En jämförande studie av problemlösningsuppgifter kopplade till läroplanen

Natur, miljö och samhälle Examensarbete i Matematik och lärande 15 högskolepoäng, avancerad nivå En jämförande studie av problemlösningsuppgifter kopplade till läroplanen A comparative study on problem solving tasks related to the curriculum Zandra Källbom Grundlärarexamen 4 6, 240 högskolepoäng Datum för slutseminarium: 2017-03-20 Examinator: Anna Jobér Handledare: Cecilia Segerby 1

2

Abstract Tidigare forskning visar att matematikundervisningen i Sverige i stor utsträckning domineras av enskilt arbete i matematikboken där möjligheterna för att eleverna utveckla sin problemlösningsförmåga är begränsade. Problemlösning är en av de fem förmågorna som eleverna ska utveckla och även ta del av i det centrala innehållet i den gällande läroplanen för matematikämnet. Tidigare studier har fokuserat på problemlösning i läroböcker för högstadiet, men inte i läroböcker för mellanstadiet. Studiens syfte är att undersöka om problemlösningsuppgifterna i två vanligt förekommande matematikböcker, Matte Direkt. Borgen 6A och 6B (Carlsson, Liljegren & Picetti, 2013; 2012) och Mattespanarna 6A och 6B (Hernvald, Kryger, Persson & Zetterqvist, 2013), och det nationella provet som utförts år 2013 är tillräckligt underlag för betygssättning i årskurs 6. Med hjälp av en kvantitativ innehållsanalys och kodning granskades materialet utifrån de teoretiska utgångspunkterna ramfaktorteori och läroplansteori. Resultaten visade att problemlösningsuppgifterna i läromedlen och i det nationella provet inte räcker som underlag vid betygssättning i årskurs 6 hänvisat till läroplanens kunskapskrav i årskurs 6. För att betyg ska kunna sättas utifrån kunskapskraven krävs det att läromedlen och det nationella provet kompletteras med problemlösningsuppgifter där eleverna får möjligheten att beskriva tillvägagångssätt, resonera kring svarets rimlighet och ge förslag på alternativa tillvägagångssätt. Nyckelord: innehållsanalys, läromedel, läroplansteori, matematik, nationella prov, problemlösning, ramfaktorteori, årskurs 6. 3

4

Innehållsförteckning 1. Inledning... s. 7 2. Syfte och frågeställningar.s. 8 3. Teoretiska perspektiv s. 9 3.1. Ramfaktorteori..s. 9 3.2. Läroplansteori...s. 9 3.2.1. Formulering..s. 10 3.2.2. Transformering.s. 10 3.2.3. Realisering s. 11 3.2.4. Sammanfattning... s. 11 4. Bakgrund och tidigare forskning..s. 12 4.1. Bakgrund..s. 12 4.1.1. Problemlösning i läroplanen.s. 12 4.1.2. Nationella prov.s. 14 4.2. Vad är ett matematiskt problem?..s. 15 4.2.1. Olika typer av matematiska problem s. 16 4.3. Varför ska eleverna lära sig problemlösning?..s. 19 4.4. Läroboken och dess roll i undervisningen s. 20 4.5. Problemlösning i läroböcker.s. 21 5. Metod s. 23 5.1. Val av metod.s. 23 5.1.1. Analysmetod.s. 23 5.2. Datainsamling... s. 25 5.2.1. Matte Direkt. Borgen 6A och 6B.s. 25 5.2.2. Mattespanarna 6A och 6B s. 26 5.2.3. Nationellt prov..s. 26 5.3. Reliabilitet och validitet...s. 27 5.3.1. Reliabilitet s. 27 5.3.2. Validitet s. 27 5.4. Etiska principer.s. 28 6. Resultat och analys...s. 29 6.1. Andelen problemlösningsuppgifter..s. 29 5

6.2. Typ av problemlösningsuppgifter s. 30 6.3. Frågeord/imperativ och öppna/slutna frågor s. 31 6.4. Problemlösningsuppgifternas placering...s. 32 6.5. Problemlösning enligt läroplanen.s. 32 6.5.1. Problemlösningsarbete enligt läroplanen.s. 33 6.5.2. Problemlösningsuppgifter enligt läroplanen.s. 33 6.6. Sammanfattning s. 34 7. Slutsats och diskussion.s. 36 7.1. Problemlösning i läroplanen och lärobokens roll i undervisningen.s. 36 7.2. Benämning på ett matematiskt problem och olika typer av dessa s. 37 7.3. Varför ska eleverna lära sig problemlösning?..s. 37 7.4. Problemlösning i läroböcker och nationella prov.s. 38 7.5. Metoddiskussion...s. 38 7.6. Slutsats..s. 39 7.7. Vidare forskning...s. 40 8. Referenser.s. 42 Bilaga 1. Olika typer av problemlösningsuppgifter från läroböckerna och nationellt prov.s. 49 Bilaga 2. Öppna och slutna frågor från läroböckerna...s. 53 6

1. Inledning I gällande läroplan är problemlösning både en av de fem förmågorna och en del av det centrala innehållet. Av flera forskare (Grevholm, 2012; Löwing & Kilborn, 2002; Taflin, 2007) lyfts problemlösning fram som ett av de viktigaste momenten i matematiken. Problemlösning anses till exempel stimulera elevernas tänkande (Grevholm, 2012; Hagland, Hedrén & Taflin, 2004, 2005a; Lester & Lambdin, 2007; Taflin, 2007) och öka elevernas begreppsförståelse (Lester & Lambdin, 2007; Taflin, 2007). Under min VFU och mitt arbete i skolan har jag i matematikämnet fått se traditionell undervisning i stor utsträckning. Det finns risker med traditionell undervisning som kan innebära att eleverna får en felaktig uppfattning om matematikämnet (Boaler, 2011). Vidare kan detta resultera i att eleverna inte utvecklar sitt logiska tänkande som är väsentligt vid arbete med problemlösning. Traditionell undervisning innebär passiv undervisning, enligt forskarna, där läraren inleder lektionen med en genomgång, följt av att eleverna arbetar tysta självständigt i sina böcker (Boaler, 2011). Boesen, Helenius, Bergqvist, Bergqvist, Lithner, Palm och Palmberg (2014) och Skolverket (2003) bekräftar denna bild av matematikundervisningen i Sverige. Skolinspektionens (2009) rapport visar på att många lärare förlitar sig helt på att läroboken i matematik behandlar de mål som eleverna ska uppnå efter gällande kursplan, vilket tidigare studier visar på att de inte alltid gör och möjligheter för eleverna att utveckla sin problemlösningsförmåga är begränsad (Brehmer, Ryve & Van Steenbrugge, 2016; Gustafsson & Kasibovic, 2015). Tidigare forskning och studier som undersökt om problemlösningsuppgifterna i läroböcker är tillräckliga för att eleverna ska utveckla de förmågor och mål som finns i kursplanen för matematik i årskurs 6 som även behandlar nationella prov finns dessvärre inte. Denna studie ska genom en jämförande analys undersöka detta vidare. 7

2. Syfte och frågeställningar Idag styrs matematikundervisningen i Sverige oftast av en lärobok där många lärare undervisar på ett traditionellt sätt (Boaler, 2011; Boesen, et al., 2014; Skolverket, 2003). Syftet med detta arbete är att analysera problemlösningsuppgifter i två utvalda matematikböcker och ett nationellt prov i årskurs 6 och undersöka om dessa material är tillräckliga för att kunna arbeta mot en betygssättning av eleverna i problemlösning utifrån de kunskapskrav som finns i gällande läroplan. Denna studie utgår från följande frågeställningar: o Vilka skillnader och likheter finns det kring problemlösningsuppgifter i två årskurs 6 matematikböcker och det nationella provet för elever i årskurs 6 i matematik år 2013? o Hur stämmer dessa problemlösningsuppgifter i läroböckerna och nationellt prov överens med gällande läroplan? 8

3. Teoretiska perspektiv I detta avsnitt beskrivs det teoretiska perspektiv, ramfaktorteorin, som detta arbete utgår ifrån. Utvalda begrepp från teorin presenteras och förklaras utifrån hur de kommer att användas i detta arbete. 3.1. Ramfaktorteori Grundskolans läroplaner som skapades på 1960-talet skapades för att styra skolans innehåll och åstadkomma likvärdighet. Detta innebar en styrning om vad som ansågs vara viktig kunskap och kursplaner bildades (Lundgren, 1999). Med andra ord styrdes skolans ramar upp. Innehållet i ramarna var, som tidigare nämnt, vad skolan skulle undervisa om i utgångspunkt att ge eleverna en likvärdig utbildning. Ramfaktorteorin beskriver faktorer som påverkar undervisningen och dess innehåll (Linde, 2006; Lundgren, 1999). När en del skolor blev privata (alltså inte styrda av kommunerna) blev dessa ramar ännu viktigare för att få en likvärdig utbildning (Lundgren, 1999). Vidare bygger ramfaktorteorin på tankegången att ramar ger ett utrymme för en viss process, som kan vara till exempel matematikundervisningen (Lundgren, 1999). Lundgren (1999) skriver att om det finns ett tydligt mål för processen måste ramarna anpassas för att processen ska bli möjlig. Långström och Viklund (2006) förklarar att det finns yttre och inre ramfaktorer. De yttre ramfaktorerna är enligt författarna staten och kommunen som styr skolaktiviteterna med juridiska ramar såsom ämnesplan och läroplan. De inre ramarna är det varje enskild skola har där pedagogen bestämmer (utifrån kursplanerna) hur undervisningen ska bedrivas (Långström & Viklund, 2006). I detta arbete kommer Långström och Viklunds (2006) yttre ramfaktor att undersökas, då arbetet inte innehåller någon undersökning om vad som sker i verksamheten. De statligt utformade kursplaner kommer att vara som utgångspunkt vid undersökandet av de nationella proven samt två matematikböcker. 3.2. Läroplansteori Läroplansteorin utgår från ramfaktorteorin, där utformandet av kursplanerna ses som en ram av vilken kunskap som ska undervisas i skolan (Linde, 2006). Läroplanen och läroplansteorin 9

hör ihop på så sätt att om man ser läroplanen som något som anger mål, innehåll och undervisningsmetod, ser man läroplansteorin som förklaringen till varför man valt just det innehållet, målet och metodiken (Lundgren, 1999). Läroplansteorin beskriver processen från styrdokumentens utformande med undervisningens mål och innehåll (formulering), till val av tolkning av styrdokumenten i form av till exempel läromedel (transformering), vidare till utförandet av lektionen (realisering) (Linde, 2006). Från en och samma formulering (läroplanen) kan man i nästa steg få många olika transformeringar eftersom att det är upp till varje läromedelsförfattare eller lärare att tolka läroplanen och utse vad som är viktigt lärande för eleverna. Läroplansteorin ger en förklaring till hur elever i samma årskurs, med samma läroplan, fast på olika skolor kan ha olika kunskaper (Linde, 2006). Ett sätt att förstå detta är genom Linde (2006) som delar in teorin i tre olika delar. Delarna är formulering, transformering och realisering av läroplaner (Linde, 2006). 3.2.1. Formulering Formuleringen i läroplansteorin handlar om utformandet av styrdokument. Styrdokument skapas och utvecklas av statliga myndigheter som bestämmer vilka ämnen som ska undervisas, hur mycket utrymme varje ämne ska få i undervisningen, vilka undervisningsmål som ska finnas i varje ämne och ämnenas innehåll (Linde, 2006). Dessa punkter påverkas av både historiska utvecklingen och av olika ideologier om utbildning och lärande (Lundgren, 1979). Före 1994 var läroplanen mer (än idag) inriktad på undervisningens innehåll och hur undervisningen skulle bedrivas. Dagens läroplan innehåller däremot inte styrande ett starkt av undervisningen. Idag får läraren själv stor frihet i att styra sin undervisning, en så kallad deltagande målstyrning (Englund, Forsberg & Sundberg, 2012). 3.2.2. Transformering När väl styrdokumenten har framställts ska de transformeras (tolkas). Detta görs av till exempel läromedelsförfattare och lärare. Eftersom att läroplanen tolkas av olika aktörer kan undervisningen i skolan inte likställas med den aktuella läroplanen. Aktörernas val av innehåll i läroplanen kan bero på lärarnas syfte med undervisningen och praktiska förutsättningar på skolorna. Detta kan i sin tur medföra ett visst tillägg eller fråndragande av läroplanens innehåll (Jarl & Pierre, 2012; Linde, 2006; Martinsson, 1987). Andra företeelser som kan 10

spela in på urval av vad som ska undervisas kan vara resurser, elevsammansättningar, den sociala omgivningen och utformning av lärarutbildningen (Jarl & Pierre, 2012; Lindblom, 2016). 3.2.3. Realiseringsarenan Den sista delen inom läroplansteori är realisering. Realisering handlar om hur läraren väljer att bedriva undervisningen utifrån formuleringar och transformeringar. Aktiviteten, kommunikationen och aktiviteter i undervisningen står här i fokus och vad eleverna faktiskt lär sig bottnar i lärarens val av undervisningsstoff (Linde, 2006). I realiseringsarenan spelar elevernas intresse in. För att lärarens undervisning ska bli lyckad, med lyckad menar jag att eleverna lär sig det läraren har tänkt, är det betydelsefullt att läraren lyckats fånga elevernas intresse (Linde, 2006). 3.2.4. Sammanfattning Utifrån ett läroplansteoretiskt perspektiv kommer jag utgå från läroplanen och med hjälp av formuleringsarenan och transformeringsarenan analysera hur läromedelsförfattare och författare av nationella prov valt att transformera kursplanen i matematik gällandes problemlösningsuppgifter. Varför inte realiseringsarenan kommer behandlas i denna studie är för att den inte passar in i studiens syfte. 11

