Teoretisk Elektroteknik Repetition i ellšra Henrik Otterheim Copyright 200 Teoretisk Elektroteknik, KTH
Repetition i EllŠra 2() nnehœll. nledning 2. Elektrisk stršm. Elektrisk spšnning 4. Ohms lag 5. Seriekoppling av resistorer 6. Parallellkoppling av resistorer 7. Kirchhoffs stršmlag 8. Potential 9. Kirchhoffs spšnningslag 0. RŠkneuppgifter. Lšsningar till rškneuppgifter ilagor. Formelsamling. Storheter, enheter och prefix
Repetition i EllŠra (). nledning Det hšr kompendiet riktar sig till dig som ska bšrja studera ellšra pœ Kungliga Tekniska Hšgskolan, KTH. Kursen i ellšra lšgger grunden fšr och introducerar begrepp till den elektroteknik som anvšnds vid konstruktion av fšrstšrkare, C-kretsar, svšngningskretsar, radio, TV, datorer, CD-spelare, elmotorer mm. Modellbildning lla tekniska berškningar och resonemang byggs upp kring olika modeller av verkligheten. Det Šr oftast matematiska modeller. Det gšr att vi kan dra slutsatser samt gšra bevis och tolkningar med hjšlp av matematiska verktyg. Vi kan fšrklara fenomen och gšra tekniska konstruktioner. Fšr att fšrenkla berškningar inom fysiken gšrs ofta approximationer som ger ett litet men oftast acceptabelt fel i berškningen. pproximationerna gšr att berškningarna blir mindre omfattande och problemen kan lšsas fšr hand eller med enklare datorer. nom ellšran approximerar vi t.ex. oftast resistansen till 0 i de ledningar som kopplar ihop komponenterna. Det gšr att vi inte behšver bry oss om hur lœnga ledningarna Šr eller hur de Šr dragna i kretsen nšr vi gšr berškningar. Det Šr inte helt sant men den fšrenklar vœr behandling av den elektriska kretsen och felet Šr oftast acceptabelt. Det gœr inte att fšrsumma resistansen nšr vi gšr berškningar pœ mycket lœnga ledningar. NŠr vi t.ex. ršknar pœ šverfšringen av elenergi frœn vattenkraftverken i Norrland till elkonsumenterna i Stockholm mœste vi ta med resistansen i ledningen. pproximationen att ledningsresistansen Šr 0 Šr alltsœ ofta acceptabel fšr mindre kretsar men helt felaktig fšr lœnga kraftledningar, Šven om de bestœr av samma material. Ett viktigt moment i din civilingenjšrsutbildning Šr att sštta dig in i och fšrsška fšrstœ och behšrska de modeller och approximationer som gšrs och nšr de Šr giltiga. Du bšr Šven šva upp din fšrmœga att gšra berškningar med dessa modeller. Du kommer kanske tycka att kurserna pœ KTH verkar všldigt teoretiska och utan koppling till verkligheten. Det beror pœ att en fšrhœllandevis stor del av tiden pœ hšgskolan avsštts fšr att studera och lšra ut hur man utfšr berškningar pœ de modeller som man har skapat. tt gšra kopplingen till verkligheten, skapa den matematiska modellen, gœr relativt fort i en utbildning. Men att sštta sig in i modellen och fšrstœ effekter och gšra berškningar Šr komplicerat och kršvande. Det kršver mycket tid och god matematisk fšrdighet. GŒ tillbaka dœ och dœ under dina studier och repetera den modellbildning som har lett till de berškningar och slutsatser som du hœller pœ med just nu. Om du gšr det kommer du ška chansen att fœ ett sammanhang i studierna och en bestœende kunskap frœn dina studier pœ KTH. Du kommer ocksœ upptšcka att flera kurser anvšnder likartade modeller. Mål MŒlet med detta studiehšfte Šr att du ska kšnna till och fšrstœ begreppen spšnning, stršm och resistans. Du ska kunna Ohms lag, Kirchhoffs
Repetition i EllŠra 4() stršmlag och spšnningslag och kunna tillšmpa dem i berškningar. Du ska behšrska seriekoppling och parallellkoppling av resistorer och utfšra fšrenklingar av kretsar. StudiehŠftet Šr en fšrberedelse till kursen i EllŠra pœ KTH och ska vara instuderat innan kursen pœbšrjas.
