Förstå matematik räkna med bägge hjärnhalvorna

Förstå matematik räkna med bägge hjärnhalvorna En försöksverksamhet har pågått på mellanstadiet i Västerås under åren 1984 1991 för att öka förståelsen av matematik, med utgångspunkt i senare årtiondens forskning om olika hjärnhalvors funktion. Projektledaren Göran Lindahl berättar om genomförande och resultat. Bakgrund De senaste årtiondenas hjärnforskning har visat vikten av att den högra hjärnhalvans möjligheter utnyttjas (Se t ex S Springer och G Deutsch: Vänster hjärna höger hjärna, Liber Förlag Malmö). Det finns risk att vänstra hjärnhalvans funktioner med bl a språkcentrum överbetonas i skolan på bekostnad av den högra som svarar för t ex bilduppfattning och helhetssyn. Syfte Att bättre utnyttja högra hjärnhalvan, när det gäller bilder, helheter och sammanhang i matematikundervisningen, bl a genom att på mellanstadiet räkna mycket med halva och tredjedelar, som kan uppfattas bildmässigt, innan tiondelar och hundradelar introduceras. Att bättre utnyttja elevernas kreativa förmåga, bl a genom att börja med enkla problem, som eleven behärskar, öka svårighetsgraden i små steg så att eleven själv kan komma på hur man ska göra. Med de ovan angivna metoderna bör det finnas möjligheter även för lågpresterande elever att förstå matematik. Inlärt stoff ska användas i större omfattning för att befästa kunskaper och färdigheter så att de kan bli en del av elevens naturliga sätt att tänka och arbeta. Material Materialet har presenterats för eleverna i form av 6 8 häften per läsår. Varje häfte har haft ett tema av matematisk natur. Exempel: Andelar av delar, Mätningar. Materialet påminner om en vanlig lärobok men skiljer sig från en dylik på några viktiga punkter: 1. Bilden intar en framträdande plats och spelar en grundläggande roll. Bilder presenteras i materialet och eleverna ritar själva bilder. 2. Enkla bråk såsom halva och tredjedelar presenteras innan decimaler införs. Halva och tredjedelar är mycket lättare att åskådliggöra än tiondelar. I åk 4 införs tiondelar i decimalform som ett speciellt sätt att skriva bråk med nämnaren tio. I åk 5 införs hundradelar och i åk 6 tusendelar. 3. Varje avsnitt börjar med så enkla uppgifter att alla eleverna kan klara dem utan någon särskild förberedelse. Uppgifternas svårighetsgrad ökar successivt men inte mer än att eleverna själva ska kunna fundera ut hur de ska gå till väga. 4. Materialet innehåller uppgifter som enbart avser att öva elevernas förmåga att tänka i bilder. Det visade sig att eleverna hade svårt att själva rita tredjedelar, femtedelar och tiondelar. Däremot kunde de lätt rita halva och 37

fjärdedelar. Därför konstruerades cirkelskivor av papp som delades i sektorformade delar. Tredjedelarna var röda, femtedelarna gröna, sjättedelarna gula och tiondelarna blå. Eleverna använde detta material då de löste problem och de kunde sedan själva tillverka halva och fjärdedelar. Det laborativa materialet hade tillverkats på följande sätt. Ur en kvadratisk pappskiva med 17 cm sida och av 1 mm tjocklek hade skurits ut en cirkelskiva med 14,5 cm diameter. Denna skiva hade sedan delats i tre, fem, sex eller tio lika stora cirkelsektorer och färglagts enligt ovan. Den del av den kvadratiska pappskivan som blev över fick sedan fungera som ram för sektorerna. Den limmades fast på en annan kvadratisk pappskiva med samma mått. Med ledning av erfarenheter har vissa förändringar i materialet företagits under försökets gång. Begreppet en tredjedel infördes först som en operation, man tog en tredjedel av något. Det visade sig att eleverna hade lättare att tänka sig en tredjedel som resultatet av en delning i tre lika delar. Många elever hade också svårt att komma på att en tredjedel måste gå tre gånger i en hel. De förstod mycket lätttare att t ex 2 tredjedelar går 4 gånger i 8 tredjedelar. Det visade sig också svårt att åskådligt demonstrera procenträkning med att dela en sak i hundra delar. Försöksklass 1 använde materialet innan dessa ändringar gjordes medan Försöksklass 2 använde det tillrättalagda materialet. Synpunkter