglig på nätet, exempelvis Cmap, cmap.ihmc.us, som låter användaren enkelt rita tydliga och bra kartor. Lärare som har prövat tankekartor, begreppskartor och begreppsbubblor kan säkert finna fler fördelar och nackdelar med dem än de som har diskuterats här. Alla tre verktygen har sina något olika användningsområden men kan också nyttjas tillsammans så att eleverna får valmöjligheter. Personligen anser jag att begreppkartor är ett av de mest kraftfulla verktygen för att stödja elevers lärande i matematik. Litteratur Andersson, A. (2002). Begreppskartor ett verktyg för bättre förståelse. Nämnaren 2002:2. Andrén, K. & Östman, M. (2012) Begreppsbubblor. Nämnaren 2012:2. Grevholm, B. (2008). Concept maps as research tool in mathematics education. I A. J. Cañas, P. Reiska, M. Åhlberg & J. D. Novak (red). Concept Mapping: Connecting Educators. Proc. of the Third Int. Conference on Concept Mapping. (s 290 297). Tallin: Tallin University. Tillgänglig 140408 på cmc.ihmc.us/cmc2008papers/cmc2008-p301.pdf Novak, J. D. (1998). Learning, creating and using knowledge. Mahwah, New Jersey: Lawrence Erlbaum. Schoenfeld, A. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition and sense-making in mathematics. I D. A. Grouws (red). Handbook for research on mathematics teaching and learning. New York: Macmillan. 16 Nämnaren nr 2 2014

Grundskola åk 7 9 Modul: Sannolikhetslära och statistik Del 8: Begreppskartor som instrument för summering och framåtblick Begreppskarta med stöd av begreppskort Per Nilsson, Örebro Universitet Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet När ni nu har arbetat med sannolikhet och statistik under en längre tid är syftet här huvudsakligen att samla upp, sammanfatta och skapa en helhetsbild av vad elever väljer att lyfta fram inom ett område. Här i del 8 ska ni arbeta med en begreppskarta tillsammans med era elever. Som ni läste i texten Begrepp i kartor eller bubblor finns det olika anledningar till att använda begreppskartor i matematikundervisningen. Den mest grundläggande förståelsen för ett begrepp är att kunna associera begreppet till andra begrepp. Att arbeta med begreppskartor är ett sätt att stärka förmågan att analysera begrepp och framförallt att se och kunna beskriva samband mellan begrepp. Frågor vi ställer till olika begrepp i den här övningen kan vara: Är det samma sak som, ett exempel på, motsatsen till? Kan det definieras som, visas genom, illustreras av? På vilket sätt hänger de här begreppen ihop? Övningen kan dels ses som en träning för eleverna i att upptäcka och formulera samband mellan begrepp, och dels som ett sätt för er som lärare att få kunskap om vad eleverna lärt sig hittills inom området. Modulen har pågått under en längre tid och det är därför inte rimligt att tro att eleverna ska komma ihåg allt ni arbetat med och alla begrepp som behandlats genom hela modulen. Självklart är förhoppningen att arbetet med modulen ska synas i det som eleverna väljer att lyfta fram i arbetet med begreppskartan, men lås er inte vid de aktiviteter och begrepp som behandlats i modulen när ni diskuterar begreppskartan med eleverna. Att elever lyfter in erfarenheter från andra situationer ger bara näring till diskussionen och ni får en bättre bild av elevernas totala förståelse för området. Med andra ord, här handlar det inte om att utvärdera modulen utan om att ni ska få prova på en metod med vilken ni kan samla upp och skapa en helhetsbild av hur elever beskriver och förstår ett område i matematik. Bilden som växer fram kommer ni att ha stöd av när ni diskuterar era erfarenheter av modulen och hur ni vill fortsätta att utveckla er undervisning i sannolikhet och statistik och matematik i allmänhet. Aktivitet: att binda samman begreppskort Till en början kan det vara svårt att utveckla en begreppskarta på det sätt som Grevholm beskriver i sin text. Ett sätt att stödja elevers arbete är att be dem binda samman och gruppera det vi här kallar begreppskort. I dokumentet Begreppskort i sannolikhet och statistik har vi lämnat förslag på olika former av begreppskort med anknytning till sannolikhet och statistik. Vissa begreppskort har formen av en definition, andra kan visa bilder av en konkret situation, ett diagram eller tabell och några har formen av ett påstående. Under era kollegiala samtal ska ni diskutera vilka kort ni vill välja ut till lektionen. Välj bland de kort som finns föreslagna och ta bara med de kort ni tror att era elever kan placera och binda samman med andra kort. Ni får naturligtvis också justera i kortens formuleringar eller komplettera med helt nya kort om ni vill. Ett sätt att knyta an till den egna undervisningen är att skapa egna Begreppskarta med stöd av begreppskort Januari 2016 http://matematiklyftet.skolverket.se 1 (3)