Repetition i EllŠra 5() 2. Elektrisk stršm Elektrisk stršm Šr ett begrepp som beskriver flšdet av elektrisk laddning. "Det stršmmade in elever i klassrummet." NŠr vi sšger sœ menar vi att det under en viss tid passerade ett antal elever genom dšrren in till klassrummet. PŒ samma sštt definierar vi elektrisk stršm som laddningsmšngd som under en tidsperiod passerar en yta. - - - - - - - Stršm: laddningsmšngd som passerar genom ytan per tid = laddning/tid [] ledare Šr det elektronerna som Šr lšttršrliga och stœr fšr laddningstransporten. Som du ser i figuren Šr stršmmen definierad som positiv i den riktning som positiv laddning ršr sig. Eftersom elektronerna Šr negativt laddade kommer vara motsatt riktad elektronernas ršrelse. Stršm betecknas och har enheten mpere [], efter den franske fysikern och matematikern ndrž Marie mpere. mpere gjorde under bšrjan av 800-talet stora insatser inom elektromagnetismen och formulerade bl.a. sambandet mellan elektrisk stršm och magnetfšlt. NŒgra vanliga všrden pœ stršmstyrka: Talstršm i telefon m (=0,00 ) 60W-lampa ca 0, Dammsugare ca 5 TunnelbanetŒg ca k (=000 ) lixturladdning ca 00 k
Repetition i EllŠra 6(). Elektrisk spšnning Elektrisk spšnning uppstœr nšr elektrisk laddning separeras, dvs. det blir ett šverskott pœ positiv laddning i ett omrœde och ett underskott i ett annat. De separerade laddningarna pœverkas av en Œterfšrande elektrisk kraft som vill neutralisera laddningsseparationen. Laddningsseparationen kan Œstadkommas pœ olika sštt. batteriet sker det pœ kemisk všg och i vattenkraftverken sker det genom en šverfšring frœn mekanisk rotation i magnetfšlt. Elektrisk spšnning har enheten Volt [V] efter den italienske fysikern lessandro Volta som gjorde betydelsefulla insatser inom den tidiga elektrotekniken. Han konstruerade det fšrsta elektriska batteriet, Voltas stapel, Œr 800 och infšrde begreppet spšnning. NŠr vi ritar elektriska kopplingsscheman anvšnds den hšr symbolen fšr spšnningskšlla. 24 V symbolen anges pluspol och den spšnning som kšllan ger mellan sina poler, i detta exempel 24 V.
Repetition i EllŠra 7() 4. Ohms lag 826 upptšckte Georg Simon Ohm genom ett antal experiment att sambandet mellan stršm och spšnning i en ledare Šr linjšrt. [V] 2 R = 2 Ω 2 [] Ohms lag: = R Proportionalitetsfaktorn kallas fšr resistans och betecknas R. Resistansen Šr konstant under vissa fšrutsšttningar som t.ex. konstant temperatur. Enheten fšr resistans Šr Ohm[ Ω]. Ledarens resistans R Šr ett mœtt pœ hur všl den leder stršm. Hšg resistans innebšr att de fria laddningarna mšter stort hinder att ršra sig i ledaren. Ledaren anses dœ vara dœlig. Ett material som har sœ hšg resistans att det inte flyter nœgon stršm alls i samband med att man utsštter materialet fšr elektrisk spšnning betecknas isolator. elektriska kretsar Šr komponenterna sammankopplade med ledningar. Dessa ledningar har sœ god ledningsfšrmœga att de anses vara ideala ledare, dvs. resistansen i ledningen Šr 0. DŠrmed Šr det inget spšnningsfall lšngs en ledning, enligt Ohms lag, och det spelar dšrfšr ingen roll fšr kretsens funktion hur lœnga ledningarna Šr eller hur ledningarna Šr dragna i kretsschemat. Ohms lag Šr inte allmšngilltig utan gšller under vissa fšrutsšttningar, precis som alla matematiska modeller av verkligheten. Definitionsriktning En resistor med resistansen R symboliseras av en rektangel enligt figuren. figuren Šr resistorn anslutet till en ledning. ledningen flyter stršmmen i pilens riktning. eroende pœ hur stršm och spšnning Šr definierade kan vi fœ en teckenskillnad i Ohms lag. Om vi har definierat dem enligt figur a) ser Ohms lag ut
Repetition i EllŠra 8() a) R = R Om definitionen dšremot Šr enligt figur b) fœr vi ett minustecken i uttrycket b) R = R
Repetition i EllŠra 9() 5. Seriekoppling av resistorer Ohms lag ger sambandet mellan stršm och spšnning i resistorer. NŠr vi har elektriska kretsar med flera resistorer inkopplade kan det vara svœrt och omstšndligt att gšra berškningar. MŒnga berškningar upprepas i onšdan vilket kan leda till fel. Kretsen blir bœde lšttare att fšrstœ och gšra berškningar pœ om vi kan gšra fšrenklingar dšr vi utnyttjar Ohms lag. Ett fall dšr man kan infšra en fšrenkling Šr nšr flera resistorer Šr inkopplade i serie efter varandra lšngs samma ledning. Detta kallas seriekoppling. Exempel Ett exempel pœ seriekoppling Šr den elektriska julljusstaken. De sju glšdlamporna Šr oftast seriekopplade. fšljande resonemang antar vi att det endast Šr glšdlampor i ljusstaken. Varje glšdlampa representeras hšr av en resistor. Vi ska nu ta reda pœ vilken resistans hela ljusstaken har, dvs. vilken resistor de seriekopplade resistorerna kan ersšttas med. R R 2 R en seriekoppling flyter samma stršm genom samtliga resistorer. Det Šr detta faktum som vi utnyttjar fšr att gšra fšrenklingen. Vi infšr stršmmen som gœr genom de tre resistorerna. SpŠnningarna šver respektive resistor ges dœ av Ohms lag. R 2 R 2 R = R 2 = R2 = R SpŠnningen mellan och Šr summan av spšnningarna šver resistorerna, = 2. Vi sštter in uttrycken fšr spšnningarna šver resistorerna, = R R R 2. DŠrefter bryter vi ut den gemensamma faktorn, stršmmen.