4. Bakgrund och tidigare forskning Inledningsvis kommer jag i bakgrunden att presenteras gällande problemlösning i läroplanen. Jag kommer att utgå från Skolverkets texter för att därefter redogöra för tidigare forskning om problemlösning inom matematikämnet, med inriktning mot år 4-6 4.1. Bakgrund 4.1.1. Problemlösning i läroplanen I detta avsnitt kommer de olika kunskapsmål som eleverna ska uppnå vid avslutad skolgång i årskurs 6 presenteras. Efter det presenteras vikten av problemlösning i grundskolan utifrån gällande läroplan (Skolverket, 2016a) och tillhörande kommentarmaterialet (Skolverket, 2011). Avslutande presenteras en beskrivning om vad kunskapskraven säger om vad eleverna ska utveckla och uppnå inom problemlösningsområdet vid avslutad skolgång i årskurs 6. Skolverket (2016a) betonar fem mål som eleverna ska genom undervisning i matematik ges förutsättningar att utveckla förmågan att: o formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, o använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp, o välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter, o föra och följa matematiska resonemang, och o använda matematiken uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser. (Skolverket, 2016a, s.48) I den nuvarande läroplanen står det också beskrivet att skolan har en viktig uppgift då utbildningen ska ge möjlighet att stimulera elevernas självförtroende, nyfikenhet och kreativitet. Eleverna ska få möjlighet att komma på och pröva egna idéer och lösa problem. Det ska ges utrymme för eleverna att utveckla förmågor kring att arbeta såväl själva som tillsammans, antingen i par eller i grupper, samt att eleverna ska ges möjlighet till att ta egna 12

initiativ och ansvar. Det här ska medföra att eleverna utvecklar förhållningssätt som är givande för entreprenörskap (Skolverket, 2016a). Skolverket (2011) framhåller i kommentarmaterialet för matematik några viktiga faktorer för förändringar av den förra kursplanen, Lpo94 (Skolverket, 1994). Forskning kring ämnesdidaktik, resultat från nationell utvärdering av undervisningen i matematik (NU-03) samt internationella utvärderingar (TIMSS, 2008 och PISA, Programme for International Student Assessment, 2010) ligger bland annat grund för förändring av Lpo94. De olika utvärderingarna påvisar att det enskilda arbetet i matematik dominerar i relativt hög grad. Det här medför, vilket tidigare belysts av Skolinspektionen (2009) samt Löwing och Kilborn (2002), att eleverna får minskade möjligheter att utveckla matematiska förmågor som är av stor vikt vid problemlösning. Därav menar Skolverket (2011), i kommentarmaterialet, att ambitionen med den nya kursplanen är att "betona vikten av att eleverna ges möjlighet att använda matematiken i olika sammanhang, utveckla förmågan att lösa problem, använda logiska resonemang samt att kommunicera matematik med hjälp av olika uttrycksformer" (s. 6). Eftersom Skolverket (2011) samtidigt belyser att matematik är ett kommunikativt ämne, bör fokus ligga på användning av matematik i olika kontexter och förhållanden. Undervisningen ska bidra till att eleverna får möjlighet att utveckla redskap för att sedan kunna använda dem för att tolka situationer och förlopp, konstruera och lösa problem, samt ge beskrivningar. Det medför att matematik ska vara en verksamhet som bygger på kreativitet och problemlösning, där utgångspunkten omfattar "den tillfredsställelse och glädje som ligger i att förstå och kunna lösa problem" (Skolverket, 2011, s. 7). Det betonas även att elever vid arbete med problemlösningsuppgifter ska kunna resonera matematiskt, använda matematiska begrepp, uttrycksformer och metoder. Inom problemlösning inkluderas även vikten av att kunna reflektera och värdera problemlösningsuppgiftens rimlighet i förhållande till resultatet. Det som omnämns nästintill först i den nuvarande kursplanen för matematik är problemlösning. Skolverket (2016a) redogör följande: Matematisk verksamhet är till sin art en kreativ, reflekterande och problemlösande aktivitet som är nära kopplad till den samhälleliga, sociala tekniska utvecklingen. Kunskaper i matematik ger människor förutsättningar att fatta välgrundade beslut i vardagslivets många valsituationer och ökar möjligheterna att delta i samhällets beslutsprocesser (s. 47). Vidare redovisar Skolverket (2016a) i syftesdelen att: 13

Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar kunskaper för att kunna formulera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda strategier, metoder, modeller och resultat. Eleven ska även ges förutsättningar att utveckla kunskaper för att kunna tolka vardagliga och matematiska situationer samt beskriva och formulera dessa med hjälp av matematikens uttrycksformer (s. 47). Vid avslutad skolgång i årskurs 6 ska eleven, bortsett från värdeorden, kunna följande vid problemlösning: [...] lösa enkla problem i elevnära situationer på ett fungerande sätt genom att välja och använda strategier och metoder med anpassning till problemets karaktär. Eleven beskriver tillvägagångssätt på ett fungerande sätt och för underbyggda resonemang om resultatens rimlighet i förhållande till problemsituationen samt att eleven kan ge förslag på alternativt tillvägagångssätt (s. 54). Problemlösning är utifrån detta centralt i matematikämnet i den svenska skolan. Mot bakgrund av ovanstående redogörelser och som nämnts tidigare, har jag därför för avsikt att undersöka hur problemlösning och problemlösningsuppgifter framställs i matematikböcker och nationella prov. 4.1.2. Nationella prov Nationella proven i matematik i årskurs 6 är uppdelade i fem delprov (ett på höstterminen och resten på vårterminen) som är grundade i ett urval ur det centrala innehållet i matematik i Lgr 11 (Skolverket, 2016a). Delprovet som genomförs på höstterminen är ett muntligt prov där eleverna får visa sina kunskaper inom ett visst område inom matematik. I detta delprov får eleverna visa sin förmåga att muntligt följa och föra matematiska resonemang. Eleverna får också möjlighet att pröva andras förklaringar och argument. De återstående fyra delproven är individuella där det oftast bara krävs ett kort svar av eleven. På tre av fyra av dessa delprov ska eleverna ha tillgång till miniräknare (Skolverket, 2015). Jönsson (2013) förklarar att vid skapandet av nationella prov överlåts tolkningen av kursplanerna till ämnesexperter och provkonstruktörer. Provkonstruktörerna är lärare, lärarutbildare och forskare på olika högskolor och universitet i Sverige (Skolverket, 2016b). Dessa gör sin tolkning och konstruerar prov och bedömningsanvisningar. Det positiva med detta är att om alla lärare accepterar bedömningsanvisningarna det blir en ökad likvärdig bedömning (Jönsson, 2013). Det finns dock bekymmer med nationella prov. De fem 14

delproven i matematik behandlar bara en bråkdel av kursplanens innehåll. Så även om proven är av hög kvalitet, kan de bara pröva en liten del av elevernas kunskap (Jönsson, 2013). I Matematikutbildningens mål och undervisningens ändamålsenlighet (Bergqvist, Bergqvist, Boesen, Helenius, Lithner, Palm & Palmberg, 2010) skriver författarna om hur 70 % av de tillfrågade lärarnas undervisning påverkats av de nationella proven i matematik. Påverkan handlar oftast om att, utifrån det muntliga delprovet, behöva lägga mer undervisningstid på att utveckla elevernas resonemangs- och kommunikationsförmåga. Vidare skriver Bergqvist, et al. (2010) att många av lärarna anser att frågorna i de nationella proven skiljer sig från frågorna i läroböckerna, men de kan inte sätta fingret på hur de skiljer sig. Många av lärarna menade att uppgifterna i nationella proven kräver mer eget tänkande av eleverna än uppgifterna i läroböckerna (Bergqvist, et al., (2010). 4.2. Vad är ett matematiskt problem? Löwing och Kilborn (2002) menar att det finns många olika uppfattningar om vad ett problem är. Dessa uppfattningar kan variera och vara allt ifrån ett problem som eleverna har svårigheter med att lösa, till en textuppgift (Schoenfeld, 1993; Skolverket, 2011). Enligt Hagland, Hedrén och Taflin (2005a) och Mouwitz (2007) kan ett matematiskt problem beskrivas som att en person vill svara på en fråga utan att ha kunskaper om någon färdig lösningsmetod. Det kräver alltså en ansträngning av personen i fråga men även vissa matematiska förkunskaper. Detta innebär att samma uppgift kan ses som en problemlösningsuppgift för en person samtidigt som samma uppgift kan ses som en rutinuppgift av en annan person (Hagland, Hedrén & Taflin, 2005a; Mouwitz, 2007). Vidare förklarar Mouwitz (2007) och Unenge och Wyndhamn (1988) att ett problem är en uppgift där eleverna ska ges tid att tänk på uppgiften innan de kommer fram till en metod, och senare ett svar. Problemet kan också ge eleverna svårigheter att hitta en lösning. Genom att eleverna ges tid att tänka ges de även motivation till att tänka på nya, kreativa sätt (Mouwitz, 2007; Unenge & Wyndhamn, 1988). Däremot anser många elever att problemlösning innebär memorering av problemlösningsmetoder där endast ett sätt finns att lösa uppgiften (Cai, 2003). Lester (1983) i Grevholm (2012) presenterar tre kriterier för att en uppgift ska klassas som ett problem. Kriterierna är: 15

- Individen eller gruppen som möter uppgiften vill eller behöver finns en lösning. - Det finns inte någon tillgänglig procedur som garanterar eller innebär en komplett lösning. - Individen eller gruppen måste göra en ansträngning för att finna lösningen. (Grevholm, 2012, s. 206) Om det inte finns någon given procedur och om det även krävs ansträngningar av en individ eller grupp, är en uppgift en problemlösningsuppgift enligt kriterierna ovan. Därmed hur uppgiften uppfattas och benämns blir avgörande av situationen och individerna (Grevholm, 2012). Jonassen (2000) och Schoenfeld (1993) däremot förklarar att det bara finns två kriterier för att något ska klassas som ett problem. Det första är att problemet måste innehålla någon okänd enhet. Det andra är att någon tycker det är värt att ta reda på det okända (Jonassen, 2000; Schoenfeld, 1993). För att en uppgift ska vara en problemlösningsuppgift ska uppgiften innehålla någon okänd enhet, något som eleven behöver ta reda på för att lösa uppgiften (Hagland, Hedrén & Taflin, 2005a; Jonassen, 2000; Lester, 1983 i Grevholm, 2012; Mouwitz, 2007; Schoenfeld, 1993; Unenge & Wyndhamn, 1988). 4.2.1. Olika typer av matematiska problem För att kunna genomföra analyserna i detta arbete är det väsentligt att ta reda på vilka olika typer av problemlösningsuppgifter det finns, beskriva några av de och vilka karaktärsdrag dessa kan ha. Det finns enligt Charles och Lester (1982) fyra olika typer av problemlösning. Dessa kategorier har även Ahlberg (1992) utgått ifrån i sin studie. Problemtyperna är: o Enkla översättningsproblem, även kallade enstegsproblem eller textuppgift. Enligt Charles och Lester (1982) är denna typ av problem vanligt förekommande i läroböcker. Det krävs av eleven att denne översätter problemet till ett matematiskt uttryck. Ett exempel på ett sådant problem är: Eva har 5 bananer och Kalle har 3 bananer. Hur många bananer har de tillsammans? o Komplexa översättningsproblem, kan ses som ett enstegsproblem eller textuppgift, men med flera steg. Vid dessa uppgifter krävs det inte bara att eleven ska översätta orden, utan hen behöver lägga till ytterligare en beräkning för att lösa problemet. Ett exempel på ett sådant problem är: I blomaffären kostar en ros 10 kr, men det går att köpa 5 rosor för 40 kronor. Hur mycket kostar 8 rosor? 16