Grundskola åk 7 9 begreppskort med bilder eller formuleringar som klassen producerat själva. Till exempel kan man använda foton på sådant eleverna gjort under modulen och låta dessa utgöra begreppskort. Tänk på spridningen mellan elever i årskurs 7 och årskurs 9, det är viktigt att alla elever känner att uppgiften är utmanande. De kort ni väljer ut till lektionen ska vara nivåanpassade till era respektive elevgrupper. Elever visar många gånger stor kreativitet, varför vi rekommenderar att ni även delar ut några blanka kort till eleverna som de själva får rita eller skriva något på och sätta ihop med andra kort i sin karta. Vissa kort kan länkas till många andra kort och om det blir alltför snårigt kan eleverna använda ett tomt kort för att skriva ordet en gång till. I filmen Instruktionsfilm-begreppskartor visar vi hur ni och eleverna kan arbeta med korten för att bilda begreppskartor med stöd av begreppskort. Filmen beskriver arbetet i en datormiljö men för eleverna är det troligen lättare att arbeta med fysiska kort. För dig som lärare är syftet med aktiviteten att du ska få prova på en metod att skapa en samlad bild av elevernas förståelse för ett område i matematik. Denna samlade bild kan du sedan använda formativt till att utveckla elevernas förståelse på området. Använd följande punkter som stöd i planeringen av den lektion ni ska genomföra. 1. Lektionens inledning Oavsett ålder behöver ni fundera på hur ni kan friska upp minnet hos eleverna. I början av modulen föreslogs att ni kontinuerligt skulle fotografera och dokumentera lektionerna. Nu kan ni använda de bilder ni tagit för att få eleverna att se tillbaka på arbetet som pågått inom modulen. Har ni inte fotograferat kan ni försöka få eleverna att berätta vad de kommer ihåg av de olika aktiviteter ni arbetat med genom modulen. Ta med material, bilder och exempel på det elever producerat genom modulen för att stimulera diskussionen. I den här fasen bör ni inte komma in för mycket på begrepp och uttrycksformer utan det räcker om ni får eleverna att minnas aktiviteterna. Gå sedan igenom med eleverna vad ni ska göra under resten av lektionen. 2. Låt eleverna arbeta i grupper Dela ut en uppsättning med likadana begreppskort till varje grupp elever. Om spridningen är väldigt stor i klassen går det att anpassa så att en grupp elever som behöver större utmaning än andra får fler kort att placera. Alla elever bör dock ha samma grunduppsättning av kort. Varje grupp ska också ha ett stort pappersark och fästmassa eller tejp. Elevernas uppgift är nu att skapa en begreppskarta med hjälp av korten, fästa dem på pappret och därefter länka samman korten med streck och länkord. Ju äldre eleverna är desto större vikt bör läggas vid hur korten länkas samman. Det är viktigt att eleverna är på det klara med att det inte finns ett rätt i den här aktiviteten. Det finns inte bara ett sätt att forma en begreppskarta med de kort som de blivit tilldelade. Fundera på hur detta överensstämmer med, eller kan komma att utmana, de normer och kontrakt som råder under era lektioner i matematik. Aktiviteten med begreppskarta handlar alltså om att utveckla ett klassrumsklimat där eleverna uppmuntras till och tillåts att resonera om och argumentera för hur de väljer att utforma Begreppskarta med stöd av begreppskort Januari 2016 http://matematiklyftet.skolverket.se 2 (3)

