wiggo kilborn Kommunikationens betydelse Vi betonar ofta språkets roll i matematiken och att eleverna muntligt och skriftligt ska kommunicera sina idéer. I denna artikel behandlas hur språkets roll uttryckts i grundskolans kursplaner och hur detta kommit till uttryck i klassrumssituationen. Talar vi mer matematik nu? Maria Alfredsson och Liselotte Hvenfelt skrev sitt examensarbete kring detta ämne och deras arbete kommenteras här. Kommunikationens betydelse för matematikundervisningen i skolan är titeln på ett examensarbete vid lärarutbildningen i Göteborg. Arbetet har skrivits av Maria Alfredsson och Liselotte Hvenfelt med mig som handledare. Eftersom vissa delar av resultaten är intressanta vill jag kommentera deras arbete och sätta in det i ett vidare sammanhang. En av författarnas frågeställningar är om elevernas språk är sämre nu än förr och om dagens elever har ett bristande ordförråd. Detta menar åtminstone flera av de lärare de intervjuat. Dessa lärare menar att detta i sin tur påverkar matematikinlärningen negativt. För att få en bakgrund till dessa åsikter refererar författarna i sin litteraturgenomgång till vad som mer generellt har skrivits om dagens språk och språkanvändning. De citerar bl a Lindström (2002) som inte är lika negativ som lärarna till dagens svenska språkbruk, utan menar att språket i själva verket är ett innehållsrikt, fantasifullt och mångfacetterat språk (s 21). När det gäller den uråldriga frågan om språket idag är sämre än tidigare, verkar de flesta lingvister vara överens om en sak, nämligen att alla språk är funktionella åtminstone för sitt syfte. Även dagens förortsspråk som skiljer sig en hel del från rikssvenskan är funktionellt, nämligen för dem som kommunicerar med det. En helt annan, men nog så viktig fråga är vad, och med vem, man kan kommunicera med ett sådant språk. I det här fallet är kärnfrågan om dagens ungdomsspråk duger till att kommunicera matematik? Är ungdomens språk dåligt? Att tala matematik När Maria och Liselotte jämför vad man skriver om matematik och språk i de tre senaste kursplanerna så konstaterar de bland annat följande: I Lgr 62 skriver man Vid undervisningen bör ett klart och koncist språk användas och en korrekt terminologi införas allt efter elevernas ålder och förutsättningar. (s 171) I Lgr 80 skriver man Att tala matematik är en viktig del av undervisningen. (s 100) I Lpo 94 poängteras vikten av att eleverna inser värdet av och använder matematikens uttrycksformer utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang... (s 1)
En tolkning av detta är att man, via forskning om lärande, insett språkets viktiga betydelse i matematikundervisningen och att man därför efter hand skärpt kravet på hur språket används i lärandet. Visserligen skulle lärare enligt Lgr 62 använda ett klart och koncist språk i undervisningen men i Lpo 94 poängteras att eleven skall utveckla en språklig förmåga och använda matematikens uttrycksformer. Eftersom vi nu har arbetat enligt Lpo 94 i drygt tio år finns det anledning att fundera över om det verkligen blivit så. Talar eleverna mer matematik nu än tidigare och använder de ett mer funktionellt språk? Speciellt den sista frågan är intressant eftersom det inte har skrivits någon handledning i matematikterminologi sedan 1979 1. Man kan därför undra om yngre lärare känner till vilka matematiska uttrycksformer elever och lärare förväntas använda och om de inser värdet av att använda adekvata termer och uttryck i vid kommunikation i klassrummet. När det gäller valet av språk i matematikundervisningen så finns det åtminstone två olika skolor. Den ena skolan hävdar att man skall använda ett vardagsspråk. De som menar detta finner stöd i vad Johnsen Höines (1997) skriver: När vi arbetar med uppgifter har vi lätt för att korrigera, tillrättalägga och ställa krav på eleverna. Det medför att vi hämmar dem och gör dem osäkra och otrygga i användningen av sitt språk. Vi drar bort uppmärksamheten från innehållet i det som sägs genom att lägga för stor vikt vid hur vi anser att det skall utryckas. Vi rekommenderar därför att eleverna i första hand får kommunicera med det språk de redan har. (s 34) Som tidigare nämnts är vardagsspråket funktionellt för sitt syfte, nämligen för att kommunicera vardagens problem. Men vardagsspråket är ett mycket