o Processproblem, förklaras som ett problem där eleven behöver gissa eller finna mönster för att klara problemet. I dessa uppgifter räcker det alltså inte med att eleverna en eller flera räkneoperationer, eleven måste även använda sig av andra strategier för att hitta svaret. Dessa problem kräver ett logiskt tänkande av eleverna. Lester (1996) menar att tyngdpunkten av matematikundervisningen bör ligga på just dessa problem. Ett exempel på ett sådant problem är: I en burk finns det spindlar och myror. Totalt finns det 7 djur med 50 ben. Hur många djur finns det av varje sort? o Tillämpningsproblem, förklaras som realistiska problem som eleven kan stöta på i vardagen. Ahlberg (1992) menar att dessa problem innehåller en stor del matematik. Problemen kräver också att eleverna medför kunskaper hämtade ur verkligheten eller från deras tidigare erfarenheter. Ett exempel på ett sådant problem är: Hur mycket papper använder skolan varje månad? Ahlberg (1992) har i sin studie utgått från olika sätt att undervisa om problemlösning och olika strategier eleverna kan använda vid problemlösning. Då Ahlberg s (1992) resultat inte har med denna studies syfte att göra, är det inte relevant. Vidare kommer även öppna och slutna problem analyseras. Bergsten (2006) beskriver öppna och slutna problem. Öppna problem finns inom kategorin processproblem där det inte bara finns ett rätt svar. Genom att eleven får chansen att se problemet som sitt eget i ett öppet problem kan detta göra att uppgifterna skapar motivation hos eleverna. Den möjlighet eleverna får i öppna problem med att välja tillvägagångssätt och svar själva kan få eleverna att se uppgiften som sin egen (Björkqvist, 2001). Slutna problem är problemlösningsuppgifter där det bara finns ett rätt svar (Bergsten, 2006). Mölleheds studie Problemlösning i matematik: en studie av påverkansfaktorer i årskurserna 4 9 (2001) utgår istället ifrån George Pólyas fyra idéer om hur matematiska problem kan kategoriseras. Nedan presenteras de fyra: o One rule under your nose. I dessa uppgifter löser eleven uppgiften utan att egentligen behöva tänka på vad denna gör. Här presenteras strategin eller metoden för eleven inför lösning av uppgiften. o Application with some choice. Här behöver eleven hitta strategin eller metoden själv för att kunna lösa problemet. För att en uppgift ska hamna i denna kategori behöver lösningsstrategin eller metoden vara känd för eleven sedan tidigare. o Choice of a combination. Vid dessa uppgifter behöver eleven lösa två eller tre steg för att få fram en lösning. Olika lösningsstrategier eller metoder behöver kopplas samman av eleven. 17

o Approaching research level. Här krävs självständigt arbete och en logisk tankegång av eleven. Detta problem fodrar en ny kombination av metoder som har många förgreningar och regler. (Möllehed, 2011) Möllehed (2001) undersökte i sin studie faktorer som påverkar problemlösningsarbetet och elevers brister vid problemlösningsarbete och undersökte inte olika problemtyper. Hagland, Hedrén och Taflin (2005b) delar upp problemlösningsuppgifter i två olika kategorier; vanliga matematiska problem och rika matematiska problem. I artikeln presenterar författarna sju olika kriterier, där alla kriterier behöver uppnås för att problemet ska vara ett rikt matematiskt problem: 1. Problemet ska introducera till viktiga matematiska idéer eller vissa lösningsstrategier. 2. Problemet ska vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med det. 3. Problemet ska upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid. 4. Problemet ska kunna lösas på flera olika sätt, med olika strategier och representationer. 5. Problemet ska kunna initiera en matematisk diskussion utifrån elevernas skilda lösningar, en diskussion som visar på olika strategier, representationer och matematiska idéer. 6. Problemet ska kunna fungera som brobyggare mellan olika matematiska områden. 7. Problemet ska kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem. (s. 36) Vid jämförelse av Pólyas (i Möllehed, 2001) och Charles och Lester s (1982) kategorisering finns många likheter. Enkla och komplexa översättningsproblem (Charles & Lester, 1982) kan jämföras med Pólyas två första kategorier (one rule under your nose och application with some choice). De, totalt, 4 kategorierna anses som tämligen enkla för eleven att lösa då informationen för att kunna lösa problemet finns i uppgiften. Eller så behöver uppgiften lösas med en strategi eller metod som är känd för eleven sedan tidigare. Den tredje kategorin i båda listorna är processproblem (Charles & Lester, 1982) och choice of combination (Pólya, i Möllehed, 2011). Dessa två har likheten att de båda kräver någon metod eller strategi för att lösa problemet. Eleverna behöver räkna i flera steg och ibland även använda olika metoder eller strategier för att lösa problemet. Vidare kan processproblem (Charles & Lester, 1982) vara öppna eller slutna problem (Bergsten, 2006; Björkqvist, 2001). Processproblem kan även vara vanliga eller rika matematiska problem (Hagland, Hedrén & Taflin, 2005b). Den sista kategorin i Charles och Lester s (1982) skiljer sig från den sista kategorin i Pólyas (Möllehed, 2001) på så sätt att tillämpningsproblem (Charles & Lester, 1982) handlar om vardagliga problem där eleven måste använda sig av tidigare erfarenheter från vardagen. Pólyas (Möllehed, 2001) sista kategori är approaching research level. I denna kategori hamnar 18

problem som för eleverna kräver en hög grad av självförtroende och logiskt tänkande. Kombinationen av metoderna som krävs för att lösa problemet är för eleven sedan tidigare okänd. I min undersökning kommer jag avgränsa mig till Charles och Lesters (1982) problemkategorier (enkla översättningsproblem, komplexa översättningsproblem, processproblem och tillämpningsproblem) för att kategorisera i vilken utsträckning och i vilka kategorier i läromedlen och nationella prov problemuppgifter förekommer. Vidare kommer även öppna och slutna problem analyseras. Utöver dessa fyra problemlösningskategorier, och öppna och slutna uppgifter, tillkommer också en kategori som heter Övriga problemuppgifter. I den kategorin hamnar uppgifter som läromedlen eller nationella prov benämner som problemlösningsuppgifter, men som inte passar in i någon av de fyra ovanstående kategorierna. 4.3. Varför ska eleverna lära sig problemlösning? För att klara av den ökade användningen av matematik, för att kunna delta i samhällets demokratiska processer och för att inte bli lurad i vardagen behövs problemlösningsundervisning (Grevholm, 2012). Möllehed (2001) skriver följande om problemlösning: Problemlösning förekommer inte bara i matematik och många av de moment som är nödvändiga för en framgångsrik lösning av matematiska problem måste även vara nödvändiga i andra ämnen. Det fordras exempelvis att man förstår en text, kan tolka bilder och diagram och kan korrekt beskriva olika ting och händelser ur verkligheten (s. 143). Cai och Lester (2010) betonar att man bör låta barn börja träna på att lösa olika typer av problem i tidig ålder eftersom det tar lång tid för eleverna att bli duktiga på problemlösning. Herrera (2005) och Sidenvall (2015) menar att matematikundervisningen bör utmana och utveckla elevernas sätt att tänka och resonera där problemlösning ett bra sätt att uppnå detta. Grevholm (2012) beskriver problemlösning som en viktig del i matematikundervisningen som stimulerar elevernas tänkande och intresse. Hagland, Hedrén och Taflin (2004; 2005a) menar att problemlösningsundervisning även bidrar till elevernas förmåga att tänka logiskt, kreativt och strukturerat. Lester och Lambdin (2007) skriver fortsättningsvis om elevernas utveckling av begreppsförståelse och lösningsstrategier vid arbete med problemlösning. Eleverna 19

utvecklar även sin tankeprocess som kan vara användbar vid andra matematiska sammanhang (Lester & Lambdin, 2007). Taflin (2007) skriver om hur eleverna utvecklar sin förmåga att argumentera för sin lösning. Enligt Weber, Radu, Mueller, Powell och Maher (2010) och Ryve (2007) får eleverna sällan möjlighet att utveckla dessa förmågor i traditionella miljöer. 4.4. Läroboken och dess roll i undervisningen Läroboken är inte endast ett verktyg för undervisning och lärande utan även en minnesbank för eleverna (Selander, 2003). Minnesbanken innefattar kommunikation och kunskap och bör vara socialt konstruerad. Selander (2003) skriver fortsättningsvis att läroboken bör anpassas till både eleverna och läraren. Läroboken väljs oftast ut efter diskussion mellan kollegorna (Bergqvist, et al., 2010). Där utgångspunkten är att boken innehåller de viktigaste grundkunskaperna, stämmer överens med läroplanen och om den är enkel för eleverna att arbeta i på egen hand (Bergqvist, et al., 2010). Vidare påpekar Johansson (2006) liknande resonemang om läroboken inom matematik där hon skriver att den kan ses som ett verktyg som, i lärarens undervisning, förenklar arbetet för läraren. Läroboken man ses som en framställning av vad elever, vårdnadshavare och lärare anser vara matematik. Den kan också ses som en hjälp för verksamma lärare eftersom att läroboken strukturerar upp de områden eleverna ska tillägna sig och utveckla inom matematik (Johansson, 2006). År 2003 publicerade Skolverket en rapport där det redogörs att användandet av en bra lärobok vidare kan bidra till en positiv kunskapsutveckling. Det poängteras även samtidigt att om läromedlet helt domineras i praktiken kan detta leda vidare till att vissa elever istället tar avstånd från ämnet på grund av enformig undervisning. Denna rapport (Skolverket, 2003) visade även att läroboken är styrande för allt för många lärare i matematikämnet. I Boesen s et al. (2014) studie framkommer liknande resultat. Därefter tillägger Skolverket att Lärare behöver också själva tolka målen för att kunna välja adekvata läromedel som stämmer överens med nationella mål och elevernas behov, och för att sortera och välja lämpliga uppgifter (Skolverket, 2003, s.39). Johansson (2006) betonar ett orosmoment i form av lärares behov av användning av läroböcker och vidare att elevers utveckling kan hämmas genom läroböcker. Lärare har i undervisningen direktiv att följa, i form av läroplanen. Det har däremot inte läromedelsförfattarna. Detta innebär att läromedelsförfattarna väljer ut vad de anser vara 20

viktigt lärande då ingen granskning sker av läromedlen att de är anpassade efter gällande läroplan (Johansson, 2006; Skolverket, 2006). Vidare påpekar Johansson (2006) att lärare idag ofta känner sig trygga i sina matematiska och didaktiska kunskaper, men även betonar att utveckling av läromedel vore fördelaktigt. Utifrån detta anser Johansson (2006) att lärare inte bör behöva anförtro sig till läromedlen lika mycket. Det är av vikt att lärarna får en medvetenhet om läromedlets roll i undervisningen och att det således inte alltid är det bästa redskapet. Matematiklärare bör enligt Johansson (2006) inte helt avstå från läromedel i matematikundervisningen då användandet av de goda delarna kan medföra kunskapsutveckling för eleverna. Problematiken som kan uppstå för lärare i matematikundervisningen grundar sig inte i läroboken, enligt Löwings (2004) studie. Istället var problematiken en följd av förhållningssättet lärare hade till läromedlet. Individualisering av undervisningen skedde oftast genom att eleverna fick arbeta med uppgifterna i matematikboken i sin egen takt och på egen hand. Alla elever räknade alltså samma uppgifter, fast i olika takt. Läroboken stod alltså för elevernas lärande och utveckling, istället för läraren. Följden av detta var att elevernas lärande blev hämmat på grund av att de inte fick möjlighet att utveckla någon kunskapsstruktur för framtiden (Löwing, 2004). Enligt Bergqvist, et al. (2010) besår 59 % av tiden på matematiklektionen av eget arbete med matematikuppgifter eller arbete i smågrupper. 4.5. Problemlösning i läroböcker Utifrån vart i läroboken problemlösningsuppgifterna finns, undervisas problemlösning på olika sätt (Wyndhamn, Riesbeck & Schoultz, 2000). Är problemlösningsuppgifterna placerade tidigt i boken kan man se på det som att matematik ska läras ut genom problemlösningsuppgifter. Är uppgifterna placerade längre bak i kapitlet eller boken kan uppgifterna ses som matematik ska läras ut för att eleverna ska klara av att lösa problemlösningsuppgifterna (Wyndhamn, Riesbeck & Schoultz, 2000). Brehmer, Ryve och Van Steenbrugge (2016) gjorde en studie där de undersökte matematikläroböcker från högstadiet. De kom i undersökningen fram till att de flesta problemlösningsuppgifter var placerade i slutet av varje kapitel. Även Wyndhamn, Riesbeck och Schoultz s (2000) och Kaila s (2015) studie visade att problemlösningsuppgifterna i läroböckerna är placerade så att eleverna ska ha kunskapen till hands när de ska lösa uppgifterna. 21

