1(5) Kursplan Institutionen för naturvetenskap och teknik Matematik B, 30 högskolepoäng Mathematics, Intermediate Course, 30 Credits Kurskod: MA2000 Utbildningsområde: Naturvetenskapliga området Huvudområde: Matematik Högskolepoäng: 30 Ämnesgrupp (SCB): Matematik Utbildningsnivå: Grundnivå Fördjupning: G1F Inrättad: 2006-11-27 Senast ändrad: 2014-09-24 Giltig fr.o.m.: Vårterminen 2015 Beslutad av: Prefekt Mål Mål för utbildning på grundnivå Utbildning på grundnivå ska utveckla studenternas - förmåga att göra självständiga och kritiska bedömningar, - förmåga att självständigt urskilja, formulera och lösa problem, och - beredskap att möta förändringar i arbetslivet. Inom det område som utbildningen avser ska studenterna, utöver kunskaper och färdigheter, utveckla förmåga att - söka och värdera kunskap på vetenskaplig nivå, - följa kunskapsutvecklingen, och - utbyta kunskaper även med personer utan specialkunskaper inom området. (1 kap. 8 högskolelagen) Kursens mål Kunskap och förståelse Efter avslutad kurs ska den studerande - ha grundläggande kunskaper om funktioner av flera variabler, deras gränsvärden och kontinuitet - ha grundläggande kunskaper om begrepp, metoder och användningsområden för differential- och integralkalkyl med funktioner av flera variabler - ha grundläggande kunskaper om numerisk och symbolisk beräkning inom differential- och integralkalkyl i en, två och tre dimensioner med hjälp av Matlab - känna till de begrepp som används i delkursen Kombinatorik och kunna använda dessa i diskussioner och problemlösningar - kunna grunderna för generella vektorrum, inre produktrum och linjära transformationer - kunna de grundläggande principerna inom numerisk analys - kunna till de viktigaste numeriska metoderna för interpolation, linjära och ickelinjära ekvationssystem, minstakvadratproblem, ordinära differentialekvationer samt deras konvergensegenskaper - ha en systematisk bild av olika slags matematiska modeller, och hur de kan användas inom olika områden - ha medvetenhet om inte enbart klassiska matematiska modeller, utan också modeller som är vanliga inom datoranvändning - ha kännedom om etik och genusproblem inom matematik - ha perspektiv på betydelsen av matematisk modellering och problemlösning i allmänhet. Färdighet och förmåga Efter avslutad kurs ska den studerande kunna - definiera, beräkna och använda partiella derivator, gradienter och riktningsderivator - lösa enklare partiella differentialekvationer av 1:a och 2:a ordningen och optimeringsproblem
2(5) samt kunna analysera och utvärdera resultatet - hantera derivering av implicit givna funktioner - beräkna dubbel- och trippelintegraler med hjälp av variabelbyten och upprepad integration - beräkna generaliserade dubbel- och trippelintegraler - använda Greens formel, Stokes sats och potentialfunktioner för beräkning av kurvintegraler - använda Gauss sats för beräkning av flödesintegraler - beskriva lösningar till problem i flervariabelanalys på ett logiskt sammanhängande och matematiskt korrekt sätt - plotta kurvor och ytor i R^3 med nivåkurvor (ytor) - beräkna derivator i flera variabler numeriskt och symboliskt - ta fram Taylorutvecklingar i flera variabler symboliskt - bestämma extremvärden numerisk och symboliskt - beräkna dubbel- och trippelintegraler numeriskt och symboliskt på enkla områden - beräkna gradient, divergens och rotation symboliskt och numeriskt - elementär vektoralgebra med symboliska uttryck - lösa kombinatoriska problem med de metoder som delkursen innehåller - skriftligt och muntligt presentera en problemlösning på ett tydligt, begripligt och pedagogiskt sätt - bestämma de fyra fundamentala underrummen av en matris - beräkna och använda egenvärden och egenvektorer av en matris - definiera och använda geometriska begrepp i inre produktrum - diagonalisera symmetriska matriser och använda kvadratiska former - definiera och använda begreppen stabilitet, kondition, störningskänslighet och fel - använda och analysera de enklare direkta och iterativa metoderna för linjära och ickelinjära ekvationssystem samt deras störningskänslighet respektive konvergens - använda och analysera de viktigaste metoderna för interpolation - använda och analysera de viktigaste metoderna för linjära minstakvadratproblem - använda och analysera de viktigaste differensapproximationerna - använda och analysera de principiellt viktigaste numeriska metoderna för ordinära differentialekvationer