Astrid Karlsson Mönsterproblem i dubbel bemärkelse Med utgångspunkt i det rika problemet Stenplattor synliggörs skillnader i elevers lösningar och hur problem som behandlar mönster kan leda in eleverna i ett algebraiskt tänkande. Under hösten 2008 deltog jag i en kurs som hette Matematikundervisning som utvecklingsprojekt. Uppgiften var att planera en lektion med målet att ge eleverna ett optimalt lärande. I grupp analyserade jag och några andra kursdeltagare videoinspelade lektioner och omarbetade sedan våra lektionsplaneringar. Jag genomförde mina lektioner i en grupp som bestod av 16 elever, 8 9 år gamla. Att arbeta med mönster Jag valde att arbeta med det matematiska begreppet mönster. Under kursen läste vi en mängd litteratur och jag tog intryck av flera artiklar i Algebra för alla (1997). Eleverna ser mönster överallt, det gäller bara att kunna upptäcka, identifiera och reflektera över dem. För att kunna beskriva ett mönster krävs ett väl fungerande språk. I början räcker elevernas vardagsspråk, men allteftersom krävs det en mer specifik matematisk terminologi. En anledning till att det är viktigt att eleverna får tillfälle att arbeta med uppgifter som behandlar mönster är att det kan hjälpa dem att förstå hur algebraiska uttryck kan skapas och även ge möjlighet till förståelse för variabelbegreppet. I arbetet med mönster finns det olika sätt att närma sig det algebraiska tänkandet. Eleverna kan öva sitt strukturella tänkande genom att upptäcka mönster, se ett talmönster och sammanfatta det i en regel eller formel. De kan även tolka ett geometriskt mönster med en taltabell och sedan undersöka vad de funnit i sin tabell vilket kan resultera i en generalisering. Ett tredje sätt är att eleverna får beskriva ett mönster genom att använda det talade språket eller skriva med vanliga ord. Det är viktigt att skolan ger eleverna möjlighet att utveckla dessa olika sätt att bearbeta mönster innan man börjar med undervisningen där eleverna ska hantera storheter och okända tal med bokstäver. Ett rikt problem ska introducera viktiga matematiska idéer vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med det upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid kunna lösas på flera olika sätt, med olika matematiska idéer och representationer kunna initiera matematiska resonemang utifrån elevernas skilda lösningar, ett resonemang som visar på olika matematiska idéer kunna fungera som brobyggare mellan olika matematiska områden kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem. (Hagland, Hedrén & Taflin, 2005b) 27
Problemet Full av inspiration från artiklar i Nämnaren och från japanska lärares sätt att planera och undervisa (Stigler & Hiebert, 1999) planerade jag två lektionstillfällen där eleverna skulle få arbeta med ett rikt problem. Båda lektionerna indelades i fem faser där lärarens och elevens roll gjordes tydliga. Första lektionen genomfördes i halvklass och den andra lektionen i helklass. Rika problem är rika på många sätt. När eleverna arbetar med dem utvecklar de sin problemlösningsförmåga och alla elever, både de som är i behov av särskilt stöd och elever som behöver utmaningar kan arbeta med dem. Uppgifterna utgår från konkreta händelser och har olika matematiska idéer inbakade i problemformuleringen. Jag valde att presentera en förenklad variant av uppgiften Stenplattor som presenterats av Hedrén, Taflin, Hagland (2005a,b) och diskuterats av Malmberg (2010). Annas pappa lägger nytt kakel i badrummet. Han använder kvadratiska stenplattor, mörka och ljusa. Så här ser det ut: figur 1 figur 2 figur 3 a) Hur många ljusa stenplattor går det åt till figur 5? b) Hur många ljusa stenplattor går det åt till figur 10? c) Hur många ljusa stenplattor går det åt till figur 100? d) Hitta på ett liknande problem. Lös det. Vid första lektionstillfället fick eleverna arbeta med uppgift a c. Uppgift d gavs som en diagnostisk uppgift vid den andra lektionen. Lösningar från den första lektionen Tretton elever lämnade en skriftlig redovisning. Två av dessa gav korrekta svar på alla frågor: Elev 1 Har ritat figur 5 och figur 10. Har förklarat aritmetiskt 5 5 = 25 och 10 10 = 100 Har svarat Det är 25 ljusa plattor och Det är 100 ljusa plattor. På fråga c svarar eleven med ord: Den sista figuren 100. Det är 10 000 ljusa plattor. Jag tänkte 100 100 = 10 000 Elev 2 Har redovisat sina svar i två kolumner, som om det var en tabell. Den första kolumnen anger figurens nummer och den andra kolumnen anger antal ljusa stenplattor. Eleven förklarade med ord: Vi har räknat multitabell. 28
