Kapitel: 31 Växelström Beskrivning av växelström och växelspänning Phasor-diagram metoden Likriktning av växelström Relation mellan ström och spänning i R, L och C. RLC-krets Elektrisk oscillator, RLC-krets Resonans i RLC-krets Transformatorn
I kap. 31 arbetar vi med växel ström och växel spänning vilket betyder att storheterna varierar som cosinusfunktioner. Denna symbol beskriver en växelspännings eller växelströmskälla. Diagrammet visar hur spänningen varierar med tiden
Stora bokstäver används för tidsoberoende amplituder Små bokstäver används för tidsvarierande momentanvärden Boken beskriver oftast tidsberoendet som en cosinus funktion. Exempel: i = I cos (ω t + φ) v =V cos (ω t + φ) Vad menar vi när vi säger att spänningen i våra vägguttag är 230 V? Vi menar att: V 2 = V rms = 230 av skäl som vi återkommer till
Hela kap. 31 kräver förståelse av Phasor-diagram. phasor Momentanvärde Amplitud Faskonstant i = I cos(ω t+φ) Vinkelfrekvens ω = 2π f, f är frekvens tid Strömmens värde i varje ögonblick, i, ges av phasorns projektionen på x-axeln -I I
Varje pil här svarar mot en funktion som har formen Acos(ω t+φ). Samtliga pilar snurrar med samma fart moturs runt origo då ω är samma. Här vill vi addera de tre funktioner som representeras av V R Om V R har faskonstant φ = 0 så har V L faskonstant φ = + 90 o och V C faskonstant φ = -90 o. V L och V C Vill man addera de tre cos funktionerna vektoradderas deras pilar vilket ger den mörkare pilen V i diagrammet. (Börja med V L och V C ) Projektionen av summapilen V på horisontella axeln är sökta funktionen.
I den här animationen har man vektoradderat den blåa och den röda phasorn som svarar mot varsin cosinusfunktion med olika fasvinkel. Resultatet blir den lila phasorn, vars projektion på x-axeln när den roterar ger den sökta funktionen.
Vi har tidigare stött på ett exempel på hur man alstrar en växelström/växelspänning Ex. 29.3. Skälet är att man vill utnyttja induktionsfenomenet för att ändra spänningen i transformatorer. För att få det di/dt i transformatorns primärlindning som krävs för att inducera en ström i sekundärlindningen måste vi ha en ström vars momentanvärde hela tiden varierar dvs. en växelström. ε = d Φ d B = ( AB cos ωt) = ABω sin t dt dt ω Transformator (Avsnitt 31.6)
Inne i olika elektronikburkar vill man ofta ha likström, vilket kräver likriktning. Figuren visar en helvågslikriktare som består av fyra dioder. En diod är en komponent som endast släpper igenom strömmen i ena riktningen. Kombineras denna krets med en stor kondensator kan man få en glättad likström som håller ett nästan konstant värde. Utgången på denna krets ger en pulserande likström.
Olika sätt att definiera medelvärdet av en storhet som varierar som cos ω t Medelvärdet av i = I cos ω t är noll och av ringa intresse! I rav = 2 π I (rectified average) är den likström som har samma yta under sig som den helvågslikriktade strömmen. Används sällan. I rms = I 2 (root mean square, kvadratiska medelvärdet eller effektivvärdet) används oftast, då det ger enkelt värde för effektutvecklingen
Hur är momentanvärdena i och v relaterade för de tre vanligaste passiva komponenterna, R, L och C?? Vi utgår ifrån att strömmen ges av i = Icos(ωt) v = IR cos(ωω t ) v V R R R = V R = IR cos( ωt) o ω L cos( ω t + 90 ) v = I ω + v V V L L L X L L = V L = IωL = ωl = IX cos( ωt + 90 L o ) v v V V C C C X C C I o = cos( ωt 90 ) ωc o = V cos( ωt 90 ) C I = ωc 1 = ωc = IX C
i = I cos ω t v R erhålls direkt från Ohm s lag: v R = ir = (IR)cos ω t = V R cos ω t V R = IR 1. Resistans både ström och spänning varierar som cos ω t och de ligger i fas.
i = I cos ω t v L = V L cos (ω t + 90 o ) 2. Induktans V L = I X L där X L =ω L och kallas induktiv reaktans Spänningen är nu fasförskjuten +90 grader, och V L över induktansen ökar när frekvensen ökar.
i = I cos ω t v C = V C cos (ω t - 90 o ) 3. kapacitans V C = X C I där X C = 1/(ω C) och kallas kapacitiv reaktans spänningen är nu fasförskjuten -90 grader, och spänningen är nu fasförskjuten -90 grader, och V C över kapacitansen minskar när frekvensen ökar.
X L och X C har båda sorten Ohm och kan tolkas som frekvensberoende motstånd. Observera dock att induktanser och kapacitanser beter sig väldigt annorlunda än resistanser: i och v fasförskjuts och ingen värme går bort som förlusteffekt.
