Regressions- och Tidsserieanalys - F8 Klassisk komponentuppdelning, kap 7.1.-7.2. Linda Wänström Linköpings universitet November 26 Wänström (Linköpings universitet) F8 November 26 1 / 23
Klassisk komponentuppdelning Klassisk komponentuppdelning har ingen teoretisk grund, men här användbar när parametrarna som beskriver tidsserien inte förändras över tid. Vid ökande/minskande säsongsvariation används multiplikativ modell och vid konstant säsongsvariation används addtiv modell. Multiplikativ modell: Additiv modell: y t = TR t SN t CL t IR t y t = TR t + SN t + CL t + IR t där y t är värdet på y vid tidpunkt t, TR t är trendkomponenten vid tidpunkt t som skattas med tr t, SN t är säsongskomponenten vid tidpunkt t som skattas med sn t, CL t är den cykliska komponenten vid tidpunkt t som skattas med cl t och IR t är slumpkomponenten vid tidpunkt t som skattas med ir t. Wänström (Linköpings universitet) F8 November 26 2 / 23
Exempel: Antal arbetade timmar per vecka inom jordbruk, skogsbruk, jakt och fiske 1998-2004 År Kvartal y 1 1 414 2 493 3 490 4 451 2 1 435 2 536 3 533 4 421 3 1 426 2 484 3 457 4 406 4 1 373 2 459 3 476 4 423 5 1 378 2 448 3 435 4 393 6 1 368 2 431 3 410 4 365 7 1 380 2 429 3 426 4 388 Wänström (Linköpings universitet) F8 November 26 3 / 23
Wänström (Linköpings universitet) F8 November 26 4 / 23
Glidande medelvärden (moving averages) och centrerade (centered) glidande medelvärden Vi börjar med att beräkna glidande medelvärden (MA) för att få bort säsongsvariation och slumpvariation från data. Eftersom vi har 4 säsonger beräknar vi 4-punkts-medelvären. 414 + 493 + 490 + 451 MA 2.5 = = 462 4 Detta MA är centrerat på tidpunkt 2.5, dvs mitt emellan kvartal två och tre. Nästa MA är centrerat på tidpunkt 3.5: 493 + 490 + 451 + 435 MA 3.5 = = 467.25 4 Eftersom vi vill ha medelvärden som är centrerade på specifika säsonger, beräknar vi centrerade medelvärden (CMA). Följande CMA är centrerat på på tidpunkt 3, dvs kvartal 3. 462 + 467.25 CMA 3 = = 464.63 2 Wänström (Linköpings universitet) F8 November 26 5 / 23
y MA CMA 414 493 490 462 464,625 451 467,25 472,625 435 478 483,375 536 488,75 485 533 481,25 480,125 421 479 472,5 426 466 456,5 484 447 445,125 457 443,25 436,625 406 430 426,875 373 423,75 426,125 459 428,5 430,625 476 432,75 433,375 423 434 432,625 378 431,25 426,125 448 421 417,25 435 413,5 412,25 393 411 408,875 368 406,75 403,625 431 400,5 397 410 393,5 395 365 396,5 396,25 380 396 398 429 400 402,875 426 405,75 388 Wänström (Linköpings universitet) F8 November 26 6 / 23
Skattning av säsongkomponenter Vi ska nu gå vidare för att skatta säsongkomponenter. Först noterar vi att CMA skattar trendkomponent gånger cyklisk komponent (för multiplikativ modell) och trendkomponent plus cyklisk komponent (för additiv modell) eftersom vi har fått bort säsongsvariation och slumpvariation genom att beräkna CMA. Eftersom CMA t = tr t cl t har vi att: y t sn t ir t = = tr t cl t CMA t för multiplikativ modell, och eftersom CMA t = tr t + cl t har vi att y t för additiv modell. sn t + ir t = y t (tr t + cl t ) = y t CMA t Wänström (Linköpings universitet) F8 November 26 7 / 23
