Gamla tentauppgifter i kursen Statistik och sannolikhetslära (LMA120) Lärandemål I uppgiftena nedan anger L1, L2 respektive L3 vilket lärandemål de olika uppgifterna testar: L1 Ta risker som i förväg är kalkylerbara L2 Fatta beslut som har störst sannolikhet att vara optimala L3 Göra prognoser med känd träffsäkerhet Uppgifter från omtentan 20150415 2. En inköpare på ett företag köper in batterier till en maskin för att denna ska kunna användas under totalt 10 timmar. Batteritillverkaren uppger att batteriernas livslängd är normalfördelad med medelvärde 2 timmar och standardavvikelse 1 timma. Hur många batterier behöver inköparen minst beställa för att sannolikheten att deras totala batteritid inte räcker ska vara mindre än 5 procent? (L1, 4 poäng) 3. Om man bygger ett hus nära en stor väg kan man behöva sätta upp bullerplank om den genomsnittliga ljudnivån inomhus per dygn överstiger riktvärdet 30 dba. För att kontrollera om detta var fallet gjordes följande mätningar i huset under ett dygn (i dba). 25.9 28.3 29.7 26.4 29.2 29.0 27.7 28.4 31.0 26.7 29.0 28.6 28.8 28.4 28.7 28.1 26.4 27.7 28.7 28.7 29.1 31.1 26.4 29.2 (a) Ditt företag har som policy att om dygnsmedelvärdet vid en kontroll överstiger 29 dba, så står ni för kostnaden för bullerplank. Använd stickprovet ovan för att beräkna ett konfidensintervall för den genomsnittliga bullernivån per dygn. Du kan använda att xi = 681.2 och x 2 i = 19375.64. Välj själv en rimlig konfidensgrad. (b) Baserat på det konfidensintervall du fick fram i föregående uppgift, ska företaget bekosta bullerplank? (c) Beror ditt svar i föregående uppgift på vilken konfidensnivå du valde? Om ja, vart går gränsen för hur stor/liten konfidensgrad du måste ta för att komma till en annan slutsats i föregående uppgift? (L1, 5 poäng) 4. Då fönsterglas ska sättas på plats kan man använda två olika typer av leverantörer till skruvarna som håller dem på plats. Skruvarna från företag A kostar 50 öre styck och skruvarna från företag B kostar 20 öre styck. Företag A uppger att längden på deras skrivar är normalfördelad med medelvärde 10 mm och standardavvikelse 1mm, och företag B anger att längden på deras skruvar är normalfördelad med medelvärde 9mm och standardavvieklse 2mm. För att företaget ska kunna använda en skruv måste den vara mellan 9.5 och 10.5 mm lång. De skruvar som köpts in men som har fel längd slängs. 1
(a) Vad är sannolikheten att en slumpvist vald skruv från företag A respektive B kan användas? (b) Vilket företag blir billigast att köpa skruv från i längden? (c) Antag att kommunen inför en ny avgift för metallskrot så att du får betala 6 öre per kasserad skruv. Vilket företag blir nu billigast att använda i längden?. (L1, L2, 8 poäng) 5. Tiden i minuter mellan två bilar som passerar en trängselskatt-station kan antas vara exponentialfördelad med någon parameter λ som anger hur tungt trafikerad vägen är. Antag att λ = 5. (a) Hur många bilar passerar i snitt trängselskatt-stationen under en minut?. (b) Inför en sammanställning om effekterna avträngselskatt vill man förbättra sin modell, eftersom att man vet att tiden mellan att två passerande bilar måste vara åtminstone 6 sekunder. Man föreslår därför att man istället modellerar tiden mellan två bilar med hjälp av X = 0.1 + Y, där Y exp(µ) för någon parameter µ. Vad måste µ vara för att den genomsnittliga tiden mellan två bilar som passerar stationen inte ska förändras?. (L3, 4 poäng) 6. Företaget Jordlyft AB hyr ut grävmaskiner. I tabellen nedan ses hur många skopor som kasserades på grund av utslitning under varje månad förra året. Månad Antal kasserade skopor Januari 7 Februari 4 Mars 4 April 6 Maj 3 Juni 8 Månad Antal kasserade skopor Juli 10 Augusti 10 September 8 Oktober 5 November 4 December 9 (a) Räkna ut stickprovsvariansen, stickprovsstandardavvikelsen och medelvärdet för antalet skopor som kasseras varje månad. (b) Om X är antalet skopor som kasseras under en viss tidsperiod och vi antar att skoporna kasseras oberoende av varandra så är X Poissonfördelad. En Poissonfördelning har bara en parameter (intensitetsparametern