De här två eleverna satt bredvid varandra och använde samma strategi för att lösa problemet. De valde däremot olika uttrycksformer i sin redovisning. Nio elever lyckades redovisa delar av problemet och de hade löst det på flera olika sätt: 1 Utgått från första radens mörka stenplattor som gav talföljden 3, 4, 5. Nästkommande figur hade då 6 mörka stenplattor i första raden och eftersom figurens form var känd, en kvadrat, kunde resten sedan ritas ut. Beräkningarna gav rätt svar. 2 Utgått från den mörka ramen som gav talföljden 8, 12, 16. Nästa ram skulle då innehålla 20 mörka stenplattor och när den var ritad fylldes de ljusa stenplattorna i. Beräkningarna gav inte rätt svar. Eleverna hade inte följt linjerna på det rutade pappret och fick svårigheter när de skulle fylla i de ljusa plattornas antal. 3 Utgått från de vita stenplattorna och använt areabegreppet. Några förklarade sin lösning muntligt och några med en aritmetisk uttrycksform: 1 1 = 1 2 2 = 4 3 3 = 9 4 4 = 16 5 5 = 25... 10 10 = 100 4 En elev arbetade med strategin rekursion. Det ökar med udda tal. Först var det 1, sen blev det 3 mer, sen blev det 5 mer, sen 7, 9, 11,... Det eleven visade på sitt arbetsblad var 3 mer än föregående (1 + 3), 5 mer än föregående (4 + 5), 7 mer än föregående (9 + 7). Två elever redovisade ett talmönster som de ritat (en med streck och en med kvadrater). En av eleverna översatte mönstret till en talföljd med siffror. En elev gav en muntlig redovisning av lösning 1 ovan och angav en talföljd. Tolv av eleverna förklarade sina lösningar med en konkret uttrycksform som de kompletterade med muntligt framförda resonemang. Den elev som gjorde en tabell ritade ingen bild. En elev använde en muntlig uttrycksform. En elev uttryckte en regel utifrån de mörka stenplattornas ram de svarta ökar med 4. En elev uttryckte en regel utifrån de vita stenplattorna de ökar med udda tal. Eleverna uttryckte sig i huvudsak på ett vardagligt språk. Lösningar från den andra lektionen Eleverna fick i uppgift att göra egna problem med matematiska mönster som de sedan presenterade. I elevernas lösningar återfinns olika aritmetiska talföljder 1, 2, 3,... (ökar med ett), 2, 4, 6,... (ökar med två), 2, 5, 8,... (ökar med tre), 1, 3, 5, 7,... (ökar med två) och 7, 11, 15... (ökar med fyra). Även nya idéer redovisades där eleverna arbetat med geometriska talföljder som 1, 2, 4,... (dubbelt så stor) och 8, 32, 128,... (fyra gånger så stor). Många elever beskrev hur figurerna växte med en regel det ökar med... Eleverna presenterade talföljder men det var inte så lätt för dem att använda ordet talföljd. 29
Elevernas egna problem kan tydligt indelas i tre olika kategorier: 1 Problem som tydligt liknar det ursprungliga problemet, där ändringar gjorts i siffror eller frågor. 2 Problem som visar olika geometriska figurer som växer på ett speciellt sätt vilket kan beskrivas med en talföljd. 3 Problem som handlar om vardagssituationer som kan lösas genom användning av en talföljd. 1 2 3 En skomakare hade 7 hästskor. Han får ytterligare 4 skor för varje dag. Eleven har ritat hästskor och skrivit: Dag 1. 7 hästskor Dag 2. 11 hästskor Dag 3. 15 hästskor Frågan: Hur många hästskor får han på två veckor? Eleven har löst problemet genom att göra ett vågrätt rutmönster med 14 rutor och markerat att varje ruta motsvarar en dag. Beräkningen har inte lett fram till rätt svar. Eleven har ritat tre ormar som växer på ett speciellt sätt. Ormarna är numrerade med 1, 2 och 3. En instruktion ges: Obs, huvud ingår ej. Fråga 1: Hur mycket ökar ormen? Eleven svarar genom att skriva in ökningar på orm 3. Det ökar med 1 i framändan, ökar med 2 på mitten och ökar med 1 i svansen. Som fråga 2 föreslår eleven muntligt Hur lång är femte ormen? Eleven har ritat tre blommor som växer och markerat under bilderna vecka 1, vecka 2, vecka 3. Blommorna är 1, 2 respektive 3 rutor långa. Fråga 1: Hur växer blomman? Fråga 2: Hur kommer blomman att se ut om