trubbigt instrument när det gäller att kommunicera och lära matematik. Den andra skolan hävdar därför vikten av att eleverna successivt lär sig använda ett entydigt språk som är mer lämpligt för att kommunicera just matematik. Utan adekvata termer kan man inte uttrycka eller förstå matematiska begrepp och därmed inte lära sig behärska dem. Risken är att man istället skapar en personligt färgad uppfattning som inte överensstämmer med de begrepp man förväntas tillägna sig. Att det krävs adekvata och entydiga termer för att tillägna sig matematiska begrepp innebär givetvis inte att man som lärare skall tala över huvudet på sina elever. Däremot är det viktigt att alla lärare, ända från förskoleklassen, successivt hjälper eleverna att utveckla ett funktionellt språk för att kommunicera matematik. Detta är en förutsättning för att eleverna skall kunna komma vidare i sina studier. Problemen med att använda ett oprecist språk i skolans matematikundervisning har beskrivits av Löwing (2004) som visar hur de flesta av de lärare som ingår i hennes lektionsstudier är mindre bra föredömen för eleverna. En ytterligare förutsättning för en meningsfull kommunikation är att lärare och elever har ett gemensamt språk och är överens om innebörden i de matematiska termer som används i undervisningen.... Mitt intryck är att de flesta lärare inte har tänkt igenom detta dilemma. De flesta använder sig, ofta alldeles i onödan, av ett tvetydigt vardagsspråk, vilket i sin tur utgör ett hinder för eleverna när det gäller att bygga upp ett mer korrekt och för framtida studier i matematik nödvändigt språk. (s 253) Problemen med att använda ett oprecist språk märks kanske inte så mycket under de första skolåren, men blir allt mer tydligt under senare skolår. Min uppfattning är att detta är en viktig förklaring till de stora problem vi idag ser på gymnasieskolans A-kurs, liksom bland många lärarstuderande. Deras språk är ofta onyanserat och saknar den precision som krävs för att de på djupet ska förstå den matematik de erbjuds. De vardagsspråk de använt under tidigare skolår har uppenbarligen aldrig utvecklats mot ett funktionellt språk för att studera matematik. 1 En ny terminologibok beräknas utkomma under 2007. Information om den finns i NCM:s produktkatalog som medföljer detta nummer och finns på NCM:s webbplats.
Talar man verkligen mer matematik i dagens skola? Om man vill ha reda på om språket under matematiklektioner har förändrats under de senaste 30 åren, så räcker det inte att fråga ett antal lärare vad de tycker. Man måste kunna backa klockan 30 år. Av det skälet erbjöd jag Maria och Liselotte att ta del av de matematiklektioner som bandades och transkriberade på 1970-talet inom ramen för PUMP-projekt (Kilborn, 1979). Dessa lektioner kunde de sedan jämföra med lektioner som med samma teknik bandades och transkriberades av Löwing (2004) i samband med hennes avhandlingsarbete. Från dessa studier valde de därefter ut två tidstypiska lektioner i skolår 4, en från 1970-talet och en från 2000-talet. Utifrån dessa dokument är det möjligt att analysera vilket språk som faktiskt användes under matematiklektionerna. Det här urvalet av lektioner är givetvis allt för litet för att göra en generell jämförelse, men studien är ändå intressant att reflektera över. Jämförelser mellan språkanvändningen under de två tidsepokerna gjordes utgående från två enkla kriterier, nämligen hur mycket eleverna talade och vilka termer lärare och elever då använde. När det gällde mängden av talad matematik kan man först och främst konstatera att man på 1970-talet undervisade matematik under större delen av matematiklektionerna. Under lektionerna från 2000-talet gick emellertid större delen av lektionerna åt till annat än matematikundervisning. Detta har noggrant utretts av Löwing (2004). Ett exempel på detta är en lektion i skolår 4. Här handlade bara 97 av 515 repliker (drag) om det matematikinnehåll eleverna skulle lära. De flesta av replikerna handlade om hur man skulle hantera undervisningsmaterialet. 