I sin studie drog Brehmer, Ryve och Van Steenbrugge (2016) slutsatsen att uppgifterna i läroböckerna inte räckte för att uppnå kunskapskraven. Samma resultat kom Gustafsson och Kasibovic (2015) fram till i sin studie där de undersökte matematikläromedel i årskurs 1 3. Gustafsson och Kasibovic (2015) kunde dra slutsatsen från sin studie att det läggs mindre vikt kring problemlösningsområdet i jämförelse med andra områden såsom taluppfattning. 22

5. Metod I det här avsnittet kommer en beskrivning kring studiens metodval och tillvägagångssätt vid läromedels- och nationella prov analyserna. Analysmetoden kommer även presenteras. Vidare kommer studiens reliabilitet och validitet att diskuteras. 5.1. Val av metod Denna studie utgår kvantitativ innehållsanalys. Kvantitativ innebär att man i analysen kan räkna sig fram till ett resultat (Barmark & Djurfeldt, 2015). Enligt Bryman (2011), Hsieh och Shannon (2005) och Nilsson (2010) är innehållsanalys en flexibel analysmetod som används speciellt då syftet med studien är att analysera texter och dokument av olika slag och därför har jag valt att utgå ifrån denna metod. Bryman (2011) beskriver innehållsanalys som en ickereaktiv metod. Detta innebär enligt Bryman (2011) att de som studeras inte påverkas av forskarens närvaro. Vidare förklarar Bryman (2011) och Nilsson (2010) att vid en innehållsanalys är det grundläggande att författaren har tydliga frågeställningar och vad det konkret är som ska analyseras. I denna studie kommer innehållsanalysen utgå ifrån en kvantitativ analys där ett stort antal uppgifter kommer att analyseras med hjälp av kodning som är ett viktigt moment inom innehållsanalysen (Bryman, 2011). 5.1.1. Analysmetod För att inom arbetets tidsram kunna genomföra innehållsanalysen till detta arbete analyseras bara de uppgifter läromedelsförfattarna presenterat som problemlösningsuppgifter. Om en uppgift är uppdelad i till exempel tre delar (a,b och c) är uppgiften räknad som tre uppgifter. Uppgifterna i diagnoserna har inte räknats med, varken som problemlösningsuppgifter eller vanligt uppgifter därför att författarna inte skrivit ut vilka uppgifter som var vilka i diagnoserna. Detta gäller även de uppgifter som finns längst bak i Mattespanarna 6A och 6B (Hernvald, Kryger, Persson & Zetterqvist, 2013) som är tänkta som läxor. I det skriftliga nationella provet för matematik i årskurs 6 från år 2013 står det tydligt vilka uppgifter som bedöms med problemlösningspoäng, det är därför endast de uppgifter som är analyserade. 23

I tabell 1 presenteras hur kodningsschemat sett ut under textanalysen. (Läromedlets namn, NP) Tabell 1. Kodningsschemat under innehållsanalysen. Enkla översättningsproblem Komplexa översättningsproblem Processproblem Tillämpningsproble m Inget av de fyra (Fyll i hur många) (Fyll i hur många) (Fyll i hur många) Imperativ Frågeord Totalt antal problemlösnings -uppgifter (Fyll i hur många) Totalt antal uppgifter i boken (Fyll i hur många) Andelen av problemlösnings -uppgifter Till exempel: Rita Skriv Jämför Förklara Till exempel: Hur? Vilket/Vilken Vad? Vem? (Fyll i totalt antal problemlösnings -uppgifter i boken) (Fyll i totalt antal uppgifter i boken) (Räkna ut i procent hur många uppgifter i boken som är problemlösnings -uppgifter) Visa hur du löser uppgiften Resonera kring rimlighet Alternativt tillvägagångssätt Diskutera uppgiften med en klasskompis Icke elevnära uppgifter (Fyll i hur många) (Fyll i hur många) (Fyll i hur många) (Fyll i hur många) (Fyll i hur många) Förklara hur du eller någon i boken tänker (Fyll i hur många) Öppna uppgifter (Fyll i hur många) Tabellen visar hur kodningen utförts. De fyra kategorierna problemlösningsuppgifterna delats upp i är valda utifrån Charles och Lester (1982). Allteftersom kodningen pågick fylldes tabellen i med imperativ och frågeord som förekom och streck användes för att protokollföra räkningen. Kodning betyder, enligt Svensson och Starrin (1996) att sätta namn/ord på en företeelse/händelse. Vid starten av kodningen är kodningsschema och kodningsmanual viktiga steg i förberedelsearbetet (Bryman, 2011). I ett kodningsschema skriver man tydligt i vad som ska analyseras. Kodningsschemat i detta arbete kommer utgå från: antal problemlösningsuppgifter, frågeord (så som vad, vilket och hur många) och imperativ (så som skriv, rita, lägg ihop), utdrag från kursplanen i matematik som handlar om ifall eleven får resonera kring rimlighet, presentera ett alternativt tillvägagångssätt, diskutera uppgiften med en klasskompis, visa hur eleven löser uppgiften, förklara hur eleven eller en fiktiv person i boken tänker och om uppgifterna är elevnära och vardagliga, hur många öppna uppgifter som finns och typ av problemlösningsuppgift (enkla översättningsproblem, komplexa 24

översättningsproblem, processproblem och tillämpningsproblem (Charles & Lester, 1982)). Eftersom jag tydligt förklarat vad jag vill analysera i läromedlen och nationella prov är kodning en god metod att använda i detta arbete. Dubbelkodning kommer ske för att få ett säkert resultat. Dubbelkodning innebär att man genomför kodningen två gånger, alltså i detta fall räknar uppgifterna som ska analyseras mer än en gång (Bryman, 2011). Kodning ger en mätbar och verifierbar redogörelse av innehållet (Fiske, 2007). Bryman (2011) framhåller att det är praktiskt taget omöjligt att utforma en kodningsmanual som inte innefattar ett visst mått av tolkning från kodarens sida. Dessa måste bygga på den vardagskunskap denne har som medlem av en viss kultur för att kunna koda allt det material de möter. 5.2. Datainsamling Datainsamlingen består av nationella prov i årskurs 6 från 2013 samt två läroböcker i matematik i årskurs 6. För att kunna göra ett urval, mejlade jag de största skolorna i Helsingborg (min hemstad). Det framkom då att de mest frekvent använda läromedlen i matematik var Matte direkt. Borgen och Mattespanarna och därför valde jag att utgå ifrån dessa i min studie. 5.2.1. Matte direkt. Borgen 6A och 6B Författarna av Matte Direkt. Borgen 6A (2014) och 6B (2013) är Synnöve Carlsson, Gunilla Liljegren och Margareta Picetti. Matte Direkt. Borgen (2013; 2014) finns i årskurserna 4 6. På hemsidan står det att böckerna är anpassade för Lgr11 s (Skolverket, 2016a) kursplaner i matematik, men det står ingenting i böckerna om det. I början av boken finns en förklaring hur eleverna ska arbeta i boken. Alla elever börjar i Borggården (som är grön i boken). I Borggården arbetar alla elever med de moment som beskrivs i målen. Målen för kapitlet till i början av varje kapitel. Efter Borggården fortsätter eleverna till Diagnosen. Om eleven anser att diagnosen vad för svår får denne gå vidare till Rustkammaren (som är blå i boken). Anser eleven istället att diagnosen var lätt, får eleven gå vidare till Tornet, (som är röd i boken) som författarna skriver är mer utmanande uppgifter. Den viktigaste (enligt författarna) delen i boken är sammanfattningen. Här får eleverna repetera det de lärt sig i kapitlet. Sist i varje kapitel finns utmaningen. I utmaningen finns det olika typer av problemlösningsuppgifter. 25

5.2.2. Mattespanarna 6A och 6B Författarna av Mattespanarna 6 A och 6B (2013) är Andreas Hernvald, Gunnar Kryger, Hans Persson och Lena Zetterqvist. Mattespanarna (2013) finns för årskurs 4 6, men ingår i serien Uppdrag: Matte som sträcker sig från förskoleklass till årskurs 9. På baksidan av boken står det att böckerna inom Mattespanarna (Hernvald, Kryger, Persson & Zetterqvist, 2013) för årskurs 4 6 är helt baserad på Lgr11 s (2016a) kursplaner i matematik. Varje kapitel börjar med ett uppdrag på första sidan som är en problemlösningsuppgift. Efter det följer en grundkurs som är för alla elever. I grundkursen arbetar eleverna med innehållet i kapitlet. Innehållet i kapitlet består av uppgifter tillhörande aktuellt arbetsområde. I grundkursen finns blandade problem som tillhör samma arbetsområde. Senare i blått och rött spår finns det även där blandade problemlösningsuppgifter som handlar om aktuellt arbetsområde. Sist i boken finns Sherlock Holmes Klurigheter. Detta är ett kapitel som innehåller enbart problemlösningsuppgifter. Problemlösningsuppgifterna är från olika arbetsområden. I båda böckerna har författarna märkt ut de uppgifter de menar är problemlösningsuppgifter genom att skriva blandade problem där det sedan följer problemlösningsuppgifter. Detta underlättar för författare till det här arbetet när analysen sedan ska genomföras. 5.2.3. Nationella prov För att kunna använda mig av nationella prov i detta arbete var jag tvungen att hitta prov som inte var sekretessbelagda. Jag vände mig till Skolverkets hemsida och hittade två nationella prov i matematik för årskurs 6 för år 2012 och 2013, som inte är sekretessbelagda, men ändå omfattas av gällande läroplan. Vid närmare undersökning visade det sig att uppgifterna i provet från 2012 inte var utmärkta med vad de var för typ av uppgifter. Utifrån detta valdes bara det nationella provet från 2013 ut som underlag i analysen. Uppgifter från det muntliga delprovet fanns inte att tillgå, därav är inte uppgifter från det delprovet med i analysen. Problemlösningsuppgifterna i detta prov kommer i detta arbete att analyseras och jämföras med de problemlösningsuppgifter som finns i de två läromedlen. 26

