LABORATION 1: SANNOLIKHETER Lös Uppgift 1-8 nedan. Första uppgiften har ledning steg för steg, resterande uppgifter löser du på samma sätt. Spara varje uppgift som separat Excelfil. För att starta Excel med Resampling-pluginet, välj Resampling Stats for Excel i Start-menyn. Uppgift 1 Bestäm sannolikheten att få 6 eller fler krona när man kastar ett rättvist mynt 10 ggr med hjälp av återsampling och följande steg. Steg 1 Öppna Tillägg i Excel och lokalisera Resampling-tillägget. Funktionerna vi kommer använda kan dels nås via ikoner i verktygsfältet eller under Resampling -menyn (se Figur 1). Följande funktioner finns tillgänliga: R: dra med återläggningg (Resample) S: dra utan återläggning (Shuffle) RS: Upprepa dragning och anteckna resultat för varje dragning (Repeat and Score) Urn: Verktyg för att fylla urna (användbar om den ska fyllas med många bollar ) Sort: Olika verktyg för att sortera data när man drar Histogram (bild): Beräknar frekvensen av utfallen och ritar histogram Reset: Återställer Excelbladets gömda variabler Figur 1. Resampling-pluginet i verktygsfältet Steg 2 Beskriv urnan Skapa en urna, dvs Excel-celler som vi kan dra från (Figur 2). Lägg två bollar i urnan, kalla den ena 1 och den andra 0 så blir det enkelt att räkna hur många kronor det blir när man drar 10 bollar med återläggning. 1
Figur 2. Kolumn A är beskrivningen av urnan, dvs två bollar, den ena kallad 1 den andra noll. Kolumn B innehåller kodnyckeln och fyller ingen annan funktion här än att hjälpa minnet. Steg 3 Dra från urnan Dra 10 ggr från urnan (dvs kolumn A) med återläggning. Markera cellerna som i Figur 2 och klicka på R i verktygsfältet (se Figur 1). OBS: Markera inte fler celler än de du vill dra från, då blir det knas! Då visar sig dialogrutan i Figur 3. Ange var dragningarna ska hamna i bladet ( Topp Cell of Output Range ), t ex cell D1 och ange antalet gånger programmet ska dra ur urnan, dvs Number of Cells in Output Range. Direkt när man klickat på OK kommer programmet dra värden och visa dem, se Figur 4. Figur 3. Dialog för att göra en dragning. Den lilla ikonen med en röd pil kan användas för att ange eller ändra var värdena finns med muspekaren. Figur 4. Kolumn D innehåller en dragning av 10 från kolumn A med återläggning. 2
Steg 4 Beräkna det du vill veta om dragningen Räkna ihop hur många Krona det blev i dragningen. Med kodningen 1/0 får man det enkelt som summan över de 10 dragningarna. Beräkna summan med hjälp av Excel-funktionen SUMMA i någon cell, till exempel F4 (se Figur 5). Figur 5. Antalet Krona bland de 10 dragningarna bestäms genom att skriva in funktionen SUMMA, (dvs =SUMMA(celler där dragningen finns). Steg 6 Upprepa för många nya dragningar. Upprepa dragningen och spara antal krona för varje dragning. Markera cellen där du räknar ut antalet krona och klicka på RS för Repeat and Score (se Figur 6). Kontrollera att cell you want to score är den där summan beräknas. Välj antalet gånger dragningen ska upprepas. Välj 100 och klicka på OK. Resultaten hamnar på en separat flik i Excelarket som heter Results (se Figur 7). Figur 6. Repeat and score-dialogen. Notera Display, bocka för det alternativet när du drar många ggr (>100) så går det mycket snabbare. 3