Repetition i EllŠra 0() = ( R R R ) 2 Ohms lag mellan och har formen = R. JŠmfšrelse mellan de tvœ senaste uttrycken ger att vi kan sšga att resistansen mellan och är R = R R 2 R Det hšr betyder att vi kan ersštta flera resistorer i serie med en enda resistor. R ErsŠttningsresistansen Šr lika med summan av de seriekopplade resistenserna. Ett allmšnt uttryck fšr n stycken seriekopplade resistorer Šr R = n i= R i Övningsexempel tt julljusstaken Šr seriekopplad kontrollerar du enkelt genom att skruva ur en av lamporna. Om samtliga lampor slocknar Šr ljusstaken seriekopplad. Varfšr det?
Repetition i EllŠra () 6. Parallellkoppling av resistorer Ett annat fall dšr fšrenklingar kan infšras i kretskopplingar Šr nšr resistorerna Šr inkopplade "bredvid" varandra. En sœdan koppling kallas parallellkoppling. Vi tar ett exempel med parallellkopplade resistorer. R R 2 R Fšr att bestšmma ersšttningsresistansen mellan och i det hšr fallet anvšnder vi Œter Ohms lag men utnyttjar den hšr gœngen att spšnningen šver de olika resistorerna Šr lika, = = = 2. Stršmmen som flyter i respektive gren i parallellkopplingen ges av Ohms lag. 2 R R 2 R = R 2 = R 2 R = Totala stršmmen som gœr mellan och Šr summan av de tre stršmmarna. = 2 Vi sštter in uttrycken fšr stršmmarna = R R R 2
Repetition i EllŠra 2() DŠrefter bryter vi ut den gemensamma faktorn, spšnningen. = R R R 2 Enligt Ohms lag Šr sambandet mellan stršm och spšnning mellan och = R De tvœ senaste ekvationerna ger sambandet mellan ersšttningsresistansen och de parallellkopplade resistenserna = R R R R 2 Den inverterade ersšttningsresistansen Šr lika med summan av de inverterade parallellkopplade resistenserna. Ett allmšnt uttryck fšr n stycken parallellkopplade resistorer Šr n = R R i= i Vid specialfallet tvœ parallellkopplade resistorer kan vi gšra gemensam nšmnare R2 R R R = = = R R R RR RR RR 2 2 2 2 2 ErsŠttningsresistansen fœr vi genom att invertera bœda led R = RR 2 R R 2
Repetition i EllŠra () Exempel LŒt oss anta att glšdlamporna i den elektriska julljusstaken Šr parallellkopplade. Om man skruvar ur en av glšdlamporna kan de švriga fortsštta att lysa. Det beror pœ att den urskruvade glšdlampan endast bryter stršmmen i sin egen gren i kopplingen. Stršmmen kan fortsštta att flyta i de švriga parallella grenarna. Övningsexempel lir stršmmen starkare, svagare eller ofšršndrad genom de švriga glšdlamporna nšr en av lamporna skruvas ur den parallellkopplade ljusstaken? det seriekopplade fallet, se avsnitt, orsakar den urskruvade glšdlampan ett avbrott pœ ledningen som gšr att stršmmen inte kan flyta genom de švriga lamporna. DŠrfšr slocknar alla lamporna nšr en av dem skruvas ur.
Repetition i EllŠra 4() 7. Kirchhoffs stršmlag Gustav Robert Kirchhoff var en betydelsefull tysk fysiker under 800- talet som har gjort insatser inom flera av fysikens omrœden. Han formulerade bl.a. Kirchhoffs lagar fšr berškning av stršmmar i elektriska ledningsnšt. En av dessa lagar Šr Kirchhoffs stršmlag. Den sšger att summan av alla stršmmar in till en nod, knutpunkt, i ett elektriskt nšt, Šr lika med noll. Kirchhoffs stršmlag innebšr att det inte kan skapas eller fšrsvinna laddning i knutpunkten. ll laddning som kommer in till noden via en eller flera ledningar mœste fortsštta ut i nœgon eller nœgra av de andra ledningarna. 2 4 2 4 = 0 Vi har anvšnt Kirchhoffs stršmlag vid fšrenklingsberškningen fšr parallellkopplade resistorer, avsnitt 6. DŠr sšger vi att totala stršmmen mellan och Šr lika med summan av grenstršmmarna, = 2.
