Grunder i matematik och logik (2017) Mängdlära Marco Kuhlmann 1 Grundläggande begrepp Mängder och element 2.01 En mängd är en samling objekt. Två standardexempel är mängden av naturliga tal (N) och mängden av heltal (Z); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element. 2.02 Det är vanligt att använda sig av stora bokstäver för att beteckna mängder, och av små bokstäver för att beteckna element. (Vi kommer dock in på mängder som har mängder som element ganska snart.) 2.03 Man skriver a A som en förkortning för objektet a tillhör mängden A och a A som en förkortning för objektet a tillhör inte mängden A. Till exempel gäller att 5 N (5 är ett naturligt tal) och 5 N (kvadratroten ur 5 är inte ett naturligt tal). 2.04 Givet mängden A = {2, 4, 6, 8}. Avgör om påståendena är sanna eller falska. a) 6 A b) 4,6 A c) 8 A a) sant b) falskt c) falskt Hur man beskriver mängder 2.05 Man kan beskriva en mängd genom att räkna upp dess element mellan klammerparenteser ( måsvingar ). Här kommer, som exempel, mängden av sanningsvärden, mängden av alla medlemmar i eatles år 1964 och mängden av alla naturliga tal. = {sant, falskt} = {John, Paul, George, Ringo} N = {0, 1, 2, } 1
2.06 Man kan också beskriva en mängd genom att specificera vilken egenskap som utmärker de element som tillhör mängden. Exempel: = { x x var en medlem i eatles år 1964 } Detta ska läsas som: Mängden är mängden av alla x sådana att x var en medlem i eatles år 1964. Denna notation kallas för mängdbyggare. 2.07 Skriv följande mängder genom att räkna upp deras element: a) A = { n n N, 3 n 12 } b) = { n n N, n är ett jämnt tal, n < 8 } c) C = { n n N, n är en delare till 86 } a) A = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} b) = {2, 4, 6} c) C = {1, 2, 43, 86} 2.08 Skriv följande mängder med hjälp av mängdbyggare: a) A är mängden av alla jämna naturliga tal mellan 13 och 29. b) är mängden av alla heltalskvadrater mellan 2 och 85. c) C är mängden av alla triangeltal mellan 3 och 30. a) A = { n n N, n är jämnt, 13 n 29 } b) = { n 2 n Z, 2 n 2 85 } c) C = { n n är ett triangeltal, 3 n 30 } 2.09 Ersätt symbolen med antingen eller så att påståendena blir sanna: a) 6 {2, 4, 6, 8} b) 1 { n n är ett primtal } c) 5050 { n n är ett triangeltal } d) 8 { n n är ett reellt tal } 2
a) 6 {2, 4, 6, 8} b) 1 { n n är ett primtal } c) 5050 { n n är ett triangeltal } d) 8 { n n är ett reellt tal } 2.10 Användning av mängdbyggaren kan ge upphov till Russell s paradox (efter britten ertrand Russell, 1872 1970), som visar att man måste vara försiktig när man definierar vad man menar med en mängd. etrakta mängden R = { A A A } Eftersom R är mängden av alla mängder som inte innehåller sig själva kan det inte vara fallet att R R. Låt oss alltså anta motsatsen, att R R. Då uppfyller R egenskapen som utmärker de element som tillhör R, alltså måste det gälla att R R. Paradox! 2.11 Två mängder A och räknas som lika (A = ) om och endast om de innehåller exakt samma element. Detta kallas för extensionalitetsprincipen. Denna princip innebär att vi inte tar hänsyn till hur vi beskriver en mängd; det enda som är viktigt är vilka element som ingår i mängden. 2.12 Ersätt symbolen med antingen = eller så att påståendena blir sanna: a) {1, 2, 3} {3, 2, 1} b) {1, 1} {1} c) { n n Z, n 0 } N d) { 2n n N } N a) {1, 2, 3} = {3, 2, 1} b) {1, 1} = {1} c) { n n Z, n 0 } = N d) { 2n n N } N Den tomma mängden 2.13 Den tomma mängden är mängden som inte innehåller några element och skrivs. 2.14 Vilka av följande mängder är den tomma mängden? a) A = { n n N, n 2 = 5 } b) = { n n R, n 2 = 5 } c) C = { n n Z, n = 0 } d) D = { n n N, n = 0 } 3
a) A = b) = { 5, + 5} c) C = {0} d) D = 2.15 Ett vanligt misstag är att blanda ihop (den tomma mängden) och { } (mängden som innehåller den tomma mängden som sitt enda element). Observera: är falskt { } är sant Kardinalitet 2.16 Storleken hos en mängd A kallas för A:s kardinalitet och skrivs A. För ändligt stora mängder anger A antalet element i A. För oändligt stora mängder finns det ingen självklar definition av storlek. 2 Relationer mellan mängder Delmängdsrelationen 2.17 En mängd A är en delmängd till en mängd om och endast om varje element i A är ett element i. Vi skriver A som en förkortning för A är en delmängd till och A som en förkortning för A är inte en delmängd till. 2.18 Ange alla delmängder till A = {svart, vit}. Vi måste hitta alla möjliga mängder där varje element också ingå i mängden A. Det finns tre sådana mängder som innehåller minst ett element: {svart}, {vit} och {svart, vit}. Dessutom så är den tomma mängden en delmängd till A. Därmed finns det alltså totalt fyra delmängder till A. 2.19 Följande bokstäver används för att beteckna fem stycken standardmängder: N, Z, Q, R, C. Vilka mängder står dessa symboler för? eskriv deras relation till varandra med hjälp av delmängdsrelationen. Symbolerna står för mängderna av alla naturliga tal (N, exempel: 5), heltal (Z, exempel: 5), rationella tal (Q, exempel: 1 5 ), reella tal (R, exempel: 5) och komplexa tal (C, exempel: 7 + 3i). Deras relationer till varandra är: N Z Q R C 4