5.3. Reliabilitet och validitet 5.3.1. Reliabilitet För att få en så säker mätning som möjligt är det grundläggande att visa stor hänsyn till reliabiliteten i undersökningen. Bryman (2011) förklarar reliabilitet som [ ] följdriktigheten, överrensstämmelsen och pålitligheten hos ett mått på ett begrepp (s. 160). Enligt Bryman (2011) och Nilsson (2010) är innehållsanalysen förhållandevis fast rotad i den kvantitativa forskningstraditionen som lägger tyngd på mätning och specifikation av tydliga regler som ger reliabilitet. Reliabilitet är en bedömning eller undersökning som ger samma resultat om den upprepas (Cunningham, 1998). Jönsson (2011) förklarar reliabilitet som tillförlitlighet. Det som, utifrån läromedel och nationella prov, kommer mätas i detta arbete är: antal problemlösningsuppgifter, frågeord och imperativ och typ av problemlösningsuppgift (enkla översättningsproblem, komplexa översättningsproblem, processproblem och tillämpningsproblem). När man tar ställning till om ett mått är reliabelt eller ej finns tre viktiga faktorer: stabilitet, intern reliabilitet och interbedömarreliabilitet. Stabilitet och intern reliabilitet handlar om respondenternas svar, och om det finns skillnader på dessa om man ställer samma frågor, men vid två tillfällen. (Bryman, 2011). För detta arbete är det inte aktuellt, då intervjuer eller liknande inte förekommer. Istället kommer reliabiliteten mätas med hjälp av en viss typ av interbedömarreliabilitet. Interbedömarreliabilitet innebär överrensstämmelse mellan olika bedömare och observatörer. (Bryman, 2011) Eftersom att arbetet är skrivet av en person, finns ingen möjlighet till fler bedömare och observatörer. Istället kommer författaren till arbetet beskriva kategorierna väl och förklara vad som gör att uppgiften hamnar just i den kategorin. 5.3.2. Validitet Om reliabilitet betyder noggrannhet i mätning, betyder validitet att man verkligen mäter det man ska mäta (Bryman, 2011; Östbyte, Knapskog, Helland & Larsen, 2008; Johannesen & Tufte, 2002). Validitet rör frågan huruvida en eller flera indikatorer som utformats i syfte att mäta ett begrepp verkligen mäter just det begreppet (Bryman, 2011, s. 162). Genom att tydligt visa vad som ska undersökas (reliabilitet) är det lättare att säkerställa att validiteten är hög. Utifrån arbetets metodval och analysmetod, där dubbelkodning (Bryman, 2011) kommer 27

ske, kan jag säkerställa att validiteten i arbetet blir hög. Dock kan det uppstå svårigheter när man räknar ord, då samma ord kan betyda olika saker (Bergström & Boréus, 2012). 5.4. Etiska principer I den här studien lades det ingen vikt vid etiska principer gällande samtyckeskravet, konfidentialitetskravet, nyttjandekravet och informationskravet, eftersom ingen observation eller intervju genomfördes utan utgick ifrån läromedel som är offentliga handlingar. Eftersom det empiriska materialet är publicerat av författarna anser jag att det inte finns några skäl att kontakta författarna. Däremot beaktades studien på ett sådant sätt att plagiering inte skulle förekomma vad gäller studien generellt, men också kring de exempel som framläggs i resultatet. I Vetenskapsrådet (2011) redogörs det för vad plagiat innebär, vilket beskrivs som att forskaren kopierar textavsnitt, data, resultat och idéer från en annan upphovsman. Om en forskare framställer en forskningsstudie på ett sådant sätt där han eller hon ej anger var idéer, data, textavsnitt och resultat är hämtade ifrån, medför det att studien presenteras på ett sätt som är oetiskt. Bryman (2011) framhåller dock att skillnaden mellan egna idéer och plagiat kan vara en hårfin linje. Därav hävdar författaren att det är av stor vikt att forskaren tydliggör vem som äger texten. Detta görs genom att referera till den som skrivit texten när man skriver om något någon annan skrivit om från början. Det är även grundläggande att tydliggöra när man skriver om egna tankar, när man inte refererar till någon/något annat (Bryman, 2011). 28

6. Resultat och analys I detta kapitel kommer studiens resultat presenteras. De två frågeställningarna i studien nedan, kommer besvaras med hjälp av resultatet ifrån kodningen. o Vilka skillnader och likheter finns det kring problemlösningsuppgifter i två matematikböcker och det nationella provet i matematik år 2013 årskurs 6? o Hur stämmer dessa problemlösningsuppgifter i läroböckerna och nationellt prov överens med gällande läroplan? Svaren på fråga ett finns i hela resultatdelen där skillnader och likheter i matematikböckerna och det nationella provet presenteras utifrån de olika delarna i kodningsschemat. Svaren på fråga två besvaras främst i avsnitt 6.5. Problemlösning enligt läroplanen. Resultaten kommer att analyseras med hjälp av ramfaktorteorin och läroplansteorin i varje delavsnitt i kapitel 6. Efter att ha analyserat läromedlen och det nationella provet framkom det att inte någon av de analyserade problemlösningsuppgifterna var tillämpningsproblem. Därför är den kategorin borttagen vid presentationen av resultatet. 6.1. Andelen problemlösningsuppgifter Kodningen visade att Mattespanarna 6A och 6B (Hernvald, Kryger, Persson & Zetterqvist, 2013) innehöll cirka 500 färre uppgifter än Matte Direkt. Borgen 6A (Carlsson, Liljegren & Picetti, 2014) och 6B (Carlsson, Liljegren & Picetti, 2013) (se tabell 2). Andelen problemlösningsuppgifter skiljde bara 1 %, där Matte Direkt. Borgen 6A och 6B har lägre andel problemlösningsuppgifter men fler problemlösningsuppgifter totalt. Mattespanarna 6A och 6B har alltså färre antal totala uppgifter, men fler sidor. Detta kan bero på att det i Mattespanarna 6A och 6B finns fler diagnoser och läxor än det finns i Matte Direkt. Borgen 6A och 6B. Vidare visade det sig att det nationella provet i matematik för årskurs 6 år 2013 innehöll 39 stycken uppgifter där 7 av dem var problemlösningsuppgifter. Detta innebär att cirka 18 % av uppgifterna i provet är problemlösningsuppgifter. I det nationella provet är, som tidigare nämnt, inte det muntliga delprovet medräknat då det inte finns att tillgå. Det är här intressant att se på skillnaderna mellan andel problemlösningsuppgifter i läromedlen och i 29

nationella provet, där andelen problemlösningsuppgifter i nationella provet tydligt högre än i läroböckerna. Tabell 2. Andelen problemlösningsuppgifter. Mattespanarna 6A och 6B Matte Direkt. Borgen 6A och 6B Nationellt prov 2013 Totalt antal uppgifter 2136 stycken 2611 stycken 39 stycken Totalt antal problemlösningsuppgifter 234 stycken (cirka 11% av de totala uppgifterna) 252 stycken (cirka 10% av de totala uppgifterna) 7 stycken (cirka 18% av de totala uppgifterna) Totalt antal sidor 321 sidor 295 sidor 11 sidor 6.2. Typ av problemlösningsuppgifter Vidare undersöktes typ av problemlösningsuppgifter utifrån Charles och Lesters (1982) beskrivning på olika typer av problemlösningsuppgifter (se tabell 3). I både Mattespanarna 6A och 6B och Matte Direkt. Borgen 6A och 6B är processproblem de problem som är mest frekvent förekommande. I det nationella provet är det istället komplexa översättningsproblem som förekommer flest gånger. Dock baseras det endast på totalt 7 problemlösningsuppgifter. (Olika typer av problemlösningsuppgifter från läroböckerna och det nationella provet finns i bilaga 1.) Tabell 3. Typ av problemlösningsuppgifter. Typ av problemlösningsuppgifter Mattespanarna 6A och 6B Matte Direkt. Borgen 6A och 6B Nationellt prov 2013 Enkla översättningsproblem 19 stycken uppgifter (cirka 8 % av problemlösningsuppgifterna) 78 stycken uppgifter (cirka 31 % av problemlösningsuppgifterna) 2 stycken uppgifter (cirka 28,5 % av problemlösningsuppgifterna) Komplexa översättningsproblem 66 stycken uppgifter (cirka 28 % av problemlösningsuppgifterna) 63 stycken uppgifter (25 % av problemlösningsuppgifterna) 3 stycken uppgifter (cirka 43 % av problemlösningsuppgifterna) Processproblem 127 stycken uppgifter (cirka 54 % av problemlösningsuppgifterna) 102 stycken uppgifter (cirka 40 % av problemlösningsuppgifterna) 2 stycken uppgifter (cirka 28,5 % av problemlösningsuppgifterna) Inget av ovanstående 22 stycken uppgifter (cirka 9 % av problemlösningsuppgifterna) 9 stycken uppgifter (cirka 4 % av problemlösningsuppgifterna) 0 stycken uppgifter 30

6.3. Frågeord/imperativ och öppna/slutna frågor Vid undersökning av frågeord är ordet hur mest förekommande i både läroböckerna och nationella provet (se tabell 4). Vidare är vilket/vilken det som förekommer näst oftast i läroböckerna. Vad kommer på tredje plats i läroböckerna, men på andra plats i det nationella provet. Vanliga imperativ skiljer sig alltså åt i läroböckerna och det nationella provet. Det vanligast förekommande imperativet i Mattespanarna 6A och 6B är förklara, följt av växla enhet, beräkna, fyll i och ge förslag. I Matte Direkt. Borgen 6A och 6B är skriv vanligast förekommande, följt av rita, jämför, räkna ut, ta reda på och förklara. I det nationella provet skulle eleverna visa hur de löser uppgiften. Där eleverna ska förklara hur de tänker får de träna på att visa sina uträkningar. Detta gör att de uppgifterna i Mattespanarna 6A och 6B som avslutas med det imperativet förklara har likheter med uppgifterna i det nationella provet. I Matte Direkt. Borgen 6A och 6B finns det endast två uppgifter där eleverna ska förklara hur de tänker. I Matte Direkt. Borgen 6A och 6B var det vanligast förekommande att eleverna skulle skriva eller rita. Vidare visar tabell 4 andelen öppna och slutna problemlösningsuppgifter. I det nationella provet är alla uppgifter slutna. Det kan antas vara så för att en så likvärdig bedömning som möjligt ska kunna ske. Dock får eleverna möjlighet till att lösa både öppna och slutna uppgifter i läroböckerna. I Mattespanarna 6A och 6B är cirka 13 % av problemlösningsuppgifterna öppna uppgifter. I Matte Direkt. Borgen 6A och 6B är bara cirka 4 % av problemlösningsuppgifter öppna uppgifter. (Bilaga 2 visar öppna och slutna uppgifter från läroböckerna.) Tabell 4. Frågeord/imperativ och öppna/slutna frågor. Mattespanarna 6A och 6B Matte Direkt. Borgen 6A och 6B Nationellt prov 2013 Vanligast förekommande frågeord Vanligast förekommande imperative Öppna problemlösnings- 1. Hur? (139 st.) 2. Vilket/vilken? (38 st.) 3. Vad? (6 st.) 1. Förklara (15 st.) 2. Växla enhet (6 st.) 3. Beräkna (4 st.) 4. Fyll i (3 st.) 5. Ge förslag (2 st.) 30 stycken uppgifter (cirka 13 % av problemlösnings- 1. Hur? (103 st.) 2. Vilket/vilken? (59 st.) 3. Vad? (14 st.) 1. Skriv (21 st.) 2. Rita (17 st.) 3. Jämför och räkna ut (6 st.) 4. Ta reda på (4 st.) 5. Förklara (2 st.) 11 stycken uppgifter (cirka 4% av problemlösnings- 1. Hur? (6 st.) 2. Vad? (1 st.) 1. Visa (7 st.) 0 stycken uppgifter 31

uppgifter uppgifterna) uppgifterna) Slutna problemlösningsuppgifter 204 stycken uppgifter (cirka 87 % av problemlösningsuppgifterna 241 stycken uppgifter (cirka 96 % av problemlösningsuppgifterna) 7 stycken uppgifter 6.4. Problemlösningsuppgifternas placering Mattespanarna 6A och 6B inleder varje kapitel med en problemlösningsuppgift. Vidare är problemlösningsuppgifterna placerade i slutet av varje spår. Då har eleverna fått de matematikkunskaper de behöver för att klara av att lösa problemlösningsuppgifterna. Problemlösningsuppgifterna i Matte Direkt. Borgen 6A och 6B är placerade i slutet av varje kapitel i utmaningen. Undantaget är kapitel 9 i B-boken där det finns ett helt kapitel med problemlösning. Genom att problemlösningsuppgifterna är placerade längre bak i kapitlen innebär detta att eleverna lär sig matematik för problemlösning, inte genom problemlösning (Wyndhamn et al., 2000). 6.5. Problemlösning i relation till läroplanen Kunskapskravet för betyget E i matematik i slutet av årskurs 6 är bland annat att [ ] föra enkla och till viss del underbyggda resonemang om resultatets rimlighet i förhållande till problemsituationen samt kan bidra till att ge något förslag på alternativt tillvägagångsätt (Skolverket, 2016a, s. 68). Detta innebär att eleverna ska få möjlighet att lära sig och visa att de kan lösa problem på olika sätt, resonera om resultatets rimlighet och ge förslag på alternativt tillvägagångsätt. I den skriftliga delen i det nationella provet får inte eleverna chans att visa detta. Dock får eleverna träna på detta till viss del i läroböckerna (se tabell 5). I Mattespanarna 6A och 6B får eleverna en påminnelse om att undersöka om svaret på frågan är rimligt. Denna uppmaning är återkommande i A-boken när eleverna arbetar med problemlösning. Vidare i B-boken hänvisar författarna till vad eleverna lärt sig om problemlösning i A-boken. Då eleverna uppmanas att visa hur de löser alla problemlösningsuppgifter i det nationella provet krävs det att de har fått öva på det tidigare. Dock är det få uppgifter i läroböckerna där eleverna uppmanas att göra detta. 32

