Grupper En grupp är ett par (G,*) där G är en mängd och * är en binär operation på G som uppfyller följande villkor: G1 (sluten) x,yϵg så x*yϵg G2 (associativ) x,y,z ϵg (x*y)*z=x*(y*z) G3 (identitet) Det existerar ett element eϵ G s.a. e*x=x*e=x för alla xϵg G4 (invers) För varje element xϵ G finns ett element x ϵg s.a. x *x=x*x =e Missbruk av notation, ofta skriver man att G är en grupp och låter * framgå av sammanhanget. Sats Låt (G,*) vara en grupp. Då finns precis ett element e med egenskapen beskriven i G3. Bevis Antag att f har samma egenskap e=f*e=f då är f=e Sats: Givet xϵg så finns det ett unikt element x som uppfyller G4 Bevis: Antag att x uppfyller G4 x =(G3)=x *e=(g4)=x *(x*x )=(G2)=(x *x)*x =(hypotes)=e*x =(G3)=x Exempel på grupper 1) Den symmetriska gruppen S n (S n, o)av permutationer av N n 2) Mängderna Z, Q, R och C är grupper under addition + 3) Mängden är Z n av kongruensklasser mod n är en grupp under addition + 4) Ingen av mängderna Z, Q, R och C är grupper under multiplikation! Inverser! Q\{0}, R\{0} och C\{0} är grupper under multiplikation. {-1,1} är en grupp under multiplikation. 5) Inverterbara element i Z n bildar gruppen U n under multiplikation. 6) Ett vektorrum V (över R) är en grupp under addition + 7) Mängden M nxm(r) (nxm-matriser med element R) är en grupp under addition. (Alla är inte inverterbara under multiplikation) 8) Mängden GL n(r) inverterbara nxn-matriser, en grupp under matrismultiplikation 9) Enhetscirkeln bildar en grupp kan också beskrivas {ZϵC: Z =1} C Denna delmängd ärver multiplikation från C. Notera Z,WϵC s.a. Z = W =1 då gäller Z*W = Z * W =1 1
Def: En grupp (G,*) kallas abelsk (eller kommutativ) om den dessutom uppfyller axiomet x*y=y*x för alla x,y element i G Notation. I abelska grupper betecknar man ofta gruppoperatorn med pluss och identitetselementet med 0. Annars använder man ofta gånger för att beteckna gruppoperationen och 1 för att beteckna identiteten. Multiplikativ additiv (endast för abelska grupper) Multiplikation x*y xy x+y Identitet e I 0 Invers x x (-1) -x Potenser x n (=x*x*x*x n faktorer) nx (x+x..+x n termer) x -n =(x -1 ) n -nx:= n(-x) Def: Ordningen för en grupp G är antalet element i den underliggande mängden. Betecknas G Ex Z n =n S n =n! U n =φ(n) Sats: Låt G vara en grupp Bevis: 1) a, b, c element i G gäller ab=ac b=c (kancellering) 2) Ekvationen ax=b och xa=b har unika lösningar (dock inte nödvändigtvis samma) 1) b=1*b=(a -1 a)b= a -1 (ab)= a -1 (ac) =(a -1 a)c=1c=c 2) ax=b a -1 (ax)= a -1 b VL: a -1 (ax)= (a -1 a)x=1x HL: x= a -1 b Potenslagar Låt G vara en grupp. Då gäller x m x n =x m+n, (x m ) n = x mn. Obs! Identiteten x n y n =(xy) n gäller om xy=yx, men inte nödvändigtvis annars. 2
Exempel: I S 5 gäller ((12)(345)) n =(12) n (234) n eftersom cyklerna är disjunkta, vilket medför (12)(345)=(345)(12) 1 2 3 4 5 12 2 1 3 4 5 345 2 1 4 5 3 Men ((12)(13)) 2 =(12)(13)(12)(13)=(123) (12) 2 (13) 2 =()=(1)(2)(3) i S 3. Def: Låt xϵg där G är en grupp. Det minsta positiva heltal n s.a. x n =1 kallas för ordningen av x (om sådant n finns, annars säger vi att x har oändlig ordning) Sats: Låt xϵ G vara ett element av ordning m. Då gäller x n =1 omm m n Bevis: Skriv n=mq+r där 0 r<m Vi har x n =x mq+r = (x m ) q x r =1x eftersom r<m och m är maximalt m.a.p x m =1 så gäller att x r =1 omm r=0. Vilket är ekvivalent med att m n. Om G är en ändlig grupp (dvs G är ändlig) så har alla xϵg ändlig ordning. Bevis: Enligt lådprincipen finns n,m s.a. x n = x m, men n>m. Då gäller x n-m = x n (x m ) -1 =x n (x n ) -1 =1 så det existerar ett heltal t=n-m s.a. x t =1 Ex Beräkna ordningen för (12)(34)(5678) i S 8. ((12)(34)(5678)) n =(12) n (34) n (5678) n För att få identitetspermutationen måste alla tre faktorer bli 1. Detta ger villkoren 2 n, 2 n, 4 n för att vi ska få identiteten. Det minsta talet som uppfyller det här är 4. Sats: Ordningen för ett element xϵs n är minsta gemensamma multipeln av cykellängderna i x. Delgrupp Def Låt (G,*) vara en grupp och H G en delmängd. Paret (H,*) kallas delgrupp till (G,*) om (H,*) är en grupp. Ex. Delmängden {id,(12)} till S 2 är en delgrupp. Ex. Delmängden H={id,(1234),(13)(24),(1432),(14)(32),(12)(34),(24),(13)} är en delgrupp till S 4 H är gruppen av automorfier av grafen 4 1 3 2 3