Repetition i EllŠra 5() 8. Potential Potential Šr ett begrepp som Šr knutet till arbete och energi. De flesta av oss Šr vana vid begreppet potentiell energi eller med ett annat ord lšgesenergi. Tyngdkraft Med lšgesenergi brukar vi mena energin som vi fœr nšr vi ršr oss i det jordbundna tyngdkraftfšltet. Tyngdkraften Šr riktad vinkelrštt mot jordens yta. Vi ritar ut hšjdkurvor som binder samman punkter med lika potential (samma hšjd i tyngdkraftfšltet) fšr att vi ska fœ en uppfattning om hur terršngen ser ut. Det Šr intressant dšrfšr att det ŒtgŒr arbete att ršra sig uppœt eller nerœt i kraftfšltet. Vi vet att det Šr arbetsamt att cykla uppfšr en brant backe medan det Šr vilsamt och ŒterhŠmtande att cykla nerfšr densamma. NŠr vi cyklar uppfšr backen flyttar vi oss i tyngdkraftfšltet sœ att potentialen škar, medan potentialen minskar nšr vi Œker nerfšr. Potentialen Šr relativ, dvs. dess všrde beror pœ vilken referenspunkt vi všljer att jšmfšra med. Vanligtvis všljer vi havsytan som referensnivœ fšr tyngdkraftfšltet. Vi talar om hšjd šver havet i angivelser pœ vœra kartor. Elektrisk kraft nom ellšran har vi ett liknande kraftfšlt, nšmligen det elektriska kraftfšltet. Man har dšrfšr definierat en potential Šven hšr som Šr analog med potentialen fšr tyngdkraftfšltet. Skillnaden Šr att i tyngdkraftfšltet Šr det ett objekts massa som pœverkar kraftverkan medan i det elektriska fšltet Šr det objektets elektriska laddning som ger kraftverkan. Den elektriska potentialen betecknas V. Vi har normalt sett inte lika stor erfarenhet av att pœverkas av elektriska kraftfšlt som av tyngdkraftfšltet. Det gšr att vi vanligen har svœrare att ta till oss begreppen inom ellšran Šn inom mekaniken. Visserligen ršr vi oss fšr det mesta i starka elektriska fšlt men den totala pœverkan pœ vœra kroppar Šr ringa eftersom vi Šr helt laddningsneutrala. Vi bestœr av lika mycket positiv som negativ laddning. Om vi dšremot ser pœ laddningarna inuti material och kroppar sœ pœverkas de hela tiden av starka elektriska krafter. En positiv laddning pœverkas av en kraft som vill drar den frœn hšg potential mot lšgre potential. Det Šr precis sœ som vi pœverkas av tyngdkraften, dšr vi dras frœn hšg hšjd mot lšgre hšjd šver jordytan. Den elektriska potentialen Šr ocksœ relativ och definieras pœ samma sštt som fšr tyngdkraften utifrœn en referensnivœ som kallas jordpunkt. Vid jordpunkten Šr potentialen definierad till všrdet 0. Exempel LŒt oss ta den elektriska julljusstaken som exempel fšr att fšrtydliga hur potentialen varierar i en elektrisk krets. Glšdlamporna har vardera resistansen R 0. vœrt exempel har vi 2 glšdlampor. Genom glšdlamporna flyter stršmmen 0. LŠngst till hšger Šr kretsen jordad. Vad Šr potentialen i kopplingen?
Repetition i EllŠra 6() Potential V R 0 0 2 R 0 0 R 0 0 0 0 R 0 R 0 C 0 C Jord V=0 LŒt oss bšrja frœn referenspunkten, dvs. jordpunkten. DŠr Šr potentialen definitionsmšssigt satt till 0. SpŠnningen mellan tvœ punkter Šr detsamma som skillnaden i potential mellan punkterna. Enligt Ohms lag Šr spšnningen šver den hšgra resistorn = C R0. 0 Det betyder att potentialen pœ ledningen i punkten mellan de tvœ resistorerna mœste var lika med potentialen vid jordpunkten, punkten C, plus spšnningen šver den hšgra resistorn. V = VC C Vi uttrycker spšnningen med Ohms lag V = R 0 0 0 LŠngs ledningen Šr potentialen konstant eftersom ledningens resistans Šr fšrsumbar i fšrhœllande till andra resistanser i kretsen. Den Šr i stort sett lika med 0. potentialgrafen ovanfšr kopplingen Šr potentialen inritad som funktion av lšget lšngs kopplingen. Nu ŒterstŒr att ta reda pœ hur potentialen fšršndras i anslutning till den všnstra resistorn. Vi vet att potentialen Šr V R = 0 0 till hšger om resistorn. Enligt Ohms lag Šr spšnningen šver den všnstra resistorn = R0. 0
Repetition i EllŠra 7() Eftersom spšnning Šr potentialskillnad fœr vi potentialen till všnster om resistorn om vi adderar till V. V = V = R R = 2R 0 0 0 0 0 0 potentialgrafen kan vi se att potentialen stiger vid varje resistor om man gœr mot stršmmens riktning. Fšljer man med stršmmen sjunker potentialen vid resistorerna. ledningen Šr potentialen konstant. SpŠnningen šver hela ljusstaken Šr summan av spšnningarna šver respektive glšdlampa. vœrt fall Šr det endast tvœ lampor C = C SŠtter vi in Ohms lag fœr vi spšnningen = R C R = 2R 0 0 0 0 0 0 Eftersom spšnning Šr detsamma som potentialskillnad kan vi Šven uttrycka spšnningen mellan och C som C = V VC SŠtter vi in det beršknade uttrycket fšr potentialen fœr vi spšnningen = 2 C R 0= 2 R 0 0 0 0 Övningsexempel Gšr samma berškningar som ovan fšr kretsen nšr jordpunkten har flyttats frœn C till. 0 R 0 R 0 C 0 Jord V=0 Rita potentialgrafen fšr den hšr kopplingen? (TŠnk pœ att potentialen kan vara negativ) estšm spšnningen mellan och C pœ de tvœ olika sštt som beskrivits ovan.