Tabell 5. Problemlösning enligt läroplanen. Mattespanarna 6A och 6B Matte Direkt. Borgen 6A och 6B Nationellt prov 2013 Visa hur du löst uppgiften 4 stycken uppgifter (cirka 1,7 % av problemlösningsuppgifterna) 0 stycken uppgifter 7 stycken uppgifter (100 % av problemlösningsuppgifterna) Resonera kring resultatets rimlighet 6 stycken uppgifter (cirka 2,5 % av problemlösningsuppgifterna) 1 stycken uppgift (cirka 0,4 % av problemlösningsuppgifterna) 0 stycken uppgifter Presentera alternativt tillvägagångsätt 4 stycken uppgifter (cirka 1,7 % av problemlösningsuppgifterna) 4 stycken uppgifter (cirka 1,5 % av problemlösningsuppgifterna) 0 stycken uppgifter Förklara hur du eller löser uppgiften, eller hur någon i boken löst uppgiften 17 stycken uppgifter (cirka 7 % av problemlösningsuppgifterna) 2 stycken uppgifter (cirka 0,8 % av problemlösningsuppgifterna) 0 stycken uppgifter 6.5.1. Problemlösningsarbete enligt läroplanen Skolverket (2011) skriver att kursplanen i matematik visar bilden av matematik som ett kommunikativt ämne. Vidare skriver även Skolverket (2011) att eleverna ska utveckla sin resonemangsförmåga för att lättare kunna motivera olika val och slutsatser. Utifrån detta har läroböckerna analyserats med fokus på i vilken utsträckning eleverna får möjlighet att på något sätt utveckla sin förmåga att kommunicera och resonera. Efter kodningen framkom det att i varken Mattespanarna 6A och 6B eller Matte Direkt. Borgen 6A och 6B blev eleverna uppmanade att diskutera uppgiften med en kompis. Anledningen till att det inte finns några diskussionsuppgifter i det nationella provet är för att det är bara de individuella, skriftliga delarna som är analyserade. Man kan anta att eleverna får möjlighet att visa sina kunskaper inom detta i det muntliga delprovet. 6.5.2. Problemlösningsuppgifter enligt läroplanen Läroplanen (2016a) skriver att eleverna ska lösa problemlösningsuppgifter i vardagliga och elevnära situationer. Detta kan vara tämligen svårt att undersöka då olika situationer är vardagliga och elevnära för olika elever. Dock är det möjligt att undersöka om det finns uppgifter som handlar om sådant som inte är aktuellt i dagens samhälle och fiktivt innehåll i uppgifter. 33

Tabell 6. Problemlösningsuppgifter enligt läroplanen. Andel icke elevnära eller vardagliga uppgifter Mattespanarna 6A och 6B Matte Direkt. Borgen 6A och 6B 0 stycken uppgifter Cirka 1,5 % (4 av 252 uppgifter) Nationellt prov 2013 Cirka 28,5 % (2 av 7 uppgifter) De två uppgifterna som inte ansågs vara elevnära i det nationella provet från 2013 handlade om en pappersdrake och dess draksvans. Det kan antas att elever i dagens samhälle inte är bekanta med drakar och hur de ser ut i verkligheten. I Matte Direkt. Borgen fanns det fyra uppgifter som inte ansågs vara elevnära. Dessa uppgifter handlade om främmande valuta (rupier och yuan), drakar (inte pappersdrakar, utan sagovidunder) och terrakottaarmén. Dessa tre kan anses inte vara vardagliga och elevnära. 6.6. Sammanfattning Då det nationella provet och läroböckerna följer samma yttre ram där formuleringen av läroplanen är ramen, borde resultatet av andelen problemlösningsuppgifter bli mer jämn. Eftersom förmågan att lösa problem är både en av de fem förmågorna i matematik och en del (av sex) i det centrala innehållet är detta en tämligen stor del av innehållet i kursplanen i matematik (Skolverket, 2016a). I kunskapskraven för matematik i årskurs 6 är det formulerat att eleverna ska kunna visa hur de löser uppgifter, resonera kring svarets rimlighet och använda alternativa tillvägagångssätt. Dessa formuleringar är alltså en del av den yttre ramen för matematikämnet och därmed en del som borde transformeras i läroböckerna. Vidare står det i den formulerade kursplanen att eleverna ska [ ] föra och följa matematiska resonemang (Skolverket, 2016a, s. 63) genom samtal och diskussioner (Skolverket, 2011). Även detta är en av de fem formulerade förmågorna. Inte heller detta är transformerat i läroböckerna så att eleverna får chansen att utveckla denna förmåga. Enligt kursplanen i matematik (Skolverket, 2016a) ska uppgifterna vara elevnära och handla om vardagliga situationer. Just detta är problematiskt att undersöka då vissa saker är elevnära och vardagliga för vissa elever, samtidigt som det kanske inte är det för andra elever. I denna studie framkom bara ett lågt antal som inte ansågs vara elevnära och vardagliga. Därför kan man anse att transformerarna lyckats bra med just detta. När det är olika aktörer som ska transformera samma formulering finns det alltid risker. Eftersom olika aktörer tolkar läroplanen olika, blir därför ofta resultatet av transformeringen 34

olika. Därav stora skillnader i vad som anses vara viktigt lärande och vad som ska transformeras. Som tidigare nämnt mäter det nationella provet bara en liten del av matematikämnet. Anledningen till detta är att det nationella provet hade blivit väldigt omfattande om det skulle mäta allt som står i kursplanen. Dock kan man önska att diskussion-, kommunikation- och resonemangsförmågan bedöms i det muntliga delprovet. 35

7. Slutsats och diskussion I detta avsnitt kommer bakgrunden och tidigare forskning, se kapitel 3, att diskuteras i relation till resultatet från innehållsanalysen av studien. Vidare kommer även metoden och tillvägagångssättet i studien att diskuteras. Avsnittet avslutas med förslag på fortsatt forskning. Syftet med studien var att analysera två läromedel och ett nationellt prov och vidare koppla dessa till kunskapskraven i kursplanen i matematik årskurs 6. 7.1. Problemlösning i läroplanen och lärobokens roll i undervisningen Skolverket (2016a) skriver i årskurs 6 kunskapskrav att eleverna ska kunna föra och följa matematiska resonemang. Vidare ska eleverna även resonera om resultatets rimlighet och kunna bidra med annat förslag på andra tillvägagångssätt (Skolverket, 2016a). För att läraren ska kunna sätta betyg på en elev krävs underlag för detta. Enligt Boesen et al. (2014) studie visade resultatet på att läroboken ofta har en mycket central roll i matematikundervisningen. Ofta förlitar sig läraren på att boken täcker hela kursplanen (Skolverket, 2003). Vidare skriver Skolverket (2016a) att matematik är ett kommunikativt ämne där problemlösning ska handla om vardagliga och elevnära situationer. Dock syntes det inte att matematik är ett kommunikativt ämne i de problemlösningsuppgifterna som presenterades i läroböckerna där författarna inte uppmanade eleverna att arbeta två och två eller prata med en kompis någon gång. Dock lyckades, enligt analysen, båda läroböckerna och det nationella provet med att ha uppgifter som handlar om elevnära och vardagliga situationer även om det är svårt för läromedelsförfattarna och författarna till det nationella provet att veta vad som är elevnära och vardagliga situationer för eleverna. Om matematikundervisningen sker genom att eleverna endast arbetar i läroböckerna kommer, enligt analysen, inte eleverna kunna uppfylla kunskapskraven i matematik i årskurs 6. Hänvisat till studiens resultat framkom det att eleverna får utveckla och visa sin förmåga att föra och följa matematiska resonemang, resonera om resultats rimlighet och kunna bidra med förslag på andra tillvägagångssätt i väldigt liten utsträckning i läroböckerna. Dessa delar saknades i det nationella provet från år 2013. Däremot kan man önska och anta att eleverna får visa detta under det muntliga delprovet. Dock så kan det nationella provet inte enskilt ses 36

som ett underlag för betyg av problemlösningsförmågan då detta bara mäter en liten del av läroplanen (Jönsson, 2013). 7.2. Benämning på ett matematiskt problem och olika typer av dessa Hagland, Hedrén och Taflin (2005a), Jonassen (2000), Lester, (1983 i Grevholm, 2012), Mouwitz (2007), Schoenfeld (1993) och Unenge och Wyndhamn (1988) skriver att en problemlösningsuppgift är en uppgift som innehåller någon okänd enhet, alltså något eleven behöver ta reda på för att kunna lösa uppgiften. Vidare kan en uppgift som är en problemlösningsuppgift för en elev vara en rutinuppgift för en elev. Detta på grund av att elever ofta är på olika kunskapsnivåer och har utvecklat sin problemlösningsförmåga olika mycket (Hagland, Hedrén & Taflin, 2005a; Mouwitz, 2007). Detta hade kunnat göra analysen problematiskt. Istället baserades urvalen av problemlösningsuppgifter i läroböckerna och det nationella provet till de uppgifter som är märka som problemlösningsuppgifter. Utifrån detta utfördes analysen på alla problemlösningsuppgifter, vare sig de kan ses som rutinuppgifter för en elev och problemlösningsuppgifter för en annan. Resultatet visade stor spridning på Charles och Lester s (1982) olika typer av problemlösningsuppgifter. Vidare undersöktes alla problemlösningsuppgifter om de är öppna och slutna uppgifter (Bergsten, 2006; Björkqvist, 2001). I läroböckerna fanns det både öppna och slutna frågor. Eftersom öppna problemlösningsuppgifter kan ses som motivationshöjande för eleverna kan dessa uppgifter ses som ett viktigt inslag i elevernas undervisning (Björkqvist, 2001). Däremot visade det sig att inga av uppgifterna i det nationella provet var öppna. Anledningen till detta kan vara för att bedömningen ska bli mer likvärdig. Det kan bli svårt att få en likvärdig bedömning vid öppna problemlösningsuppgifter då dessa uppgifter har fler rätt svar än ett. Då läroböckerna bara innehöll 13 % respektive 4 % öppna problemlösningsuppgifter räknat utifrån totalt antal problemlösningsuppgifter i böckerna kan man fråga sig om läromedelsförfattarna tagit del av dessa studier eller om de valt att inte ta del av detta. 7.3. Varför ska eleverna lära sig problemlösning? 37

Genom problemlösning stimuleras elevernas tänkande, (Grevholm, 2012) både det logiska, kreativa och strukturerade tänkandet (Hagland, Hedrén & Taflin, 2004 och 2005a; Lester och Lambdin, 2007; Taflin, 2007). Matematikundervisningen bör även utmana eleverna att utveckla dessa färdigheter (Herrera, 2005; Sidenvall, 2015). Vidare utvecklas även begreppsförståelse och lösningsstrategier genom problemlösning (Lester & Lambdin, 2007; Taflin 2007). Problemlösning kan också främja elevernas kunskapsutveckling i andra ämnen (Möllehed, 2001). Då andelen problemlösningsuppgifter i de undersökta läroböckerna är låg (11%, respektive 10%) kan man utifrån detta anta att eleverna som har de undersökta läromedlen inte utvecklar dessa förmågor lika mycket som elever som har andra läromedel som eventuellt har högre andel problemlösningsuppgifter. 7.4. Problemlösning i läroböcker och nationellt prov I både Mattespanarna 6A och 6B och Matte Direkt. Borgen 6A och 6B är problemlösningsuppgifterna placerade så eleverna lär sig matematik för problemlösning. Undantaget är kapitel 9 i Matte Direkt. Borgen 6B där det finns ett helt kapitel med problemlösning. Dock man även detta kapitel ses som att eleverna lär sig matematik för att kunna lösa problemlösningsuppgifterna då problemlösningskapitlet är det sista kapitlet i en tvådelad läroboksserie. Det finns även undantag i Mattespanarna 6A och 6B. I de båda böckerna börjar varje kapitel med en problemlösningsuppgift. I detta fall får eleverna lära matematik genom problemlösning. Enligt Wyndhamn et al., (2000) ska eleverna lära matematik genom problemlösning krävs det att problemlösningsuppgifterna är placerade i början av kapitlet, innan eleverna blivit introducerade till innehållet i kapitlet. Det nationella provet är dock ett undantag då provet inte ses som en lärandesituation, utan ett tillfälle för eleverna att få visa vad de kan. Vid jämförelse av frågeord och imperativ från två läroböcker och ett nationellt prov framkom det att frågeordet hur var dominerande i alla tre källor. Vanliga imperativ var däremot varierande. I det nationella provet uppmanades eleverna att visa hur de löst uppgiften, i läroböckerna fanns det få uppgifter där eleverna uppmanades att visa hur de löst uppgiften. Om eleverna inte får chansen att öva på detta i läroböckerna kan det innebära svårigheter för eleverna på det nationella provet att klara sådana uppgifter. Detta kan i sin tur leda till att eleverna inte når upp till kunskapskraven. 38