Figur 7. Antalet krona sparas på fliken Results, en rad för varje dragning. Steg 7 Analysera dragningarna Nu när du har dragningarna återstår bara att bestämma hur ofta det blev 6 eller fler Krona. Ett sätt vore att helt enkelt räkna hur ofta det hände bland de 100 dragningarna, här gör vi det genom att beräkna en frekvenstabell och rita ett histogram över utfallen vilket ger en trevlig sammanfattning av resultaten. Börja med att stortera utfallen i stigande ordning (om man inte sorterar kommer inte värdena i ordning i frekvenstabellen). Klicka på Data i Excel-menyn, markera kolumn A i Results-fliken och Sortera A-Ö (see Figur 8). Figur 8. Sortera värden i Excel. Se till att kolumn A är markerad och välj Histogram i Resampling-tillägget (dvs byt tillbaka Tilläggmenyn). Välj var frekvenstabellen ska ligga (i Figur 9 har D3 valts) och bocka för Integer Auto- Binning, alternativt Specify Bin Width och ange bredd 1. 4
Figur 9. Histogram. De olika alternativen för binning styr var gränserna läggs i histogrammet. När man klickar på Draw får man en frekvenstabell och ett histogram. Bin MidPt anger utfallen, Counts antalet ggr en dragningg hamnade i den binnen, %Total andelen i procent och Cu. Freq. hur många som hamnade i den binnen eller någon lägre. I Figur 10 ser vi att det här fallet ser vi att det blev 622 ggr, 712 ggr och 8 6 ggr. Alltså inträffade händelsen 6 eller fler krona 22+12+6=40 ggr utav hundra och uppskattningenn av sannolikheten blir 0,4. Beräkna vilken uppskattning av sannolikheten du fick, ligger den nära 0,4? Figur 10. Frekvenstabell och histogram över utfallen. Uppgift 2 Upprepa uppgift 1 men gör i stället 1000 återsamplingar. Det enklaste sättet att ändra antalet iterationer är att klicka på RS och ange att man vill ändra antalet iterationer och köra igen. Notera att du måste sortera resultaten och beräkna nytt histogram för de nya resultaten. Anteckna vilken 5
sannolikhet du får för 6 eller fler krona. Gör om återsamplingen igen med 1000 iterationer och beräkna sannolikheten igen. Hur mycket slår sannolikheterna mellan körningarna? Uppgift 3 Vid kast med två tärningar, vad är sannolikheten att få totalt 6 prickar? Vilken summa är mest sannolik att få? Uppgift 4 Om man drar 5 kort ur en kortlek, dvs delar ut en pokerhand, vad är sannolikheten att alla 5 är klöver? Tips: För att dra utan återläggning används S i stället för R. Om man inte döper bollarna med siffror kan man räkna antalet med Excel-funktionen ANTAL.OM. Exempel: ANTAL.OM(B1:B5; klöver ) räknar i hur många celler i B1:B5 som det står klöver. För att skapa en urna med många bollar, använd Urn i Resampling-menyn. Uppgift 5 Om 4 av 12 personer som jobbar på ditt lab är allergiker och du slumpmässigt väljer 3 till ditt försök, vad är sannolikheten att ingen av dem utvalda är allergiker? Uppgift 6 Om 40 av 120 personer som jobbar på ditt lab är allergiker och du slumpmässigt väljer 3 till ditt försök, vad är sannolikheten att ingen av de utvalda är allergiker? Tips: För att skapa en urna med många bollar, använd Urn i Resampling-menyn. Uppgift 7 1/3 av en stor befolkning är allergiker a. Om du väljer ut 3 till ditt försök, vad är sannolikheten att ingen av de utvalda är allergiker? b. Jämför svaret i (a) med svaren i Uppgift 5 och 6. Förklara varför två av sannolikheterna är lika varandra. 6
Uppgift 8 Fem personer står och väntar på en hiss. De väger 54, 66, 70, 72 och 97 kg. Hissen rymmer bara tre personer. Anta ett slumpmässigt urval av 3 av de fem personerna tar hissen när den kommer. Vad är sannolikheten att hissen får bära mer än 200 kg? 7