TENTAMEN: DEL A Reglerteknik I 5hp Tid: Torsdag 9 december 03, kl. 8.00-.00 Plats: Magistern Ansvarig lärare: Hans Norlander, tel. 08-473070. Tillåtna hjälpmedel: Kursboken (Glad-Ljung), miniräknare, Laplace-tabell och matematisk formelsamling. Examinationen består av två delar, del A och del B. För att bli godkänd krävs att man är godkänd på del A, och för detta krävs godkänt på varje uppgift. Del B är frivillig och ges endast vid ordinarie tentatillfällen (vid respektive kurstillfällen). Preliminära betygsgränser: Betyg 3: Godkänt på del A Betyg 4: Godkänt på del A och minst 0 poäng på del B (inkl. bonuspoäng) Betyg 5: Godkänt på del A och minst 8 poäng på del B (inkl. bonuspoäng) OBS: Svar och lösningar/motiveringar ska skrivas på angiven plats i detta provhäfte, och provhäftet ska lämnas in. Lösningarna ska vara tydliga och väl motiverade (om inget annat anges). LYCKA TILL! Tentamenskod Utbildningsprogram Bordsnummer (alt. namn och personnummer) Termin och år då du först registrerades på kursen Klockslag för inlämning Resultat: Uppg. Uppg. Uppg. 3 Del A G/U G/U G/U G/U
Uppgift Blockschemat nedan visar ett system (DC-motor) som styrs med proportionell återkoppling. Blocket med ( ) representerar högre ordninsystem P-reg Ý Ö Ý + Σ Ã ( +) ( ) gens dynamik som t.ex. finns i mätgivaren. I uppgifterna (a) och (b) används ( ) = 0 som modell för detta. +0 (a) Ange kretsförstärkningen, Ó ( ), samt den komplementära känslighetsfunktionen, Ì ( ), då ( ) = 0. +0 Ó ( ) =, Ì ( ) = (b) För vilka à ¾ Ê är det slutna systemet stabilt då ( ) = 0 +0? (c) Med den enklare modellen ( ) = (d.v.s. ( +) ( ) = ) kan man representera omodellerad dynamik med det relativa modellfelet, ( ). Det verkliga systemet är då 0 ( ) = ( )( + ( )). Nu blir Ì ( ) = och Ì () Å Ì för alla, där Å Ì = max Ã Ô Ã 05. För vilka à 0 kan man garantera stabiliteten hos det verkliga slutna systemet om man vet att () 05 för alla? Funkar t.ex. à = 5? Ã, + +Ã
Uppgift Betrakta systemet i blockschemat nedan. Ù Σ +5 Ü Ü 4 Σ Ý 6 (a) Ställ upp tillståndsbeskrivningen för systemet med Ù som insignal, Ý som utsignal och tillståndsvektorn Ü = Ì Ü Ü, med Ü och Ü enligt blockschemat. (b) Är tillståndsbeskrivningen i (a) en minimal realisation? Motivering: (c) Bestäm Ä = Ð Ð och Ñ i styrlagen Ù = ÄÜ + ÑÝÖ så att slutna systemet får polpolynomet + 8 + 0, och att Ý = Ý Ö i stationäritet när Ý Ö är konstant.