λ). Givet den data du har, vad är ett rimligt värde på den parametern? (c) Baserat på dina svar på de första två deluppgifterna, finns det någon indikation på att den skattade parametern inte är lika med det verkliga värdet på parametern? Vad indikerar detta?. (4 poäng) Uppgifter från övningstentan 2014 3. Antag att du är med i tv-programet Let s make a deal och spelar följande spel: Framför dig finns tre dörrar. Bakom en av dem står en bil, och bakom de andra två står en get. Du får välja en av dörrarna och får bilen om du lyckas välja den dörren. När du valt en dörr så öppnar programledaren an av de dörrar du inte valt och bakom vilket det finns en get. Du får nu ett erbjudande om att byta dörr. Bör du byta? 4. Ge ett exempel på två händelser som är disjunkta (2p) 5. Ge ett exempel på två händelser som är oberoende (2p) 6. Antag att P (A B) = 0 för två händelser A och B med P (A) > 0 och P (B) > 0. 2
(a) Är A och B oberoende? (b) Är A och B disjunkta? (4p) 7. Nämn tre skillnader mellan kontinuerliga och diskreta stokastiska variabler (4p) 8. Antag att X har följande täthetsfunktion: 0 om x < 1 f(x) = 0.5 om 1 x 1 0 om x > 1 (a) Vad heter fördelningen som X har? (b) Vad är E[X]? (c) Vad är V ar(x)? 9. Antag att X är uniformt fördelad på intervallet [0, 1]. Vad har 4X 2 för fördelning? (8p) 10. Ange vilken fördelning man brukar anse att följande händelser har: (a) Tiden mellan två på varande följande stjärnfall (b) Längden på studenterna i klassen (c) Andelen personer som säger att de ska rösta på centerpartiet i ett stickprov av Sverigen befolkning (d) Antalet kunder som besöker en butik under en timma (e) Antalet kronor vi får, om vi kastar ett mynt 10 gånger (f) Antalet sexor vi får, om vi kastar en tärning 10 gånger 11. Antag att en kontinuerlig stokastisk variabel X har följande täthetsfunktion: 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 (a) Vad är P (X 1)? (b) Vad är P (X = 1)? (c) Vad är P (X 2)? (d) Vad är P (X 4)? (e) Rita den kumulativa fördelningsfunktionen till X. (f) Beräkna E[X] (g) Beräkna V ar[x] 12. Om X N( 1, 1), vad är (a) P (X 2) (b) P (X = 2) (c) P (X > 2) 3
13. Antag att vikten hos eleverna i en klass är normalfördelad med okänt medelvärde µ och känd standardavvikelse σ = 5. Malin har tagit ett stickprov från hela klassen bestående av två elever; Anna och Bo. Anna väger x Anna kg och Bo väger x Bo kg. Vi brukar skatta µ med hjälp av det aritmetiska medelvärdet, dvs. i det här fallet kan vi skatta µ x = x Anna + x Bo 2 Vi skulle dock lika gärna kunna skatta µ med hjälp av ˆx = x Anna + 2 x Bo 3 Visa att E[ X] = E[ ˆX] = µ om X Anna N(µ, σ) och X Bo N(µ, σ). Visa också att V ar( X) < V ar( ˆX), dvs. att X är en bättre skattare av µ än ˆX, även om båda ger rätt värde i snitt. 14. I en valundersökning tillfrågas 4000 personer om vilket parti de ska rösta på i valet. Totalt 150 personer uppger att de tänker rösta på Piratpartiet. (a) Använd datan för att skatta andelen p i befolkningen som kommer att rösta på Piratpartiet. (b) Låt X vara antalet personer som röstar på miljöpartiet i ett slumpmässigt valt stickprov X np av befolkningen. Använd att N(0, 1) för att beräkna ett konfidensintervall np(1 p) för p. (L3, 6p) 15. Beloppet som en slumpmässigt vald kund spenderar per besök på ett nöjesfält är i genomsnitt 300 kr med en standardavvikelse på 60 kr. Hur stor är sannolikheten att en slumpmässigt vald grupp på 50 individer spenderar fler än 14 500 kronor på ett besök? (uppgift 6.4 i boken) (L3, 3p) 16. Antag att man vid vägningar med en balansvåg har oberoende mätfel med väntevärdet 0.2 gram och standardavvikelsen 0.08 gram. Beräkna sannolikheten att det genomsnittliga felet vid 50 slumpmässigt utvalda vägningar överstiger 0.19 gram? (uppgift 6.9 i boken) (L3, 4p) 17. Antag att du är inköpsansvarig på ett företag, och att din chef ber dig att köpa in ett kullager från Skf. Du ska köpa in ett kullager som har innerdiameter 88mm, och om dess diameter är mer än 2mm för stor eller mer än 2mm för liten så måste kulllagret kasseras och ett nytt köpas in. I Skf katalog hittar du följande två