från lärarna Eleverna på mellanstadiet har goda förutsättningar att att tänka i konkreta situationer och i bilder. De har heller inga svårigheter att förstå enkel text. Då de löser abstrakta problem har de stor hjälp av att få problemen översatta till konkreta situationer. Det är alltså tvärtemot vad som gäller på högre stadier. Där har eleverna lätt att lösa abstrakta matematiska problem men de har ofta stora svårigheter att lösa problemens konkreta motsvarigheter. Procenträkning fungerar bra i åk 4 om man tänker per hundra i stället för det som vanligen används i läroböckerna nämligen hundradelar. Det är tydligen mycket lättare att tänka sig hundra saker än att i tanken dela in något i hundra delar. Skickliga elever löser uppgifterna snabbt. De har fömåga att överföra bilderna till enkla regler och kommer snart fram till traditionell regelräkning, men, med den viktiga skillnaden mot tidigare, att det finns en bilduppfattning som grund för regeln. Elever som behöver mycket stöd har haft stor hjälp av bilder. Uppgifter som dessa elever inte klarar med enbart siffror och regler går mycket lättare att lösa med kompletterande bilder. Denna metod används vid vanlig matematikundervisning mest i samband med specialundervisning. Alla elever har haft stor nytta av att arbeta med laborativt material i form av cikelsektorer. Många uppgifter om bråkräkning har lösts med hjälp av materialet. Arbetet har varit krävande. Vissa uppgifter har varit mycket svåra. Trots detta har eleverna funnit arbetet stimulerande. Uppgifterna har engagerat alla. Att eleverna besitter stora kunskaper i matematik bevisas av att de kan lösa uppgifter som förekommer i högre årskurser med hjälp av bilder och resonemang. Talesättet En bild säger mer än tusen ord ändrar vi till En bild säger mer än tio regler och tycker att vi kommit sanningen nära. Speciellt bråkräkning har alltid betraktats som svår. Genom bilder framställs den på ett enklare sätt. De flesta elever förstår innebörden i det de räknar, vilket tidigare varit förbehållet duktiga elever. Dessutom kan eleverna genom kunskaper i bråkräkning lättare förstå decimalernas innebörd i räkning med tal i decimalform. Eleverna har fått en mycket god uppfattning om decimalkommats betydelse. Metoden att utgå från allmänna bråk och att använda bilder, har bidragit till den goda förståelsen. Att öva multiplikation av bråk likaså med hjälp av bilder gör att eleverna själva upptäcker regeln för multiplikation av tal med decimaler. Detta måste vara en riktig 38

väg i matematikundervisningen: att skapa förståelse för matematiska grundbegrepp. Vid ett besök i en av försöksklasserna frågade jag: Vad är 0,2 gånger 0,3?. Flera händer viftade ivrigt och svaret var för många självklart: 0,06. På frågan hur man kunde veta det var åter flera händer i luften. Det kom förklaringar som Om man skriver det som tiondelar ser man bättre, Delar man tiondelar i tio delar blir det ju hundradelar och Tiondelar av tiondelar måste bli hundradelar. Det verkar inte vara något tvivel om att eleverna begripit reglerna för räkning med tal i decimalform och decimalkommats placering. Jag vill gärna tro att detta beror på att de fått syssla med halva och tredjedelar innan de börjat räkna med decimaler. Materialet är emellertid krävande för en del elever. Uppgifterna har varierat så att man hela tiden måste tanka efter. Det kan vara svårt att i en stundom orolig miljö kunna sitta och fundera i lugn och ro. Eleverna vill ha besked om hur de ska göra och hur de ska skriva. Många har svårt att på egen hand upptäcka samband. Läraren får här en uppgift att bidra med goda råd. Detta kan vara betungande och undervisningssituationen har varit minst lika arbetssam som vid vanlig undervisning. varit dålig. Många tal är för lika. Det blir enformigt. Det är bättre med lite omväxling. I slutet av varje avsnitt borde det finnas lite kluriga och knepiga uppgifter. Det har varit jobbigt men inte för jobbigt. Elevernas attityder För att undersöka om elevernas inställning till matematikämnet skulle vara annorlunda i en klass som använde