Sats Låt G vara en grupp och H G en icke-tom delmängd till omm S1 S2 x,yϵh xyϵh xϵh x -1 ϵh Om G är ändlig är S2 en konsekvens av S1 Bevisskiss: Kom ihåg, vi har fyra gruppaxiom G1(sluten) G2(associativ) G3(identitet) G4(invers) S1 motsvarar G1 G2 får vi gratis G3 får vi genom att kombinera S2 xϵh x -1 ϵh och S1 1=xx -1 ϵh G4 motsvarar S2 Om G är ändlig är gäller följande: Låt xϵh Välj n s.a x n =1 (ändlig) Då är x n-1 invers till x. Men x n-1 ϵh om S1 gäller. Isomorfi mellan grupper Def: Def: Låt (G,*) och (H, o ) vara grupper. En avbildning f: G H kallas för en (grupp-)homomorfi om f(x*y)=f(x) o f(y) för alla x,y ϵg. Om f är bijektiv kallas f en (grupp-)isomorfi Grupperna G och H kallas isomorfa om det existerar en gruppisomorfi G H Exempel: Låt G=GLn(R) vara en grupp av inverterbara nxn-matriser med element i R. Då är det. G R\{0} en gruppisomorfi eftersom det(ab)=det(a)det(b) Obs! Ovanstående avbildning (d.v.s. det.) är inte bijektiv om n>1 Ex det( 2 0 0 ) = det (1 0 1 0 2 ) Exempel: Avbildningen sgn: S n {1,-1} är en grupphomomorfi. Detta är en isomorfi om n=2 (annars inte) Def: Låt (G,*) och (H,*) vara grupper. Då här mängden GxH={(g,h) gϵg, hϵh} en gruppstruktur given av (g 1,h 1). ( g 2,h 2)=( g 1,g 2, h 1,h 2) Övning. Visa att detta är en grupp. Gruppen GxH kallas den direkta produkten av G och H. Exempel: Gruppen G=Z 2xZ 2 är isomorf med delgruppen H={id,(12),(34),(12)(34)} till S 4. Vi har en isomorf f: G H given av f ((0,0))=id f ((1,0))=(1 2) f ((0,1))=(3 4) f ((1,1))=(1 2)(3 4) (Z 2xZ 2 ={0,1}=Mängden av par av element i Z 2 =(00)(01)(10)(11) 4
Sidoklasser Def: Låt G vara en grupp och H G en delgrupp. Den vänstra sidoklassen till gϵg m.a.p H definieras som gh:={gh hϵh}. På motsvarande sätt definieras den högra sidoklassen som Hg:={hg hϵh}. Sats: Låt H G vara grupper. Mängden G är en disjunkt union av vänstra sidoklasser gh gϵg. Om G är en ändlig grupp gäller H = gh för alla gϵg Exempel: G=S 3 och H={id,(12)} De vänstra sidoklasserna är idh={id,(12)} (12)H= {(12), id}=idh (13)H= {(13),(13)(12)=(123)} (23)H= {(23),(23)(12)=(132)} (123)H= {(123),(123)(12)=(13)}=(13)H (132)H= {(132),(132)(12)=(23)}=(23)H De högra sidoklasserna är Hid={id,(12)} H(13)={(13),(132)} H(23)={(23),(123)} Följdsats om H G är ändliga grupper gäller att H delar G Vi har partitionering G=idH Additionsprincipen ger G = idh + g1h + + grh = H + H + H =(r-1) H alltså delar H G Cykliska grupper Def: En grupp sägs vara cyklisk om den innehåller ett element xϵg där varje medlem av G är en potens av x. Elementet x sägs generera G och vi skriver G= x. x = {x n nϵz} är en delgrupp till G. Om x =G så kallas G för cyklisk. C (typisk sådan grupp) ={.. x -3,x -2, x -1, 1, x 1, x 2, x 3 } Sats: Låt C vara en cyklisk grupp genererad av x. Då är f: Z n C; n x n en isomorfi om C =n. Om C är oändlig så är f: Z C; n x n en isomorfi Notera: Ordningen för ett element xϵg är lika med ordningen för x. Speciellt gäller att ordningen för x delar ordningen för G (enligt Lagranges sats) Exempel: Gruppen S 3 innehåller element av ordning 1,2 och 3 (alla delar 6= S 3 ) 5
Bevisskiss av Lagranges sats 1) inför en ekvivalensrelation på G så att ekvivalensklasserna är sidoklasserna. 2) Konstruera en bijektiv funktion ᴦ g: H gh för alla gϵg h gh Antag att gh 1=gh 2. Då är h 1=h 2, så är ᴦ g injektiv. Suvjektiv följer av definitionen av gh. 1) x y h H så att x = yh Reflexiv: x x eftersom x = xid och id H Symmetrisk: Antag att x y. Alltså x = gh h H. Då gäller att y = xh 1 så y x eftersom h 1 H Transitiv: Antag att x y, y z x = yh, y = zh 2. Detta ger x = h 2 h 1 H så x z 6