y MA CMA snxir 414 493 490 462 464,625 1,054614 451 467,25 472,625 0,954245 435 478 483,375 0,899922 536 488,75 485 1,105155 533 481,25 480,125 1,110128 421 479 472,5 0,891005 426 466 456,5 0,933187 484 447 445,125 1,087335 457 443,25 436,625 1,046665 406 430 426,875 0,951098 373 423,75 426,125 0,87533 459 428,5 430,625 1,065893 476 432,75 433,375 1,098356 423 434 432,625 0,977752 378 431,25 426,125 0,887064 448 421 417,25 1,073697 435 413,5 412,25 1,055185 393 411 408,875 0,961174 368 406,75 403,625 0,911737 431 400,5 397 1,085642 410 393,5 395 1,037975 365 396,5 396,25 0,921136 380 396 398 0,954774 429 400 402,875 1,064846 426 405,75 388 Wänström (Linköpings universitet) F8 November 26 8 / 23
Uppskattning av säsongkomponenter Vi har nu fått skattningar för cyklisk komponent gånger slumpkomponent (för multiplikativ modell) respektive cyklisk komponent plus slumpkomponent (för additiv modell). För att få bort slumpkomponenten och få skattningar endast av säsongkomponenter beräknar vi medelvärdet för varje säsong (här kvartal): Kvartal År 1 År 2 År 3 År 4 År 5 År 6 År 7 medel sn 1 0,899922 0,933187 0,87533 0,887064 0,911737 0,954774 0,910336 2 1,105155 1,087335 1,065893 1,073697 1,085642 1,064846 1,080428 3 1,054614 1,110128 1,046665 1,098356 1,055185 1,037975 1,067154 4 0,954245 0,891005 0,951098 0,977752 0,961174 0,921136 0,942735 Wänström (Linköpings universitet) F8 November 26 9 / 23
Standardisering av säsongkomponenter För att alla (4 i detta fall) säsongkomponenter ska summera till antal säsonger, L, (dvs 4 i detta fall) multipliceras varje kvartalsmedelvärde (sn t ) med L L t=1 sn t = 4 4.000652 = 0.999837 för multiplikativ modell, dvs sn t = sn t L/ L t=1 sn t. Vi får alltså fyra skattningar (en per säsong): sn 1, sn 2, sn 3 och sn 4. Kvartal År 1 År 2 År 3 År 4 År 5 År 6 År 7 medel sn sn 1 0,899922 0,933187 0,87533 0,887064 0,911737 0,954774 0,910336 0,910187 2 1,105155 1,087335 1,065893 1,073697 1,085642 1,064846 1,080428 1,080252 3 1,054614 1,110128 1,046665 1,098356 1,055185 1,037975 1,067154 1,06698 4 0,954245 0,891005 0,951098 0,977752 0,961174 0,921136 0,942735 0,942581 4,000652 För additiv modell ska summan av säsongkomponenterna bli noll och vi justerar i stället på detta sätt: sn t = sn t ( L t=1 sn t /L). Wänström (Linköpings universitet) F8 November 26 10 / 23
Säsongrensade värden För att kunna gå vidare och skatta en trend rensar vi nu bort säsongsvariationen från data med hjälp av säsongkomponenterna. För multiplikativ modell får vi de säsongsrensade värdena som: d t = y t sn t. För additiv modell får vi de säsongsrensade värdena som: d t = y t sn t. Wänström (Linköpings universitet) F8 November 26 11 / 23
y MA CMA snxir sn d 414 0,910187 454,8514 493 1,080252 456,3751 490 462 464,625 1,054614 1,06698 459,2403 451 467,25 472,625 0,954245 0,942581 478,4733 435 478 483,375 0,899922 0,910187 477,9236 536 488,75 485 1,105155 1,080252 496,1806 533 481,25 480,125 1,110128 1,06698 499,5409 421 479 472,5 0,891005 0,942581 446,6458 426 466 456,5 0,933187 0,910187 468,0355 484 447 445,125 1,087335 1,080252 448,0437 457 443,25 436,625 1,046665 1,06698 428,3118 406 430 426,875 0,951098 0,942581 430,7321 373 423,75 426,125 0,87533 0,910187 409,8058 459 428,5 430,625 1,065893 1,080252 424,9009 476 432,75 433,375 1,098356 1,06698 446,1191 423 434 432,625 0,977752 0,942581 448,7677 378 431,25 426,125 0,887064 0,910187 415,2991 448 421 417,25 1,073697 1,080252 414,7181 435 413,5 412,25 1,055185 1,06698 407,6929 393 411 408,875 0,961174 0,942581 416,9402 368 406,75 403,625 0,911737 0,910187 404,3124 431 400,5 397 1,085642 1,080252 398,9811 410 393,5 395 1,037975 1,06698 384,2623 365 396,5 396,25 0,921136 0,942581 387,2345 380 396 398 0,954774 0,910187 417,4965 429 400 402,875 1,064846 1,080252 397,1296 426 405,75 1,06698 399,2579 388 0,942581 411,6356 Wänström (Linköpings universitet) F8 November 26 12 / 23
