1(5) Denna kursplan har ersatts av en nyare version. Den nya versionen gäller fr.o.m. Vårterminen 2015 Kursplan Institutionen för naturvetenskap och teknik Matematik B, 30 högskolepoäng Mathematics, Intermediate Course, 30 Credits Kurskod: MA2000 Utbildningsområde: Naturvetenskapliga området Huvudområde: Matematik Högskolepoäng: 30 Ämnesgrupp (SCB): Matematik Utbildningsnivå: Grundnivå Fördjupning: G1F Inrättad: 2006-11-27 Senast ändrad: 2013-09-25 Giltig fr.o.m.: Vårterminen 2014 Beslutad av: Prefekt Mål Mål för utbildning på grundnivå Utbildning på grundnivå ska utveckla studenternas - förmåga att göra självständiga och kritiska bedömningar, - förmåga att självständigt urskilja, formulera och lösa problem, och - beredskap att möta förändringar i arbetslivet. Inom det område som utbildningen avser ska studenterna, utöver kunskaper och färdigheter, utveckla förmåga att - söka och värdera kunskap på vetenskaplig nivå, - följa kunskapsutvecklingen, och - utbyta kunskaper även med personer utan specialkunskaper inom området. (1 kap. 8 högskolelagen) Kursens mål Kunskap och förståelse Efter avslutad kurs skall den studerande - ha grundläggande förståelse för vektorrum, underrum, baser, koordinater, inre produkter, ortogonalitet, linjära avbildningar, egenvärden och egenvektorer, - ha grundläggande kunskaper om numerisk och symbolisk beräkning av underrum i R^n, minstakvadratproblem samt egenvärden med hjälp av Matlab, - ha grundläggande kunskaper om numeriska serier och potensserier, - ha grundläggande kunskaper om funktioner av flera variabler, deras gränsvärden och kontinuitet, - ha grundläggande kunskaper om begrepp, metoder och användningsområden för differentialkalkyl för reell- och vektorvärda funktioner, - ha grundläggande kunskaper om definitioner, begrepp, metoder och användningsområden för dubbel-, trippel-, kurv- och ytintegraler, - ha grundläggande kunskaper om numerisk och symbolisk beräkning av derivator och integraler i flera dimensioner med hjälp av Matlab, - ha en systematisk bild av olika slags matematiska modeller, och hur de kan användas inom olika områden, - ha uppmärksamhet om inte enbart klassiska matematiska modeller, utan också modeller som är vanliga inom datoranvändning, - ha perspektiv på betydelsen av matematisk modellering och problemlösning i allmänhet.
2(5) Färdighet och förmåga Efter avslutad kurs skall den studerande - kunna definiera, exemplifiera och använda centrala begrepp inom linjär algebra rörande vektorrum, underrum, baser, koordinater, inre produkt, ortogonalitet, linjära avbildningar, egenvärden och egenvektorer, - kunna bestämma baser, ortogonala baser och ortonormala baser för underrum, - kunna göra ortogonala projektioner på underrum och använda minsta kvadratmetoden för kurvanpassning, - kunna bestämma egenvärden och egenvektorer till linjära operatorer och matriser samt ortogonalt diagonalisera symmetriska operatorer och kvadratiska former på Euklidiska rum, - kunna formulera och använda de viktigaste satserna inom linjär algebra samt kunna bevisa enklare påståenden med rutinbevis, - kunna ta fram underrum och beräkna egenvärden numeriskt och symboliskt, - kunna beräkna en ortonormerad bas i R^n, - kunna lösa minstakvadratproblem med normalekvationerna och QR-faktorisering, - kunna analysera kvadratiska former numeriskt och symboliskt genom diagonalisering via matris, - kunna avgöra numeriska seriers konvergens eller divergens samt bestämma konvergensområden för potensserier, - kunna definiera, beräkna och använda partiella derivator, gradienter och riktningsderivator, - kunna lösa enklare partiella differentialekvationer av 1:a och 2:a ordningen och optimeringsproblem samt kunna analysera och utvärdera resultatet, - kunna hantera derivering av implicit givna funktioner och derivation under integraltecken, - kunna beräkna serier och derivator numeriskt och symboliskt - kunna plotta kurvor och ytor i R^3 med nivåkurvor (-ytor), - kunna bestämma extremvärden numerisk och symboliskt, - kunna beräkna dubbel- och trippelintegraler med hjälp av variabelbyten och upprepad integration, - kunna beräkna generaliserade dubbel- och trippelintegraler med hjälp av uttömmande följder, - kunna använda Greens formel, Stokes sats och potentialfunktioner för beräkning av kurvintegraler, - kunna använda Gauss sats för beräkning av flödesintegraler, - kunna beräkna dubbel- och trippelintegraler numeriskt och symboliskt på enkla områden, - kunna grunderna för interpolation med linjära polynom i en och två variabler, - kunna beräkna enkel- och dubbelintegraler numeriskt med hjälp av styckvisa linjära polynom, - kunna beräkna