Repetition i EllŠra 8() 9. Kirchhoffs spšnningslag Kirchhoffs spšnningslag sšger att: en sluten stršmkrets Šr summan av alla spšnningar ršknade med sitt tecken lika med noll. Exempel LŒt oss fortsštta med den elektriska julljusstaken som exempel. Vi ansluter ljustaken till ett batteri som ger spšnningen 0. Vi antar att ljusstaken endast har 2 glšdlampor med vardera resistansen R 0. 0 R 0 R 0 C Fšr att det ska bli tydligare vad som Šr kšnda storheter och vilka som Šr antagna ršknestorheter sštter vi všrdet 9V pœ batterispšnningen och resistansen 0 Ω pœ glšdlamporna. 9V 0 Ω 0 Ω C C Vi har Šven antagit stršmmen och švriga spšnningar i kretsen. Riktning och polaritet pœ dessa Šr ansatser som anvšnds i berškningen. Potentialresonemang kapitel 6 gick vi igenom hur man beršknar potentialen i en krets. Man utgœr frœn en punkt. Fšr att fœ potentialen i en annan punkt lšgger man till potentialskillnaden dvs. spšnningen mellan den sškta punkten och utgœngspunkten. Det Šr precis det som vi gšr i Kirchhoffs spšnningslag. Vi utgœr frœn punkten, adderar spšnningen šver glšdlampan och kommer till punkt. Vi ršknar alltsœ ut potentialen i relativt potentialen i. NŠr vi sœ kommer tillbaka till punkten efter att ha summerat alla potentialfšršndringar, spšnningar, ska vi Œter ha samma potential som vi startade pœ.
Repetition i EllŠra 9() Om vi jšmfšr med tyngdkraften sœ kan en liknande situation vara fšljande. Du stœr vid starten till motionsslingan i skogen. LŒt oss kalla det fšr punkt. HŠr Šr hšjden 90 m šver havet. Du befinner dig alltsœ pœ en viss potential i tyngdkraftfšltet. NŠr du har startat kommer du till tvœ backar som vardera sšnker din hšjd šver havet med 6 meter. Efter dessa backar Šr du alltsœ nere pœ 88 meter šver havet. Mellan backarna Šr marken helt jšmn. slutspurten ligger en uppfšrsbacke som gšr att du kommer upp 2 meter sœ att du Œter Šr pœ samma hšjd nšr du kommer tillbaka till starten, punkt. Det kšnns ju ganska sjšlvklart att man Šr tillbaka pœ samma hšjd, potential, efter en sœdan hšr slinga. Lika sjšlvklart Šr det faktiskt att den elektriska potentialen Šr densamma efter ett varv i den elektriska slingan. eräkning Vi bšrjar i punkten. LŒt potentialen vara V. NŠsta steg Šr att berškna potentialen i punkten. Fšr att fœ potentialen i punkten anvšnder vi sambandet = V V Omflyttning ger V = V Vi konstaterar att potentialen sjunker frœn till eftersom vi gœr i stršmmens riktning. Fšr att berškna potentialen i C gšr vi pœ samma sštt, utgœr frœn potentialen i punkten och lšgger till spšnningsfallet šver resistorn. VC = V C Om vi sštter in uttrycket fšr V fœr vi VC = V C Nu ŒterstŒr att ta sista steget frœn C till. HŠr fœr vi ett positivt bidrag till potentialen eftersom V V =9 C Omstrukturering ger V = V 9 C
Repetition i EllŠra 20() Vi sštter in uttrycket fšr V C som vi har beršknat ovan och fœr ekvationen V = V C 9 Omskrivning ger att summan av alla spšnningar ršknade med tecken i den slutna slingan Šr lika med noll. 0= 9 C Om vi omstrukturerar ekvationen ytterligare en gœng fœr vi ett bekant samband. Summan av spšnningarna šver respektive glšdlampa Šr lika med totala spšnningen šver ljusstaken, dvs. batterispšnningen. 9 = C Övningsexempel erškna stršmmen i ljusstaken genom att anvšnda Ohms lag fšr spšnningen šver respektive glšdlampa.