Säsongrensade värden Wänström (Linköpings universitet) F8 November 26 13 / 23
Skattning av trend Vi vill nu skatta en trend på de säsongsrensade värdena med hjälp av regressionsanalys. Beroende på hur vi tror att trenden ser ut skattar vi en linjär, kvadratisk etc. trend (se förra föreläsningen). För enkelhetens skull börjar vi med att anta en linjär trend: TR t = β 0 + β 1 t dvs vi anpassar följande modell till de säsongrensade värdena d t = β 0 + β 1 t + ɛ t. Använder vi formler för b 1 respektive b 0 från vanlig enkel regressionsanalys (alternativt använder MINITAB) får vi tr t = b + b 1 t = 480.587 3.270t. Wänström (Linköpings universitet) F8 November 26 14 / 23
Skattning av cyklisk komponent Nu har vi skattningar för säsongskomponenter och trend. Vi behöver skattningar för cykliska komponenten, CL t. För multiplikativ modell har vi att cl t ir t = tr t sn t Om vi har kvartalsdata eller månadsdata kan vi beräkna en skattning av cyklisk komponent som medelvärdet för tre närliggande tidpunkter cl t = (cl t 1 ir t 1 ) + (cl t ir t ) + (cl t+1 ir t+1 ) 3 För de första tre tidpunkterna får vi cl 2 = 0.953+0.963+0.975 3 = 0.964. Vi kan slutligen skatta IR t y t ir t = cl t ir t cl t som för andra observationen blir ir 2 = 0.963 0.964 = 0.999. Wänström (Linköpings universitet) F8 November 26 15 / 23
Skattning av cyklisk komponent För additiv modell har vi i stället att cl t + ir t = y t tr t sn t Då får vi skattningar av cykliska komponenterna genom cl t = (cl t 1 + ir t 1 ) + (cl t + ir t ) + (cl t+1 + ir t+1 ) 3 och slutligen för slumpkomponenterna ir t = (cl t + ir t ) cl t Wänström (Linköpings universitet) F8 November 26 16 / 23
y MA CMA snxir sn d tr trxsn clxir cl ir 414 0,910187 454,8514 477,317 434,4479 0,952934 493 1,080252 456,3751 474,047 512,0901 0,962721 0,963716 0,998967 490 462 464,625 1,054614 1,06698 459,2403 470,777 502,3095 0,975494 0,987224 0,988118 451 467,25 472,625 0,954245 0,942581 478,4733 467,507 440,6633 1,023457 1,009478 1,013848 435 478 483,375 0,899922 0,910187 477,9236 464,237 422,5426 1,029482 1,04311 0,986935 536 488,75 485 1,105155 1,080252 496,1806 460,967 497,9604 1,076391 1,065765 1,00997 533 481,25 480,125 1,110128 1,06698 499,5409 457,697 488,3534 1,091423 1,05023 1,039222 421 479 472,5 0,891005 0,942581 446,6458 454,427 428,3344 0,982877 1,037237 0,947591 426 466 456,5 0,933187 0,910187 468,0355 451,157 410,6374 1,037412 1,006879 1,030324 484 447 445,125 1,087335 1,080252 448,0437 447,887 483,8307 1,00035 1,000363 0,999987 457 443,25 436,625 1,046665 1,06698 428,3118 444,617 474,3973 0,963328 0,979875 0,983112 406 430 426,875 0,951098 0,942581 430,7321 441,347 416,0054 0,975949 0,958247 1,018473 373 423,75 426,125 0,87533 0,910187 409,8058 438,077 398,7321 0,935465 0,962877 0,971531 459 428,5 430,625 1,065893 1,080252 424,9009 434,807 469,701 0,977217 