Definition grupp. En grupp (G, ) är en mängd G med en binär operator : G G G som uppfyller följande vilkor:

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Definition grupp. En grupp (G, ) är en mängd G med en binär operator : G G G som uppfyller följande vilkor:"

Britt-Marie Falk
för 5 år sedan
Visningar:

1 Grupper

2 Definition grupp En grupp (G, ) är en mängd G med en binär operator : G G G som uppfyller följande vilkor:

3 Definition grupp En grupp (G, ) är en mängd G med en binär operator : G G G som uppfyller följande vilkor: En grupp (G, ) är abelsk eller kommutativ, om den dessutom uppfyller följande villkor:

4 Vad gäller för alla/abelska grupper (G, ) med identitet e och invers g -1 till g?

5 Vad gäller för alla/abelska grupper (G, ) med identitet e och invers g -1 till g?

6 Hitta alla delgrupper av (Z 6, mod 6) Z 6 = {0,1,2,3,4,5}

7 Hitta alla delgrupper av (Z 6, mod 6) Z 6 = {0,1,2,3,4,5} {0} {0,2,4} {0,3}

8 Symmetrisk grupp Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av alla permutationer av M.

9 Symmetrisk grupp Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av alla permutationer av M. De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalität (= antal element) är isomorfa Symmetriska gruppen på n element: S n

10 Symmetrisk grupp Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av alla permutationer av M. De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalität (= antal element) är isomorfa Symmetriska gruppen på n element: S n S 1 : M = {1} bara en permutation s (identitetet)

11 Symmetrisk grupp Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av alla permutationer av M. De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalität (= antal element) är isomorfa Symmetriska gruppen på n element: S n S 1 : M = {1} bara en permutation s (identitetet) S 2 : M = {2} två permutationer

12 Symmetrisk grupp Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av alla permutationer av M. De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalität (= antal element) är isomorfa Symmetriska gruppen på n element: S n S 1 : M = {1} bara en permutation s (identitetet) S 2 : M = {2} två permutationer Tabell notation: xx 1... xx nn ff xx 1 ff xx 1

13 Symmetrisk grupp Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av alla permutationer av M. De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalität (= antal element) är isomorfa Symmetriska gruppen på n element: S n S 1 : M = {1} bara en permutation s (identitetet) S 2 : M = {2} två permutationer Tabell notation: xx 1... xx nn S ff xx 1 ff xx 1 2 : och

14 Symmetrisk grupp Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av alla permutationer av M. De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalität (= antal element) är isomorfa Symmetriska gruppen på n element: S n S 1 : M = {1} bara en permutation s (identitetet) S 2 : M = {2} två permutationer xx Tabell notation: 1... xx nn S ff xx 1 ff xx 1 2 : och Cykliska notation: skriv varje element som en product av cycler: (x s(x) s 2 (x) s m-1 (x)) där s m (x) = x

15 Symmetrisk grupp Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av alla permutationer av M. De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalität (= antal element) är isomorfa Symmetriska gruppen på n element: S n S 1 : M = {1} bara en permutation s (identitetet) S 2 : M = {2} två permutationer xx Tabell notation: 1... xx nn S ff xx 1 ff xx 1 2 : och Cykliska notation: skriv varje element som en product av cycler: (x s(x) s 2 (x) s m-1 (x)) där s m (x) = x S 2 : (1)(2) och (1 2) cyklar av längd ett brukar utelämnas som underförstådda

16 Skriv i cyklisk notation! Lista alla element i S 3 i båda notationerna! Lista alla delgrupper av S 3! Hur manga element har S n? Är S n abelsk?

20 Transposition: (ij) 1 i<j n byta bara element i och j n 2

21 Transposition: (ij) 1 i<j n byta bara element i och j n 2 Kan skriva varje permutation som en sammansättning av transpositioner Till exempel: s = = (1 3 5)(2 4) = (15)(13)(24)

22 Transposition: (ij) 1 i<j n byta bara element i och j n 2 Kan skriva varje permutation som en sammansättning av transpositioner Till exempel: s = = (1 3 5)(2 4) = (15)(13)(24) Antal inversioner för s: N(s) = antal par (x,y) in s med x<y och s(x)>s(y)

23 Transposition: (ij) 1 i<j n byta bara element i och j n 2 Kan skriva varje permutation som en sammansättning av transpositioner Till exempel: s = = (1 3 5)(2 4) = (15)(13)(24) Antal inversioner för s: N(s) = antal par (x,y) in s med x<y och s(x)>s(y) För vår s: (1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5) 7

24 Paritet av en permutation (tecken) sign(s) =(-1) NN(ss) Eller sign(s) =( 1) mm + jämt och udda N(s) = antalet inversioner i s m = antal transpositioner i sammansättningen

25 Paritet av en permutation (tecken) sign(s) =(-1) NN(ss) Eller sign(s) =( 1) mm + jämt och udda N(s) = antalet inversioner i s m = antal transpositioner i sammansättningen Till exempel: s = = (1 3 5)(2 4) = (15)(13)(24) N(s): (1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5) 7 sign(s) = ( 1) 7 = -1 udda

26 Paritet av en permutation (tecken) sign(s) =(-1) NN(ss) Eller sign(s) =( 1) mm + jämt och udda N(s) = antalet inversioner i s m = antal transpositioner i sammansättningen Till exempel: s = = (1 3 5)(2 4) = (15)(13)(24) N(s): (1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5) 7 sign(s) = ( 1) 7 = -1 udda sign(s*t) = sign(s)*sign(t) cyklar med jämt längt har udda paritet cyklar med udda längt har jämt paritet

27 Hitta sign(π 1 ) och sign(π 2 ) Beräkna:

30 15 puzzle Sam Loyd (1870): 1000 $ till den som kan lösa puzzlet med 14 15

31 Tentaproblem: Diedergruppen D 3 Diedergruppen Dn: symmetriegruppen för en regelbunden n-hörning

32 Tentaproblem: Diedergruppen D 3 Diedergruppen Dn: symmetriegruppen för en regelbunden n-hörning a) Hur manga element har D 3? Beskriv hur elementen i D 3 verkar på en liksidig triangle!

34 Tentaproblem: Diedergruppen D 3 Diedergruppen Dn: symmetriegruppen för en regelbunden n-hörning b) Ordningen av ett element g i en grupp är det minsta heltalet n sådant att g n = e (e är enhetselementet). Vilka ordningar har elementen i D 3?

36 Tentaproblem: Diedergruppen D 3 Diedergruppen Dn: symmetriegruppen för en regelbunden n-hörning c) Cayleys teorem: Varje ändlig grupp av ordning n är isomorph med en delgrupp till permutationsgruppen Sn Identifiera den delgrupp till D 3 som är isomof med en delgrupp till S 3

Relevanta dokument

MINNESANTECKNINGAR FÖR DELTAGARNA I WORKSHOP GRUPPER

MINNESANTECKNINGAR FÖR DELTAGARNA I WORKSHOP GRUPPER SONJA KOVALEVSKYDAGARNA 2008; HANNA USCKA-WEHLOU 0. Praktiska anmärkningar Det finns följande moment i workshop: en föreläsningsdel - jag berättar om