försöksmaterialet än i en klass som använde en konventionell lärobok gavs under höstterminen ett attitydtest i åk 5 i försöksklasserna och i tre kontrollklasser. Eleverna skulle uppge vilket ämne de tyckte var roligast, näst roligast och tråkigast (en elev ändrade tråkigast till minst roliga ). De skulle vidare uppge vilket ämne som var svårast, näst svårast och lättast, och dessutom vilket ämne de trodde var nyttigast, näst nyttigast eller minst nyttigt. Resultaten i nedanstående diagram. I kontrollklasserna ingick 79 elever och i de två försöksklasserna 41 elever. Staplarna visar hur många elever som anser att matematikämnet är det roligaste eller näst roligaste, det svåraste eller näst svåraste samt det nyttigaste eller näst nyttigaste. Synpunkter från eleverna Vid samtal med eleverna i försöksklasserna har följande framkommit. En del elever tycker att det är bra med flera små häften. Andra föredrar att allt är samlat i en bok. Det är bra med mycket bilder. Det är bättre med bilder i boken än att man måste rita själv. Det laborativa materialet är bra att ha då man börjar med delar. Halva och fjärdedelar behövs inte då vi kan tillverka sådana själva. Det var också trevligt att få tillverka olika mått. Det är bra att börja med halva och tredjedelar innan man börjar med decimaler. Man förstår decimaler bättre då. Jättebra böcker då det gäller innehållet. Den tekniska kvaliten har dock varit dålig. Häftena har fallit sönder och lay outen har 39

Försöksklassernas elever tycker tydligen att matematik är ett något svårare ämne än vad eleverna i kontrollklasserna tycker. Detta kan hänga samman med att eleverna i försöksklasserna oftare ställs inför problem som kräver funderande för att kunna klaras. Det framgår också av diagrammet att det är färre elever i försöksklasserna som tror att matematik är ett nyttigt ämne. Detta kan hänga samman med att dessa elever inte sysslar så mycket med kronor och ören som de övriga. De sysslar däremot mer med halva och tredjedelar. För att utröna om försökselevernas inställning i denna fråga ändras då de sysslar med fler tillämpningar gavs samma attitydtest i en av försöksklasserna i slutet av åk 6. Det visade sig då att 95 % av eleverna i denna försöksklass ansåg att matematik var det nyttigaste eller näst nyttigaste ämnet. Utvärdering Den viktigaste utvärderingen ligger i lärarnas redovisade omdömen. För att få en något mer objektiv värdering jämfördes eleverna i försöksklasserna med eleverna i några slumpvis valda kontrollklasser. Såväl försöksklasser som kontrollklasser fick en provräkning i slutet av åk 3. Försöksklass 2 fick dock provet i början av åk 4. Man skulle då kunna se om klasserna var någorlunda jämna från början. Jämförelsen upprepades i slutet av åk 6. Alla klasserna fick då samma diagnostiska prov. Provet innehöll endast sådant som eleverna i kontrollklasserna som läst en traditionell kurs skulle kunna klara. Avsikten var att undersöka om eleverna i försöksklasserna som ägnat en stor del av tiden åt räkning med bråk hade blivit sämre i sådant som traditionellt ingick i kursen eller kanske rentav bättre. Klasserna har inte varit helt oförändrade under försökets gång. En del elever har slutat och andra har tillkommit. En av kontrollklasserna delades upp i två men eleverna fanns fortfarande kvar bland de utvalda kontrollklasserna. Förändringarna torde dock inte vara större än att eleverna kan jämföras klassvis. Resultatet redovisas i det följande. Då de båda försöksklasserna arbetat under något olika förhållanden redovisas de var för sig. Försöksklass 1 var parallellklass till kontrollklasserna. Försöksklass 2 startade ett år senare. Med ledning av erfarenheter modifierades försöksmaterialet för denna. Speciellt division med bråk gjordes enklare. Dessutom användes ett speciellt laborativt material i försöksklass 2. Om man vill bedöma det slutliga försöksmaterialet rättvist bör man jämföra kontrollklasserna med försöksklass 2. Uppgift 1 Beräkna a) 32,6 + 29 b) 153 + 32 24 Algoritmräkning med tal i decimalform. Ingen försämring kan ses hos försöksklasserna jämfört med