0,982158 0,99497 476 432,75 433,375 1,098356 1,06698 446,1191 431,537 460,4412 1,033791 1,019626 1,013893 423 434 432,625 0,977752 0,942581 448,7677 428,267 403,6765 1,047869 1,019614 1,027712 378 431,25 426,125 0,887064 0,910187 415,2991 424,997 386,8269 0,977181 1,00281 0,974443 448 421 417,25 1,073697 1,080252 414,7181 421,727 455,5713 0,983381 0,97828 1,005214 435 413,5 412,25 1,055185 1,06698 407,6929 418,457 446,4851 0,974277 0,987293 0,986816 393 411 408,875 0,961174 0,942581 416,9402 415,187 391,3475 1,004223 0,986679 1,01778 368 406,75 403,625 0,911737 0,910187 404,3124 411,917 374,9216 0,981538 0,987369 0,994095 431 400,5 397 1,085642 1,080252 398,9811 408,647 441,4417 0,976346 0,968599 1,007998 410 393,5 395 1,037975 1,06698 384,2623 405,377 432,529 0,947913 0,962424 0,984922 365 396,5 396,25 0,921136 0,942581 387,2345 402,107 379,0185 0,963014 0,985904 0,976782 380 396 398 0,954774 0,910187 417,4965 398,837 363,0164 1,046785 1,004583 1,042009 429 400 402,875 1,064846 1,080252 397,1296 395,567 427,312 1,00395 1,022826 0,981545 426 405,75 1,06698 399,2579 392,297 418,5729 1,017744 1,026603 0,99137 388 0,942581 411,6356 389,027 366,6896 1,058116 Wänström (Linköpings universitet) F8 November 26 17 / 23
Cyklisk komponent och slumpkomponent Wänström (Linköpings universitet) F8 November 26 18 / 23
Prognoser Vi kan slutligen göra prognoser för multiplikativ modell som ŷ t = tr t sn t cl t. En prognos för första kvartalet 2005 ges av (om vi antar att vi inte kan förutspå cyklisk komponent) ŷ 29 = tr 29 sn 29 = (480.587 3.270 29) 0.910 = 351, 0389 För additiv modell får vi prognoser som ŷ t = tr t + sn t + cl t. Wänström (Linköpings universitet) F8 November 26 19 / 23
Analys i MINITAB Utskrift från multiplikativ uppdelning (utan cyklisk komponent). MINTAB använder medianer vid uträkning av säsongkomponenter i stället för medelvärden. Time Series Decomposition for Antal timmar Multiplicative Model Data Antal timmar Length 28 NMissing 0 Fitted Trend Equation Yt = 480,95 3,30015*t Seasonal Indices Period Index 1 0,90740 2 1,08154 3 1,05673 4 0,95432 Accuracy Measures MAPE 3,316 MAD 14,538 MSD 313,710 Wänström (Linköpings universitet) F8 November 26 20 / 23
Skattade värden, trend, och observerade värden Wänström (Linköpings universitet) F8 November 26 21 / 23
Fler grafer från Minitab Första grafen ger originaldata. Andra grafen ger data med trenden bortrensad. Här kan vi se om det finns säsongsvariation, cyklisk variation samt slumpvariation. Tredej grafen ger säsongsrensad data. Här kan vi se trend, cyklisk variation samt slumpvariation. Fjärde grafen ger data med både säsong och trend bortrensad. Här kan vi se cyklisk variation samt slumpvariation. Finns det något mönster i denna graf som inte enbart ser slumpmässigt ut antar vi att det förekommer cyklisk variation. Wänström (Linköpings universitet) F8 November 26 22 / 23
fler grafer från Minitab Första grafen visar säsongskomponenterna. Andra grafen visar boxplottar över säsongsvariation (dvs spridning). Tredje grafen visar säsongsvariation i procent. Fjärde grafen visar spridningen (boxplottar) för residualerna per säsong. Ju större sprdning för residualerna för en viss säsong desto sämre skattar vi värden för den säsongen. Wänström (Linköpings universitet) F8 November 26 23 / 23