7.5. Metoddiskussion Under arbetets gång och när studiens analys var genomförd och resultat var färdigt, uppkom några svagheter när det gäller val av metod. Metoden i detta arbete är en kvantitativ innehållsanalys och kodning som analysmetod. I detta avsnitt kommer jag redogöra för dessa och diskutera eventuella konsekvenser av valet av dessa. Det första jag märke i min analys var att även om jag hade tydliga riktlinjer om vad som skulle mätas var att dubbelkodningen visade att jag ibland räknat fel. Det var dock få uppgifter som skiljde i de båda kodningarna vilket gör att även om jag inte hade gjort en dubbelkodning så hade inte resultatet förändrats avsevärd. Vidare finns konsekvenser med att bara välja två läroböcker och ett nationellt prov. Konsekvenserna är att utifrån studien inte kunna dra några större slutsatser utifrån studiens resultat. Det hade varit intressant att få chansen att analysera flera nationella prov och jämföra dessa för att se likheter och skillnader. Anledningen till att bara två läromedel i årskurs 6 och ett nationellt prov valts ut är dels för att det bara finns ett nationellt prov i matematik i årskurs 6 där problemlösningsuppgifterna är markerade som problemlösningsuppgifter och för att kunna genomföra en grundlig analys inom arbetets tidsram. En annan anledning till att man inte kan dra generella slutsatser utifrån studiens resultat är för att det bara är läroböckerna som är analyserade. Hade jag även analyserat lärarhandledningar finns stora chanser att dessa främjar elevernas utveckling av resonemangsförmåga, kommunikationsförmåga och kunskap att kunna visa hur uppgifterna är lösta. Det är rimligt att anta att läromedelsförfattarna inte förbisett detta vid utformandet av läromedlen. Vidare hade studien kunnat bli mer hållbar om innehållsanalysen begränsades till ett läromedel och en lärarhandledning och kompletterats med klassrumsobservationer och läraroch elevintervjuer. Detta hade kunnat resultera i att man tydligare hade fått se hela läromedlets innehåll och hur detta används i undervisningen. Genom detta hade jag även, förutom formulering och transformering, kunnat analysera resultatet utifrån läroplansperspektivets tredje del, realisering, vilket handlar om hur transformeringen används i klassrummet. (Linde, 2006; Lundgren, 1979). 7.6. Slutsats 39

Utifrån denna studie framkom resultatet att problemlösningsuppgifterna i Mattespanarna 6A och 6B och Matte Direkt. Borgen 6A och 6B varken som tillräcklig övning inför nationella provet i matematik i årskurs 6 eller för att nå upp till kunskapskraven i matematik i årskurs 6. Denna generella slutsats är dock riskfylld att dra då det är bara själva läroböckerna som är analyserade i denna studie. För att kunna dra slutsatsen om läromedlet räcker som undervisningsmaterial i årskurs 6 behövs även lärarhandledningen analyseras. Utan att veta vad lärarhandledningen till de två läroböckerna innehåller kan man ställa sig frågan varför andelen problemlösning är så låg och varför eleverna inte får möjlighet att utveckla de kunskaper som kursplanen kräver att eleverna ska unna i årskurs 6. Utifrån denna studie anser jag att de två undersökta läromedlen inte räcker som grund för att betygsätta elever i årskurs 6 i problemlösning därför att eleverna inte får chans att utveckla alla matematiska färdigheter inom problemlösning. Eftersom problemlösning är ett av de viktigaste momenten inom matematik (Löwing & Kilborn, 2002) är det angeläget att styra matematikundervisningen så att en stor del av undervisningen handlar om just detta. Så som skolan ofta ser ut idag med traditionell undervisning där läroboken styr undervisningen främjar inte elevernas utveckling av problemlösningsförmågan. Utifrån denna undersökning krävs det att läraren kompletterar läroböckerna för att elevernas problemlösningsförmåga ska utvecklar och för att läraren ska kunna bedöma detta. 7.7. Vidare forskning För att kunna dra mer generella slutsatser om läroböckerna hade vidare forskning inom området kunnat vara, som jag tidigare nämnt, att ett läromedel och lärarhandledning väljs ut och analyseras. Analyserna behöver då kompletteras av klassrumsobservationer och elev- och lärarintervjuer. Utifrån resultatet på detta analyserat mot vad kursplanen i matematik skriver hade man kunnat dra mer generella slutsatser huruvida läromedlet räcker som undervisningsmaterial i matematikundervisningen. 40

8. Referenser Ahlberg, Ann (1992). Att möta matematiska problem: en belysning av barns lärande = [The meeting with mathematical problems] : [an illumination of children's learning]. Diss. Göteborg : Univ.. Göteborg. Ahlberg, Ann (1995). Barn och matematik. Lund: Studentlitteratur. Barmark, Mimmi & Djurfeldt, Göran (2015). Statistisk verktygslåda 0 att förstå och förändra världen med siffror. Lund: Studentlitteratur. Bergqvist, Ewa, Bergqvist, Tomas, Boesen, Jesper, Helenius, Ola, Lithner, Johan, Palm, Torulf, & Palmberg, Björn (2010). Matematikutbildningens mål och undervisningens ändamålsenlighet [elektronisk resurs]: Grundskolan våren 2009. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning, Göteborgs universitet. Bergsten, Christer (2006). En kommentar till den matematiska problemlösningens didaktik. I Häggblom, Lisen, Burman, Lars & Röj-Lindberg, Ann-Sofi (red.), Perspektiv på kunskapens och lärandets villkor: Festskrift tillägnad professor Ole Björkqvist. (s. 165 176). Vasa: Fram. Bergström, Göran & Boréus, Kristina (red.) (2012). Textens mening och makt: metodbok i samhällsvetenskaplig text- och diskursanalys. 3. uppl. Lund: Studentlitteratur. Björkqvist, Ole (2001). Matematisk problemlösning. I Grevholm, Barbro (red.), Matematikdidaktik: Ett nordiskt perspektiv. (s 115 132). Lund: Studentlitteratur. Boaler, Jo (2011). Elefanten i klassrummet: att hjälpa elever till ett lustfyllt lärande i matematik. (1. uppl.) Stockholm: Liber. Boesen, Jesper, Helenius, Ola, Bergqvist, Ewa, Bergqvist, Tomas, Björn Lithner, Johan, Palm, Torulf, & Palmberg, Björn (2014). Developing mathematical competence: From the intended to the enacted curriculum. The Journal of Mathematical Behavior, 33(0), 72 87. 41

Brehmer, Daniel, Ryve, Andreas & Van Steenbrugge, Hendrik (2016). Problem solving in Swedish mathematics textbooks for upper secondary school. Scandinavian Journal of Education Research, 60(6), 577 593. Bryman, Alan (2011). Samhällsvetenskapliga metoder. (2., [rev.] uppl.) Malmö: Liber. Cai, Jinfa (2003). What research tells us about teaching mathematics through problem solving. I Lester, Frank K. (red.), Teaching mathematics through problem solving: Prekindergarten grade 6 (s. 241-253). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Cai, Jinfa & Lester, Frank K. (2010). Why is teaching with problem solving important to student learning? Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Carlsson, Syvönne, Liljegren, Gunilla & Picetti, Margareta (2014). Matte direkt. Borgen. 6A. Mera Rustkammaren. (2. uppl.) Stockholm: Sanoma Utbildning. Carlsson, Syvönne, Liljegren, Gunilla & Picetti, Margareta (2013). Matte direkt. Borgen. 6B. (2. uppl.) Stockholm: Sanoma Utbildning. Charles, Randall & Lester, Frank. (1982). Teaching Problem Solving: What, Why & How. Palo Alto, CA: Dale Seymore Publications. Cunningham, George K. (1998). Assessment in the classroom: constructing and interpreting tests. London: Falmer. Dahllöf, Ulf (1999). Det tidiga ramfaktorteoretiska tänkandet. En tillbakablick. Pedagogisk Forskning i Sverige, 4(1), ss. 5 29. Englund, Tomas, Forsberg, Eva & Sundberg, Daniel (red.) (2012). Vad räknas som kunskap?: läroplansteoretiska utsikter och inblickar i lärarutbildning och skola. Stockholm: Liber Fiske, John (2007). Kommunikationsteorier: En introduktion. Finland: Wahlström & Widstrand. 42

Grevholm, Barbro (2012). Lära och undervisa matematik: från förskoleklass till årskurs 6. Lund: Studentlitteratur. Gustafsson, Madeleine & Kasibovic, Amra (2015). Problemlösningsuppgifter i läroböcker årskurs 1 3 (Examensarbete). Trollhättan: Institutionen för Individ och samhälle, Högskolan Väst universitet. Hagland, Kerstin, Hedrén, Rolf & Taflin, Eva (2004). Problem med stenplattor. Nämnaren, vol 3, ss. 12 17. Hagland, Kerstin, Hedrén, Rolf & Taflin, Eva (2005a). Rika matematiska problem: inspiration till variation. (1. uppl.) Stockholm: Liber. Hagland, Kerstin, Hedrén, Rolf & Taflin, Eva (2005b). Vad menar vi med rika matematiska problem och vad är de bra till? Nämnaren, vol 1, ss.36-41. Hernvald, Andreas, Kryger, Gunnar, Persson, Hans & Zetterqvist, Lena (red.) (2013). Mattespanarna. 6A. (1. uppl.) Stockholm: Liber Hernvald, Andreas, Kryger, Gunnar, Persson, Hans & Zetterqvist, Lena (red.) (2013). Mattespanarna. 6B. (1. uppl.) Stockholm: Liber Herrera, Terese (2005). An interview with Marilyn Burns (s. 4 8). I ENC FOCUS. Columbus, OH: Eisenhower National Clearinghouse. Hsieh, Hsiu-Fang & Shannon, Sarah E. (2005). Three approaches to qualitative content analysis. Qualitative Health Research, 15(9), 1277 1288 Jarl, Maria & Pierre, Jon (Red.). (2012). Skolan som politisk organisation. Malmö: Gleerups. Johannessen, Asbjørn & Tufte, Per Arne (2002). Introduktion till samhällsvetenskaplig metod. Malmö: Liber AB. 43

Johansson, Monica (2006). Teaching mathematics with textbooks: a classroom and curricular perspective. Diss. (sammanfattning) Luleå: Luleå tekniska univ., 2006. Luleå. Jonassen, David H. (2000). Toward a design theory of problem solving. Educational technology research and development, 48(4), 63 85. Jönsson, Anders (2013). Lärande bedömning. (3., [utök.] uppl.) Malmö: Gleerups utbildning. Kaila, Camilla (2015). Problemlösning i matematikböcker för årskurs 3 (Examensarbete). Institution för Pedagogik, didaktik och utbildningsstudier, Uppsala Universitet. Kärrqvist, Christina & West, Eva (2005). Nationella utvärderingen av grundskolan 2003 (NU-03): problemlösning. Stockholm: Skolverket. Lester, Frank K. (1983). Trends and issues in mathematical problem-solving research. I Lesh, Richard A. & Landau, Marsha (red.), Acquisition of mathematics concepts and process (s. 229-261). New York: Academic Press, Inc. Lester, Frank K. (1996). Problemlösningens natur. I Emanuelsson, Göran m.fl. (red.) Matematik ett kommunikationsämne, s. 85 91. Göteborg: NCM/Nämnaren. Lester, Frank K. & Lambdin, Diana V. (2007). Undervisa genom problemlösning. I Boesen, Jesper, Emanuelsson, Göran, Wallby, Anders & Wallby, Karin (red.), Lära och undervisa matematik - internationella perspektiv (s. 95 108). Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning. Lindblom, Cecilia (2016). Skolämnet Hem- och konsumentkunskap på 2000-talet: förutsättningar för elevers möjlighet till måluppfyllelse (Doktorsavhandling). Umeå: Umeå universitet. Linde, Göran (2006). Det ska ni veta!: en introduktion till läroplansteori!. (2., [rev.] uppl.) Lund: Studentlitteratur. 44