U U A A (a) A (b) A Figur 1: Två relationer mellan mängder: är delmängd till och är disjunkt till. Venndiagram 2.20 Delmängdsrelationen kan beskrivas med ett venndiagram (efter britten John Venn, 1834 1923); se figur 1a. I dessa diagram representeras mängder genom cirklar. Cirklarnas placering representerar relationerna mellan mängderna. 2.21 Den omgivande rektangeln i ett venndiagram beskriver mängden som innehåller alla i sammanhanget relevanta objekt. Denna mängd kallas även för universalmängd eller grundmängd och skrivs ibland U. Vilka element ingår i universalmängden framgår oftast ur sammanhanget; men vill man vara riktigt noggrann så anger man grundmängden när man specificerar mängder. Använder man en mängdbyggare så brukar man skriva grundmängden till vänster om det lodrätta strecket. Till exempel: J = { n N n är jämt } Vi kommer för det mesta inte ange U i mängdbyggarna eller venndiagrammen. Egenskaper hos delmängdsrelationen 2.22 Hur visar man att A inte är delmängd till? För att visa att A inte är delmängd till måste vi hitta ett element i A som inte finns med i. 2.23 Förklara varför A = implicerar att A. Om A = innehåller A och samma element. Då gäller a för alla element a A, vilket är kravet i definitionen av delmängdsrelationen. 2.24 Varför är den tomma mängden delmängd till alla mängder? För att visa A måste vi visa att varje element i är ett element i A. Men den tomma mängden innehåller ju inga element, så påståendet gäller på ett trivialt sätt. (Ett liknande påstående är: Varje Hollywood-film som jag någonsin har medverkat i har fått en Oscar. ) 5
2.25 Förklara skillnaden mellan påståendena A och A. Påståendet A säger att den tomma mängden är en delmängd till mängden A. Detta påståendet är sant för godtyckliga mängder A (som vi har bevisat i 2.24). Påståendet A säger att den tomma mängden är ett av elementen i A. Detta gäller inte för godtyckliga mängder. En mängd som det gäller för är { }. 2.26 Det vanligaste sättet att visa en likhet A = är att dela upp beviset och visa Förklara varför detta bevis fungerar. (i) A och (ii) A Om A så är alla element i A även element i ; om A så är alla element i även element i A. Då följer att A = genom extensionalitetsprincipen. 2.27 Om A och är (ändligt stora) mängder så att A gäller, vad gäller då för deras kardinaliteter? A 2.28 Om varje element i A också är ett element i, men innehåller element som inte är element i A, så säger man att A är en äkta delmängd till och skriver A. 2.29 Säg att A. Gäller då även A? Ja. Om A så uppfyller A kraven på en delmängd till. (Varje element i A är ett element i.) Potensmängden 2.30 Potensmängden till en mängd A är mängden som består av alla delmängder till A. Potensmängden till A skrivs ofta P(A). 2.31 Vad är potensmängden till mängden {0, 1, 2}? Potensmängden till {0, 1, 2} är mängden av alla delmängder till {0, 1, 2}, så P({0, 1, 2}) = {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {1, 2}, {0, 2}, {0, 1, 2}} 2.32 Vad är potensmängden till den tomma mängden? { } 6
2.33 Om en mängd A har n element, hur många element har då A:s potensmängd? Potensmängden till A består av alla delmängder till A. Varje delmängd A kan entydigt beskrivas genom att för varje element a A ställa frågan: Är a, ja eller nej? På denna fråga finns det två svar, så om A = n så finns det sammanlagt 2 2 n gånger = n 2 = 2 n i=1 olika möjligheter att svara. Detta visar att P(A) = 2 n. Disjunkthetsrelationen 2.34 Två mängder A och är disjunkta om de inte har några gemensamma element. Ibland ser man notationen A som förkortning för A och är disjunkta. 2.35 Rita ett venndiagram som illustrerar disjunkthetsrelationen. Se Figur 1b. 3 Mängdoperationer 2.36 Man kan räkna med mängder på ungefär samma sätt som man kan räkna med tal. När vi räknar med tal har vi operationer som addition och multiplikation. När vi räknar med mängder har vi operationerna union, snitt, differens och komplement. Dessa operationer illustreras genom venndiagrammen i Figur 2. 2.37 Unionen mellan två mängder A och är den mängd som består av alla element som ingår i A, eller båda mängderna. Unionen mellan A och betecknas A. Med hjälp av symbolen för logisk disjunktion kan vi skriva: A = { x x A x } 2.38 Snittet mellan två mängder A och är den mängd som består av alla element som ingår i båda mängderna. Snittet mellan A och betecknas A. Med hjälp av symbolen för logisk konjunktion kan vi skriva: A = { x x A x } 7