Repetition i EllŠra 2() 0. RŠkneuppgifter ppg. estšm stršmmen. 0 V 2 Ω ppg. 2 erškna resistansen mellan och. 20 Ω 20 kω ppg. erškna resistansen mellan och. 5Ω 5Ω 5Ω 5Ω 5Ω ppg. 4 erškna resistansen mellan och. 5 kω 5 Ω ppg. 5 erškna resistansen mellan och. 5Ω 5Ω 5Ω 5Ω 5Ω
Repetition i EllŠra 22() ppg. 6 erškna resistansen mellan och. 5Ω 5Ω 5Ω 5Ω ppg. 7 erškna stršmmen. 9 V 8 Ω 6 Ω ppg. 8 erškna stršmmen. 45 Ω 0 Ω 5 V 20 Ω 0 Ω 0 Ω 0 Ω 0 Ω 0 Ω ppg. 9 erškna stršmmen. 00 V 20 Ω 0 Ω 0 Ω 5 Ω 0 Ω 0 Ω 0 Ω 0 Ω
Repetition i EllŠra 2() ppg. 0 a) erškna stršmmarna 2 och. b) nvšnd Kirchhoffs stršmlag fšr att bestšmma. 2 V 2 24 kω kω 4 kω 2 kω ppg. a) nvšnd Kirchhoffs spšnningslag fšr att berškna stršmmen i kretsen. b) erškna potentialen i punkten. 5 kω 5 V 2 kω 60 kω ppg. 2 ppgiften gœr ut pœ att berškna potentialen i punkten. a) nvšnd Kirchhoffs spšnningslag fšr att berškna relevanta stršmmar i kretsen. b) erškna potentialen i punkten. 200 V 0 MΩ 5 MΩ 20 MΩ 20 MΩ 5 MΩ ppg. nvšnd Kirchhoffs stršm- och spšnningslagar fšr att berškna stršmmarna och 2. 2,0 kω 0,5 kω 7,8 m,4 m,0 kω
Repetition i EllŠra 24(). Lšsningar till rškneuppgifter Lšsn. Stršmmen Šr ansatt Œt motsatt hœll mot definitionen i Ohms lag. Det innebšr att vi fœr ett minustecken i Ohms lag, = R, vilket ger = = 0 R 2 =-5 Svar: = -5 Lšsn. 2 Resistorerna Šr seriekopplade vilket ger R = 20 20 0 = 20, 02 kω Kommentar: Vi ser att i en seriekoppling dšr resistorernas resistans skiljer sig mycket Œt, ger den stšrre resistorn det dominerande bidraget till den totala resistansen. Du kan jšmfšra detta med det kšnda uttrycket; "ingen kedja Šr starkare Šn sin svagaste lšnk". Svar: R = 20, 02 kω 20 kω Lšsn. Resistorerna Šr seriekopplade. Resistansen mellan och Šr summan av resistorernas resistans. Svar: R = 5 5= 25Ω Lšsn. 4 Resistorerna Šr parallellkopplade. Eftersom det Šr tvœ resistorer fœr vi R = 5 5 0 4, 995 Ω 5 5 0 ( ) = Kommentar: Vi ser att i en parallellkoppling dšr resistorernas resistans skiljer sig mycket Œt, ger den mindre resistorn det dominerande bidraget till den totala resistansen. Svar: R = 4, 995 Ω 5 Ω Lšsn. 5 Resistorerna Šr parallellkopplade. Vi fœr inversen av resistansen mellan och som = = 5 5 5 5 5 S R Kommentar: Vi ser att resistansen blir mindre ju fler resistorer som parallellkopplas. Det beror pœ att stršmmen har fler grenar att fšrdela sig pœ, och dšrmed sjunker resistansen. Fšr att fœ en kšnsla fšr detta kan man jšmfšra olika všgars framkomlighet. PŒ en 4-filig motorvšg mšter trafiken mindre "motstœnd" Šn pœ en vanlig 2-filig landsvšg. Svar: R =Ω
Repetition i EllŠra 25() Lšsn. 6 Kretsen kan ritas om enligt 5Ω 5Ω 5Ω 5Ω De tvœ parallellkopplade resistorerna kan ersšttas med en resistor 5 5 R = 25 5 5 =, Ω. NŠr vi har satt in ersšttningsresistorn ser kretsen ut enl. 5Ω 5Ω 2,5Ω NŠsta steg i fšrenklingen av kretsen Šr att ersštta de tvœ seriekopplade resistorerna med Kretsen ser nu ut enl. R 2 = 5 25, = 75, Ω. 5Ω 7,5Ω De tvœ resistorerna Šr parallellkopplade. Resistansen mellan och ges dšrfšr av Svar: R = Ω 5 R = 75, = Ω 5 75, Lšsn. 7 De tvœ resistorerna Šr parallellkopplade. Det betyder att det Šr samma spšnning,, šver respektive resistor. ges av spšnningskšllan, = 9 V. Eftersom vi bœde kšnner resistans och spšnning ges stršmmen av Ohms lag 9 = = = 025, R 6 Svar: = 025,