120 av replikerna handlade om annat än matematik. För att ta reda på hur mycket eleverna talade under en lektion, räcker det att räkna antalet ord som eleverna använde vid varje kommunikationstillfälle. Samma metod har tidigare använts av forskare som Lundgren (1972) och Zevenbergen (2000). Resultatet av denna del av studien visas i tabellen längst ner på sidan. Man kan i ett första steg konstatera att eleverna på 1970-talet kommunicerade matematik med sin lärare nästan dubbelt så ofta som under 2000-talet eller vid 239 jämfört med 130 tillfällen. I båda fallen förekom huvuddelen av kommunikation med en elev i sänder och vid elevens bänk. Man får en uppfattning om djupet i den kommunikation som ägde rum, när man konstaterar att 62 % av all den kommunikation eleverna förde med sin lärare (om matematik) i båda fallen omfattade högst 3 ord från elevens sida. Det handlar i de här fallen inte om någon djupare kommunikation om matematik utan om enkla kontrollerande frågor och svar av typen Är det rätt? eller 24 cm. Om man istället utgår från att det krävs åtminstone fem ord för att kommunicera ett matematiskt innehåll eller en lösningsstrategi, så kan man konstatera en sådan kommunikation var betydligt vanligare år 1974 än år 2002 (19 % jämfört med 9 %). Av detta kan Antal ord Antal tillfällen år 1974 Antal tillfällen år 2000 1 ord 99 41 % 42 32 % 2 ord 29 12 % 24 18 % 3 ord 22 9 % 16 12 % 4 ord 20 8 % 18 14 % 5 ord 24 10 % 18 14 % Fler än 5 ord 45 19 % 12 9 % Summa tillfällen 239 130
man dra slutsatsen att det (under de här lektionerna) inte alls talas mer matematik idag än på 1970-talet. Man kan också fråga sig hur det är möjligt att använda matematikens uttrycksformer och att utveckla sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang när dagens elever använder högst fem ord vid 91 % av sin kommunikation med läraren. Eftersom jag är väl förtrogen med innehållet i såväl mina lektionsobservationer från 1970-talet som med Löwings lektioner, kan jag försäkra att Maria och Liselotte skulle fått i stort sett samma resultat om de valt två andra lektioner att jämföra. Den andra aspekten som Maria och Liselotte analyserade var kvaliteten i kommunikationen. De konstaterar då att lärarna under båda lektionerna (i skolår 4) använde ett nybörjarspråk med ord som plussa, gångra och fyrkant då de menade addera, multiplicera och kvadrat. En annan sak som var gemensam för de båda lektionerna var att det sällan förekom någon konkretisering. Däremot gjorde läraren på 2000-talet flera anknytningar till elevernas vardag. Om man gör en vidare jämförelse och studerar vad som händer under de övriga lektioner som transkriberades 1974 och 2002, så finner man ett annat tydligt mönster. Lärarna var på 1970-talet mycket noggrannare med att eleverna använde sig av korrekta termer och enheter. Samtidigt var undervisningen mer formell. Under 2000-talet däremot använde de flesta av lärarna ett oprecist ungdomsspråk när de kommunicerade med eleverna och tillät eleverna att använda ett liknande språk. Det är väl knappast detta som avses med kraven i Lpo 94 om att eleven skall inse värdet av och använda matematikens uttrycksformer. Detta har närmare utretts av Löwing (2004). Laborationer om cirkelområdets area Under laborationer ges unika tillfällen för läraren att introducera och för eleverna att använda ett adekvat språk för matematik. Kommunikationen vid laborationer i matematik har under senare år beskrivs i två avhandlingar, Löwing (2004) och Nilsson (2005). I båda fallen analyseras lektioner om cirkelområdets area. Vad Löwing beskriver är att det språk läraren använde ledde till missförstånd bland eleverna. Laboration kom därför att handla om att klippa och klistra, inte om att förstå den matematik som avsågs. Hon beskriver också att laborationen i sig, enligt lärobokens uppläggning, inte kunde leda till det avsedda målet. Det handlade snarare om att lotsa fram ett π 3,14 än att förstå innebörden i formeln πr 2. Ingen av eleverna i klassen kom fram till något intressant resultat av laborationen. De hade på sin höjd klippt och klistrat enligt bokens anvisningar. Nilsson lät först en grupp lärarstuderande göra ett antal laborationer, bl a om cirkelområdets area, varefter laborationerna diskuterades. Flera av de lärarstuderande uttryckte att de fått en aha-upplevelse, att de äntligen förstått innebörden i formeln πr 2. Problemet var emellertid att när dessa lärarstuderande själva skulle leda motsvarande laborationer, så lyckades de inte förmedla denna kunskap till eleverna. Även om de på en nivå förstått innebörden i vad de