6. Linjära avbildningar 6.. Linjär avbildning Exempel 6.. Betrakta funktionen f : R R, sådan att där a är en konstant. Då gäller att. f(x + y) = a(x + y) = ax + ay = f(x) + f(y). 2. f(λx) = a(λx) = aλx = λ(ax) = λf(x), där λ R. f(x) = ax, (6.2) Egenskaperna. 2. ovan är har visat sig vara så pass viktiga att funktioner som uppfyller dessa har fått ett eget namn. Definition 6.2. Vi säger att en funktion f : R R är linjär om för varje x,y R tal λ gäller. f(x + y) = f(x) + f(y). 2. f(λx) = λf(x). Alltså är f(x) = ax en linjär funktion. Funktioner som inte är linjära kallar vi för icke linjära de är många fler. T.ex., är de elemntära funktionerna, dvs polynom, trigonometriska, exponential logaritmfunktioner icke linjära. Låt oss titta närmare på f(x) =. Det gäller att f(x + y) = (x + y) 2 = + y 2 + 2xy = f(x) + f(y) + 2xy f(x) + f(y), dvs villkor. är inte uppfyllt därmed är f(x) = inte linjär. Inte heller villkor 2. är uppfyllt, ty f(λx) = (λx) 2 = λ 2 = λ 2 f(x) λf(x). Motsvarande linjära funktioner finns i Linjär algebra. Nedan ska vi se vilka dessa är hur de fungerar. Vi ska bl.a. visa att linjära funktioner i Linjär algebra är en generalisering av funktionen i (23.) ovan till flera dimensioner. Det gäller faktiskt att där A är en matris. F(eX) = eax,
2 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR Låt e = {e,e 2,e 3 } vara en bas i rummet låt Y = under matrisen A = a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 y y 2 y 3 =, dvs a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 y y 2 y 3 vara bilden av X = x x eller kortare Y = AX (6.3) Vi ser att sambandet i (6.3) är en regel som till varje vektor ex ordnar en entydig vektor ey via ey = eax. (6.4) Detta påminner om definitionen av en funktion. Ett samband av typ (6.4) kallas därför en linjär funktion eller en linjär avbildning av rummet samt matrisen A för en avbildningsmatris. Allmännare, låt {e,e 2,...,e n } vara en bas i ett vektorrum V. Antag att u = ex V v = ey W. Då är (6.4) ett enklare fall av sambandet: v = F(u). (6.) där F kallas en avbildning (eller funktion). Vi säger också att v är bilden av u under F att u är urbilden till v. Ofta används beteckningen F : V W för att tala om att F är definierad på hela V samt har sina värden i W Definition 6.3. Låt V, W vara vektorrum F : V W en avbildning från V till W. Vi säger att F är en linjär avbildning om. F(u + v) = F(u) + F(v), (additiv) 2. F(λu) = λf(u), λ R, (homogen) Exempel 6.4. Rotation, spegling projektion är några exempel på linjära avbildningar som vi kommer att studera i det här avsnittet.
6. Linjär avbildning 3 Exempel 6.. Låt v vara en fix vektor i rummet. Är avbildningen F(u) = (u v) u linjär? Lösning: Vi har att F(u + u 2 ) = ((u + u 2 ) v) (u + u 2 ) = (u v) u + (u 2 v) u + (u 2 v) u 2 + (u v) u 2 = F(u ) + F(u 2 ) + (u 2 v) u + (u v) u 2 F(u ) + F(u 2 ). Vidare gäller att F(u) = (λu v) (λu) = λ 2 (u v) u = λ 2 F(u) λf(u). Alltså är F en icke linjär avbildning på rummet. Exempel 6.6. Låt G vara en avbildning på rummet som i basen {e,e 2,e 3 } ges av G(eX) = e x 2 +. (6.6) Undersök om G är linjär. Lösning: Låt u = e X = e a b c u + v = e Avbildningen G är inte linjär, ty v = ex 2 = e a b c λu = λe + e a b c a 2 c 2 = e = e λa λb λc a 2 c 2. Vi behöver summan a + a 2 b + c + c 2.. G(u + v) G(u) + G(v) 2. G(λu) λg(u). T.ex., följer av (6.6) att G(λu) = Ge λa λb λc = e λa λc λ 2 λb + λc = λe λa c λ b + c λg(u).
4 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR Exempel 6.7. Låt F vara en avbildning på rummet som i basen {e,e 2,e 3 } ges av F(eX) = e 2x + 3 4 där ey är bildvektorn av urbilden e X under F.. Undersök om F är linjär. 2. Bestäm bilden av vektorerna e, e 2 e 3. 3. Bestäm bilden F(u) om u = e + e 2 + e 3. 4. Bestäm om möjligt urbilden u om F(u) = e + e 3. = ey. (6.7) Lösning:. F är linjär om F(u + v) = F(u) + F(v) F(λu) = λf(u). Vi har att F(u + v) = F e = e a + a 2 b + c + c 2 2a + 3b 4b c b = e + e 2(a + a 2 ) + 3(b + ) 4(b + ) (c + c 2 ) b + 2a 2 + 3 4 c 2 = F(u) + F(v). F(λu) = F e λa λb λc = e 2λa + 3λb 4λb λc λb = λe 2a + 3b 4b c b = λf(u). Alltså är F linjär avbildning. Låt oss titta närmare på hur F verkar på en given vektor ex; speciellt på koordinaterna X till vektorn. Vi har att F(eX) = e 2x + 3 4 = e 2 3 4 } {{ } = A x = eax. Tydligen finns det till en linjär avbildning F en avbildningsmatris A så att bilden ey ges av ey = F(eX) = eax. 2. Vi bestämmer bilden av basvektorerna, dvs F(e ), F(e 2 ) F(e 3 ). Vi får enligt (6.7) att 2 + 3 2 F(e ) = F e = e 4 = e
6. Linjär avbildning F(e 2 ) = F e F(e 3 ) = F e = e = e 2 + 3 4 2 + 3 4 = e = e Dessa är kolonner i avbildningsmatrisen A till F: 2 3 A = 4 }{{} }{{} }{{} = F(e ) = F(e 2 ) = F(e 3 ) 3 4. 3. a) Bilden F(u) ges enligt (6.7) av F(u) = F e = e b) Men bilden kan också tas fram med hjälp av bilden hos basvektorerna 2 3 F(u) = F(e +e 2 +e 3 ) = F(e )+F(e 2 )+F(e 3 ) = e +e 4 +e c) kanske allra enklast med hjälp av avbildningsmatrisen A: 2 3 F e = ea = e 4 = e. = e.. 4. Vi söker alltså en vektor u = e X så att bilden är F(u) = e + e 3, dvs 2 3 x e = F(eX) = eax = 4, dvs 2 3 4 x = Alltså är F(e(,,8) t ) = e(,,) t. x = Anmärkning 6.8. Vi har i exemplet ovan sett att till en linjär avbildning F hör en matris A, så att bilden av vektorn u = ex är ges av F(eX) = eax. 8 Vi ska i nästa sats visa att detta gäller alltid om F är en linjär avbildning..