Repetition i EllŠra 26() Lšsn. 8 45 Ω 0 Ω 5 V 20 Ω 0 Ω 0 Ω 0 Ω 5 V R 0 Ω 0 Ω Stršmmen ges av Ohms lag om vi kšnner resistansen mellan och, R. Vi bšrjar med att berškna resistansen fšr de tre parallellkopplade 0Ωresistorerna, R = 0 0 0 = 0 S. ErsŠttningsresistansen Šr alltsœ R 0 Vi har nu en krets enl. 45 Ω = Ω. 5 V 20 Ω 0 Ω 0 Ω 0 Ω 0 Ω Resistorerna i respektive gren Šr seriekopplade. Vi kan ersštta dessa med summan av resistansen i respektive gren. Kretsen blir dœ fšrenklad till 5 V 45 Ω 0 Ω 0 Ω Nu kan vi ersštta de tvœ parallella resistorerna med en resistor som har resistansen, R = 0 0 2 = 0 0 5 Ω Nu har vi kommit fram till en krets med tvœ seriekopplade resistorer,
Repetition i EllŠra 27() 45 Ω 5 V 5 Ω Resistansen mellan och Šr R = 45 5 = 60 Ω. Enligt Ohms lag Šr stršmmen Svar: = 250 m 5 = = = 025 R 60,. Lšsn. 9 0 Ω 00 V 20 Ω 5 Ω 0 Ω 0 Ω 0 Ω 0 Ω 0 Ω Vi ser att resistorerna i de tre parallella grenarna kan fšrenklas till 00 V 0 Ω R R 2 Eftersom den mittersta grenen har resistansen 0 ½ kommer all stršm att gœ i den grenen. R och R2 kommer inte att genomflytas av nœgon stršm. De pœverkar alltsœ inte kretsen och kan dšrmed tas bort. Vi fœr kvar en krets med endast en resistor. 00 V 0 Ω
Repetition i EllŠra 28() Stršmmen ges av Ohms lag, Svar: =0 = R = 00 0 = 0 Lšsn. 0 2 V 2 24 kω 4 kω kω 2 kω 2 ges av Ohms lag, 2 = = R 24 0 2,. = 05 0 flyter genom tvœ parallellkopplade resistorer i serie med en k½resistor. De tvœ parallellkopplade resistorerna kan ersšttas av en resistor med resistansen 42 4 2 0 = kω R p = Totala resistansen i gren Šr summan av de tvœ seriekopplade resistorernas resistans R ges av Ohms lag, = 0 R = ( ) 0 = 6kΩ p 2 = = = 20 R 60. Kommentar: Minustecknet kommer av att Šr definierad motsatt stršmmens verkliga riktning. Se kapitel 4 om definitionsriktning. Det Šr alltsœ inte fel att ansštta en "felaktig" riktning pœ stršmmen frœn bšrjan. Det visar sig i resultatet som i sœ fall ger en negativ stršm. Svar a): 2 = 05, m och = 2m Kirchhoffs stršmlag, summan av alla stršmmar in till en nod Šr lika med noll, i den švre noden ger, Omskrivning ger Svar b): = 2,5 m ( ) =. 2 0 = = ( 05, ( 2)) 0 = 2,5 m 2
Repetition i EllŠra 29() Lšsn. Vi bšrjar med att ersštta de tvœ parallella resistorerna med en resistor, R p 2 60 = 0 = 0 kω 2 60 Kretsen ser nu ut enligt nedan dšr vi Šven definierar stršmmen. 5 kω 5 V 0 kω Kirchhoffs spšnninglag sšger att summan av spšnningarna i en sluten slinga Šr lika med noll. Vi bšrjar vid jordpunkten och gœr runt slingan medsols enligt skissen ovan. 5 50 0 0 = 0 NŠr vi gœr frœn jordpunkten genom spšnningskšllan škar potentialen och vi fœr ett positivt bidrag, den fšrsta termen i summan. NŠr vi gœr igenom en resistor i stršmmens riktning sjunker potentialen och vi fœr dšrfšr negativt bidrag till summan. Omskrivning av ekvationen ger stršmmen: 5 = = 0 50 0 0 Svar a): Stršmmen i slingan Šr =m. Fšr att bestšmma potentialen i utgœr vi frœn jordpunkten dšr potentialen Šr definierad till 0 V. Potentialskillnaden mellan och jord Šr spšnningen šver 0 kω-resistorn. V V = 0 0 nsatta všrden ger V = 0 0 0 = 0 V Svar b): Potentialen Šr V =0 V jord Lšsn. 2 Fšr att bestšmma potentialen i punkten utgœr vi frœn jordpunkten dšr potentialen Šr definierad till 0 V. Genom att berškna spšnningen šver 5 MΩ och 00 MΩ-resistorerna kan vi fœ potentialen i. Ohms lag ger dessa spšnningar om vi kšnner stršmmarna som gœr genom dessa resistorer. Vi ansštter stršm i gren och 2 i gren 2 enligt figuren nedan. figuren Šr Šven de tvœ parallellkopplade 20 M½-resistorerna ersštta av en resistor med resistansen R p 20 20 6 = 0 = 0 M 20 20 Ω.