och enkelintegraler - lösa matematiska problem av allmän karaktär - skapa, använda och utvärdera matematiska modeller inom olika och eventuellt nya tillämpningsområden - använda LaTeX för att skriftligt presentera matematik på ett korrekt sätt - presentera ett matematiskt innehåll muntligt. Värderingsförmåga och förhållningssätt Efter avslutad kurs ska den studerande kunna - värdera given information avseende relevans för lösningen av problem inom kursens områden - värdera rimligheten i erhållna resultat - värdera kvaliteten i en given problemlösning - bedöma behovet av etiska och samhälleliga bedömningar inom tillämpade problem - bedöma om problem är lämpliga för lösning med matematiska metoder eller modeller - värdera innehåll och framställning i en skriftlig och muntlig presentation av för studenten okänd matematik. Kursens huvudsakliga innehåll Kursen består av följande delkurser: Delkurs 1 Flervariabelanalys, 9 högskolepoäng (Multivariate Calculus, 9 credits): Topologiska grundbegrepp för rummet R^n. Funktioner av flera variabler. Vektorvärda funktioner. Funktionsytor, nivåkurvor och nivåytor. Gränsvärde och kontinuitet. Partiella derivator och differentierbarhet. Gradient, normal och tangentplan. Kedjeregeln. Riktningsderivata. Funktionalmatris och funktionaldeterminant. Taylors formel. Lokala maxima och minima. Differentialer. Implicita funktioner och deras derivator. Optimering på kompakta områden och optimering med bivillkor. Dubbel- och trippelintegraler. Upprepad integration. Variabelbyte. Tillämpningar på area, volym, massa och tyngdpunkt. Generaliserade multipelintegraler. Kurvor och ytor på parameterform. Tangent och normal. Orientering. Båglängd och area av buktig yta. Kurvintegraler i planet. Greens formel. Potentialer och differentialformer. Exakta differentialformer. Kurv-och ytintegraler i rummet. Gauss och Stokes satser. Nablaräkning. Plotta kurvor och ytor i R^3 samt dess projektioner i olika koordinatplan (nivåkurvor och nivåytor). Numerisk och symbolisk derivata i flera variabler inkluderande gradient, Jakobian, Hessian samt
3(5) illustration av tangentplan i R^3. Symbolisk Taylorutveckling i flera variabler. Bestämma extremvärden numerisk och symboliskt utan och med bivillkor. Gradientmetoden. Numerisk och symbolisk integration genom upprepad integration på enkla integrationsdomäner. Numerisk och symbolisk beräkning av rotation och divergens. Elementär vektoralgebra med symboliska uttryck. Delkurs 2 Kombinatorik, 6 högskolepoäng (Combinatorics, 6 credits): Grundläggande kombinatoriska principer, postfacksprincipen, sållprincipen. Binomialkoefficienter, Fibonaccital, Catalantal. Permutationer. Grafer, träd, Eulerstigar, Hamiltoncykler, graffärgningar, matchningar. Delkurs 3 Beräkningsmatematik I, 9 högskolepoäng (Computational Mathematics I, 9 credits): Reella matrisers egenskaper. Matristransformationer. Flyttalsrepresentation. Framåt- och bakåt felanalys. Gausselimination med pivotering. LU-faktorisering. Kondition, stabilitet och komplexitet för metoder för linjära ekvationssystem. Inre produktrum och kvadratiska former. Konjugerade gradientmetoden. Grundläggande egenskaper och metoder för egenvärdesproblem. Intervallhalvering. Fixpunktiteration. Newtons metod. Sekantmetoden. Konvergens av iterativa metoder för ickelinjära ekvationer. Newton och Broydens metod för system av ickelinjära ekvationer. Linjära transformationer. Polynominterpolation med feluppskattning. Kubiska splines. Normalekvationerna. QR-faktorisering. Gram-Schmidt och Householder. Finita differenser med felanalys och extrapolation. Newton-Cotes för integraler med felanalys och extrapolation. Adaptiv kvadratur och Gausskvadratur. Euler framåt och Euler bakåt. Lokalt och globalt fel. Stabilitet, konsistens och konvergens. Runge-Kutta-metoder. Styva problem. Tillämpningar inom naturvetenskap och ekonomi. Matlabprogrammering. Delkurs 4 Matematisk modellering och problemlösning, 6 högskolepoäng (Mathematical Modelling and Problem Solving, 6 credits): Strategier för modellering och problemslösning inom följande områden: - Funktioner och ekvationer. Betydelsen av olika matematiska uttryck och hur de kan motiveras. Hur man kan finna och anpassa funktioner till experimentella data. - Optimeringsmodeller. Matematisk programmering inom ekonomi och beslutsstöd. - Dynamiska modeller. Simulering inom biologi, fysik och teknik. - Hermeneutisk problemlösning. Strategier