A A (a) A är skuggad (b) A är skuggad A A (c) A är skuggad (d) A c är skuggad Figur 2: Mängdoperationer 2.39 Differensen mellan två mängder A och är den mängd som består av alla element som ingår i A men inte i. Differensen mellan A och betecknas A. Med hjälp av en mängdbyggare kan vi skriva: A = { x x A x } 2.40 Komplementet till en mängd A är den mängd som består av alla element som ingår i universalmängden U men inte i A. Komplementet till A betecknas A c. Med hjälp av en mängdbyggare kan vi skriva: A c = { x x U och x A } = U A 2.41 Låt A = {1, 2, 4, 6, 8} och = {1, 3, 5, 7}. estäm a) A b) A c) A a) {1,, 8} b) {1} c) {2, 4, 6, 8} 2.42 För mängderna A, och C gäller att A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {2, 4, 6} C = {1, 3, 5} 8
A 9 8 4 3 12 C 7 5 10 Figur 3: ild till uppgift 2.43 Ange om följande påståenden är sanna eller falska. a) A b) A = C c) C = d) A = C a) sant b) sant c) sant d) falskt 2.43 Talen i figur 3 anger antalet element i vardera sektor av venndiagrammet. estäm antalet element i a) A b) A c) A ( C) d) A c a) 9 + 12 + 3 + 4 + 10 + 5 = 43 b) 3 + 12 = 15 c) 12 + 3 + 4 = 19 d) 8 + 10 + 5 + 7 = 30 2.44 Man kan visa att A = A + A. Förklara varför termen A måste subtraheras. Utan detta räknas de gemensamma elementen av A och två gånger, dels som element i A, dels som element i. De gemensamma elementen är elementen i snittet A. För att få ett korrekt uttryck måste vi alltså subtrahera A många element från A +. 9
A C Figur 4: A ( C) = (A ) (A C) är skuggad. 2.45 Ange två oändliga mängder vars snitt är den tomma mängden. A = { n N n är jämnt }, = { n N n är udda } 2.46 Precis som för operationer som addition och multiplikation finns det räkneregler för mängdoperationer. Ett exempel är distributivitetslagen: A ( C) = (A ) (A C) Hur kan vi bevisa detta? Ett sätt är att bevisa ömsesidig inklusion, dvs. att A ( C) (A ) (A C) och (A ) (A C) A ( C) Ett annat sätt är att rita ett venndiagram för de tre mängderna och övertyga sig om att det vänstra uttrycket beskriver samma område i diagrammet som det högra uttrycket (se Figur 4). 4 Par och tupler 2.47 Det kartesiska koordinatsystemet är ett koordinatsystem som i planet består av en x-axel och en y-axel som skär varandra vinkelrätt. Man brukar rita x-axeln från vänster till höger och y-axeln nerifrån uppåt. Genom att markera enhetslängder för båda axlarna definierar man ett rutnät. Varje punkt på detta nät kan skrivas som (x, y), där x anger koordinaten på x-axeln och y anger koordinaten på y-axeln. Ett exempel på ett koordinatsystem visas i Figur 5. 2.48 Rita in punkterna för koordinaterna (2, 2), (2, 3) och (3, 2)! 2.49 Koordinater som dessa är exempel på ordnade par. I ett ordnat par (x, y) kallar man x och y parets komponenter. Notera att (2, 3) (3, 2)! Det vill säga, ordningen mellan komponenterna spelar en roll. 10
y 4 3 2 1 (1, 1) (2, 3) (3, 2) 0 1 2 3 4 5 Figur 5: Ett koordinatsystem. x 2.50 Ett pars komponenter behöver inte vara tal. Låt A och vara godtyckliga mängder. Mängden av alla par (a, b) där a A och b kallas för produktmängden av A och. Den skrivs A och kan beskrivas genom mängdbyggaren I exemplet hade vi två mängder X och Y: A = { (a, b) a A, b } X = {1, 2, 3, 4, 5} Y = {1, 2, 3, 4} X Y = { (x, y) x X, y Y } 2.51 Låt A och vara godtyckliga mängder. etrakta produktmängden A. Hur många element har den? Om A har m element och har n element så har produktmängden A exakt m gånger n element. (Och det passar ju bra ihop med beteckningen produktmängd!) Observera att om en av mängderna är tom, så kan man inte bilda några par, så produktmängden blir tom den också: Om m = 0 eller n = 0 så är mn = 0. 2.52 För att beskriva en tredimensionell rymd snarare än ett tvådimensionellt plan lägger man till en z-axel vinkelrätt mot (x, y)-planet. Även här har vi punkter, men dessa har nu tre koordinater. Man kan kalla dem för triplar. På samma sätt kan man definiera quadrupler, quintupler, och mera allmänt n-tupler. 11