Repetition i EllŠra 0() 2 200 V S 0 MΩ 5 MΩ S2 0 MΩ 5 MΩ Fšr att bestšmma stršmmarna ska vi tillšmpa Kirchhoffs spšnningslag i de tvœ slingorna S respektive S2, angivna i figuren. Kirchhoffs spšnningslag i slinga S ger Omskrivning av ekvationen ger 6 6 200 0 0 0 0 = 0 200 = 0 0 0 0 6 6 6 Kirchhoffs spšnningslag i slinga S2 ger Omskrivning av ekvationen ger Svar a): = 5 µ och 2 = 0 µ = 50 6 6 200 5 0 5 0 = 0 2 200 = = 0 0 50 50 6 2 6 6 Vi kan nu berškna potentialen i punkten. Vi bšrjar vid jordpunkten, gœr upp genom 5 MΩ-resistorn. HŠr gœr vi mot stršmmen vilket innebšr att potentialen škar, vi fœr ett positivt bidrag. DŠrefter gœr vi ner genom 0 MΩ-resistorn till punkten. DŒ gœr vi med stršmmen vilket gšr att potentialen sjunker, vi fœr ett negativt bidrag. nsatta všrden ger V 2 V = V 50 6 6 00 jord 6 6 6 6 = 0 5 0 0 0 0 0 5 0 = 50 50 = -00 V Svar b): Potentialen i punkten Šr V 2 = -00 V
Repetition i EllŠra () Lšsn. 2,0 kω 0,5 kω S 7,8 m,4 m,0 kω Vi ansštter stršmmen i det všnstra benet i triangeln. Med Kirchhoffs spšnningslag i slingan S kan vi berškna. DŠrefter anvšnder vi Kirchhoffs stršmlag i den švre noden fšr att berškna 2 respektive den nedre hšgra noden fšr att berškna. Kirchhoffs spšnningslag pœ slingan S ger Omskrivning ger 0 0, 5 0 7, 8 0, 0 0, 4 0 = 0 050, 780, 00, 40, 0 = Kirchhoffs stršmlag i den švre noden ger Omskrivning ger 7, 8 0 = 0 = 78, 0 = 96, 0 2 Kirchhoffs stršmlag i den nedre hšgra noden ger 4 0, 7, 8 0 = 0 = 64, 0 Omskrivning ger Svar: = 64, m och 2 = 96, m 2 = 79 0,
Repetition i EllŠra 2(). Formelsamling Ohms lag: Sambandet mellan stršm och spšnning fšr ledare a) R b) R = R = R Kirchhoffs strömlag: Summan av alla stršmmar in till en nod i ett elektriskt nšt, Šr lika med noll. n i = i= 0 Kirchhoffs spänningslag: en sluten stršmkrets Šr summan av alla spšnningar ršknade med sitt tecken lika med noll. n i = i= 0 Seriekoppling av resistorer: Flera seriekopplade resistorer kan ersšttas av en resistor enligt R s = n i= R i Parallellkoppling av resistorer: Flera parallellkopplade resistorer kan ersšttas av en resistor enligt Specialfall, tvœ parallellkopplade: R n = R R p i= = RR 2 p R R i 2
Repetition i EllŠra (). Storheter, enheter och prefix Storhet Enhet enšmning eteckning enšmning eteckning SpŠnning volt V Potential volt V Stršm ampere Resistans R ohm Ω = V/ Konduktans G =/R siemens S = /V Enhetsprefix Fšr att fœ praktiska enheter fšr olika storleksordningar pœ storheterna finns det vedertagna prefix som sštts framfšr enhetsbeteckningen. Exempelvis Šr kv = 0 V =000 V. enšmning eteckning Tiopotens tera T 0 2 = 000000000000 giga G 0 9 = 000000000 mega M 0 6 = 000000 kilo k 0 = 000 milli m 0 - = 0,00 mikro µ 0-6 = 0,00000 nano n 0-9 = 0,00000000 piko p 0-2 = 0,00000000000