nyss lärt, så saknade de ett språk med vars hjälp de kunde kommunicera denna kunskap. Vad som beskrivs i dessa avhandlingar väcker två intressanta frågor. Den ena frågan gäller skillnaden mellan ett begrepp och att uppfatta detta begrepp. Vad var det de lärarstuderande hade sagt aha åt? Vad var det att de förstått? Var det ett matematiskt begrepp eller var det en personligt färgad uppfattning om detta begrepp. Detta leder till den andra frågan. När man talar matematik så sker detta utgående från ett matematiskt innehåll. Målet är att eleverna skall abstrahera detta innehåll för att senare kunna återanvända det. En viktig fråga är därför hur mycket matematik man själv måste kunna för att kunna tala matematik med sina elever. Hur var det med t ex med de lärarstuderandes språk och deras uppfattningar om matematiska begrepp? Kanske räckte inte deras språkliga bakgrund till för att assimilera cirkelområdets area på ett sådant sätt att de kunde beskriva det för eleverna. Jag ser här ett allvarligt problem i dagens matematikundervisning. Kan elevers och lärares språkbruk förklaras av att kommunikationen enligt dagens retorik blivit viktigare än det innehåll som kommuniceras? Vad var det skalden Tegnér skrev? Det dunkelt sagda är det dunkelt tänkta. 6
Elever med invandrarbakgrund Utgående från det jag just beskrivit finns det anledning att reflektera över vilka möjligheter svenska eleverna har att tillägna sig ett adekvat språk för att kommunicera matematik om deras lärare använder ett slarvigt språk samtidigt som de själva sällan ges en chans att använda språket. Ännu intressantare blir den här frågan om vi funderar över situationen för de hundratusentals elever som har en invandrarbakgrund. Vilket matematikspråk kan de tillägna sig under de just beskrivna villkoren? Vi vet också att matematikundervisningen och de strategier man använder i olika kulturer ser mycket olika ut. Men hur skall en svensk lärare kunna ta reda på en invandrad elevs uppfattningar om matematik, eller hur eleven tänker, om hon bara tillåts använda ett par ord under sina kommunikationer med läraren? Vad gör vi åt detta? Det har under en följd av år gjorts nya utvärderingar av och nya satsningar på svensk matematikundervisning. Inga av dessa satsningar har emellertid lett till någon väsentlig förbättring av de nedslående resultat som vi ständigt får ta del av. Kan en förklaring till detta vara att våra beslutsfattare är övertygade om att det som står i våra kursplaner också är vad som händer i klassrummet? Står det att man skall tala matematik så talar man matematik. Har denna uppfattning i sin tur lett till att man hittills bara analyserat skolans problem på en ytnivå och glömt bort att analysera vilken kommunikation som faktiskt sker mellan lärare och elev? Det är ju den kommunikationen som skapar förutsättningarna för att eleverna skall lära matematik. Denna artikel ska inte tolkas så att jag lägger en ny skuldbörda på lärarkåren. Jag vill snarare ställa frågan om våra lärare har fått en utbildning/kompetensutveckling som gör dem skickade att tala matematik och använda att matematikens uttrycksformer. Har de under utbildningen lärt sig så mycket matematik att de behärskar det innehåll de skall kommunicera med sina elever? Litteratur Johnsen Höines, M. (1997). Matematik som språk. Malmö: Liber. Kilborn, W. (1979). PUMP-projektet. Bakgrund och erfarenheter. Stockholm: Skolöverstyrelsen. Lindström, F. (2002). Världens dåligaste språk. Stockholm: Albert Bonniers Förlag AB. Lundgren, U. (1972). Frame Factors and the Teaching Process. A contribution to curriculum theory on teaching. Stockholm: Almquist & Wiksell. Löwing, M. (2004). Matematikundervisningens konkreta gestaltning. Göteborg: Acta Universitatus Gothoburgensis. Nilsson, G. (2005). Att äga π. Praxisnära studier av lärarstudenters arbete med geometrilaborationer. (Göteborg Studies in Educational Sciences 228) Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis. Matematikterminologi i skolan. (1979). Stockholm: Liber Utbildningsförlaget. Zevenbergen, R. (2000) Cracking the Code of Mathematics Class-room. School success as a Function og Linguistics, Social and Cultural Background. I J. Boaler (Red), Multiple Perspectives of Mathematics teaching and learning. (ss 201 223). Westport CT: Ablex Publishing. 7