en vecka? Vid en muntlig förklaring förtydligas att eleven menar hur lång blomman kommer att vara. Eleven svarar muntligt på sin uppgift. Den här eleven har påbörjat en ny uppgift vid sidan om den gamla. Där finns en bild av en blomma som är 10 rutor lång. Eleven har skrivit en fråga: Hur lång är blomman nu? Min reflektion över den lilla extra uppgiften är att den naturliga följdfrågan skulle kunna vara: Hur länge har blomman växt? Erfarenheter från studien Det sätt som eleverna tog sig an uppgiften, intensiteten och kreativiteten som de visade under arbetet, var fantastisk att uppleva. Alla siffror kanske inte blev så fina och alla streck följde inte rutmönstret på pappret, men mitt i all denna krokighet presenterade de talföljder och talmönster. De konstruerade olika geometriska mönster, diskuterade hur mönstret förändrades och pratade om hur det ökade. 30
Eleverna visade ett stort engagemang och arbetsglädje men det fanns en elev som inte tyckte uppgiften var rolig. Den här eleven behövde ledtrådar för att komma igång med problemlösningen. Eleven köpte inte mitt förslag utan arbetade vidare på ett förslag från en kamrat. Det finns studier som visar på en risk att läraren och eleven pratar förbi varandra och eleverna tycker att lärarna ofta krånglar till det för mycket. Japanska lärare hjälper elever som inte kommer igång genom att erbjuda färdiga, genomtänkta ledtrådar som de kan använda om de behöver. Många elevers första fråga i det egna problemet var Hur mycket ökar...? Det kanske är ett förslag på en första ledtråd eftersom det verkar vara en naturlig första fråga för eleverna. Alla elever har visat förmåga att kunna beskriva mönster i enkla talföljder samt förmåga att kunna fortsätta konstruera enkla geometriska mönster vilket ingick som mål för årskurs 3 i Lpo94. De flesta eleverna löste uppgiften genom att med en talföljd beskriva hur mönstret förändrades. En elev ritade först förändringen i de ljusa plattornas antal med streck som sedan översattes till en talföljd. Den elev som inte redovisade en talföljd i det inledande problemet visade det i sitt eget problem. De elever som inte hade fortsatt och ritat bilder i problemet Stenplattor ritade en serie bilder av ett mönster som växte på ett speciellt sätt i sina egna problem. När eleverna skapade sina egna problem arbetade de väldigt medvetet med talföljder. Många elever har visat förmåga att kunna upptäcka talmönster samt förmåga att kunna känna igen och beskriva några viktiga egenskaper hos mönster vilket var ett mål att uppnå i årskurs 5 enligt Lpo94. När eleverna, på egen hand, hittade en strategi att lösa problemet Stenplattor visade de att de hade upptäckt ett talmönster. En elev beskrev förändringen i mönstrets ram i det inledande problemet: det ökar med fyra och en elev beskrev en förändring utifrån de vita stenplattorna, de ökar med udda tal.... Min erfarenhet är att rika problem som det jag här diskuterat ger den balans som styrdokumentet menar ska finnas i matematikundervisningen för att eleverna ska bli framgångsrika i matematik. De manar till kreativitet, ger eleverna möjlighet att kommunicera, vara aktiva, söka nya insikter och lösningar på problem. Litteratur Ahlström, R. (red) (1996). Matematik ett kommunikationsämne. (1996) NämnarenTe m a. NCM, Göteborgs universitet. Bergsten, C., Häggström, J. & Lindberg, L. (1997). Algebra för alla. NämnarenTe m a. NCM, Göteborgs universitet. Hagland, K., Hedrén, R. & Taflin, E. (2005a). Rika matematiska problem: inspiration till variation. Stockholm: Liber. Hagland, K., Hedrén, R. & Taflin, E. (2005b) Vad menar vi med rika problem och vad är de bra till? Nämnaren nr 1, 2005. Hiebert, J. (2002). Lektionsplanering ny verksamhet i gammal form. Nämnaren nr 1, 2002. NCM, Göteborgs universitet. Malmberg, U. (2010). Att göra rika problem rika. Nämnaren nr 4, 2010. Stigler, J. W. & Hiebert, J. (1999). The Teaching Gap: best ideas from the world s teachers for improving education in the classroom. New York: Free press. Stiegler, J. W. & Hiebert, J. (2004). Att utveckla matematikundervisningen: Uppslag från TIMMS videostudie. Nämnaren nr 1, 2004. Taflin, E. (2007). Matematikproblem i skolan: för att skapa tillfällen till lärande (doktorsavhandling). Umeå universitet. 31