alternativ: Typ 1 Typ 2 Förväntad innerdiameter (µ 1 ) Standardavvikelse (σ 1 ) Pris 88mm 1mm 80kr Förväntad innerdiameter (µ 2 ) Standardavvikelse (σ 2 ) Pris 80mm 4mm 10kr Den faktiska innerdiametern på kullagret i båda fallen antas vara normalfördelad med respektive medelvärde och standardavvikelse. Typ 1 är alltså lite dyrare än typ 2, men sannolikheten att du får ett kullager som går att använda är större, även om det i båda fallen finns en risk att kullagret du köper måste kasseras för att det visar sig att innerdiametern på det kullager ni mottar är antingen för stor eller för liten. (a) Hur stor är sannolikheten att det kullager som du får om du köper ett kullager av typ 1 kan användas av företaget? (b) Hur stor är sannolikheten att det kullager som du får om du köper ett kullager av typ 2 kan användas av företaget? (c) Hur stor är sannolikheten att det kullager som du får om du köper ett kullager av typ 2 måste kasseras? 4
Antag att du bestämmer dig för att köpa ett kullager av typ 1, och att du köper in denna typ av kullager om och om igen tills du får ett med en innediameter mellan 86mm och 90mm. (d) Vad är sannolikheten att du behöver köpa in exakt 3 kullager? (e) Vad är sannolikheten att du behöver köpa in exakt k kullager, där k är ett positivt heltal? (f) Vad är det förväntade antalet kullager du behöver köpa in? (g) Vad blir den förväntade kostnaden för de kullager du totalt behöver köpa? (h) Vad blir motsvarande kostanad om du istället hade valt att köpa in kullager av typ 2? (L2, L3, 10p) Uppgifter från omtentan 20140122 1. För vilken av följande fördelningar är P (X = 3) störst? En normalfördelning med medelvärde 3 och standardavvikelse 1 En normalfördelning med medelvärde 3 och standardavvikelse 0.1 En exponentialfördelning, med parameter 1 /2 En binomialfördelning, med n = 4 och p = 0.5 En Poissonfördelning, med λ = 4 2. Malin har som sommarjobb att räkna antalet bilar som passerar en bro under två timmar varje dag. Tiden i minuter mellan två bilar som passerar antas vara exponentialfördelad med parameter λ = 1 /20. (a) Hur länge måste Malin i snitt vänta mellan att två bilar dyker upp? (b) Vad är sannolikheten att det dyker upp ingen, en eller två bilar under ett arbetspass? (c) Vad är sannolikheten att inga bilar dyker upp under två dagar i följd? (d) När det är 5 minuter kvar av Malins arbetspass, och det inte har dykt upp några bilar den senaste halvtimman bestämmer sig Malin för att gå hem. Vad är sannolikheten för att det dyker upp en bil under de fem minuter av Malins arbetspass som hon inte är där? (L3, 4p) 3. Johan tycker mycket om pannkakor, och när han gör pannkakor brukar han köpa medelstora ägg, som enligt förpackningen ska väga 53 63 gram. Den senaste tiden tycker dock Johan att alla ägg han köpt varit förvånansvärt små, och han bestämmer sig därför för att väga alla ägg han köper. De senaste 20 äggen Johan har köpt har haft följande vikter: 46 47 47 48 49 49 49 50 52 52 52 52 53 53 55 55 56 56 57 59 Johan räknar ut att v i = 1037 och v 2 i = 54 027, där v i är vikten på ägg nummer i. (a) Givet Johans insamlade data, beräkna ett ensidigt uppåt begränsat 95%-igt konfidensintervall för medelvikten på ett ägg. Baserat på detta, finns det skäl för Johan att kontakta äggproducenten för att klaga? (b) Johan läser på äggproducentens hemsida att äggen som klassas som normalstora har en vikt som är normalfördelad med medelvärde 58 gram och standardavvikelse 2,5 gram. Givet att de här siffrorna stämmer, hur sannolikt är det att få ett ägg som väger mindre än eller lika med 53 gram? (c) Hur sannolikt är det, givet att äggproducentens data, att stickprovsmedelvärdet är så litet som, eller mindre än, i Johans fall? 5