gradient, divergens och rotation symboliskt och numeriskt, - kunna elementär vektoralgebra med symboliska uttryck, - kunna lösa matematiska problem inom från början ej specifierat delområde, - kunna skapa, använda och utvärdera matematiska modeller inom olika och eventuellt nya tillämpningsområden, - ha god förmåga att beskriva lösningar till problem i linjär algebra och flervariabelanalys på ett logiskt sammanhängande och matematiskt korrekt sätt, - lösa matematiska problem inom från början ej specifierat delområde, - skapa, använda och utvärdera matematiska modeller inom olika och eventuellt nya tillämpningsområden, - kunna skriftligt redovisa problemlösningar. Värderingsförmåga och förhållningssätt Efter avslutad kurs ska den studerande - kunna värdera given information avseende relevans för lösningen av problem inom kursens områden, - kunna värdera rimligheten i erhållna resultat, - kunna bedöma om problem är lämpliga för lösning med matematiska metoder eller modeller, - ha kännedom om etik och genusproblem inom matematik. Kursens huvudsakliga innehåll Kursen består av följande delkurser: Delkurs 1 Linjär algebra L2, 7,5 högskolepoäng (Linear Algebra, 7.5 credits) Vektorrum och underrum. Bas, dimension och koordinater. Basbyte. Skalärprodukt. Norm. Ortonormerade baser. Ortogonala projektioner. Minsta kvadratmetoden. Fourierapproximationer. Linjära avbildningar. Egenvärden och egenvektorer. Diagonalisering av linjära avbildningar. Kvadratiska former och 2: a-gradskurvor. Numerisk och symbolisk beräkning av de fyra fundamentala underrummen i R^n via faktorisering (QR och SVD) och symboliska funktioner. Illustration av rummen i R^3. Numerisk och symbolisk beräkning av ortonormerad bas (QR). Minstakvadratmetoden för överbestämda ekvationssystem. Beräkning av egenvärden numeriskt och symboliskt. Diagonalisering. Tillämpning på kvadratiska former och illustration av dessa i R^3.
3(5) Delkurs 2 Analys B1, 7,5 högskolepoäng (Calculus B1, 7.5 credits) Generaliserade integraler och numeriska serier. Konvergensundersökning med jämförelsesatser. Absolutkonvergens. Leibniz kriterium för alternerande serier. Potensserier. Topologiska grundbegrepp för rummet R^n. Funktioner av flera variabler. Vektorvärda funktioner. Funktionsytor, nivåkurvor och nivåytor. Gränsvärde och kontinuitet. Partiella derivator och differentierbarhet. Gradient, normal och tangentplan. Kedjeregeln. Riktningsderivata. Funktionalmatris och funktionaldeterminant. Taylors formel. Lokala maxima och minima. Differentialer. Implicita funktioner och deras derivator. Optimering på kompakta områden och optimering med bivillkor. Numerisk och symbolisk beräkning av serier. Plotta kurvor och ytor i R^3 samt dess projektioner i olika koordinatplan (nivåkurvor och nivåytor). Numerisk och symbolisk derivata i flera variabler inkluderande gradient, Jakobian, Hessian samt illustration av tangentplan i R^3. Symbolisk Taylorutveckling i flera variabler. Bestämma extremvärden numerisk och symboliskt utan och med bivillkor. Gradientmetoden och konjugerade gradientmetoden. Newtons metod. Nödvändiga och tillräckliga villkor (Karush-Kuhn-Tucker) för maxima och minima samt hur de kan beräknas numeriskt. Delkurs 3 Analys B2, 7,5 högskolepoäng (Calculus B2, 7.5 credits) Dubbel- och trippelintegraler. Upprepad integration. Variabelbyte. Tillämpningar på area, volym, massa och tyngdpunkt. Generaliserade multipelintegraler. Kurvor och ytor på parameterform. Tangent och normal. Orientering. Båglängd och area av buktig yta. Kurvintegraler i planet. Greens formel. Potentialer och differentialformer. Exakta differentialformer. Kurv-och ytintegraler i rummet. Gauss' och Stokes' satser. Nablaräkning. Numerisk och symbolisk integration genom upprepad integration på rektangulära integrationsdomäner. Styckvis linjär interpolation i en och två variabler styckvisa linjära polynom (s.k. hattfunktioner). Feluppskattning. Beräkning av integraler numeriskt med styckvisa linjära polynom i en och två variabler. Elementvis summering och tillhörande datastruktur (introduktion till finita element). Feluppskattning. Numerisk och symbolisk beräkning av rotation och divergens. Elementär vektoralgebra med symboliska uttryck. Delkurs 4 Modellering och problemlösning, 7,5 högskolepoäng (Modeling and Problem Solving, 7.5 credits) Strategier för modellering och problemslösning inom följande områden: * Funktioner och ekvationer. Betydelsen av olika matematiska uttryck och hur de kan motiveras. Hur man kan finna och anpassa funktioner till experimentella data. * Optimeringsmodeller. Matematisk programmering inom ekonomi och beslutsstöd. * Dynamiska