Lösningsförslag Tentamen i Optimering och Simulering MIO /5 2006

Relevanta dokument
MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

TNK049 Optimeringslära

Uppgift 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

LP-problem. Vårt första exempel. Baslösningar representerar extrempunkter. Baslösningar representerar extrempunkter

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet

Optimeringslära Kaj Holmberg

Lösningar/svar. Uppgift 1. Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta system. Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

Tentamensinstruktioner

Lösningar till 5B1762 Optimeringslära för T, 24/5-07

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats.

1(8) x ijt = antal mobiltelefoner av typ i=1,,m, Som produceras på produktionslina 1,, n, Under vecka t=1,,t.

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

Optimeringslära Kaj Holmberg. Lösningar/svar. Iteration 2: x 2 s

TENTAMEN. Tentamensinstruktioner. Datum: 30 augusti 2018 Tid: 8-12

Speciell användning av heltalsvariabler. Heltalsprogrammering. Antingen-eller-villkor: Exempel. Speciell användning av heltalsvariabler

Tentamen TMA946/MAN280 tillämpad optimeringslära

Föreläsning 6: Transportproblem (TP)

1 LP-problem på standardform och Simplexmetoden

LP-dualitet: Exempel. Vårt första exempel. LP-dualitet: Relationer. LP-dualitet: Generellt

Optimeringslära Kaj Holmberg

Föreläsning 2: Simplexmetoden. 1. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform.

Linjärprogramming. EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

TNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 6

Tentamensinstruktioner

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM

z = min 3x 1 2x 2 + y Fixera y, vilket ger subproblemet

Vårt första exempel. LP-dualitet: Exempel. LP-dualitet: Generellt. LP-dualitet: Relationer

TNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 9

Tentamensinstruktioner

Tentamensinstruktioner

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

min c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ:

Laborationsuppgift 1 Tillämpad optimeringslära för MMT (5B1722)

Lösningar till SF1852 Optimeringslära för E, 16/1 08

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Lösningar till SF1861/SF1851 Optimeringslära, 24/5 2013

Lösningar till tentan i SF1861 Optimeringslära, 3 Juni, 2016

Lösningar till tentan i SF1861 Optimeringslära, 1 juni 2017

Sats: Varje anslutningsmatris ar fullstandigt unimodular. Bevis: Lat m beteckna antalet rader i anslutningsmatrisen.

min c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ:

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

Linjärprogrammering (Kap 3,4 och 5)

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2010 kl

TNK049 Optimeringslära

TAOP14: Optimeringslära SAMMANFATTNING OSKAR QVIST:

tentaplugg.nu av studenter för studenter

Laboration 2 - Heltalsoptimering

Tentamensinstruktioner

Tentamensinstruktioner

Vinsten (exklusive kostnaden för inköp av kemikalier) vid försäljning av 1 liter fönsterputs är 2 kr för F1 och 3 kr för F3.

Vinsten (exklusive kostnaden för inköp av kemikalier) vid försäljning av 1 liter fönsterputs är 2 kr för F1 och 3 kr för F3.

1 Minkostnadsflödesproblem i nätverk

Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta system. Optimeringslära Kaj Holmberg.

TNK049 Optimeringslära

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

EXAMENSARBETEN I MATEMATIK

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2010 kl

Ett linjärprogrammeringsproblem på allmän form ser ut som

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM

Tentamensinstruktioner

TNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 10

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

Tentamensinstruktioner

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

Lösningar till tentan i SF1861/51 Optimeringslära, 3 juni, 2015

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

Laboration 1 - Simplexmetoden och Modellformulering

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Laboration 1 - Simplexmetoden och modellformulering

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

1 Duala problem vid linjär optimering

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM

Föreläsning 10/11! Gruppuppgifter: Gruppuppgift 1: Alla har redovisat. Gruppuppgift 2: Alla har redovisat Gruppuppgift 3: På gång.

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering. Kvadratisk programmering med olikhetsbivillkor Active-set metoder

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Lösningar till SF1861 Optimeringslära, 28 maj 2012

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

Solutions to exam in SF1811 Optimization, June 3, 2014

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats.

Transkript:

Lösningsförslag Tentamen i Optimering och Simulering MIO /5 Uppgift a) svar: 9 8 b) Svar: Δ b < c) Svar : 5 Δ c < d) Svar: ma st 8 8

Uppgift a) Dualen (D) till det primala problemet (P) är: Ma y 5y y y då () y y y 8 () y y y () 5y y y y y y Utnyttja omplementsatsen och att optimallösningen är (55) () (8 y y y) () ( y y y) y y y () ( 5y y y) 5y y y () y (5 5) y? (5) y ( ) y ( ) () y y? Sätt in y i ev () & () och lös det resulterande linjära evationssystemet 5 y 5 y Optimalvärdena för de duala variablerna suggpriserna i optimum för de tillhörande primala villoren y suggpris för biv : 5 suggpris för biv : y suggpris för biv : y 5 b) nligt svaga dualsatsen gäller att y z För varje primalt tillåten lösning med målfuntionsvärde måste alla dualt tillåtna lösningar ha målfuntionsvärde y som är mindre än OBS! om vi gör om (P) till ett maproblem fås min z ma z Med denna reformulering blir den tillhörande dualen ett minproblem dvs ma y min y För problem på standardform gäller enligt svaga dualsatsen z y y z