Uppgift 3 Nedan visas överföringsfunktionerna för sex system, ( ) = ( )Í( ) = 6 : 3 8 8 ( ) = ( ) = + + 4 3 ( ) = + 6 + 9 + 5 + 9 8 9 4 4 ( ) = 5 ( ) = + 4 + 9 6 ( ) = + + 0 + 7 + 5 För vart och ett av systemen utför man ett stegsvarsexperiment, där man låter insignalen Ù vara ett enhetssteg. (a) För vilket system är stigtiden, Ì Ö, kortast? (b) För vilket system är stigtiden längst? (c) För vilket system är överslängen, Å, störst? (d) För vilket system är slutvärdet, Ý = lim Ý(Ø), störst? ؽ 3
Vid behov kan du fortsätta dina lösningar/motiveringar på detta ark. Markera tydligt vilken uppgift som avses. 4
Lösningar till tentamen i Reglerteknik I 5hp, del A 03--9. (a) Ó ( ) = à ( + ) ( ) = à 0 ( + ) + 0 = 0à ( + )( + 0) Ì ( ) = 0à Ó( ) + Ó ( ) = 0à + (b) Slutna systemets poler ges av ( +)( +0) ( +)( +0) = 0à ( + )( + 0) + 0à 0 = ( + )( + 0) + 0à = 3 + + 0 + 0à och stabiliteten kan undersökas med Rouths algoritm: 0 0 0à 0 0 0à 0 0à För stabilitet krävs 0 0à 0 och 0à 0, d.v.s. 0 Ã. (c) Resultat 6.: Om Ì ( ) är stabil och om Ì () () µ det verkliga slutna systemet stabilt. Här är () 05 =, så om Ì () är verkliga slutna systemet stabilt. Här blev uppgiftsformulering felaktig Å Ì = Ã Ô Ã 05 för à 05, och Å Ì = för 0 à 05 borde det ha stått! (Påverkar dock ej lösbarheten i någon större utsträckning.) Detta uppfylls för à 05 (Ì då). För à 05: Ã Ô Ã 05 à 4(à 05) à 4à + 0 à 4à + = 0 à = Ô 3 µ garanterat stabilt för 0 à + Ô 3 373. (Med Å Ì = max( Ã Ô Ô Ô Ã 05) blir svaret 3 à + 3.). (a) Från blockschemat fås dels att Ý = Ü + 4Ü, dels att ( ) = + 5 (Í( ) 6 ( )) ( ) = 5 ( ) 6 ( ) + Í( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) Med inversa Laplacetransformen fås Ü = 5Ü 6Ü + Ù Ü = Ü Ý = Ü + 4Ü 5 6 Ü = Ü + Ù 0 0 Ý = 4 Ü
Detta är styrbar kanonisk form! (b) Minimal realisation både styrbart och observerbart (Res. 8.). Styrbar kanonisk form µ styrbart. Observerbarhetsmatrisen blir Ç = = 4 6 µ det Ç = 0 Ej full rang µ ej observerbart (Res. 8.9). Därmed är det inte en minimal realisation! (c) Från (a) fås direkt att ( ) = ( ) = +4 (styrbar kanonisk form). Det ( ) +5 +6 slutna systemet blir ( ) = ( )Ñ Ö ( ) = Ñ( ) «( ) Ö( ) = Ñ( +4) +8 +0 Ö( ). För att få Ý = Ý Ö måste vi ha (0)Ñ = µ välj Ñ = 5. Polpolynomet blir 0 5 6 «( ) = det( Á + Ä) = det + Ð 0 0 Ð + 5 + Ð 6 + Ð = det = + (5 + Ð ) + 6 + Ð Identifiering av koefficienter ger Ä = Ð Ð = 3 4. 3. Jämför med standardformen för andra ordningens system med komplexkonjugerade poler, ( ) =, där 0 är polernas avstånd från 0 + 0 + 0 origo och = cos är den relativa dämpningen ( är vinkeln från polen till negativa reella axeln). Om är polerna reella, och den närmast origo (den dominerande) avgör snabbheten. För 0 är polerna komplexa, och allmänt gäller att större 0 ger kortare Ì Ö, och mindre ger större Å. (Ex. 3.3 i Glad/Ljung µ Å = «, där «= Ô, och Ì Ö tan 0.) Slutvärdesteoremet ger lim Ý(Ø) = lim ( ) = (0). Här har vi: ؽ 0 (0) = 3 4 poler: 05 Ô 375 0 = = 05 (Ì Ö 070) (0) = 8 9 poler: 3 (dubbel) 0 = 3 = (Ì Ö 09) 3 (0) = 8 9 poler: 5 Ô 75 0 = 3 = 5 3 (Ì Ö 08) 4 (0) = 8 9 poler: Ô 5 0 = 3 = 3 (Ì Ö 07) 5 (0) = 9 0 poler: 0 domin. pol i - 6 (0) = 4 5 poler: 35 Ô 75 0 = 5 = 070 (Ì Ö 044) (a) Kortast Ì Ö : 6 ( ); (b) Längst Ì Ö : 5 ( ); (c) Störst Å: ( ); (d) Störst Ý : 6 ( ).