modeller. Simulering inom biologi, fysik och teknik. * Hermeneutisk problemlösning. Strategier för att bryta upp problem. * Diskreta modeller. Grafer och nät för modellering av projekt och aktiviteter, modellering med diskreta standardproblem och satslogik, planering. Studieformer Undervisningen består huvudsakligen av föreläsningar, räkneövningar och datorlaborationer. I delkursen Modellering och problemlösning förekommer även individuell eller parvis handledning. Delkursen är organiserad i veckomoduler, en för varje modelltyp. En modul defineras av en inledande föreläsning, övningsuppgifter att lösa under veckan, samt en uppföljande. Övningarna genomförs i grupper om en eller två personer. Om kursen endast får ett fåtal registrerade deltagare kan ovan beskrivna undervisningsformer helt eller delvis ersättas av handledning och självstudier. Den som antagits till och registrerats på en kurs har rätt att erhålla undervisning och/eller handledning under den tid som angavs för kurstillfället som den sökande blivit antagen till (se universitetets antagningsordning). Därefter upphör rätten till undervisning och/eller handledning. Examinationsformer Linjär algebra L2, teori, 6 högskolepoäng. (Provkod: 0500) Linjär algebra L2, datorstödda beräkningar, 1,5 högskolepoäng. (Provkod: 0600) Analys B1, teori, 6 högskolepoäng. (Provkod: 0700)
4(5) Analys B1, datorstödda beräkningar, 1,5 högskolepoäng. (Provkod: 0800) Analys B2, teori, 6 högskolepoäng. (Provkod: 0900) Analys B2, datorstödda beräkningar, 1,5 högskolepoäng. (Provkod: 1000) Modellering och problemlösning, 1,5 högskolepoäng. (Provkod: 1100) Problemmoduler, 6 högskolepoäng. (Provkod: 1200) Skriftlig och muntlig redovisning av inlämningsuppgifter. För ytterligare information se universitetets regler för examination inom utbildning på grundnivå och avancerad nivå. Betyg Enligt 6 kap. 18 högskoleförordningen ska betyg sättas på en genomgången kurs om inte universitetet föreskriver något annat. Universitetet får föreskriva vilket betygssystem som ska användas. Betyget ska beslutas av en av universitetet särskilt utsedd lärare (examinator). Enligt föreskrifter om betygssystem för utbildning på grundnivå och avancerad nivå (rektors beslut 2010-10-19, dnr CF 12-540/2010) ska som betyg användas något av uttrycken underkänd, godkänd eller väl godkänd. Rektor eller den rektor bestämmer får besluta om undantag från denna bestämmelse för en viss kurs om det finns särskilda skäl. Som betyg på kursen används Underkänd (U), Godkänd (G) eller Väl Godkänd (VG). Linjär algebra L2, teori Linjär algebra L2, datorstödda beräkningar Analys B1, teori Analys B1, datorstödda beräkningar Analys B2, teori Analys B2, datorstödda beräkningar Modellering och problemlösning Problemmoduler För ytterligare information se universitetets regler för examination inom utbildning på grundnivå och avancerad nivå. Särskild behörighet och andra villkor Matematik A, 30 högskolepoäng. För ytterligare information se universitetets antagningsordning. Tillgodoräknande av tidigare utbildning Student som tidigare genomgått utbildning eller fullgjort annan verksamhet ska enligt högskoleförordningen tillgodoräknas detta som en del av den aktuella utbildningen under förutsättning att den tidigare utbildningen eller verksamheten uppfyller vissa krav.
5(5) För ytterligare information se universitetets lokala regler för tillgodoräknanden. Övriga föreskrifter Betyg på hel kurs För att få betyg Väl Godkänd (VG) på kursen som helhet krävs Väl Godkänd (VG) på minst tre delkurser. Hela eller delar av kursen kan komma att ges på engelska. Kurslitteratur och övriga läromedel Obligatorisk litteratur Jönsson, Per (Senaste upplagan) MATLAB-beräkningar inom teknik och naturvetenskap Delkurs 1: Obligatorisk litteratur Anton, Howard (Senaste upplagan) Elementary Linear Algebra John Wiley and Sons Ltd Delkurs 2: Obligatorisk litteratur Lunds tekniska högskola, Matematiska institutionen (Senaste upplagan) Övningar i Analys i flera variabler Neymark, Mats (Senaste upplagan) Kompendium om Konvergens Linköpings universitet, Matematiska institutionen Persson, Arne & Böiers, Lars-Christer (Senaste upplagan) Analys i flera variabler Delkurs 3: Obligatorisk litteratur Lunds tekniska högskola, Matematiska institutionen (Senaste upplagan) Övningar i Analys i flera variabler Persson, Arne & Böijers, Lars-Christer (Senaste upplagan) Analys i flera variabler Delkurs 4: Obligatorisk litteratur Giordano, Frank, R. et.al. (2002) A First Course in Mathematical Modeling, 3rd edition Brooks/Cole, Belmont, CA Pólya, George (1957) How to solve it, 2nd edition Anchor Books, Garden City, NY