c) Introducera slacvariablerna 5 och i biv () () och () samt de artificiella variablerna a och a i biv () och () Ingen artificiell variabel behövs i biv () eftersom utgör en lätt identifierbar tillåten basvariabel Fas - problemet (P) Min w a a då () 5 5 () 5 a () a 5 a a För att få över problemet på anonis form (anpassad för lösning av Simple i tablåform) måste Fas - problemets målfuntion uttrycas endast i ice-basvariablernas målfuntionsoefficienter (reducerade ostnaden för alla basvariabler ) () a 5 () a w a a 5 5 5 För att få över problemet på standardform behöver vi göra om det till ett maproblem Min w Ma w Starttablån för Fas problemet i anonis form (anpassad för lösning med simple) blir då Basvar 5 a a b -w -5-5 - - 5 5 a - a - Kriterie inommande basvariabel: min{ c c } j j < -5 eller välj godtycligt ntag väljs som inommande b Kriterie på utgående basvariabel: min i ai > / a utgående basvariabel ai Om väljs som inommande a utgående basvariabel

Uppgift a) LP-formulering av Kalle Kulas blandningsproblem Variabel definition X ij ntal liter av frutdrin i som används för att blanda till beställd partydryc j (i B C D F där FVatten; j (Hawaii) (Taj Mahal) Parameterdefinition C i ostnad (r/l) för frutdrin i i andel av juicesort i frutdrin i ( (apelsin) (Grapefrut) (Vinbär) (Kiwi); i B C D F) Formulering Min i C i j X ij i i i ixi i ixi i ix i i ixi i ixi i Xj j Då () X 8 () () () 5 (5) 5 () () (8) X j Bj (9) X j Cj () X 5 j Dj () X 8 j j (Liter apelsinjuice i Hawaii) (Liter grapefrutjuice i Hawaii) (Liter vinbärsjuice i Hawaii) (Liter apelsinjuice i Taj Mahal) (Liter grapefrutjuice i Taj Mahal) (Liter iwijuice i Taj Mahal) (Resurtillgång frutdrin ) (Resurtillgång frutdrin B) (Resurtillgång frutdrin C) (Resurtillgång frutdrin D) (Resurtillgång frutdrin )

F () X i F i () X i i X ij för alla i och j (fterfrågevillor Hawaii) (fterfrågevillor Taj Mahal) b) Hantering av binära produtionsvillor Variabeldefinition Om frutdrin B används i blandningen av partydryc j Y Bj annars Parameterdefinition M Stort tal (> ) Komplettering av bivillor () X B MY B (5) X B MY B () Y B Y B () Y B Y B / (binära heltalsvariabler) (8) c) Målprogrammeringsformulering Variabeldefinition d avvielse från önsat målvärdeför målsättningen att hålla nere lagret av frutdrin Parameterdefinition M Stort tal (> ) Ny målfuntion: Min M d Nya bivillor: d X X och d Notera att bivillor () i ursprungsformuleringen blir redundant med ovanstående målprogrammeringsvillor adderade till formuleringen i a) 5

Uppgift tremvärdesuppsattningen av (P) fås som optimallösningen till dess LP relaation ( ) ( ½ ) LP Första förgreningen görs över : ger relaerad lösning LP5 och som ger relaerad lösning LP Vidare förgrening görs från subproblem eftersom LP5> LP Förgreningsvariabel är i detta fall ger LP () som ger LP () Återgå till subproblem ( ) förgreningen ger att är otillåten vidare ger en optimal relaerad lösning () där Lösning: Iteration : Relaerade simpletablån: Ma s t 5 8 9 Detta ger: (/) Förgrening över Iteration Subproblem : Subproblem : LP-relaation av subproblem LP-relaation av subproblem

9 5 Ma 9 5 Ma ger (/) LP 5 ger (//) LP Iteration Subproblem Subproblem Subproblem 5 Subproblem Ma Ma Ma ger () ger () ej tillåten ger () LP LP vsöt! LP Hittills bästa tillåtna lösning till (P): Uppdatering: Båda noderna vsöta!! (LP-relaation ger heltalig lösn) vsöt!! lla noder avsöta! Bästa tillåtna lösning till (P) är optimallösningen ()

Uppgift 5 a) 5 / / / / / b) Snittmetoden ger P P P ( P P ) P ( P P ) P ( P P5 ) P ( P5 P ) P5 P Uttryc alla P i t e P Detta resulterar i 5 P P P P P P P P P P P5 P 8 Normeringsvilloret P ger P / / c) Det förväntade antalet under som går vidare till en annan attration p g a att ön är för lång λ P / 8

Uppgift a) Systemet an tolas som ett M / M / system Se graf nedan λ λ - λ λ μ μ μ μ b) Tillståndssannoliheterna för ett M / M / system följer en Poissonfördelning Därför ( λ / μ) är P ep( λ / μ) (om detta inte är beant så lös som vanligt med! snittmetoden eller rate-in-rate-out) Detta betyder att ( λ / μ) λ L P ep( λ / μ)! μ c) Notera först att medelintensiteten för den totala utströmningen av under från banen är λ eftersom medelintensiteten för undinströmningen är λ (dessa måste givetvis vara samma) Vidare är medelintensiteten för utströmningen av betjänade under μ ( P ) Det måste betyda att medelintensiteten för utströmningen av otåliga under är λ μ( P ) under per minut nm Medelintensiteten för utströmningen av otåliga under an ocså beränas enligt μ ( ) P 9