Grundskola åk 7 9 sin begreppskarta. När eleverna är klara i sina grupper ska de visa sin karta för resten av klassen. 3. Samla upp i helkass Den gemensamma delen av lektionen är oerhört viktig eftersom det är här som elevernas arbete tas på allvar och deras argumentation kan utvecklas. Alla olika funderingar får nu landa i ett gemensam kunskapande. Under grupparbetet kommer eleverna att lära sig av varandra då de ska förhandla fram en gemensam syn på hur de ska binda samman korten. När grupperna är klara med sina kartor sätter ni upp alla kartor i klassrummet så att alla kan se. Börja gärna med en tyst rundvandring där eleverna i lugn och ro får titta på varandras kartor och försöka förstå vad de ser. Samla sedan alla till ett gemensamt samtal. Diskutera likheter och skillnader mellan de olika gruppernas begreppskartor. Fundera på hur du ska agera som lärare för att inte ta för stor plats i samtalet utan att det istället ges plats för eleverna att diskutera, värdera riktigheten i och utveckla sina begreppskartor och därigenom utveckla sin förståelse för området sannolikhet och statistik. Din roll som lärare är inte att tala om hur det ska vara utan att stimulera samtalet och stötta argumentationen så att den blir matematiskt korrekt. Öppna också upp en möjlighet för eleverna att revidera sin uppfattning och föreslå ändringar i sina begreppskartor. Även om det finns många sätt att göra en begreppskarta så kan vissa kartor innehålla fel och vissa bli mycket tydligare än de övriga. Målet är inte att ni enas om en gemensam begreppskarta, men för eleverna är det viktigt att de går ifrån lektionen med en fylligare kunskap av området än när det kom dit. För eleverna är aktiviteten ett tillfälle för lärande. Om grupperna vill justera sina begreppskartor efter diskussionen i helklass så ger ni dem tid för det nu. Varje elev skriver sedan av eller fotograferar den begreppskarta gruppen enas om. Begreppskartan kan de sedan plocka fram, reflektera över och utveckla vid nästa tillfälle undervisningen kommer in på slump, sannolikhet eller statistik. Uppmärksamma din egen roll som lärare i aktiviteten: Hur fungerar ditt sätt att få eleverna att minnas tillbaka genom modulen? Hur lyckas du att balansera mellan att ta tillvara elevernas förslag (struktur och innehåll i begreppskartan) och den bild av slump, sannolikhet och statistik du önskar att eleverna får med sig? Hur skapar du engagemang bland alla elever så det inte bara blir ett fåtal elevers begreppskarta, och därigenom förståelse, som du får en bild av? Referenser Grevholm, B., (2014). Begrepp i kartor eller bubblor? Nämnaren, 2014 (3), 11 16. NCM, Göteborgs universitet. Begreppskarta med stöd av begreppskort Januari 2016 http://matematiklyftet.skolverket.se 3 (3)

Grundskola åk 7 9 Modul: Sannolikhetslära och statistik Del 8: Begreppskartor som instrument för summering och framåtblick Begreppskort Per Nilsson, Örebro Universitet Torbjörn Jansson, Örebro Universitet Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet Här finns förslag på vad som kan stå på begreppskort som relateras till begreppen slump, sannolikhet och statistik. De överensstämmer med läroplanens kunskapsmål för åk 7-9. Trots att listan är lång är den inte fullständig. Allteftersom ni utvecklar ert arbete med begreppskartor kommer ni att kunna komplettera listan, både med nya begrepp och egna exempel. Alla föreslagna begrepp, illustrationer och förklaringar finns också utformade som kort i ett kopieringsunderlag. Kopiera upp så att varje elevgrupp kan få en uppsättning kort. Klipp ut korten men tillhandahåll endast de kort som är aktuella för just dina elever. Tänk på att diagrammen i original använder färger för att visa skillnader, och att dessa nyanser kan försvinna om korten kopieras i svartvitt. Fyll på med egna begrepp, illustrationer och exempel på tomma kort. Dela också ut några tomma kort till eleverna så att de själva kan lägga till begrepp som de saknar. Följande begrepp finns på korten för åk 7-9: Ord Förklaringar Exempel / Påståenden Sannolikhet, Chans, Risk, Utfall, Händelse, Komplementhändelse, Gynnsamma utfall, Utfallsrum, Absolut frekvens, Relativ frekvens, Antal, Andel, Träddiagram, Slump, Osäkerhet, Oförutsägbarhet Kan skrivas som ett bråktal. Chansen eller risken att något händer. Kan skrivas som ett tal mellan 0 och 1. Kan skrivas som ett tal mellan 0 och 100%. När man inte helt säkert vet vad som ska ske. Sannolikheten att få klave är 0,5. Risken för regn i morgon är 70%. Det är 1 chans att få händelsen femma vid kast med 6 en tärning. Hur vädret blir nästa vecka. Om en tappad smörgås landar med smöret uppåt eller smöret nedåt. Begreppskort Januari 2016 http://matematiklyftet.skolverket.se 1 (2)