kontrollklasserna. Uppgift 2 Hur lång tid är det från kvart i nio till tjugu över tolv samma dag. Svara i timmar och minuter. Alla klasserna klarade detta bra. Uppgift 3 Stina drar en rät linje åt nordost på ett papper. Erik drar en linje åt nordväst på samma papper. Hur många grader är vinkeln mellan dessa linjer? Alla klasserna klarade detta bra utom försöksklass 1 som inte hunnit behandla detta område vid tidpunkten för provet. Uppgift 4 Fyra personer ska dela på 6 stycken pizzor. Hur mycket pizza får var och en? Denna uppgift tycker man borde premiera försöksklasserna som sysslat med sådana problem. Resultatet visar emellertid att samtliga elever klarat detta problem mycket bra. Även elever som inte sysslat med halva kan lätt lösa ett sådant problem. 40

Uppgift 5 Kalle har sju lektioner en dag. Varje lektion är 40 minuter lång. Hur många timmar och minuter har Kalle lektioner den dagen? Uppgiften har klarats hyggligt av kontrollklasserna och försöksklass 2. Försöksklass 1 har något sämre resultat. Uppgift 6 Hur mycket är hälften av en tredjedel? Uppgift 6 borde premiera försöksklasserna och det framgår att de fått bättre resultat än kontrollklasserna. Det är emellertid anmärkningsvärt att så många av eleverna i kontrollklasserna kunde klara en sådan uppgift fast den kanske inte behandlats alls i skolan. Uppgift 7 En meter koppartråd väger 0,3 kg. Vad väger 0,2 meter koppartråd? Detta får anses vara en svår uppgift på mellanstadiet. Resultatet är hyggligt för kontrollklasserna och försöksklass 1. För försöksklass 2 är resultatet mycket bra. Uppgift 8 Man bär hinkar med vatten för att fylla en bassäng som har måtten 8 dm, 5 dm och 2 dm. Hur många gånger måste man tömma en hink i bassängen för att denna ska bli fylld? Varje hink rymmer 10 liter. (Figur var ritad.) Samtliga klasser har klarat denna inte alldeles lätta uppgift bra. För att undersöka om försöksklasser och kontrollklasser hade jämförbara kunskaper och färdigheter vid försökets början hade eleverna fått lösa några uppgifter i slutet av åk 3. Resultatet för de olika klasserna redovisas på nästa sida. Diagrammet visar att försöksklass 2 var något sämre än de övriga klasserna i åk 3, men något bättre i åk 6. Det låga värdet i åk 3 kan bero på att provet gick först i början av åk 4. Det låga värdet för försöksklass 1 i åk 6 beror delvis på att en uppgift berörde moment som inte behandlats. Dessutom var försöksmaterialet för denna klass onödigt betungande. 41

Sammanfattning Försöket avsåg att undersöka om det är möjligt att öka förståelsen av matematik genom användning av bilder. Försöket har visat: Det är möjligt att förstå enkel bråkräkning på mellanstadiet med hjälp av bilder, även för svaga elever. Många elever har möjlighet att själva upptäcka regler och samband om man använder en metod med små steg. Det blir krävande genom att det fordrar eftertanke. Laborativt material, i form av cirkelsektorer som delar, stöder förståelsen. Kunskaper och färdigheter i vanlig matematik blir inte sämre. Fortsättning Materialet kan revideras ytterligare med ledning av de vunna erfarenheterna. Det kunde vara av intresse att se hur andra Svarta staplar visar andelen lösta uppgifter i åk 3, streckade staplar andelen lösta uppgifter i åk 6. grupper av elever på mellanstadiet skulle tillgodogöra sig ett reviderat material. Det kunde även vara av intresse att följa eleverna från försöksklasserna i högstadiet och gymnasieskolan. Sådana undersökningar ligger dock utanför ramen för vårt försök som härmed avslutas. Matematikprov och lärarprestation av Ulla Runesson och Mats Ekholm Diagnoser brukar användas för att undersöka vad eleverna kan och inte kan. Den här boken redovisar relationen mellan olika typer av pedagogiska insatser och ett antal elevkullars utveckling under åk 4 6, mätt med just diagnoser. I boken diskuteras också mer allmänt hur man kan utnyttja mätningarna för att utveckla sin undervisning och analysera eventuella fortbildningsbehov. Boken är på ca 100 sidor och kan beställas från Universitetet i Linköping Fortbildningsnämnden 581 83 LINKOPING 42