Lundgren, Ulf P. (1979). Att organisera omvärlden: en introduktion till läroplansteori. Stockholm: LiberFörlag Lundgren, Ulf P. (1999). Ramfaktorteori och praktisk utbildningsplanering. Pedagogisk Forskning i Sverige, 4(1), ss. 31 4 Långström, Sture & Viklund, Ulf (2006). Praktisk lärarkunskap. (1. uppl.) Lund: Studentlitteratur. Löwing, Madeleine & Kilborn, Wiggo (2002). Baskunskaper i matematik: för skola, hem och samhälle. Lund: Studentlitteratur. Löwing, Madeleine (2004). Matematikundervisningens konkreta gestaltning: en studie av kommunikation lärare elev och matematiklektionens didaktiska ramar. Diss. Göteborg: Univ., 2004. Göteborg. Martinsson, Bengt-Göran (1987). Tradition och undervisning: tankar om litteraturundervisning, historieskrivning och kulturell reproduktion. Linköping: Tema Kommunikation, Universitetet i Linköping. Mouwitz, Lars (2007). Vad är problemlösning? Nämnaren, vol 1, s. 61. Möllehed, Ebbe (2001). Problemlösning i matematik: en studie av påverkansfaktorer i årskurserna 4 9. Diss. Lund: Univ., 2001. Malmö. Nilsson, Åsa (2010). Kvantitativ innehållsanalys. I Ekström, Mats & Larsson, Larsåke (red.), Metoder i kommunikationsvetenskap (s. 119 147). 2 uppl. Lund: Studentlitteratur. PRIM-gruppen (u.å.). Bedömningsexempel från ämnesprovet i matematik årskurs 6, 2013. Tillgängligt: http://www.su.se/polopoly_fs/1.304454.1487334099!/menu/standard/file/bed%c3%b6mning sexempel%20%c3%a4p%206_2013_2017.pdf 45

Schoenfeld, Alan H. (1993). Teaching mathematical thinking and problem solving. Sånn Ja! Papport fra en konferanse om matematikkdidaktikk och kvinner i matematiske fag. (Arbeidsnotat 2/93, pp. 67 87), Oslo: Norges forskningsra d, Avd NAVF Sekretariatet for kvinneforskning. Selander, Staffan (2003). Pedagogiska texter och andra artefakter för kunskap och kommunikation - En översikt över läromedel perspektiv och forskning. Regeringen, 2003 (15), 181 256 Hämtad 2017-02-08 http://www.regeringen.se/49b71e/contentassets/67f8c3d1db4f4b4db39716e40e9792dd/sou- 200315-laromedel-specifikt-bilagor Sidenvall, Johan (2015). Att lära sig resonera - om elevers möjligheter att lära sig matematiska resonemang. (Licentiatavhandling. No. 86, Studies in Science and technology Education). Norrköping. Linköpings universitet. Skolinspektionen. (2009). Undervisningen i matematik [Elektronisk resurs]: undervisningens innehåll och ändamålsenlighet. Stockholm: Skolinspektionen. Skolverket (1994). Läroplan för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och fritidshemmet Lpo 94. Stockholm: Utbildningsdepartementet. Skolverket (2003). Lusten att lära: med fokus på matematik: nationella kvalitetsgranskningar 2001 2002. Stockholm: Skolverket. Skolverket. (2006). Läromedlens roll i undervisningen. Grundskollärarens val, användning och bedömning av läromedel i bild, engelska och samhällskunskap. (Skolverkets rapport 284.) Stockholm: Skolverket. Skolverket (2008). Svenska elevers matematikkunskaper i TIMSS 2007: en djupanalys av hur eleverna förstår centrala matematiska begrepp och tillämpar beräkningsprocedurer. Stockholm: Skolverket. Skolverket (2010). Rustad att möta framtiden?: PISA 2009 om 15 åringars läsförståelse och 46

kunskaper i matematik och naturvetenskap. Stockholm: Skolverket. Skolverket (2011). Kommentarmaterial till kursplanen i matematik [Elektronisk resurs]. Stockholm: Skolverket. Skolverket (2012). TIMSS 2011: svenska grundskoleelevers kunskaper i matematik och naturvetenskap i ett internationellt perspektiv. Stockholm: Skolverket. Skolverket (2015). Nationellt prov i matematik i årskurs 6. Hämtad 2017-02-22, från: http://www.skolverket.se/bedomning/nationella-prov/alla-nationella-prov-i-skolan/arskurs- 6/nationellt-prov-i-matematik-i-arskurs-6-1.197359 Skolverket (2016a). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011: reviderad 2016. (2. uppl.) Stockholm: Skolverket. Skolverket (2016b). Provens konstruktion. Hämtad: 2017-03-03, från https://www.skolverket.se/bedomning/nationella-prov/hur-konstrueras-de-nationella-proven Svensson, Per-Gunnar & Starrin, Bengt (red.) (1996). Kvalitativa studier i teori och praktik. Lund: Studentlitteratur. Taflin, Eva (2007). Matematikproblem i skolan: för att skapa tillfällen till lärande. Diss. Umeå: Umeå universitet, 2007. Umeå. Unenge, Jan & Wyndhamn, Jan (1988). Täljaren - Problemlösning. Stockholm: Utbildningsförlaget i samarbete med Skolöverstyrelsen och Utbildningsradion. Vetenskapsrådet (2011). God forskningssed. Stockholm: Vetenskapsrådet. Weber, Keith, Radu, Iuliana, Mueller, Mary, Powell, Arthur & Maher, Carolyn (2010). Expanding Participation in Problem Solving in a Diverse Middle School Mathematics Classroom New Paradigms for Equity Research. Mathematics Education Research Journal 2010, 22(1), 91-118. 47

Wyndhamn, Jan, Riesbeck, Eva & Schoultz, Jan (2000) Problemlösning som metafor och praktik. Linköping: Linköpings universitet, UniTryck. Østbye, Helge, Knapskog, Karl, Helland, Knut & Larsen, Leif Ove (2008). Metodbok för medievetenskap. Slovenien: Liber. 48

Bilaga 1. Olika typer av problemlösningsuppgifter från läroböckerna och det nationella provet. Enkelt översättningsproblem: Utmaningen 1, uppgift 7a. I en magisk cirkel är summan av alla tal i en cirkelring eller cirkelsektor lika stor. a) Hur stor är summan av talen i den yttre cirkelringen? (Carlsson, Liljegren och Picetti, 2014, s. 37) (Se bild till höger) Enkelt översättningsproblem: Utmaningen 6, uppgift 3a. Skriv avstånden i en större enhet så det lättare går att förstå hur långt det är. a) 1000 cm. (Carlsson, Liljegren och Picetti, 2013, s. 34). Enkelt översättningsproblem: Kapitel 4, uppgift 22a. Du köper 1,85 hg apelsiner som kostar 19,95 kr/kg. a) Hur mycket ska du betala för apelsinerna? Använd gärna miniräknare. (Hernvald, Kryger, Persson och Zetterqvist, 2013, s. 104) Enkelt översättningsproblem: Kapitel 2, uppgift 30. Linus köper varor i affären som kostar 14,30 kr och 25,10 kr. Ungefär hur mycket får han betala? (Hernvald, Kryger, Persson och Zetterqvist, 2013, s. 51.) Enkelt översättningsproblem: Uppgift 17a. Att köpa en dollar kostar 7 svenska kronor. a) Världens dyraste gympaskor kostar 4054 dollar. Hur mycket skulle skorna kosta i svenska kronor? Visa hur du löser uppgiften. (PRIM-gruppen, u.å., s. 13) Komplext översättningsproblem: Utmaningen 2, uppgift 3a. Charon har en påse med 20 godisbitar. Hon ger 15 % av dem till sin syster och 20% till sin bror. a) Hur många procent av de 20 godisbitarna har hon kvar? (Carlsson, Liljegren och Picetti, 2014, s. 66) Komplext översättningsproblem: Utmaningen 8, uppgift 5. Ett stort gammalt träd har en tjock stam. Stammens omkrets är 12 meter. Man vill borra till mitten av stammen. Hur långt ska man borra? (Carlsson, Liljegren och Picetti, 2013, s.83) 49

Komplext översättningsproblem: Kapitel 1, uppgift 93. Ett år är genomsnittet av antal besökare på fotbollsmatcherna 250 st. Året därpå ökar genomsnittet med 20 %. Hur stort är genomsnittet då? (Hernvald, Kryger, Persson och Zetterqvist, 2013, s. 34) Komplext översättningsproblem: Kapitel 3, uppgift 30 a. Kanten runt en bassäng på Alelunds utomhusbad ska kaklas. (Eleverna har i a-uppgiften räknat ut hur stor area kanten har.) b) Kaklet kostar 1000 kr/m². Hur mycket kostar det att kalka kanten? (Hernvald, Kryger, Persson och Zetterqvist, 2013, s. 75.) Komplext översättningsproblem: Uppgift 7c. Att köpa en dollar kosta 7 svenska kronor. c) Hur många skor som kostar 399 kr skulle Leo kunna köpa för 4053 dollar? Visa hur du löser uppgiften. (PRIM-gruppen, u.å., s. 13.) Processproblem: Utmaningen 4, uppgift 6. Bob jobbar på Alligator Farm. Han har mätt längden på 37 alligatorer idag. De som var längre än 4 m var fem fler än de som var kortare än 4 m. Hur många alligatorer som är längre än 4 m har bob mätt idag? (Carlsson, Liljegren och Picetti, 2014, s. 123) Processproblem: Utmaningen 7, uppgift 6. Charles är ansvarig för djurparkens fyra lejon. De fyra burarna är gjorda av 13 galler. En kväll lyckas lejonet längst till höger förstöra det yttersta gallret. Charles upptäckte detta. Han lyckades lugna lejonet och med hjälp av de återstående 12 gallren ordnade han var sin bur år lejonen. Hur gjorde han? (Carlsson, Liljegren och Picetti, 2013, s. 63) (Se bild till höger.) Processproblem: Kapitel 2, uppgift 115. Eleverna på Alelundsskolan ska sälja biljetter till sin musikal. Flickorna har sagt att de ska sälja totalt 50 biljetter, 6 st varje dag. Pojkarna vill sälja 40 biljetter och 4 st varje dag. Efter hur många dagar har de lika många biljetter kvar? (Hernvald, Kryger, Persson och Zetterqvist, 2013, s. 69) 50

Processproblem: Uppdrag kapitel 2. Linus och Betty är ute på ön och ska ro till fastlandet i ekan. Men båten tar in vatten. Det tar 30 minuter att ro över. De uppskattar att det kommer in cirka 6,5 liter vatten i minuten. De kan ösa ur ½ liter vatten med öskaret i varje tömning, och de kan göra en tömning var 5:e sekund. Vågar de sig ut på vattnet? Hur mycket vatten kommer att fyllas i båten under färden? (Hernvald, Kryger, Persson och Zetterqvist, 2013, s. 41.) Processproblem: Uppgift 15c. Drakarna ska ha svansar. Eleverna använder snöre som de knyter rosetter i. c) 3/7 av Leos draksvans är 84 cm lång. Hur lång är Leos draksvans? Visa hur du löser uppgiften. (PRIMgruppen, u.å., s. 11.) Inget av det: Utmaningen 1, uppgift 2. Hitta på en egen talföljd och låt en klasskompis beskriva talmönstret med ord (Carlsson, Liljegren och Picetti, 2014, s. 36). Inget av det: Utmaningen 7, uppgift 1a. I diagrammet ser du hur långt den gröna och den blå bilen kör på en viss tid. a) ungefär vilken hastighet har den gröna bilen? (Carlsson, Liljegren och Picetti, 2013, s. 62) (Se bild till höger.) Inget av dem: Kapitel 3, uppgift 92. Om man fördubblar diametern på en cirkel, fördubblas arean också då? Förklara hur du tänker. (Hernvald, Kryger, Persson och Zetterqvist, 2013, s. 93) Inget av dem: Uppdrag kapitel 3b. Alexandra har sprungit i skolan efter bildorientering. Det betyder att hon springer mellan olika kontroller som inte är utsatta på någon karta, utan kan placeras i ett koordinatsystem. Vid varje kontroll beskrivs hur hon ska springa för att nå nästa kontroll. Så här t.ex. 200 meter öster och 100 meter söder. Om hon markerar kontrollerna i koordinatsystemet (eller på kartan) och drar streck mellan dem, får hon en figur. Alexandra finns någonstans mellan 51