Grundskola åk 7 9 Ord Förklaringar Exempel / Påståenden Undersökning, Stickprov, Observation, Population, Data, Enkät, Tabell, Avprickning, Frekvens, Bokföring, Kriterier, Kategorier, Gruppering, Lägesmått, Typvärde, Medelvärde, Genomsnitt, Median, Spridningsmått, Variationsbredd, Standardavvikelse, Övre kvartil, Undre kvartil, Uteliggare, Störst sannolikhet, Minst sannolikhet, Lika sannolikhet, Störst andel, Minst andel. Diskret variabel, Kontinuerlig variabel, Nominalskala, Ordinalskala, Intervallskala, Kvotskala Diagram, Cirkeldiagram, Stapeldiagram, Linjediagram, Origo, Axlar, Cirkelsektor, Graf, Stolpdiagram, Lådagram, Punktdiagram, Histogram, Sammanställa data. Skapa översikt. Redovisa och beskriva resultat från undersökning. Beskriver tyngdpunkten i ett material. Värdet exakt i mitten av storleksordnade observationer. Ett värde som har lika många observationer ovanför sig (högre värden) som under sig (lägre värden). Värdet som är vanligast i en undersökning. Hur observationer fördelar sig i ett datamaterial. Till exempel färg, form och storlek. Beräkning av ett medelvärde. Rad av tal med medianen markerad. Rad av tal med typvärdet markerat. Ritad bild av personer med olika färg på tröjorna. (2 olika). Stapeldiagram med olika färg på staplarna. Cirkeldiagram med olika färg på sektorerna. Ritat stapeldiagram: favoritmat. Ritat cirkeldiagram: favoritmat. Ritat stapeldiagram över skolämnen. Stickprov A och Stickprov B. Beskriver en undersökning av elevers favoritmat i en klass med 28 elever. Det är färre än 50% av eleverna som har pizza som favoritmat. Det är flest elever som har pizza som favoritmat. Typvärdet är 10. Typvärdet är Pizza. Klassens favoritämnen är musik och matematik. Fler i klassen har svenska som favoritämne än idrott. Vi kan dra säkrare slutsatser från stickprov B än från stickprov A. Ishockey är populärare än Bandy Begreppskort Januari 2016 http://matematiklyftet.skolverket.se 2 (2)

sannolikhet chans risk utfall absolut frekvens relativ frekvens antal andel oförutsägbarhet träddiagram slump osäkerhet händelse komplementhändelse gynnsamma utfall utfallsrum

Kan skrivas som ett tal mellan 0 och 1. Kan skrivas som ett bråktal. Chansen eller risken att något händer. Kan skrivas som ett tal mellan 0 och 100%. Risken för regn i morgon är 70%. När man inte helt säkert vet vad som ska ske. Sannolikheten att få klave är 0,5. Det är 1 chans att 6 få händelsen femma vid kast med en tärning. Hur vädret blir nästa vecka. Om en tappad smörgås landar med smöret uppåt eller smöret nedåt.

undersökning stickprov observation population data enkät tabell avprickning bokföring frekvens gruppering kategorier kriterier

lägesmått typvärde median medelvärde spridningsmått variationsbredd standardavvikelse genomsnitt övre kvartil undre kvartil uteliggare störst andel störst sannolikhet minst sannolikhet lika sannolikhet minst andel

ordinalskala diskret variabel kontinuerlig variabel nominalskala intervallskala kvotskala

diagram cirkeldiagram stapeldiagram linjediagram origo axlar cirkelsektor graf stolpdiagram lådagram punktdiagram histogram