(d) Totalt väger 19 av äggen Johan vägt minde än 58 gram. Givet att producentens uppgifter stämmer, hur stor är sannolikheten att minst 19 av 20 ägg väger mindre än 58 gram? Uppgifter från tentan 20140603 3. Antag att X N(0, 1). Beräkna följande sannolikheter: (L3, 6p) (a) P (X 2) (b) P (X = 2) (c) P (X > 2) 4. Antag att X är uniformt/likformigt fördelad på intervallet [0, 1]. Vad har 2X för fördelning?. (4p) 5. Antag att P (X = 1) = P (X = 1) = 0.5. Beräkna E[X] och V ar(x).. (4p) 7. Vikten på ägg från en mataffär kan antas vara normalfördelad med okänt medelvärde µ och okänd standardavvikelse σ. För att ta reda på medelvikten hos äggen vägs alla ägg i en kartong med 12 ägg, och följande vikter erhålles (i gram): 52 47 61 37 37 51 55 50 53 49 48 59 (a) Beräkna medianen, typvärdet och medelvärdet hos stickprovet. Vilket av de siffror du får tycker du säger mest om datan? (b) Beräkna stickprovsstandardavvikelsen s, givet att x 2 i = 30493, där x i är vikten i gram hos ägg nummer i. (c) Beräkna ett konfidensintervall för µ, med konfidensnivå p = 0.98. Uppgifter från omtentan 20140825 3. Ett hemmatest kan upptäcka laktosintolerans hos en person som är intolerant mot laktos med 94% sannolikhet. Med sannolikhet 0.01 ger testet ett positivt result även om den som gör testet inte är laktosintolerant. Anta att 5% av befolkningen är laktosintoleranta. Vad är sannolikheten att en slumpvist vald person som får ett positivt testresultat är laktosintolerant? (L2, L3, 4p) 4. Antag att tiden det tar för en kund att betala för sina matvaror i en affär är exponentialfördelad med medeltid två minuter. Antag att det står tre personer före dig i kön. Vad är sannolikheten att du får vänta i mer än fem minuter innan det blir din tur att betala? (L3, 4p) 5. Låt X vara en kontinuerlig stokastisk variabel med täthetsfunktion 0 om x < 1 x 1 om 1 x < 2 f(x) = 1/2 om 2 x < 3 0 om x 3 (a) Vad är P (X < 0)? (b) Vad är E[X]? (4p) 6
6. Antag att man vid tillverkningen av kullager får diametrar med väntevärdet 47 mm och standardavvikelsen 0.3 mm. Uppskatta sannolikheten att den genomsnittliga diametern vid 20 slumpmässigt utvalda mätningar överstiger 47.1 mm.. (L1, L3, 6p) 7. För att ta reda på en produkts fryspunkt gjordes följande mätningar: 1.1 C, 1.6 C, 2.2 C, 0.6 C, 1.5 C, 1.7 C. (a) Beräkna ett 98%-igt dubbelsidigt konfidensintervall för fryspunktens medelvärde, om standardavvikelsen σ = 0.2 man får vid mätningar är känd sedan innan. (b) Beräkna ett 98%-igt dubbelsidigt konfidensintervall för fryspunktens medelvärde, om standardavvikelsen är okänd och måste skattas från datan. Uppgifter från dugga 1 2014 (L3, 4p) 1. Antag att P (A) = 0.1, P (B) = 0.1 och P (A B) = 0.1. Vad är P (A B)? (2p) 2. Låt A och B vara som i uppgift 1. Är A och B oberoende? (2p) 3. Om C och D är händelser med P (C) > 0 och P (D) > 0, kan C och D vara både disjunkta och oberoende? Motivera! 4. Varför är P (X 2) = P (X < 3) om X är Poissonfördelad? 5. Låt X vara en diskret stokastisk variabel med P (X = 1) = 0.5 och P (X = 4) = 0.5. Rita grafen till den kumulativa fördelningsfunktion till X, dvs. grafen till F (x). (2p) 6. Antag att Malin rättar uppgifter utan att titta på svar eller lösningar, och ger rätt för en uppgift med sannolikhet 0.5, helt oberoende av poängen hon gett på de andra uppgifterna. Vad blir då sannolikheten att en elev får rätt på minst 4 av 6 uppgifter? (L3, 3p) Uppgifter från dugga 2 2014 2. I följande text finns fyra stokastiska variabler. Markera varje sådan variabel i texten och ange vilken fördelning man brukar anta att den har. Du behöver inte ange vad parametrarna blir. En polis ska under en arbetsdag stå vid en väg och mäter hastigheten hos de passerande bilarna, vilka antas vara helt oberoende. Han ska antecknna hur många bilar han totalt ser passera under tiden han står vid vägen, och också hur lång tid det är mellan att två på varande följande bilar passerar. Innan polisen går hem ska han även ange hur många av de bilar som passerat som kört för fort. 3. Varför är P (X < µ + x) = P (X > µ x) om X N(µ, σ)? 4. I Matlab kan man skriva rand(1) för att generera oberoende kontinuerliga stokastiska variabler med likformig fördelning (rektangelfördelning) på intervallet [0, 1]. Malin använder först den här funktionen för att få en sådan stokastisk variabel X, och sätter sedan Y = 1 log(1 X) λ Vilken fördelning får då Y, dvs. vilken fördelning kan man generera på en dator med hjälp av metoden ovan? (8p) (Tips: Vad är P (Y y)?) 7