för att bryta upp problem. - Diskreta modeller. Grafer och nät för modellering av projekt och aktiviteter, modellering med diskreta standardproblem och satslogik, planering. Studieformer Undervisningen består av föreläsningar, problemseminarier, datorlaborationer och handledning. Om kursen endast får ett fåtal registrerade deltagare kan ovan beskrivna undervisningsformer helt eller delvis ersättas av handledning och självstudier. Den som antagits till och registrerats på en kurs har rätt att erhålla undervisning och/eller handledning under den tid som angavs för kurstillfället som den sökande blivit antagen till (se universitetets antagningsordning). Därefter upphör rätten till undervisning och/eller handledning. Examinationsformer Flervariabelanalys, teori, 7,5 högskolepoäng. (Provkod: 1300) Salstentamen. Flervariabelanalys, datorstödda beräkningar, 1,5 högskolepoäng. (Provkod: 1400) Muntlig redovisning av datorlaborationer. Kombinatorik, 6 högskolepoäng. (Provkod: 1500) Skriftlig och muntlig redovisning av inlämningsuppgifter. Beräkningsmatematik I, teori, 4 högskolepoäng. (Provkod: 1600) Salstentamen. Beräkningsmatematik I, datorstödda beräkningar, 5 högskolepoäng. (Provkod: 1700) Skriftlig och muntlig redovisning av inlämningsuppgifter. Matematisk modellering och problemlösning, projekt, 5 högskolepoäng. (Provkod: 1800) Skriftlig och muntlig redovisning av projekt.
4(5) Matematisk modellering och problemlösning, teori, 1 högskolepoäng. (Provkod: 1900) Kontrollskrivning. För ytterligare information se universitetets regler för examination inom utbildning på grundnivå och avancerad nivå. Betyg Enligt 6 kap. 18 högskoleförordningen ska betyg sättas på en genomgången kurs om inte universitetet föreskriver något annat. Universitetet får föreskriva vilket betygssystem som ska användas. Betyget ska beslutas av en av universitetet särskilt utsedd lärare (examinator). Enligt föreskrifter om betygssystem för utbildning på grundnivå och avancerad nivå (rektors beslut 2010-10-19, dnr CF 12-540/2010) ska som betyg användas något av uttrycken underkänd, godkänd eller väl godkänd. Rektor eller den rektor bestämmer får besluta om undantag från denna bestämmelse för en viss kurs om det finns särskilda skäl. Som betyg på kursen används Underkänd (U), Godkänd (G) eller Väl Godkänd (VG). Flervariabelanalys, teori Flervariabelanalys, datorstödda beräkningar Som betyg används Underkänd (U) eller Godkänd (G). Kombinatorik Beräkningsmatematik I, teori Beräkningsmatematik I, datorstödda beräkningar Matematisk modellering och problemlösning, projekt Matematisk modellering och problemlösning, teori Som betyg används Underkänd (U) eller Godkänd (G). Betyg på hel kurs För att få betyg Väl Godkänd (VG) på kursen som helhet krävs Väl Godkänd (VG) på examinationsmoment motsvarande minst 14 hp. För ytterligare information se universitetets regler för examination inom utbildning på grundnivå och avancerad nivå. Särskild behörighet och andra villkor Matematik A, 30 högskolepoäng. För ytterligare information se universitetets antagningsordning. Tillgodoräknande av tidigare utbildning Student som tidigare genomgått utbildning eller fullgjort annan verksamhet ska enligt högskoleförordningen tillgodoräknas detta som en del av den aktuella utbildningen under förutsättning att den tidigare utbildningen eller verksamheten uppfyller vissa krav. För ytterligare information se universitetets lokala regler för tillgodoräknanden. Övriga föreskrifter Hela eller delar av kursen kan komma att ges på engelska.
5(5) Kurslitteratur och övriga läromedel Delkurs 1: Obligatorisk litteratur Lunds tekniska högskola, Matematiska institutionen (senaste upplagan) Övningar i Analys i flera variablar Studentlitteratur Persson, Arne & Böijers, Lars-Christer (senaste upplagan) Analys i flera variabler Studentlitteratur Delkurs 2: Obligatorisk litteratur Harris John M, Hirst Jeffry L, Mossinghoff Michael J (senste upplagan) Combinatorics and Graph Theory Springer Delkurs 3: Obligatorisk litteratur Anton, Howard and Rorres, Chris (tionde upplagan) (2010) Elementary Linear Algebra: Applications Version John Wiley Sons Sauer, Timothy (senaste upplagan) Numerical Analysis, 2/E Pearson Delkurs 4: Obligatorisk litteratur Giordano, Frank, Fox, William, Horton, Steven (2002) A first course in mathematical modeling Brooks/Cole Pólya, George (1957) How to solve it, 2nd edition Anchor Books, Garden City, NY