Beskriver tyngdpunkten i ett material. Hur observationer fördelar sig i ett datamaterial. Till exempel färg, form och storlek. Sammanställa data. Skapa översikt. Redovisa och beskriva resultat från undersökning. Värdet exakt i mitten av storleksordnade observationer. Ett värde som har lika många observationer ovanför sig (högre värden) som under sig (lägre värden). Värdet som är vanligast i en undersökning. 2,2,3,4,5,6,6 1,3,3,3,5,6,6,7 3 + 3 + 4 + 4 + 7 + 9 6 = 5

Fler i klassen har svenska som favoritämne än idrott. Beskriver en undersökning av elevers favoritmat i en klass med 28 elever. Typvärdet är 10. Vi kan dra säkrare slutsatser från stickprov B än från stickprov A. Det är färre än 50% av eleverna som har pizza som favoritmat. Typvärdet är Pizza. Ishockey är populärare än Bandy. Det är flest elever som har pizza som favoritmat. Klassens favoritämnen är musik och matematik.

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 80 60 40 20 0 Stickprov A 250 200 150 100 50 0 Stickprov B 12 10 8 6 4 2 0 Favoritmat Favoritmat Köttbullar Pannkakor Pizza Tacos

Del 8: Moment B kollegialt arbete Gör begreppskarta Använd korten som finns i Kopieringsunderlag och skapa tillsammans en begreppskarta. Diskutera Vilka begrepp leder till diskussioner kring hur de ska placeras i begreppskartan? Vilka fördelar kan det finnas för er lärare att göra begreppskartor? Vilka fördelar är det för eleverna? Planera Ni ska under lektionen i moment C utveckla en begreppskarta över sannolikhet och statistik tillsammans med eleverna. I dokumentet Begreppskort finns förslag på begrepp som anknyter till sannolikhet och statistik. Dessa är anpassade till kunskapskraven för åk 4-6 och det ni arbetat med i modulen. De finns också utformade som kort i Kopieringsunderlag. Välj ut vilka av dessa ni ska använda under lektionen och komplettera eventuellt med egna begreppskort. Uppmärksamma särskilt följande under lektionen: hur du lyckas få eleverna att minnas tillbaka genom modulen, hur du lyckas balansera mellan att ta tillvara elevernas bidrag till begreppskartan och att själv förmedla en bild av slump, sannolikhet och statistik som du önskar att eleverna får med sig, hur du skapar engagemang bland alla elever så det inte bara blir ett fåtal elevers begreppskarta du får en bild av. Material Revision: 6 Datum: 2017-10-27

Del 8: Moment C aktivitet Genomför lektionen. Material Revision: 6 Datum: 2017-10-27

Del 8: Moment D gemensam uppföljning Diskutera Utgå från era klassers begreppskartor i diskussionen och utgå från följande frågor. Hur lyckas ni få eleverna att minnas tillbaka genom modulen? Lyckas ni skapa engagemang bland alla elever och inte endast ett fåtal elever? Vilken inverkan hade du som lärare på begreppskartans slutliga utformning? Vilka för- och nackdelar kan det ha i relation till det didaktiska kontraktet och elevers lärande? Sammanfatta Summera era gemensamma erfarenheter och de nya insikter ni fått när det gäller undervisning i sannolikhet och statistik. Utgå från de reflektioner ni gjorde i Moment A. Berätta om era erfarenheter och insikter genom modulen och hur dessa kan komma att påverka undervisningen och elevernas måluppfyllelse. Anpassa tiden så att alla hinner komma till tals. Om inte följande redan nämnts kan ni diskutera: Era erfarenheter av ett undersökande/experimenterande arbetssätt som sträcker sig över flera lektioner. Vidga gärna diskussionen till andra matematikområden. Hur förmågorna kom in genom modulen. Vad ni upplevde som speciellt svårt i modulen och hur dessa svårigheter tog sig uttryck i undervisningen. Kontextens betydelse i statistik jämfört med i annan matematik. Sammanställ en gemensam lista med gruppens erfarenheter. Försök att gemensamt komma fram till en plan, som alla står bakom och kan skriva under på, där ni beskriver hur ni ska arbeta vidare med att utveckla undervisnings- och fortbildningskulturen i matematik på skolan. Material Revision: 6 Datum: 2017-10-27