Exempel på tillämpning av R-L och R-C kretsar: Delningsfilter för högtalare. Tweeter = diskanthögtalare för höga frekvenser Woofer = bashögtalare för låga frekvenser
R-L-C seriekrets Kretsens impedans Z ges av: ( ) 2 2 2 2 1 + = + = C L R X X R Z C L ω ω Kretsens fasvinkel Φ ges av: R C L ω ω φ 1 tan = R V = IZ Som Ohm s lag!
OBS: I ed 12 står i slutet av texten till 31.4 att φ = -53 o Minustecknet skall bort! (Rättat i ed 13) Ex. 31.4-5, L-R-C krets
1. Effektutveckling i resistans Momentan effektutveckling p = iv=ivcos 2 (ωt)=iv(1/2)(1+cos2ωt) i och v är alltid i fas så produkten är alltid positiv. P av = (1/2)VI (p(t) symmetrisk) V I P av = = V 2 2 rms I rms Detta är skälet till att rms värden är så bra! Effekten fås då med samma enkla samband som för likström.
2. Effektutveckling i induktans Momentan effektutveckling p = iv i och v har motsatt tecken halva tiden, så effektkurvan är symmetrisk kring noll. P av = 0 för en induktans
3. Effektutveckling i kapacitans Momentan effektutveckling p = iv i och v har motsatt tecken halva tiden, så effektkurvan är symmetrisk kring noll. P av = 0 även för en kapacitans
4. Effektutveckling i R-L-C krets Momentan effektutveckling p = iv i och v ligger här fasförskjutna vinkeln φ. 1 P av = VI cosφ = Vrms I rms cosφ 2 Faktorn cos φ kallas effektfaktor.
1 P av = VI cosφ = Vrms I rms cosφ 2 Maskiner som elmotorer har lindningar som ger en induktiv last. I vårt elnät ligger därför normalt spänningen lite före strömmen. Detta gillar inte elleverantören eftersom faktorn cos φ innebär att man måste driva en större ström för att överföra en viss effekt än om cos φ = 0. Mer ström = mer förluster i ledningarna, som ges av P förlust = R ledning (I rms ) 2
Effektutveckling i motstånd, induktor, capacitans samt R-L-C krets, sammanfattningsfigur.
Resonans i R-L-C seriekrets Spänningskälla där ω kan varieras I = V/Z I maximal när Z som minst. Detta uppstår vid Resonans, dvs när X L -X C = 0 1 ω0l = 0 ω C 0 1 ω0 = LC
I = V/Z Vid resonans är Z=R, så lågt värde på R ger stor ström och skarp resonanskurva.
Transformator ε B 1 = 1 och ε 2 ε 1 = N N N 2 1 V2 N2 = V 1 N 1 dφ dt ε 2 = N 2 dφ dt B
Eddy currents i kärnan ger upphov till värmeförluster. Laminerad dvs. tunna lager av material med isolering mellan förbättrar situationen.
I elnätet används 3-fas system (ursprungligen svensk uppfinning) där man har tre fasledningar samt en nolledare in i huset. Spänningen i faserna ligger 120 o förskjutna. V rms mellan fas och nolla är 220 V, och mellan två faser 380 V. Trefassystemet gör det möjligt att lätt alstra roterande magnetfält i motorer. Vid samma belastning på alla faser Vid samma belastning på alla faser är summan av de tre strömmarna noll I en generator kommer den genererade momentaneffekten att vara konstant, vilket minskar de mekaniska påfrestningarna på lager etc.
3-fas transmissionsledning, i Sverige normalt 400 kv Noll ledare Fasledare
I Sverige går normalt alla tre faser och neutralledaren (nolla) in i huset, med en huvudsäkring per fas (typiskt 16A/fas). Inne i huset finns fem ledningar, 3 st. faser, nolla och jord. Jord och nolla är normalt förenade i elcentralen. Ut till vanliga vägguttag går en fasledare, nolla och jord. Figuren visar amerikanska förhållanden. Fasspänningen är här 120 V, f = 60 Hz och endast två faser går in i huset.
Jord Ena fas, andra noll Observera att i det svenska elsystemet så är stiften för fas- och noll-ledare inte nycklade, så man vet aldrig vilken av de två ledarna som går in i apparaten som ligger på spänning relativt jord. Eftersom måna elapparater i hemmen enbart bryter ena ledaren, kan man aldrig utgå ifrån att ledningarna inne i apparaten ej är spänningssatta när den är avslagen. Dra ur stickkontakten innan ni mekar!!
Genom att ansluta apparathöljet till jord minskar risken för att strömmen kommer att gå genom användarens kropp om ett fel uppstår i apparaten.
Jordfelsbrytare Fasledare Nolla Om en ström går från fas till jord, t.ex. genom en person som kommer åt fasledaren så uppstår obalans mellan strömmen i fasledaren och nollan. Då löser jordfelsbrytaren genast ut.